Liczby zespolone znajdują wszystkie wartości. Liczby zespolone

FEDERALNA AGENCJA EDUKACJI

PAŃSTWOWA INSTYTUCJA EDUKACYJNA

WYŻSZE WYKSZTAŁCENIE ZAWODOWE

„PAŃSTWOWY UNIWERSYTET PEDAGOGICZNY W WORONEZH”

ZAKŁAD AGLEBRY I GEOMETRII

Liczby zespolone

(wybrane zadania)

PRACA KWALIFIKACJI ABSOLWENTA

w specjalności 050201.65 matematyka

(z dodatkową specjalnością 050202.65 informatyka)

Ukończone: student V roku

fizyczne i matematyczne

Wydział

Doradca naukowy:

WORONEZ - 2008

1. Wstęp……………………………………………………...…………..…

2. Liczby zespolone (wybrane zagadnienia)

2.1. Liczby zespolone w postaci algebraicznej….…… ... ……….….

2.2. Interpretacja geometryczna liczb zespolonych ………… ..…

2.3. Postać trygonometryczna liczb zespolonych

2.4. Zastosowanie teorii liczb zespolonych do rozwiązywania równań III i IV stopnia …………… .. ………………………………………………………

2.5. Liczby zespolone i parametry ……… ... …………………… ...….

3. Wniosek ………………………………………………………… .................

4. Bibliografia ………………………… ………………… ...............

1. Wstęp

W programie nauczania matematyki kursu szkolnego teorię liczb wprowadza się na przykładach zbiorów liczb naturalnych, liczb całkowitych, wymiernych, niewymiernych, tj. na zbiorze liczb rzeczywistych, których obrazy wypełniają całą oś liczbową. Ale już w klasie 8 zasób liczb rzeczywistych nie wystarcza, rozwiązując równania kwadratowe z ujemnym wyróżnikiem. Dlatego konieczne było uzupełnienie zasobu liczb rzeczywistych liczbami zespolonymi, dla których pierwiastek kwadratowy z liczby ujemnej ma sens.

Wybór tematu „Liczby zespolone”, jako temat mojej końcowej pracy kwalifikacyjnej, jest taki, że pojęcie liczby zespolonej poszerza wiedzę uczniów o układach numerycznych, o rozwiązywaniu szerokiej klasy problemów zarówno o treści algebraicznej, jak i geometrycznej, o rozwiązywanie równań algebraicznych dowolnego stopnia oraz rozwiązywanie problemów z parametrami.

W pracy tej rozważane jest rozwiązanie 82 problemów.

Pierwsza część głównego rozdziału „Liczby zespolone” zawiera rozwiązania problemów z liczbami zespolonymi w postaci algebraicznej, definiuje operacje dodawania, odejmowania, mnożenia, dzielenia, koniugacji liczb zespolonych w postaci algebraicznej, potęgę jednostki urojonej, moduł liczby zespolonej, a także określa zasadę wydobywania pierwiastka kwadratowego z liczby zespolonej.

W drugiej części rozwiązywane są problemy interpretacji geometrycznej liczb zespolonych w postaci punktów lub wektorów płaszczyzny zespolonej.

Trzecia część dotyczy działań na liczbach zespolonych w postaci trygonometrycznej. Stosowane są wzory: Moivre i ekstrakcja pierwiastka z liczby zespolonej.

Czwarta część poświęcona jest rozwiązywaniu równań III i IV stopnia.

Przy rozwiązywaniu zadań z ostatniej części „Liczby i parametry zespolone” wykorzystuje się i utrwala informacje podane w poprzednich częściach. Szereg problemów w rozdziale poświęcony jest wyznaczaniu rodzin prostych na płaszczyźnie zespolonej, podanych równaniami (nierównościami) z parametrem. W części ćwiczeń należy rozwiązać równania z parametrem (nad polem C). Istnieją zadania, w których zmienna złożona spełnia jednocześnie szereg warunków. Cechą rozwiązywania problemów tego działu jest sprowadzenie wielu z nich do rozwiązania równań (nierówności, układów) drugiego stopnia, irracjonalnych, trygonometrycznych z parametrem.

Cechą prezentacji materiału z każdej części jest wstępne wprowadzenie podstaw teoretycznych, a następnie ich praktyczne zastosowanie w rozwiązywaniu problemów.

Na końcu pracy przedstawiono wykaz wykorzystanej literatury. W większości z nich materiał teoretyczny jest przedstawiony wystarczająco szczegółowo i w przystępny sposób, rozważane są rozwiązania niektórych problemów, a do samodzielnego rozwiązania podaje się zadania praktyczne. Chciałbym zwrócić szczególną uwagę na takie źródła jak:

1. Gordienko N.A., Belyaeva E.S., Firstov V.E., Serebryakova I.V. Liczby zespolone i ich zastosowania: przewodnik do nauki. ... Materiał ćwiczeniowy przedstawiony jest w formie wykładów i zajęć praktycznych.

2. Shklyarsky DO, Chentsov NN, Jaglom IM Wybrane problemy i twierdzenia matematyki elementarnej. Arytmetyka i algebra. Książka zawiera 320 problemów z zakresu algebry, arytmetyki i teorii liczb. Zadania te ze swej natury różnią się znacznie od standardowych zadań szkolnych.

2. Liczby zespolone (wybrane zagadnienia)

2.1. Liczby zespolone w postaci algebraicznej

Rozwiązanie wielu problemów z matematyki i fizyki sprowadza się do rozwiązywania równań algebraicznych, tj. równania postaci

,

gdzie a0, a1,…, an są liczbami rzeczywistymi. Dlatego badanie równań algebraicznych jest jednym z najważniejszych zagadnień w matematyce. Na przykład równanie kwadratowe z ujemnym wyróżnikiem nie ma prawdziwych pierwiastków. Najprostszym takim równaniem jest równanie

.

Aby to równanie miało rozwiązanie, konieczne jest rozwinięcie zbioru liczb rzeczywistych przez dodanie do niego pierwiastka równania

.

Korzeń ten oznaczamy przez

... Tak więc, z definicji, lub

W związku z tym,

... nazywana jest jednostką urojoną. Za jego pomocą i przy pomocy pary liczb rzeczywistych kompilowany jest wyraz formularza.

Otrzymane wyrażenie nazwano liczbami zespolonymi, ponieważ zawierały one zarówno części rzeczywiste, jak i urojone.

Liczby zespolone są więc wyrażeniami postaci

, i są liczbami rzeczywistymi i są symbolem spełniającym warunek. Liczbę nazywamy częścią rzeczywistą liczby zespolonej, a liczbę nazywamy jej częścią urojoną. Do ich oznaczenia używane są symbole.

Liczby zespolone postaci

są liczbami rzeczywistymi, a zatem zbiór liczb zespolonych zawiera zbiór liczb rzeczywistych.

Liczby zespolone postaci

nazywane są czysto urojonymi. Dwie liczby zespolone postaci i nazywane są równymi, jeśli ich części rzeczywiste i urojone są równe, tj. jeśli równouprawnienie się utrzyma.

Zapis algebraiczny liczb zespolonych pozwala wykonywać na nich operacje zgodnie ze zwykłymi zasadami algebry.

Suma dwóch liczb zespolonych

i nazywana jest liczbą zespoloną postaci.

Iloczyn dwóch liczb zespolonych

§ 1. Liczby zespolone: ​​definicje, interpretacja geometryczna, działania w formach algebraicznych, trygonometrycznych i wykładniczych

Definicja liczby zespolonej

Złożone równości

Reprezentacja geometryczna liczb zespolonych

Moduł liczb zespolonych i argument

Formy algebraiczne i trygonometryczne liczby zespolonej

Postać wykładnicza liczby zespolonej

Wzory Eulera

§ 2. Całe funkcje (wielomiany) i ich podstawowe własności. Rozwiązywanie równań algebraicznych na zbiorze liczb zespolonych

Definicja równania algebraicznego stopnia

Podstawowe własności wielomianów

Przykłady rozwiązywania równań algebraicznych na zbiorze liczb zespolonych

Pytania autotestu

Słowniczek

§ 1. Liczby zespolone: ​​definicje, interpretacja geometryczna, działania w formach algebraicznych, trygonometrycznych i wykładniczych

Definicja liczby zespolonej ( Sformułuj definicję liczby zespolonej)

Liczba zespolona z jest wyrazem postaci:

Liczba zespolona w postaci algebraicznej, (1)

gdzie x, tak Î;

- złożona liczba sprzężona liczba z ;

- przeciwny numer liczba z ;

- kompleks zero ;

- tak oznacza się zbiór liczb zespolonych.

1)z = 1 + iÞ Odp z= 1, Im z = 1, = 1 – i, = –1 – i ;

2)z = –1 + iÞ Odp z= –1, Im z = , = –1 – i, = –1 –i ;

3)z = 5 + 0i= 5 Þ Re z= 5, Im z = 0, = 5 – 0i = 5, = –5 – 0i = –5

Þ jeśli jestem z= 0, to z = x- prawdziwy numer;

4)z = 0 + 3i = 3iÞ Odp z= 0, Im z = 3, = 0 – 3i = –3i , = –0 – 3i = – 3i

Þ jeśli Re z= 0, to z = ja - czysta liczba urojona.

Złożone równości (Sformułuj znaczenie złożonej równości)

1) ;

2) .

Jedna równość złożona jest równoważna systemowi dwóch równości rzeczywistych. Te rzeczywiste równości uzyskuje się ze złożonej równości, dzieląc część rzeczywistą i urojoną.

1) ;

2) .

Reprezentacja geometryczna liczb zespolonych ( Jaka jest geometryczna reprezentacja liczb zespolonych?)

Liczba zespolona z jest reprezentowany przez punkt ( x , tak) na płaszczyźnie zespolonej lub promieniu wektora tego punktu.

Podpisać z w drugiej ćwiartce oznacza, że ​​jako płaszczyzna zespolona zostanie użyty kartezjański układ współrzędnych.

Moduł i argument liczby zespolonej ( Jaki jest moduł i argument liczby zespolonej?)

Moduł liczby zespolonej jest nieujemną liczbą rzeczywistą

.(2)

Geometrycznie moduł liczby zespolonej jest długością wektora reprezentującego liczbę z lub promień biegunowy punktu ( x , tak).

Narysuj następujące liczby na płaszczyźnie zespolonej i zapisz je w formie trygonometrycznej.

1)z = 1 + i Þ

,

Þ

Þ ;

,

Þ

Þ ;

,

5),

czyli dla z = 0 będzie

, J nieokreślone.

Działania arytmetyczne na liczbach zespolonych (Podaj definicje i wymień główne własności działań arytmetycznych na liczbach zespolonych.)

Dodawanie (odejmowanie) liczb zespolonych

z 1 ± z 2 = (x 1 + ja 1) ± ( x 2 + ja 2) = (x 1 ± x 2) + i (tak 1 ± tak 2),(5)

to znaczy podczas dodawania (odejmowania) liczb zespolonych ich części rzeczywiste i urojone są dodawane (odejmowane).

1)(1 + i) + (2 – 3i) = 1 + i + 2 –3i = 3 – 2i ;

2)(1 + 2i) – (2 – 5i) = 1 + 2i – 2 + 5i = –1 + 7i .

Podstawowe właściwości dodawania

1)z 1 + z 2 = z 2 + z 1;

2)z 1 + z 2 + z 3 = (z 1 + z 2) + z 3 = z 1 + (z 2 + z 3);

3)z 1 – z 2 = z 1 + (– z 2);

4)z + (–z) = 0;

Mnożenie liczb zespolonych w postaci algebraicznej

z 1∙z 2 = (x 1 + ja 1)∙(x 2 + ja 2) = x 1x 2 + x 1ja 2 + ja 1x 2 + i 2tak 1tak 2 = (6)

= (x 1x 2 – tak 1tak 2) + i (x 1tak 2 + tak 1x 2),

to znaczy mnożenie liczb zespolonych w postaci algebraicznej odbywa się zgodnie z zasadą algebraicznego mnożenia dwumianu przez dwumian, a następnie zastępowania i redukcji podobnych w kategoriach rzeczywistych i urojonych.

1)(1 + i)∙(2 – 3i) = 2 – 3i + 2i – 3i 2 = 2 – 3i + 2i + 3 = 5 – i ;

2)(1 + 4i)∙(1 – 4i) = 1 – 42 i 2 = 1 + 16 = 17;

3)(2 + i)2 = 22 + 4i + i 2 = 3 + 4i .

Mnożenie liczb zespolonych w postaci trygonometrycznej

z 1∙z 2 = r 1 (cos J 1 + i grzech J 1) × r 2 (cos J 2 + i grzech J 2) =

= r 1r 2 (cos J 1cos J 2 + i sałata J 1 sin J 2 + i grzech J 1cos J 2 + i 2 grzechy J 1 sin J 2) =

= r 1r 2 ((cos J 1cos J 2 - grzech J 1 sin J 2) + i(sałata J 1 sin J 2 + grzech J 1cos J 2))

Iloczyn liczb zespolonych w postaci trygonometrycznej, czyli przy mnożeniu liczb zespolonych w postaci trygonometrycznej mnoży się ich moduły i dodaje argumenty.

Podstawowe własności mnożenia

1)z 1 × z 2 = z 2 × z 1 - przemienność;

2)z 1 × z 2 × z 3 = (z 1 × z 2) × z 3 = z 1 × ( z 2 × z 3) - stowarzyszenie;

3)z 1 × ( z 2 + z 3) = z 1 × z 2 + z 1 × z 3 - dystrybucyjność w odniesieniu do dodawania;

4)z× 0 = 0; z× 1 = z ;

Dzielenie liczb zespolonych

Dzielenie jest odwrotnością mnożenia, więc

Jeśli z × z 2 = z 1 i z 2 ¹ 0, więc.

Gdy dzielenie odbywa się w formie algebraicznej, licznik i mianownik ułamka mnoży się przez sprzężenie zespolone mianownika:

Dzielenie liczb zespolonych w postaci algebraicznej (7)

Podczas dzielenia w postaci trygonometrycznej moduły są dzielone, a argumenty odejmowane:

Dzielenie liczb zespolonych w postaci trygonometrycznej (8)

2)
.

Podnoszenie liczby zespolonej do potęgi naturalnej

Wygodniej jest wykonać naturalną potęgę w postaci trygonometrycznej:

wzór Moivre'a, (9)

to znaczy, gdy liczba zespolona jest podnoszona do potęgi naturalnej, jej moduł jest podnoszony do tej potęgi, a argument jest mnożony przez wykładnik.

Oblicz (1 + i)10.

Uwagi

1. Wykonując operacje mnożenia i podnoszenia do potęgi naturalnej w postaci trygonometrycznej, można uzyskać kąty poza granicami jednego pełnego obrotu. Ale zawsze można je sprowadzić do kątów lub przez upuszczenie całkowitej liczby pełnych obrotów zgodnie z właściwościami okresowości funkcji i.

2. Wartość nazywana główną wartością argumentu liczby zespolonej;

oznaczają wartości wszystkich możliwych kątów;

to oczywiste, że ,.

Wydobywanie naturalnego pierwiastka liczby zespolonej

Wzory Eulera (16)

w którym funkcje trygonometryczne i zmienna rzeczywista są wyrażane za pomocą funkcji wykładniczej (wykładniczej) z wykładnikiem czysto urojonym.

§ 2. Całe funkcje (wielomiany) i ich podstawowe własności. Rozwiązywanie równań algebraicznych na zbiorze liczb zespolonych

Dwa wielomiany tego samego stopnia n są identycznie równe sobie wtedy i tylko wtedy, gdy ich współczynniki pokrywają się przy tych samych potęgach zmiennej x, to jest

Dowód

w Tożsamość (3) obowiązuje dla „xÎ (lub” xÎ)

Þ obowiązuje przez; zastępując, otrzymujemy jakiś = bn .

Wzajemnie unicestwiamy się w (3) warunkach jakiś oraz bn i podziel obie części na x :

Ta tożsamość jest również prawdziwa dla „ x, w tym w x = 0

Þ zakładając x= 0, otrzymujemy jakiś – 1 = bn – 1.

Obustronnie anihilujemy w (3") warunkach jakiś- 1 i a n-1 i podziel obie części przez x, w rezultacie otrzymujemy

Kontynuując rozumowanie w podobny sposób, stwierdzamy, że jakiś – 2 = bn –2, …, a 0 = b 0.

W ten sposób udowodniono, że identyczność wielomianów 2-x implikuje zbieżność ich współczynników na tych samych stopniach x .

Odwrotne stwierdzenie jest prawdziwe i oczywiste, tj. jeśli dwa wielomiany mają te same wszystkie współczynniki, są to te same funkcje, dlatego ich wartości pokrywają się dla wszystkich wartości argumentu, co oznacza ich identyczną równość. Właściwość 1 jest całkowicie udowodniona. v

Podczas dzielenia wielomianu Pn (x) przez różnicę ( x – x 0), reszta jest równa Pn (x 0), czyli

twierdzenie Bezouta, (4)

gdzie Qn – 1(x) jest całkowitą częścią dzielenia, jest wielomianem stopnia ( n – 1).

Dowód

w Napiszmy wzór na dzielenie z resztą:

Pn (x) = (x – x 0)∙Qn – 1(x) + A ,

gdzie Qn – 1(x) jest wielomianem stopnia ( n – 1),

A- reszta, która jest liczbą wynikającą ze znanego algorytmu dzielenia wielomianu przez dwuwyrazową „kolumnę”.

Ta równość jest prawdziwa dla „ x, w tym w x = x 0 Þ

Pn (x 0) = (x 0 – x 0)× Qn – 1(x 0) + A Þ

A = Pn (x 0), p.t.d. v

Wniosek z twierdzenia Bezouta. O dzieleniu wielomianu przez dwumian bez reszty

Jeśli liczba x 0 to zero wielomianu, to ten wielomian jest podzielny przez różnicę ( x – x 0) bez reszty, czyli

Þ .(5)

1), ponieważ P 3 (1) º 0

2), ponieważ P 4 (–2) º 0

3), ponieważ P 2 (–1/2) º 0

Podział wielomianów na dwumiany „w kolumnie”:

_

_

_

_

_

Każdy wielomian stopnia n ³ 1 ma co najmniej jedno zero, rzeczywiste lub zespolone

Dowód tego twierdzenia wykracza poza zakres naszego kursu. Dlatego przyjmiemy twierdzenie bez dowodu.

Popracujmy nad tym twierdzeniem i twierdzeniem Bezouta z wielomianem Pn (x).

Później n-krotne zastosowanie tych twierdzeń, otrzymujemy

gdzie a 0 to współczynnik przy x n v Pn (x).

Wniosek z głównego twierdzenia algebry. Rozkład wielomianu na czynniki liniowe

Dowolny wielomian stopnia na zbiorze liczb zespolonych jest rozkładany na n czynniki liniowe, czyli

Rozkład wielomianu na czynniki liniowe, (6)

gdzie x1, x2, ... xn są zerami wielomianu.

Co więcej, jeśli k numery z zestawu x 1, x 2, … xn pokrywają się ze sobą i z liczbą a, to czynnik ( x- a) k... Następnie liczba x= nazywa się a k-krotne zero wielomianu Pn ( x) ... Jeśli k= 1, to zero jest nazywane prosty wielomian zerowy Pn ( x) .

1)P 4(x) = (x – 2)(x- 4) 3 x 1 = 2 - proste zero, x 2 = 4 - trzykrotne zero;

2)P 4(x) = (x – i) 4 x = i- zero krotności 4.

Własność 4 (o liczbie pierwiastków równania algebraicznego)

Każde równanie algebraiczne Pn(x) = 0 stopnia n ma dokładnie n pierwiastków na zbiorze liczb zespolonych, jeśli każdy pierwiastek jest liczony tyle razy, ile wynosi jego krotność.

1)x 2 – 4x+ 5 = 0 - równanie algebraiczne drugiego stopnia

Þ x 1,2 = 2 ± = 2 ± i- dwa korzenie;

2)x 3 + 1 = 0 - równanie algebraiczne trzeciego stopnia

Þ x 1,2,3 = - trzy korzenie;

3)P 3(x) = x 3 + x 2 – x- 1 = 0 Þ x 1 = 1, ponieważ P 3(1) = 0.

Podziel wielomian P 3(x) na ( x – 1):

x 3	+	x 2	–	x	–	1	x – 1
x 3	–	x 2	x 2 + 2x +1
2x 2	–	x
2x 2	–	2x
x	–	1
x	–	1
0

Oryginalne równanie

P 3(x) = x 3 + x 2 – x- 1 = 0 ( x – 1)(x 2 + 2x+ 1) = 0 ( x – 1)(x + 1)2 = 0

Þ x 1 = 1 - prosty korzeń, x 2 = -1 - podwójny pierwiastek.

1) - sparowane złożone korzenie sprzężone;

Dowolny wielomian o rzeczywistych współczynnikach jest rozkładany na iloczyn funkcji liniowej i kwadratowej o rzeczywistych współczynnikach.

Dowód

w Niech x 0 = a + bi- zero wielomianu Pn (x). Jeżeli wszystkie współczynniki tego wielomianu są liczbami rzeczywistymi, to jest to również jego zero (według własności 5).

Obliczamy iloczyn dwumianów :

równanie wielomianowe liczb zespolonych

Otrzymane ( x – a)2 + b 2 - trójmian kwadratowy ze współczynnikami rzeczywistymi.

Zatem każda para dwumianów o złożonych pierwiastkach sprzężonych we wzorze (6) prowadzi do trójmianu kwadratowego o współczynnikach rzeczywistych. v

1)P 3(x) = x 3 + 1 = (x + 1)(x 2 – x + 1);

2)P 4(x) = x 4 – x 3 + 4x 2 – 4x = x (x –1)(x 2 + 4).

Przykłady rozwiązywania równań algebraicznych na zbiorze liczb zespolonych ( Podaj przykłady rozwiązywania równań algebraicznych na zbiorze liczb zespolonych)

1. Równania algebraiczne I stopnia:

, to jedyny prosty korzeń.

2. Równania kwadratowe:

, - zawsze ma dwa pierwiastki (różne lub równe).

1) .

3. Dwuczłonowe równania stopnia:

, - zawsze ma inne korzenie.

,

Odpowiedź: , .

4. Rozwiąż równanie sześcienne.

Równanie trzeciego stopnia ma trzy pierwiastki (rzeczywiste lub złożone), a każdy pierwiastek musi być liczony tyle razy, ile wynosi jego wielokrotność. Ponieważ wszystkie współczynniki tego równania są liczbami rzeczywistymi, złożone pierwiastki równania, jeśli takie istnieją, będą sparowanymi zespolonymi sprzężeniami.

Przez wybór znajdujemy pierwszy pierwiastek równania, ponieważ.

W następstwie twierdzenia Bezouta. Obliczamy ten podział „w kolumnie”:

_
_
_

Reprezentując teraz wielomian jako iloczyn współczynnika liniowego i kwadratowego, otrzymujemy:

.

Inne pierwiastki znajdują się jako pierwiastki równania kwadratowego:

Odpowiedź: , .

5. Napisz równanie algebraiczne najmniejszego stopnia ze współczynnikami rzeczywistymi, jeśli wiadomo, że liczby x 1 = 3 i x 2 = 1 + i są jego korzenie i x 1 to podwójny pierwiastek, a x 2 - proste.

Liczba jest również pierwiastkiem równania, ponieważ współczynniki równania muszą być prawidłowe.

W sumie wymagane równanie ma 4 pierwiastki: x 1, x 1,x 2,. Dlatego jego stopień wynosi 4. Tworzymy wielomian 4. stopnia z zerami x

11. Co to jest zespolone zero?

13. Sformułuj znaczenie równości złożonej.

15. Jaki jest moduł i argument liczby zespolonej?

17. Co to jest argument liczb zespolonych?

18. Jaką nazwę lub znaczenie ma formuła?

19. Wyjaśnij znaczenie zapisu w tym wzorze:

27. Podaj definicje i wymień podstawowe własności działań arytmetycznych na liczbach zespolonych.

28. Jaką nazwę lub znaczenie ma formuła?

29. Wyjaśnij znaczenie oznaczeń w tym wzorze:

31. Jaką nazwę lub znaczenie ma formuła?

32. Wyjaśnij znaczenie notacji w tym wzorze:

34. Jaką nazwę lub znaczenie ma formuła?

35. Wyjaśnij znaczenie oznaczeń w tym wzorze:

61. Wymień podstawowe własności wielomianów.

63. Sformułuj własność dzielenia wielomianu przez różnicę (x - x0).

65. Jaką nazwę lub znaczenie ma formuła?

66. Wyjaśnij znaczenie oznaczeń w tym wzorze:

67. ⌂ .

69. Sformułuj twierdzenie.Główne twierdzenie algebry.

70. Jaką nazwę lub znaczenie ma formuła?

71. Wyjaśnij znaczenie oznaczeń w tym wzorze:

75. Sformułuj własność liczby pierwiastków równania algebraicznego.

78. Sformułuj własność rozkładu wielomianu o współczynnikach rzeczywistych na czynniki liniowe i kwadratowe.

Słowniczek

k-krotne zero wielomianu nazywa się ... (s. 18)

wielomian algebraiczny nazywa się ... (s. 14)

równanie algebraiczne n-tego stopnia nazywa się ... (s. 14)

forma algebraiczna liczby zespolonej nazywa się ... (s. 5)

argument liczby zespolonej to ... (s. 4)

część rzeczywista liczby zespolonej z to ... (s. 2)

liczba zespolona sprzężona to ... (s. 2)

zespolone zero to ... (strona 2)

liczba zespolona nazywa się ... (s. 2)

n-ty pierwiastek liczby zespolonej nazywa się ... (s. 10)

pierwiastek równania nazywa się ... (s. 14)

współczynniki wielomianu wynoszą ... (s. 14)

jednostką urojoną jest ... (s. 2)

część urojona liczby zespolonej z to ... (s. 2)

moduł liczby zespolonej nazywa się ... (s. 4)

funkcja zero nazywa się ... (s. 14)

wykładnicza postać liczby zespolonej nazywa się ... (s. 11)

wielomian nazywa się ... (s. 14)

proste zero wielomianu nazywa się ... (s. 18)

przeciwna liczba to ... (strona 2)

stopień wielomianu to ... (s. 14)

forma trygonometryczna liczby zespolonej nazywa się ... (s. 5)

Formuła Moivre'a to ... (s. 9)

Wzory Eulera to ... (s. 13)

cała funkcja nazywa się ... (s. 14)

liczba czysto urojona to ... (s. 2)

Plan lekcji.

1. Moment organizacyjny.

2. Prezentacja materiału.

3. Praca domowa.

4. Podsumowanie lekcji.

Podczas zajęć

I. Moment organizacyjny.

II. Prezentacja materiału.

Motywacja.

Rozszerzenie zbioru liczb rzeczywistych polega na tym, że do liczb rzeczywistych dodawane są nowe liczby (urojone). Wprowadzenie tych liczb wiąże się z niemożnością wydobycia pierwiastka z liczby ujemnej w zbiorze liczb rzeczywistych.

Wprowadzenie pojęcia liczby zespolonej.

Liczby urojone, którymi uzupełniamy liczby rzeczywiste, zapisujemy jako bi, gdzie i Jest wyimaginowaną jednostką i ja 2 = - 1.

Na tej podstawie otrzymujemy następującą definicję liczby zespolonej.

Definicja... Liczba zespolona jest wyrazem postaci a + bi, gdzie a oraz b- liczby rzeczywiste. W takim przypadku spełnione są następujące warunki:

a) Dwie liczby zespolone a 1 + b 1 i oraz a 2 + b 2 i są równe wtedy i tylko wtedy, gdy a 1 = a 2, b1 = b2.

b) Dodawanie liczb zespolonych określa zasada:

(a 1 + b 1 i) + (a 2 + b 2 i) = (a 1 + a 2) + (b 1 + b 2) i.

c) Mnożenie liczb zespolonych określa zasada:

(a 1 + b 1 i) (a 2 + b 2 i) = (a 1 a 2 - b 1 b 2) + (a 1 b 2 - a 2 b 1) i.

Postać algebraiczna liczby zespolonej.

Zapisywanie liczby zespolonej w formularzu a + bi nazywana jest formą algebraiczną liczby zespolonej, gdzie a- część rzeczywista, bi jest częścią urojoną i b Czy liczba rzeczywista.

Liczba zespolona a + bi jest uważany za równy zero, jeśli jego części rzeczywiste i urojone są równe zeru: a = b = 0

Liczba zespolona a + bi w b = 0 jest uważany za taki sam jak liczba rzeczywista a: a + 0i = a.

Liczba zespolona a + bi w a = 0 nazywa się czysto urojony i jest oznaczony bi: 0 + bi = bi.

Dwie liczby zespolone z = a + bi oraz = a - bi różniące się jedynie znakiem części urojonej nazywamy sprzężoną.

Działania na liczbach zespolonych w postaci algebraicznej.

Możesz wykonać następujące czynności na liczbach zespolonych w formie algebraicznej.

1) Dodatek.

Definicja... Suma liczb zespolonych z 1 = a 1 + b 1 i oraz z 2 = a 2 + b 2 i nazywana liczbą zespoloną z, którego część rzeczywista jest równa sumie części rzeczywistych z 1 oraz z 2, a część urojona jest sumą części urojonych liczb z 1 oraz z 2, to jest z = (a 1 + a 2) + (b 1 + b 2) i.

Liczby z 1 oraz z 2 nazywane są terminami.

Dodawanie liczb zespolonych ma następujące właściwości:

1º. Zmienność: z 1 + z 2 = z 2 + z 1.

2º. Stowarzyszenie: (z 1 + z 2) + z 3 = z 1 + (z 2 + z 3).

3º. Liczba zespolona –A –bi nazwany przeciwieństwem liczby zespolonej z = a + bi... Liczba zespolona przeciwna do liczby zespolonej z, oznaczony -z... Suma liczb zespolonych z oraz -z jest równy zero: z + (-z) = 0

Przykład 1. Wykonaj dodawanie (3-i) + (-1 + 2i).

(3 - i) + (-1 + 2i) = (3 + (-1)) + (-1 + 2) i = 2 + 1i.

2) Odejmowanie.

Definicja. Odejmij od liczby zespolonej z 1 Liczba zespolona z 2 z, Co z + z 2 = z 1.

Twierdzenie... Różnica liczb zespolonych istnieje, a ponadto jest unikalna.

Przykład 2. Wykonaj odejmowanie (4 - 2i) - (-3 + 2i).

(4 - 2i) - (-3 + 2i) = (4 - (-3)) + (-2 - 2) i = 7 - 4i.

3) Mnożenie.

Definicja... Iloczyn liczb zespolonych z 1 = a 1 + b 1 i oraz z 2 = a 2 + b 2 i nazywana liczbą zespoloną z zdefiniowane przez równość: z = (a 1 a 2 - b 1 b 2) + (a 1 b 2 + a 2 b 1) i.

Liczby z 1 oraz z 2 nazywane są czynnikami.

Mnożenie liczb zespolonych ma następujące właściwości:

1º. Zmienność: z 1 z 2 = z 2 z 1.

2º. Stowarzyszenie: (z 1 z 2) z 3 = z 1 (z 2 z 3)

3º. Rozkład mnożenia względem dodawania:

(z 1 + z 2) z 3 = z 1 z 3 + z 2 z 3.

4º. z = (a + bi) (a - bi) = a 2 + b 2 to liczba rzeczywista.

W praktyce mnożenie liczb zespolonych odbywa się zgodnie z zasadą mnożenia sumy przez sumę i rozdzielania części rzeczywistej i urojonej.

W poniższym przykładzie rozważymy mnożenie liczb zespolonych na dwa sposoby: przez regułę i mnożenie sumy przez sumę.

Przykład 3. Wykonaj mnożenie (2 + 3i) (5 - 7i).

1 sposób. (2 + 3i) (5 - 7i) = (2 × 5 - 3 × (-7)) + (2 × (-7) + 3 × 5) i = = (10 + 21) + (- 14 + 15 ) i = 31 + i.

Metoda 2. (2 + 3i) (5 - 7i) = 2 × 5 + 2 × (- 7i) + 3i × 5 + 3i × (- 7i) = = 10 - 14i + 15i + 21 = 31 + i.

4) Podział.

Definicja... Dzielenie liczby zespolonej z 1 na liczbie zespolonej z 2, to znajdź taką liczbę zespoloną z, Co zz 2 = z 1.

Twierdzenie. Iloraz liczb zespolonych istnieje i jest jednoznaczny, jeśli z 2 ≠ 0 + 0i.

W praktyce iloraz liczb zespolonych wyznacza się mnożąc licznik i mianownik przez sprzężenie mianownika.

Pozwalać z 1 = a 1 + b 1 i, z 2 = a 2 + b 2 i, następnie

.

W poniższym przykładzie podzielimy przez wzór i zasadę mnożenia przez sprzężenie mianownika.

Przykład 4. Znajdź iloraz .

5) Podnoszenie do dodatniej liczby całkowitej.

a) Moce jednostki urojonej.

Korzystanie z równości ja 2 = -1, łatwo jest zdefiniować dowolną dodatnią potęgę całkowitą jednostki urojonej. Mamy:

ja 3 = ja 2 ja = -i,

ja 4 = ja 2 ja 2 = 1,

ja 5 = ja 4 ja = ja,

ja 6 = ja 4 ja 2 = -1,

ja 7 = ja 5 ja 2 = -i,

ja 8 = ja 6 ja 2 = 1 itp.

To pokazuje, że wartości stopnia w, gdzie n- dodatnia liczba całkowita, powtarzana okresowo, gdy wskaźnik wzrasta o 4 .

Dlatego, aby podnieść liczbę i w całym dodatnim stopniu wykładnik należy podzielić przez 4 i wyprostowany i do potęgi, której wykładnik jest równy pozostałej części podziału.

Przykład 5. Oblicz: (ja 36 + ja 17) ja 23.

ja 36 = (i 4) 9 = 1 9 = 1,

i 17 = i 4 × 4 + 1 = (i 4) 4 × i = 1 i = i.

i 23 = i 4 × 5 + 3 = (i 4) 5 × i 3 = 1 · i 3 = - i.

(i 36 + i 17) i 23 = (1 + i) (- i) = - i + 1 = 1 - i.

b) Podnoszenie liczby zespolonej do dodatniej potęgi całkowitej odbywa się zgodnie z zasadą podniesienia dwumianu do odpowiedniej potęgi, ponieważ jest to szczególny przypadek mnożenia tych samych czynników zespolonych.

Przykład 6. Oblicz: (4 + 2i) 3

(4 + 2i) 3 = 4 3 + 3 × 4 2 × 2i + 3 × 4 × (2i) 2 + (2i) 3 = 64 + 96i - 48 - 8i = 16 + 88i.

Liczby zespolone to minimalne rozszerzenie zbioru liczb rzeczywistych, do którego jesteśmy przyzwyczajeni. Ich zasadnicza różnica polega na tym, że w kwadracie pojawia się element dający -1, czyli ja, lub.

Każda liczba zespolona składa się z dwóch części: prawdziwe i urojone:

Widać zatem, że zbiór liczb rzeczywistych pokrywa się ze zbiorem liczb zespolonych o zerowej części urojonej.

Najpopularniejszym modelem zbioru liczb zespolonych jest Plane. Pierwsza współrzędna każdego punktu będzie jego częścią rzeczywistą, a druga urojoną. Wtedy wektory o początku w punkcie (0,0) będą działać jako same liczby zespolone.

Działania na liczbach zespolonych.

W rzeczywistości, jeśli weźmiemy pod uwagę model zbioru liczb zespolonych, intuicyjnie widać, że dodawanie (odejmowanie) i mnożenie dwóch liczb zespolonych odbywa się w taki sam sposób, jak odpowiednie operacje na wektorach. I mamy na myśli iloczyn wektorowy wektorów, ponieważ wynikiem tej operacji jest znowu wektor.

1.1 Dodanie.

(Jak widać, ta operacja dokładnie pasuje)

1.2 Odejmowanie podobnie odbywa się według następującej zasady:

2. Mnożenie.

3. Podział.

Zdefiniowany po prostu jako odwrotność mnożenia.

Forma trygonometryczna.

Moduł liczby zespolonej z jest wielkością:

,

oczywiście jest to znowu tylko moduł (długość) wektora (a, b).

Najczęściej moduł liczby zespolonej oznaczany jest jako ρ.

Okazało się, że

z = ρ (cosφ + isinφ).

Następujące bezpośrednio wynikają z trygonometrycznej postaci zapisu liczby zespolonej. formuły :

Ostatnia formuła nazywa się Formuła Moivre'a. Wzór pochodzi bezpośrednio z niego n-ty pierwiastek liczby zespolonej:

zatem istnieje n pierwiastków n-tego stopnia liczby zespolonej z.

Przypomnijmy niezbędne informacje o liczbach zespolonych.

Liczba zespolona jest wyrazem formy a + bi, gdzie a, b są liczbami rzeczywistymi i i- tak zwane wyimaginowana jednostka, symbol, którego kwadrat wynosi -1, czyli i 2 = -1. Numer a nazywa prawdziwa część i liczba b - część urojona Liczba zespolona z = a + bi... Jeśli b= 0, to zamiast a + 0i napisz po prostu a... Jak widać, liczby rzeczywiste są szczególnym przypadkiem liczb zespolonych.

Działania arytmetyczne na liczbach zespolonych są takie same jak na liczbach rzeczywistych: można je dodawać, odejmować, mnożyć i dzielić przez siebie. Dodawanie i odejmowanie odbywa się zgodnie z zasadą ( a + bi) ± ( C + di) = (a ± C) + (b ± D)i i mnożenie - zgodnie z zasadą ( a + bi) · ( C + di) = (AC – bd) + (ogłoszenie + pne)i(jest tu używany tylko, że i 2 = –1). Liczba = a – bi nazywa złożony koniugat Do z = a + bi... Równość z · = a 2 + b 2 pozwala zrozumieć, jak podzielić jedną liczbę zespoloną przez inną (niezerową) liczbę zespoloną:

(Na przykład, .)

Liczby zespolone mają wygodną i intuicyjną reprezentację geometryczną: liczba z = a + bi może być reprezentowany przez wektor o współrzędnych ( a; b) na płaszczyźnie kartezjańskiej (lub prawie taki sam punkt - koniec wektora o tych współrzędnych). W tym przypadku suma dwóch liczb zespolonych jest przedstawiana jako suma odpowiednich wektorów (które można znaleźć za pomocą reguły równoległoboku). Według twierdzenia Pitagorasa długość wektora o współrzędnych ( a; b) jest równy. Ta ilość nazywa się moduł Liczba zespolona z = a + bi i oznaczony przez | z|. Kąt, który ten wektor tworzy z dodatnim kierunkiem osi odciętej (liczony w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara), nazywa się argument Liczba zespolona z i jest oznaczony przez Arg z... Argument nie jest jednoznacznie zdefiniowany, ale tylko do dodania wielokrotności 2 π radiany (lub 360 °, jeśli liczyć w stopniach) - w końcu jasne jest, że obrót o taki kąt wokół początku nie zmieni wektora. Ale jeśli wektor długości r tworzy kąt φ z dodatnim kierunkiem osi odciętej, to jego współrzędne wynoszą ( r Sałata φ ; r Grzech φ ). Stąd okazuje się notacja trygonometryczna Liczba zespolona: z = |z| (Cos (Arg z) + i grzech (arg z)). Często wygodnie jest pisać liczby zespolone w tej formie, ponieważ znacznie upraszcza to obliczenia. Mnożenie liczb zespolonych w postaci trygonometrycznej wygląda bardzo prosto: z jeden · z 2 = |z 1 | · | z 2 | (Cos (Arg z 1 + Argument z 2) + i grzech (arg z 1 + Argument z 2)) (przy mnożeniu dwóch liczb zespolonych mnoży się ich moduły i dodawane są argumenty). Stąd podążaj formuły Moivre'a: z n = |z|n(Bo ( n(Arg z)) + i grzech ( n(Arg z))). Korzystając z tych wzorów, łatwo nauczyć się wyciągania pierwiastków dowolnego stopnia z liczb zespolonych. N-ty pierwiastek z to taka liczba zespolona w, Co w n = z... Jest oczywiste, że , I gdzie k może przyjąć dowolną wartość ze zbioru (0, 1, ..., n- jeden). Oznacza to, że zawsze jest dokładnie n korzenie n-ty stopień liczby zespolonej (na płaszczyźnie znajdują się na wierzchołkach poprawnej) n-gon).