Sin jest równy. Podstawowe wzory trygonometryczne i sin tożsamości, COS, TG, CTG

Wzory trygonometryczne mają wiele właściwości, z których jeden jest stosowaniem formuły redukcji stopnia. Przyczyniają się do uproszczenia wyrażeń, zmniejszając zakres.

Definicja 1.

Formuły zmniejszenia działają na podstawie ekspresji stopnia sine i cosinus przez zatokę i cosinus w pierwszym stopniu, ale wiele rogu. W przypadku uproszczenia formuła staje się wygodna do obliczeń, a zwiększa się wielość kąta od α do N α.

Wzory redukcji stopni, ich dowód

Poniżej znajduje się tabela obniżenia formuł 2 do 4 dla grzechu i kąta Cos. Po zapoznaniu się z nimi ustalamy ogólną formułę dla wszystkich stopni.

sIN 2 α \u003d 1 - COS 2 α2 COS 2 α \u003d 1 + COS 2 α 2 SIN 3 \u003d 3 · SIN α - SIN 3 α 4 SIN 4 \u003d 3 - 4 · COS 2 α + COS 4 α 8 COS 4 α \u003d 3 + 4 · COS 2 α + COS 4 α 8

Formuły te mają na celu zmniejszenie stopnia.

Istnieje formuła podwójnego kąta w cosinus i zatok, z czego formuły stopnia stopnia COS 2 α \u003d 1 - 2 · SIN 2 α i COS 2 α \u003d 2 · COS 2 α - 1. Równość rozstrzygnięto w stosunku do zatoki i kwadratu Cosinus, które są dostarczane jako grzech 2 α \u003d 1 - COS 2 α 2 i COS 2 α \u003d 1 + COS 2 α 2.

Formuły do \u200b\u200bobniżania stopni funkcji trygonometrycznych Echo z wzorem sine i cosinus .

Wzór najbliższego kąta SIN 3 α \u003d 3 · SIN α - 4 · SIN 3 α i COS 3 α \u003d - 3 · COS α + 4 · COS 3 α.

Jeśli rozwiążysz równość w stosunku do Sine i Cosinus na Kubie, otrzymujemy spadek stopni dla zatok i cosonii:

sIN 3 α \u003d 3 - 4 · COS 2 α + COS 4 α 8 i COS 3 α \u003d 3 · COS α + COS 3 α4.

Wśród formuł czwartego stopnia funkcji trygonometrycznych wyglądają tak: SIN 4 α \u003d 3 - 4 · COS 2 α + COS 4 α 8 i COS 4 α \u003d 3 + 4 · COS 2 α + COS 4 α 8.

Aby obniżyć stopnie tych wyrażeń, możesz działać w 2 etapach, czyli dwa razy, a następnie wygląda:

sIN 4 α \u003d (SIN 2 α) 2 \u003d (1 - COS 2 α 2) 2 \u003d 1 - 2 · COS 2 α + COS 2 2 α4 \u003d 1 - 2 · COS 2 α + 1 + COS 4 α 2 4 \u003d 3 - 4 · COS 2 α + COS 4 α 8; COS 4 α \u003d (COS 2 α) 2 \u003d (1 + COS 2 α 2) 2 \u003d 1 + 2 · COS 2 α + COS 2 2 α4 \u003d \u003d 1 + 2 · COS 2 α + 1 + COS 4 α 2 4 \u003d 3 + 4 · COS 2 α + COS 4 α 8

Wskaźniki między głównymi funkcjami trygonometrycznymi - SINE, Cosinus, Stylent i Ktanit wzory trygonometryczne.. A ponieważ istnieje wiele połączeń między funkcjami trygonometrycznymi, obfitość wzorów trygonometrycznych jest również wyjaśniona przez to. Niektóre formuły wiążą funkcje trygonometryczne tego samego kąta, inne - funkcje kąta wielokrotnego, trzeci - zezwolić na zmniejszenie stopnia, czwarty - wyrażanie wszystkich funkcji przez styczne pół kąt itp.

W tym artykule wymieniamy wszystkie główne wzory trygonometryczne, które są wystarczające do rozwiązania przytłaczającego większości problemów z trygonometrii. Łatwość zapamiętywania i użytkowania, zbliźmy je celowo i wprowadź tabelę.

Strona nawigacyjna.

Podstawowa tożsamość trygonometryczna

Podstawowa tożsamość trygonometryczna Ustaw relację między zatoką, cosiną, styczną i katangentem jednego rogu. Wypływają z definicji zatok, cosinus, styczna i kadenna, a także pojęć pojedynczego kręgu. Pozwalają wyrazić jedną funkcję trygonometryczną przez dowolne inne.

Szczegółowy opis tych formuł trygonometrycznych, ich wniosek i przykłady aplikacji Zobacz artykuł.

Formuły odlewu

Formuły odlewu Postępuj zgodnie z właściwościami zatok, cosinus, styczna i kenangent, to znaczy, odzwierciedlają one właściwości częstotliwości funkcji trygonometrycznych, właściwości symetrii, a także właściwości zmiany kąta. Te wzory trygonometryczne pozwalają pracować z dowolnymi kątami, aby przejść do pracy z kątami od zera do 90 stopni.

Uzasadnienie tych formuł, reguła mnemoniczna dla ich zapamiętywania i przykładów ich zastosowania można zbadać w artykule.

Dodawanie formuł.

Dodawanie formuł trygonometrycznych Pokaż, jako trygonometryczne funkcje sumy lub różnicy dwóch kątów, są wyrażane przez funkcje trygonometryczne tych kątów. Formuły te służą jako baza do wniosku po formułach trygonometrycznych.

Podwójne, potrójne itp. Kąt

Podwójne, potrójne itp. Kąt (nazywane są także wieloma wzorami narożnymi) Pokaż, w jaki sposób trygonometryczne funkcje podwójnego, potrójnego itp. Kąty () są wyrażone przez trygonometryczne funkcje pojedynczego kąta. Ich wniosek opiera się na formułach dodawania.

Bardziej szczegółowe informacje są gromadzone w artykule o wzorze podwójnego, potrójnego itp. kąt.

Wzory pół kąt

Wzory pół kąt Pokaż, ponieważ funkcje trygonometryczne połowy kąt są wyrażone przez kosineus całego kąta. Te wzory trygonometryczne wynikają z formuł podwójnego kąta.

Ich wniosek i przykłady aplikacji można oglądać w artykule.

Formuły redukcji stopni

Formuły redukcji stopnia trygonometrycznego Wezwany jest do promowania przejścia z naturalnych stopni trygonometrycznych funkcji do zatok i cosinus w pierwszym stopniu, ale wiele narożników. Innymi słowy, pozwalają na zmniejszenie stopni funkcji trygonometrycznych do pierwszego.

Formuły sumy i różnicy funkcji trygonometrycznych

główny cel formuły sumy i różnicy funkcji trygonometrycznych Ma przełączenie na produkt funkcji, który jest bardzo przydatny przy uproszczeniu wyrażeń trygonometrycznych. Formuły te są również szeroko stosowane w rozwiązywaniu równań trygonometrycznych, ponieważ pozwalają nam położyć sumę i różnicę w zatokach i cosinus.

Formuły pracuje nad zatokami, cosinami i sinami na cosinusie

Przejście od produktu funkcji trygonometrycznych do ilości lub różnicy prowadzi się przez wzory dzieł zatok, cosinus i zatok na cosinusie.

Uniwersalna substytucja trygonometryczna

Przegląd podstawowych formuł trygonometrii kompletnych za pomocą formuł wyrażających funkcje trygonometryczne przez styczny pół kątowy. Taka wymiana została nazwana uniwersalna substytucja trygonometryczna. Jego wygodę jest to, że wszystkie funkcje trygonometryczne są wyrażone przez półkwiatowy okres, racjonalnie bez korzeni.

Bibliografia.

Algebra: Studia. Za 9 cl. środowiska Shk. / U. N. MakaryChev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorov; Ed. S. A. Telikovsky. - M.: Edukacja, 1990.- 272 C.: Il.- ISBN 5-09-002727-7
Bashmakov M. I. Algebra i analiza rozpoczęcia: badania. Za 10-11 cl. środowiska shk. - 3rd ed. - m.: Oświecenie, 1993. - 351 C.: Il. - ISBN 5-09-004617-4.
Algebra I analiza rozpoczynająca: badania. Za 10-11 cl. ogólne wykształcenie. Instytucje / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn itp.; Ed. A. N. Kolmogorova.- 14. Ed. - M.: Oświecenie, 2004.- 384 C.: Il.- ISBN 5-09-013651-3.
Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematyka (korzyści dla wnioskodawców w szkołach technicznych): badania. korzyść. - m.; Wyższy. Squ., 1984.-351 p., Il.

Wszelkie prawa zastrzeżone.
Prawo praw autorskich strażników. Brak części witryny, w tym materiałów wewnętrznych i zewnętrznych konstrukcji, nie można odtwarzać w żadnej formie lub użyciu bez uprzedniej pisemnej zgody posiadacza praw autorskich.

Głównymi formułami trygonometrii są formułami, które nawiązują relacje między głównymi funkcjami trygonometrycznymi. Sine, Cosine, Stylent i Kanangenów są połączone przez wiele wskaźników. Poniżej przedstawiamy główne wzory trygonometryczne, a dla wygody zgrupowali ich do zamierzonego celu. Korzystając z tych formuł, możesz rozwiązać prawie każde zadanie ze standardowego kursu trygonometrii. Natychmiast zauważamy, że poniżej są tylko same formuły, a nie ich wniosek, że będą poświęcone oddzielne artykuły.

Główne tożsamości trygonometrii

Tożsamości trygonometryczne dają związek między zatoką, cosiną, styczną i kokimentą jednego rogu, co pozwala wyrażać jedną funkcję przez inny.

Tożsamość trygonometryczna

sIN 2 A + COS 2 A \u003d 1 TG α \u003d SIN α COS α, CTG α \u003d COS α SIN α TG α · CTG α \u003d 1 TG 2 α + 1 \u003d 1 COS 2 α, CTG 2 α + 1 \u003d 1 Sin 2 α.

Tożsamości te są bezpośrednio mierzone z definicji pojedynczego kręgu, zatokę (grzechu), cosinus (COS), styczna (TG) i Cotangent (CTG).

Formuły odlewu

Wzory wyjaśniające pozwalają przenieść się do pracy z dowolnym i arbitralnie z dużymi kątami do pracy z kątami od 0 do 90 stopni.

Formuły odlewu

sIN α + 2 π z \u003d grzech α, cos α + 2 π z \u003d cos α tg α + 2 π z \u003d tg α, ctg α + 2 π z \u003d ctg α sin - α + 2 π z \u003d - sin α, COS - α + 2 π z \u003d cos α Tg - α + 2 π z \u003d - tg α, CTG - α + 2 π z \u003d - CTG α SIN π 2 + α + 2 π z \u003d cos α, cos π 2 + α + 2 π z \u003d - sin α Tg π 2 + α + 2 π z \u003d - CTG α, CTG π 2 + α + 2 π z \u003d - tg α SIN π 2 - α + 2 π z \u003d cos α, bo π 2 - α + 2 π z \u003d sin α Tg 2 - α + 2 π z \u003d ctg α, CTG π 2 - α + 2 π z \u003d tg α SIN π + α + 2 π z \u003d - Sin α, COS π + α + 2 π z \u003d - cos α Tg π + α + 2 π z \u003d tg α, CTG π + α + 2 π z \u003d CTG α SIN π - α + 2 π z \u003d sin α, cos π - α + 2 π z \u003d - cos α Tg π - α + 2 π z \u003d - tg α, CTG π - α + 2 π z \u003d - CTG α SIN 3 π 2 + α + 2 π z \u003d - COS α, COS 3 π 2 + α + 2 π z \u003d sin α TG 3 π 2 + α + 2 π z \u003d - CTG α, CTG 3 π 2 + α + 2 π z \u003d - tg α SIN 3 π 2 - α + 2 π z \u003d - COS α, COS 3 π 2 - α + 2 π Z \u003d - SIN α TG 3 π 2 - α + 2 π z \u003d ctg α, CTG 3 π 2 - α + 2 π z \u003d tg α

Uzyskane formuły są konsekwencją częstotliwości funkcji trygonometrycznych.

Dodawanie formuł trygonometrycznych

Wzory dodawania w trygonometrii umożliwiają wyrażanie funkcji trygonometrycznej sumy lub różnicy kątów przez funkcje trygonometryczne tych kątów.

Dodawanie formuł trygonometrycznych

sIN α ± β \u003d SIN α · COS ± COS α · SIN β COS α + β \u003d COS α · COS - SIN α · SIN β COS α - β \u003d COS α · COS + SIN α · SIN β TG α ± β \u003d tg α ± tg β 1 ± tg α · tg β ctg α ± β \u003d - 1 ± CTG α · CTG β CTG α ± CTG β

W oparciu o wzory dodatkowo pochodzą wzory trygonometryczne wielu rogu.

Wiele formuł narożnych: podwójne, potrójne itp.

Podwójne i potrójne wzory kątowe

sIN 2 α \u003d 2 · SIN α · COS α COS 2 α \u003d COS 2 α - SIN 2 α, COS 2 α \u003d 1 - 2 SIN 2 α, COS 2 α \u003d 2 COS 2 α - 1 TG 2 α \u003d 2 · TG α 1 - TG 2 α z TG 2 α \u003d z TG 2 α - 1 2 · C tg α SIN 3 α \u003d 3 SIN α · COS 2 α - SIN 3 α, SIN 3 α \u003d 3 SIN α - 4 SIN 3 α COS 3 α \u003d COS 3 α - 3 SIN 2 α · COS α, COS 3 α \u003d - 3 COS α + 4 COS 3 α TG 3 α \u003d 3 TG α - TG 3 α 1 - 3 TG 2 α CTG 3 α \u003d CTG 3 α - 3 CTG α 3 CTG 2 α - 1

Wzory pół kąt

Wzory połowy kąta w trygonometrii są konsekwencją wzorów podwójnego kąta i wyrażają stosunki między głównymi funkcjami połowy kątem a cosinusem całego kąta.

Wzory pół kąt

sIN 2 α 2 \u003d 1 - COS α2 COS 2 α 2 \u003d 1 + COS α 2 T G2 α 2 \u003d 1 - COS α 1 + COS α C t g 2 α 2 \u003d 1 + COS α 1 - COS α

Formuły redukcji stopni

sIN 2 α \u003d 1 - COS 2 α2 COS 2 α \u003d 1 + COS 2 α 2 SIN 3 α \u003d 3 SIN α - SIN 3 α4 COS 3 α \u003d 3 COS α + COS 3 α 4 SIN 4 α \u003d 3 - 4 COS 2 α + COS 4 α 8 COS 4 α \u003d 3 + 4 COS 2 α + COS 4 α 8

Często przy obliczaniu ustawy z uciążliwymi stopniami jest niewygodne. Formuły redukcji stopnia pozwalają na zmniejszenie stopnia funkcji trygonometrycznej z dowolnym dużym do pierwszego. Przedstawiamy swój pogląd ogólny:

Ogólny widok formuły redukcji stopnia

nawet N.

sin N α \u003d C N2 N2 N + 1 2 N - 1 σ K \u003d 0 N 2 - 1 (- 1) N2 - K · KN · COS ((N - 2 K) α) COS N α \u003d C N2 N2 N + 1 2 N - 1 σ K \u003d 0 N2 - 1 C KN · COS ((N - 2 K) α)

dla nieparzystego N.

sIN N α \u003d 1 2 N - 1 σ K \u003d 0 N - 1 2 (- 1) N - 1 2 - K · C KN · grzech ((N - 2 K) α) COS N α \u003d 1 2 N - 1 Σ k \u003d 0 N - 1 2 C KN · COS ((N - 2 K) α)

Suma i różnica funkcji trygonometrycznych

Różnica i suma funkcji trygonometrycznych mogą być reprezentowane jako produkt. Rozkład różnicy w zatokach i różnicach Cosinus jest bardzo wygodna w celu zastosowania w rozwiązywaniu równań trygonometrycznych i uprościć wyrażenia.

Suma i różnica funkcji trygonometrycznych

sIN α + SIN β \u003d 2 SIN α + β 2 · COS α - β 2 SIN α - SIN β \u003d 2 SIN α - β 2 · COS α + β 2 COS α + COS β \u003d 2 COS α + β 2 · COS α - β 2 COS α - COS β \u003d - 2 SIN α + β 2 · SIN α - β 2, COS α - COS β \u003d 2 SIN α + β 2 · SIN β - α 2

Praca funkcji trygonometrycznych

Jeśli formuły sum i różnicy funkcji pozwalają przejść do produktu, wówczas wzory dla produktu funkcji trygonometrycznych przeprowadzają odwrotne przejście - z produktu do kwoty. Rozważane są wzory pracy zatokach, cosinus i zatokę na cosinusie.

Formuły do \u200b\u200bprac funkcji trygonometrycznych

sIN α · grzech β \u003d 1 2 · (cos (α - β) - COS (α + β)) COS α · COS β \u003d 1 2 · (Cos (α - β) + Cos (α + β)) SIN α · Cos β \u003d 1 2 · (grzech (α - β) + grzech (α + β))

Uniwersalna substytucja trygonometryczna

Wszystkie główne funkcje trygonometryczne są zatok, cosinus, styczny i kadencent, można wyrazić za pośrednictwem stylu pół rogu.

Uniwersalna substytucja trygonometryczna

sIN α \u003d 2 TG α2 1 + TG 2 α2 COS α \u003d 1 - TG 2 α2 1 + TG 2 α2 TG α \u003d 2 TG α2 1 - TG 2 α2 CTG α \u003d 1 - TG 2 α 2 2 tg α 2

Jeśli zauważysz błąd w tekście, wybierz go i naciśnij Ctrl + Enter

Jeśli powiemy, że są to warzywa gotowane w wodzie przez specjalny przepis. Rozważę dwa elementy źródła (sałatka warzywna i woda) oraz gotowy wynik - barszcz. Geometrycznie może być reprezentowany jako prostokąt, w którym jedna strona oznacza sałatkę, druga strona oznacza wodę. Suma tych dwóch stron będzie oznaczać barszcz. Przekątna i obszar takiego "wybuchu" prostokąta są pojęciami czysto matematycznymi i nigdy nie są używane w przepisach żeglarstwa borsch.

Jak sałatka i woda zamieniają się w barszcz pod względem matematyki? W jaki sposób suma dwóch segmentów może zostać przekształcona w trygonometrię? Aby to zrozumieć, potrzebujemy liniowych funkcji kątowych.

W podręcznikach matematycznych nie znajdziesz nic o liniowych funkcjach kątowych. Ale bez nich nie może być matematycy. Prawa matematyki, a także prawa natury, pracują niezależnie od tego, czy wiemy o ich istnieniu, czy nie.

Liniowe funkcje kątowe są przepisami dodawania. Zobacz, jak algebra zamienia się w geometrię, a geometria zamienia się w trygonometrię.

Czy można wykonać bez liniowych funkcji kątowych? Jest to możliwe, ponieważ matematyka wciąż robi bez nich. Sztuką matematyków jest to, że zawsze mówią nam tylko o tych wyzwań, których sami mogą zdecydować i nigdy nie mówią o tych zadaniach, które nie wiedzą, jak zdecydować. Widzieć. Jeśli znamy wynik dodatku i jednego terminu, do poszukiwania innego bezpłatnego, używamy odejmowania. Wszystko. Nie znamy innych zadań i nie wiemy, jak rozwiązać. Co zrobić w przypadku, gdy tylko jesteśmy znani z wyniku dodawania i nie są znani zarówno warunki? W tym przypadku wynik dodatku należy rozłożyć na dwa terminy z liniowymi funkcjami kątowymi. Wtedy już wybieramy, jak może być jeden termin, a liniowe funkcje kątowe pokazują, jak powinno być drugi termin, tak że wynik dodatku był dokładnie tym, czego potrzebujemy. Takie pary terminów mogą być nieskończonym zestawem. W życiu codziennym budzimy się bez rozkładu kwoty, mamy wystarczająco dużo odejmowania. Ale w badaniach naukowych przepisów natury rozkład kwoty na komponentach może być bardzo przydatny.

Kolejne prawo dodawania, o której matematyce nie lubi mówić (inną z ich sztuczki), wymaga, aby składniki miały te same jednostki pomiaru. W przypadku sałaty, wody i barszczówki może być jednostką pomiaru, objętości, kosztu lub jednostki pomiaru.

Figura pokazuje dwa poziomy różnic dla matematyki. Pierwszym poziomem jest różnice w dziedzinie wskazanych liczb zA., b., dO.. Oznacza to, że matematyka jest zaangażowana. Drugim poziomem jest różnice w dziedzinie jednostek pomiaru, które są pokazane w nawiasach kwadratowych i wskazywane przez list U.. Fizyka są w tym zaangażowani. Możemy zrozumieć trzeci poziom - różnice w dziedzinie opisanych obiektów. Różne obiekty mogą mieć taką samą liczbę identycznych jednostek pomiaru. Jeśli chodzi o ważne, możemy zobaczyć przykład trygonometrii Borscht. Jeśli dodajemy niższe indeksy do tego samego oznaczenia jednostek pomiaru różnych obiektów, możemy dokładnie powiedzieć, która wartość matematyczna opisuje konkretny obiekt i jak zmienia się w czasie lub w związku z naszymi działaniami. List W. Kończę wodę, list S. Niech sałatka i list B. - Borszcz. Tak wyglądają liniowe funkcje kątowe dla Borscht.

Jeśli weźmiemy część wody i część sałatki, razem zamieniają się w jedną część borscht. Tutaj sugeruję ci trochę odwrócić uwagę od Borscht i zapamiętaj odległy dzieciństwo. Pamiętaj, jak nauczono nas zebrać króliki i urzędnik razem? Konieczne było znalezienie, ile zwierząt odniesie sukces. Co nas nauczyli? Uczestniliśmy oderwanie jednostek pomiarów z liczb i dodać liczby. Tak, jeden numer można złożyć za pomocą innego dowolnego numeru. Jest to bezpośrednia droga do authis współczesnej matematyki - robimy to nie jest jasne, co, nie jest jasne, dlaczego i bardzo dobrze rozumiem, jak to odnosi się do rzeczywistości, z powodu trzech poziomów różnic matematycznych tylko jeden. Będzie to bardziej poprawne, aby nauczyć się poruszać się z jednego jednostki pomiaru do innych.

A króliki i klarapy i zwierzęta można obliczyć na kawałki. Jedna wspólna jednostka pomiaru dla różnych obiektów pozwala nam złożyć je razem. Jest to opcja zadania dla dzieci. Spójrzmy na podobne zadanie dla dorosłych. Co się stanie, jeśli składasz króliki i pieniądze? Tutaj możesz zaoferować dwa rozwiązania.

Pierwsza opcja. Definiujemy wartość rynkową króliczek i złożyć ją z ilością pieniędzy. Otrzymaliśmy całkowity koszt naszego bogactwa w odpowiedniku środków pieniężnych.

Druga opcja. Możesz dodać liczbę bunnies o liczbie dostępnych rachunków gotówkowych. Otrzymamy liczbę ruchomych nieruchomości na kawałkach.

Jak widać, te same prawo porozumienia pozwala uzyskać różne wyniki. Wszystko zależy od tego, co dokładnie chcemy wiedzieć.

Ale z powrotem do naszych kolekcji. Teraz możemy zobaczyć, co wydarzy się w różnych wartościach kąta liniowych funkcji kątowych.

Kąt wynosi zero. Mamy sałatkę, ale nie ma wody. Nie możemy gotować barszcz. Ilość płyt jest również zero. Nie oznacza to, że zero borschor jest zerową wodą. Zero zero może być w sałatce zerowej (prosty kąt).

Dla mnie osobiście jest to główne dowody matematyczne o tym, że. Zero nie zmienia numeru podczas dodawania. Dzieje się tak, ponieważ sam dodatek jest niemożliwy, jeśli jest tylko jeden termin i nie ma drugiego terminu. Można go traktować w każdym razie, ale pamiętaj - wszystkie operacje matematyczne z samym zero pojawiły się z samych matematyki, więc rzucając logikę i głupio narzędzie Definicje wymyślone przez matematyków: "Podział na zero jest niemożliwe", "dowolny numer pomnożony przez zero jest zero "," dla punktu kaczki zero "i innych nonsensów. Po prostu pamiętam, że zero nie jest liczbą, a nigdy nie będziesz miał pytania, jest zerową liczbą naturalną, czy nie, ponieważ takie pytanie jest ogólnie pozbawione jakiegokolwiek znaczenia: jak można uznać za numer, który jest nie. To jak pytanie, jaki kolor jest niewidoczny. Dodaj zero do numeru jest taki sam jak malowanie farby, która nie jest. Suche Tassel umyte i porozmawiaj ze wszystkimi, że "namalowaliśmy". Ale byłem trochę rozproszony.

Kąt jest większy niż zero, ale mniej niż czterdzieści pięć stopni. Mamy dużo sałaty, ale małej wody. W rezultacie otrzymujemy gruby barszcz.

Kąt jest czterdzieści pięciu stopni. Mamy w równej ilości wody i sałatce. To jest idealny barszcz (i wybacz mi gotować, to tylko matematyka).

Kąt jest więcej niż czterdzieści pięć stopni, ale mniej niż dziewięćdziesiąt stopni. Mamy dużo wody i małej sałaty. Okazuje się ciekły barszcz.

Prosty kąt. Mamy wodę. Jedyne wspomnienia pozostały z sałatki, ponieważ kąt nadal mierzymy z linii, która kiedyś oznaczała sałatkę. Nie możemy gotować barszcz. Ilość borscht wynosi zero. W tym przypadku trzymaj się i napij wodę podczas gdy jest)))

Tutaj. Coś takiego. Mogę tu powiedzieć i inne historie, które będą tutaj więcej niż odpowiednie.

Dwaj przyjaciele miały własne udziały w ogólnym biznesie. Po zabójstwie jednego z nich wszystko poszło do innego.

Wygląd matematyki na naszej planecie.

Wszystkie te historie w języku matematyki są opowiadane za pomocą liniowych funkcji kątowych. Innym razem pokażę Ci prawdziwe miejsce tych funkcji w strukturze matematyki. W międzyczasie z powrotem do trygonometrii Borscht i rozważyć projekcję.

sobota, 26 października 2019

Oglądał ciekawy film wiersz Grande. Jeden minus jeden plus jeden minus jeden - Numberpile . Matematyka kłamstwo. Nie zweryfikowali równości podczas rozumowania.

To echa moich argumentów.

Spójrzmy na oznaki oszukania nas z matematykami. Na samym początku rozumowania matematyka twierdzi, że suma sekwencji zależy od nawet liczby elementów w nim lub nie. Jest to obiektywnie ustalony fakt. Co się potem dzieje?

Dalsza matematyka z urządzenia odliczają sekwencję. Do czego prowadzi? Prowadzi to do zmiany liczby elementów sekwencji - nawet zmiany w nieparzystej, dziwnych zmianach nawet. W końcu dodano do sekwencji jeden element równy. Pomimo wszystkich podobieństwa zewnętrznego, sekwencja przed konwersją nie jest równa sekwencji po transformacji. Nawet jeśli kłócimy się na nieskończoną sekwencję, konieczne jest, aby pamiętać, że nieskończona sekwencja z nieparzystą liczbą elementów nie jest równa nieskończonej sekwencji z nawet liczbą elementów.

Podpisując równość między dwoma różnymi elementami przez sekwencje, matematyka twierdzą, że suma sekwencji nie zależy od liczby elementów w sekwencji, która jest sprzeczna z obiektywnie ustalonym faktem. Dalsze rozumowanie o sumie nieskończonej sekwencji jest fałszywe, ponieważ są one oparte na fałszywej równości.

Jeśli widzisz, że matematyka w trakcie dowodów Ustawione są wsporniki, elementy wyrażenia matematycznego są przestawiane przez miejsca, coś jest dodawane lub usunięte, bądź bardzo uprzejmy, najprawdopodobniej próbujesz cię oszukać. Podobnie jak magowie kart, matematyki z różnymi manipulacjami z wyrażeniem rozpraszają uwagę, aby uzyskać wynik fałszywy wynik. Jeśli karta ostrość, nie można powtórzyć, nie znając sekrety oszustwa, wtedy w matematyce wszystko jest znacznie prostsze: nawet nie podejrzewasz niczego o oszustwie, ale powtórzenie wszystkich manipulacji z wyrażeniem matematycznym pozwala przekonać innych W poprawności wyniku, tak jak dobrze, przekonał cię.

Pytanie z hali: i nieskończoności (jako liczba elementów w sekwencji), czy to nawet nieparzyste? W jaki sposób parytet może zostać zmieniona, że \u200b\u200bparzystość nie ma?

Nieskończoność dla matematyków, jako Królestwo Niebieskie dla Popov - nikt nigdy nie był tam, ale wszyscy wiedzą dokładnie, jak wszystko tam jest umieszczone))) Zgadzam się, po śmierci będzie absolutnie obojętny, nawet lub nieparzysta liczba dni żył, ale ... dodanie tylko jednego dnia na początku twojego życia, otrzymamy zupełnie inną osobę: nazwisko, nazwa i patroniżka jest dokładnie taka sama, tylko data urodzenia jest zupełnie inna - on urodził się w jeden dzień przed tobą.

A teraz zasadniczo))) Załóżmy, że ostatnia sekwencja, która ma parzystość traci tę parzystość podczas przenoszenia do nieskończoności. Następnie każdy skończony segment nieskończonej sekwencji powinien stracić parytet. Nie obserwujemy tego. Fakt, że nie możemy powiedzieć na pewno, nawet lub nieparzystą liczbę elementów w nieskończonej sekwencji, nie oznacza, że \u200b\u200bparytet zniknął. Nie może parytetować, jeśli jest, zniknął bez śladu w nieskończoności, jak w rękawie Shulera. W tym przypadku jest bardzo dobra analogia.

Nigdy nie prosiłeś z kukułki siedzi w zegarze, w jakim kierunku strzała zegara obraca się? Dla niej strzałka obraca się w przeciwnym kierunku, który nazywamy "zgodnie z ruchem wskazówek zegara". Ponieważ nie ma paradoksalnie dźwięku, ale kierunek obrotu zależy wyłącznie po której strona obserwujemy obrót. I tak, mamy jedno koło, które obraca się. Nie możemy powiedzieć, w jakim kierunku jest obrót, ponieważ możemy go obserwować zarówno z jednej ręki płaszczyznę rotacji, jak i drugiej. Możemy być świadkami tego, że rotacja jest. Pełna analogia z parytetem nieskończonej sekwencji S..

Teraz dodaj drugie obrotowe koło, którego płaszczyzna obracania jest równoległa do płaszczyzny obrotu pierwszego obrotowego koła. Nadal nie możemy powiedzieć na pewno, w którym kierunku obracają się te koła, ale możemy tylko powiedzieć, że oba koła są obracane w jednym kierunku lub przeciwnym. Porównanie dwóch niekończących się sekwencji S. i 1-s.Ja, z pomocą matematyki, pokazała, że \u200b\u200bsekwencje te mają różne parzystości i umieścić znak równości między nimi - jest to błąd. Osobiście wierzę na matematykę, nie ufam matematykom)) przy okazji, za całkowite zrozumienie geometrii transformacji nieskończonych sekwencji, konieczne jest wprowadzenie koncepcji "Simultanety". Będzie to musiał je przyciągnąć.

Środa, 7 sierpnia 2019

Ukończenie konwersacji, musisz rozważyć nieskończony zestaw. Dał, że pojęcie "nieskończoności" działa na matematyków jako żeglarstwo dla królika. Niesamowity horror przed nieskończoności pozbawia matematyków zdrowego rozsądku. Oto przykład:

Źródło znajduje się. Alpha oznacza prawidłowy numer. Znak równości w powyższych wyrażeń sugeruje, że jeśli zostanie nieskończoność dodać numer lub nieskończoność, nic się nie zmieni, co skutkuje tym samym nieskończonością. Jeśli jako przykład, weź nieskończony zestaw liczb naturalnych, a następnie rozważane przykłady mogą być reprezentowane w tym formularzu:

W celu wizualnego dowodu ich matematyki, wiele różnych metod wymyśliło. Osobiście patrzę na wszystkie te metody, jak na tańcu Szamanów z tamburynami. Zasadniczo wszyscy są zredukowani do faktu, że każda część liczb nie jest zajętych, a nowi goście są w nich osiedlani, czy fakt, że część odwiedzających jest wrzucony do korytarza, aby uwolnić miejsce dla gości (bardzo ludzko). Przedstawiłem moją opinię na temat takich rozwiązań w formie fantastycznej historii o blondynki. Na podstawie oparte na moim rozumowaniu? Przesiedlenie niekończącej liczby odwiedzających wymaga nieskończenia wiele czasu. Po uwolnieniu pierwszego pokoju dla gościa, jeden z odwiedzających zawsze będzie śledzić korytarza z pokoju do sąsiedniego wieku. Oczywiście współczynnik czasu może być głupio ignorowany, ale nie zostanie napisany z kategorii "głupców". Wszystko zależy od tego, co robimy: dostosować rzeczywistość dla teorii matematycznych lub odwrotnie.

Jaki jest "niekończący się hotel"? Niekończący się hotel jest hotelem, w którym zawsze jest dowolna liczba bezpłatnych miejsc, bez względu na to, ile pokoi jest zajęty. Jeśli wszystkie pokoje w nieskończonym korytarzu "dla odwiedzających" są zajęte, jest inny niekończący się korytarz z numerami gościami. Taki korytarze będą nieskończonym zestawem. W tym przypadku "niekończący się hotel" jest nieskończoną liczbą podłóg w nieskończonej ilości obudów na nieskończonej ilości planet w nieskończonej liczbie wszechświatów stworzonych przez nieskończoną ilość bogów. Matematyka nie są w stanie usunąć z banalnych problemów gospodarstw domowych: Bóg-Allah-Buddha jest zawsze tylko jeden, hotel jest taki, korytarz jest tylko jeden. Oto matematycy i próbują zmienić liczbę porządkową pokoi hotelowych, przekonując nas w fakcie, że możesz "wepchnąć".

Logika rozumowania, wykazuję Cię na przykładzie nieskończonego zestawu liczb naturalnych. Najpierw musisz odpowiedzieć na bardzo proste pytanie: Ile zestawów numerów naturalnych istnieje - jeden lub wiele? Nie ma prawidłowej odpowiedzi na to pytanie, ponieważ numery wymyśliły się ze sobą, nie ma liczb w przyrodzie. Tak, natura wie, jak doskonale się liczyć, ale za to wykorzystuje inne narzędzia matematyczne, które nam nie są znane. Jak wiara przyroda, powiem ci inny raz. Ponieważ liczby pojawiły się z nami, sami decydujemy, ile zestawów liczb naturalnych istnieje. Rozważmy obie opcje, jak składa się przez tego naukowca.

Najpierw opcja. "Daj nam" jednoosobowy zestaw liczb naturalnych, które spokojnie leży na półce. Weź to z muszli, to dużo. Wszystko, inne numery naturalne na półce nie ma lewej i nigdzie ich nigdzie. Nie możemy dodać jednostki do tego zestawu, jak już go mamy. A jeśli naprawdę chcesz? Nie ma problemu. Możemy wziąć jednostkę wielu już podjętych i przywrócić go do półki. Potem możemy wziąć jednostkę z schroniska i dodać go do tego, co pozostało. W rezultacie znowu otrzymujemy nieskończony zestaw liczb naturalnych. Napisz wszystkie nasze manipulacje:

Nagrałem działania w systemie algebraicznego oznaczeń oraz w systemie oznaczeń przyjętych w teorii zestawów, ze szczegółową listą zestawów zestawów. Niższy indeks wskazuje, że wiele liczb naturalnych, które mamy jedyny. Okazuje się, że zestaw liczb naturalnych pozostanie niezmienione tylko wtedy, gdy odejmuje się od urządzenia i dodać tę samą jednostkę.

Opcja sekunda. Mamy wiele różnych nieskończonych zestawów liczb naturalnych na naszej półce. Podkreślam - różne, pomimo faktu, że praktycznie nie rozróżnia się. Weź jeden z tych zestawów. Następnie, z innego zestawu liczb naturalnych, bierzemy jednostkę i dodamy zestaw już zabrany przez nas. Możemy nawet składać dwa zestawy numery naturalnych. To co robimy:

Niższe indeksy "One" i "dwa" wskazują, że elementy te należały do \u200b\u200bróżnych zestawów. Tak, jeśli dodasz jednostkę do nieskończonego zestawu, wynik jest również nieskończony zestaw, ale nie będzie taki sam jak początkowy zestaw. Jeśli jeden wszechstronny zestaw jest dodawany do jednego zestawu nieskończonego, wynik jest nowym nieskończonym zestawem składającym się z elementów pierwszych dwóch zestawów.

Zestaw liczb naturalnych jest używany do konta tak samo jako linijka do pomiarów. Teraz wyobraź sobie, że dodałeś jeden centymetr do linijki. Będzie to już inna linia, a nie równa oryginalnej.

Możesz zaakceptować lub nie zaakceptować, że moje rozumowanie jest twoją osobistą sprawą. Ale jeśli kiedykolwiek natkniesz się na problemy matematyczne, pomyśl o tym, czy chodzisz wzdłuż szlaku o fałszywym rozumowaniu, pokolenia matematyków. Po wszystkim klasie w matematyce, przede wszystkim tworzą stały stereotyp myślenia i tylko następnie dodać nam zdolności umysłowe (lub odwrotnie, pozbawiony nas frachtu).

pozg.ru.

niedziela, 4 sierpnia 2019

Zaktualizowany PostScript do artykułu o artykule i zobaczył ten wspaniały tekst w Wikipedii:

Czytamy: "... bogatą podstawą teoretyczną matematyki Babilonu nie miała holistycznego charakteru i został zredukowany do zestawu rozproszonych technik pozbawionych wspólnego systemu i dowodów".

Łał! Czym jesteśmy mądry i jak dobrze widzimy niedociągnięcia innych. I nieco spojrzamy na nowoczesną matematykę w tym samym kontekście? Nieco parafrazowanie danego tekstu, osobiście zarządzałem:

Bogata teoretyczna podstawa nowoczesnej matematyki nie jest holistycznymi charakterem i sprowadza się do zestawu rozproszonych sekcji pozbawionych wspólnego systemu i bazy dowodowej.

W celu potwierdzenia twoich słów nie będę chodzić daleko - ma oznaczenia językowe i warunkowe inne niż język i symbole wielu innych sekcji matematyki. Te same nazwy w różnych odcinkach matematyki mogą mieć inne znaczenie. Najbardziej oczywiste grudki nowoczesnej matematyki, chcę poświęcić cały cykl publikacji. Do zobaczenia wkrótce.

sobota, 3 sierpnia 2019

Jak podzielić zestaw na podzbiorach? Aby to zrobić, wprowadź nową jednostkę miary, która jest obecna z części elementów wybranego zestawu. Rozważ przykład.

Niech mamy wiele ALEskładający się z czterech osób. Ten zestaw jest utworzony na podstawie "osób" oznaczamy elementy tego zestawu przez list aleNiższy indeks z numerem wskaże numer sekwencji każdej osobie w tym zestawie. Wprowadzamy nową jednostkę pomiaru "Penis" i oznaczamy swój list b.. Ponieważ znaki seksualne są nieodłączne we wszystkich ludziach, pomnóż każdy element zestawu ALE na znaku seksualnym b.. Należy pamiętać, że teraz nasi wielu ludzi stało się wieloma "ludźmi z znakami seksualnymi". Potem możemy podzielić znaki narządów płciowych dla mężczyzn bm. i kobiety. bw. Znaki seksualne. Teraz możemy zastosować filtr matematyczny: wybieramy jedną z tych znaków seksualnych, co jest obojętne dla tego, co jest mężczyzną lub kobietą. Jeśli jest obecny u ludzi, pomnożysz go na jednym, jeśli nie ma takiego znaku - pomnożysz go na zero. A następnie zastosuj zwykłą matematykę szkoły. Zobacz, co się stało.

Po mnożenia, skrótach i przegrupowaniu otrzymaliśmy dwa podzbiory: podzbiór mężczyzn Bm. i podzbiór kobiet Bw.. W przybliżeniu tego samego powodu matematyków, gdy korzystają z teorii zestawów w praktyce. Ale w szczegółach nas nie poświęcają nam, ale rozdawają gotowy wynik - "Wielu ludzi składa się z podzbioru mężczyzn i podzbioru kobiet". Oczywiście możesz mieć pytanie, jak poprawnie stosuje się w powyższych transformacjach? Odważę się zapewnić Ciebie, zasadniczo transformacje wykonane poprawnie poprawnie, wystarczy poznać matematyczne uzasadnienie arytmetyki, algebry boolowskiej i innych sekcji matematyki. Co to jest? Czas, kim ci o tym powiem.

Jeśli chodzi o przykłady, możliwe jest połączenie dwóch zestawów do jednej założenia, stanowią jednostkę pomiaru obecnego w elementach tych dwóch zestawów.

Jak widać, jednostki pomiaru i zwykłej matematyki obracają teorię ustawień w relikwie przeszłości. Znakiem faktu, że z teorią zestawów nie jest w porządku, jest to, że dla teorii zestawów matematycznych, ich własny język i ich własne oznaczenia. Matematyka została przyjęta jako szamanów. Tylko szamani wiedzą, jak "poprawnie" zastosować swoją "wiedzę". Te "wiedza" nas uczą.

Podsumowując, chcę ci pokazać, jak manipulować matematyką
Przypuśćmy, że Achilles działa dziesięć razy szybciej niż żółw i jest za nim w odległości tysiąca kroków. Na razie, dla którego Achilles działa przez tę odległość, w tej samej stronie stu kroków. Kiedy Achilles prowadzi sto kroków, żółw czołgał się o dziesięć kroków i tak dalej. Proces będzie nadal nieskończoności, Achilles nigdy się nie złapią do żółwia.

To rozumowanie stało się szokiem logicznym dla wszystkich kolejnych pokoleń. Arystoteles, Diogen, Kant, Hegel, Hilbert ... Wszyscy w jakiś sposób uważany za apriderologię Zenona. Szok okazał się taki silny, że " ... Dyskusje kontynuowane i obecnie, aby dojść do ogólnej opinii na temat istoty paradoksów do społeczności naukowej nie było jeszcze możliwe ... analiza matematyczna, teoria zestawów, nowe podejścia fizyczne i filozoficzne były zaangażowane w badanie problemu; Żaden z nich nie stał się ogólnie przyjętym problemem tego problemu ..."[Wikipedia" Yenon Apriya "]. Wszyscy rozumieją, że są zablokowane, ale nikt nie rozumie, jakie jest oszustwo.

Z punktu widzenia matematyki Zeno w swojej aprorii wyraźnie wykazał przejście od wartości do. To przejście oznacza aplikację zamiast stałej. Jeśli chodzi o rozumiem, aparat matematyczny stosowania zmiennych jednostek pomiaru jest jeszcze nie opracowany, albo nie został zastosowany do aporitionu Zenona. Wykorzystanie naszej zwykłej logiki prowadzi nas do pułapki. My, przez bezwładność myślenia, użyj stałych jednostek pomiarowych czasu do falownika. Z fizycznego punktu widzenia wygląda na spowolnienie czasu na całkowitym przystanku w momencie, gdy Achilles jest wypchany żółwia. Jeśli czas zatrzymuje się, Achilles nie może już wyprzedzić żółwia.

Jeśli zazwyczaj zmieniasz logikę, wszystko staje się na miejscu. Achilles działa na stałej prędkości. Każdy kolejny segment jego ścieżki jest dziesięć razy krótszy niż poprzedni. W związku z tym czas spędzony na jego pokonanie, dziesięć razy mniej niż poprzedni. Jeśli zastosujesz koncepcję "nieskończoności" w tej sytuacji, będzie poprawnie powiedzieć "Achilles nieskończenie szybko nadrobi żółwia".

Jak uniknąć tej logicznej pułapki? Pozostań w stałych jednostkach pomiarowych i nie ruszaj się do odwrotnych wartości. W języku Zenona wygląda tak:

Na ten czas, dla którego Achilles prowadzi tysiąc kroków, sto kroków pęknie żółwia do tej samej strony. Przez następnym przedziałem, równym pierwszym, Achilles będzie prowadzić kolejne tysiąc kroków, a żółw pęknie stu kroki. Teraz Achilles jest osiemset kroków przed żółwia.

Takie podejście odpowiednio opisuje rzeczywistość bez logicznych paradoksów. Ale to nie jest kompletne rozwiązanie problemu. Na Zenonian Agrac z Achillesa i żółwia jest bardzo podobny do oświadczenia Einsteina na nieodparte prędkości światła. Nadal musimy studiować ten problem, przemyślimy i rozwiązać. I decyzja powinna być poszukiwana nie w nieskończenie duża liczb, ale w jednostkach pomiaru.

Kolejna ciekawa Aproria Yenon mówi o latających strzała:

Latająca strzała jest nadal, ponieważ w każdej chwili spoczywa, a ponieważ spoczywa na każdej chwili czasu, zawsze spoczywa.

W tym dworze logiczne paradoks jest bardzo prosty - wystarczy wyjaśnić, że w każdej chwili latająca strzałka odpoczywa w różnych punktach przestrzeni, która w rzeczywistości jest ruchem. Tutaj musisz zauważyć kolejny moment. Według jednego zdjęcia samochodu na drodze niemożliwe jest określenie faktu swojego ruchu ani odległości do niego. Aby określić fakt ruchu samochodu, potrzebujesz dwóch zdjęć wykonanych z jednego punktu w różnych punktach w czasie, ale niemożliwe jest określenie odległości. Aby określić odległość do samochodu, dwa zdjęcia wykonane z różnych punktów przestrzeni w pewnym momencie, ale niemożliwe jest określenie faktu ruchu (naturalnie, dodatkowe dane są nadal potrzebne do obliczeń, trygonometrii, aby pomóc Ci). Chcę zwrócić szczególną uwagę, jest to, że dwa punkty w czasie i dwa punkty w przestrzeni są różne rzeczy, które nie powinny być mylone, ponieważ zapewniają różne możliwości badań.
Pokażę proces na przykładzie. Wybieramy "czerwone ciało stałe na poduszkę" - to jest nasza "całość". W tym samym czasie widzimy, że te rzeczy są z kokardą, a nie ma łuku. Po tym wybieramy część "całości" i wiele "z łukiem". Więc szamani sprawiają, że ich kanał, wiążą swoją teorię zestawów na rzeczywistość.

Teraz trochę brudnemy. Weź "ciężko w Pardzie z łukiem" i zjednoczyć te "całość" w kolorze, huśtawka czerwone elementy. Mamy dużo "czerwonego". Teraz pytanie jest na szkielecie: Uzyskane zestawy "z łukiem" i "Red" to ten sam zestaw lub dwa różne zestawy? Tylko szamani znają odpowiedź. Dokładniej, sami nic nie wiedzą, ale powiedzą, więc będzie.

Ten prosty przykład pokazuje, że teoria zestawów jest całkowicie bezużyteczna, jeśli chodzi o rzeczywistość. Jaki jest sekret? Utworzyliśmy wiele "czerwonych solidnych w progi z kokardą". Powstawanie wystąpiło w czterech różnych jednostkach pomiaru: kolor (czerwony), wytrzymałość (stałe), szorstkość (w ciągnie), dekoracje (z kokardką). Tylko zestaw jednostek pomiaru umożliwia odpowiednio opisanie rzeczywistych obiektów w języku matematyki. Tak wygląda.

Litera "A" z różnymi indeksami wskazuje różne jednostki pomiaru. W nawiasach przydzielone jednostki pomiaru, na których "całość" jest podkreślona na etapie wstępnym. Za wspornikami wykonano jednostkę pomiaru, który jest utworzony przez zestaw. Ta ostatnia linia pokazuje wynik końcowy - element zestawu. Jak widać, jeśli używasz jednostek pomiaru, aby utworzyć zestaw, wówczas wynik nie zależy od kolejności naszych działań. I to jest już matematyka, a nie tańczyć szamanów z tamburines. Szamani mogą być "intuicyjni", aby dojść do tego samego wyniku, argumentując go "oczywiste", ponieważ jednostki pomiaru nie są wliczone w ich "naukowy" arsenał.

Korzystanie z jednostek pomiaru jest bardzo łatwy do podzielenia jednego lub łączenia kilku zestawów do jednego alarmu. Spójrzmy na algebrę tego procesu bardziej uważnie.

Wiele formuł w trygonometry.

Pamiętaj, że są bardzo trudne mechanicznie, prawie niemożliwe. W klasie wielu uczniów i uczniów cieszą się nadrukami na płytach podręczników i notebooków, plakaty na ścianach, łóżeczkach. I jak być na egzaminie?

Jeśli jednak spojrzysz na te formuły, znajdziesz to, że wszystkie są połączone i mają pewną symetrię. Przeanalizujmy je biorąc pod uwagę definicje i właściwości funkcji trygonometrycznych w celu określenia minimum, który jest naprawdę wart uczenia się przez serce.

Jestem grupę. Główne tożsamości

sIN 2 α + COS 2 α \u003d 1;

tgnα \u003d. ____ sinα cosα; Ctgα \u003d. ____ cosα sinα. ;

tgnα · ctgα \u003d 1;

1 + TG 2 α \u003d _____ 1 cos 2 α; 1 + CTG 2 α \u003d _____ 1 SIN 2 α.

Ta grupa zawiera najprostsze i najpopularniejsze formuły. Większość uczniów ich znają. Ale jeśli nadal istnieje trudności, a następnie zapamiętać pierwsze trzy wzory, psychicznie wyobrazić sobie prostokątny trójkąt z hipotesteruklearną równą. Następnie jego kręchy będą równe, odpowiednio, singa, aby określić zatokę (stosunek odwrotnego katechu do hipotenuse) i COSα w celu określenia cosinusa (stosunek sąsiednich katechu dla hipotenuse).

Pierwsza formuła jest twierdzenie Pitagorasa dla takiego trójkąta - suma kwadratów cewet jest równa kwadratowi hipotenuse (1 2 \u003d 1), druga i trzecia jest definicjami stycznego (stosunek przeciwna kategoria do sąsiednich) i Kantangen (stosunek sąsiednich kategorii na odwrót).
Dzieło styczna na Kotangenes wynosi 1, ponieważ kantament zarejestrowany w postaci frakcji (Formula trzeci) jest odwróconym stycznym (druga formuła). Ostatnia uwaga, przy okazji, umożliwia wykluczenie spośród formuł, które konieczne jest zapamiętanie wszystkich kolejnych długich formuł z Kotangentem. Jeśli spotkasz CTGα w trudnym zadaniu, po prostu zastąp go frakcją ___ 1 tgα. I użyj formuł do stycznej.

Ostatnie dwa formuły nie można zapamiętać. Są one mniej powszechne. A jeśli potrzebujesz, zawsze możesz je wycofać na nowo na nowo. Aby to zrobić, wystarczy zastąpić zamiast stycznego lub kontaktu swojej definicji po frakcji (odpowiednio dwa i trzecie, odpowiednio) i prowadzić wyrażenie do ogólnego mianownika. Ważne jest, aby pamiętać, że takie formuły wiążące kwadraty styczna i cosinus, i istnieją kwadraty Kotangens i zatok. W przeciwnym razie nie można zgadnąć, które konwersje są potrzebne do rozwiązania konkretnego zadania.

Grupa II. Dodawanie formuł.

sIN (α + β) \u003d sinα · cosβ + cosα · sinβ;

grzech (α - β) \u003d Sinα · COSβ - COSα · SINβ;

cOS (α + β) \u003d cosα · cosβ - sinα · sinβ;

cOS (α - β) \u003d cosα · cosβ + sinα · sinβ;

tg (α + β) \u003d TGα + TGβ _________ 1 - TGα · TGβ;

tg (α - β) \u003d

Przypomnijmy dokładność parytetu / dziwności funkcji trygonometrycznych:

sIN (-α) \u003d - grzech (α); cos (-α) \u003d cos (α); Tg (-α) \u003d - tg (α).

Ze wszystkich funkcji trygonometrycznych, tylko cosinus jest funkcją nawet funkcji i nie zmienia swojego znaku podczas zmiany znaku argumentu (kąt), pozostałe funkcje są dziwne. Dokładność funkcji, w rzeczywistości oznacza, że \u200b\u200bznak minus można wykonać i wyciągnąć znak funkcji. Dlatego, jeśli napotkasz wyrażenie trygonometryczne z różnicą dwóch kątów, zawsze możesz to zrozumieć jako sumę pozytywnych i negatywnych kątów.

Na przykład, grzech ( x. - 30º) \u003d grzech ( x. + (-30º)).
Następnie używamy suma formuły dwóch kątów i radzenia sobie ze znakami:
grzech ( x. + (-30º)) \u003d grzech x.· COS (-30º) + COS x.· SIN (-30º) \u003d
\u003d Grzech x.· COS30º - COS x.· SIN30º.

Zatem wszystkie wzory zawierające różnicę kątów można po prostu pominąć przy pierwszej zapamięcia. Następnie powinieneś nauczyć się ich przywracać na ogół, najpierw w dniu, a następnie psychicznie.

Na przykład TG (α - β) \u003d tg (α + (-β)) \u003d TGα + TG (-β) ___________ 1 - TGα · TG (-β) = TGα - TGβ _________ 1 + TGα · TGβ.

Pomoże to w dalszej szybciej, aby odgadnąć, które transformacje muszą być stosowane do rozwiązania zadania trygonometrii.

Sh grupa. Formuły wielu argumentów

sin2α \u003d 2 · sinα · cosα;

cOS2α \u003d COS 2 α - SIN 2 α;

tg2α \u003d. 2TGα _______ 1 - TG 2 α;

sIN3α \u003d 3SINα - 4SIN 3 α;

cos3α \u003d 4cos 3 α - 3cosα.

Potrzeba stosowania formuł dla sine i cosinusu podwójnego kąta występuje bardzo często, dla stycznej. Formuły te powinny być znane przez serce. Ponadto nie ma żadnych trudności w ich zapamięciu. Po pierwsze, wzory są krótkie. Po drugie, są one łatwo kontrolowane przez wzory poprzedniej grupy, w oparciu o fakt, że 2α \u003d α + α.
Na przykład:
SIN (α + β) \u003d sinα · cosβ + cosα · sinβ;
SIN (α + α) \u003d sinα · cosα + cosα · sinα;
Sin2α \u003d 2sinα · cosα.

Jednakże, jeśli nauczyłeś się tych formuł szybszy, a nie poprzednie, możesz działać przeciwnie: do zapamiętania formuły do \u200b\u200bsuma dwóch kątów przez odpowiedni wzór podwójnego kąta.

Na przykład, jeśli potrzebujesz cosonośnej formuły sumy dwóch kątów:
1) Pamiętaj o podwójnym wzorze Cosine Cosine: cos2. x. \u003d Cos 2. x. - Sin 2. x.;
2) Malujemy długo: cos ( x. + x.) \u003d Cos. x.· Cos. x. - Sin. x.· Sin. x.;
3) Wymień jeden h. Na α, drugi na β: cOS (α + β) \u003d cosα · cosβ - sinα · sinβ.

Powtarzaj podobnie do przywrócenia formuł do sumy sinusej i ilości stycznej. W odpowiedzialnych przypadkach, takich jak EGE, sprawdź dokładność obniżonych formuł na dobrze znanym pierwszym kwartale: 0º, 30º, 45º, 60º, 90º.

Sprawdzanie poprzedniego wzoru (otrzymanego przez wymianę w linii 3):
zostawiać α \u003d 60 °, β \u003d 30 °, α + β \u003d 90 °,
następnie cOS (α + β) \u003d COS90 ° \u003d 0, COSα \u003d COS60 ° \u003d 1/2, COSβ \u003d COS30 ° \u003d √3 _ / 2, Sinα \u003d Sin60 ° \u003d √3 _ / 2, SINβ \u003d SIN30 ° \u003d 1/2;
Zastępujemy wartości w wzorze: 0 \u003d (1/2) · ( √3_ /2) − (√3_ / 2) · (1/2);
0 ≡ 0, błędy nie są wykrywane.

Wymierzone formuły dla potrójnego kąta, moim zdaniem, nie jest konieczne do "narzędzia". Rzadko znajdują się na egzaminy EGE. Łatwo pochodzą z formuł, które były wyższe, ponieważ SIN3α \u003d grzech (2α + α). A ci uczniowie, którzy z jakiegoś powodu nadal muszą nauczyć się tych formuł przez serce, radzę zwrócić uwagę na ich niektórych "symetrii" i pamiętaj o samych wzorach, ale zasad mnemonicznych. Na przykład kolejność, w jakiej liczby znajdują się w dwóch formułach "33433433" itp.

Grupa IV. Kwota / różnica -

sinα + Sinβ \u003d 2 · grzech α + β ____ 2· Cos. α - β ____ 2 ;

sinα - Sinβ \u003d 2 · grzech α - β ____ 2· Cos. α + β ____ 2 ;

cosα + cosβ \u003d 2 · cos α + β ____ 2· Cos. α - β ____ 2 ;

cosα - cosβ \u003d -2 · grzech α - β ____ 2· Sin. α + β ____ 2 ;

tgα + tgβ \u003d sIN (α + β) ________ COSα · COSβ ;

tGα - TGβ \u003d sIN (α - β) ________ COSα · COSβ .

Korzystanie z dokładności funkcji zatok i styczna: sIN (-α) \u003d - grzech (α); Tg (-α) \u003d - tg (α),
Możesz formułować różnice dwóch funkcji, aby zmniejszyć formuły do \u200b\u200bswoich kwot. Na przykład,

sIN90º - SIN30º \u003d SIN90º + SIN (-30º) \u003d 2 · grzech 90º + (-30º) __________ 2· Cos. 90º - (-30º) __________ 2 =

2 · Sin30º · COS60º \u003d 2 · (1/2) · (1/2) \u003d 1/2.

Tak więc, wzory różnicy zatok i stycznych niekoniecznie nie muszą natychmiast zapamiętać.
Z sumą i różnicą cosonii sytuacja jest bardziej skomplikowana. Te wzory nie są wymienne. Ale ponownie, używając parytetu Cosinus, możesz pamiętać o następujących zasadach.

Ilość COSα + COSβ nie może zmienić swojego znaku dla jakichkolwiek zmian w objawach kątów, więc produkt powinien również składać się z równych funkcji, tj. Dwa cosines.

Znak różnicy COSα - COSβ zależy od wartości samych funkcji, co oznacza, że \u200b\u200bznak roboczy powinien zależeć od korelacji kątów, więc produkt powinien składać się z dziwnych funkcji, tj. dwa sinuse.

Niemniej jednak ta grupa formuł nie jest najłatwiejsza do zapamiętania. Tak jest, gdy lepiej wyostrzyć, ale więcej czeku. Aby zapobiec błędom w formule w danym egzaminie, pamiętaj, aby najpierw nagrać go na dystrybucję i sprawdzić na dwa sposoby. Pierwsze podstawienia β \u003d α i β \u003d -α, a następnie znanymi wartościami funkcji dla kątów prostych. Aby to zrobić, najlepiej przyjmować 90º i 30º, jak to zrobiono w powyższym przykładzie, ponieważ pół-dieta i sedymentalność tych wartości, ponownie dają proste kąty, a można łatwo zobaczyć, jak równość staje się tożsamością poprawna opcja. Lub, przeciwnie, nie stracony, jeśli się mylisz.

Przykładkontrole formuły COSα - COSβ \u003d 2 · grzech α - β ____ 2· Sin. α + β ____ 2 Dla różnicy kosinek z błędem !

1) Niech β \u003d α, a następnie cosα - cosα \u003d 2 · grzech α - α _____ 2· Sin. α + α _____ 2 \u003d 2sin0 · sinα \u003d 0 · sinα \u003d 0. cosα - cosα ≡ 0.

2) Niech β \u003d - α, a następnie cosα - cos (- α) \u003d 2 · grzech α - (-α) _______· Sin. α + (-α) _______ 2 \u003d 2sinα · sin0 \u003d 0 · sinα \u003d 0. cosα - cos (- α) \u003d cosα - cosα ≡ 0.

Kontrole te wykazały, że funkcje w formule są używane prawidłowo, ale ze względu na fakt, że tożsamość uzyskała typ 0 ≡ 0, można przegapić błąd ze znakiem lub współczynnikiem. Robimy trzeci czek.

3) Niech α \u003d 90º, β \u003d 30º, a następnie COS90º - COS30º \u003d 2 · grzech 90º - 30º ________ 2· Sin. 90º + 30º ________ 2 \u003d 2sin30º · sin60º \u003d 2 · (1/2) · (√3 _ /2) = √3_ /2.

cOS90 - COS30 \u003d 0 - √3 _ /2 = −√3_ /2 ≠ √3_ /2.

Błąd był naprawdę na znaku i tylko na znaku przed pracą.

V zespół. Praca - w ilości / różnicy

sinα · sinβ \u003d 1 _ 2 · (Cos (α - β) - COS (α + β));

cosα · cosβ \u003d 1 _ 2 · (Cos (α - β) + cos (α + β));

sinα · cosβ \u003d 1 _ 2 · (SIN (α - β) + grzech (α + β)).

Nazwa piątej grupy samych formuł sugeruje, że te wzory są odwrotne w odniesieniu do poprzedniej grupy. Jest oczywiste, że w tym przypadku łatwiej jest przywrócić formułę projektu, niż go uczyć ponownie, zwiększając ryzyko tworzenia "owsianki w głowie". Jedyną rzeczą, która ma sens, aby skupić się na szybsze odzyskiwanie formuły, są to następujące równości (sprawdź je):

α = α + β ____ 2 + α - β ____ 2; β = α + β ____ 2 − α - β ____ 2.

Rozważać przykład: trzeba konwertować sin5 x.· COS3. x. w sumy dwóch funkcji trygonometrycznych.
Ponieważ praca obejmuje zatok i cosinus, a następnie bierzemy z poprzedniej grupy Wzór do ilości zatok, który już się nauczył, i napisuje go na projekcie.

sinα + Sinβ \u003d 2 · grzech α + β ____ 2· Cos. α - β ____ 2

Niech 5. x. = α + β ____ 2 i 3. x. = α - β ____ 2 , a następnie α \u003d α + β ____ 2 + α - β ____ 2 = 5x. + 3x. = 8x., β = α + β ____ 2 − α - β ____ 2 = 5x. − 3x. = 2x..

Wymieniamy wzorze na projekcie wartości kątów, wyrażonych przez zmienne α i β, na wartościach kątów, wyrażone przez zmienną x..
Otrzymać sin8. x. + SIN2. x. \u003d 2 · SIN5 x.· COS3. x.

Podzielamy obie część sprawiedliwości dla 2 i napiszemy go do ostatniego po prawej stronie sin5. x.· COS3. x. = 1 _ 2 (SIN8. x. + SIN2. x.). Odpowiedź jest gotowa.

Jako ćwiczenie: Wyjaśnij, dlaczego w podręczniku Formuła do przekształcenia kwoty / różnicy w pracy 6 i odwrotnie (do konwersji produktu w sumie lub różnicy) - tylko 3?

Grupa VI. Formuły redukcji stopni

cos 2 α \u003d 1 + COS2α _________ 2;

sIN 2 α \u003d 1 - COS2α _________ 2;

cos 3 α \u003d 3COSα + COS3α ____________ 4;

sIN 3 α \u003d 3sinα - SIN3α ____________ 4.

Pierwsze dwa formuły tej grupy są bardzo konieczne. Jest często stosowany w rozwiązywaniu równań trygonometrycznych, w tym poziomu pojedynczego egzaminu, a także przy obliczaniu całkowitości zawierających funkcje pierwiastkowe typu trygonometrycznego.

Łatwiej jest im pamiętać w następującej formie "jednorazowej"
2cos 2 α \u003d 1 + COS2α;
2 SIN 2 α \u003d 1 - COS2α,
I zawsze możesz podzielić na 2 lub w projekcie.

Potrzeba użycia następujących dwóch formuł (z kostkami funkcji) na egzaminach jest znacznie mniej powszechny. W innym ustawieniach zawsze będziesz miał czas, aby użyć projektu. Możliwe są następujące opcje:
1) Jeśli pamiętasz dwa ostatnie formuły grupy III, należy użyć ich do wyrażania SIN 3 α i COS 3 α przez proste transformacje.
2) Jeśli w ostatnich dwóch formułach tej grupy zauważyłeś elementy symetrii, które przyczyniają się do ich zapamiętywania, a następnie zapisz szkice formuł na projekcie i sprawdzić ich według wartości głównych narożników.
3) Jeżeli, poza tym, że istnieją takie wzory redukcji stopnia, nie wiesz nic o nich, a następnie rozwiązać problem w etapach, w oparciu o fakt, że grzech 3 α \u003d grzech 2 α · Sinα i inne wyuczone formuły. Formuły redukcji stopni dla kwadratu i formuły do \u200b\u200btransformacji pracy w wysokości.

VII grupa. Pół argumentu

grzech. α _ 2. = ± √ 1 - COSα ________;_____

sałata. α _ 2. = ± √ 1 + COSα ________ 2;_____

tg. α _ 2. = ± √ 1 - COSα ________ 1 + COSα._____

Nie widzę punktu zapamiętywania przez serce tej grupy formuł w formie, w której są one prezentowane w podręcznikach i książkach referencyjnych. Jeśli to zrozumiesz α jest połowa 2α, To wystarczy, aby szybko uzyskać pożądaną formułę pół argumentu, na podstawie pierwszych dwóch formuł, aby obniżyć stopień.

Dotyczy to również stycznego pół kątowego, formuła, do którego uzyskuje się, dzieląc wyrażenie dla zatok do odpowiedniego wyrażenia cosin.

Nie zapomnij tylko podczas usuwania pierwiastego kwadratu, aby umieścić znak ± .

Grupa VIII. Uniwersalna substytucja

sinα \u003d. 2tg (α / 2) _________ 1 + TG 2 (α / 2);

cosα \u003d. 1 - TG 2 (α / 2) __________ 1 + TG 2 (α / 2);

tgnα \u003d. 2TG (α / 2) _________ 1 - TG 2 (α / 2).

Formuły te mogą być niezwykle przydatne do rozwiązywania zadań trygonometrycznych wszystkich typów. Pozwalają na uświadomienie sobie zasadę "jeden argument jest jedną funkcją", co pozwala zastąpić zmienne, które zmniejszają złożone trygonometryczne wyrażenia do algebraicznego. Nic dziwnego, że zmiana ta jest nazywana uniwersalnym.
Pierwsze dwa formuły uczą się. Trzecia można uzyskać, dzieląc pierwsze dwa na sobie z definicją TGα Tangent \u003d sinα ___ cosα.

Grupa IX. Wzory roszczeń.

Aby poradzić sobie z tą grupą formuł trygonometrycznych, FIE

X grupa. Wartości dla głównych narożników.

Podano wartości funkcji trygonometrycznych dla głównych narożników pierwszego kwartału.

Więc zrób to wynik: Wzrotwórczość formuła musi wiedzieć. Im większy tym lepszy. Ale co spędzić czas i wysiłek - zapamiętanie formuł lub ich ożywienie w procesie rozwiązywania zadań, każdy powinien rozwiązać niezależnie.

Przykład zadania przy użyciu formuł trygonometrycznych

Rozwiązuj równanie sin5. x.· COS3. x. - Sin8. x.· COS6. x. = 0.

Mamy dwie różne funkcje SIN () i COS () i cztery! Różne argumenty 5. x., 3x., 8x. i 6. x.. Bez wstępnych transformacji nie będzie możliwe zmniejszenie najprostszych typów równań trygonometrycznych. Dlatego najpierw próbujemy zastąpić prace na ilościach lub różnicy funkcji.
Robimy to w taki sam sposób jak w powyższym przykładzie (patrz sekcja).

grzech (5. x. + 3x.) + SIN (5 x. − 3x.) \u003d 2 · sin5 x.· COS3. x.
Sin8. x. + SIN2. x. \u003d 2 · SIN5 x.· COS3. x.

grzech (8. x. + 6x.) + grzech (8 x. − 6x.) \u003d 2 · sin8 x.· COS6. x.
Sin14. x. + SIN2. x. \u003d 2 · SIN8 x.· COS6. x.

Wyrażając pracę z tych równości, zastępujemy je do równania. Dostajemy:

(SIN8. x. + SIN2. x.) / 2 - (sin14 x. + SIN2. x.)/2 = 0.

Pomnożymy na 2 obu częściach równania, ujawniamy wsporniki i dają takich członków

Sin8. x. + SIN2. x. - Sin14. x. - Sin2. x. = 0;
Sin8. x. - Sin14. x. = 0.

Równanie znacząco uprościło, ale aby rozwiązać to, więc sin8 x. \u003d Sin14. x.Dlatego 8. x. = 14x. + T, gdzie t - okres jest nieprawidłowy, ponieważ nie znamy wartości tego okresu. Dlatego używamy tego w odpowiedniej części równości warto 0, z którym łatwo jest porównać mnożniki w dowolnym wyrazie.
Rozkładać sin8. x. - Sin14. x. Dla mnożników musisz przejść od różnicy do pracy. Aby to zrobić, możesz użyć formuły różnicy zatok, lub ponownie sumę formuły zatok i dziwak funkcji zatoki (patrz przykład w sekcji).

sin8. x. - Sin14. x. \u003d Sin8. x. + SIN (-14 x.) \u003d 2 · grzech 8x. + (−14x.) __________ 2 · Cos. 8x. − (−14x.) __________ 2 \u003d grzech (-3 x.) · COS11. x. \u003d -Sin3. x.· COS11. x..

Więc równanie sin8 x. - Sin14. x. \u003d 0 jest równoważny równaniu sin3 x.· COS11. x. \u003d 0, który z kolei jest równoważny z kombinacją dwóch prostych równań sin3 x. \u003d 0 i cos11 x. \u003d 0. Rozwiązywanie tego ostatniego, otrzymujemy dwie serie odpowiedzi
x. 1 \u003d π. n./3, n.εZ.
x. 2 \u003d π / 22 + π k./11, k.εZ.

Jeśli wykryłeś błąd lub typowy w tekście, poinformuj go na adres e-mail [Chroniony e-mail] . Będę bardzo wdzięczny.