Oczekiwanie matematyczne ciągłej zmiennej losowej. Oczekiwanie matematyczne to rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej Dni tygodnia oczekiwań matematycznych
Jak już wiadomo, prawo dystrybucji całkowicie charakteryzuje zmienną losową. Jednak prawo dystrybucji jest często nieznane i trzeba ograniczyć się do pomniejszych informacji. Czasami jeszcze bardziej opłaca się użyć liczb, które w sumie opisują zmienną losową; takie numery nazywają się charakterystyka liczbowa zmiennej losowej.
Oczekiwanie matematyczne jest jedną z ważnych cech liczbowych.
Oczekiwanie matematyczne jest w przybliżeniu równe średniej wartości zmiennej losowej.
Oczekiwanie matematyczne dyskretnej zmiennej losowej jest sumą iloczynów wszystkich jej możliwych wartości i ich prawdopodobieństw.
Jeśli zmienna losowa charakteryzuje się skończonym szeregiem rozkładów:
| X | x 1 | x2 | x 3 | … | x rz |
| R | str. 1 | str. 2 | str. 3 | … | r str |
następnie oczekiwanie matematyczne M(X) jest określony wzorem:
Matematyczne oczekiwanie ciągłej zmiennej losowej jest określone przez równość:
gdzie jest gęstość prawdopodobieństwa zmiennej losowej X.
Przykład 4.7. Znajdź matematyczne oczekiwanie liczby oczek, które wypadną podczas rzucania kostką.
Rozwiązanie:
Losowa wartość X przyjmuje wartości 1, 2, 3, 4, 5, 6. Utwórzmy prawo jego rozkładu:
| X | ||||||
| R |
Wtedy oczekiwanie matematyczne jest następujące:
Własności oczekiwań matematycznych:
1. Matematyczne oczekiwanie stałej wartości jest równe samej stałej:
M(S)=S.
2. Stały czynnik można wyjąć ze znaku oczekiwania:
M(CX) = CM(X).
3. Matematyczne oczekiwanie iloczynu dwóch niezależnych zmiennych losowych jest równe iloczynowi ich matematycznych oczekiwań:
M(XY) = M(X)M(Y).
Przykład 4.8. Niezależne zmienne losowe X I Y są podane przez następujące prawa dystrybucji:
| X | Y | ||||||
| R | 0,6 | 0,1 | 0,3 | R | 0,8 | 0,2 |
Znajdź matematyczne oczekiwanie zmiennej losowej XY.
Rozwiązanie.
Znajdźmy matematyczne oczekiwania każdej z tych wielkości:
zmienne losowe X I Y niezależne, więc pożądane oczekiwanie matematyczne:
M(XY) = M(X)M(Y)=
Konsekwencja. Matematyczne oczekiwanie iloczynu kilku wzajemnie niezależnych zmiennych losowych jest równe iloczynowi ich matematycznych oczekiwań.
4. Matematyczne oczekiwanie sumy dwóch zmiennych losowych jest równe sumie matematycznych oczekiwań warunków:
M(X + Y) = M(X) + M(Y).
Konsekwencja. Matematyczne oczekiwanie sumy kilku zmiennych losowych jest równe sumie matematycznych oczekiwań warunków.
Przykład 4.9. Oddawane są 3 strzały z prawdopodobieństwem trafienia w cel równym str. 1 = 0,4; p2= 0,3 i str. 3= 0,6. Znajdź matematyczne oczekiwanie całkowitej liczby trafień.
Rozwiązanie.
Liczba trafień pierwszego strzału jest zmienną losową X 1, która może przyjąć tylko dwie wartości: 1 (trafienie) z prawdopodobieństwem str. 1= 0,4 i 0 (brak) z prawdopodobieństwem q 1 = 1 – 0,4 = 0,6.
Matematyczne oczekiwanie liczby trafień w pierwszym strzale jest równe prawdopodobieństwu trafienia:
Podobnie znajdujemy matematyczne oczekiwania liczby trafień w drugim i trzecim strzale:
M(X2)= 0,3 i M (X 3) \u003d 0,6.
Całkowita liczba trafień jest również zmienną losową składającą się z sumy trafień w każdym z trzech strzałów:
X \u003d X 1 + X 2 + X 3.
Pożądane oczekiwanie matematyczne X na podstawie twierdzenia matematycznego znajdujemy oczekiwanie sumy.
Oprócz praw dystrybucji można również opisać zmienne losowe cechy liczbowe .
oczekiwanie matematyczne M(x) zmiennej losowej nazywamy jej wartością średnią.
Matematyczne oczekiwanie dyskretnej zmiennej losowej jest obliczane za pomocą wzoru
Gdzie – wartości zmiennej losowej, p I- ich prawdopodobieństwa.
Rozważ właściwości oczekiwań matematycznych:
1. Matematyczne oczekiwanie stałej jest równe samej stałej
2. Jeśli zmienną losową pomnoży się przez pewną liczbę k, to oczekiwanie matematyczne zostanie pomnożone przez tę samą liczbę
M (kx) = kM (x)
3. Matematyczne oczekiwanie sumy zmiennych losowych jest równe sumie ich matematycznych oczekiwań
M (x 1 + x 2 + ... + x n) \u003d M (x 1) + M (x 2) + ... + M (x n)
4. M (x 1 - x 2) \u003d M (x 1) - M (x 2)
5. Dla niezależnych zmiennych losowych x 1 , x 2 , … x n matematyczne oczekiwanie iloczynu jest równe iloczynowi ich matematycznych oczekiwań
M (x 1, x 2, ... x n) \u003d M (x 1) M (x 2) ... M (x n)
6. M (x - M (x)) \u003d M (x) - M (M (x)) \u003d M (x) - M (x) \u003d 0
Obliczmy matematyczne oczekiwanie dla zmiennej losowej z przykładu 11.
M(x) == 
.
Przykład 12. Niech zmienne losowe x 1 , x 2 będą dane odpowiednio przez prawa rozkładu:
x 1 Tabela 2
x 2 Tabela 3
Oblicz M (x 1) i M (x 2)
M (x 1) \u003d (- 0,1) 0,1 + (- 0,01) 0,2 + 0 0,4 + 0,01 0,2 + 0,1 0,1 \u003d 0
M (x 2) \u003d (- 20) 0,3 + (- 10) 0,1 + 0 0,2 + 10 0,1 + 20 0,3 \u003d 0
Oczekiwania matematyczne obu zmiennych losowych są takie same - są równe zeru. Różny jest jednak ich rozkład. Jeśli wartości x 1 niewiele różnią się od ich oczekiwań matematycznych, to wartości x 2 różnią się w dużym stopniu od ich oczekiwań matematycznych, a prawdopodobieństwa takich odchyleń nie są małe. Przykłady te pokazują, że nie da się na podstawie wartości średniej określić, jakie odchylenia od niej mają miejsce zarówno w górę, jak iw dół. Tym samym przy takich samych średnich rocznych opadach w dwóch miejscowościach nie można powiedzieć, że są to miejscowości równie sprzyjające pracom rolniczym. Podobnie na podstawie wskaźnika średnich wynagrodzeń nie można ocenić proporcji pracowników wysoko i nisko opłacanych. Dlatego wprowadzono charakterystykę liczbową - dyspersja D(x) , który charakteryzuje stopień odchylenia zmiennej losowej od jej wartości średniej:
re (x) = M (x - M (x)) 2 . (2)
Dyspersja to matematyczne oczekiwanie kwadratu odchylenia zmiennej losowej od matematycznego oczekiwania. Dla dyskretnej zmiennej losowej wariancję oblicza się według wzoru:
D(x)= 
= 
(3)
Z definicji wariancji wynika, że D(x) 0.
Właściwości dyspersyjne:
1. Dyspersja stałej wynosi zero
2. Jeśli zmienną losową mnoży się przez pewną liczbę k, to wariancja jest mnożona przez kwadrat tej liczby
re (kx) = k 2 re (x)
3. re (x) \u003d M (x 2) - M 2 (x)
4. Dla parami niezależnych zmiennych losowych x 1 , x 2 , … x n wariancja sumy jest równa sumie wariancji.
re (x 1 + x 2 + ... + x n) = re (x 1) + re (x 2) + ... + re (x n)
Obliczmy wariancję dla zmiennej losowej z przykładu 11.
Oczekiwanie matematyczne M(x) = 1. Zatem zgodnie ze wzorem (3) mamy:
re (x) = (0 – 1) 2 1/4 + (1 – 1) 2 1/2 + (2 – 1) 2 1/4 =1 1/4 +1 1/4 = 1/2
Zauważ, że łatwiej jest obliczyć wariancję, jeśli użyjemy właściwości 3:
re (x) \u003d M (x 2) - M 2 (x).
Obliczmy wariancje dla zmiennych losowych x 1 , x 2 z przykładu 12 za pomocą tego wzoru. Oczekiwania matematyczne obu zmiennych losowych są równe zeru.
D (x 1) \u003d 0,01 0,1 + 0,0001 0,2 + 0,0001 0,2 + 0,01 0,1 \u003d 0,001 + 0,00002 + 0,00002 + 0,001 \u003d 0,00204
Re (x 2) \u003d (-20) 2 0,3 + (-10) 2 0,1 + 10 2 0,1 + 20 2 0,3 \u003d 240 +20 \u003d 260
Im wartość dyspersji jest bliższa zeru, tym mniejszy jest rozrzut zmiennej losowej w stosunku do wartości średniej.
Wartość nazywa się odchylenie standardowe. Losowa moda X dyskretny typ Md jest wartością zmiennej losowej, która odpowiada największemu prawdopodobieństwu.
Losowa moda X ciągły typ Md, jest liczbą rzeczywistą zdefiniowaną jako maksymalny punkt gęstości rozkładu prawdopodobieństwa f(x).
Mediana zmiennej losowej X typ ciągły Mn jest liczbą rzeczywistą spełniającą równanie
W teorii prawdopodobieństwa iw wielu jej zastosowaniach duże znaczenie mają różne charakterystyki liczbowe zmiennych losowych. Główne z nich to oczekiwanie matematyczne i wariancja.
1. Matematyczne oczekiwanie zmiennej losowej i jej własności.
Rozważ najpierw następujący przykład. Niech fabryka otrzyma partię składającą się z N namiar. W której:
m 1 x 1,
m2- liczba łożysk o średnicy zewnętrznej x2,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
m n- liczba łożysk o średnicy zewnętrznej x rz,
Tutaj m 1 +m 2 +...+m n =N. Znajdź średnią arytmetyczną x porśrednica zewnętrzna łożyska. Oczywiście,
Wybraną losowo średnicę zewnętrzną łożyska można uznać za zmienną losową przyjmującą wartości x 1, x2, ..., x rz, z odpowiednimi prawdopodobieństwami p 1 \u003d m 1 / N, p 2 \u003d m 2 /N, ..., p n = m n /N, ponieważ prawdopodobieństwo Liczba Pi wygląd łożyska o średnicy zewnętrznej x ja jest równe m i /N. Stąd średnia arytmetyczna x por zewnętrzną średnicę łożyska można określić za pomocą zależności 
Niech będzie dyskretną zmienną losową o zadanym prawie rozkładu prawdopodobieństwa
Wartości
x 1
x2
. . .
x rz
Prawdopodobieństwa
p1
p2
. . .
pn
oczekiwanie matematyczne Dyskretna zmienna losowa nazywa się sumę iloczynów parami wszystkich możliwych wartości zmiennej losowej i odpowiadających im prawdopodobieństw, tj. *
Zakłada się, że całka niewłaściwa po prawej stronie równości (40) istnieje.
Rozważ właściwości oczekiwań matematycznych. Czyniąc to, ograniczymy się do udowodnienia tylko dwóch pierwszych własności, które przeprowadzimy dla dyskretnych zmiennych losowych.
1°. Matematyczne oczekiwanie stałej C jest równe tej stałej.
Dowód. stały C można traktować jako zmienną losową, która może przyjmować tylko jedną wartość C z prawdopodobieństwem równym jeden. Dlatego 
2°. Stały czynnik można wyjąć ze znaku oczekiwania, tj. 
Dowód. Korzystając z zależności (39), mamy 
3°. Matematyczne oczekiwanie sumy kilku zmiennych losowych jest równe sumie matematycznych oczekiwań tych zmiennych:
Pojawią się również zadania do samodzielnego rozwiązania, na które możecie zobaczyć odpowiedzi.
Matematyczne oczekiwanie i wariancja to najczęściej używane cechy liczbowe zmiennej losowej. Charakteryzują one najważniejsze cechy rozkładu: jego położenie i stopień rozproszenia. Matematyczne oczekiwanie jest często określane po prostu jako średnia. zmienna losowa. Dyspersja zmiennej losowej - charakterystyka dyspersji, dyspersja zmiennej losowej wokół jego matematycznego oczekiwania.
W wielu problemach praktycznych pełny, wyczerpujący opis zmiennej losowej - prawa dystrybucji - albo nie jest możliwy, albo nie jest w ogóle potrzebny. W takich przypadkach ograniczają się one do przybliżonego opisu zmiennej losowej za pomocą charakterystyk numerycznych.
Oczekiwanie matematyczne dyskretnej zmiennej losowej
Przejdźmy do koncepcji oczekiwań matematycznych. Niech masa jakiejś substancji będzie rozłożona między punktami osi x X1 , X 2 , ..., X N. Co więcej, każdy punkt materialny ma odpowiadającą mu masę z prawdopodobieństwem P1 , P 2 , ..., P N. Wymagany jest wybór jednego punktu na osi x, który charakteryzuje położenie całego układu punktów materialnych z uwzględnieniem ich mas. Jest rzeczą naturalną, że za taki punkt przyjmuje się środek masy układu punktów materialnych. Jest to średnia ważona zmiennej losowej X, w którym odcięta każdego punktu XI wchodzi z „wagą” równą odpowiedniemu prawdopodobieństwu. Uzyskana w ten sposób średnia wartość zmiennej losowej X nazywamy jego matematycznym oczekiwaniem.
Oczekiwanie matematyczne dyskretnej zmiennej losowej jest sumą iloczynów wszystkich jej możliwych wartości i prawdopodobieństw tych wartości:
Przykład 1 Zorganizowano loterię win-win. Jest 1000 wygranych, z których 400 to 10 rubli. 300 - 20 rubli za sztukę 200 - 100 rubli za sztukę. i 100 - 200 rubli za sztukę. Jaka jest średnia wygrana dla osoby, która kupi jeden los?
Rozwiązanie. Średnią wygraną znajdziemy, jeśli łączną kwotę wygranych, która jest równa 10*400 + 20*300 + 100*200 + 200*100 = 50 000 rubli, podzielimy przez 1000 (całkowita kwota wygranych). Następnie otrzymujemy 50000/1000 = 50 rubli. Ale wyrażenie do obliczania średniego zysku można również przedstawić w następującej formie:
Z drugiej strony w tych warunkach wysokość wygranej jest zmienną losową, która może przyjmować wartości 10, 20, 100 i 200 rubli. odpowiednio z prawdopodobieństwem równym 0,4; 0,3; 0,2; 0,1. Oczekiwana średnia wypłat jest zatem równa sumie iloczynów wielkości wypłat i prawdopodobieństwa ich otrzymania.
Przykład 2 Wydawca postanowił wydać nową książkę. Zamierza sprzedać książkę za 280 rubli, z czego 200 dostanie jemu, 50 rubli księgarni i 30 rubli autorowi. W tabeli podano informacje o koszcie wydania książki i prawdopodobieństwie sprzedaży określonej liczby egzemplarzy książki.
Znajdź oczekiwany zysk wydawcy.
Rozwiązanie. Zmienna losowa „zysk” jest równa różnicy między przychodem ze sprzedaży a kosztem kosztów. Na przykład, jeśli sprzedano 500 egzemplarzy książki, to dochód ze sprzedaży wynosi 200 * 500 = 100 000, a koszt publikacji to 225 000 rubli. Tym samym wydawca ponosi stratę w wysokości 125 000 rubli. Poniższa tabela podsumowuje oczekiwane wartości zmiennej losowej – zysk:
| Numer | Zysk XI | Prawdopodobieństwo PI | XI P I |
| 500 | -125000 | 0,20 | -25000 |
| 1000 | -50000 | 0,40 | -20000 |
| 2000 | 100000 | 0,25 | 25000 |
| 3000 | 250000 | 0,10 | 25000 |
| 4000 | 400000 | 0,05 | 20000 |
| Całkowity: | 1,00 | 25000 |
W ten sposób otrzymujemy matematyczne oczekiwanie zysku wydawcy:
.
Przykład 3 Szansa na trafienie jednym strzałem P= 0,2. Określ zużycie pocisków, które dają matematyczne oczekiwanie liczby trafień równej 5.
Rozwiązanie. Z tej samej formuły oczekiwań, której używaliśmy do tej pory, wyrażamy X- zużycie muszli:
.
Przykład 4 Wyznacz matematyczne oczekiwanie zmiennej losowej X liczba trafień trzema strzałami, jeśli prawdopodobieństwo trafienia każdym strzałem P = 0,4 .
Wskazówka: znajdź prawdopodobieństwo wartości zmiennej losowej według Formuła Bernoulliego .
Właściwości oczekiwań
Rozważ właściwości oczekiwań matematycznych.
Obiekt 1. Matematyczne oczekiwanie stałej wartości jest równe tej stałej:
Nieruchomość 2. Stały czynnik można wyjąć ze znaku oczekiwania:
Nieruchomość 3. Matematyczne oczekiwanie sumy (różnicy) zmiennych losowych jest równe sumie (różnicy) ich matematycznych oczekiwań:
Nieruchomość 4. Matematyczne oczekiwanie iloczynu zmiennych losowych jest równe iloczynowi ich matematycznych oczekiwań:
Nieruchomość 5. Jeśli wszystkie wartości zmiennej losowej X zmniejszyć (zwiększyć) o tę samą liczbę Z, to jego matematyczne oczekiwanie zmniejszy się (wzrośnie) o tę samą liczbę:
Kiedy nie można ograniczać się tylko do matematycznych oczekiwań
W większości przypadków tylko oczekiwanie matematyczne nie może odpowiednio scharakteryzować zmiennej losowej.
Niech zmienne losowe X I Y są podane przez następujące prawa dystrybucji:
| Oznaczający X | Prawdopodobieństwo |
| -0,1 | 0,1 |
| -0,01 | 0,2 |
| 0 | 0,4 |
| 0,01 | 0,2 |
| 0,1 | 0,1 |
| Oznaczający Y | Prawdopodobieństwo |
| -20 | 0,3 |
| -10 | 0,1 |
| 0 | 0,2 |
| 10 | 0,1 |
| 20 | 0,3 |
Oczekiwania matematyczne tych wielkości są takie same - równe zeru:
Różny jest jednak ich rozkład. Losowa wartość X może przyjmować tylko wartości, które niewiele różnią się od oczekiwań matematycznych i zmiennej losowej Y może przyjmować wartości znacznie odbiegające od oczekiwań matematycznych. Podobny przykład: średnia płaca nie pozwala ocenić proporcji wysoko i nisko opłacanych pracowników. Innymi słowy, na podstawie matematycznych oczekiwań nie można ocenić, jakie odchylenia od nich są, przynajmniej średnio, możliwe. Aby to zrobić, musisz znaleźć wariancję zmiennej losowej.
Dyspersja dyskretnej zmiennej losowej
dyspersja Dyskretna zmienna losowa X nazywa się matematycznym oczekiwaniem kwadratu jego odchylenia od matematycznego oczekiwania:
Odchylenie standardowe zmiennej losowej X jest wartością arytmetyczną pierwiastka kwadratowego z jego wariancji:
.
Przykład 5 Oblicz wariancje i odchylenia standardowe zmiennych losowych X I Y, którego prawa dystrybucji podano w powyższych tabelach.
Rozwiązanie. Oczekiwania matematyczne zmiennych losowych X I Y, jak stwierdzono powyżej, są równe zeru. Zgodnie ze wzorem dyspersji dla mi(X)=mi(y)=0 otrzymujemy:
Następnie odchylenia standardowe zmiennych losowych X I Y stanowić
.
Zatem przy tych samych oczekiwaniach matematycznych wariancja zmiennej losowej X bardzo mały i przypadkowy Y- istotne. Wynika to z różnicy w ich rozmieszczeniu.
Przykład 6 Inwestor posiada 4 alternatywne projekty inwestycyjne. W tabeli zestawiono dane dotyczące oczekiwanego zysku w tych projektach z odpowiednim prawdopodobieństwem.
| Projekt 1 | Projekt 2 | Projekt 3 | Projekt 4 |
| 500, P=1 | 1000, P=0,5 | 500, P=0,5 | 500, P=0,5 |
| 0, P=0,5 | 1000, P=0,25 | 10500, P=0,25 | |
| 0, P=0,25 | 9500, P=0,25 |
Znajdź dla każdej alternatywy oczekiwanie matematyczne, wariancję i odchylenie standardowe.
Rozwiązanie. Pokażmy, jak oblicza się te wielkości dla trzeciej alternatywy:
Tabela podsumowuje znalezione wartości dla wszystkich alternatyw.
Wszystkie alternatywy mają takie same matematyczne oczekiwania. Oznacza to, że na dłuższą metę wszyscy mają takie same dochody. Odchylenie standardowe można interpretować jako miarę ryzyka – im jest ono większe, tym większe ryzyko inwestycji. Inwestor, który nie chce dużego ryzyka, wybierze projekt 1, ponieważ ma on najmniejsze odchylenie standardowe (0). Jeśli inwestor preferuje ryzyko i wysokie zwroty w krótkim okresie, wówczas wybierze projekt o największym odchyleniu standardowym – projekt 4.
Właściwości dyspersji
Przedstawmy właściwości dyspersji.
Obiekt 1. Dyspersja stałej wartości wynosi zero:
Nieruchomość 2. Stały współczynnik można usunąć ze znaku dyspersji, podnosząc go do kwadratu:
.
Nieruchomość 3. Wariancja zmiennej losowej jest równa matematycznemu oczekiwaniu kwadratu tej wartości, od którego odejmuje się kwadrat matematycznego oczekiwania samej wartości:
,
Gdzie 
.
Nieruchomość 4. Wariancja sumy (różnicy) zmiennych losowych jest równa sumie (różnicy) ich wariancji:
Przykład 7 Wiadomo, że dyskretna zmienna losowa X przyjmuje tylko dwie wartości: −3 i 7. Ponadto znane jest oczekiwanie matematyczne: mi(X) = 4 . Znajdź wariancję dyskretnej zmiennej losowej.
Rozwiązanie. Oznacz przez P prawdopodobieństwo, z jakim zmienna losowa przyjmuje wartość X1 = −3 . Następnie prawdopodobieństwo wartości X2 = 7 będzie 1 − P. Wyprowadźmy równanie na oczekiwanie matematyczne:
mi(X) = X 1 P + X 2 (1 − P) = −3P + 7(1 − P) = 4 ,
skąd mamy prawdopodobieństwa: P= 0,3 i 1 − P = 0,7 .
Prawo dystrybucji zmiennej losowej:
| X | −3 | 7 |
| P | 0,3 | 0,7 |
Wariancję tej zmiennej losowej obliczamy korzystając ze wzoru z własności 3 wariancji:
D(X) = 2,7 + 34,3 − 16 = 21 .
Znajdź samodzielnie matematyczne oczekiwanie zmiennej losowej, a następnie zobacz rozwiązanie
Przykład 8 Dyskretna zmienna losowa X przyjmuje tylko dwie wartości. Przyjmuje większą wartość 3 z prawdopodobieństwem 0,4. Ponadto znana jest wariancja zmiennej losowej D(X) = 6 . Znajdź matematyczne oczekiwanie zmiennej losowej.
Przykład 9 W urnie jest 6 kul białych i 4 czarne. Z urny wyciągnięto 3 kule. Liczba białych kul wśród wylosowanych kul jest dyskretną zmienną losową X. Znajdź matematyczne oczekiwanie i wariancję tej zmiennej losowej.
Rozwiązanie. Losowa wartość X może przyjmować wartości 0, 1, 2, 3. Odpowiednie prawdopodobieństwa można obliczyć z reguła mnożenia prawdopodobieństw. Prawo dystrybucji zmiennej losowej:
| X | 0 | 1 | 2 | 3 |
| P | 1/30 | 3/10 | 1/2 | 1/6 |
Stąd matematyczne oczekiwanie tej zmiennej losowej:
M(X) = 3/10 + 1 + 1/2 = 1,8 .
Wariancja danej zmiennej losowej to:
D(X) = 0,3 + 2 + 1,5 − 3,24 = 0,56 .
Matematyczne oczekiwanie i dyspersja ciągłej zmiennej losowej
W przypadku ciągłej zmiennej losowej mechaniczna interpretacja oczekiwań matematycznych zachowa to samo znaczenie: środek masy dla masy jednostkowej rozłożonej w sposób ciągły na osi x z gęstością F(X). W przeciwieństwie do dyskretnej zmiennej losowej, dla której argument funkcji XI zmienia się gwałtownie, dla ciągłej zmiennej losowej argument zmienia się w sposób ciągły. Ale matematyczne oczekiwanie ciągłej zmiennej losowej jest również związane z jej wartością średnią.
Aby znaleźć matematyczne oczekiwanie i wariancję ciągłej zmiennej losowej, musisz znaleźć całki oznaczone . Jeśli podana jest funkcja gęstości ciągłej zmiennej losowej, to wchodzi ona bezpośrednio do całki. Jeśli podana jest funkcja rozkładu prawdopodobieństwa, to różnicując ją, musisz znaleźć funkcję gęstości.
Nazywa się średnią arytmetyczną wszystkich możliwych wartości ciągłej zmiennej losowej oczekiwanie matematyczne, oznaczony przez lub .
Charakterystyka DSW i ich właściwości. Oczekiwanie matematyczne, wariancja, odchylenie standardowe
Prawo dystrybucji w pełni charakteryzuje zmienną losową. Jednak gdy znalezienie prawa dystrybucji jest niemożliwe lub nie jest to wymagane, można ograniczyć się do znalezienia wartości, zwanych numerycznymi charakterystykami zmiennej losowej. Wartości te określają pewną wartość średnią, wokół której grupowane są wartości zmiennej losowej, oraz stopień ich rozproszenia wokół tej wartości średniej.
oczekiwanie matematyczne Dyskretna zmienna losowa to suma iloczynów wszystkich możliwych wartości zmiennej losowej i ich prawdopodobieństw.
Oczekiwanie matematyczne istnieje, jeśli szereg po prawej stronie równości jest zbieżny bezwzględnie.
Z punktu widzenia prawdopodobieństwa możemy powiedzieć, że oczekiwanie matematyczne jest w przybliżeniu równe średniej arytmetycznej obserwowanych wartości zmiennej losowej.
Przykład. Znane jest prawo rozkładu dyskretnej zmiennej losowej. Znajdź matematyczne oczekiwanie.
| X | ||||
| P | 0.2 | 0.3 | 0.1 | 0.4 |
Rozwiązanie:
9.2 Właściwości oczekiwane
1. Matematyczne oczekiwanie stałej wartości jest równe samej stałej.
2. Ze znaku oczekiwania można usunąć stały czynnik. 
3. Matematyczne oczekiwanie iloczynu dwóch niezależnych zmiennych losowych jest równe iloczynowi ich matematycznych oczekiwań.
Ta właściwość jest ważna dla dowolnej liczby zmiennych losowych.
4. Matematyczne oczekiwanie sumy dwóch zmiennych losowych jest równe sumie matematycznych oczekiwań wyrazów.
Ta właściwość jest również prawdziwa dla dowolnej liczby zmiennych losowych.
Niech przeprowadzi się n niezależnych prób, w których prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia A jest równe p.
Twierdzenie. Oczekiwanie matematyczne M(X) liczby wystąpień zdarzenia A w n niezależnych próbach jest równe iloczynowi liczby prób i prawdopodobieństwa wystąpienia zdarzenia w każdej próbie.
Przykład. Znajdź matematyczne oczekiwanie zmiennej losowej Z, jeśli znane są matematyczne oczekiwania X i Y: M(X)=3, M(Y)=2, Z=2X+3Y.
Rozwiązanie:
9.3 Rozrzut dyskretnej zmiennej losowej
Jednak matematyczne oczekiwanie nie może w pełni scharakteryzować losowego procesu. Oprócz matematycznego oczekiwania konieczne jest wprowadzenie wartości charakteryzującej odchylenie wartości zmiennej losowej od matematycznego oczekiwania.
To odchylenie jest równe różnicy między zmienną losową a jej matematycznym oczekiwaniem. W tym przypadku matematyczne oczekiwanie odchylenia wynosi zero. Wyjaśnia to fakt, że niektóre możliwe odchylenia są dodatnie, inne ujemne, aw wyniku ich wzajemnego znoszenia uzyskuje się zero.
Dyspersja (rozpraszanie) Dyskretna zmienna losowa nazywana jest matematycznym oczekiwaniem kwadratu odchylenia zmiennej losowej od jej matematycznego oczekiwania.
W praktyce ta metoda obliczania wariancji jest niewygodna, ponieważ prowadzi do uciążliwych obliczeń dla dużej liczby wartości zmiennej losowej.
Dlatego stosowana jest inna metoda.
Twierdzenie. Wariancja jest równa różnicy między matematycznym oczekiwaniem kwadratu zmiennej losowej X a kwadratem jej matematycznego oczekiwania.
Dowód. Biorąc pod uwagę fakt, że oczekiwanie matematyczne M (X) i kwadrat oczekiwania matematycznego M 2 (X) są wartościami stałymi, możemy zapisać:
Przykład. Znajdź wariancję dyskretnej zmiennej losowej określonej przez prawo dystrybucji.
| X | ||||
| X 2 | ||||
| R | 0.2 | 0.3 | 0.1 | 0.4 |
Rozwiązanie: .
9.4 Właściwości dyspersyjne
1. Dyspersja stałej wartości wynosi zero. .
2. Stały współczynnik można usunąć ze znaku dyspersji, podnosząc go do kwadratu. 
.
3. Wariancja sumy dwóch niezależnych zmiennych losowych jest równa sumie wariancji tych zmiennych. .
4. Wariancja różnicy dwóch niezależnych zmiennych losowych jest równa sumie wariancji tych zmiennych. .
Twierdzenie. Wariancja liczby wystąpień zdarzenia A w n niezależnych próbach, w każdej z których prawdopodobieństwo p wystąpienia zdarzenia jest stałe, jest równa iloczynowi liczby prób i prawdopodobieństwa wystąpienia i niewystąpienia zdarzenia w każdej próbie.
9.5 Odchylenie standardowe dyskretnej zmiennej losowej
Odchylenie standardowe zmienna losowa X nazywana jest pierwiastkiem kwadratowym z wariancji.
Twierdzenie. Odchylenie standardowe sumy skończonej liczby wzajemnie niezależnych zmiennych losowych jest równe pierwiastkowi kwadratowemu z sumy kwadratów odchyleń standardowych tych zmiennych.
Ładowanie...