Jakie są liczby racjonalne i które irracjonalne przykłady. Liczby

Liczba wymierna - liczba reprezentowana przez zwykłą frakcję m / n, gdzie cyfra M jest liczbą całkowitą, a mianownik N jest numerem naturalnym. Każda racjonalna liczba jest ideologiczna w postaci okresowej niekończącej się frakcji dziesiętnej. Zestaw liczb racjonalnych jest oznaczony przez Q.

Jeśli prawidłowy numer nie jest racjonalny, to to liczba niewymierna. Frakcje dziesiętne wyrażające liczby irracjonalne są nieskończone, a nie okresowe. Wiele irracjonalnych numerów jest zwykle wskazywanych przez tytuł Latin Letter I.

Wezwany jest prawidłowy numer algebraicznyJeśli jest źródłem niektórych wielomianów (niezerowy stopień) z racjonalnymi współczynnikami. Każda nonalgebraic numer jest nazywany niedościgniony.

Niektóre właściwości:

Wiele liczb racjonalnych znajduje się na osi numerycznej wszędzie gęsto: pomiędzy dowolnymi dwiema liczbami racjonalnymi, znajduje się co najmniej jedna liczba racjonalna (a stąd nieskończony zestaw liczb racjonalnych). Niemniej jednak okazuje się, że zestaw liczb racjonalnych Q, a zestaw liczb naturalnych N są równoważne, czyli możliwe jest ustanowienie wzajemnie jednoznacznego dopasowania między nimi (wszystkie elementy zestawu liczb Racjonalnych można wynająć).

Ustawione numery Rational są zamknięte w stosunku do dodawania, odejmowania, mnożenia i podziału, czyli kwotę, różnicę, produkt i prywatne dwie liczby racjonalne są również liczbami racjonalnymi.

Wszystkie liczby racjonalne są algebraiczne (przeciwne oświadczenie jest nieprawidłowe).

Każda prawdziwa liczba transcendentalna jest irracjonalna.

Każda irracjonalna liczba jest algebraiczna lub transcendentalna.

Wiele irracjonalnych numerów na gęsto na numerycznym bezpośrednie: pomiędzy dowolnymi dwoma liczbami istnieje liczba irracjonalna liczba (a zatem nieskończony zestaw liczb irracjonalnych).

Poniesione jest wiele nieracjonalnych numerów.

Podczas rozwiązywania zadań jest wygodne razem z irracjonalną liczbą A + B√ C (gdzie A, B oznacza liczby racjonalne, C - cały kwadrat liczby naturalnych) Rozważ liczbę "koniugatu" A - B√ C: jego suma i pracuj z inicjałami - liczbami racjonalnymi. Tak więc A + B√ C i A - B√ C są korzeniami równania kwadratowego z współczynnikami całkowitymi.

Zadania z rozwiązaniami

1. Udowodnij to

a) numer √ 7;

b) liczba LG 80;

c) liczba √ 2 + 3 √ 3;

jest irracjonalny.

a) Załóżmy, że liczba jest √ 7 racjonalna. Następnie są takie wzajemnie proste p i q, który jest √ 7 \u003d P / Q, z miejsca, w którym dostajemy p 2 \u003d 7Q 2. Ponieważ P i Q są wzajemnie proste, a następnie p 2, a zatem p są podzielone przez 7. Następnie p \u003d 7K, gdzie k jest pewną liczbą naturalną. Stąd Q 2 \u003d 7K 2 \u003d PK, który sprzeczny z faktem, że P i Q są wzajemnie proste.

Założenie jest fałszywe, oznacza to, że liczba √ 7 jest irracjonalna.

b) Załóżmy, że liczba LG 80 jest racjonalna. Następnie są takie naturalne p i q, że lg 80 \u003d p / q lub 10 p \u003d 80 q, od miejsca, w którym otrzymujemy 2 p-4q \u003d 5 q-p. Biorąc pod uwagę, że liczby 2 i 5 są wzajemnie proste, uzyskujemy, że ostatnia równość jest możliwa tylko w P-4Q \u003d 0 i QP \u003d 0. z Gdy P \u003d Q \u003d 0, która nie jest możliwa, ponieważ P i Q są wybierane przez naturalny.

Założenie jest fałszywe, oznacza to, że liczba LG 80 jest irracjonalna.

c) oznaczają ten numer przez x.

Następnie (x - √ 2) 3 \u003d 3 lub x 3 + 6x - 3 \u003d √ 2 · (3x 2 + 2). Po budowie tego równania na placu otrzymujemy, że X powinien zaspokoić równanie

x 6 - 6x 4 - 6x 3 + 12x 2 - 36x + 1 \u003d 0.

Jego racjonalne korzenie mogą być tylko liczbami 1 i -1. Sprawdź, czy 1 i -1 nie są korzeniami.

Więc ta liczba jest √ 2 + 3 √ 3 \u200b\u200bjest irracjonalna.

2. Znane jest, że liczby A, B, √ a -√ b, - Rational. Udowodnij to √ a i √ b- Również liczby racjonalne.

Rozważ pracę

(√ a - √ b) · (√ a + √ b) \u003d a - b.

Numer √ A + √ B, który jest równy stosunku liczb a - b i √ a -√ b, Jest racjonalny, ponieważ prywatny od dzielenia dwóch liczb racjonalnych jest racjonalnym numerem. Suma dwóch liczb racjonalnych

½ (√ A + √ b) + ½ (√ a - √ b) \u003d √ a

- liczba jest racjonalna, ich różnica,

½ (√ a + √ b) - ½ (√ a - √ b) \u003d √ b,

również racjonalna liczba, która była wymagana do udowodnienia.

3. Udowodnij, że istnieją pozytywne irracjonalne numery A i B, dla których liczba A B jest naturalna.

4. Czy są jakieś racjonalne liczby A, B, C, D spełniający równość

(A + B √ 2) 2N + (C + D√ 2) 2N \u003d 5 + 4√ 2,

gdzie n jest naturalnym numerem?

Jeśli przeprowadza się równość, podana w stanie, a liczba A, B, C, D jest racjonalna, wówczas przeprowadzana jest równość:

(A - b √ 2) 2N + (C - D√ 2) 2N \u003d 5 - 4√ 2.

Ale 5 - 4√ 2 (A - B√ 2) 2N + (C - D√ 2) 2N\u003e 0. Wynikowa sprzeczność dowodzi, że początkowe równość jest niemożliwe.

Odpowiedź: Nie istniaj.

5. Jeśli segmenty o długościach A, B, C tworzą trójkąt, a następnie dla wszystkich n \u003d 2, 3, 4 ,. . . Segmenty o długościach n √ a, n √ b, n √ C po prostu tworzą trójkąt. Udowodnij to.

Jeśli segmenty o długościach A, B, C tworzą trójkąt, a następnie nierówność trójkąta daje

Dlatego mamy

(n √ a + n √ b) n\u003e a + b\u003e c \u003d (n √ c) n,

N √ a + n √ b\u003e n √ c.

Pozostałe przypadki weryfikacji nierówności trójkąta są traktowane podobnie, skąd następuje.

6. Udowodnij, że nieskończoną frakcję dziesiętną 0,1234567891011121314 ... (po średnikach z rzędu, wszystkie numery naturalne są zapisywane w porządku) jest nieracjonalną liczbą.

Jak wiadomo, liczby racjonalne są wyrażone przez frakcje dziesiętne, które mają okres od jakiegoś znaku. Dlatego wystarczy, aby udowodnić, że ta frakcja nie jest okresowa od żadnego znaku. Przypuśćmy, że tak nie jest, a pewna sekwencja t, składająca się z numerów N, jest okresem frakcji, począwszy od pora po przecinku. Jest oczywiste, że wśród liczb po znaczniku M-th nie ma niezerowe, dlatego w sekwencji liczb jest niezerowa cyfra. Oznacza to, że zaczynając od numerów M-T po przecinku, wśród dowolnych numerów N z rzędu istnieje niezerowa cyfra. Jednak w rejestrze dziesiętnej tej frakcji musi istnieć płyta dziesiętna numeru 100 ... 0 \u003d 10 K, gdzie k\u003e m i k\u003e n. Oczywiste jest, że ten wpis spełnia prawo do liczb M-OH i zawiera więcej N zer z rzędu. W ten sposób otrzymujemy sprzeczność, ostateczne dowody.

7. Nieskończona ułamek dziesiętny otrzymuje się 0, 1 a 2 .... Udowodnij, że liczby w swoim rekordzie dziesiętnej można zmienić tak, że wynikowa frakcja wyróżnia liczbę racjonalną.

Przypomnijmy, że frakcja wyraża racjonalną liczbę w tym i tylko w tym przypadku, gdy jest okresowy, zaczynając od niektórych znaków. Dane od 0 do 9 Podzielmy na dwie klasy: W pierwszej klasie obejmiemy te numery, które znajdują się w oryginalnej frakcji. Ostateczna liczba razy w drugiej klasie - te napotkane w pierwotnej części nieskończonej liczby czasy. Zaczynamy napisać okresową frakcję, którą można uzyskać z początkowej permutacji liczb. Początkowo po zero i przecinku zapisz wszystkie liczby z pierwszej klasy w dowolnej kolejności - co tyle razy, ile znajduje się w nagraniu pierwotnej frakcji. Nagrywane cyfry pierwszej klasy poprzedzą okres ułamkowej części ułamka dziesiętnego. Następnie piszemy w jakimś kolejności do jednego czasu liczby z drugiej klasy. Ta kombinacja zadeklaruje okres i powtórzy jej nieskończoną liczbę razy. Zatem odprowadziliśmy pożądaną frakcję okresową wyrażającą pewną liczbę racjonalną.

8. Udowodnij, że w każdej nieskończonej części dziesiętnej występuje sekwencja dziesiętnych znaków dowolnej długości, która w rozkładzie Fraci występuje nieskończenie wielokrotnie.

Niech będzie arbitralnie określony numer naturalny. Złamamy tę nieskończoną frakcję dziesiętną na segmentach, na m numerach w każdym. Będzie nieskończenie wielu z tych segmentów. Z drugiej strony, różne systemy składające się z cyfr M istnieje tylko 10 m, tj. Ostateczny numer. W związku z tym co najmniej jeden z tych systemów powinien być tutaj powtarzany w nieskończoność wiele razy.

Komentarz. Dla irracjonalnych numerów √ 2, π lub mI. Nie wiemy nawet, która cyfra jest powtarzana nieskończenie wielokrotnie w reprezentowaniu ich nieskończonymi frakcjach dziesiętnych, chociaż każda z tych liczb, jak łatwo można udowodnić, zawiera co najmniej dwie różne takie numery.

9. Udowodnij element podstawowy, że pozytywny korzeń równania

jest irracjonalny.

Dla x\u003e 0 lewa część równania wzrasta wraz z zwiększeniem X, i łatwo jest zobaczyć, że w x \u003d 1,5 jest mniejszy niż 10, a w X \u003d 1,6 - więcej niż 10. Dlatego jedynym dodatnim korzeniem Równanie znajduje się w przedziale (1,5; 1,6).

Piszemy korzeń jako nierozwiązujący frakcję P / Q, gdzie p i Q są pewnymi wzajemnie prostymi numerami naturalnymi. Następnie w X \u003d P / Q Równanie zajmie następującą formę:

p 5 + PQ 4 \u003d 10Q 5,

od tego, z którego wynika z tego, że P oznacza dzielnik 10, dlatego p jest równy jednej z liczb 1, 2, 5, 10. Jednak przepisując frakcje z cyframi 1, 2, 5, 10, natychmiast zauważamy, że żaden z nich spada wewnątrz interwału (1,5; 1,6).

Tak więc pozytywny korzeń równania źródła nie może być reprezentowany jako zwykłą frakcję, co oznacza irracjonalny numer.

10. A) Czy występują trzy takie punkty A, B i C na płaszczyźnie, które dla dowolnego punktu x długość co najmniej jednego z segmentów XA, XB i XC Irracjonal?

b) Współrzędne wierzchołków trójkąta są racjonalne. Udowodnij, że współrzędne centrum opisanego okręgu są również racjonalne.

c) Czy jest taka kula, na której istnieje dokładnie jeden racjonalny punkt? (Rational Punkt - punkt, który ma wszystkie trzy współrzędne kartezjańskie - liczby racjonalne).

a) Tak, istnieje. Niech C będzie środkiem AB. Następnie XC 2 \u003d (2xa 2 + 2XB 2 - AB 2) / 2. Jeśli numer AB 2 jest irracjonalnie, numery XA, XB i XC nie mogą być jednocześnie racjonalne.

b) Niech (A 1; B 1) (A 2; B2) i (A 3; B3) - współrzędne wierzchołków trójkąta. Współrzędne centrum jego opisanego kręgu są ustalane przez system równań:

(X - A 1) 2 + (Y - B 1) 2 \u003d (X - A 2) 2 + (Y - B2) 2,

(X - A 1) 2 + (Y - B 1) 2 \u003d (X - A 3) 2 + (Y - B3) 2.

Łatwo jest sprawdzić, czy te równania są liniowe, a zatem rozwiązanie systemu równań danego jest racjonalnie.

c) taka sfera istnieje. Na przykład sfera z równaniem

(X - √ 2) 2 + Y2 + Z2 \u003d 2.

Punkt o z współrzędnymi (0; 0; 0) - Rational Punkt leżący na tym obszarze. Pozostałe punkty sfery są irracjonalne. Udowodni, że to udowadniamy.

Załóż na odwrót: Niech (x; Y; Z) - racjonalny punkt sfery, różni się od punktu O. Jasne jest, że x jest inny niż 0, ponieważ w x \u003d 0 znajduje się pojedyncze rozwiązanie (0; 0; 0) Nie jesteśmy teraz zainteresowani. Wsporniki przywołane i ekspresowe √ 2:

x 2 - 2√ 2 x + 2 + Y2 + Z 2 \u003d 2

√ 2 \u003d (x 2 + y2 + z 2) / (2x),

co nie może być z racjonalnym X, Y, Z i irracjonalnym √ 2. Tak, o (0; 0; 0) jest jedynym racjonalnym punktem w rozpatrywanym sektorze.

Zadania bez rozwiązań

1. Udowodnij, że liczba

[Sqrt (10+ sqrt (24) + sqrt (40) + sqrt (60))

jest irracjonalny.

2. W czym wykonuje się równość M i N (5 + 3√ 2) M \u003d (3 + 5√ 2) n?

3. Czy istnieje taka liczba, tak aby liczba A jest √ 3 i 1 / A + √ 3 były całkowitą?

4. Czy liczby 1, √ 2, 4 będą członkami (niekoniecznie sąsiednich) progresji arytmetycznej?

5. Udowodnij, że każdy naturalny N, równanie (X + O√ 3) 2n \u003d 1 + √ 3 nie ma rozwiązań w liczbach racjonalnych (x; y).

Jakie są liczby irracjonalne? Dlaczego są tak zwane? Gdzie są używane i czym są obecni? Niewiele może nie myśleć, aby odpowiedzieć na te pytania. Ale w rzeczywistości odpowiedzi na nich są dość proste, chociaż nie każdy jest potrzebny w bardzo rzadkich sytuacjach.

Esencja i oznaczenie

Numery irracjonalne są nieskończonymi nieza okresowymi potrzebami wprowadzenia tej koncepcji ze względu na fakt, że rozwiązanie nowych problemów, które wcześniej nie wcześniej istniejące koncepcje ważnego lub rzeczywistego, liczby całkowitej, naturalnej i racjonalnej. Na przykład, aby obliczyć, kwadrat, którego wartość wynosi 2, konieczne jest stosowanie niekończących się niekończących się frakcji dziesiętnych. Ponadto wiele prostych równań nie ma również rozwiązania bez wprowadzenia koncepcji liczby irracjonalnej.

Ten zestaw jest wskazany jako I. i, jak już jasna, wartości te nie mogą być reprezentowane jako prosta frakcja, w liczniku, którego będzie liczba całkowita i w mianowniku -

Po raz pierwszy lub w inny sposób indyjscy matematycy w VII wieku stanęli przed tym zjawiskiem, gdy stwierdzono, że kwadratowe korzenie z niektórych wartości nie można wyraźnie wskazać. I pierwszym dowodem istnienia takich liczb przypisuje się hipagorom hippasowi, co uczyniło go w procesie studiowania równie widocznego trójkąta prostokątnego. Poważny wkład w badanie tego zestawu przyniósł więcej naukowców, którzy mieszkali do naszej epoki. Wprowadzenie koncepcji liczb irracjonalnych doprowadziło do rewizji istniejącego systemu matematycznego, dlatego są tak ważne.

Pochodzenie nazwy.

Jeśli współczynnik przetłumaczony z łacińskiej - to jest "frakcja", "postawa", a następnie przedrostek "il"
podaje to słowo o wartości przeciwnej. W ten sposób nazwa zestawu tych liczb sugeruje, że nie mogą być skorelowane z całością lub frakcyjnym, mają oddzielne miejsce. Oznacza to z ich istoty.

Miejsce w klasyfikacji ogólnej

Irracjonalne numery wraz z racjonalnymi odnosi się do grupy rzeczywistych lub ważnych, co z kolei odnoszą się do kompleksu. Nie ma jednak podzbiorów, jednak rozróżniają odmiany algebraicznego i transcendentnej, które zostaną omówione poniżej.

Nieruchomości

Ponieważ numery irracjonalne są częścią zestawu ważnego, wszystkie ich właściwości mają zastosowanie do nich, które są badane w arytmetyce (nazywane są również głównymi przepisami algebraicznymi).

a + B \u003d B + A (TUBUTATION);

(A + B) + C \u003d A + (B + C) (skojaństwo);

a + (-a) \u003d 0 (istnienie przeciwnej liczby);

ab \u003d ba (ustawa o ruchu);

(Ab) c \u003d a (bc) (dystrybucja);

a (B + C) \u003d AB + AC (prawo dystrybucyjne);

a X 1 / A \u003d 1 (istnienie liczby odwrotnej);

Porównanie przeprowadza się również zgodnie z ogólnymi przepisami prawnymi i zasadami:

Jeśli A\u003e B i B\u003e C, a następnie A\u003e C (tranzytatywność stosunku) i. t. d.

Oczywiście wszystkie nieracjonalne numery można przekształcić za pomocą podstawowej akcji arytmetycznej. Nie ma specjalnych zasad.

Ponadto akcja Axymartes Archimedes jest stosowana do liczb irracjonalnych. Stwierdza, że \u200b\u200bdla dwóch dużych wielkości A i B twierdzenie jest prawdziwe, że biorąc za znaczną liczbę razy, możesz przekroczyć b.

Za pomocą

Pomimo faktu, że w zwykłym życiu nie jest tak często do obliczenia, nierracjonalne liczby nie są podatne na rachunek. Ich ogromny zestaw, ale są praktycznie niezauważalne. Wszędzie otaczamy numery irracjonalne. Przykłady znane dla wszystkich są liczbę Pi, równych 3 1415926 ..., lub E, w rzeczywistości podstawą logarytmu naturalnego, 2,718281828 ... w algebry, trygonometrii i geometrii używają ich na stałe. Nawiasem mówiąc, słynna wartość "złotej sekcji", która jest stosunkiem zarówno najbardziej do mniejszych, jak i przeciwnych, również

odnosi się do tego zestawu. Mniej znany "srebrny" - też.

Na drodze numerycznej znajdują się bardzo szczelne, tak że istnieją irracjonalne znajdowanie między dowolnymi dwoma wartościami związanymi z zestawem racjonalnego.

Do tej pory istnieje wiele nierozwiązanych problemów związanych z tym zestawem. Istnieją kryteria, takie jak miara irracjonalności i normalności liczby. Matematyka nadal zbadają najważniejsze przykłady przynależności do określonej grupy. Na przykład uważa się, że E jest normalnym numerem, tj. Prawdopodobieństwo różnych liczb w jej nagraniach jest takie samo. Jeśli chodzi o PI, badanie jest nadal prowadzone. Miara irracjonalności nazywana jest wartością wskazującą, jak dobra jedna lub inna może być w przybliżeniu racjonalna liczba.

Algebraiczny i transcendentalny

Jak już wspomniano, irracjonalne numery są warunkowo podzielone na algebraiczną i transcendentalną. Warunkowo, ponieważ, ściśle mówiąc, ta klasyfikacja jest używana do podzielenia zestawu C.

W ramach tego oznaczenia są ukryte, które obejmują ważne lub prawdziwe.

Tak więc algebraica nazywana jest taką wartością, która jest źródłem wielomianu, a nie równa zero. Na przykład, pierwiastek kwadratowy 2 będzie odnosić się do tej kategorii, ponieważ jest to roztwór równania x 2 - 2 \u003d 0.

Niemniej jednak pozostałe liczby rzeczywiste, które nie spełniają tego warunku, nazywane są transcendentalne. Gatunek ten obejmuje najbardziej znane i już wspomniane przykłady - liczba PI i podstawy logarytmu naturalnego E.

Co ciekawe, żadne, ani drugie zostało pierwotnie hodowane przez matematyków w tej pojemności, ich irracjonalność i transcendencja okazała się wiele lat po odkryciu. W przypadku dowodu PI pokazano w 1882 r. I uprościł w 1894 r., Który położył kres sporów wyzwania kwadratów koła, które trwały 2,5 tys. Lata. Nadal nie jest badany do końca, więc na pracy jest współczesni matematycy. Nawiasem mówiąc, pierwsze dość dokładne obliczenie tej wartości przeprowadzono przez archimedes. Przed nim wszystkie obliczenia były zbyt przybliżone.

Dla E (liczba Euler lub NEFE), jego dowód jego transcendencji znaleziono w 1873 roku. Jest używany w rozwiązywaniu równań logarytmicznych.

Inne przykłady są wartościami zatok, cosinus i styczna dla dowolnych wartości algebraicznych nie zerowych.

Zestaw wszystkich numerów naturalnych jest oznaczony literą N. Numbers Natural, są to liczby, których używamy do relacji elementów: 1,2,3,4, ... w niektórych źródłach, numer 0 obejmuje również Numery naturalne.

Zestaw wszystkich liczb całkowitych jest oznaczony literą Z. liczbami całkowitymi są liczbami naturalnymi, zerowymi i negatywnymi:

1,-2,-3, -4, …

Teraz dołącz do zestawu wszystkich liczb całkowitych wielu ze wszystkich zwykłych frakcji: 2/3, 18/17, -4/5 i że dalej. Potem dostajemy wiele liczb racjonalnych.

Wiele liczb racjonalnych

Zestaw wszystkich numerów racjonalnych jest oznaczony literą Q. Zestaw wszystkich liczb racjonalnych (Q) jest zestawem składającym się z liczb formularza M / N, -M / N i numer 0. Każda liczba naturalna może działać jako n , m. Należy zauważyć, że wszystkie liczby racjonalne mogą być reprezentowane w formie skończonej lub nieskończonej frakcji dziesiętnej detalicznej. Prawdą jest również, że każda skończona lub nieskończona okresowa ułamek dziesiętny można zapisać w formie racjonalnej liczby.

Ale jak być na przykład z liczbą 2,0100100010 ...? Jest to nieskończenie niezrozumiałe ułamek dziesiętny. I nie ma zastosowania do liczb racjonalnych.

W roku szkolnym algebrasy są badane tylko przez prawdziwe (lub ważne) liczby. Zestaw wszystkich ważnych liczb jest wskazywany przez literę R. Zestaw R składa się ze wszystkich racjonalnych i wszystkich irracjonalnych numerów.

Pojęcie liczb irracjonalnych

Numery irracjonalne są nieskończonymi dziesiętnymi frakcjami nieredaktycznymi. Numery irracjonalne nie mają specjalnego oznaczenia.

Na przykład, wszystkie liczby uzyskane przez ekstrakcję korzenia kwadratowego z liczb naturalnych, które nie są kwadratami liczb naturalnych są irracjonalne. (√2, √3, √5, √6 itp.).

Ale nie sądzę, że irracjonalne numery są uzyskiwane tylko przez ekstrakcję kwadratowych korzeni. Na przykład, numer "Pi" jest również irracjonalny i uzyskuje się przez podział. I jak nie próbujesz, nie będziesz mógł go zdobyć, usuwając pierwiastek kwadratowy z dowolnej liczby naturalnej.

Liczba niewymierna - to jest Łącznaktóry nie jest racjonalny, to znaczy, nie może być reprezentowany jako frakcja, gdzie - liczby całkowite ,. Numer irracjonalny może być reprezentowany jako nieskończoną nieuzasadnioną ułamek dziesiętny.

Wiele irracjonalnych numerów jest zwykle oznaczonych tytułem Latin Letter w śmiałym przeszyciu bez wypełnienia. Tak więc :, i.e. Wiele nierracjonalnych numerów ma różnica zestawów liczb realnych i racjonalnych.

Na temat istnienia liczb irracjonalnych, dokładniej cuts, które są niewymierne z segmentem jednej długości, już wiedział, że starożytni matematycy: były znane, na przykład, niekompletna przekątna i bok kwadratu, która jest równoważna do irracjonalności numeru.

Nieruchomości

• Każda liczba rzeczywista może być napisana w postaci nieskończonej frakcji dziesiętnej, podczas gdy irracjonalne numery i tylko one one rejestrowane przez nieuzasadnione nieskończone frakcje dziesiętne.
• Irracjonalne numery określają odliczenia sekcji w zestawie liczb racjonalnych, które w niższej klasie nie ma największego, aw górnej części nie ma najmniejszej liczby.
• Każda prawdziwa liczba transcendentalna jest irracjonalna.
• Każda irracjonalna liczba jest algebraiczna lub transcendentalna.
• Wiele irracjonalnych numerów na gęsto na numerycznym bezpośrednie: między dowolnymi dwoma liczbami istnieje numer irracjonalny.
• Kolejność z zestawu liczb irracjonalnych jest izomorficzna wokół zestawu rzeczywistych liczb transcendentalnych.
• Wiele nieracjonalnych numerów jest niepotrzebne, jest mnogość drugiej kategorii.

Przykłady.

Irracjonalni to:

Przykłady dowodów irracjonalności

Root z 2.

Załóżmy, że odwrotnie: racjonalny, czyli reprezentowany w formie niestabilnej frakcji, gdzie jest liczba całkowita, ale liczba naturalna. Wzniesiony szacunkową równość na placu:

Stąd wynika z tego, co jest wyraźnie, oznacza to i. Niech całość. Następnie

W związku z tym oznacza to, że jest również. Mamy, że są czarne, które są sprzeczne z niespójnością frakcji. Oznacza to, że początkowe założenie było nieprawidłowe i jest numerem irracjonalnym.

Logaria binarna numer 3

Załóżmy, że odwrotnie: Rational, to znaczy wydaje się w postaci frakcji, gdzie i - liczby całkowite. Ponieważ można wybrać pozytywny. Następnie

Ale nawet i w dziwnych. Dostajemy sprzeczność.

mI.

Historia

Koncepcja Irracjonalnych numerów była niejawnie postrzegana przez Indii Matematycy w VII wieku BC, kiedy Manava (ok. 750 pne. E. - OK. 690 pne. Er) stwierdzono, że kwadratowe korzenie niektórych liczb naturalnych, takich jak 2 i 61, nie można wyrazić.

Pierwszym dowodem istnienia liczby irracjonalnych jest zwykle przypisywany hipopazowi z metapontu (ok. 500 gg), Pythagorean, który znalazł ten dowód, studiując długość boków pentagramu. W czasie Pitagorów uważano, że istnieje pojedyncza długość, wystarczająco mały i niepodzielny, który jest liczbą całkowitą w dowolnym segmencie. Jednak hipaty uzasadniają, że nie ma jednej długości, ponieważ założenie jego istnienia prowadzi do sprzeczności. Wykazało, że jeśli hipotenuse w sprawiedliwym trójkącie prostokątnym zawiera jednostkę całkowitą pojedynczych segmentów, to liczba ta powinna być nawet nawet i dziwna. Dowód wyglądał następująco:

• Stosunek długości zagłębiów do długości stosunku konwencjonalnego trójkąta prostokątnego może być wyrażone jako zA.:b.gdzie zA. i b. Wybrał najmniejszy możliwy.
• Według teoretyki Pitagore: zA.² \u003d 2. b.².
• Tak jak zA.² nawet. zA. Musi być nawet (ponieważ kwadrat nieparzystej byłby dziwny).
• ISOFAR AS. zA.:b. nietrwały b. Musi być dziwny.
• Tak jak zA. Nawet, oznaczony zA. = 2y..
• Następnie zA.² \u003d 4. y.² \u003d 2. b.².
• b.² \u003d 2. y.² Dlatego b.² nawet, a następnie i b. parzysty.
• Jednak okazało się to b. dziwny. Sprzeczność.

Grecka matematyka zwana tym stosunkiem nieuczciwych wartości alogos. (niewyrażalny), ale zgodnie z legendami nie dawał hipapisyjny z powodu szacunku. Istnieje legenda, że \u200b\u200bhipaty zrobiły odkrycie, będąc na wycieczce morskiej i został rzucony za burtę z innymi Pitagorańskimi "w celu stworzenia elementu wszechświata, który zaprzecza doktrynie, że wszystkie podmioty we wszechświecie można zmniejszyć do liczb całkowitych i ich relacje. " Otwarcie hippasów dostarczyło poważny problem przed matematyką Pitagoradu, niszcząc założenie, które upadły u podstawy, że liczby i obiekty geometryczne są zjednoczone i nierozłączne.

Jakie numery są irracjonalne? Liczba niewymierna - To nie jest racjonalna liczba rzeczywista, tj. nie może być reprezentowany jako frakcja (jako stosunek dwóch liczb całkowitych), gdzie m. - Integer. n.- Liczba naturalna . Liczba niewymierna Można sobie wyobrazić jako nieskończoną nieuzasadnioną frakcję dziesiętną.

Liczba niewymierna nie może mieć dokładnego znaczenia. Tylko w formacie 3 33333 .... na przykład, Pierwiastek kwadratowy z dwóch - jest liczbą irracjonalną.

Co jest irracjonalne? Liczba niewymierna (W przeciwieństwie do racjonalnego), nazywa się nieskończoną dziesiętną frakcję nieuzasadową.

Wiele nieracjonalnych numerów Często oznaczają tytułowy list łaciński w śmiałym napisu bez wypełnienia. Więc.:

Te. Wiele nieracjonalnych numerów jest różnicą zestawów liczb realnych i racjonalnych.

Właściwości liczb irracjonalnych.

• Suma 2 nieodegatywnych liczb irracjonalnych może być racjonalna liczba.
• Numery irracjonalne określa odliczenia sekcji w różnych numerach racjonalnych, w niższej klasie, która nie ma największej liczby i nie ma mniejszych w górnej części.
• Każdy prawdziwy numer transcendentalny jest numerem irracjonalnym.
• Wszystkie liczby irracjonalne są algebraiczne lub transcendentalne.
• Wiele irracjonalnych numerów wszędzie gęsto na linii numerycznej: między każdą parą liczb jest numer irracjonalny.
• Kolejność z zestawu liczb irracjonalnych jest izomorficzna wokół zestawu rzeczywistych liczb transcendentalnych.
• Wiele irracjonalnych numerów jest nieskończenie, jest mnogość drugiej kategorii.
• Wynik każdej operacji arytmetycznej z liczbami racjonalnymi (z wyjątkiem podziału do 0) jest liczbami racjonalnymi. Wynik operacji arytmetycznych na liczbach irracjonalnych może być zarówno racjonalną, jak i irracjonalną liczbą.
• Ilość liczb racjonalnych i irracjonalnych zawsze będzie liczbą irracjonalną.
• Ilość liczb irracjonalnych może być racjonalna liczba. Na przykład, zostawiać x. Irracjonalny y \u003d x * (- 1) także irracjonalne; x + y \u003d 0, Numer 0 Rational (jeśli na przykład, złożył korzeń w dowolnym stopniu 7 i minus korzeń tego samego stopnia od siedmiu, a następnie otrzymujemy racjonalny numer 0).

Irracjonalne liczby, przykłady.

γ — ζ (3) — ρ — √2 — √3 — √5 — φ — Δs. — α — mI. — π — δ