RESHEBNIK KUZNETSOVA.
III Graphics.

Zadanie 7. Przeprowadzaj pełne badanie funkcji i budować jego harmonogram.

& NBSP & NBSP & NBSP & NBSP Przed rozpoczęciem pobierania opcji, spróbuj rozwiązać poniższy problem próbki dla opcji 3. Część opcji jest archiwizowana w formacie.rar

& Nbsp & nbsp & nbsp & nbsp 7.3 Przeprowadź pełne badanie funkcji i zbuduj jego harmonogram

Decyzja.

& NBSP & NBSP & NBSP & NBSP 1) Powierzchnia definicji: & Nbsp & Nbsp & Nbsp & & Nbsp & Nbsp & Nbsp, I.e. & Nbsp & Nbsp & Nbsp & nbsp.
.
Tak więc: & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp.

& NBSP & NBSP & NBSP & NBSP 2) Punkty przekraczające z osią wołowej. Rzeczywiście, równanie A & NBSP & NBSP & NBSP i NBSP nie ma rozwiązań.
Punkty przecięcia z osią Oy, ponieważ & Nbsp & Nbsp & Nbsp & Nbsp.

& Nbsp & Nbsp & Nbsp & Nbsp 3) Funkcja jest czymś, ani intensywnym. Nie ma symetrii dotyczących osi rzędnej. Nie ma symetrii dotyczących rozpoczęcia współrzędnych. Tak jak
.
Widzimy, że & Nbsp & Nbsp & Nbsp & Nbsp & Nbsp & Nbsp & Nbsp & Nbsp.

& Nbsp & nbsp & nbsp & nbsp 4) Funkcja jest ciągła w obszarze definicji
.

; .

; .
W związku z tym punkt i Nbsp & Nbsp & Nbsp & Nbsp jest punktem przełomu drugiego rzędu (nieskończona przerwa).

5) Asymptoty pionowe: & Nbsp & nbsp & nbsp & nbsp

Znajdujemy się na skłonce ASYMPTOTES & NBSP & NBSP & NBSP & NBSP. Tutaj

;
.
W związku z tym mamy poziome asymptoty: y \u003d 0.. Nie ma pochyłego asymptota.

& Nbsp & nbsp & nbsp & nbsp 6) znajdzie pierwszą pochodną. Pierwsza pochodna:
.
I własnie dlatego
.
Znajdź punkty stacjonarne, w których pochodna ma zero, to znaczy
.

& Nbsp & nbsp & nbsp & nbsp 7) znajdziemy drugą pochodną. Druga pochodna:
.
I łatwo jest upewnić się, że

Jak zbadać funkcję i zbudować jego harmonogram?

Wygląda na to, że zaczynam rozumieć duchowało penetrowanej twarzy lidera światowego proletariatu, autor zbioru pism w 55 wolumenach .... Dokument nie dochodowy rozpoczął się od podstawowych informacji o funkcje i wykresy., A teraz pracuj nad czasochłonnym tematem kończy się naturalnym wynikiem - artykuł na pełnym badaniu funkcji. Długo oczekiwane zadanie jest formułowane w następujący sposób:

Przeglądaj funkcję mechanizmu różnicowania metodami rachunkowości i na podstawie wyników badania, aby zbudować jego harmonogram

Lub krótszy: Przeglądaj funkcję i zbuduj wykres.

Dlaczego bada? W prostych przypadkach nie znajdziemy trudności z zrozumieniem funkcji podstawowych, wyciągnąć harmonogram uzyskany przez podstawowe transformacje geometryczne. itp. Jednakże właściwości i graficzne obrazy bardziej złożonych funkcji są daleko od oczywistych, dlatego całe badanie jest konieczne.

Główne etapy roztworu są zmniejszone w materiałach odniesienia. Schemat badań funkcji.To jest twój przewodnik po sekcji. Teapotes wymagają krok po kroku tematu, niektórzy czytelnicy nie wiedzą, gdzie zacząć i jak zorganizować badanie, a zaawansowani studenci mogą być zainteresowani tylko w kilka chwil. Ale kto mógłbyś, drogi gości, proponowany abstrakt z wskaźnikami do różnych lekcji w najkrótszym terminie orientuje się i skieruje Cię w kierunku zainteresowania. Roboty oszczercze \u003d) Przewodnik SWATHS w formie pliku PDF i zasłużone miejsce na stronie Wzory matematyczne i stoły.

Badanie funkcji, które wykorzystywałem 5-6 punktów:

6) Dodatkowe punkty i harmonogram na podstawie wyników badania.

Koszt ostatecznego działania uważam, że wszystko jest jasne dla wszystkich - będzie bardzo rozczarowujące, jeśli w ciągu kilku sekund zostanie przekroczone i zwrócone do udoskonalenia. Prawidłowy i dokładny rysunek jest głównym wynikiem rozwiązania! Jest bardzo prawdopodobne, że "wiąże" otarcia analityczne, podczas gdy nieprawidłowy i / lub niedbały wykres zapewni problemy nawet z idealnymi przeprowadzonymi badaniem.

Należy zauważyć, że w innych źródłach liczba przedmiotów badawczych, procedura ich wdrażania i stylu rejestracji może znacząco różnić się od planu zaproponowanego przeze mnie, ale w większości przypadków jest wystarczająco dość. Najprostsza wersja zadania składa się z tylko 2-3 etapów i jest sformułowana w następujący sposób: "Poznaj funkcję za pomocą pochodnej i zbuduj wykres" lub "Poznaj funkcję za pomocą pierwszej i drugiej pochodnej, zbuduj wykres".

Oczywiście - jeśli Twoja metoda jest szczegółowo wymontowana innym algorytmem lub nauczycielem ściśle wymaga przestrzegania jego wykładów, będzie musiało dokonać pewnych zmian do rozwiązania. Nie trudniejsze niż wymiana widelec z łyżką łańcuchową.

Sprawdź funkcję gotowości / dziwności:

Następnie śledzi nagrywanie szablonu:
Dlatego ta funkcja nie jest nawet lub dziwna.

Ponieważ funkcja jest ciągła włączona, nie ma pionowych asymptotów.

Nie skłonny asymptot.

Uwaga : Przypominam, że jest wyższy zamówienie wzrostuniż, więc ostateczny limit jest równy " plus Nieskończoność. "

Dowiedz się, jak działa funkcja na nieskończoności:

Innymi słowy, jeśli pójdziemy w prawo, harmonogram pójdzie nieskończenie daleko, jeśli pozostanie jest bez końca. Tak, tutaj są też dwa limity w jednym rekordzie. Jeśli masz jakiekolwiek trudności z dekodowaniem znaków, odwiedź lekcję nieskończenie małe funkcje.

Tak więc funkcja nie jest ograniczony do góry i nie ogranicza się do poniżej. Biorąc pod uwagę, że nie mamy punktów przerwy, staje się jasne i obszar wartości funkcji.: - także dowolny ważny numer.

Przydatna technika techniczna

Każda konfiguracja zadania przynosi nowe informacje o wykresieDlatego podczas rozwiązania wygodnie jest użyć rodzaju układu. Będę przedstawić układ współrzędnych na Carovka Certow. Co już jest znane? Po pierwsze, harmonogram nie ma Asymptota, dlatego bezpośredni zwrot nie jest potrzebny. Po drugie, wiemy, jak działa funkcja w nieskończoności. Zgodnie z analizą przyciągnij pierwsze przybliżenie:

Zauważ, że przez cnotę ciągłość Funkcje i fakt, że harmonogram powinien przynajmniej raz przejść przez oś. A może jest kilka punktów przecięcia?

3) Zer i interwały wyrównania.

Najpierw znajdziemy punkt przecięcia wykresu z osią rzędnej. To proste. Konieczne jest obliczenie wartości funkcji, gdy:

Półtora poziomu morza.

Aby znaleźć punkty przecięcia z osią (zer funkcji), musi rozwiązać równanie, a tutaj będziemy mieli nieprzyjemną niespodziankę:

Na koniec dołączony był wolny członek, co znacznie komplikuje zadanie.

Takie równanie ma co najmniej jeden ważny korzeń, a najczęściej ten korzeń jest irracjonalny. W gorszej bajki będziemy mieli trzy świnie. Równanie jest rozpuszczalne przy użyciu tak zwanego formuły Cardano.Jednak uszkodzenia papieru jest porównywalne prawie ze wszystkimi badaniem. W tym względzie jest bardziej zrozumiałe doustnie albo w projekcie, aby spróbować wybrać co najmniej jeden cały korzeń. Sprawdź, czy nie są liczbami:
- nie pasujący;
- jest!

Jest tu szczęście. W przypadku awarii możliwe jest również testowanie, a jeśli te liczby nie pojawiły się, wówczas nie ma bardzo mało szans na rentowne rozwiązanie równania. Wtedy pozycja badana jest lepsza do całkowitego pominięcia - może stanie się czymś wyraźniejszym w ostatnim kroku, gdy zostaną wykonane dodatkowe punkty. A jeśli ten sam korzeń (korzenie) jest wyraźnie "zły", wtedy przedziały wyrównania są lepsze w ogólnie skromnie Silex Tak, jest bardziej instruowane, aby spełnić rysunek.

Jednak mamy piękny root, więc dzielimy wielomian bez pozostałości:

Algorytm do dzielenia wielomianu do wielomianu szczegółowo jest zdemontowany w pierwszym przykładzie lekcji Trudne limity.

W rezultacie lewa część równania źródła złożone do pracy:

A teraz trochę o zdrowym stylu życia. Oczywiście, rozumiem to równania kwadratowe Musisz zdecydować każdego dnia, ale dzisiaj zrobimy wyjątek: równanie Ma dwa ważne korzenie.

Na numerycznym bezpośredniego opóźnieniu znalezionych wartości i metoda interwałowa Określ funkcje funkcji:


flagte więc w odstępach Harmonogram położony
poniżej osi odciętej i w odstępach czasu - Nad tej osi.

Uzyskane wnioski pozwalają na szczegółowe informacje, a drugie przybliżenie wykresu jest następujące:

Należy pamiętać, że funkcja musi koniecznie mieć co najmniej jedną maksimum i w przedziale - co najmniej jeden minimum. Ale ile razy, gdzie i kiedy "ukryje" harmonogram, jeszcze nie wiemy. Nawiasem mówiąc, funkcja może mieć zarówno nieskończenie wielu skrajności.

4) Funkcja rosnąco, zmniejszenia i ekstremum.

Znajdź punkty krytyczne:

To równanie ma dwa ważny korzeń. Odłożę je na bezpośrednim numerycznym i zdefiniować oznaki pochodnej:


W związku z tym funkcja wzrasta i zmniejsza się.
W tym momencie funkcja osiąga maksimum: .
W tym momencie funkcja osiąga minimum: .

Zainstalowane fakty funtowe nasz szablon w dość twardej ramce:

Co powiedzieć, rachunek różnicowy - potężna rzecz. Wreszcie radzić sobie z kształtem harmonogramu:

5) wybrzuszenie, cążek i punkt fleksji.

Znajdziemy krytyczne punkty drugiej pochodnej:

Określ znaki:


Wykres funkcji jest wypukły i wklęsły. Oblicz rzędną punkt odbicia :.

Prawie wszystko się okazało.

6) Pozostaje znaleźć dodatkowe punkty, które pomogą bardziej precyzyjnie zbudować harmonogram i wykonać autotest. W tym przypadku nie wystarczą, ale nie zaniedbamy:

Wykonaj rysunek:

Zielony kolor jest oznaczony punktem fleksji, krzyży - dodatkowe punkty. Wykres funkcji sześciennej jest symetryczny o jego punkcie fleksji, który jest zawsze umieszczony ściśle w środku między maksimum a minimum.

W trakcie wykonywania zadania przyniosłem trzy hipotetyczne średnie rysunki. W praktyce wystarczy narysować układ współrzędnych, zaznaczyć znalezione punkty i po każdej podstawie badania oszacować mentalnie, jak może wyglądać wykres funkcji. Studenci z dobrym poziomem szkolenia nie będą trudne do przeprowadzenia takiej analizy wyłącznie w umyśle bez przyciągania projektu.

Do samodzielnych rozwiązań:

Przykład 2.

Przeglądaj funkcję i zbuduj wykres.

Jest szybsza i przyjemniejsza, przykładowa próbka konstrukcji wykończeniowej na końcu lekcji.

Wiele tajemnic ujawnia badanie frakcyjnych funkcji racjonalnych:

Przykład 3.

Metody rachunku różnicowego zbadają funkcję i na podstawie wyników badania, aby zbudować jego harmonogram.

Decyzja: Pierwszy etap badania nie różnią się czymś niezwykłym, z wyjątkiem otworu w dziedzinie definicji:

1) Funkcja jest zdefiniowana i ciągła na całym numerycznym bezpośrednie z wyjątkiem punktu, domena: .

Oznacza to, że ta funkcja nie jest nawet lub dziwna.

Oczywiście funkcja jest nieuzasadniona.

Wykresem funkcji jest dwa ciągłe gałęzie znajdujące się w lewym i prawym półpokojowym - jest to chyba najważniejszy wniosek 1 punkt.

2) Asymptoty, zachowanie funkcji w nieskończoności.

a) Za pomocą ograniczeń jednokierunkowych zbadamy zachowanie funkcji w pobliżu podejrzanego punktu, w którym jest wyraźnie pionowa asymptota:

Rzeczywiście, funkcje tolerują nieskończona przerwa W punkcie
a prosta (oś) jest pionowa asmeptota. grafika.

b) Sprawdź, czy istnieją ukośne asymptoty:

Tak, bezpośrednio pochyły asymptoto. Grafika, jeśli.

Limity analizy nie ma sensu, ponieważ jest tak jasne, że funkcja w objęciu z jego pochylonym asymptocie nie jest ograniczony do góry i nie ogranicza się do poniżej.

Drugi punkt badawczy przyniósł wiele ważnych informacji o funkcji. Wykonaj szkic szkicu:

Wniosek Numer 1 dotyczy odstępów wyrównania. Na "minus nieskończoności" wykres funkcji jest wyjątkowo położony poniżej osi odcięcia, a na "plus nieskończoności" - nad tej osi. Ponadto jednostronne limity zgłoszone nam jako lewo i prawo funkcji, więcej, więcej zero. Należy pamiętać, że w lewym półpokojowym harmonogram przynajmniej raz jest zobowiązany do przekroczenia osi odcięcia. W prawym półpokojowym zerom funkcje mogą nie być.

Numer wyjścia 2 polega na tym, że funkcja wzrasta włączony i po lewej stronie (znajduje się "dno w górę"). Po prawej stronie tego punktu - zmniejsza się funkcja (istnieje "do góry"). Prawa gałąź wykresu z pewnością powinna wynosić co najmniej jeden minimum. Skrajne skrajne nie są gwarantowane.

Wniosek Numer 3 daje wiarygodne informacje o wklęsłości wykresu w sąsiedztwie punktu. Nie możemy powiedzieć nic o wybrzuszenie / wklęsłości na nieskończoności, ponieważ linia może być wciśnięta do ich asymptotów zarówno z góry, jak i poniżej. Ogólnie rzecz biorąc, istnieje analityczny sposób, aby to teraz wymyślić, ale kształt prezentu "na nic" stanie się jaśniejsze na późniejszych etapach.

Dlaczego tak wiele słów? Aby monitorować kolejne punkty badawcze i zapobieganie błędom! Dalsze obliczenia nie powinny być sprzeczne z wnioskami.

3) Punkty przecięcia wykresu z osiami współrzędnych, interwały funkcji symboli.

Wykres funkcji nie przekracza osi.

Metoda interwałowa określa znaki:

, Jeśli ;
, Jeśli .

Wyniki punktu w pełni odpowiadają wniosku numer 1. Po każdym etapie, spójrz na projekt, umysłowo odnosząc się do badania i narysuj harmonogram funkcji.

W rozważanym przykładzie, cyfrowy jest podzielony na mianownik, który jest bardzo korzystny dla różnicowania:

Właściwie został już wykonany, gdy znaleziono asymptoty.

- punkt krytyczny.

Określ znaki:

wzrasta i zmniejszaj się

W tym momencie funkcja osiąga minimum: .

Dyskusje z wnioskiem Numer 2 również nie dowiedział się, a najprawdopodobniej jesteśmy na właściwym miejscu.

Tak więc wykres funkcji jest wklęsły w całym polu definicji.

Doskonały - i nie rysuj niczego.

Nie ma punktów fleksji.

Konferencja jest zgodna z wnioskiem Numer 3, ponadto wskazuje, że w nieskończoności (i tam) wykres funkcji znajduje się powyżej jego skłonne asymptoty.

6) W sumiennie różowym zadanie z dodatkowymi punktami. Tutaj ciężko pracuje, z powodu badania znamy tylko dwa punkty.

I obraz, który prawdopodobnie wielu od dawna prezentował:

Podczas zadania musisz ostrożnie zapewnić, że nie ma sprzeczności między etapami badania, ale czasami sytuacja jest sytuacja awaryjna, a nawet desperacko-deal-end. Tutaj analityk "nie zbieżnia" - i to jest. W takim przypadku polecam recepcję awaryjną: znajdujemy jak wiele punktów należących do grafiki (ile wystarczającej cierpliwości) i zauważamy je na płaszczyźnie współrzędnych. Graficzna analiza znalezionych wartości w większości przypadków powie Ci, gdzie prawda i gdzie jest kłamstwo. Ponadto harmonogram może być wcześniej zbudowany za pomocą dowolnego programu, na przykład na tym samym wygnaniu (zrozumiałym, dla tego potrzebujesz umiejętności).

Przykład 4.

Metody różnicowe blicznicze badają funkcję i zbuduj jego harmonogram.

Jest to przykład dla niezależnego rozwiązania. W nim samokontrola jest wzmocniona przez funkcję - wykres jest symetryczny na temat osi, a jeśli coś wbrew temu w twoim badaniu, poszukaj błędu.

Możesz także zbadać funkcję przezroczystą lub dziwną, gdy, a następnie użyj symetrii wykresu. Takie rozwiązanie jest optymalne, ale moim zdaniem wygląda na to, że jest bardzo niezwykły. Osobiście uważam całą oś liczbową, ale znajduję dodatkowe punkty po prawej stronie:

Przykład 5.

Przeprowadź pełne badanie funkcji i zbuduj jego harmonogram.

Decyzja: Rzuciło się ciężko:

1) Funkcja jest zdefiniowana i ciągła na całej linii numerycznej :.

Oznacza to, że ta funkcja jest dziwna, jego wykres jest symetryczny względem początku współrzędnych.

Oczywiście funkcja jest nieuzasadniona.

2) Asymptoty, zachowanie funkcji w nieskończoności.

Ponieważ funkcja jest ciągła, a następnie pionowe asymptoty są nieobecne

Dla funkcji zazwyczaj zawierającego wystawcę oddzielny Badanie "Plus" i "Minus Infinity", ale nasze życie ułatwia symetrię harmonogramu - albo po lewej, a po prawej stronie jest asymptota, albo nie jest. Dlatego obie nieskończone limity mogą być wydawane pod jednym rekordem. Podczas rozwiązania używamy zasada LOPITAL.:

Direct (oś) jest poziomą asymptota wykresu.

Należy pamiętać, w jaki sposób uderzyłem w pełny algorytm znalezienia skłonnych asymptoty: limit jest całkowicie łatwo i wyjaśnia zachowanie funkcji w nieskończoności, a pozioma asymptota znalazła "jak w tym samym czasie".

Z ciągłości i istnienie poziomych asymptotów wynika z faktu, że funkcja ograniczony z góry i ograniczony od dołu.

3) Punkty przecięcia wykresu z osiami współrzędnych, interwały wyrównania.

Tutaj też zmniejsz decyzję:
Harmonogram przechodzi przez pochodzenie współrzędnych.

Nie ma innych punktów przecięcia z osiami współrzędnych. Ponadto przedziały alpopuryzmu są oczywiste, a oś nie można rysować:, co oznacza, że \u200b\u200bfunkcja funkcji zależy tylko na "ICA":
, Jeśli ;
, Jeśli .

4) Zwiększ, zmniejszaj funkcję ekstremum.


- Punkt krytyczny.

Punkty są symetryczne w stosunku do zera, jak powinno być.

Określ oznaki pochodnej:


Funkcja zwiększa się w przedziale i zmniejsza się w odstępach czasu

W tym momencie funkcja osiąga maksimum: .

Na mocy nieruchomości (Funkcje Foundming) Nie można obliczyć minimum:

Ponieważ funkcja zmniejsza się w przedziale, oczywiste jest "minus nieskończoności", który znajduje się harmonogram pod Z jego asymtota. W przedziale funkcja zmniejsza się również, ale tutaj wszystko jest odwrotnie - po przełączeniu maksymalnego punktu, linia zbliża się do osi już na górze.

Z powyższego wynika również, że harmonogram funkcji jest wypukły na "minus nieskończoności" i wklęsła na "plus nieskończoności".

Po tym punkcie studiów znajduje się również pole wartości funkcji:

Jeśli nie masz niezrozumienia żadnych chwil, po raz kolejny zachęcam do narysowania osi współrzędnych w notebooku i ołówkiem w rękach, aby ponownie przeanalizować każdy wniosek.

5) Konwersja, cążek, konkurencja grafiki.

- Punkt krytyczny.

Punkty symetrii są zachowane, a najprawdopodobniej nie mylimy się.

Określ znaki:


Wykres funkcji jest wypukły I wklęsły .

Potwierdzono wybrzuszenie / cążek w skrajnych odstępach czasu.

We wszystkich punktach krytycznych są geograficzne gięcia. Znajdziemy świętych punktów żebraków, podczas gdy ponownie zmniejszy liczbę obliczeń przy użyciu dziwności funkcji:

Jeśli zadaniem jest zakończenie pełnego badania funkcji f (x) \u003d x 2 4 x 2 - 1 z budową jego harmonogramu, a następnie rozważ tę zasadę szczegółowo.

Aby rozwiązać zadanie tego typu, użyj właściwości i wykresów głównych funkcji podstawowych. Algorytm badania obejmuje kroki:

Znalezienie pola definicji

Ponieważ badania są przeprowadzane na obszarze definicji pola, konieczne jest rozpoczęcie od tego kroku.

Przykład 1.

Określony przykład oznacza podstawę nominatora zera w celu wykluczenia ich z OTZ.

4 x 2 - 1 \u003d 0 x \u003d ± 1 2 ⇒ x ∈ - ∞; - 1 2 ∪ - 1 2; 1 2 ∪ 1 2; + ∞.

W rezultacie możesz uzyskać korzenie, logarytmy i tak dalej. Następnie OTZ można poszukiwać nawet stopnia typu G (X) 4 przez nierówność G (x) ≥ 0, dla logarytmu Log A G (X) według nierówności G (x)\u003e 0.

Badanie granic granicznych i znalezienie pionowego asymptota

W granicach funkcji są pionowe asymptoty, gdy jednostronne limity w takich punktach są nieskończone.

Przykład 2.

Na przykład rozważ punkty graniczne równe X \u003d ± 1 2.

Następnie konieczne jest przestudiowanie funkcji do znalezienia jednostronnego limitu. Potem otrzymujemy to: LIM X → - 1 2 - 0 F (x) \u003d LIM X → - 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 \u003d \u003d LIM X → - 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1 ) (2 x + 1) \u003d 1 4 (- 2) · 0 \u003d + ∞ LIM X → - 1 2 + 0 F (x) \u003d LIM X → - 1 2 + 0 x 2 4 x - 1 \u003d LIM X → - 1 2 + 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) \u003d 1 4 (- 2) · (+ 0) \u003d - ∞ LIM X → 1 2 - 0 F (X) \u003d LIM X → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 \u003d \u003d LIM X → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) \u003d 1 4 (- 0) · 2 \u003d - ∞ LIM X → 1 2 - 0 F (X) \u003d LIM X → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 \u003d \u003d LIM X → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) \u003d 1 4 (+ 0 ) · 2 \u003d + ∞

Można zauważyć, że jednostronne limity są nieskończone, co oznacza proste X \u003d ± 1 2 - pionowe asymptoty wykresu.

Funkcja badawcza i parytet lub pewność

Gdy stan Y (- X) \u003d Y (X) jest spełniony, funkcja jest uważana nawet. Sugeruje to, że harmonogram znajduje się symetrycznie względem o. Gdy warunek Y (- X) \u003d - Y (X) jest spełniony, funkcja jest uważana za dziwne. Oznacza to, że symetria jest w stosunku do początku współrzędnych. Z domyślną, co najmniej jedną nierównością, otrzymujemy wspólną funkcję.

Wdrożenie równości Y (- X) \u003d Y (X) sugeruje, że funkcja jest nawet. Podczas budowy należy wziąć pod uwagę, że będzie symetria w stosunku do O.

Do roztworu wzrastającego i schodzącego luki z warunkami F "(X) ≥ 0 i F" (x) ≤ 0, odpowiednio.

Definicja 1.

Punkty stacjonarne- Są to punkty, które zamieniają pochodną w zero.

Punkt krytyczny - Są to punkty wewnętrzne z obszaru definicji, gdzie pochodna funkcji wynosi zero lub nie istnieje.

Podczas rozwiązywania konieczne jest uwzględnienie następujących uwag:

• z rozszerzeniami rosnących i malejących nierówności formularza F "(X)\u003e 0, punkty krytyczne w roztworze nie są uwzględniane;
• punkty, w których funkcja jest zdefiniowana bez skończonej pochodnej, musi być zawarta w luzach wzrastających i malejących (na przykład, y \u003d x 3, gdzie pkt x \u003d 0 sprawia, że \u200b\u200bfunkcja zdefiniowana, pochodna ma wartość nieskończoności w tym punkt, y "\u003d 1 3 · x 2 3, y" (0) \u003d 1 0 \u003d ∞, x \u003d 0 jest zawarty w coraz większym przedziale);
• aby uniknąć nieporozumienia, zaleca się stosowanie literatury matematycznej, która jest zalecana przez Ministerstwo Edukacji.

Włączenie krytycznych wskazuje na luki rosnącego i malejącego w przypadku, gdy spełniają obszary definicji pola.

Definicja 2.

Dla należy znaleźć definicje luek zwiększania i malejlistych funkcji:

• pochodna;
• punkt krytyczny;
• podziel obszar definicji z punktami krytycznymi do odstępów;
• określ znak pochodnej na każdej z luk, gdzie + jest wzrost i jest malejący.

Przykład 3.

Znajdź pochodną na polu definicji F "(x) \u003d x 2" (4 x 2 - 1) - x 2 4 x 2 - 1 "(4 x 2 - 1) 2 \u003d - 2 x (4 x 2 - 1 ) 2.

Decyzja

Aby rozwiązać potrzebujesz:

• znajdź punkty stacjonarne, ten przykład ma x \u003d 0;
• znajdź zera mianownika, przykład wykonuje wartość zera w X \u003d ± 1 2.

Punkty testowe na osi numerycznej w celu określenia pochodnej w każdym przedziale. Aby to zrobić, wystarczy wziąć w dowolnym momencie odstępy i obliczenia. Dzięki pozytywnym wynikowi wykres jest przedstawiający +, co oznacza zwiększenie funkcji i - oznacza zmniejszenie.

Na przykład F "(- 1) \u003d - 2 · (- 1) 4 - 1 2 - 1 2 \u003d 2 9\u003e 0, oznacza to, że pierwszy interwał lewej ma znak +. Rozważmy na linii numerycznej.

Odpowiedź:

• istnieje wzrost funkcji w interwałie - ∞; - 1 2 i (- 1 2; 0];
• zmniejszenie interwału [0; 1 2) i 1 2; + ∞.

Na diagramie z + i - przedstawiono pozytywność i negatywność funkcji, a strzelca jest zmniejszona i wzrasta.

Funkcja funkcji punktów ekstremum - Punkty, w których funkcja jest zdefiniowana, a dzięki której pochodne zmienia znak.

Przykład 4.

Jeśli rozważymy przykład, w którym x \u003d 0, wartość funkcji w nim jest równa f (0) \u003d 0 2 4 · 0 2 - 1 \u003d 0. Podczas zmiany znaku pochodnej za pomocą + ON - i przechodząc przez punkt x \u003d 0, wówczas punkt z współrzędnymi (0; 0) jest uważany za maksymalny punkt. Podczas zmiany znaku C - ON + otrzymujemy minimalny punkt.

Konwersja i wklęsłość określa się podczas rozwiązywania nierównościach formy F "" (X) ≥ 0 i F "" (X) ≤ 0. Rzadziej używaj nazwy wybrzuszenia zamiast wklęsły, a wybrzuszenie zamiast wypukłości.

Definicja 3.

Dla określanie luk wklęsła i wybrzuszenia Potrzeba:

• znajdź drugą pochodną;
• znajdź zer funkcji drugiej pochodnej;
• podzielić obszar definicji, który pojawił się w odstępach czasu;
• określ znak interwałowy.

Przykład 5.

Znajdź drugą pochodną z obszaru definicji.

Decyzja

f "" (x) \u003d - 2 x (4 x 2 - 1) 2 "\u003d \u003d (- 2 x)" (4 x 2 - 1) 2 - - 2 x 4 x 2 - 1 2 "(4 x 2 - 1) 4 \u003d 24 x 2 + 2 (4 x 2 - 1) 3

Znaleźmy zerę numeratora i mianownika, gdzie na przykładzie naszego przykładu mamy, że zera mianownika X \u003d ± 1 2

Teraz musisz zastosować punkty do osi numerycznej i zdefiniować znak drugiej pochodnej każdej szczeliny. Dostajemy to

Odpowiedź:

• funkcja jest wypukła z luki - 1 2; 12;
• funkcja jest wklęsła z luk - ∞; - 1 2 i 1 2; + ∞.

Definicja 4.

Punkt fleksji - Jest to punkt typu X 0; f (x 0). Gdy jest styczna do grafiki funkcji, wtedy, gdy przechodzi przez x 0, funkcja zmienia znak na odwrót.

Innymi słowy, jest to taki punkt, dzięki którym druga pochodna przechodzi i zmienia znak, aw samym punktach równa się zero lub nie istnieje. Wszystkie punkty są uważane za obszar definicji pola.

W przykładzie było jasne, że punkty fleksji są nieobecne, ponieważ druga pochodna zmienia znak podczas przechodzenia przez punkty x \u003d ± 1 2. Z kolei nie są uwzględniane w dziedzinie definicji.

Znalezienie poziomych i skłonnych asymptotów

Przy określaniu funkcji w nieskończoności konieczne jest poszukiwanie poziomych i skłonnych asymptotów.

Definicja 5.

Pochyły asymptotyzdjęcia przedstawiono za pomocą bezpośredniego określonego przez równanie Y \u003d K X + B, gdzie k \u003d lim x → ∞ f (x) x i b \u003d lim x → ∞ f (x) - k x.

W K \u003d 0 i B, nie równa nieskończoności, otrzymujemy, że nachylona asymptota staje się poziomy.

Innymi słowy, Asymptoty uwzględniają linie, do których harmonogram funkcji zbliża się do nieskończoności. Przyczynia się to do szybkiej konstrukcji grafiki funkcyjnej.

Jeśli brakuje Asymptotów, ale funkcja jest określona na obu Infinicjach, konieczne jest obliczenie limitu funkcji w tej nieskończoności, aby zrozumieć, jak sam wykres funkcji będzie.

Przykład 6.

Na przykładzie, rozważ to

k \u003d lim x → ∞ f (x) x \u003d lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 x \u003d 0 b \u003d lim x → ∞ (f (x) - kx) \u003d lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 \u003d 1 4 ⇒ y \u003d 1 4

jest horyzontalny asymptota. Po badaniu funkcja może zostać uruchomiona, aby go zbudować.

Oblicz wartość funkcji w punktach pośrednich

Aby zbudować harmonogram jest najbardziej dokładny, zaleca się znalezienie kilku funkcji funkcji w punktach pośrednich.

Przykład 7.

Od tego przykładu należy znaleźć wartości funkcji w punktach X \u003d - 2, X \u003d - 1, X \u003d - 3 4, X \u003d - 1 4. Ponieważ funkcja jest nawet, uzyskujemy, że wartości pokrywa się z wartościami w tych punktach, czyli, otrzymujemy x \u003d 2, X \u003d 1, X \u003d 3 4, X \u003d 1 4.

Piszemy i rozwiązujemy:

F (- 2) \u003d F (2) \u003d 2 2 4 · 2 2 - 1 \u003d 4 15 ≈ 0, 27 F (- 1) - F (1) \u003d 1 2 4 · 1 2 - 1 \u003d 1 3 ≈ 0 , 33 F - 3 4 \u003d F3 4 \u003d 3 4 2 4 3 4 2 - 1 \u003d 9 20 \u003d 0, 45 F - 1 4 \u003d F 1 4 \u003d 1 4 2 4 · 1 4 2 - 1 \u003d - 1 12 ≈ - 0, 08

Aby określić maksymy i minimę funkcji, punktów fleksji, punkty pośrednie muszą zbudować asymptoty. Dla wygodnego oznaczenia odnotowano luki rosnące, zmniejszenia, wybrzuszenia, cążki. Rozważyć na rysunku pokazanym poniżej.

Jest to konieczne za pośrednictwem oznaczonych punktów do wykonywania linii wykresu, który przybliży bliżej asymptamów, zgodnie z arrogami.

To kończy pełne badanie funkcji. Istnieją przypadki konstruowania niektórych funkcji podstawowych, dla których stosowane są transformacje geometryczne.

Jeśli zauważysz błąd w tekście, wybierz go i naciśnij Ctrl + Enter