W geometrii często rozważa się pojęcie „wierzchołka trójkąta”. Jest to punkt przecięcia dwóch boków danej figury. Ta koncepcja pojawia się w prawie każdym problemie, dlatego warto rozważyć ją bardziej szczegółowo.

Wyznaczanie wierzchołka trójkąta

W trójkącie istnieją trzy punkty, w których boki przecinają się, tworząc trzy kąty. Nazywa się je wierzchołkami, a boki, na których spoczywają, nazywane są bokami trójkąta.

Ryż. 1. Wierzchołek trójkąta.

Wierzchołki trójkątów są oznaczone wielkimi literami. Dlatego najczęściej w matematyce boki oznacza się dwiema dużymi literami łacińskimi, po nazwach wierzchołków wchodzących w boki. Na przykład bok AB jest bokiem trójkąta łączącego wierzchołki A i B.

Ryż. 2. Oznaczanie wierzchołków trójkąta.

Charakterystyka koncepcji

Jeśli weźmiemy trójkąt dowolnie zorientowany w płaszczyźnie, w praktyce bardzo wygodnie jest wyrazić jego cechy geometryczne poprzez współrzędne wierzchołków tej figury. Zatem wierzchołek A trójkąta można wyrazić jako punkt o określonych parametrach liczbowych A(x; y).

Znając współrzędne wierzchołków trójkąta, możesz znaleźć punkty przecięcia środkowych, długość wysokości obniżonej do jednego z boków figury oraz obszar trójkąta.

W tym celu wykorzystuje się właściwości wektorów przedstawionych w kartezjańskim układzie współrzędnych, ponieważ długość boku trójkąta określa się na podstawie długości wektora z punktami, w których znajdują się odpowiednie wierzchołki tej figury.

Korzystanie z wierzchołka trójkąta

Dla dowolnego wierzchołka trójkąta można znaleźć kąt, który będzie sąsiadował z kątem wewnętrznym danej figury. Aby to zrobić, będziesz musiał przedłużyć jeden z boków trójkąta. Ponieważ w każdym wierzchołku znajdują się dwa boki, w każdym wierzchołku znajdują się dwa kąty zewnętrzne. Kąt zewnętrzny jest równy sumie dwóch kątów wewnętrznych trójkąta, które do niego nie przylegają.

Ryż. 3. Własność kąta zewnętrznego trójkąta.

Jeśli skonstruujesz dwa kąty zewnętrzne w jednym wierzchołku, będą one równe, jak kąty pionowe.

Czego się nauczyliśmy?

Jednym z ważnych pojęć geometrycznych przy rozpatrywaniu różnych typów trójkątów jest wierzchołek. Jest to punkt, w którym przecinają się dwa boki kąta danej figury geometrycznej. Jest on oznaczony jedną z wielkich liter alfabetu łacińskiego. Wierzchołek trójkąta można wyrazić za pomocą współrzędnych x i y, co pomaga zdefiniować długość boku trójkąta jako długość wektora.

Testuj w temacie

Ocena artykułu

Średnia ocena: 4.2. Łączna liczba otrzymanych ocen: 153.

Jak nauczyć się rozwiązywać problemy z geometrii analitycznej?
Typowy problem z trójkątem na płaszczyźnie

Lekcja ta powstaje na temat podejścia do równika pomiędzy geometrią płaszczyzny a geometrią przestrzeni. W chwili obecnej istnieje potrzeba usystematyzowania zgromadzonych informacji i odpowiedzi na bardzo ważne pytanie: jak nauczyć się rozwiązywać problemy z geometrii analitycznej? Trudność polega na tym, że można wymyślić nieskończoną liczbę problemów z geometrii, a żaden podręcznik nie będzie zawierał całej mnogości i różnorodności przykładów. Nie jest pochodna funkcji z pięcioma regułami różnicowania, tabelą i kilkoma technikami….

Jest rozwiązanie! Nie będę mówił głośno o tym, że opracowałem jakąś imponującą technikę, jednak moim zdaniem istnieje skuteczne podejście do rozważanego problemu, które pozwala nawet kompletnemu manekinowi osiągnąć dobre i doskonałe wyniki. Przynajmniej ogólny algorytm rozwiązywania problemów geometrycznych uformował się bardzo wyraźnie w mojej głowie.

CO MUSISZ WIEDZIEĆ I UMIEĆ
za skuteczne rozwiązywanie problemów z geometrią?

Nie ma od tego ucieczki – aby przypadkowo nie szturchać nosami guzików, trzeba opanować podstawy geometrii analitycznej. Dlatego jeśli dopiero zacząłeś uczyć się geometrii lub całkowicie o niej zapomniałeś, zacznij od lekcji Wektory dla manekinów. Oprócz wektorów i działań z nimi musisz znać podstawowe pojęcia z geometrii płaskiej, w szczególności: równanie prostej w płaszczyźnie I . Geometria przestrzeni jest prezentowana w artykułach Równanie płaszczyzny, Równania prostej w przestrzeni, Podstawowe problemy na prostej i płaszczyźnie oraz kilka innych lekcji. Zakrzywione linie i powierzchnie przestrzenne drugiego rzędu są nieco od siebie oddalone i nie ma z nimi zbyt wielu specyficznych problemów.

Załóżmy, że student posiada już podstawową wiedzę i umiejętności rozwiązywania najprostszych problemów geometrii analitycznej. Ale dzieje się tak: czytasz opis problemu i... chcesz zamknąć całą sprawę, rzucić ją w najdalszy kąt i zapomnieć, jak zły sen. Co więcej, zasadniczo nie zależy to od poziomu Twoich kwalifikacji, sam od czasu do czasu natrafiam na zadania, dla których rozwiązanie nie jest oczywiste. Co zrobić w takich przypadkach? Nie musisz bać się zadania, którego nie rozumiesz!

Po pierwsze, należy zainstalować - Czy jest to problem „płaski”, czy przestrzenny? Na przykład, jeśli warunek obejmuje wektory z dwiema współrzędnymi, to oczywiście jest to geometria płaszczyzny. A jeśli nauczyciel załadował wdzięcznego słuchacza piramidą, wówczas wyraźnie widać geometrię przestrzeni. Wyniki pierwszego kroku są już całkiem niezłe, bo udało nam się odciąć ogromną ilość informacji niepotrzebnych do tego zadania!

Drugi. Warunek będzie zazwyczaj dotyczył jakiejś figury geometrycznej. Rzeczywiście, idź korytarzami swojego rodzimego uniwersytetu, a zobaczysz wiele zmartwionych twarzy.

W problemach „płaskich”, nie wspominając o oczywistych punktach i liniach, najpopularniejszą figurą jest trójkąt. Przeanalizujemy to bardzo szczegółowo. Następny jest równoległobok, a znacznie mniej popularne są prostokąt, kwadrat, romb, okrąg i inne kształty.

W zadaniach przestrzennych mogą latać te same płaskie figury + same płaszczyzny i zwykłe trójkątne piramidy z równoległościanami.

Pytanie drugie - Czy wiesz wszystko o tej postaci? Załóżmy, że warunek mówi o trójkącie równoramiennym, a ty bardzo mgliście pamiętasz, jaki to rodzaj trójkąta. Otwieramy podręcznik szkolny i czytamy o trójkącie równoramiennym. Co robić...lekarz powiedział romb, to znaczy romb. Geometria analityczna jest geometrią analityczną, ale problem zostanie rozwiązany dzięki właściwościom geometrycznym samych figur, znane nam ze szkolnego programu nauczania. Jeśli nie wiesz, jaka jest suma kątów trójkąta, możesz cierpieć przez długi czas.

Trzeci. ZAWSZE staraj się postępować zgodnie z rysunkiem(na wersji roboczej/kopię gotową/w pamięci), nawet jeśli warunek nie wymaga tego. W przypadku „płaskich” problemów sam Euklides kazał wziąć linijkę i ołówek - i to nie tylko po to, aby zrozumieć stan, ale także w celu autotestu. W tym przypadku najwygodniejszą skalą jest 1 jednostka = 1 cm (2 komórki notesu). Nie mówmy o nieostrożnych studentach i matematykach przewracających się w grobach - w takich zadaniach prawie niemożliwe jest popełnienie błędu. W przypadku zadań przestrzennych wykonujemy rysunek schematyczny, który pomoże również w analizie stanu.

Rysunek lub schematyczny rysunek często pozwala od razu zobaczyć sposób rozwiązania problemu. Oczywiście do tego trzeba znać podstawy geometrii i rozumieć właściwości kształtów geometrycznych (patrz poprzedni akapit).

Czwarty. Opracowanie algorytmu rozwiązania. Wiele problemów z geometrią ma charakter wieloetapowy, dlatego rozwiązanie i jego projekt można bardzo wygodnie rozbić na punkty. Często algorytm przychodzi na myśl od razu po przeczytaniu warunku lub ukończeniu rysunku. W przypadku trudności zaczynamy od PYTANIA o zadanie. Na przykład zgodnie z warunkiem „musisz zbudować linię prostą…”. Tutaj najbardziej logiczne pytanie brzmi: „Co wystarczy wiedzieć, aby skonstruować tę linię prostą?” Załóżmy, że „znamy punkt, musimy znać wektor kierunku”. Zadajemy następujące pytanie: „Jak znaleźć ten wektor kierunkowy? Gdzie?" itp.

Czasami pojawia się „błąd” - problem nie został rozwiązany i tyle. Przyczyny zatrzymania mogą być następujące:

– Poważna luka w podstawowej wiedzy. Innymi słowy, nie wiesz i/lub nie widzisz jakiejś bardzo prostej rzeczy.

– Nieznajomość właściwości figur geometrycznych.

– Zadanie było trudne. Tak, to się zdarza. Nie ma sensu parować godzinami i zbierać łez w chusteczkę. Poproś o poradę swojego nauczyciela, innych uczniów lub zadaj pytanie na forum. Co więcej, lepiej jest skonkretyzować jego stwierdzenie - dotyczące tej części rozwiązania, której nie rozumiesz. Krzyk w formie „Jak rozwiązać problem?” nie wygląda zbyt dobrze... a przede wszystkim dla własnej reputacji.

Etap piąty. Decydujemy – sprawdzamy, decydujemy – sprawdzamy, decydujemy – sprawdzamy – udzielamy odpowiedzi. Warto sprawdzić każdy punkt zadania zaraz po jego zakończeniu. Pomoże to natychmiast wykryć błąd. Oczywiście nikt nie zabrania szybkiego rozwiązania całego problemu, jednak istnieje ryzyko przepisania wszystkiego od nowa (często kilka stron).

Są to być może wszystkie główne kwestie, którymi należy się kierować przy rozwiązywaniu problemów.

Część praktyczna lekcji prowadzona jest na geometrii płaskiej. Będą tylko dwa przykłady, ale to nie wystarczy =)

Przejdźmy przez wątek algorytmu, któremu właśnie się przyjrzałem w mojej małej pracy naukowej:

Przykład 1

Dane są trzy wierzchołki równoległoboku. Znajdź szczyt.

Zacznijmy rozumieć:

Krok pierwszy: Jest oczywiste, że mówimy o problemie „płaskim”.

Krok drugi: Problem dotyczy równoległoboku. Czy wszyscy pamiętają tę figurę równoległoboku? Nie ma co się uśmiechać, wiele osób zdobywa wykształcenie w wieku 30-40-50 lat i więcej, więc nawet proste fakty można wymazać z pamięci. Definicja równoległoboku znajduje się w przykładzie nr 3 lekcji Liniowa (nie)zależność wektorów. Baza wektorów.

Krok trzeci: Zróbmy rysunek, na którym zaznaczymy trzy znane wierzchołki. Zabawne, że nie jest trudno od razu skonstruować pożądany punkt:

Zbudowanie go jest oczywiście dobre, jednak rozwiązanie należy sformułować analitycznie.

Krok czwarty: Opracowanie algorytmu rozwiązania. Pierwszą rzeczą, która przychodzi na myśl, jest to, że punkt można znaleźć jako przecięcie linii. Nie znamy ich równań, więc będziemy musieli uporać się z tym zagadnieniem:

1) Przeciwne boki są równoległe. Według punktów Znajdźmy wektor kierunkowy tych boków. To najprostszy problem omawiany na zajęciach. Wektory dla manekinów.

Notatka: bardziej poprawne jest powiedzenie „równanie prostej zawierającej bok”, ale w tym miejscu i dalej dla zwięzłości będę używał wyrażeń „równanie boku”, „wektor kierunku boku” itp.

3) Przeciwne boki są równoległe. Korzystając z punktów, znajdujemy wektor kierunkowy tych boków.

4) Utwórzmy równanie linii prostej za pomocą punktu i wektora kierunkowego

W akapitach 1-2 i 3-4 faktycznie rozwiązaliśmy ten sam problem dwukrotnie, nawiasem mówiąc, zostało to omówione w przykładzie nr 3 lekcji Najprostsze zadania z linią prostą na płaszczyźnie. Można było wybrać dłuższą trasę - najpierw znajdź równania prostych, a dopiero potem „wyciągnij” z nich wektory kierunkowe.

5) Teraz znane są równania linii. Pozostaje tylko ułożyć i rozwiązać odpowiedni układ równań liniowych (patrz przykłady nr 4, 5 z tej samej lekcji Najprostsze zadania z linią prostą na płaszczyźnie).

Punkt został znaleziony.

Zadanie jest dość proste i jego rozwiązanie oczywiste, ale jest krótsza droga!

Drugie rozwiązanie:

Przekątne równoległoboku są podzielone na pół przez punkt przecięcia. Zaznaczyłem punkt, ale żeby nie zaśmiecać rysunku, nie narysowałem samych przekątnych.

Utwórzmy równanie dla boku punkt po punkcie:

Aby to sprawdzić, należy w myślach lub na szkicu zastąpić współrzędne każdego punktu w wynikowym równaniu. Teraz znajdźmy nachylenie. Aby to zrobić, przepisujemy równanie ogólne w postaci równania ze współczynnikiem nachylenia:

Zatem nachylenie wynosi:

Podobnie znajdujemy równania boków. Nie widzę większego sensu opisywania tego samego, więc od razu podam gotowy wynik:

2) Znajdź długość boku. To najprostszy problem omawiany na zajęciach. Wektory dla manekinów. Za punkty używamy wzoru:

Korzystając z tego samego wzoru, łatwo jest znaleźć długości pozostałych boków. Sprawdzenie można przeprowadzić bardzo szybko za pomocą zwykłej linijki.

Używamy wzoru .

Znajdźmy wektory:

Zatem:

Nawiasem mówiąc, po drodze znaleźliśmy długości boków.

W rezultacie:

No cóż, wydaje się, że to prawda, żeby było przekonująco, można do narożnika przymocować kątomierz.

Uwaga! Nie myl kąta trójkąta z kątem pomiędzy liniami prostymi. Kąt trójkąta może być rozwarty, ale kąt między liniami prostymi nie może (patrz ostatni akapit artykułu Najprostsze zadania z linią prostą na płaszczyźnie). Jednakże, aby znaleźć kąt trójkąta, można również skorzystać ze wzorów z powyższej lekcji, ale problem polega na tym, że te wzory zawsze dają kąt ostry. Z ich pomocą rozwiązałem ten problem w wersji roboczej i uzyskałem wynik. A na ostatecznym egzemplarzu musiałbym dopisać dodatkowe wymówki, że .

4) Napisz równanie prostej przechodzącej przez punkt równoległy do ​​tej prostej.

Zadanie standardowe, szczegółowo omówione w przykładzie nr 2 lekcji Najprostsze zadania z linią prostą na płaszczyźnie. Z ogólnego równania prostej Wyjmijmy wektor prowadzący. Utwórzmy równanie linii prostej za pomocą punktu i wektora kierunku:

Jak znaleźć wysokość trójkąta?

5) Stwórzmy równanie na wysokość i znajdźmy jej długość.

Od ścisłych definicji nie ma ucieczki, więc trzeba będzie ukraść ze szkolnego podręcznika:

Wysokość trójkąta nazywa się prostopadłą poprowadzoną od wierzchołka trójkąta do linii zawierającej przeciwny bok.

Oznacza to, że konieczne jest utworzenie równania dla prostopadłej narysowanej od wierzchołka na bok. Zadanie to omówiono w przykładach nr 6, 7 lekcji Najprostsze zadania z linią prostą na płaszczyźnie. Z równania usuń wektor normalny. Utwórzmy równanie wysokości, używając punktu i wektora kierunku:

Należy pamiętać, że nie znamy współrzędnych punktu.

Czasami równanie wysokości oblicza się ze stosunku współczynników kątowych linii prostopadłych: . W tym wypadku zatem: . Utwórzmy równanie wysokości za pomocą punktu i współczynnika kątowego (patrz początek lekcji Równanie prostej na płaszczyźnie):

Długość wysokości można znaleźć na dwa sposoby.

Jest okrężny sposób:

a) znajdź – punkt przecięcia wysokości i boku;
b) znajdź długość odcinka, korzystając z dwóch znanych punktów.

Ale w klasie Najprostsze zadania z linią prostą na płaszczyźnie rozważono wygodny wzór na odległość punktu od prostej. Punkt jest znany: , znane jest również równanie prostej: , Zatem:

6) Oblicz pole trójkąta. W przestrzeni obszar trójkąta jest tradycyjnie obliczany za pomocą iloczyn wektorowy wektorów, ale tutaj mamy trójkąt na płaszczyźnie. Korzystamy ze wzoru szkolnego:
– Pole trójkąta jest równe połowie iloczynu jego podstawy i wysokości.

W tym przypadku:

Jak znaleźć środkową trójkąta?

7) Utwórzmy równanie dla mediany.

Mediana trójkąta nazywany odcinkiem łączącym wierzchołek trójkąta ze środkiem przeciwległego boku.

a) Znajdź punkt - środek boku. Używamy wzory na współrzędne środka odcinka. Znane są współrzędne końców odcinka: , to współrzędne środka:

Zatem:

Ułóżmy równanie mediany punkt po punkcie :

Aby sprawdzić równanie, należy podstawić do niego współrzędne punktów.

8) Znajdź punkt przecięcia wysokości i środkowej. Myślę, że każdy już nauczył się wykonywać ten element łyżwiarstwa figurowego bez upadku:

RozdziałV. GEOMETRIA ANALITYCZNA NA PŁASZCZYZNIE

I W PRZESTRZENI

W tej części znajdują się zadania omówione w temacie „Geometria analityczna na płaszczyźnie i w przestrzeni”: układanie różnych równań prostych na płaszczyźnie i w przestrzeni; wyznaczanie względnego położenia prostych na płaszczyźnie, prostych, prostej i płaszczyzny, płaszczyzn w przestrzeni; obraz krzywych drugiego rzędu. Należy zaznaczyć, że w tej części przedstawiono problemy o treści ekonomicznej, których rozwiązanie wykorzystuje informacje z geometrii analitycznej na płaszczyźnie.

Przy rozwiązywaniu problemów geometrii analitycznej zaleca się korzystanie z podręczników następujących autorów: D.V. Kletenika, N. Sh. Kremer, D.T. Napisane przez V.I. Malychina, ponieważ Literatura ta obejmuje szerszy zakres zadań, które można wykorzystać do samodzielnej nauki na ten temat. Zastosowanie geometrii analitycznej do rozwiązywania problemów ekonomicznych prezentowane jest w publikacjach edukacyjnych M.S. Krass i V.I. Ermakowa.

Problem 5.1. Biorąc pod uwagę współrzędne wierzchołków trójkątaABC . Niezbędny

a) napisz równania boków trójkąta;

b) napisz równanie wysokości trójkąta wyprowadzonego z wierzchołkaZ na bokAB i znajdź jego długość;

c) napisz równanie środkowej trójkąta wyciągniętego z wierzchołkaW na bokAC ;

d) znajdź kąty trójkąta i ustal jego typ (prostokątny, ostry, rozwarty);

e) znaleźć długości boków trójkąta i określić jego typ (łuski, równoramienny, równoboczny);

e) znajdź współrzędne środka ciężkości (punktu przecięcia środkowych) trójkątaABC ;

g) znajdź współrzędne ortocentrum (punktu przecięcia wysokości) trójkątaABC .

Dla każdego z punktów a) – c) rozwiązania wykonaj rysunki w układzie współrzędnych. Zaznacz na obrazkach linie i punkty odpowiadające punktom zadania.

Przykład 5.1

Biorąc pod uwagę współrzędne wierzchołków trójkątaABC : . Konieczne jest a) napisanie równań boków trójkąta; b) napisz równanie wysokości trójkąta wyprowadzonego z wierzchołka Z na bokAB i znajdź jego długość; c) napisz równanie środkowej trójkąta wyciągniętego z wierzchołkaW na bokAC ; d) znajdź długości boków trójkąta i określ jego typ (łuski, równoramienny, równoboczny); e) znajdź kąty trójkąta i ustal jego typ (prostokątny, ostry, rozwarty); e) znajdź współrzędne środka ciężkości (punktu przecięcia środkowych) trójkąta ABC ; g) znajdź współrzędne ortocentrum (punktu przecięcia wysokości) trójkątaABC .

Rozwiązanie

A) Dla każdego boku trójkąta znane są współrzędne dwóch punktów leżących na wymaganych prostych, co oznacza, że ​​równania boków trójkąta są równaniami prostych przechodzących przez dwa dane punkty

,

Gdzie
I
odpowiednie współrzędne punktów.

Zatem podstawiając współrzędne punktów odpowiadających liniom prostym do wzoru (5.1), otrzymujemy

,
,
,

skąd po przekształceniach zapisujemy równania boków

Na ryc. 7 przedstawiamy odpowiednie boki trójkąta
prosty.

Odpowiedź:

B) Pozwalać
– wysokość rysowana od wierzchołka na bok
. Ponieważ
przechodzi przez punkt prostopadle do wektora
, wówczas ułożymy równanie prostej, korzystając z poniższego wzoru

Gdzie
– współrzędne wektora prostopadłego do żądanej linii,
– współrzędne punktu należącego do tej prostej. Znajdź współrzędne wektora prostopadłego do prostej
i podstaw do wzoru (5.2)

,
,

.

Znajdź długość wysokości CH jako odległość od punktu do linii prostej

,

Gdzie
– równanie prostej
,
– współrzędne punktu .

W poprzednim akapicie stwierdzono

Podstawiając dane do wzoru (5.3) otrzymujemy

,

Na ryc. 8 narysuj trójkąt i znalezioną wysokość CH.

Odpowiedź: .

R Jest. 8

V) mediana
trójkąt
dzieli bok
na dwie równe części, tj. kropka jest środkiem odcinka
. Na tej podstawie możesz znaleźć współrzędne
zwrotnica

, ,

Gdzie
I
I , podstawiając które do wzorów (5.4), otrzymujemy

;
.

Równanie mediany
trójkąt
Zapiszmy to jako równanie prostej przechodzącej przez punkty
I
zgodnie ze wzorem (5.1)

,

.

Odpowiedź:(ryc. 9).

R Jest. 9

G) Długości boków trójkąta wyznaczamy jako długości odpowiednich wektorów, tj.

,
,
.

Strony
I
trójkąt
są równe, co oznacza, że ​​trójkąt jest równoramienny z podstawą
.

Odpowiedź: trójkąt
równoramienny z podstawą
;

,
.

D) Kąty trójkąta
znajdźmy kąty między wektorami wychodzącymi z odpowiednich wierzchołków danego trójkąta, tj.

,
,
.

Ponieważ trójkąt jest równoramienny z podstawą
, To

,

Kąty między wektorami obliczamy ze wzoru (4.4), który wymaga iloczynów skalarnych wektorów
,
.

Znajdźmy współrzędne i wielkości wektorów niezbędnych do obliczenia kątów

,
;

,
,
.

Podstawiając znalezione dane do wzoru (4.4) otrzymujemy

,

Ponieważ cosinusy wszystkich znalezionych kątów są dodatnie, wówczas trójkąt
jest ostry.

Odpowiedź: trójkąt
ostry kąt;

,
,
.

mi) Pozwalać

, a następnie współrzędne
zwrotnica
można znaleźć za pomocą wzorów (5.5)

, ,

Gdzie
,
I
– odpowiednio współrzędne punktów , I , stąd,

,
.

Odpowiedź:
– środek ciężkości trójkąta
.

I) Pozwalać – ortocentrum trójkąta
. Znajdź współrzędne punktu jako współrzędne punktu przecięcia wysokości trójkąta. Równanie wysokości
został znaleziony o godz B). Znajdźmy równanie wysokości
:

,
,

.

Ponieważ
, a następnie rozwiązanie układu

jest współrzędnymi punktu , gdzie znajdziemy
.

Odpowiedź:
– ortocentrum trójkąta
.

Zadanie 5.2. Koszty stałe w przedsiębiorstwie przy wytwarzaniu niektórych produktów sąF V 0 pocierać. na jednostkę produkcji, przy przychodach wynoszącychR 0 pocierać. na jednostkę wyprodukowanego produktu. Utwórz funkcję zyskuP (Q ) (Q

Dane dotyczące stanu problemu odpowiadającego opcjom:

Przykład 5.2

Koszty stałe w przedsiębiorstwie przy wytwarzaniu niektórych produktów są
pocierać. miesięcznie, koszty zmienne –
pocierać. na jednostkę produkcji, przy przychodach wynoszących
pocierać. na jednostkę wyprodukowanego produktu. Utwórz funkcję zyskuP (Q ) (Q – ilość wyprodukowanych produktów); zbuduj jego wykres i wyznacz próg rentowności.

Rozwiązanie

Obliczmy całkowity koszt produkcji po wydaniu Q jednostek niektórych produktów

Jeśli sprzedany Q jednostek produkcji, wtedy całkowity dochód będzie

Na podstawie otrzymanych funkcji całkowitego dochodu i kosztów całkowitych znajdujemy funkcję zysku

,

.

Próg rentowności – punkt, w którym zysk wynosi zero lub punkt, w którym koszty całkowite równają się całkowitym przychodom

,

,

skąd to znajdziemy?

- wyrównać.

Aby wykreślić wykres (ryc. 10) funkcji zysku, znajdziemy jeszcze jeden punkt

Odpowiedź: funkcja zysku
, wyrównać
.

Zadanie 5.3. Prawa podaży i popytu na określony produkt są odpowiednio określone przez równaniaP = P D (Q ), P = P S (Q ), GdzieP – cena produktu,Q - ilość towaru. Zakłada się, że popyt determinuje jedynie cena produktu na rynkuP Z , a oferta dotyczy wyłącznie cenyP S otrzymane przez dostawców. Niezbędny

a) określić punkt równowagi rynkowej;

b) punkt równowagi po wprowadzeniu podatku równegoT . Określ wzrost ceny i spadek wolumenu sprzedaży w równowadze;

c) znaleźć dotacjęS , co przełoży się na wzrost sprzedaży oQ 0 jednostki względem oryginału (określonego w lit. a));

d) znaleźć nowy punkt równowagi i dochód państwa, wprowadzając podatek proporcjonalny do ceny i równyN %;

e) określić, ile pieniędzy rząd wyda na skup nadwyżki przy ustaleniu ceny minimalnej równej P 0 .

Dla każdego punktu rozwiązania wykonaj rysunek w układzie współrzędnych. Zaznacz na rysunku linie i punkty odpowiadające elementowi zadania.

Dane dotyczące stanu problemu odpowiadającego opcjom: