Mediana trójkąta. Twierdzenia dotyczące środkowych trójkąta

Aby znaleźć medianę, korzystając z boków trójkąta, nie trzeba pamiętać dodatkowej formuły. Wystarczy znać algorytm rozwiązania.

Najpierw spójrzmy na problem w ogólnej formie.

Dany jest trójkąt o bokach a, b, c. Znajdź długość środkowej poprowadzonej do boku b.

AB=a, AC=b, BC=c.

Na półprostej BF nanosimy odcinek FD, FD=BF.

Połączmy punkt D z punktami A i C.

Czworokąt ABCD jest równoległobokiem (według atrybutu), ponieważ jego przekątne w punkcie przecięcia są podzielone na pół.

Własność przekątnych równoległoboku: suma kwadratów przekątnych równoległoboku jest równa sumie kwadratów jego boków.

Stąd: AC²+BD²=2(AB²+BC²), czyli b²+BD²=2(a²+c²),

BD²=2(a²+c²)-b². Dlatego też z konstrukcji BF stanowi połowę BD

Jest to wzór na znalezienie środkowej trójkąta na podstawie jego boków. Zwykle pisze się to w ten sposób:

Przejdźmy do rozważenia konkretnego zadania.

Boki trójkąta mają długość 13 cm, 14 cm i 15 cm. Znajdź środkową trójkąta poprowadzoną do jego boku średniej długości.

Stosując podobne rozumowanie, otrzymujemy:

AC²+BD²=2(AB²+BC²).

14²+BD²=2(13²+15²)

Mediana to odcinek poprowadzony od wierzchołka trójkąta do środka przeciwległego boku, to znaczy dzieli go na pół w punkcie przecięcia. Punkt, w którym środkowa przecina bok przeciwny do wierzchołka, z którego wychodzi, nazywa się podstawą. Każda środkowa trójkąta przechodzi przez jeden punkt, zwany punktem przecięcia. Wzór na jego długość można wyrazić na kilka sposobów.

Wzory wyrażania długości mediany

• Często w zadaniach z geometrii uczniowie mają do czynienia z odcinkiem, takim jak środkowa trójkąta. Wzór na jego długość wyraża się w bokach:

gdzie a, b i c są bokami. Ponadto c jest stroną, po której opada mediana. Tak wygląda najprostsza formuła. Do obliczeń pomocniczych czasami wymagane są środkowe trójkąta. Istnieją inne formuły.

• Jeżeli podczas obliczeń znane są dwa boki trójkąta i pewien kąt α znajdujący się między nimi, wówczas długość środkowej trójkąta obniżonej do trzeciego boku zostanie wyrażona w następujący sposób.

Podstawowe właściwości

• Wszystkie środkowe mają jeden wspólny punkt przecięcia O i są przez niego dzielone w stosunku dwa do jednego, jeśli liczymy od wierzchołka. Punkt ten nazywany jest środkiem ciężkości trójkąta.
• Mediana dzieli trójkąt na dwa inne, których pola są równe. Takie trójkąty nazywane są równymi polami.
• Jeśli narysujesz wszystkie środkowe, trójkąt zostanie podzielony na 6 równych figur, które również będą trójkątami.
• Jeśli wszystkie trzy boki trójkąta są równe, to każda ze środkowych będzie również wysokością i dwusieczną, to znaczy prostopadłą do boku, do którego jest narysowana, i dzieli na pół kąt, z którego wychodzi.
• W trójkącie równoramiennym środkowa narysowana z wierzchołka znajdującego się naprzeciw boku, który nie jest równy żadnemu innemu, będzie również wysokością i dwusieczną. Mediany wypadnięte z innych wierzchołków są równe. Jest to również warunek konieczny i wystarczający dla równoramiennych.
• Jeśli trójkąt jest podstawą regularnej piramidy, wówczas wysokość opuszczona na tę podstawę jest rzutowana na punkt przecięcia wszystkich środkowych.

• W trójkącie prostokątnym środkowa poprowadzona do najdłuższego boku jest równa połowie jego długości.
• Niech O będzie punktem przecięcia środkowych trójkąta. Poniższy wzór będzie prawdziwy dla dowolnego punktu M.

• Mediana trójkąta ma inną właściwość. Poniżej przedstawiono wzór na kwadrat jego długości poprzez kwadraty boków.

Właściwości boków, do których narysowana jest mediana

• Jeśli połączysz dowolne dwa punkty przecięcia środkowych z bokami, na które są one upuszczone, wówczas powstały odcinek będzie linią środkową trójkąta i będzie połową boku trójkąta, z którym nie ma wspólnych punktów.
• Podstawy wysokości i środkowe w trójkącie oraz środki odcinków łączących wierzchołki trójkąta z punktem przecięcia wysokości leżą na tym samym okręgu.

Podsumowując, logiczne jest stwierdzenie, że jednym z najważniejszych odcinków jest środkowa trójkąta. Jego wzór można wykorzystać do obliczenia długości pozostałych boków.

Zachowanie Twojej prywatności jest dla nas ważne. Z tego powodu opracowaliśmy Politykę prywatności, która opisuje, w jaki sposób wykorzystujemy i przechowujemy Twoje dane. Zapoznaj się z naszymi praktykami dotyczącymi prywatności i daj nam znać, jeśli masz jakiekolwiek pytania.

Gromadzenie i wykorzystywanie danych osobowych

Dane osobowe to dane, które można wykorzystać do identyfikacji konkretnej osoby lub skontaktowania się z nią.

Możesz zostać poproszony o podanie swoich danych osobowych w dowolnym momencie kontaktu z nami.

Poniżej znajduje się kilka przykładów rodzajów danych osobowych, które możemy gromadzić i sposobu, w jaki możemy je wykorzystywać.

Jakie dane osobowe zbieramy:

• Kiedy składasz wniosek na stronie, możemy zbierać różne informacje, w tym Twoje imię i nazwisko, numer telefonu, adres e-mail itp.

Jak wykorzystujemy Twoje dane osobowe:

• Gromadzone przez nas dane osobowe pozwalają nam kontaktować się z Tobą w sprawie wyjątkowych ofert, promocji i innych wydarzeń oraz nadchodzących wydarzeń.
• Od czasu do czasu możemy wykorzystywać Twoje dane osobowe do wysyłania ważnych powiadomień i komunikatów.
• Możemy również wykorzystywać dane osobowe do celów wewnętrznych, takich jak przeprowadzanie audytów, analiza danych i różnych badań w celu ulepszenia świadczonych przez nas usług i przedstawienia rekomendacji dotyczących naszych usług.
• Jeśli bierzesz udział w losowaniu nagród, konkursie lub podobnej promocji, możemy wykorzystać podane przez Ciebie informacje w celu administrowania takimi programami.

Ujawnianie informacji osobom trzecim

Nie udostępniamy otrzymanych od Państwa informacji osobom trzecim.

Wyjątki:

• Jeżeli jest to konieczne – zgodnie z przepisami prawa, procedurą sądową, w postępowaniu sądowym i/lub na podstawie publicznych żądań lub wniosków organów rządowych na terytorium Federacji Rosyjskiej – do ujawnienia Twoich danych osobowych. Możemy również ujawnić informacje o Tobie, jeśli uznamy, że takie ujawnienie jest konieczne lub właściwe ze względów bezpieczeństwa, egzekwowania prawa lub innych celów ważnych dla społeczeństwa.
• W przypadku reorganizacji, fuzji lub sprzedaży możemy przekazać zebrane dane osobowe odpowiedniej następczej stronie trzeciej.

Ochrona danych osobowych

Podejmujemy środki ostrożności – w tym administracyjne, techniczne i fizyczne – aby chronić Twoje dane osobowe przed utratą, kradzieżą i niewłaściwym wykorzystaniem, a także nieuprawnionym dostępem, ujawnieniem, zmianą i zniszczeniem.

Szanowanie Twojej prywatności na poziomie firmy

Aby zapewnić bezpieczeństwo Twoich danych osobowych, przekazujemy naszym pracownikom standardy dotyczące prywatności i bezpieczeństwa oraz rygorystycznie egzekwujemy praktyki dotyczące prywatności.

Ta strona poświęcona jest dość powszechnemu zasobowi informacji - opisowi i obliczeniu pola dowolnego trójkąta. Różnica od innych zasobów polega na obliczeniu powierzchni online, bezpośrednio w trakcie czytania artykułu

Powierzchnia przez wysokość i podstawę

To najłatwiejsza do zapamiętania formuła. Krótko mówiąc, ta formuła brzmi następująco: Pole trójkąta jest równe połowie iloczynu podstawy trójkąta i jego wysokości.

W przypadku trójkąta prostokątnego wyrażenie to nabiera jeszcze prostszego znaczenia: Pole trójkąta prostokątnego jest równe połowie iloczynu dwóch boków

obszar przechodzący przez boki trójkąta

Pole trójkąta wyrażone poprzez jego boki jest znane od bardzo dawna – pojawia się w księgach datowanych na I wiek p.n.e.

Wzór ten można wyrazić na różne sposoby, na szczęście wystarczą wzory na obliczenie parametrów trójkąta.

Jeśli jednak spojrzeć na czasy przed naszą erą, kiedy we współczesnej reprezentacji nie było żadnych formuł, zmiennych i pierwiastków, to jedynym aksjomatem, na podstawie którego Heron stworzył swoją formułę, było twierdzenie Pitagorasa . A ponieważ w tamtych czasach nie znano jeszcze liczb niewymiernych, a naukowcy dość sceptycznie podchodzili do liczb ujemnych, do myślenia używano liczb całkowitych.

Samego dowodu tutaj nie będzie; Heron po prostu założył, że dokończył dowolny trójkąt pitagorejski do prostokąta, obliczył jego pole i podzielił go przez dwa.

Obszar poprzez współrzędne wierzchołków

Gdy znane są współrzędne wierzchołków trójkąta, wzór na pole można wyrazić w następujący sposób:

Wyznacznik trzeciego rzędu można łatwo rozszerzyć, dlatego obliczenie pola nawet w trybie ręcznym nie sprawi żadnych trudności.

Pole po obu stronach i kąt między nimi

Powierzchnia przechodząca przez bok i dwa kąty

Jest to rzadkie zadanie, ale obliczyliśmy również wzór na takie początkowe dane. Uważny czytelnik od razu dostrzeże „błąd”. Tytuł mówi, że pole wyznacza się za pomocą boku i dwóch kątów, czyli trzech zmiennych, a wszystkie cztery są obecne we wzorze. Jak to?

W zasadzie nie ma tu błędu, znając jeden z podstawowych aksjomatów trójkąta, który tak mówi suma kątów wewnętrznych trójkąta jest zawsze (!!) równa 180 stopni

Dlatego nie ma nic trudnego, znając dwa kąty trójkąta, znaleźć trzeci.

Pole przechodzące przez środkowe trójkąta

To piękna formuła, prawda?

Zawiera ten segment. Nazywa się punkt przecięcia środkowej z bokiem trójkąta podstawa środkowej.

• Możesz także przedstawić tę koncepcję zewnętrzna mediana trójkąt.

Encyklopedyczny YouTube

1 / 3

✪ ŚREDNIE dwusiecznych i WYSOKOŚCI trójkąta - ocena 7

✪ Mediana trójkąta. Budowa. Nieruchomości.

✪ dwusieczna, środkowa, wysokość trójkąta. Geometria w klasie 7

Napisy na filmie obcojęzycznym

Nieruchomości

Główna nieruchomość

Wszystkie trzy środkowe trójkąta przecinają się w jednym punkcie, zwanym środkiem ciężkości trójkąta, i są podzielone przez ten punkt na dwie części w stosunku 2:1, licząc od wierzchołka.

Własności środkowych trójkąta równoramiennego

• W trójkącie równoramiennym dwie środkowe poprowadzone do równych boków trójkąta są równe, a trzecia środkowa jest zarówno dwusieczną, jak i wysokością.
• Odwrotna sytuacja jest również prawdziwa: jeśli dwie środkowe w trójkącie są równe, to trójkąt jest równoramienny, a trzecia środkowa jest zarówno dwusieczną, jak i wysokością kąta w jego wierzchołku.
• W trójkącie równobocznym wszystkie trzy środkowe są równe.

Właściwości baz medianowych

• Twierdzenie Eulera dla okręgu dziewięciu punktów: podstawy trzech wysokości dowolnego trójkąta, środki jego trzech boków ( podstawy jej środkowych) i środki trzech odcinków łączących jego wierzchołki z ortocentrum leżą na tym samym okręgu (tzw. okrąg z dziewięcioma punktami).
• Przeciągnięty fragment fusy dowolne dwie środkowe trójkąta są jego linia środkowa. Linia środkowa trójkąta jest zawsze równoległa do boku trójkąta, z którym nie ma punktów wspólnych.
  • Wniosek (twierdzenie Talesa o równoległy segmenty). Linia środkowa trójkąta jest równa połowie długości boku trójkąta, do którego jest równoległa.

Inne właściwości

• Jeśli trójkąt wszechstronny (różnoboczny), to jego dwusieczna narysowana z dowolnego wierzchołka leży pomiędzy medianą a wysokością narysowaną z tego samego wierzchołka.
• Mediana dzieli trójkąt na dwa równe (pod względem powierzchni) trójkąty.
• Trójkąt jest podzielony przez trzy środkowe na sześć równych trójkątów.
• Z segmentów tworzących środkowe możesz utworzyć trójkąt, którego powierzchnia będzie równa 3/4 całego trójkąta. Średnie długości spełniają nierówność trójkąta.
• W trójkącie prostokątnym środkowa narysowana z wierzchołka pod kątem prostym jest równa połowie przeciwprostokątnej.
• Większy bok trójkąta odpowiada mniejszej środkowej.
• Segment prosty, symetryczny lub sprzężony izogonalnie wewnętrzna środkowa względem wewnętrznej dwusiecznej nazywana jest symedianą trójkąta. Trzy simedowie przejść przez jeden punkt - Punkt Lemoine’a.
• Mediana kąta trójkąta sprzężony izotomicznie do siebie.

Podstawowe relacje

W szczególności suma kwadratów środkowych dowolnego trójkąta wynosi 3/4 sumy kwadratów jego boków: m za 2 + m b 2 + m do 2 = 3 4 (za 2 + b 2 + do 2) (\ Displaystyle m_ (a) ^ (2) + m_ (b) ^ (2) + m_ (c) ^ (2) =(\frac (3)(4))(a^(2)+b^(2)+c^(2))).

• I odwrotnie, możesz wyrazić długość dowolnego boku trójkąta za pomocą median: