Liniowe równanie różniczkowe drugiego rzędu (LDE) ma następującą postać:

gdzie , i mają dane funkcje ciągłe w przedziale, w którym szuka się rozwiązania. Zakładając, że a 0 (x) ≠ 0, dzielimy (2.1) przez i po wprowadzeniu nowych oznaczeń współczynników zapisujemy równanie w postaci:

Przyjmijmy bez dowodu, że (2.2) ma jednoznaczne rozwiązanie na pewnym przedziale, które spełnia dowolne warunki początkowe , jeżeli na rozpatrywanym przedziale funkcje , i są ciągłe. Jeżeli , to równanie (2.2) nazywa się jednorodnym, a w przeciwnym razie równanie (2.2) nazywa się niejednorodnym.

Rozważmy właściwości rozwiązań złoża drugiego rzędu.

Definicja. Liniową kombinacją funkcji jest wyrażenie , gdzie są to dowolne liczby.

Twierdzenie. Jeśli i – rozwiązanie

wówczas ich kombinacja liniowa będzie również rozwiązaniem tego równania.

Dowód.

Wstawmy wyrażenie do (2.3) i pokażmy, że wynikiem jest tożsamość:

Zmieńmy układ terminów:

Ponieważ funkcje są rozwiązaniami równania (2.3), to każdy z nawiasów w ostatnim równaniu jest identycznie równy zero, co należało udowodnić.

Wniosek 1. Z udowodnionego twierdzenia wynika, że ​​jeśli jest rozwiązaniem równania (2.3), to istnieje również rozwiązanie tego równania.

Konsekwencja 2. Zakładając , widzimy, że suma dwóch rozwiązań Lod jest również rozwiązaniem tego równania.

Komentarz. Właściwość rozwiązań udowodnionych w twierdzeniu pozostaje ważna dla problemów dowolnego rzędu.

§3. Wyznacznik Wrońskiego.

Definicja. Mówi się, że układ funkcji jest liniowo niezależny w pewnym przedziale, jeśli żadnej z tych funkcji nie można przedstawić jako liniowej kombinacji wszystkich pozostałych.

W przypadku dwóch funkcji oznacza to, że , tj. . Ostatni warunek można przepisać jako lub . Wyznacznikiem w liczniku tego wyrażenia jest nazywa się wyznacznikiem Wrońskiego dla funkcji i . Zatem wyznacznik Wrońskiego dla dwóch liniowo niezależnych funkcji nie może być identycznie równy zero.

Pozwalać jest wyznacznikiem Wrońskiego dla liniowo niezależnych rozwiązań i równania (2.3). Upewnijmy się przez podstawienie, że funkcja spełnia równanie. (3.1)

Naprawdę, . Ponieważ funkcje i spełniają równanie (2.3), to tj. – rozwiązanie równania (3.1). Znajdźmy to rozwiązanie: ; . Gdzie , . , , .

Po prawej stronie tej formuły należy wziąć znak plus, ponieważ tylko w tym przypadku uzyskuje się tożsamość. Zatem,

(3.2)

Wzór ten nazywa się wzorem Liouville’a. Wykazano powyżej, że wyznacznik Wrońskiego dla funkcji liniowo niezależnych nie może być identycznie równy zero. W konsekwencji istnieje punkt, w którym wyznacznik dla liniowo niezależnych rozwiązań równania (2.3) jest różny od zera. Następnie ze wzoru Liouville’a wynika, że ​​funkcja będzie różna od zera dla wszystkich wartości w rozpatrywanym przedziale, gdyż dla dowolnej wartości oba współczynniki po prawej stronie wzoru (3.2) są niezerowe.

§4. Struktura rozwiązania ogólnego złoża drugiego rzędu.

Twierdzenie. Jeżeli i są liniowo niezależnymi rozwiązaniami równania (2.3), to ich kombinacja liniowa , gdzie i są dowolnymi stałymi, będzie ogólnym rozwiązaniem tego równania.

Dowód.

Co jest rozwiązaniem równania (2.3), wynika z twierdzenia o własnościach rozwiązań Lodo drugiego rzędu. Musimy tylko pokazać, że jest to rozwiązanie będzie ogólny, tj. należy wykazać, że dla dowolnych warunków początkowych można dobrać dowolne stałe w taki sposób, aby te warunki spełniały. Zapiszmy warunki początkowe w postaci:

Stałe i z tego układu liniowych równań algebraicznych wyznacza się jednoznacznie, gdyż wyznacznikiem tego układu jest wartość wyznacznika Wrońskiego dla liniowo niezależnych rozwiązań Lodu przy:

,

i taki wyznacznik, jak widzieliśmy w poprzednim akapicie, jest niezerowy. Twierdzenie zostało udowodnione.

Przykład. Udowodnić, że funkcja , gdzie i są dowolnymi stałymi, jest ogólnym rozwiązaniem Lod.

Rozwiązanie.

Łatwo jest sprawdzić przez podstawienie, że funkcje i spełniają to równanie. Funkcje te są liniowo niezależne, ponieważ . Dlatego zgodnie z twierdzeniem o strukturze rozwiązania ogólnego, złoże drugiego rzędu jest ogólnym rozwiązaniem tego równania.

Liniowe równanie różniczkowe drugiego rzędu zwane równaniem postaci

y"" + P(X)y" + Q(X)y = F(X) ,

Gdzie y jest funkcją, którą należy znaleźć, oraz P(X) , Q(X) I F(X) - funkcje ciągłe w pewnym przedziale ( a, b) .

Jeśli prawa strona równania wynosi zero ( F(X) = 0), wówczas wywoływane jest równanie liniowe równanie jednorodne . Praktyczna część tej lekcji będzie poświęcona głównie takim równaniom. Jeżeli prawa strona równania nie jest równa zeru ( F(X) ≠ 0), wówczas równanie nazywa się .

W zadaniach, dla których mamy rozwiązać równanie y"" :

y"" = −P(X)y" − Q(X)y + F(X) .

Liniowe równania różniczkowe drugiego rzędu mają unikalne rozwiązanie Problemy Cauchy’ego .

Liniowe jednorodne równanie różniczkowe drugiego rzędu i jego rozwiązanie

Rozważ liniowe jednorodne równanie różniczkowe drugiego rzędu:

y"" + P(X)y" + Q(X)y = 0 .

Jeśli y1 (X) I y2 (X) są szczególnymi rozwiązaniami tego równania, to prawdziwe są następujące stwierdzenia:

1) y1 (X) + y 2 (X) - jest również rozwiązaniem tego równania;

2) Cy1 (X) , Gdzie C- dowolna stała (stała) jest również rozwiązaniem tego równania.

Z tych dwóch stwierdzeń wynika, że ​​funkcja

C1 y 1 (X) + C 2 y 2 (X)

jest również rozwiązaniem tego równania.

Powstaje zasadne pytanie: czy to jest rozwiązanie ogólne rozwiązanie liniowego jednorodnego równania różniczkowego drugiego rzędu , czyli takie rozwiązanie, w którym dla różnych wartości C1 I C2 Czy możliwe jest uzyskanie wszystkich możliwych rozwiązań równania?

Odpowiedź na to pytanie brzmi: być może, ale pod pewnymi warunkami. Ten od tego, jakie właściwości powinny mieć dane rozwiązania y1 (X) I y2 (X) .

Warunek ten nazywa się warunkiem liniowej niezależności rozwiązań cząstkowych.

Twierdzenie. Funkcjonować C1 y 1 (X) + C 2 y 2 (X) jest ogólnym rozwiązaniem liniowego jednorodnego równania różniczkowego drugiego rzędu, jeśli funkcje y1 (X) I y2 (X) liniowo niezależny.

Definicja. Funkcje y1 (X) I y2 (X) nazywane są liniowo niezależnymi, jeśli ich stosunek jest stały niezerowy:

y1 (X)/y 2 (X) = k ; k = konst ; k ≠ 0 .

Jednak określenie z definicji, czy te funkcje są liniowo niezależne, jest często bardzo pracochłonne. Istnieje sposób ustalenia liniowej niezależności za pomocą wyznacznika Wrońskiego W(X) :

Jeżeli wyznacznik Wrońskiego nie jest równy zero, to rozwiązania są liniowo niezależne . Jeżeli wyznacznik Wrońskiego wynosi zero, wówczas rozwiązania są zależne liniowo.

Przykład 1. Znajdź ogólne rozwiązanie liniowego jednorodnego równania różniczkowego.

Rozwiązanie. Całkujemy dwukrotnie i jak łatwo zauważyć, aby różnica między drugą pochodną funkcji a samą funkcją była równa zero, rozwiązania należy skojarzyć z wykładnikiem, którego pochodna jest sobie równa. Oznacza to, że rozwiązania częściowe to i .

Ponieważ wyznacznik Wrońskiego

nie jest równa zeru, to rozwiązania te są liniowo niezależne. Dlatego ogólne rozwiązanie tego równania można zapisać jako

.

Liniowe jednorodne równania różniczkowe drugiego rzędu o stałych współczynnikach: teoria i praktyka

Liniowe jednorodne równanie różniczkowe drugiego rzędu o stałych współczynnikach zwane równaniem postaci

y"" + py" + q = 0 ,

Gdzie P I Q- wartości stałe.

O tym, że jest to równanie drugiego rzędu, świadczy obecność drugiej pochodnej żądanej funkcji, a o jej jednorodności świadczy zero po prawej stronie. Wspomniane już powyżej wartości nazywane są współczynnikami stałymi.

Do rozwiązać liniowe jednorodne równanie różniczkowe drugiego rzędu o stałych współczynnikach , należy najpierw rozwiązać tzw. równanie charakterystyczne postaci

k² + pk + Q = 0 ,

co, jak widać, jest zwykłym równaniem kwadratowym.

W zależności od rozwiązania równania charakterystycznego możliwe są trzy różne opcje rozwiązania liniowego jednorodnego równania różniczkowego drugiego rzędu o stałych współczynnikach , które teraz przeanalizujemy. Dla całkowitej pewności założymy, że wszystkie rozwiązania szczegółowe zostały sprawdzone przez wyznacznik Wrońskiego i nie we wszystkich przypadkach jest on równy zero. Wątpiący mogą jednak sprawdzić to sami.

Pierwiastki równania charakterystycznego są rzeczywiste i różne

Innymi słowy, . W tym przypadku rozwiązanie liniowego jednorodnego równania różniczkowego drugiego rzędu o stałych współczynnikach ma postać

.

Przykład 2. Rozwiąż liniowe jednorodne równanie różniczkowe

.

Przykład 3. Rozwiąż liniowe jednorodne równanie różniczkowe

.

Rozwiązanie. Równanie charakterystyczne ma postać , pierwiastki są rzeczywiste i odrębne. Odpowiednie częściowe rozwiązania równania to: i . Ogólne rozwiązanie tego równania różniczkowego ma postać

.

Pierwiastki równania charakterystycznego są rzeczywiste i równe

To jest, . W tym przypadku rozwiązanie liniowego jednorodnego równania różniczkowego drugiego rzędu o stałych współczynnikach ma postać

.

Przykład 4. Rozwiąż liniowe jednorodne równanie różniczkowe

.

Rozwiązanie. Równanie charakterystyczne ma równe pierwiastki. Odpowiednie częściowe rozwiązania równania to: i . Ogólne rozwiązanie tego równania różniczkowego ma postać

Przykład 5. Rozwiąż liniowe jednorodne równanie różniczkowe

.

Rozwiązanie. Równanie charakterystyczne ma równe pierwiastki. Odpowiednie częściowe rozwiązania równania to: i . Ogólne rozwiązanie tego równania różniczkowego ma postać

Instytucja edukacyjna „Państwo Białoruskie

Akademia Rolnicza”

Katedra Matematyki Wyższej

Wytyczne

przestudiowanie tematu „Liniowe równania różniczkowe drugiego rzędu” przez studentów wydziału rachunkowości edukacji korespondencyjnej (NISPO)

Gorki, 2013

Liniowe równania różniczkowe

drugiego rzędu ze stałymiwspółczynniki

1. Liniowe jednorodne równania różniczkowe

Liniowe równanie różniczkowe drugiego rzędu o stałych współczynnikach zwane równaniem postaci

te. równanie, które zawiera żądaną funkcję i jej pochodne tylko w pierwszym stopniu i nie zawiera ich iloczynów. W tym równaniu I
- kilka liczb i funkcja
podawane w określonym odstępie czasu
.

Jeśli
na przerwie
, wówczas równanie (1) przyjmie postać

, (2)

i nazywa się liniowy jednorodny . W przeciwnym razie wywoływane jest równanie (1). liniowa niejednorodność .

Rozważmy funkcję złożoną

, (3)

Gdzie
I
- rzeczywiste funkcje. Jeżeli funkcja (3) jest złożonym rozwiązaniem równania (2), to część rzeczywista
i część urojona
rozwiązania
oddzielnie są rozwiązaniami tego samego jednorodnego równania. Zatem każde złożone rozwiązanie równania (2) generuje dwa rzeczywiste rozwiązania tego równania.

Rozwiązania jednorodnego równania liniowego mają następujące właściwości:

Jeśli jest rozwiązaniem równania (2), to funkcją
, Gdzie Z– dowolna stała będzie również rozwiązaniem równania (2);

Jeśli I istnieją rozwiązania równania (2), a następnie funkcja
będzie także rozwiązaniem równania (2);

Jeśli I istnieją rozwiązania równania (2), a następnie ich kombinacja liniowa
będzie również rozwiązaniem równania (2), gdzie I
– dowolne stałe.

Funkcje
I
są nazywane liniowo zależne na przerwie
, jeśli takie liczby istnieją I
, nie równa się jednocześnie zeru, że na tym przedziale jest równość

Jeśli równość (4) występuje tylko wtedy, gdy
I
, a następnie funkcje
I
są nazywane liniowo niezależny na przerwie
.

Przykład 1 . Funkcje
I
są liniowo zależne, ponieważ
na całej osi liczbowej. W tym przykładzie
.

Przykład 2 . Funkcje
I
są liniowo niezależne w dowolnym przedziale, ponieważ równość
jest możliwe tylko w przypadku gdy
, I
.

1. Konstrukcja rozwiązania ogólnego jednorodności liniowej

równania

Aby znaleźć ogólne rozwiązanie równania (2), należy znaleźć dwa jego liniowo niezależne rozwiązania I . Kombinacja liniowa tych rozwiązań
, Gdzie I
są dowolnymi stałymi i dadzą ogólne rozwiązanie liniowego równania jednorodnego.

Będziemy szukać liniowo niezależnych rozwiązań równania (2) w postaci

, (5)

Gdzie – pewna liczba. Następnie
,
. Podstawmy te wyrażenia do równania (2):

Lub
.

Ponieważ
, To
. Zatem funkcja
będzie rozwiązaniem równania (2), jeśli spełni równanie

. (6)

Równanie (6) nazywa się równanie charakterystyczne dla równania (2). To równanie jest algebraicznym równaniem kwadratowym.

Pozwalać I istnieją pierwiastki tego równania. Mogą być albo rzeczywiste i różne, albo złożone, albo rzeczywiste i równe. Rozważmy te przypadki.

Niech korzenie I równania charakterystyczne są rzeczywiste i odrębne. Wtedy rozwiązaniami równania (2) będą funkcje
I
. Rozwiązania te są liniowo niezależne, gdyż zachodzi równość
można przeprowadzić tylko wtedy, gdy
, I
. Zatem ogólne rozwiązanie równania (2) ma postać

,

Gdzie I
- dowolne stałe.

Przykład 3
.

Rozwiązanie . Równanie charakterystyczne dla tej różnicy będzie następujące
. Po rozwiązaniu tego równania kwadratowego znajdujemy jego pierwiastki
I
. Funkcje
I
są rozwiązaniami równania różniczkowego. Ogólne rozwiązanie tego równania jest następujące
.

Liczba zespolona zwane wyrażeniem formy
, Gdzie I są liczbami rzeczywistymi i
zwaną jednostką urojoną. Jeśli
, a następnie numer
nazywa się czysto urojonym. Jeśli
, a następnie numer
jest identyfikowany liczbą rzeczywistą .

Numer nazywa się częścią rzeczywistą liczby zespolonej, oraz - część wyimaginowana. Jeśli dwie liczby zespolone różnią się od siebie jedynie znakiem części urojonej, wówczas nazywa się je koniugatem:
,
.

Przykład 4 . Rozwiąż równanie kwadratowe
.

Rozwiązanie . Równanie dyskryminacyjne
. Następnie . Podobnie,
. Zatem to równanie kwadratowe ma sprzężone pierwiastki zespolone.

Niech pierwiastki równania charakterystycznego będą zespolone, tj.
,
, Gdzie
. Rozwiązania równania (2) można zapisać w postaci
,
Lub
,
. Według wzorów Eulera

,
.

Następnie , . Jak wiadomo, jeśli funkcja zespolona jest rozwiązaniem liniowego równania jednorodnego, to rozwiązaniami tego równania są zarówno części rzeczywiste, jak i urojone tej funkcji. Zatem rozwiązaniami równania (2) będą funkcje
I
. Od równości

można wykonać tylko wtedy, gdy
I
, to rozwiązania te są liniowo niezależne. Zatem ogólne rozwiązanie równania (2) ma postać

Gdzie I
- dowolne stałe.

Przykład 5 . Znajdź ogólne rozwiązanie równania różniczkowego
.

Rozwiązanie . Równanie
jest charakterystyczna dla danego mechanizmu różnicowego. Rozwiążmy to i uzyskajmy złożone korzenie
,
. Funkcje
I
są liniowo niezależnymi rozwiązaniami równania różniczkowego. Ogólne rozwiązanie tego równania ma postać .

Niech pierwiastki równania charakterystycznego będą rzeczywiste i równe, tj.
. Wtedy rozwiązaniami równania (2) są funkcje
I
. Rozwiązania te są liniowo niezależne, ponieważ wyrażenie może być identycznie równe zeru tylko wtedy, gdy
I
. Zatem ogólne rozwiązanie równania (2) ma postać
.

Przykład 6 . Znajdź ogólne rozwiązanie równania różniczkowego
.

Rozwiązanie . Równanie charakterystyczne
ma równe pierwiastki
. W tym przypadku liniowo niezależnymi rozwiązaniami równania różniczkowego są funkcje
I
. Rozwiązanie ogólne ma postać
.

Jednorodne liniowe równania różniczkowe drugiego rzędu o stałych współczynnikach mają postać

gdzie p i q są liczbami rzeczywistymi. Spójrzmy na przykłady rozwiązywania jednorodnych równań różniczkowych drugiego rzędu ze stałymi współczynnikami.

Rozwiązanie liniowego jednorodnego równania różniczkowego drugiego rzędu zależy od pierwiastków równania charakterystycznego. Równaniem charakterystycznym jest równanie k²+pk+q=0.

1) Jeżeli pierwiastkami równania charakterystycznego są różne liczby rzeczywiste:

wówczas ogólne rozwiązanie liniowego jednorodnego równania różniczkowego drugiego rzędu o stałych współczynnikach ma postać

2) Jeśli pierwiastki równania charakterystycznego są równe liczbom rzeczywistym

(na przykład z dyskryminatorem równym zero), wówczas ogólnym rozwiązaniem jednorodnego równania różniczkowego drugiego rzędu jest

3) Jeśli pierwiastkami równania charakterystycznego są liczby zespolone

(na przykład z dyskryminatorem równym liczbie ujemnej), wówczas ogólne rozwiązanie jednorodnego równania różniczkowego drugiego rzędu zapisuje się w postaci

Przykłady rozwiązywania liniowych jednorodnych równań różniczkowych drugiego rzędu o stałych współczynnikach

Znajdź rozwiązania ogólne jednorodnych równań różniczkowych drugiego rzędu:

Tworzymy równanie charakterystyczne: k²-7k+12=0. Jego wyróżnikiem jest D=b²-4ac=1>0, więc pierwiastki są różnymi liczbami rzeczywistymi.

Zatem ogólnym rozwiązaniem tego jednorodnego DE drugiego rzędu jest:

Ułóżmy i rozwiążmy równanie charakterystyczne:

Korzenie są prawdziwe i wyraźne. Mamy zatem ogólne rozwiązanie tego jednorodnego równania różniczkowego:

W tym przypadku równanie charakterystyczne

Korzenie są różne i ważne. Dlatego tutaj znajduje się ogólne rozwiązanie jednorodnego równania różniczkowego drugiego rzędu

Równanie charakterystyczne

Ponieważ pierwiastki są rzeczywiste i równe, dla tego równania różniczkowego zapisujemy rozwiązanie ogólne jako

Równanie charakterystyczne znajduje się tutaj

Ponieważ dyskryminator jest liczbą ujemną, pierwiastkami równania charakterystycznego są liczby zespolone.

Ogólne rozwiązanie tego jednorodnego równania różniczkowego drugiego rzędu ma postać

Równanie charakterystyczne

Stąd znajdujemy ogólne rozwiązanie tej różnicy. równania:

Przykłady do samodzielnego sprawdzenia.