Funkcje zmiennych losowych. Prawdopodobieństwo i statystyka - podstawowe fakty Przekształcanie zmiennych losowych za pomocą funkcji delta

66.1. Zależność (65.11), która wyznacza gęstość prawdopodobieństwa zmiennej przekształconej poprzez gęstość pierwotnej zmiennej losowej, można uogólnić na przypadek transformacji zmiennych losowych. Niech zmienne losowe mają wspólną gęstość oraz podane są funkcje i zmienne. Należy znaleźć łączną gęstość prawdopodobieństwa zmiennych losowych:

Problem ten różni się od ogólnego sformułowania z punktu 6.4. warunkiem – liczba początkowych zmiennych losowych jest równa liczbie zmiennych przekształconych. Transformację odwrotną (66.1) można znaleźć jako rozwiązanie układu równań ze względu na zmienne. Co więcej, każdy zależy od. Zbiór takich funkcji tworzy transformację odwrotną. Ogólnie rzecz biorąc, transformacja odwrotna jest niejednoznaczna. Niech - - I będzie gałęzią przekształcenia odwrotnego, wówczas obowiązuje zależność:

gdzie suma obejmuje wszystkie gałęzie transformacji odwrotnej,

Transformacja jakobianowa ze zmiennych losowych na zmienne losowe.

Jeżeli z każdego zbioru zmiennych losowych otrzyma się zmienne losowe, wówczas można zastosować wzór (66.2) uzupełniając układ o zmienne losowe, np. o takie zmienne. Jeżeli zatem zmienne losowe z populacji są funkcjonalnie powiązane z pozostałymi wielkościami, to gęstość wymiarowa będzie zawierała funkcje delta.

Relacje (64.4), (64.6) i (66.2) definiują dwie metody rozwiązania problemu obliczania gęstości populacji zmiennych losowych otrzymanych w wyniku transformacji funkcjonalnej pierwotnych zmiennych losowych o łącznej gęstości prawdopodobieństwa. Główną trudnością w zastosowaniu pierwszej metody jest obliczenie całki wymiarowej w dziedzinie zespolonej. W drugiej metodzie główną trudnością jest znalezienie wszystkich gałęzi transformacji odwrotnej.

66.2. Rozważmy prosty przykład obliczenia gęstości prawdopodobieństwa sumy dwóch zmiennych losowych i gęstości zgodnie ze wzorem (66.2). Oczywiście sumę należy wybrać jako pierwszą przekształconą wielkość: , a jako drugą (choć można wziąć i). Zatem transformację funkcjonalną od,do, podaje układ równań:

Transformacja odwrotna jest rozwiązaniem układu równań ze względu na:

Transformacja odwrotna jest wyjątkowa, dlatego w (66.2) suma składa się z jednego składnika. Znajdźmy jakobian transformacji:

Teraz (66.2) for ma postać:

Funkcja jest łączną gęstością prawdopodobieństwa zmiennych losowych i. Stąd gęstość prawdopodobieństwa sumy wyznacza się z warunku spójności:

Rozważmy pierwszą metodę rozwiązania tego samego problemu. Z (64.4) wynika:

Problem sprowadza się do przekształcenia całki w dziedzinie określonej przez warunek. Całkę tę można przedstawić jako:

Stąd gęstość prawdopodobieństwa:

co pokrywa się ze wzorem (66.7).

Chi - kwadratowy rozkład prawdopodobieństwa

67.1. Rozkład chi-kwadrat ze stopniami swobody to rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej, gdzie istnieją niezależne zmienne losowe i wszystkie są gaussowskie z matematycznymi oczekiwaniami i wariancją. Zgodnie ze wzorem (64.3) funkcja rozkładu prawdopodobieństwa zmiennej losowej jest równa

gdzie jest łączną gęstością prawdopodobieństwa wielkości. Pod warunkiem są one niezależne, a zatem równe iloczynowi gęstości jednowymiarowych:

Z (67.1), (67.2) wynika, że gęstość prawdopodobieństwa zmiennej losowej określa się za pomocą wyrażenia:

Najwyraźniej analiza tego wyrażenia jest najprostszym sposobem na jego znalezienie, ponieważ tutaj i (67.3) można przedstawić jako:

Tutaj całka jest równa objętości obszaru - przestrzeni wymiarowej, zamkniętej pomiędzy dwiema hipersferami: - promieniem i - promieniem. Ponieważ objętość hipersfery o promieniu jest proporcjonalna, tj. , To

Objętość między dwiema hipersferami z promieniami i, która określa, aż do współczynnika, całkę (67,4). Podstawmy więc (67,5) do (67,4).

gdzie jest stałą, którą można wyznaczyć z warunku normalizacji:

Podstawmy zatem (67,6) do (67,7).

Niech więc całka (67,8)

gdzie - gamma jest funkcją argumentu. Z (67,8) i (67,9) wyznaczana jest stała, której podstawienie do (67,6) prowadzi do wyniku

67.2. Obliczmy matematyczne oczekiwanie i wariancję zmiennej losowej. Od (67.11)

Podobnie średni kwadrat ilości jest równy

Z (67.12), (67.13) dyspersji

67,3. W zagadnieniach statystyki matematycznej istotne są rozkłady prawdopodobieństwa powiązane z rozkładem normalnym. Są to przede wszystkim - dystrybucja (dystrybucja Pearsona), - dystrybucja (dystrybucja Student) oraz - dystrybucja (dystrybucja Fishera). Rozkład to rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej

gdzie - niezależny i tyle.

Rozkład Studenta (lub - rozkład) jest rozkładem prawdopodobieństwa zmiennej losowej

gdzie i są niezależnymi zmiennymi losowymi, oraz.

Rozkład Fishera (-rozkład) ze stopniami swobody jest rozkładem prawdopodobieństwa zmiennej losowej

Rozkład chi-kwadrat i rozkład prędkości Maxwella

Rozkład Maxwella na prędkości cząsteczek gazu jest rozkładem gęstości prawdopodobieństwa modułu prędkości i jest określony przez zależność

gdzie jest liczbą cząsteczek gazu, liczbą cząsteczek, których moduł prędkości mieści się w przedziale, jest stałą gazu i jest temperaturą bezwzględną gazu. Stosunek to prawdopodobieństwo, że moduł prędkości cząsteczki mieści się w przedziale, a następnie gęstość prawdopodobieństwa modułu prędkości.

Rozkład (68.1) można otrzymać w oparciu o dwa proste stanowiska probabilistyczne definiujące model gazu doskonałego. 1). Rzuty prędkości na osie kartezjańskiego układu współrzędnych są niezależnymi zmiennymi losowymi. 2). Każdy rzut prędkości jest zmienną losową Gaussa z zerowym oczekiwaniem i wariancją. Parametr ustala się na podstawie danych eksperymentalnych.

Wyznaczmy gęstość prawdopodobieństwa zmiennej losowej

Oczywiście ma rozkład chi-kwadrat z trzema stopniami swobody. Dlatego jego gęstość prawdopodobieństwa określa się wzorem (67.11) przy:

ponieważ. Zatem (68,3) jest gęstością prawdopodobieństwa kwadratu prędkości względnej.

Następnym krokiem jest przejście od rozkładu kwadratu prędkości do rozkładu jej wielkości, . Transformacja funkcjonalna ma postać: , i odwrotność, . Zatem transformacja odwrotna jest wyjątkowa. Zatem zgodnie z (65.1) gęstość rozkładu modułu ma postać

Ostatnim krokiem jest przejście od zmiennej losowej do nowej zmiennej losowej

Transformacja odwrotna jest jednoznaczna, zatem gęstość prawdopodobieństwa zmiennej losowej, zgodnie z (65.1), przyjmuje postać

co pokrywa się ze wzorem (68.1).

Zależność (68.5), która określa zależność prędkości względnej i bezwzględnej i wynika z trzeciego stanowiska modelu gazu doskonałego, który jest stanem czysto fizycznym, w przeciwieństwie do dwóch pierwszych warunków probabilistycznych. Trzeci warunek można sformułować jako stwierdzenie dotyczące wartości średniej energii kinetycznej jednej cząsteczki w postaci równości

gdzie jest stałą Boltzmanna i stanowi w rzeczywistości fakt eksperymentalny. Niech, gdzie jest stałą, która jest dalej określona przez warunek (68.7). Aby to znaleźć, wyznaczamy z (68.4) średni kwadrat prędkości względnej:

Następnie średnia energia kinetyczna cząsteczki, gdzie jest masa cząsteczki i biorąc pod uwagę (68,7), lub.

Transformacje zmiennych losowych

Dla każdej zmiennej losowej X określ jeszcze trzy wielkości - wyśrodkowane Y, znormalizowany V i dane U. Wyśrodkowana zmienna losowa Y jest różnicą między daną zmienną losową X i jego matematyczne oczekiwanie M(X), te. Y = X – M(X). Oczekiwanie wyśrodkowanej zmiennej losowej Y równa się 0, a wariancja jest wariancją danej zmiennej losowej: M(Y) = 0, D(Y) = D(X). Funkcja dystrybucyjna F Y(X) wyśrodkowana zmienna losowa Y związane z funkcją dystrybucji F(X) pierwotna zmienna losowa X stosunek:

F Y(X) = F(X + M(X)).

Gęstości tych zmiennych losowych spełniają równość

dla Y(X) = F(X + M(X)).

Znormalizowana zmienna losowa V jest stosunkiem danej zmiennej losowej X do odchylenia standardowego, tj. . Oczekiwanie i wariancja znormalizowanej zmiennej losowej V wyrażone poprzez cechy X Więc:

Gdzie w– współczynnik zmienności pierwotnej zmiennej losowej X. Dla funkcji dystrybucji F V(X) i gęstość f V(X) znormalizowana zmienna losowa V mamy:

Gdzie F(X) – rozkład pierwotnej zmiennej losowej X, A F(X) – jego gęstość prawdopodobieństwa.

Zredukowana zmienna losowa U jest wyśrodkowaną i znormalizowaną zmienną losową:

Dla danej zmiennej losowej

Znormalizowane, wyśrodkowane i zredukowane zmienne losowe są stale wykorzystywane zarówno w badaniach teoretycznych, jak i w algorytmach, oprogramowaniu, dokumentacji regulacyjnej, technicznej i instruktażowej. W szczególności ze względu na równości umożliwiają uproszczenie uzasadniania metod, formułowania twierdzeń i wzorów obliczeniowych.

Stosuje się transformacje zmiennych losowych i bardziej ogólne. Więc jeśli Y = topór + B, Gdzie A I B– w takim razie kilka liczb

Przykład 7. Jeśli następnie Y jest zredukowaną zmienną losową, a wzory (8) przekształcają się we wzory (7).

Z każdą zmienną losową X możesz powiązać wiele zmiennych losowych Y, dane ze wzoru Y = topór + B w różnych A> 0 i B. Zestaw ten nazywa się rodzina z przesunięciem skali, generowane przez zmienną losową X. Funkcje dystrybucji F Y(X) stanowią rodzinę rozkładów z przesunięciem skali generowaną przez funkcję dystrybucji F(X). Zamiast Y = topór + B często korzystaj z nagrywania

Numer Z nazywa się parametrem przesunięcia i liczbą D- parametr skali. Pokazuje to wzór (9). X– wynik pomiaru określonej wielkości – trafia do U– wynik pomiaru tej samej wielkości w przypadku przesunięcia początku pomiaru do punktu Z, a następnie użyj nowej jednostki miary, in D razy większy od starego.

Dla rodziny przesunięć skali (9) rozkład X nazywany jest standardem. W probabilistycznych statystycznych metodach podejmowania decyzji i innych badaniach stosowanych stosuje się standardowy rozkład normalny, standardowy rozkład Weibulla-Gnedenko, standardowy rozkład gamma itp. (patrz poniżej).

Stosowane są również inne transformacje zmiennych losowych. Na przykład dla dodatniej zmiennej losowej X rozważają Y= log X, gdzie lg X– logarytm dziesiętny liczby X. Łańcuch równości

F Y (x) = P( lg X< x) = P(X < 10x) = F( 10X)

łączy funkcje dystrybucyjne X I Y.

Zadaniem głównym jest ustalenie prawa rozkładu funkcji zmiennych losowych zgodnie z zadanym prawem rozkładu argumentów. Ogólny schemat rozumowania jest tutaj następujący. Niech będzie prawem dystrybucji. Wtedy oczywiście mamy, gdzie jest całkowity odwrotny obraz półprzedziału, tj. zbiór tych wartości wektora £ z ZG, dla którego. To ostatnie prawdopodobieństwo można łatwo znaleźć, ponieważ znane jest prawo rozkładu zmiennych losowych £. Podobnie w zasadzie można znaleźć prawo rozkładu funkcji wektorowej argumentów losowych. Złożoność implementacji obwodu zależy jedynie od konkretnego rodzaju funkcji (p oraz prawa rozkładu argumentów. Rozdział ten poświęcony jest implementacji obwodu w określonych sytuacjach, które są istotne dla zastosowań. §1. Funkcje funkcji jedna zmienna Niech £ będzie zmienną losową, której prawo rozkładu jest dane przez dystrybuantę F( (x), rj = Jeżeli F4(y) jest dystrybuantą zmiennej losowej rj, to z powyższych rozważań wynika FUNKCJE ZMIENNE LOSOWE gdzie y) oznacza zupełny odwrotny obraz półprostej (-oo, y). Zależność (I) jest oczywistą konsekwencją (*) i dla rozpatrywanego przypadku ilustruje to rys. 1. Monotoniczna transformacja zmienna losowa Niech (p(t) będzie ciągłą funkcją monotoniczną (dla określoności, monotonicznie nierosnącą) oraz r) = - Dla dystrybuanty Fn(y) otrzymujemy (tutaj jest funkcja , odwrotność istnienia co zapewnia monotoniczność i ciągłość.Dla monotonicznie niemalejącego) podobne obliczenia dają W szczególności, jeśli - jest liniowe, to dla a > O (ryc. 2) Przekształcenia liniowe nie zmieniają charakteru rozkładu, a jedynie wpływają na jego parametry. Transformacja liniowa zmiennej losowej jednostajna na [a, b] Niech Transformacja liniowa normalnej zmiennej losowej Niech i ogólnie jeśli Niech na przykład 0. Z (4) wnioskujemy, że Wstawiamy ostatnią całkę To podstawienie daje ważne tożsamość, która jest źródłem wielu interesujących zastosowań, można uzyskać z relacji (3) z Lematem. Jeśli jest zmienną losową o funkcji rozkładu ciągłego F^(x), to zmienna losowa r) = jest jednostajna na . Mamy - monotonicznie nie maleje i mieści się w granicach o Zatem FUNKCJE ZMIENNYCH LOSOWYCH Na przedziale, który otrzymujemy Jednym z możliwych sposobów wykorzystania sprawdzonego lematu jest np. procedura modelowania zmiennej losowej o dowolnej wartości prawo dystrybucji F((x). Jak wynika z lematu, w tym celu wystarczy uzyskać wartości jednorodne na )