Wstęp

Krzywe drugiego rzędu zostały po raz pierwszy zbadane przez jednego z uczniów Platona. Jego praca była następująca: jeśli weźmiesz dwie przecinające się linie proste i obrócisz je wokół dwusiecznej kąta przez nie utworzonego, otrzymasz powierzchnię stożkową. Jeśli przetniemy tę powierzchnię płaszczyzną, wówczas z przekroju powstają różne figury geometryczne, a mianowicie elipsa, okrąg, parabola, hiperbola i kilka figur zdegenerowanych.

Jednak ta wiedza naukowa znalazła zastosowanie dopiero w XVII wieku, kiedy okazało się, że planety poruszają się po trajektoriach eliptycznych, a pocisk armatni leci po parabolicznej. Jeszcze później okazało się, że jeśli ciału nadano pierwszą prędkość ucieczki, będzie ono poruszało się po okręgu wokół Ziemi, jeśli ta prędkość wzrośnie, będzie poruszać się po elipsie, a po osiągnięciu drugiej prędkości ucieczki ciało opuścić pole grawitacyjne Ziemi w formie paraboli.

Elipsa i jej równanie

Definicja 1. Elipsa to zbiór punktów na płaszczyźnie, których suma odległości od każdego z nich do dwóch danych punktów, zwanych ogniskami, jest wartością stałą.

Ogniska elipsy są oznaczone literami, a odległość między ogniskami jest przekroczona, a suma odległości od dowolnego punktu elipsy do ognisk jest przekroczona. Co więcej, 2a > 2c.

Równanie kanoniczne elipsy ma postać:

gdzie są powiązane równością a 2 + b 2 = c 2 (lub b 2 - a 2 = c 2).

Wielkość nazywana jest osią wielką i osią małą elipsy.

Definicja 2. Ekscentryczność Elipsa to stosunek odległości między ogniskami do długości głównej osi.

Oznaczone literą.

Ponieważ z definicji 2a>2c mimośród wyraża się zawsze jako ułamek właściwy, tj. .

Można wykazać (nie robimy tego), że równanie (2) jest równoważne równaniu (1), chociaż wywodzi się z (1) przez nierównoważne przemiany. Oznacza to, że równanie (2) jest równaniem tej elipsy. To jest nazwane kanoniczny(czyli najprostszy).

Można zauważyć, że równanie elipsy jest równaniem drugiego rzędu, tj. linia elipsy drugiego rzędu.

W przypadku elipsy wprowadzamy pojęcie ekscentryczność. To jest ilość. W przypadku elipsy ekscentryczność wynosi . Ponieważ Z I A znane, wtedy także znane. Wyrażenie na promienie ogniskowe punktu M(x, y) elipsy można łatwo uzyskać z poprzednich argumentów: . r 2 zostanie znalezione z równości (3)

Komentarz Jeśli wbijesz w stół dwa gwoździe (F1 i F2), zawiąż do nich na obu końcach sznurek, którego długość będzie większa niż odległość między gwoździami ( 2a), pociągnij sznurek i narysuj kawałek kredy wzdłuż stołu, a następnie narysuj zamkniętą krzywą elipsę, która jest symetryczna względem obu osi i początku.

4. Badanie kształtu elipsy za pomocą jej równania kanonicznego.

W uwadze, dla przejrzystości, doszliśmy do wniosku o kształcie elipsy. Przeanalizujmy teraz kształt elipsy, analizując jej równanie kanoniczne:

Znajdźmy punkty przecięcia z osiami współrzędnych. Jeśli ,y=0, to , , tj. mamy dwa punkty A1(-a,0) i A2(a,0). Jeśli x=0, to , . Te. mamy dwa punkty B1(0,-b) i B2(0,b) (ponieważ , wtedy ). Nazywa się punkty A1, A2, B1, B2 wierzchołki elipsy.

2) Obszar lokalizacji elipsy można określić na podstawie następujących rozważań:

a) z równania elipsy wynika, że ​​tj. , tj. Lub .

b) podobnie, tj. Lub . To pokazuje, że cała elipsa znajduje się w prostokącie utworzonym przez linie i .

3) Ponadto zmienne x i y wchodzą do równania elipsy tylko w potęgach parzystych, co oznacza, że ​​krzywa jest symetryczna względem każdej z osi oraz względem początku układu współrzędnych. D-ale jeśli punkt (x, y) należy do promienia, to punkty (x, -y), (-x, y) i (-x, -y) również do niego należą. Dlatego wystarczy wziąć pod uwagę tylko tę część elipsy, która leży w pierwszej ćwiartce, gdzie i .

4) Z równania elipsy mamy , a w pierwszym kwartale . Jeśli x=0, to y=b. To jest punkt B2(0,b). Niech x wzrasta od 0 do a, następnie y maleje od b do 0. Zatem punkt M(x, y) wychodząc z punktu B2(0, b) opisującego łuk, dochodzi do punktu A(a,0). Można ściśle udowodnić, że łuk jest skierowany wypukłie w górę. Odbijając ten łuk w osiach współrzędnych i w początku, otrzymujemy całą elipsę. Osie symetrii elipsy nazywane są jej osiami, a punkt O ich przecięcia jest środkiem elipsy. Długość odcinków OA1=OA2=a nazywana jest półosią wielką elipsy, odcinki OB1, OB2=b są półosią małą elipsy, (a>b), c jest półogniskiem dystans. Wielkość jest łatwa do wyjaśnienia geometrycznego.

Gdy a=b z kanonicznego równania elipsy otrzymujemy równanie okręgu. Dla okręgu, tj. F1=F2=0. .

Zatem okrąg jest szczególnym przypadkiem elipsy, gdy jego ogniska pokrywają się ze środkiem, a mimośród = 0. Im większy mimośród, tym bardziej wydłużona elipsa.

Komentarz. Z równania kanonicznego elipsy łatwo wywnioskować, że elipsę można określić w postaci parametrycznej. x=a koszt t

y=b grzech t, gdzie a, b są półosiami większą i mniejszą, kąt t.

5. Definicja i wyprowadzenie równania kanonicznego hiperboli.

Hiperbola zwane płaszczyznami HMT, dla których różnica odległości od dwóch stałych punktów F1F2 płaszczyzny, zwanych ogniskami, jest wartością stałą (nierówną 0 i mniejszą od ogniskowej F1F2).

Oznaczymy jak poprzednio F1F2 = 2c, a różnica odległości wynosi 2a (a<с). Систему координат выберем как и в случае эллипса.

Niech M (x, y) będzie bieżącym punktem hiperboli. Z definicji MF1-MF2= lub r 1 -r 2 = = lub --(1). – to jest równanie hiperboli.

Pozbywamy się irracjonalności w (1): wyodrębniamy jeden pierwiastek, podnosimy obie części do kwadratu, otrzymujemy: lub , ponownie podnosimy do kwadratu:

Gdzie .

Dzielić przez . Wprowadźmy oznaczenie. Następnie --(2). Równanie (2), jak można wykazać, jest równoważne równaniu (1), a zatem jest równaniem danej hiperboli. Jest on nazywany równanie kanoniczne hiperboli. Widzimy, że równanie hiperboli jest również drugiego stopnia, co oznacza linia hiperboli drugiego rzędu.

Ekscentryczność hiperboli. Wyrażenie na promienie ogniskowe można łatwo uzyskać z poprzedniego, a następnie znajdujemy je z .

6. Badanie kształtu hiperboli z wykorzystaniem jej równania kanonicznego.

Rozumujemy w taki sam sposób, jak badając elipsę.

1. Znajdź punkty przecięcia z osiami hiperboli. Jeśli x=0, to . Nie ma punktów przecięcia z osią wzmacniacza operacyjnego. Jeśli y=0, to . Punkty przecięcia , . Nazywają się wierzchołki hiperboli.

2. Obszar lokalizacji hiperboli: , tj. Lub . Oznacza to, że hiperbola znajduje się poza pasem ograniczonym liniami prostymi x=-a I x=a.

3. Hiperbola ma wszystkie rodzaje symetrii, ponieważ x i y występują w potęgach parzystych. Dlatego wystarczy wziąć pod uwagę tę część hiperboli, która znajduje się w pierwszym kwartale.

4. Z równania hiperboli (2) w pierwszym kwartale mamy . Dla x=a, y=0 mamy punkt ; krawat. krzywa idzie w górę w prawo. Aby lepiej wyobrazić sobie ten ruch, rozważmy dwie linie pomocnicze przechodzące przez początek współrzędnych i będące przekątnymi prostokąta o bokach 2a i 2b: BCB’C’. Mają równania i . Udowodnimy, że aktualny punkt hiperboli M(x,y) dąży do nieskończoności i bez ograniczeń zbliża się do prostej. Weźmy dowolny punkt X i porównaj odpowiednie rzędne punktu hiperboli i linii. To oczywiste T>t. MN=Y-y= .

Widzimy to, gdy, tj. krzywa w nieskończoność zbliża się do linii prostej, gdy oddala się od początku. Dowodzi to, że prosta jest asymptotą hiperboli. Co więcej, hiperbola nie przecina asymptoty. To wystarczy, aby skonstruować część hiperboli. Jest wypukły i skierowany ku górze. Pozostałe części zakończone są symetrycznie. Należy zauważyć, że osie symetrii hiperboli (osie współrzędnych) nazywane są jej osie, punkt przecięcia osi- Centrum hiperbola. Jedna oś przecina hiperbolę (oś rzeczywista), druga nie (oś urojona). Odcinek A zwany prawdziwą półosią, odcinkiem B- wyimaginowana półoś. Prostokąt BCB'C' nazywany jest podstawowym prostokątem hiperboli.

Jeśli a=b, wówczas asymptoty tworzą kąty z osiami współrzędnych wzdłuż . Następnie nazywa się hiperbolę równoboczny lub równoboczny. Główny prostokąt zamienia się w kwadrat. Jego asymptoty są do siebie prostopadłe.

Komentarz.

Czasami rozważamy hiperbolę, której równanie kanoniczne to (3). Dzwonią do niej sprzężony w odniesieniu do hiperboli (2). Hiperbola (3) ma rzeczywistą oś pionową i urojoną oś poziomą. Jego wygląd zostanie natychmiast ustalony, jeśli zmienisz układ X I Na, A I B(wraca do dawnego siebie). Ale wtedy hiperbola (3) ma postać:

To mówi.

5.Jak już wskazano, równanie hiperboli równobocznej ( a=b), gdy osie współrzędnych pokrywają się z osiami hiperboli, ma postać . (4)

Ponieważ asymptoty hiperboli równobocznej są prostopadłe, wówczas można je również przyjąć jako osie współrzędnych OX 1 i OU 1. Jest to równoznaczne z obróceniem poprzedniego systemu OXY o kąt. Wzory na obrót kąta są następujące:

Następnie w nowym układzie współrzędnych OX 1 Y 1 równanie (4) zostanie zapisane:

Albo albo . Oznaczając , dostajemy lub (5) - to jest równanie hiperbola równoboczna, sklasyfikowane jako asymptoty (w szkole rozważano ten typ hiperboli).

Komentarz: Z równania wynika, że ​​pole dowolnego prostokąta zbudowanego na współrzędnych dowolnego punktu hiperboli M(x,y) jest takie samo: S= k 2 .

7. Definicja i wyprowadzenie równania kanonicznego paraboli.

Parabola nazywa się GMT płaszczyzny, dla każdego z nich odległość od stałego punktu F płaszczyzny, tzw centrum, jest równa odległości od ustalonej linii prostej zwanej dyrektorka szkoły(skup się na zewnątrz dyrektorki).

Odległość od F do kierownicy oznaczymy przez p i nazwiemy ją parametrem paraboli. Wybierzmy układ współrzędnych w następujący sposób: narysuj oś OX przez punkt F prostopadle do kierownicy NP. Wybierzmy początek współrzędnych w środku odcinka FP.

W tym systemie: .

Weźmy dowolny punkt M(x,y) o aktualnych współrzędnych (x,y). Dlatego

Stąd (1) jest równaniem paraboli. Uprośćmy:

Lub (2) - to jest to równanie kanoniczne paraboli. Można wykazać, że (1) i (2) są równoważne.

Równanie (2) jest równaniem drugiego rzędu, tj. parabola jest linią drugiego rzędu.

8. Badanie kształtu paraboli z wykorzystaniem jej równania kanonicznego.

(p>0).

1) x=0, y=0 parabola przechodzi przez początek współrzędnych punktu O. Nazywa się go wierzchołkiem paraboli.

2), tj. parabola znajduje się na prawo od osi wzmacniacza operacyjnego, w prawej półpłaszczyźnie.

3) Na zawiera się w stopniu parzystym, dlatego parabola jest symetryczna względem osi OX, dlatego wystarczy ją skonstruować w pierwszej ćwiartce.

4) w I kwartale o godz., tj. parabola idzie w górę w prawo. Można wykazać, że wypukłość jest skierowana ku górze. Budujemy na dole zgodnie z symetrią. Oś OU jest styczna do paraboli.

Oczywiście promień ogniska wynosi . Związek nazywa się ekscentryczność: . Oś symetrii paraboli (w naszym przypadku OX) nazywana jest osią paraboli.

Zauważ, że równanie jest również parabolą, ale skierowaną w przeciwnym kierunku. Równania definiują również parabole, których oś jest osią wzmacniacza operacyjnego.

lub w bardziej znanej formie, gdzie .

Równanie definiuje zwykłą parabolę z przesuniętym wierzchołkiem.

Notatki. 1) Istnieje ścisły związek pomiędzy wszystkimi czterema liniami drugiego rzędu - wszystkie są sekcje stożkowe. Jeśli weźmiemy stożek o dwóch wnękach, to przecinając go płaszczyzną prostopadłą do osi stożka, otrzymamy okrąg, jeśli lekko pochylimy płaszczyznę przekroju, otrzymamy elipsę; jeśli płaszczyzna jest równoległa do tworzącej, to przekrój jest parabolą, jeśli płaszczyzna przecina oba

wnęki-hiperbola.

2) Można wykazać, że jeśli promień światła wychodzący z ogniska paraboli zostanie od niego odbity, to odbity promień biegnie równolegle do osi paraboli - wykorzystuje się to w działaniu reflektorów - reflektora parabolicznego, i w centrum uwagi - źródło światła. W rezultacie uzyskujemy ukierunkowany strumień światła.

3) Jeśli wyobrazimy sobie wystrzelenie satelity Ziemi z punktu T leżącego poza atmosferą w kierunku poziomym, to jeśli prędkość początkowa w 0 jest niewystarczające, wówczas satelita nie będzie obracał się wokół Ziemi. Po osiągnięciu pierwszej prędkości ucieczki satelita będzie obracał się wokół Ziemi po orbicie kołowej, której środek znajduje się w środku Ziemi. Jeśli prędkość początkowa zostanie zwiększona, wówczas obrót nastąpi po elipsie, a środek Ziemi znajdzie się w jednym z ognisk. Po osiągnięciu drugiej prędkości ucieczki trajektoria stanie się paraboliczna i satelita nie powróci do punktu T, ale znajdzie się w Układzie Słonecznym. Te. Parabola to elipsa z jednym ogniskiem w nieskończoności. Wraz z dalszym wzrostem prędkości początkowej trajektoria stanie się hiperboliczna, a po drugiej stronie pojawi się drugie ognisko. Środek Ziemi zawsze będzie w centrum orbity. Satelita opuści Układ Słoneczny.

Wykłady z algebry i geometrii. 1 semestr.

Wykład 15. Elipsa.

Rozdział 15. Elipsa.

klauzula 1. Podstawowe definicje.

Definicja. Elipsa to GMT płaszczyzny, suma odległości do dwóch stałych punktów płaszczyzny, zwanych ogniskami, jest wartością stałą.

Definicja. Odległość od dowolnego punktu M płaszczyzny do ogniska elipsy nazywa się promieniem ogniskowym punktu M.

Oznaczenia:
– ogniska elipsy,
– promienie ogniskowe punktu M.

Z definicji elipsy punkt M jest punktem elipsy wtedy i tylko wtedy
- stała wartość. Stała ta jest zwykle oznaczana jako 2a:

. (1)

Zauważ, że
.

Z definicji elipsy jej ogniska są punktami stałymi, więc odległość między nimi jest również wartością stałą dla danej elipsy.

Definicja. Odległość między ogniskami elipsy nazywa się ogniskową.

Przeznaczenie:
.

Z trójkąta
wynika z tego
, tj.

.

Oznaczmy przez b liczbę równą
, tj.

. (2)

Definicja. Postawa

(3)

nazywa się mimośrodem elipsy.

Wprowadźmy na tej płaszczyźnie układ współrzędnych, który nazwiemy kanonicznym dla elipsy.

Definicja. Oś, na której leżą ogniska elipsy, nazywana jest osią ogniskową.

Skonstruujmy kanoniczny PDSC dla elipsy, patrz ryc. 2.

Wybieramy oś ogniskową jako oś odciętych i rysujemy oś rzędnych przez środek odcinka
prostopadle do osi ogniskowej.

Wtedy ogniska mają współrzędne
,
.

klauzula 2. Równanie kanoniczne elipsy.

Twierdzenie. W kanonicznym układzie współrzędnych elipsy równanie elipsy ma postać:

. (4)

Dowód. Dowód przeprowadzamy w dwóch etapach. W pierwszym etapie udowodnimy, że współrzędne dowolnego punktu leżącego na elipsie spełniają równanie (4). W drugim etapie udowodnimy, że dowolne rozwiązanie równania (4) daje współrzędne punktu leżącego na elipsie. Z tego wynika, że ​​równanie (4) spełniają te i tylko te punkty płaszczyzny współrzędnych, które leżą na elipsie. Z tego oraz z definicji równania krzywej wynika, że ​​równanie (4) jest równaniem elipsy.

1) Niech punkt M(x, y) będzie punktem elipsy, tj. suma jego promieni ogniskowych wynosi 2a:

.

Skorzystajmy ze wzoru na odległość między dwoma punktami na płaszczyźnie współrzędnych i skorzystajmy z tego wzoru, aby znaleźć promienie ogniskowe danego punktu M:

,
, skąd otrzymujemy:

Przesuńmy jeden pierwiastek na prawą stronę równości i podnieśmy go do kwadratu:

Redukując otrzymujemy:

Przedstawiamy podobne, zmniejszamy o 4 i usuwamy pierwiastek:

.

Kwadrat

Otwórz nawiasy i skróć o
:

gdzie otrzymujemy:

Korzystając z równości (2) otrzymujemy:

.

Dzielenie ostatniej równości przez
, otrzymujemy równość (4) itd.

2) Niech teraz para liczb (x, y) spełnia równanie (4) i niech M(x, y) będzie odpowiednim punktem na płaszczyźnie współrzędnych Oxy.

Następnie z (4) wynika:

.

Podstawiamy tę równość do wyrażenia na promienie ogniskowe punktu M:

.

Tutaj użyliśmy równości (2) i (3).

Zatem,
. Podobnie,
.

Zauważmy teraz, że z równości (4) wynika to

Lub
itp.
, to nierówność jest następująca:

.

Stąd wynika z kolei, że

Lub
I

,
. (5)

Z równości (5) wynika, że
, tj. punkt M(x, y) jest punktem elipsy itd.

Twierdzenie zostało udowodnione.

Definicja. Równanie (4) nazywa się równaniem kanonicznym elipsy.

Definicja. Kanoniczne osie współrzędnych elipsy nazywane są głównymi osiami elipsy.

Definicja. Początek kanonicznego układu współrzędnych elipsy nazywa się środkiem elipsy.

klauzula 3. Właściwości elipsy.

Twierdzenie. (Właściwości elipsy.)

1. W kanonicznym układzie współrzędnych elipsy wszystko

punkty elipsy leżą w prostokącie

,
.

2. Punkty leżą

3. Elipsa to krzywa symetryczna względem

ich główne osie.

4. Środek elipsy jest jej środkiem symetrii.

Dowód. 1, 2) Natychmiast wynika z kanonicznego równania elipsy.

3, 4) Niech M(x, y) będzie dowolnym punktem elipsy. Wtedy jego współrzędne spełniają równanie (4). Ale wtedy współrzędne punktów również spełniają równanie (4), a zatem są punktami elipsy, z której wynikają twierdzenia twierdzenia.

Twierdzenie zostało udowodnione.

Definicja. Wielkość 2a nazywana jest główną osią elipsy, wielkość a nazywa się półosią wielką elipsy.

Definicja. Wielkość 2b nazywa się małą osią elipsy, wielkość b nazywa się półmniejszą osią elipsy.

Definicja. Punkty przecięcia elipsy z jej głównymi osiami nazywane są wierzchołkami elipsy.

Komentarz. Elipsę można skonstruować w następujący sposób. W samolocie „wbijamy gwóźdź w punkty ogniskowe” i mocujemy do nich długość nici
. Następnie bierzemy ołówek i za jego pomocą rozciągamy nić. Następnie przesuwamy grafit ołówkowy po płaszczyźnie, upewniając się, że nić jest napięta.

Z definicji ekscentryczności wynika, że

Ustalmy liczbę a i skierujmy liczbę c na zero. Następnie o godz
,
I
. W limicie, który otrzymujemy

Lub
– równanie okręgu.

Pokierujmy teraz
. Następnie
,
i widzimy, że w granicy elipsa degeneruje się w odcinek prosty
w zapisie rysunku 3.

klauzula 4. Równania parametryczne elipsy.

Twierdzenie. Pozwalać
– dowolne liczby rzeczywiste. Następnie układ równań

,
(6)

są równaniami parametrycznymi elipsy w kanonicznym układzie współrzędnych elipsy.

Dowód. Wystarczy udowodnić, że układ równań (6) jest równoważny równaniu (4), czyli: mają ten sam zestaw rozwiązań.

1) Niech (x, y) będzie dowolnym rozwiązaniem układu (6). Podziel pierwsze równanie przez a, drugie przez b, podnieś oba równania do kwadratu i dodaj:

.

Te. każde rozwiązanie (x, y) układu (6) spełnia równanie (4).

2) I odwrotnie, niech para (x, y) będzie rozwiązaniem równania (4), tj.

.

Z tej równości wynika, że ​​punkt o współrzędnych
leży na okręgu o promieniu jednostkowym ze środkiem w początku, tj. jest punktem na okręgu trygonometrycznym, któremu odpowiada określony kąt
:

Z definicji sinusa i cosinusa wynika to bezpośrednio

,
, Gdzie
, z czego wynika, że ​​para (x, y) jest rozwiązaniem układu (6) itd.

Twierdzenie zostało udowodnione.

Komentarz. Elipsę można otrzymać w wyniku równomiernego „ściśnięcia” okręgu o promieniu a w kierunku osi odciętej.

Pozwalać
– równanie okręgu o środku w początku układu współrzędnych. „Ściśnięcie” okręgu do osi odciętych to nic innego jak przekształcenie płaszczyzny współrzędnych, przeprowadzone według następującej zasady. Dla każdego punktu M(x, y) kojarzymy punkt na tej samej płaszczyźnie
, Gdzie
,
- Stopień sprężania.

Dzięki tej transformacji każdy punkt na okręgu „przechodzi” do innego punktu na płaszczyźnie, który ma tę samą odciętą, ale mniejszą rzędną. Wyraźmy starą rzędną punktu poprzez nową:

i podstawiamy okręgi do równania:

.

Stąd otrzymujemy:

. (7)

Wynika z tego, że jeżeli przed transformacją „zaciskania” punkt M(x, y) leżał na okręgu, tj. jego współrzędne spełniały równanie okręgu, to po przekształceniu „ściskania” punkt ten „przekształcił się” w punkt
, którego współrzędne spełniają równanie elipsy (7). Jeśli chcemy otrzymać równanie elipsy z półosią b, musimy przyjąć współczynnik kompresji

.

klauzula 5. Styczna do elipsy.

Twierdzenie. Pozwalać
– dowolny punkt elipsy

.

Następnie równanie stycznej do tej elipsy w punkcie
ma postać:

. (8)

Dowód. Wystarczy rozważyć przypadek, gdy punkt styczności leży w pierwszej lub drugiej ćwiartce płaszczyzny współrzędnych:
. Równanie elipsy w górnej półpłaszczyźnie ma postać:

. (9)

Użyjmy równania stycznego do wykresu funkcji
w tym punkcie
:

Gdzie
– wartość pochodnej danej funkcji w punkcie
. Elipsę w pierwszej ćwiartce można uznać za wykres funkcji (8). Znajdźmy jego pochodną i jej wartość w punkcie styczności:

,

. Tutaj skorzystaliśmy z faktu, że punkt styczny
jest punktem elipsy i dlatego jego współrzędne spełniają równanie elipsy (9), tj.

.

Podstawiamy znalezioną wartość pochodnej do równania stycznego (10):

,

gdzie otrzymujemy:

Oznacza to:

Podzielmy tę równość przez
:

.

Pozostaje to zauważyć
, ponieważ kropka
należy do elipsy i jej współrzędne spełniają jej równanie.

Równanie styczne (8) dowodzi się w podobny sposób w punkcie styczności leżącym w trzeciej lub czwartej ćwiartce płaszczyzny współrzędnych.

I wreszcie, możemy łatwo sprawdzić, że równanie (8) daje równanie styczne w punktach
,
:

Lub
, I
Lub
.

Twierdzenie zostało udowodnione.

klauzula 6. Właściwość lustrzana elipsy.

Twierdzenie. Styczna do elipsy ma kąty równe promieniom ogniskowym punktu styczności.

Pozwalać
- punktem kontaktowym,
,
są ogniskowymi promieniami punktu styczności, P i Q są rzutami ognisk na styczną narysowaną do elipsy w punkcie
.

Twierdzenie to stwierdza

. (11)

Równość tę można interpretować jako równość kątów padania i odbicia promienia światła od elipsy uwolnionej z jej ogniska. Ta właściwość nazywana jest właściwością lustrzaną elipsy:

Promień światła uwolniony z ogniska elipsy, po odbiciu od zwierciadła elipsy, przechodzi przez kolejne ognisko elipsy.

Dowód twierdzenia. Aby udowodnić równość kątów (11), udowadniamy podobieństwo trójkątów
I
, w którym strony
I
będzie podobne. Ponieważ trójkąty są prostokątne, wystarczy udowodnić równość

. (12)

Ponieważ z budowy
– odległość od ostrości do stycznej L (patrz rys. 7),
. Skorzystajmy ze wzoru na odległość punktu od prostej na płaszczyźnie:

Ponieważ równanie stycznej do elipsy w punkcie
wygląda jak

,

,

.

Tutaj użyliśmy wzorów (5) na promienie ogniskowe punktu elipsy.

Twierdzenie zostało udowodnione.

Drugi dowód twierdzenia:

,
,
jest wektorem normalnym stycznej L.

. Stąd,
.

Podobnie znajdujemy,
I
itp.

klauzula 7. Kierownice elipsy.

Definicja. Kierownice elipsy to dwie linie proste, które w kanonicznym układzie współrzędnych elipsy mają równania

Lub
. (13)

Twierdzenie. Niech M będzie dowolnym punktem elipsy, , – jego promienie ogniskowe, – odległość punktu M od lewej kierownicy, - w prawo. Następnie

, (14)

Gdzie – mimośród elipsy.

Dowód.

Niech M(x, y) będą współrzędnymi dowolnego punktu elipsy. Następnie

,
,

skąd wynikają równości (14).

Twierdzenie zostało udowodnione.

klauzula 8. Parametr ogniskowy elipsy.

Definicja. Parametr ogniskowy elipsy to długość prostopadłej przywróconej w jej ognisku przed przecięciem elipsy.

Parametr ogniskowy jest zwykle oznaczony literą p.

Z definicji wynika, że ​​parametr ogniskowy

.

Twierdzenie. Parametr ogniskowy elipsy jest równy

. (15)

Dowód. Ponieważ punkt N(–с; р) jest punktem elipsy
, to jego współrzędne spełniają jego równanie:

.

Stąd znajdziemy

,

skąd wynika (15).

Twierdzenie zostało udowodnione.

klauzula 9. Druga definicja elipsy.

Twierdzenie z punktu 7. może służyć jako definicja elipsy.

Definicja. Elipsa to GMT, dla którego stosunek odległości do stałego punktu płaszczyzny, zwanego ogniskiem, do odległości do ustalonej linii prostej, zwanej kierownicą, jest stałą wartością mniejszą od jedności i nazywa się jej mimośrodem:

.

Oczywiście w tym przypadku pierwsza definicja eoips jest twierdzeniem, które należy udowodnić.

Definicja 7.1. Nazywa się zbiór wszystkich punktów na płaszczyźnie, dla których suma odległości do dwóch stałych punktów F 1 i F 2 jest daną stałą wartością elipsa.

Definicja elipsy podaje następujący sposób jej geometrycznej konstrukcji. Naprawiamy dwa punkty F 1 i F 2 na płaszczyźnie i oznaczamy nieujemną stałą wartość przez 2a. Niech odległość między punktami F 1 i F 2 będzie wynosić 2c. Wyobraźmy sobie, że nierozciągliwa nić o długości 2a jest zamocowana w punktach F 1 i F 2, na przykład za pomocą dwóch igieł. Jest oczywiste, że jest to możliwe tylko dla a ≥ c. Po przeciągnięciu nici ołówkiem narysuj linię, która będzie elipsą (ryc. 7.1).

Zatem opisywany zbiór nie jest pusty, jeśli a ≥ c. Gdy a = c, elipsa jest odcinkiem o końcach F 1 i F 2, a gdy c = 0, tj. Jeżeli punkty stałe określone w definicji elipsy pokrywają się, jest to okrąg o promieniu a. Pomijając te zdegenerowane przypadki, założymy dalej z reguły, że a > c > 0.

Nazywa się punkty stałe F 1 i F 2 w definicji 7.1 elipsy (patrz ryc. 7.1) ogniska elipsy, odległość między nimi, oznaczona jako 2c, - długość ogniskowa, a odcinki F 1 M i F 2 M łączące dowolny punkt M na elipsie z jej ogniskami to promienie ogniskowe.

O kształcie elipsy całkowicie decyduje ogniskowa |F 1 F 2 | = 2c i parametr a oraz jego położenie na płaszczyźnie - para punktów F 1 i F 2.

Z definicji elipsy wynika, że ​​jest ona symetryczna względem linii przechodzącej przez ogniska F 1 i F 2, a także względem linii dzielącej odcinek F 1 F 2 na pół i jest do niej prostopadła (ryc. 7.2, a). Linie te nazywane są osie elipsy. Punkt O ich przecięcia jest środkiem symetrii elipsy i nazywa się to środek elipsy oraz punkty przecięcia elipsy z osiami symetrii (punkty A, B, C i D na ryc. 7.2, a) - wierzchołki elipsy.

Nazywa się liczbę a półoś wielka elipsy i b = √(a 2 - c 2) - jego oś mała. Łatwo zauważyć, że dla c > 0 półoś wielka a jest równa odległości od środka elipsy do tych jej wierzchołków, które leżą na tej samej osi z ogniskami elipsy (wierzchołki A i B na ryc. 7.2, a), a półoś mała b jest równa odległości od środkowej elipsy do jej dwóch pozostałych wierzchołków (wierzchołki C i D na ryc. 7.2, a).

Równanie elipsy. Rozważmy elipsę na płaszczyźnie z ogniskami w punktach F 1 i F 2, oś główna 2a. Niech 2c będzie ogniskową, 2c = |F 1 F 2 |

Wybierzmy na płaszczyźnie prostokątny układ współrzędnych Oxy tak, aby jego początek pokrywał się ze środkiem elipsy, a jego ogniska znajdowały się na oś x(ryc. 7.2, b). Taki układ współrzędnych nazywa się kanoniczny dla danej elipsy i odpowiadające jej zmienne kanoniczny.

W wybranym układzie współrzędnych ogniska mają współrzędne F 1 (c; 0), F 2 (-c; 0). Korzystając ze wzoru na odległość punktów zapisujemy warunek |F 1 M| + |F 2 M| = 2a we współrzędnych:

√((x - do) 2 + y 2) + √((x + do) 2 + y 2) = 2a. (7.2)

Równanie to jest niewygodne, ponieważ zawiera dwa pierwiastki kwadratowe. Więc przekształćmy to. Przesuńmy drugi pierwiastek w równaniu (7.2) na prawą stronę i podnieś go do kwadratu:

(x - do) 2 + y 2 = 4a 2 - 4a√((x + do) 2 + y 2) + (x + do) 2 + y 2.

Po otwarciu nawiasów i wprowadzeniu podobnych terminów otrzymujemy

√((x + c) 2 + y 2) = a + εx

gdzie ε = c/a. Powtarzamy operację kwadratury, aby usunąć drugi rodnik: (x + c) 2 + y 2 = a 2 + 2εax + ε 2 x 2 lub, biorąc pod uwagę wartość wprowadzonego parametru ε, (a 2 - c 2 ) x 2 / za 2 + y 2 = za 2 - do 2. Skoro a 2 - do 2 = b 2 > 0, zatem

x 2 /a 2 + y 2 /b 2 = 1, a > b > 0. (7.4)

Równanie (7.4) jest spełnione przez współrzędne wszystkich punktów leżących na elipsie. Ale przy wyprowadzaniu tego równania zastosowano nierównoważne przekształcenia pierwotnego równania (7.2) - dwa kwadraty, które usuwają rodniki kwadratowe. Podniesienie równania do kwadratu jest przekształceniem równoważnym, jeśli obie strony mają wielkości o tym samym znaku, ale nie sprawdzaliśmy tego w naszych przekształceniach.

Sprawdzania równoważności przekształceń możemy uniknąć, jeśli uwzględnimy poniższe. Para punktów F 1 i F 2, |F 1 F 2 | = 2c, na płaszczyźnie definiuje rodzinę elips z ogniskami w tych punktach. Każdy punkt płaszczyzny, za wyjątkiem punktów odcinka F 1 F 2, należy do jakiejś elipsy wskazanej rodziny. W tym przypadku żadne dwie elipsy nie przecinają się, ponieważ suma promieni ogniskowych jednoznacznie określa konkretną elipsę. Zatem opisana rodzina elips bez przecięć obejmuje całą płaszczyznę, z wyjątkiem punktów odcinka F 1 F 2. Rozważmy zbiór punktów, których współrzędne spełniają równanie (7.4) przy danej wartości parametru a. Czy ten zbiór można rozłożyć na kilka elips? Niektóre punkty zbioru należą do elipsy z półosią wielką a. Niech w tym zbiorze będzie punkt leżący na elipsie z półosią wielką a. Wtedy współrzędne tego punktu są zgodne z równaniem

te. równania (7.4) i (7.5) mają wspólne rozwiązania. Łatwo jednak sprawdzić, czy system

dla ã ≠ a nie ma rozwiązań. Aby to zrobić, wystarczy wykluczyć np. x z pierwszego równania:

co po przekształceniach prowadzi do równania

który nie ma rozwiązań dla ã ≠ a, ponieważ . Zatem (7.4) jest równaniem elipsy, w której półoś wielka a > 0 i półoś mała b =√(a 2 - c 2) > 0. Nazywa się to kanoniczne równanie elipsy.

Widok elipsy. Omówiona powyżej geometryczna metoda konstruowania elipsy daje wystarczające pojęcie o wyglądzie elipsy. Ale kształt elipsy można również zbadać za pomocą jej równania kanonicznego (7.4). Można na przykład, zakładając y ≥ 0, wyrazić y przez x: y = b√(1 - x 2 /a 2) i po przestudiowaniu tej funkcji zbudować jej wykres. Istnieje inny sposób skonstruowania elipsy. Okrąg o promieniu a ze środkiem w początku kanonicznego układu współrzędnych elipsy (7.4) opisuje równanie x 2 + y 2 = a 2. Jeśli jest skompresowany ze współczynnikiem a/b > 1 wzdłuż oś y, wówczas otrzymasz krzywą opisaną równaniem x 2 + (ya/b) 2 = a 2, tj. elipsę.

Uwaga 7.1. Jeśli ten sam okrąg zostanie skompresowany przez współczynnik a/b

Ekscentryczność elipsy. Nazywa się stosunek ogniskowej elipsy do jej głównej osi ekscentryczność elipsy i oznaczone przez ε. Dla danej elipsy

równanie kanoniczne (7.4), ε = 2c/2a = c/a. Jeżeli w (7.4) parametry aib są powiązane nierównością a

Gdy c = 0, gdy elipsa zamienia się w okrąg, oraz ε = 0. W pozostałych przypadkach 0

Równanie (7.3) jest równoważne równaniu (7.4), ponieważ równania (7.4) i (7.2) są równoważne. Dlatego równanie elipsy ma również postać (7.3). Dodatkowo zależność (7.3) jest interesująca, ponieważ daje prosty, bezrodnikowy wzór na długość |F 2 M| jeden z ogniskowych promieni punktu M(x; y) elipsy: |F 2 M| = a + εx.

Podobny wzór na drugi promień ogniskowy można otrzymać z rozważań o symetrii lub powtarzając obliczenia, w których przed podniesieniem równania (7.2) do prawej strony przenosi się pierwszy rodnik, a nie drugi. Zatem dla dowolnego punktu M(x; y) na elipsie (patrz rys. 7.2)

|F 1 M | = a - εx, |F 2 M| = a + εx, (7.6)

a każde z tych równań jest równaniem elipsy.

Przykład 7.1. Znajdźmy równanie kanoniczne elipsy z półosią wielką 5 i mimośrodem 0,8 i skonstruujmy je.

Znając półoś wielką elipsy a = 5 i mimośród ε = 0,8, znajdziemy jej półoś małą b. Ponieważ b = √(a 2 - c 2) i c = εa = 4, to b = √(5 2 - 4 2) = 3. Zatem równanie kanoniczne ma postać x 2 /5 2 + y 2 /3 2 = 1. Aby skonstruować elipsę, wygodnie jest narysować prostokąt ze środkiem w początku kanonicznego układu współrzędnych, którego boki są równoległe do osi symetrii elipsy i równe odpowiadającym jej osiom (ryc. 7.4). Ten prostokąt przecina się z

osie elipsy w jej wierzchołkach A(-5; 0), B(5; 0), C(0; -3), D(0; 3), a sama elipsa jest w nią wpisana. Na ryc. 7.4 pokazuje także ogniska F 1.2 (±4; 0) elipsy.

Właściwości geometryczne elipsy. Przepiszemy pierwsze równanie z (7.6) jako |F 1 M| = (a/ε - x)ε. Należy zauważyć, że wartość a/ε - x dla a > c jest dodatnia, ponieważ ognisko F 1 nie należy do elipsy. Wartość ta reprezentuje odległość do linii pionowej d: x = a/ε od punktu M(x; y) leżącego na lewo od tej linii. Równanie elipsy można zapisać jako

|F 1 M|/(a/ε - x) = ε

Oznacza to, że na tę elipsę składają się te punkty M(x, y) płaszczyzny, dla których stosunek długości promienia ogniskowego F 1 M do odległości od prostej d jest wartością stałą równą ε (rys. 7.5).

Linia prosta d ma „podwójną” - pionową linię prostą d, symetryczną do d w stosunku do środka elipsy, co jest określone równaniem x = -a/ε. W odniesieniu do d elipsa jest opisana w w taki sam sposób, jak w przypadku d. Obie linie d i d” są wywoływane kierownice elipsy. Kierownice elipsy są prostopadłe do osi symetrii elipsy, na której znajdują się jej ogniska, i są oddalone od środka elipsy w odległości a/ε = a 2 /c (patrz rys. 7.5).

Nazywa się odległość p od kierownicy do najbliższego jej ogniska parametr ogniskowy elipsy. Ten parametr jest równy

p = a/ε - do = (a 2 - do 2)/c = b 2 /c

Elipsa ma inną ważną właściwość geometryczną: promienie ogniskowe F 1 M i F 2 M tworzą równe kąty ze styczną do elipsy w punkcie M (ryc. 7.6).

Ta właściwość ma wyraźne znaczenie fizyczne. Jeśli źródło światła zostanie umieszczone w ognisku F 1, wówczas promień wychodzący z tego ogniska po odbiciu od elipsy będzie przebiegał wzdłuż drugiego promienia ogniska, ponieważ po odbiciu będzie pod tym samym kątem do krzywizny, co przed odbiciem. Zatem wszystkie promienie wychodzące z ogniska F 1 zostaną skupione w drugim ognisku F 2 i odwrotnie. W oparciu o tę interpretację właściwość tę nazywa się właściwości optyczne elipsy.

Linie drugiego rzędu.
Elipsa i jej równanie kanoniczne. Koło

Po dokładnym przestudiowaniu linie proste w płaszczyźnie Kontynuujemy badanie geometrii dwuwymiarowego świata. Stawka jest podwojona i zapraszam do malowniczej galerii elips, hiperboli, paraboli, które są typowymi przedstawicielami linie drugiego rzędu. Zwiedzanie już się rozpoczęło, a na początek krótka informacja o całej wystawie na poszczególnych piętrach muzeum:

Pojęcie prostej algebraicznej i jej porządek

Nazywa się linia na płaszczyźnie algebraiczny, jeśli w afiniczny układ współrzędnych jego równanie ma postać , gdzie jest wielomianem składającym się z wyrazów postaci ( – liczba rzeczywista, – liczby całkowite nieujemne).

Jak widać, równanie prostej algebraicznej nie zawiera sinusów, cosinusów, logarytmów i innych funkcji beau monde. W grę wchodzą tylko X i Y nieujemne liczby całkowite stopni.

Kolejność linii równa maksymalnej wartości warunków w niej zawartych.

Zgodnie z odpowiednim twierdzeniem pojęcie linii algebraicznej, a także jej porządek, nie zależą od wyboru afiniczny układ współrzędnych dlatego dla ułatwienia istnienia zakładamy, że wszystkie kolejne obliczenia odbywają się w współrzędne kartezjańskie.

Równanie ogólne linia drugiego rzędu ma postać , gdzie – dowolne liczby rzeczywiste (Zwyczajowo zapisuje się to ze współczynnikiem dwa), a współczynniki nie są jednocześnie równe zeru.

Jeżeli , to równanie upraszcza się do , a jeśli współczynniki nie są jednocześnie równe zeru, to jest to dokładnie ogólne równanie „płaskiej” linii, które reprezentuje linia pierwszego zamówienia.

Wielu zrozumiało znaczenie nowych terminów, ale mimo to, aby w 100% opanować materiał, wkładamy palce w oczodół. Aby określić kolejność linii, musisz wykonać iterację wszystkie terminy jego równania i znajdź dla każdego z nich suma stopni przychodzące zmienne.

Na przykład:

termin zawiera „x” do pierwszej potęgi;
termin zawiera „Y” do pierwszej potęgi;
W wyrazie nie ma zmiennych, więc suma ich potęg wynosi zero.

Teraz zastanówmy się, dlaczego równanie definiuje linię drugi zamówienie:

termin zawiera „x” do drugiej potęgi;
suma ma sumę potęg zmiennych: 1 + 1 = 2;
termin zawiera „Y” do drugiej potęgi;
wszystkie inne warunki - mniej stopni.

Maksymalna wartość: 2

Jeśli dodatkowo dodamy, powiedzmy, do naszego równania, to już to ustali linia trzeciego rzędu. Jest oczywiste, że ogólna postać równania linii trzeciego rzędu zawiera „pełny zbiór” terminów, sumę potęg zmiennych, w których jest równa trzy:
, gdzie współczynniki nie są jednocześnie równe zeru.

W przypadku dodania jednego lub większej liczby odpowiednich terminów zawierających , to już będziemy rozmawiać Linie czwartego rzędu itp.

Z liniami algebraicznymi trzeciego, czwartego i wyższego rzędu będziemy musieli spotkać się więcej niż raz, szczególnie przy zapoznawaniu się z biegunowy układ współrzędnych.

Wróćmy jednak do równania ogólnego i pamiętajmy o jego najprostszych odmianach szkolnych. Jako przykłady powstaje parabola, której równanie można łatwo sprowadzić do postaci ogólnej, oraz hiperbola z równaniem równoważnym. Jednak nie wszystko układa się tak gładko...

Istotną wadą równania ogólnego jest to, że prawie zawsze nie jest jasne, którą linię definiuje. Nawet w najprostszym przypadku nie od razu zorientujesz się, że jest to hiperbola. Takie układy sprawdzają się tylko na maskaradzie, dlatego typowy problem rozpatrywany jest w trakcie geometrii analitycznej doprowadzenie równania linii drugiego rzędu do postaci kanonicznej.

Jaka jest postać kanoniczna równania?

Jest to ogólnie przyjęta standardowa forma równania, gdy w ciągu kilku sekund staje się jasne, jaki obiekt geometryczny definiuje. Ponadto forma kanoniczna jest bardzo wygodna do rozwiązywania wielu praktycznych problemów. Na przykład zgodnie z równaniem kanonicznym „płaskie” proste po pierwsze od razu widać, że jest to linia prosta, po drugie przynależący do niej punkt i wektor kierunku są łatwo widoczne.

Wiadomo, że jakikolwiek Linia pierwszego zamówienia jest linią prostą. Na drugim piętrze nie czeka już na nas stróż, ale znacznie bardziej zróżnicowane towarzystwo dziewięciu posągów:

Klasyfikacja linii drugiego rzędu

Za pomocą specjalnego zestawu działań dowolne równanie linii drugiego rzędu sprowadza się do jednej z następujących postaci:

(i są dodatnimi liczbami rzeczywistymi)

1) – równanie kanoniczne elipsy;

2) – równanie kanoniczne hiperboli;

3) – równanie kanoniczne paraboli;

4) – wyimaginowany elipsa;

5) – para przecinających się linii;

6) – para wyimaginowany linie przecinające się (z jednym ważnym punktem przecięcia w początku);

7) – para linii równoległych;

8) – para wyimaginowany równoległe linie;

9) – para zbieżnych linii.

Niektórzy czytelnicy mogą odnieść wrażenie, że lista jest niekompletna. Przykładowo w punkcie nr 7 równanie określa parę bezpośredni, równolegle do osi i pojawia się pytanie: gdzie jest równanie wyznaczające proste równoległe do osi rzędnych? Odpowiedz na to nie uważane za kanoniczne. Linie proste reprezentują ten sam przypadek standardowy, obrócony o 90 stopni, a dodatkowy wpis w klasyfikacji jest zbędny, gdyż nie wnosi niczego zasadniczo nowego.

Zatem istnieje dziewięć i tylko dziewięć różnych typów linii drugiego rzędu, ale w praktyce są to najczęściej spotykane elipsa, hiperbola i parabola.

Przyjrzyjmy się najpierw elipsie. Jak zwykle skupiam się na tych punktach, które mają ogromne znaczenie dla rozwiązania problemów, a jeśli potrzebujesz szczegółowego wyprowadzenia wzorów, dowodów twierdzeń, sięgnij na przykład do podręczników Bazyleva/Atanasjana lub Aleksandrowa.

Elipsa i jej równanie kanoniczne

Ortografia... proszę nie powtarzać błędów niektórych użytkowników Yandexa, zainteresowanych „jak zbudować elipsę”, „różnicą między elipsą a owalem” i „mimośród elipsy”.

Równanie kanoniczne elipsy ma postać , gdzie są dodatnie liczby rzeczywiste i . Samą definicję elipsy sformułuję później, ale na razie czas odpocząć od gadaniny i rozwiązać powszechny problem:

Jak zbudować elipsę?

Tak, po prostu weź to i po prostu narysuj. Zadanie występuje często, a znaczna część uczniów nie radzi sobie poprawnie z rysunkiem:

Przykład 1

Skonstruuj elipsę określoną równaniem

Rozwiązanie: Najpierw sprowadźmy równanie do postaci kanonicznej:

Dlaczego przynieść? Jedną z zalet równania kanonicznego jest to, że pozwala na natychmiastowe określenie wierzchołki elipsy, które znajdują się w punktach. Łatwo zauważyć, że współrzędne każdego z tych punktów spełniają równanie.

W tym przypadku :


Odcinek zwany oś główna elipsa;
odcinek – oś mała;
numer zwany wał półgłówny elipsa;
numer – oś mała.
w naszym przykładzie: .

Aby szybko wyobrazić sobie, jak wygląda konkretna elipsa, wystarczy spojrzeć na wartości „a” i „być” jej równania kanonicznego.

Wszystko jest w porządku, gładkie i piękne, ale jest jedno zastrzeżenie: rysunek zrobiłem za pomocą programu. I możesz wykonać rysunek za pomocą dowolnej aplikacji. Jednak w trudnej rzeczywistości na stole leży kartka w kratkę, a myszy tańczą w kółko na naszych rękach. Osoby z talentem artystycznym oczywiście mogą się kłócić, ale myszy też masz (choć te mniejsze). Nie na próżno ludzkość wymyśliła linijkę, kompas, kątomierz i inne proste urządzenia do rysowania.

Z tego powodu jest mało prawdopodobne, że będziemy w stanie dokładnie narysować elipsę, znając tylko jej wierzchołki. W porządku, jeśli elipsa jest mała, na przykład z półosiami. Alternatywnie możesz zmniejszyć skalę i odpowiednio wymiary rysunku. Ale ogólnie rzecz biorąc, bardzo pożądane jest znalezienie dodatkowych punktów.

Istnieją dwa podejścia do konstruowania elipsy - geometryczne i algebraiczne. Nie lubię konstrukcji z kompasu i linijki, bo algorytm nie jest najkrótszy, a rysunek mocno zaśmiecony. W nagłych przypadkach warto sięgnąć do podręcznika, jednak w rzeczywistości o wiele bardziej racjonalne jest skorzystanie z narzędzi algebry. Z równania elipsy w szkicu szybko wyrażamy:

Następnie równanie rozkłada się na dwie funkcje:
– definiuje górny łuk elipsy;
– definiuje dolny łuk elipsy.

Elipsa określona równaniem kanonicznym jest symetryczna zarówno względem osi współrzędnych, jak i względem początku. I to jest świetne – symetria prawie zawsze jest zwiastunem gratisów. Oczywiście wystarczy zająć się pierwszą ćwiartką współrzędnych, więc funkcja jest nam potrzebna . Aż się prosi o znalezienie dodatkowych punktów z odciętymi . Stuknijmy trzy wiadomości SMS na kalkulatorze:

Oczywiście miło jest również, że jeśli w obliczeniach zostanie popełniony poważny błąd, natychmiast stanie się to jasne podczas budowy.

Zaznaczmy na rysunku punkty (czerwony), punkty symetryczne na pozostałych łukach (niebieski) i ostrożnie połączmy linią całą firmę:


Lepiej narysować początkowy szkic bardzo cienko, a dopiero potem zastosować nacisk ołówkiem. Rezultatem powinna być całkiem przyzwoita elipsa. Swoją drogą, chciałbyś wiedzieć, co to za krzywa?

Definicja elipsy. Ogniska elipsy i ekscentryczność elipsy

Elipsa jest szczególnym przypadkiem owalu. Słowa „owal” nie należy rozumieć w sensie filistyńskim („dziecko narysowało owal” itp.). Jest to termin matematyczny, który ma szczegółowe sformułowanie. Celem tej lekcji nie jest rozważanie teorii owali i ich różnych typów, na które praktycznie nie zwraca się uwagi w standardowym kursie geometrii analitycznej. I zgodnie z bardziej aktualnymi potrzebami od razu przechodzimy do ścisłej definicji elipsy:

Elipsa jest zbiorem wszystkich punktów płaszczyzny, sumą odległości do każdego z nich od dwóch danych punktów, tzw wydziwianie elipsa, jest wielkością stałą, liczbowo równą długości głównej osi tej elipsy: .
W tym przypadku odległości między ogniskami są mniejsze niż ta wartość: .

Teraz wszystko stanie się jaśniejsze:

Wyobraź sobie, że niebieska kropka „porusza się” po elipsie. Zatem niezależnie od tego, który punkt elipsy weźmiemy, suma długości odcinków będzie zawsze taka sama:

Upewnijmy się, że w naszym przykładzie wartość sumy jest rzeczywiście równa osiem. W myślach umieść punkt „um” w prawym wierzchołku elipsy, a następnie: , co należało sprawdzić.

Inny sposób rysowania opiera się na definicji elipsy. Wyższa matematyka jest czasami przyczyną napięcia i stresu, więc czas na kolejną sesję rozładowującą. Proszę wziąć papier whatmana lub duży arkusz tektury i przypiąć go do stołu dwoma gwoździami. To będą sztuczki. Przywiąż zieloną nitkę do wystających główek paznokci i pociągnij ją do końca ołówkiem. Grafit ołówka zakończy się w pewnym punkcie należącym do elipsy. Teraz zacznij przesuwać ołówek po kartce papieru, utrzymując zieloną nić napiętą. Kontynuuj proces, aż powrócisz do punktu wyjścia... świetnie... rysunek może sprawdzić lekarz i nauczyciel =)

Jak znaleźć ogniska elipsy?

W powyższym przykładzie przedstawiłem „gotowe” punkty ogniskowe, a teraz nauczymy się je wydobywać z głębin geometrii.

Jeśli elipsa jest dana równaniem kanonicznym, to jej ogniska mają współrzędne , gdzie to jest odległość każdego ogniska od środka symetrii elipsy.

Obliczenia są prostsze niż proste:

! Konkretnych współrzędnych ognisk nie można utożsamiać ze znaczeniem „tse”! Powtarzam, że tak ODLEGŁOŚĆ od każdego ogniska do środka(co w ogólnym przypadku nie musi znajdować się dokładnie w początku układu współrzędnych).
Dlatego odległości między ogniskami również nie można powiązać z kanonicznym położeniem elipsy. Innymi słowy, elipsę można przenieść w inne miejsce, a wartość pozostanie niezmieniona, natomiast ogniska w naturalny sposób zmienią swoje współrzędne. Proszę wziąć to pod uwagę podczas dalszego zgłębiania tematu.

Ekscentryczność elipsy i jej znaczenie geometryczne

Ekscentryczność elipsy to stosunek, który może przyjmować wartości z zakresu .

W naszym przypadku:

Przekonajmy się, jak kształt elipsy zależy od jej mimośrodu. Dla tego napraw lewy i prawy wierzchołek rozważanej elipsy, czyli wartość półosi wielkiej pozostanie stała. Wtedy wzór na mimośrod będzie miał postać: .

Zacznijmy przybliżać wartość mimośrodu do jedności. Jest to możliwe tylko wtedy, gdy . Co to znaczy? ...pamiętaj o sztuczkach . Oznacza to, że ogniska elipsy „odsuną się” wzdłuż osi odciętych do bocznych wierzchołków. A ponieważ „zielone segmenty nie są gumowe”, elipsa nieuchronnie zacznie się spłaszczać, zamieniając się w coraz cieńszą kiełbasę nawleczoną na oś.

Zatem, im wartość mimośrodu elipsy jest bliższa jedności, tym bardziej wydłużona elipsa.

Teraz zamodelujmy proces odwrotny: ogniska elipsy szli ku sobie, zbliżając się do środka. Oznacza to, że wartość „ce” staje się coraz mniejsza, a zatem mimośrodowość dąży do zera: .
W takim przypadku „zielone segmenty” przeciwnie, „staną się zatłoczone” i zaczną „popychać” linię elipsy w górę i w dół.

Zatem, Im wartość mimośrodu jest bliższa zeru, tym bardziej podobna jest elipsa... spójrz na przypadek ograniczający, w którym ogniska pomyślnie łączą się w miejscu pochodzenia:

Okrąg jest szczególnym przypadkiem elipsy

Istotnie, w przypadku równości półosi kanoniczne równanie elipsy przyjmuje postać , która odruchowo przekształca się w znane ze szkoły równanie okręgu o środku w początku promienia „a”.

W praktyce częściej stosuje się zapis z „mówiącą” literą „er”: . Promień to długość odcinka, którego każdy punkt okręgu jest oddalony od środka o promień.

Należy zauważyć, że definicja elipsy pozostaje całkowicie poprawna: ogniska pokrywają się, a suma długości zbieżnych odcinków dla każdego punktu na okręgu jest stała. Ponieważ odległość między ogniskami wynosi , a następnie mimośród dowolnego okręgu wynosi zero.

Konstruowanie okręgu jest łatwe i szybkie, wystarczy użyć kompasu. Czasami jednak konieczne jest poznanie współrzędnych niektórych jego punktów, w tym przypadku idziemy znajomą drogą - sprowadzamy równanie do wesołej postaci Matanova:

– funkcja górnego półkola;
– funkcja dolnego półkola.

Następnie znajdujemy wymagane wartości, Rozróżniać, zintegrować i robić inne dobre rzeczy.

Artykuł ma oczywiście charakter poglądowy, ale jak można żyć w świecie bez miłości? Twórcze zadanie do samodzielnego rozwiązania

Przykład 2

Ułóż równanie kanoniczne elipsy, jeśli znane jest jedno z jej ognisk i półmała oś (środek znajduje się w początku). Znajdź wierzchołki, dodatkowe punkty i narysuj linię na rysunku. Oblicz mimośród.

Rozwiązanie i rysunek na końcu lekcji

Dodajmy akcję:

Obróć i równolegle przesuń elipsę

Wróćmy do kanonicznego równania elipsy, a mianowicie do stanu, którego tajemnica dręczy dociekliwe umysły od pierwszej wzmianki o tej krzywej. Przyjrzeliśmy się więc elipsie , ale czy w praktyce nie jest możliwe spełnienie równania ? Przecież tutaj jednak też wydaje się, że jest to elipsa!

Tego rodzaju równanie jest rzadkie, ale się zdarza. I faktycznie definiuje elipsę. Zdemistyfikujmy:

W wyniku konstrukcji uzyskano naszą rodzimą elipsę obróconą o 90 stopni. To jest, - Ten wpis niekanoniczny elipsa . Nagrywać!- równanie nie definiuje żadnej innej elipsy, ponieważ na osi nie ma punktów (ognisk), które spełniałyby definicję elipsy.