Rozwiązanie równań trygonometrycznych przez rozkład na mnożnikach. Równania trygonometryczne

Możesz zamówić szczegółowe rozwiązanie do swojego zadania !!!

Równość zawierająca nieznana pod znakiem funkcja trygonometryczna (`Sin x, COS X, TG X` lub` CTG X`) nazywany jest równaniem trygonometrycznym, jesteśmy ich formulem, które rozważymy dalej.

Najprostsze są nazywane równaniami `SIN X \u003d A, COS X \u003d A, TG X \u003d A, CTG X \u003d A`, gdzie` jest kątem do znalezienia,` A` - dowolnej liczby. Piszemy dla każdego z nich korzeni formułowych.

1. Równanie `Sin x \u003d a`.

Z `| a |\u003e 1 nie masz rozwiązań.

Z `| a | Leq 1 ma nieskończoną liczbę rozwiązań.

Formula korzenie: `x \u003d (- 1) ^ N arcsin A + PI N, N w Z`

2. Równanie `cos x \u003d a`

Z `| a |\u003e 1` - jak w przypadku zatok, nie ma rozwiązań wśród ważnych liczb.

Z `| a | Leq 1 ma nieskończone rozwiązania.

Formula Roots: `x \u003d PM ARCCOS A + 2 PI N, N w Z`

Prywatne przypadki dla zatok i cosinus w wykresach.

3. Równanie `tg x \u003d a`

Posiada nieskończony zestaw rozwiązań dla dowolnych wartości "a".

Formuła korzeni: `x \u003d ARCTG A + PI N, N w Z`

4. Równanie `CTG X \u003d A`

Ma także nieskończone rozwiązania dla dowolnych wartości `a`.

Formula korzenie: `x \u003d ARCCTG A + PI N, N w Z`

Formuły korzeni równań trygonometrycznych w tabeli

Dla zatok:
Na cosins:
Dla stycznej i kotence:
Formuły do \u200b\u200brozwiązywania równań zawierających odwrotne funkcje trygonometryczne:

Metody rozwiązywania równań trygonometrycznych

Rozwiązanie dowolnego równania trygonometrycznego składa się z dwóch etapów:

• przekształcając go do najprostszego;
• aby rozwiązać wynikowe najprostsze równanie, stosując powyższe pisemne wzory korzeni i tabel.

Rozważ podstawowe metody rozwiązań na przykładach.

Metoda algebraiczna.

W tej metodzie zmienna zostanie zastąpiona i podstawienie do równości.

Przykład. Rozwiązuj równanie: `2cos ^ 2 (x + frac Pi 6) -3sin (frac pi 3 - x) + 1 \u003d 0`

`2cos ^ 2 (x + frac Pi 6) -3CO (x + frac Pi 6) + 1 \u003d 0`

dokonujemy wymiany: `cos (x + frac Pi 6) \u003d y`, a następnie` 2y ^ 2-3y + 1 \u003d 0`,

znajdujemy korzenie: `y_1 \u003d 1, y_2 \u003d 1/2, z którego następują dwa przypadki:

1. `Cos (x + frac Pi 6) \u003d 1`,` x + frac Pi 6 \u003d 2 Pi N`, `x_1 \u003d - frac Pi 6 + 2 Pi N`.

2. `Cos (x + frac Pi 6) \u003d 1/2`,` x + frac Pi 6 \u003d PM ARCCOS 1/2 + 2 Pi N`, `x_2 \u003d pm \\ frac pi 3- Frac Pi 6 + 2 Pi N`.

Odpowiedź: `x_1 \u003d - frac Pi 6 + 2 Pi N`,` X_2 \u003d PM FRAC PI 3- FRAC PI 6 + 2 PI N`.

Faktoryzacja.

Przykład. Rozwiązuj równanie: `Sin x + cos x \u003d 1`.

Decyzja. Przenieś w lewo wszystkich członków równości: `Sin x + Cos X-1 \u003d 0`. Korzystamy, przekształcamy i rozkładamy się na mnożnikach lewa część:

`Sin x - 2sin ^ 2 x / 2 \u003d 0`

`2sin x / 2 cos x / 2-2sin ^ 2 x / 2 \u003d 0`

`2sin x / 2 (cos x / 2-sin x / 2) \u003d 0`

1. `Sin x / 2 \u003d 0`,` x / 2 \u003d Pi N`, `x_1 \u003d 2 Pi N`.
2. `COS X / 2-SIN X / 2 \u003d 0,` TG X / 2 \u003d 1`, `X / 2 \u003d Arctg 1+ Pi N`,` X / 2 \u003d PI / 4 + Pi N`, `X_2 \u003d PI / 2 + 2 Pi N`.

Odpowiedź: `X_1 \u003d 2 Pi N`,` X_2 \u003d PI / 2 + 2 Pi N`.

Wprowadzenie do jednorodnej równania

Początkowo to równanie trygonometryczne należy doprowadzić do jednego z dwóch typów:

`Sin x + b cos x \u003d 0 (jednorodne równanie pierwszego stopnia) lub` grzech ^ 2 x + b sin x cos x + c cos ^ 2 x \u003d 0 "(jednorodne równanie drugiego stopnia).

Następnie podziel obie części na `cos x 0` - dla pierwszego przypadku i na` cos ^ 2 x ne 0` - na drugą. Uzyskujemy równanie w stosunku do TG X`: `A TG X + B \u003d 0 i` a tg ^ 2 x + b tg x + c \u003d 0`, które musisz rozwiązać dobrze znane metody.

Przykład. Rozwiązuj równanie: `2 SIN ^ 2 x + SIN X COSS X - COS ^ 2 x \u003d 1`.

Decyzja. Piszemy prawą stronę jako `1 \u003d sin ^ 2 x + cos ^ 2 x`

`2 grzech ^ 2 x + sin x cos x - cos ^ 2 x \u003d` `sin ^ 2 x + cos ^ 2 x`,

`2 sin ^ 2 x + sin x cos x - cos ^ 2 x -`` sin ^ 2 x - cos ^ 2 x \u003d 0`

`SIN ^ 2 x + SIN X COSS X - 2 COS ^ 2 x \u003d 0`.

Jest to jednorodne równanie trygonometryczne drugiego stopnia, dzielimy jego lewe i prawe części do `cos ^ 2 x 0`, otrzymujemy:

`Frac (sin ^ 2 x) (cos ^ 2 x) + frac (sin x cos x) (cos ^ 2 x) - frac (2 cos ^ 2 x) (cos ^ 2 x) \u003d 0`

`Tg ^ 2 x + tg x - 2 \u003d 0`. Wprowadzamy wymianę `TG X \u003d T`, w wyniku` t ^ 2 + T - 2 \u003d 0`. Korzenie tego równania: `T_1 \u003d -2` i` t_2 \u003d 1`. Następnie:

1. `Tg x \u003d -2`,` x_1 \u003d arctg (-2) + pi n`, `n w z`
2. `Tg x \u003d 1`,` x \u003d Arctg 1+ Pi N`, `X_2 \u003d Pi / 4 + Pi N`,` N w Z`.

Odpowiedź. `X_1 \u003d ARCTG (-2) + Pi N`,` N w Z`, `x_2 \u003d Pi / 4 + Pi N`,` n w Z`.

Przejście na pół rogu

Przykład. Rozwiązuj równanie: `11 Sin x - 2 cos x \u003d 10`.

Decyzja. Właściwych formuł podwójnych kątowych, w wyniku: `22 SIN (X / 2) COS (X / 2) `` 2 +10 COS ^ 2 x / 2

`4 TG ^ 2 X / 2 - 11 TG X / 2 + 6 \u003d 0`

Stosowanie metody algebraicznej opisanej powyżej, otrzymujemy:

1. `TG X / 2 \u003d 2`,` x_1 \u003d 2 ARCTG 2 + 2 PI N`, `N w Z`,
2. `TG X / 2 \u003d 3/4`,` x_2 \u003d ARCTG 3/4 + 2 Pi N`, `n w Z`.

Odpowiedź. `X_1 \u003d 2 ARCTG 2 + 2 PI N, N w Z`,` X_2 \u003d ARCTG 3/4 + 2 PI N`, `n w Z`.

Wprowadzenie rogu pomocniczego

W równaniu trygonometrycznym `sin x + b cos x \u003d c`, gdzie A, B, C - współczynniki i X jest zmienną, dzielimy obie części na` SQRT (A ^ 2 + B ^ 2) `:

`FRAC A (SQRT (A ^ 2 + B ^ 2)) SIN X +` `FRAC B (SQRT (A ^ 2 + B ^ 2)) COS X \u003d` `Frac C (SQRT (A ^ 2 + b ^ 2)) `.

Współczynniki w lewej części mają właściwości zatok i cosinus, a mianowicie suma ich kwadratów równych 1 i ich moduły nie są więcej niż 1. oznaczają je w następujący sposób: "Frac A (SQRT (A ^ 2 + B) ^ 2)) \u003d COS WARPHI, `FRAC B (SQRT (A ^ 2 + B ^ 2)) \u003d sin varphics`,` frac c (sqrt (A ^ 2 + b ^ 2)) \u003d C `, a następnie:

`COS WARPHI SIN X + SIN VARPHI COS X \u003d C`.

Rozważmy bardziej szczegółowo na następującym przykładzie:

Przykład. Rozwiązuj równanie: `3 SIN X + 4 COS X \u003d 2`.

Decyzja. Podzielmy obie części równości na `SQRT (3 ^ 2 + 4 ^ 2)`, otrzymujemy:

`FRAC (3 SIN X) (SQRRT (3 ^ 2 + 4 ^ 2)) +` `FRAC (4 COS X) (SQRRT (3 ^ 2 + 4 ^ 2)) \u003d` `FRAC 2 (SQRT (3 ^ 2 + 4 ^ 2)) `

`3/5 SIN X + 4/5 COS X \u003d 2/5.

Oznaczono przez `3/5 \u003d Cos \\ tznory,` 4/5 \u003d sin varfhi`. Od `SIN VARPHO\u003e 0,` COS-VARPHO\u003e 0, a następnie jako kąt pomocniczy, weź `varfhi \u003d Arcsin 4/5. Wtedy nasza równość piszą w formie:

`COS WARPHI SIN X + SIN VARPHI COSS X \u003d 2/5

Stosując sumę suma narożników w przypadku zatoki, napiszemy naszą równość w następującym formularzu:

`SIN (X + VARPHI) \u003d 2/5

`X + varfhi \u003d (- 1) ^ n arcsin 2/5 + pi n`,` n w z`,

`X \u003d (- 1) ^ N arcsin 2/5-` `Arcsin 4/5 + Pi N`,` N w Z`.

Odpowiedź. `X \u003d (- 1) ^ N arcsin 2/5-` `Arcsin 4/5 + Pi N`,` N w Z`.

Równania trygonometryczne frakcjonowania

Są to równość z frakcjami, w licznikach i mianownikach, których istnieją funkcje trygonometryczne.

Przykład. Rozwiązać równanie. `Frac (sin x) (1 + cos x) \u003d 1-cos x`.

Decyzja. Pomnóż i podziel prawą stronę równości na `(1 + cos x)`. W rezultacie otrzymujemy:

`Frac (sin x) (1 + cos x) \u003d` `frac ((1-cos x) (1 + cos x)) (1 + cos x)`

`Frac (sin x) (1 + cos x) \u003d` `frac (1-cos ^ 2 x) (1 + cos x)`

`Frac (sin x) (1 + cos x) \u003d` `frac (sin ^ 2 x) (1 + cos x)`

`FRAC (SIN X) (1 + COSS X) -`` FRAC (SIN ^ 2 X) (1 + COS X) \u003d 0`

`Frac (grzech X-Sin ^ 2 x) (1 + Cos x) \u003d 0`

Biorąc pod uwagę, że mianownik jest równy byciu zerowym, nie może, otrzymujemy `1 + Cos x 0,` cos x ne -1`, `x ne pi + 2 pi n, n w z`.

Równiamy zero frakcji numeratora: `Sin x-sin ^ 2 x \u003d 0`,` sin x (1-sin x) \u003d 0`. Następnie `sin x \u003d 0` lub` 1-sin x \u003d 0`.

1. `Sin x \u003d 0`,` x \u003d pi n`, `n w z`
2. `1-sin x \u003d 0`,` Sin x \u003d -1`, `x \u003d Pi / 2 + 2 Pi N, N w Z`.

Biorąc pod uwagę, że `x ne pi + 2 pi n, n w z`, rozwiązania będą` x \u003d 2 Pi N, N w Z` i` x \u003d PI / 2 + 2 Pi N` , `n w z`.

Odpowiedź. `X \u003d 2 Pi N`,` N w Z`, `x \u003d Pi / 2 + 2 Pi N`,` N w Z`.

W szczególności trygonometria i równania trygonometryczne są używane w prawie wszystkich sferach geometrii, fizyki, inżynierii. Zaczyna się badanie w dziesiątej klasie, zadania są koniecznie obecne dla egzaminu, więc staraj się zapamiętać wszystkie wzory równań trygonometrycznych - na pewno będą cię używać!

Jednak nie jest jednak konieczne, aby ich pamiętać, główną rzeczą jest zrozumienie istoty i móc wycofać się. Nie jest to trudne, jak się wydaje. Pamiętaj, aby obejrzeć film.

Rozwiązanie równania trygonometrycznego składa się z dwóch etapów: konwertuj równanie zdobyć jego najprostsze gatunki (patrz wyżej) i decyzja uzyskane najprostsze równanie trygonometryczne.Tam jest siedem podstawowe metody rozwiązywania równań trygonometrycznych.

1. Metoda algebraiczna.

(Metoda wymiany zmiennej i substytucji).

2. Rozkład mnożników.

PRI ME R 1. Rozwiąż równanie:grzech. x. + Cos. x. = 1 .

R e W e n E. Przesunął wszystkich członków w lewym równaniu:

Grzech. x. + Cos. x. – 1 = 0 ,

Przekształcamy i rozkładamy wyrażenie w czynnikach

Lewa część równania:

PRI ME R 2. Rozwiązuje równanie:sałata. 2 x. + Grzech X. · Cos. X. = 1.

R e s n e. cos 2 x. + Grzech x. · Cos. x.– sIN 2. x. - COS 2. x. = 0 ,

Grzech. x. · Cos. x.– SIN 2. x. = 0 ,

Grzech. x. · (Cos. x.– grzech. X. ) = 0 ,

Pri m e p 3. Rozwiązuje równanie:cos 2. x.- COS 8. x. + COS 6. x. = 1.

R e s n e. cos 2 x.+ COS 6. x. \u003d 1 + cos 8 x.,

2 cos 4. x. Cos 2. x. \u003d 2 cos. ² 4. x. ,

Cos 4. x. · (Cos 2. x. - COS 4. x.) = 0 ,

Cos 4. x. · 2 grzech 3 x. · Sin. x. = 0 ,

jeden). Cos 4. x. \u003d 0, 2). SIN 3. x. \u003d 0, 3). grzech. x. = 0 ,

4. Przejście na pół rogu.

Rozważ tę metodę na przykładzie:

Pri Mers. Rozwiązuj równanie: 3grzech. x. - 5 cos. x. = 7.

R e w e. 6 grzech ( x./ 2) · cos ( x./ 2) - 5 COS ² ( x./ 2) + 5 SIN ² ( x./ 2) =

7 SIN ² ( x./ 2) + 7 COS ² ( x./ 2) ,

2 SIN ² ( x./ 2) - 6 grzech ( x. / 2) · cos ( x./ 2) + 12 COS ² ( x./ 2) = 0 ,

tan ² ( x./ 2) - 3 opalenizna ( x./ 2) + 6 = 0 ,

. . . . . . . . . .

5. Wprowadzenie kąta pomocniczego.

Rozważ równanie widoku:

zA. grzech. x. + b. sałata. x. = dO. ,

Gdzie ZA., b., dO. - współczynniki;x. - Nieznany.

Teraz współczynniki równania mają właściwości zatok i cosonii, mianowicie: Moduł (wartość bezwzględna) każdego z nich nie więcej niż 1, a suma ich kwadratów jest równa 1. Następnie możesz wyznaczyć je odpowiednio tak jak cos i grzech (tutaj - tak zwana Narożnik pomocniczy), JA.nasze równanie

Głównymi sposobami rozwiązywania równań trygonometrycznych są: równania mieszające do najprostszych (przy użyciu wzorów trygonometrycznych), wprowadzając nowe zmienne, rozkład mnożników. Rozważ ich użycie na przykładach. Zwróć uwagę na rejestrację rejestracji roztworów równań trygonometrycznych.

Warunkiem skutecznego rozwiązywania równań trygonometrycznych jest wiedza o wzorach trygonometrycznych (motyw 13 pracy 6).

Przykłady.

1. Równania zredukowane do najprostszego.

1) Rozwiązuj równanie

Decyzja:

Odpowiedź:

2) Znajdź korzenie równania

(Sinx + COSX) 2 \u003d 1 - Sinxcosx, należący do segmentu.

Decyzja:

Odpowiedź:

2. Równania zredukowane do kwadratu.

1) Rozwiązuj równanie 2 SIN 2 x - COSX -1 \u003d 0.

Decyzja: Za pomocą formuła grzech. 2 x \u003d 1 - cos 2 x, zdobądź

Odpowiedź:

2) Rozwiąż równanie COS 2x \u003d 1 + 4 COSX.

Decyzja: Korzystanie z COS 2X \u003d 2 COS 2 x - 1 Formuła, otrzymujemy

Odpowiedź:

3) Rozwiązuj równanie TGX - 2CTGX + 1 \u003d 0

Decyzja:

Odpowiedź:

3. równania jednolite.

1) Rozwiązuj równanie 2SINX - 3COSX \u003d 0

Rozwiązanie: Niech COSX \u003d 0, a następnie 2sinx \u003d 0 i Sinx \u003d 0 - sprzeczność z faktem, że SIN 2 x + COS 2 x \u003d 1. COSX ≠ 0 i można podzielić na równanie COSX. Otrzymać

Odpowiedź:

2) Rozwiązuj równanie 1 + 7 COS 2 x \u003d 3 SIN 2X

Decyzja:

Używamy formuł 1 \u003d sin 2 x + cos 2 x i sin 2x \u003d 2 Sinxcosx, otrzymujemy

sin 2 x + Cos 2 x + 7cos 2 x \u003d 6sinxcosx
SIN 2 x - 6SINXCOSX + 8CO 2 x \u003d 0

Niech COSX \u003d 0, a następnie SIN 2 x \u003d 0 i Sinx \u003d 0 - sprzeczność z faktem, że grzech 2 x + cos 2 x \u003d 1.
Więc cosx ≠ 0 i można podzielić przez równanie COS 2 x . Otrzymać

tG 2 x - 6 TGX + 8 \u003d 0
Oznaczać tgx \u003d y
Y 2 - 6 Y + 8 \u003d 0
y 1 \u003d 4; Y 2 \u003d 2
a) tgx \u003d 4, x \u003d arctg4 + 2 K., K.
b) tgx \u003d 2, x \u003d arctg2 + 2 K., K. .

Odpowiedź: ARCTG4 + 2. K., ARCTG2 + 2 K, K.

4. Zobacz równania ZA. Sinx +. B. cosx \u003d. C, S.≠ 0.

1) Rozwiąż równanie.

Decyzja:

Odpowiedź:

5. Równania rozwiązane przez rozkładaninę mnożników.

1) Rozwiąż równanie SIN2X - SINX \u003d 0.

Korzeń równania FA. ( H.) = φ ( H.) Może być tylko numer 0. Sprawdź to:

cOS 0 \u003d 0 + 1 - Równość jest prawdziwa.

Numer 0 jedynym źródłem tego równania.

Odpowiedź: 0.

Przedmiot:"Metody rozwiązywania równań trygonometrycznych."

Lekcja celów:

edukacyjny:

Tworzyć umiejętności, aby rozróżnić równania trygonometryczne;

Pogłębianie zrozumienia metod rozwiązywania równań trygonometrycznych;

edukacyjny:

Edukacja odsetek poznawczych w procesie edukacyjnym;

Tworzenie zdolności do analizy zadania;

rozwijanie:

Kształt umiejętności, aby przeanalizować sytuację z późniejszym wyborem najbardziej racjonalnego wyjścia z niego.

Ekwipunek: Plakat z podstawowymi formułami trygonometrycznymi, komputerem, projektorem, ekranem.

Rozpocznijmy lekcję z powtarzania głównego odbioru roztworu dowolnego równania: zmniejszyć go do standardowego formularza. Przez transformacje. równania liniowe. Jedź do formularza AH \u003d in, kwadrat - do formularza aX 2 +.bX +.c \u003d 0. W przypadku równań trygonometrycznych konieczne jest zmniejszenie ich do najprostszego, typu: Sinx \u003d A, COSX \u003d A, TGX \u003d A, który można łatwo rozwiązać.

Przede wszystkim, oczywiście konieczne jest użycie głównego wzory trygonometryczne.które są prezentowane na plakatu: wzory dodawania, podwójne wzory kątowe, obniżając wielość równania. Wiemy już, jak rozwiązać takie równania. Powtarzamy niektóre z nich:

Jednocześnie istnieją równania, których rozwiązanie wymaga znajomości niektórych specjalnych technik.

Tematem naszej lekcji jest uwzględnieniem tych technik i systematyzacji metod rozwiązywania równań trygonometrycznych.

Metody rozwiązywania równań trygonometrycznych.

1. Transformacja K. równanie kwadratowe Jeśli chodzi o dowolną funkcję trygonometryczną, a następnie zmienną wymianę.

Rozważ każdą z wymienionych metod na przykładach, ale potrwa więcej szczegółów na dwóch ostatnich, ponieważ pierwsze dwa zostały już wykorzystane w rozwiązywaniu równań.

1. Transformacja do równania kwadratowego dla dowolnej funkcji trygonometrycznej.

2. Rozwiązanie równań przez rozkład przez mnożniki.

3. Rozwiązanie jednorodnych równań.

Jednolite równania pierwszego i drugiego stopnia nazywane są równaniami formularza:

odpowiednio (A ≠ 0, B ≠ 0, C ≠ 0).

Podczas rozwiązywania jednorodnych równań oba części równania COSX dla (1) równań i COS 2 X dla (2) są osiągane. Taka podział jest możliwy, ponieważ Sinx i Cosx nie są równi zero w tym samym czasie - zwracają się do zera w różnych punktach. Rozważmy przykłady rozwiązywania jednorodnych równań pierwszego i drugiego stopnia.

Pamiętamy to równanie: przy rozważaniu następnej metody - wprowadzenie argumentu pomocniczego, rozwiązując go w inny sposób.

4. Wprowadzenie argumentu pomocniczego.

Rozważmy równanie już rozwiązane przez poprzednią metodę:

Jak widać, ten sam wynik jest uzyskiwany.

Rozważmy inny przykład:

W badanych przykładach, ogólnie rozumiano, że konieczne było podzielenie początkowego równania w celu wprowadzenia argumentu pomocniczego. Ale może się zdarzyć, że nie jest oczywiste, który rozdzielacz wyboru. W tym celu jest specjalna technika, którą teraz i rozważamy generał. Niech równanie zostanie podane.