Wywracanie kuli na lewą stronę. Dla tych, którzy nie lubią matematyki

Wielki matematyk David Hilbert powiedział kiedyś, że teorię matematyczną można uznać za idealną tylko wtedy, gdy można ją przedstawić pierwszej napotkanej osobie. Zwolennicy Hilberta są w kompletnej rozpaczy, próbując żyć według tego przepisu. Matematyka staje się coraz bardziej wyspecjalizowana, a teraz uczonemu matematykowi czasami trudno jest nawet wytłumaczyć kolegom istotę problemów, które rozwiązuje. Jednak od czasu do czasu badania w wiodących i pozornie niezrozumiałych gałęziach tej nauki prowadzą do odkrycia, które jest interesujące dla laika, a jednocześnie można je wytłumaczyć bez nadmiernych uproszczeń. Uderzającym tego przykładem jest twierdzenie Stephena Smale'a o tzw. regularnych odwzorowaniach sfery, opublikowane w 1959 roku.

Dziedziną, w której pracował wtedy Smale, była topologia różniczkowa, jedna z najbardziej abstrakcyjnych gałęzi współczesnej matematyki. Jest to tym bardziej zaskakujące, że udało się jednak wymyślić wizualne wyjaśnienie jednej z najbardziej uderzających konsekwencji twierdzenia Smale'a. Mianowicie możesz zademonstrować, jak odwrócić kulę na lewą stronę.

W zwykłym sensie jest to oczywiście niemożliwe: kula musiałaby zostać rozerwana. Ale w topologii różniczkowej wolno - oczywiście mentalnie - przeciągać powierzchnię przez siebie - takie są "reguły gry" w tej nauce. Ale wtedy proste rozwiązanie natychmiast rzuca się w oczy.

Konieczne jest ściśnięcie przeciwnych stron w kierunku środka, aż przejdą przez siebie (I). Wewnętrzna, pomalowana powierzchnia (II) wyłania się z dwóch przeciwległych krawędzi. Kontynuujmy ten proces „wyciągania” powierzchni wewnętrznej, aż pierścień utworzony przez pozostałą część powierzchni zewnętrznej (II) całkowicie zniknie. Niestety w tym procesie pierścień tworzy ciasną pętlę (III), którą należy zacisnąć. Rezultatem jest blizna (IV), a to nie zadowala topologów różnicowych, ponieważ biorą pod uwagę tylko tak zwane „gładkie powierzchnie”, które nie mają żadnych rogów i załamań.

Zadanie polega więc na odwróceniu kuli na lewą stronę w taki sposób, aby pozbywając się pierścienia nie powstała blizna. I tu intuicja znów podpowiada, że ​​problem jest nie do rozwiązania. Kiedy Smale po raz pierwszy ogłosił, że może udowodnić istnienie rozwiązania, nikt mu nie uwierzył. Ale intuicja była błędna: w dowodzie Smale'a nie było ani jednego logicznego błędu. Matematycy przekonali się, że teoretycznie możliwe jest prześledzenie dowodu krok po kroku i znalezienie jednoznacznego opisu deformacji, która wywraca kulę na lewą stronę. Ale było to tak trudne, że wydawało się to beznadziejne. Przez jakiś czas po odkryciu Smale'a było wiadomo, że w zasadzie można wywrócić kulę na lewą stronę bez blizny, ale nikt nie miał najmniejszego pojęcia, jak to zrobić.

Ale w końcu matematycy poradzili sobie z tym zadaniem. Jak - zrozumiesz patrząc na zdjęcia. Są zabawne.

Chociaż dowód Smale nie składał się z samych rysunków. Ciekawe, że w jego pracy w ogóle ich nie ma – te figury, które są implicite zawarte w jego abstrakcyjnym aparacie analitycznym, są zbyt złożone. Najbardziej pomysłowy artysta nie byłby w stanie ich zobrazować - wyobraźnia matematyków jest niesamowita. Ale być może jeszcze bardziej niesamowita jest ich zdolność do przekazywania sobie nawzajem najbardziej złożonych pomysłów bez uciekania się do rysunków. Historia odwrócenia kuli jest tego wyraźnym dowodem. Publiczność stała się znana dzięki francuskiemu topologowi Rene Thomasowi, który dowiedział się o niej od swojego kolegi Bernarda Morina, a on z kolei od Amerykanina Arnolda Shapiro, wynalazcy tego „odwrócenia”. Jest to szczególnie ciekawe, biorąc pod uwagę, że Bernard Morin jest niewidomy.

Te zdjęcia pokazują, jak można wywrócić sferę na lewą stronę bez naruszania wymagań topologii różnicowej. Najpierw musisz połączyć przeciwne strony szarej kuli (A), przepychając je przez siebie. Następnie po obu stronach pojawia się pomalowana powierzchnia (B). Następnie rozciągnij jeden z pomalowanych kawałków (C) tak, aby uzyskać powierzchnię przypominającą siodło na dwóch „nogach” (O). Te dwie nogi są skręcone w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara i uzyskuje się powierzchnię E. Jest to pokazane ponownie (P) „w przekroju” za pomocą wstążek, które, podobnie jak w „sferze z blizną”, przedstawiają przekroje w dziesięciu różnych poziomy.

Co więcej, nie ma sensu przedstawiać powierzchni uzyskanych na każdym etapie - są one zbyt złożone. Ale możesz, jeśli chcesz, rozważyć wstążki na wszystkich 10 poziomach i mentalnie zakończyć rysowanie. Mimo to zdecydowaliśmy się pokazać jeden etap (H2) - tylko po to, aby można było sobie wyobrazić, jaki rodzaj wynikowych figur. Powierzchnia G pojawia się po ściśnięciu i obrocie o 90° siodła powierzchni P.

Jeszcze kilka kroków. Mianowicie: pomiędzy etapami I i J przechodzą przez siebie dwie nogi o tym samym kształcie. Każda sekcja powierzchni w kształcie wstążki w kroku J ma dwie szare strony zwrócone do siebie. Między etapami J i K warstwa wewnętrzna rozszerza się, a zewnętrzna kurczy; uzyskuje się powierzchnię K - dokładnie taką samą jak J, tylko kolory są odwrócone.

Następnie wszystkie kroki przebiegają w odwrotnej kolejności. Możesz się o nich zorientować, patrząc na zdjęcia I, H, C itp. Wystarczy zamienić kolory wstążek na każdym zdjęciu. Przedstawiamy koniec tego drugiego rzędu zdjęć. Powierzchnia L odpowiada powierzchni F, L2 do E i tak dalej.

Kolorowa kula (powierzchnia P) odpowiada szarej kuli (powierzchnia A). Tak więc deformacja jest zakończona i nie ma blizny. Samą możliwość tej sztuczki po raz pierwszy udowodnił S. Smale. A wszystkie kolejne etapy deformacji wymyślił A. Shapiro…

PS. O czym jeszcze mówią brytyjscy naukowcy: że mechanizm wywracania kuli na lewą stronę jest czasem nie bardziej filozoficzny niż, powiedzmy, program PDF stworzony przez jakiegoś utalentowanego programistę.

W przestrzeni 3D można go wywrócić na lewą stronę w klasie immersyjnej, czyli z możliwymi samoprzecięciami, ale bez załamań. Innymi słowy, obraz kuli w każdym momencie deformacji musi pozostać gładki, czyli różnicowalny.

Odwrócenie kuli wcale nie jest logicznym paradoksem, to twierdzenie, tylko bardzo sprzeczne z intuicją. Dokładniej:

Trudno przedstawić konkretny przykład takiej rodziny nurkowań, choć istnieje wiele ilustracji i filmów. Z drugiej strony dużo łatwiej jest udowodnić, że taka rodzina istnieje i tak właśnie zrobił Smale.

Fabuła

Ten paradoks odkrył Smale w 1958 roku. Według legendy, gdy Smale próbował opublikować to twierdzenie, otrzymał odpowiedź, że twierdzenie to było oczywiście błędne, ponieważ stopień odwzorowania Gaussa musi być zachowany w procesie takiego „odwracania”. [ ] Rzeczywiście, stopień odwzorowania Gaussa musi być zachowany, w szczególności pokazuje to, że koła nie można „odwrócić” w płaszczyźnie, ale stopnie odwzorowań Gaussa y $F$ i w $-F$ v $(\backslash mathbb\; R)^3$ oba są równe 1. Ponadto stopień dowolnego osadzenia $S^2\backslash to\; (\backslash mathbb\; R)^3$ równa się 1.

Wariacje i uogólnienia

Napisz recenzję artykułu „Odwracanie kuli”

Literatura

• Mały Stephen Klasyfikacja immersji dwusfery. Przeł. am. Matematyka. soc. 90 1958 281-290.
• Franciszka, J. Moskwa: Mir, 1991. Rozdział 6. Wywracanie kuli na lewą stronę.

Uwagi

Fragment charakteryzujący wywinięcie kuli

— Znowu pułkowniku — powiedział generał — ale połowy ludzi nie mogę zostawić w lesie. Błagam, błagam — powtórzył — zajmij pozycję i przygotuj się do ataku.
„I proszę, abyś nie wtrącał się we własne sprawy”, odpowiedział pułkownik, podekscytowany. - Gdybyś był kawalerzystą...
- Nie jestem kawalerzystą, pułkowniku, ale rosyjskim generałem, a jeśli nie wiesz...
— Bardzo dobrze znany, Wasza Ekscelencjo — krzyknął nagle pułkownik, dotykając konia i zmieniając kolor na czerwono-fioletowy. - Chciałbyś dołączyć do łańcuchów, a zobaczysz, że ta pozycja jest bezwartościowa. Nie chcę niszczyć mojego pułku dla twojej przyjemności.
– Zapominasz, pułkowniku. Nie obserwuję swojej przyjemności i nie pozwolę jej powiedzieć.
Generał, przyjmując zaproszenie pułkownika na turniej odwagi, prostując pierś i marszcząc brwi, jechał z nim w kierunku łańcucha, jakby tam, w łańcuchu, pod kulami, miała rozstrzygnąć cała ich niezgoda. Dotarli do łańcucha, kilka kul przeleciało nad nimi i zatrzymali się w milczeniu. W łańcuchu nie było nic do zobaczenia, ponieważ nawet z miejsca, w którym wcześniej stali, było jasne, że kawaleria nie może operować przez krzaki i wąwozy, a Francuzi omijają lewe skrzydło. Generał i pułkownik patrzyli surowo i znacząco, gdy dwa koguty przygotowujące się do bitwy patrzyły na siebie, na próżno czekając na oznaki tchórzostwa. Obaj zdali test. Skoro nie było nic do powiedzenia i ani jedno, ani drugie nie chciało dać drugiemu powodu, by powiedzieć, że jako pierwszy wyszedł spod kul, staliby tam długo, wzajemnie doznając odwagi, gdyby w tym czasie w lesie, prawie za nimi, słychać było terkot broni i stłumiony, zlewany krzyk. Francuzi zaatakowali żołnierzy znajdujących się w lesie drewnem opałowym. Husaria nie mogła już wycofać się z piechotą. Od odwrotu na lewo odcięła ich linia francuska. Teraz, jakkolwiek niewygodny teren był, trzeba było zaatakować, aby przebić się.
Eskadra, w której służył Rostow, któremu właśnie udało się wsiąść na konie, została zatrzymana przed wrogiem. Znowu, podobnie jak na moście w Ensku, między eskadrą a wrogiem nie było nikogo, a między nimi, oddzielając ich, leżała ta sama straszna linia niepewności i strachu, jakby to była, linia oddzielająca żywych od umarłych. Wszyscy ludzie czuli tę granicę, a pytanie, czy przekroczą tę granicę i jak ją przekroczą, niepokoiło ich.

Wyobraź sobie, że „zwykła” dwuwymiarowa sfera S 2 jest wykonany z elastycznego materiału, który może przez siebie przejść. Czy można wywrócić kulę na lewą stronę w zwykłej trójwymiarowej przestrzeni $$\mathbb(R)^3$$ bez przerw i przerw, ale z możliwym samoprzecięciem się (czyli w klasie immersji)?

W 2000 roku Smale sporządził listę 18 wyzwań, które jego zdaniem powinny zostać rozwiązane w XXI wieku. Lista ta jest sporządzona w duchu problemów Hilberta i, podobnie jak późniejsze Problemy Tysiąclecia, zawiera hipotezę Riemanna, kwestię równości klas P i NP, problem rozwiązania równań Naviera-Stokesa i Poincarego. przypuszczenie udowodnione teraz przez Perelmana. Smale sporządził swoją listę na prośbę Arnolda, ówczesnego prezesa Międzynarodowej Unii Matematycznej, który najprawdopodobniej wziął pomysł na tę listę z listy problemów Hilberta.

I na koniec pytanie: czy można „obrócić” koło w samolocie, czyli znaleźć ciągłą rodzinę zanurzeń, jak wyżej?

Uwagi

Ciekawy. Przychodzi mi na myśl następująca rzecz. Wyobraźmy sobie kulę w formie rzutu stereograficznego - płaszczyznę z nieskończonością. Wtedy odwrócenie kuli na lewą stronę wygląda jak „sfałdowanie” samolotu w drugą stronę, czyli z inną orientacją. Gdzieś jest dziura w rozumowaniu, prawda?

Otóż ​​faktem jest, że rzut stereograficzny implikuje wybór punktu na kuli, który nie odpowiada niczemu na płaszczyźnie, a to zmienia reguły gry, ponieważ zgodnie z warunkami kuli nie można złamać, a dokładnie tego punktu nie można przebić.

Cóż, w zasadzie podejrzewałem, że istnieje słaby punkt z nieskończenie odległym punktem. Chciałem tylko poznać niezależną opinię ;).

Misha, chciałbym usłyszeć, czy w teorii strun istnieją powierzchnie K3, a jeśli tak, to jak dokładnie się tam pojawiają?

Tak, czasami tak. W kontekście zagęszczania. K3 ma grupę holonomii $$SU(2)\podzbiór SU(2)\times SU(2)$$ i dlatego zachowuje połowę supersymetrii. Fenomenologicznie takie modele nie są zbyt interesujące, ale ludzie nadal je rozważają.

Obracam kulę bez załamań nawet łatwiej niż film. Należy przykleić palcem część powierzchni kuli do środka. Obróć tę wewnętrzną część kuli o 180 stopni, a otwór zamknie się bez załamań. Meridiany kuli, które były okręgami, zamienią się w „ósemki” z mniejszą głową wewnątrz większej. Następnie napompuj wewnętrzną prawie kulkę, aż wycieknie. Oczywiście jego wygląd zostanie odwrócony. Pozostaje to, co było w większości, a teraz stało się mniejsze w porównaniu do spuchniętego, aby obrócić się o 180 stopni. Zaciśnięty otwór otworzy się, wyprostujemy wgniecenie i cel osiągnięty!

Tutaj okazuje się, że punkt staje się nieskończonością, a nieskończoność staje się punktem. Lub „tożsamość wszechświata”: co jest w środku, co jest na zewnątrz.
Powstaje zatem paradygmat – mikrokosmos można badać za pomocą makrokosmosu i odwrotnie.
Pytanie dotyczy granicy promienia =]h/2;2/h[. Tutaj h jest używane jako metryczna granica dokładności pomiaru, czyli ten sam epsilon podzielony przez dwa.
Również fizyczne istnienie takiej sfery można w różnych przypadkach udowodnić lub obalić.
Czy się mylę?