Głupi trójkąt. Głupi trójkąt niech za róg znikną
1. Określ rodzaj trójkąta (ostry, głupi lub prostokątny) z partiami 8, 6 i 11 cm (rys. 126). (jeden)
Decyzja. Oznaczają większy kąt trójkąta? Oczywiście leży naprzeciwko boku 11 cm, ponieważ trójkąt większy kąt leży przeciwko głównej stronie. Przez cosinus twierdzenie 112 \u003d 82+ 62- 2? 6? Cos?;
Można spierać się inaczej. Jeśli kąt? był równy 90 °, to duża część twierdzenia Pitagore byłaby równa
Wydłużenie boku 1 cm automatycznie wzrasta i kąt pod twarzą - staje się tępy.
Odpowiedź: głupi.
2. Podstawa trójkąta wynosi 6 cm, jeden z kątów u podstawy wynosi 105 °, drugi wynosi 45 °. Znajdź długość strony leżącej pod kątem 45 ° (rys. 127). (jeden)
Decyzja. Załóżmy, że w trójkącie ABC będzie AC \u003d 6 cm,? A \u003d 45 °,? C \u003d 105 °. Oznacz długość boku słońca przez x. Musimy go znaleźć. Używamy twierdzenia zatokowego, na którym:
Biorąc pod uwagę, że suma kątów w trójkącie wynosi 180 °, otrzymujemy:? B \u003d 180 ° -? A -? C \u003d 180 ° C - 45 ° C - 105 ° \u003d 30 °.
3. Znajdź obszar trójkąta z partiami 2,? 5 i 3 (Rys. 128). (jeden)
Decyzja. Możesz skorzystać z formuły Gerona:
W naszym przypadku:
Semitter:
Łatwiej byłoby rozwiązać tak, jaką byłoby. Przez cosinus twierdzenie:
Ponieważ obszar trójkąta jest równy połowie pracy dwóch stron na zatokę rogu między nimi, a następnie:
4. W trójkącie ABC, gdzie? ACB \u003d 120 °, przeprowadzono mediana. Znajdź długość, jeśli włócznia \u003d 6, Sun \u003d 4 (Rys. 129). (2)
Decyzja. Używamy średnią formuły długości
Mamy A \u003d Sun \u003d 4, B \u003d 6. Pozostaje, aby znaleźć C \u003d AB. Nałożyć na trójkąt osi twierdzenia Cosine: C2 \u003d AV2 \u003d AC2 + BC 2-2AC? PNE? COS (? DC) \u003d 62+ 42- 2? 6? cztery? COS 120 ° \u003d 36 + 16-48? (- 1/2) \u003d 76.
5. Znajdź długości boków ABC Trójkąt ABC ABC, jeśli Sun \u003d 8 i długości wysokości opuszczanych na stronie AC i Sun, wynoszą odpowiednio 6, 4 i 4 (Rys. 130 ). (2)
Decyzja. Jedyny kąt trójkąta, który pozostał "nienaruszony", narożnik C.
Z prostokątnego trójkąta navy następuje:
A teraz na cosinowym twierdzeniu zastosowanym do trójkąta ABC, otrzymujemy:
Odpowiedź: ab \u003d? 41; AC \u003d 5.
6. W trójkącie jeden z kątów, z których jest równy różnicy między dwiema drugą, długość mniejszej strony jest równa 1, a suma kwadratów kwadratów zbudowanych na dwóch innych stronach, dwa razy Obszar obszaru opisany w pobliżu trójkąta kręgu. Znajdź długość większej strony trójkąta (rys. 131). (2)
Rozwiązanie: Oznacz? Najmniejszy róg w trójkącie? Największy róg. Wtedy trzeci róg jest równy? -? -? Pod warunkiem zadania? -? \u003d?? -? -? (Większy kąt nie może być równy różnicy dwóch innych kątów). Wynika z tego, że 2? \u003d?; ? \u003d? / 2. Więc trójkąt jest prostokątny. Odpad samolotem leżącym przed mniejszym kątem? Dlatego suma kwadratów kwadratów zbudowanych na hipotenuse i większej nutta jest:
Centrum okręgu opisanego w pobliżu prostokątnego trójkąta leży w środku hipotenusa, a jego promień jest równy:
a obszar jest równy:
Korzystając ze stanu zadania, mamy równanie:
Długość najbardziej boku trójkąta jest równa
7. Długości boku A, B, z trójkąta są równe 2, 3 i 4. Znajdź odległość między centrami opisanych i wpisanych kółek. (2)
Decyzja. Aby rozwiązać problem, nawet rysunek nie jest potrzebny. Konsekwentnie znajdziemy: połowę
Odległość między centrami kołach:
8. W trójkącie ABC, wielkość kąta jest równa? / 3, długość wysokości, opuszczona z góry z bokiem AB, jest równa? 3 cm, a promień opisany okręgu W pobliżu trójkąta ABC wynosi 5 cm. Znajdź długości boku trójkąta ABC (rys. 132). (3)
Rozwiązanie: Niech CD będzie wysokością trójkąta ABC, opuszczona z szczytu C. Możliwe są trzy przypadki. BASE D Wysokość CD dostaje:
1) w segmencie Av;
2) kontynuować segment AV na punkt;
3) do punktu V.
Pod warunkiem, promień okręgu opisany w pobliżu trójkąta ABC wynosi 5 cm. W konsekwencji we wszystkich trzech przypadkach:
Teraz jasne jest, że punkt D nie pokrywa się z punktem, od słońca? PŁYTA CD. Korzystanie z twierdzenia Pitagora do trójkątów ACD i BCD, stwierdzamy to
Wynika z tego punktu D leży między punktami A i B, ale następnie AV \u003d AD + BD (1 + 6? 2), zobacz
Odpowiedź: av \u003d (6? 2 + 1) cm, słońce \u003d 5? 3 cm, ac \u003d 2 cm.
9. W trójkątach ABC i A1B1C1 długość boku AV jest równa długości bocznej A1B1, długość strony głośnika jest równa długości bocznej A1C1, wartość kątowa jest 60 ° A wartość kąta B1A1C1 wynosi 120 °. Wiadomo, że stosunek długości B1C1 do długości słońca jest równy? N (gdzie n oznacza liczbę całkowitą). Znajdź stosunek długości AU do długości AU. W obszarze W jakich wartości zadania n ma co najmniej jedno rozwiązanie (rys. 133)? (3)
Rozwiązanie: Niech ABC i A1B1C1 będą danymi w stanie zadania trójkąta. Nakładanie trójkątów Cosine do ABC i A1B1C1, mamy:
T. K. Pod warunkiem zadania B1C1: Sun \u003d N, a następnie
Ponieważ A1B1 \u003d AB i A1C1 \u003d AU, następnie oddzielając licznik i mianownik frakcji po lewej stronie równości (1) na AC2I, oznaczając AB: AU przez X, otrzymujemy równość:
gdzie jest jasne, że pożądany stosunek długości au do długości, jak jest źródłem równania
x2 (N - 1) - X (N + 1) + N - 1 \u003d 0. (2)
T. K. B1C1\u003e Sun, a następnie N\u003e 1. W konsekwencji równanie (2) jest kwadratowy. Jego dyskryminant jest równy (N + 1) 2-4 (N - 1) 2 \u003d - 3N2 + 10N - 3.
Równanie (2) będzie miały rozwiązania, jeśli - 3N2 + 10N - 3? 0, tj. Na -1/3? n? 3. T. K. N jest numerem naturalnym, większa niż 1, wówczas równanie (2) ma roztwory w N \u003d 2 i N \u003d 3. Z n \u003d 3 równanie (2) ma root x \u003d 1; Dla n \u003d 2 równanie ma root
Odpowiedź: Stosunek długości AB do długości głośnika jest równy
w n \u003d 2; równa 1 w n \u003d 3; Z pozostałymi rozdziałami N.
Ogólnie rzecz biorąc, trójkąt jest najbardziej najprostszą postacią wszystkich istniejących wielokątów. Składa się z pomocą trzech punktów, które leżą w pierwszej płaszczyźnie, ale jednocześnie nie leżą na 1. prostych, a pary są połączone ze sobą. Trójkąty mają różne typy, a zatem charakteryzują się różnymi właściwościami. W zależności od rodzaju kątów, trójkąt może odnosić się do jednego z 3 typów - być ostro kątowy, prostokątny lub głupi. Głupi trójkąt jest trójkątem, który ma jeden głupi kąt. W tym samym czasie głupi jest taki kąt, który ma wielkość większej dziewięćdziesiąt stopni, ale mniej niż sto osiemdziesiąt stopni.
Innymi słowy, głupi trójkąt jest najprostszym wielokąciem, który zawiera głupie kąt - niektóre z jego narożników są w odległości 90-180 stopni.
Zadanie: Czy jest tam lub nie jest głupi, gdy:
- kąt ABC w IT równa się 65 stopni;
- jego kąt BCA wynosi 95 stopni;
- kąt kabiny - 20 stopni.
Rozwiązanie: Rogi kabiny i ABC są mniejsze niż 90 stopni, ale z kątem BCA ponad 90 stopni. Tak, taki trójkąt jest głupi.
Jak znaleźć boki głupskiego trójkąta bez analizy
Co to jest głupi trójkąt, radziliśmy sobie powyżej. Teraz powinno być rozpatrywane, z którym trójkąt jest uważany za równo pod przewodnictwem.
Podobnie nazywany taki trójkąt, który ma 2 absolutnie równą stronę. Te boki są nazywane stroną, trzecia strona trójkąta nazywana jest podstawą.
Wierzchołki trójkąta są zwykle wskazane przez kapitałowe litery łacińskie - czyli odpowiednio wartości jego narożników, wierzchołki są oznaczone literami greckimi, α, β, γ. Długościami przeciwnych stron trójkąta są kapitałowe litery łacińskie, czyli A, B, C.
Proste zadanie: Obwód głupiego trójkąta wynosi 25 cm, różnica 2 jej boków wynosi 4 cm, a 1-in z zewnętrznych narożników trójkąta jest ostry. Jak znaleźć taki trójkąt?
Rozwiązanie: Kąt przylegający do którego ostry kąt trójkąta jest głupi. W trójkącie takiego planu, kąt tępy może być wyłącznie kąt, który jest przeciwko jej podstawy. W związku z tym podstawa jest największą stroną takiego trójkąta. Jeśli weźmiesz podstawę tego trójkąta dla x, aby rozwiązać ten problem, musisz użyć następującego wzoru:
Odpowiedź: Podstawa równie przykuty głupi trójkąt wynosi 11 cm, a obie strony mają 7 cm.
Formuły, dla których można znaleźć boki głupiej trójkąta bez anose
Użyto notacji:
- b - Jest to strona podstawy trójkąta
- a - jego równa strona
- α - kąty u podstawy trójkąta
- β - kąt, który jest utworzony przez jego równe strony
- √ - pierwiastek kwadratowy
1. Wzory długości podstawowej (b):
- b \u003d 2a SIN (β / 2) \u003d A√2-2COSβ
- b \u003d 2a cos α
2. Wzory długości równych boków trójkąta (s):
2SIN (β / 2) √2-2COS β
Jak znaleźć kąt cosinus w głupiego trójkąta, jeśli wysokość jest znana
Aby rozpocząć, nie będzie bolał zrozumieć z głównymi terminami, które są używane w tej sprawie: co nazywa się wysokością trójkąta i co jest kąt cosine.
Wysokość trójkąta uważana jest prostopadła, która jest przeprowadzana z górnej części do linii, która zawiera przeciwną stronę tego trójkąta. Cosinus jest znaną funkcją trygonometryczną, która jest jedną z głównych funkcji trygonometrii.
Aby znaleźć cosinę kąta w głupim trójkącie z wierzchołkami A, B i C, pod warunkiem, że wysokość jest znana, trzeba obniżyć wysokość z boku głośników. Punkt, w którym wysokość przecięcia z boku AU musi być oznaczona przez D i rozważa trójkąt AVD, który jest prostokątny. W tym trójkątnym AB, który jest bokiem pierwotnego trójkąta, jest hipotenuse. Kousty są wysokością oryginalnego trójkąta, a także segment reklamy, która należy do boku Au. Jednocześnie cosinus kąta odpowiadający wierzchołek A jest równy nastawieniu reklamy AB, ponieważ Ad Catat jest przylega do rogu na szczycie AV w trójkącie AV. W przypadku, gdy wiadomo, co dokładnie stosunek udziału AU jest podzielony przez wysokość VD i jaka jest ta wysokość, następnie cosinus kąta odpowiadający wierzchołek A, znaleziono.
Pytanie 1.Jakie kąty są nazywane sąsiednie?
Odpowiedź.Dwa kąty nazywane są przylegającym, jeśli mają jedną bok wspólną, a inne strony tych kątów są dodatkowe półprzewodniki.
Na Figurze 31 kąty (A 1 B) i (A 2 b) sąsiednie. Mają łączną stronę B, a strony A 1 i 2 są dodatkowymi półprzewodnikami.
Pytanie 2.Udowodnij, że suma sąsiednich kątów wynosi 180 °.
Odpowiedź. Twierdzenie 2.1.Suma sąsiednich kątów wynosi 180 °.
Dowód. Niech kąt (A 1 b) i kąt (A 2 b) - te sąsiednie kąty (patrz rys. 31). Belka B przechodzi między bokami 1 a 2 rozstawionym rogu. Dlatego suma kątów (A 1 B) i (A 2 B) jest równa rozstawionym rogu, tj. 180 °. co było do okazania
Pytanie 3.Udowodnij, że jeśli dwa kąty są równe, a następnie sąsiednie kąty są równe.
Odpowiedź.
Z twierdzenia. 2.1
wynika z tego, że jeśli dwa kąty są równe, wtedy sąsiednie kąty są równe.
Przypuśćmy, że kąty (A 1 B) i (C1 d) są równe. Musimy udowodnić, że kąty (A 2 B) i (C2 D) są równe.
Suma sąsiednich kątów wynosi 180 °. Wynika z tego, że 1 B + A 2 B \u003d 180 ° i C1 D + C2 D \u003d 180 °. Dlatego A 2 B \u003d 180 ° C - A 1 B i C2 D \u003d 180 ° - C 1 D. Ponieważ kąty (A 1 B) i (C1 d) są równe, otrzymujemy, że A 2 B \u003d 180 ° - A 1 B \u003d C2 D. Zgodnie z właściwościami tranzytowej znaku równości wynika, że \u200b\u200bA 2 B \u003d C2 D. co było do okazania
Pytanie 4.Jaki kąt jest nazywany bezpośrednią (ostry, głupi)?
Odpowiedź. Kąt równy 90 ° nazywany jest bezpośrednim kątem.
Kąt mniejszy niż 90 ° nazywany jest ostrym kątem.
Kąt większy niż 90 ° i mniejszy 180 ° jest nazywany głupi.
Pytanie 5. Udowodnij, że kąt, przylegający do bezpośredniego, jest prostym kątem.
Odpowiedź.Od twierdzenia o sumie sąsiednich kątów wynika, że \u200b\u200bkąt, przylegający do kąta bezpośredniego, jest kątem bezpośrednim: X + 90 ° \u003d 180 °, X \u003d 180 ° - 90 °, X \u003d 90 °.
Pytanie 6.Jakie kąty nazywane są pionowe?
Odpowiedź.Dwa kąty nazywane są pionowe, jeśli boki tego samego kąta znajdują się dodatkowe półfruntowane boki drugiego.
Pytanie 7.Udowodnij, że pionowe kąty są równe.
Odpowiedź. Twierdzenie 2.2. Kąty pionowe są równe.
Dowód.Niech (A 1 B 1) i (A 2 B 2) - te pionowe kąty (rys. 34). Kąt (A 1 B2) jest przylegający z kątem (A 1 B 1) i pod kątem (A 2 B2). Stąd twierdzenie o sumie sąsiednich kątów, stwierdzamy, że każdy z kątów (A 1 B 1) i (A 2 B 2) uzupełnia kąt (A 1 B 2) do 180 °, tj. Kąty (A 1 B 1) i (A 2 B2) są równe. co było do okazania
Pytanie 8.Udowodnij, że jeśli przy przecięciu dwóch linii prostych jeden z rogów linii, pozostałe trzy kąt jest również prosty.
Odpowiedź.Załóżmy, że Direct AB i CD przecinają się nawzajem w punkcie O. Załóżmy, że kąt AOD wynosi 90 °. Ponieważ suma sąsiednich kątów wynosi 180 °, otrzymujemy, że AOC \u003d 180 ° -Aoda \u003d 180 ° wynosi 90 ° \u003d 90 °. Kąt kąt pionowy AOD COB, więc są równe. Oznacza to, że kąt COB \u003d 90 °. Kąt Pionowy COA Bod, więc są równe. Oznacza to, że kąt Bod \u003d 90 °. Tak więc wszystkie kąty są 90 °, czyli są one bezpośrednio. co było do okazania
Pytanie 9.Jakie są bezpośrednie nazywa się prostopadle? Jaki znak jest używany do odnoszenia się do prostopadłości bezpośredniej?
Odpowiedź.Dwie proste linie nazywane są prostopadle, jeśli przecinają się pod kątem prostym.
Produktywność bezpośredniego jest oznaczona znakiem (Perp). Rekord (Perp B) brzmi: "Kieruj prostopadle do bezpośredniego B".
Pytanie 10.Udowodnij, że przez dowolny punkt, prosta może być przeprowadzona przez osobę prostopadłą do niego i tylko jeden.
Odpowiedź. Twierdzenie 2.3.Przez każdy bezpośredni może być przeprowadzany bezpośrednio i tylko jeden.
Dowód.Niech będzie to bezpośredni i a - ten punkt na nim. Oznaczać przez 1 jeden z półprzewodnikowych bezpośrednich A z punktem wyjścia A (rys. 38). Odkładamy z półkolistego kąta 1 (A 1 B 1), równa 90 °. Następnie bezpośrednie zawierające wiązkę b 1 będzie prostopadle do bezpośredniego a.
Przypuśćmy, że istnieje kolejna linia prosta, przechodząc także przez punkt A i prostopadle do linii prostej A. Oznaczono przez C1, pół-osi tej linii prostej, leżącej w ciągu połowy samolotu z belką B 1.
Kąty (A 1 B 1) i (A 1 C1), równe każdej 90 °, są przełożone w ciągu połowy płaszczyzny z półprosty A 1. Ale z półprocznie A 1 w tym półpokojowym, tylko jeden kąt może być odroczony równy 90 °. Dlatego, aby nie być kolejnym bezpośrednim przechodzącym przez punkt A i prostopadły Direct A. Twierdzenie jest udowodnione.
Pytanie 11.Co jest prostopadłe do linii prostej?
Odpowiedź. Prostopadle do tego bezpośredniego nazywa się linią prostą, prostopadłą do tego, która ma jeden z jego końcówek ich punkt przecięcia. Ten koniec segmentu jest nazywany baza Prostopadły.
Pytanie 12.Wyjaśnij, że dowód paskudnego.
Odpowiedź. Sposób dowodów, że stosowaliśmy w twierdzeniu 2.3 nazywa się dowodem przeciwnika. Ta metoda dowodów jest to, że początkowo założyliśmy, że jest przeciwieństwem, co jest zatwierdzone przez twierdzenie. Następnie, przez rozumowanie, polegając na aksjomach i sprawdzonych twierdzeń, dojść do wniosku, który jest sprzeczny z warunkami twierdzenia lub jednego z aksjomatów lub wcześniej sprawdzonego twierdzenia. Na tej podstawie stwierdzamy, że nasze założenie było nieprawidłowe, a zatem oświadczenie o twierdzeniu jest prawdziwe.
Pytanie 13.Co nazywa się kątem bisektorskim?
Odpowiedź.Bisektor kąta nazywany jest belką, która pochodzi z góry rogu, przechodzi między jego stronami i dzieli kąt na pół.
Ładowanie...