Roztwór jest metodą zmienności arbitralnych stałych. Przykłady metody odmianowej arbitralnej stałej
Rozważ teraz liniowe równanie niejednorodne
. (2)
Niech Y 1, Y2, .., Y N - podstawowy system rozwiązań i jest ogólnym roztworem odpowiedniego jednorodnego równania L (y) \u003d 0. Podobnie jak w przypadku równań pierwszego rzędu, będziemy szukać roztworu równania (2) jako
. (3)
Upewnij się, że rozwiązanie w tym formularzu istnieje. Aby to zrobić, zastąpimy funkcję równania. Aby zastąpić tę funkcję do równania znajdzie swoje instrumenty pochodne. Pierwsza pochodna jest równa 
. (4)
Przy obliczaniu drugiej pochodnej po prawej stronie (4) będą cztery terminy, przy obliczaniu trzeciej pochodnej - osiem terminów i tak dalej. Dlatego dla wygody dalszego konta, pierwsza kadencja (4) ma być zero. Biorąc pod uwagę to, druga pochodna jest równa 
. (5)
Zgodnie z tym samym rozważaniami, w (5), wierzymy również o pierwszy termin równy zero. Wreszcie n-ta pochodna jest równa 
. (6)
Zastępowanie otrzymanych wartości pochodnych w początkowym równaniu, mamy 
. (7)
Drugi kadencja w (7) wynosi zero, ponieważ funkcje y j, j \u003d 1,2 ,., N są roztworami odpowiednich jednorodnych równania L (y) \u003d 0. Łącząc się z poprzednią, otrzymujemy system równań algebraicznych do znalezienia funkcji C "J (X) 
(8)
Determinant tego systemu jest wyznacznikiem bonsky podstawowego układu roztworów Y1, Y2, .., Y N na odpowiednim jednorodnym równaniu L (y) \u003d 0, a zatem nie jest zero. W związku z tym istnieje jedyne rozwiązanie systemu (8). Po znalezieniu, uzyskujemy funkcję C "J (X), J \u003d 1,2, ..., N, a zatem, C J (X), J \u003d 1,2, ..., n zastępuje je Wartości w (3), otrzymujemy roztwór liniowego równania niejednorodnego.
Zarysowana metoda nazywana jest metodą zmienności przez dowolną metodę stałej lub Lagrange.
Przykład numer 1. Znajdź ogólne rozwiązanie równania Y "+ 4Y" + 3Y \u003d 9E -3 x. Rozważ odpowiednie jednorodne równanie Y "" + 4Y + 3Y \u003d 0. Korzenie jego charakterystycznych równania R2 + 4R + 3 \u003d 0 -1 i - 3. Dlatego podstawowy system rozwiązań jednorodnych równania składa się z funkcji Y1 \u003d E - X i Y2 \u003d E -3 x. Roztwór niejednorodnych równania wygląda jak w postaci Y \u003d C1 (x) E - X + C2 (X) E -3 x. Aby znaleźć pochodne C "1, C" 2, tworzymy system równań (8)
C '1 · E -X + C' 2 · E -3x \u003d 0
-C '1 · E -X -3C' 2 · E -3x \u003d 9E -3x
rozwiązywanie, które znajdziemy, integrując uzyskane funkcje, mamy 
W końcu Get.
Przykład numer 2. Rozwiąż liniowe równania różnicowe drugiego rzędu ze stałymi współczynnikami przez zmienność dowolnej pozycji: 
y (0) \u003d 1 + 3ln3
y '(0) \u003d 10ln3
Decyzja:
To równanie różniczkowe odnosi się do równań różnicowych liniowych ze stałymi współczynnikami.
Rozwiązanie równania zostanie podpisane jako y \u003d e rx. Aby to zrobić, skompilujemy charakterystyczne równanie liniowego jednorodnego równania różnicowego z stałymi współczynnikami:
r2 -6 R + 8 \u003d 0
D \u003d (-6) 2 - 4 · 1 · 8 \u003d 4
Korzenie równania charakterystycznego: R1 \u003d 4, R2 \u003d 2
Dlatego podstawowy system rozwiązań jest funkcje: Y 1 \u003d E 4X, Y 2 \u003d E 2X
Ogólne rozwiązanie jednorodnego równania ma formularz: y \u003d C1 · E 4X + C2 · E 2X
Wyszukaj prywatny rozwiązanie według zmienności przez dowolną stałą.
Aby znaleźć C "I pochodne, stanowią system równań:
C '1 · E 4X + C' 2 · E 2X \u003d 0
C '1 (4E 4x) + C' 2 (2E 2x) \u003d 4 / (2 + E -2x)
Express C "1 pierwszego równania:
C "1 \u003d -C 2 E -2x
i zastępujemy drugi. W rezultacie otrzymujemy:
C "1 \u003d 2 / (E 2X + 2E 4X)
C "2 \u003d -2e 2x / (E 2X + 2E 4x)
Zintegrujemy uzyskane funkcje C "I:
C 1 \u003d 2LN (E -2x +2) - E -2X + C * 1
C2 \u003d LN (2E 2x +1) - 2x + C * 2
Ponieważ y \u003d C1 · E 4X + C2 · E 2X, a następnie napisz uzyskane wyrażenia w formularzu:
C1 \u003d (2LN (E -2x +2) - E -2X + C * 1) E 4X \u003d 2 E 4X LN (E -2X +2) - E 2X + C * 1 E 4x
C2 \u003d (LN (2E 2x +1) - 2x + C * 2) E 2X \u003d E 2X LN (2E 2x +1) - 2x E 2X + C * 2 E 2x
Tak więc ogólne rozwiązanie równania różnicowego jest:
y \u003d 2 E 4X LN (E -2x +2) - E 2X + C * 1 E 4X + E 2X LN (2E 2x +1) - 2x E 2X + C * 2 E 2x
lub
y \u003d 2 E 4X LN (E -2X +2) - E 2X + E 2X LN (2E 2x +1) - 2x E 2X + C * 1 E 4X + C * 2 E 2x
Znajdziemy prywatne rozwiązanie:
y (0) \u003d 1 + 3ln3
y '(0) \u003d 10ln3
Zastępowanie x \u003d 0, w znalezionym równaniu, otrzymujemy:
y (0) \u003d 2 LN (3) - 1 + LN (3) + C * 1 + C * 2 \u003d 3 LN (3) - 1 + C * 1 + C * 2 \u003d 1 + 3LN3
Znajdujemy pierwszą pochodną uzyskanego rozwiązania ogólnego:
y '\u003d 2e 2x (2C 1 E 2x + C2 -2x +4 E 2X LN (E -2X +2) + LN (2E 2x +1) -2)
Zastępowanie x \u003d 0, otrzymujemy:
y '(0) \u003d 2 (2C 1 + C2 +4 LN (3) + LN (3) -2) \u003d 4C 1 + 2C 2 +10 LN (3) -4 \u003d 10ln3
Dostajemy system dwóch równań:
3 LN (3) - 1 + C * 1 + C * 2 \u003d 1 + 3ln3
4C 1 + 2C 2 +10 LN (3) -4 \u003d 10LN3
lub
C * 1 + C * 2 \u003d 2
4C 1 + 2C 2 \u003d 4
lub
C * 1 + C * 2 \u003d 2
2C 1 + C2 \u003d 2
Lokalizacja: C1 \u003d 0, C * 2 \u003d 2
Prywatna decyzja zostanie odnotowana jako:
y \u003d 2E 4x · LN (E -2X +2) - E 2X + E 2X · LN (2E 2x +1) - 2x · E 2x + 2 · E 2x
Sposób zmienności dowolnych stałych stosuje się do rozwiązania niejednorodnych równań różnorodnych. Ta lekcja została zaprojektowana dla tych studentów, którzy są już bardziej lub bardziej dobrze zorientowane na ten temat. Jeśli po prostu zaczniesz zapoznać się z du, tj. Jesteś czajnikiem, polecam począwszy od pierwszej lekcji: Równania różniczkowe pierwszego zamówienia. Przykłady rozwiązań. A jeśli już skończysz, upuść możliwą stroną stronniczej, że metoda jest złożona. Ponieważ jest prosty.
W jakich przypadkach jest metoda zmienności arbitralnych stałych?
1) Metoda zmienności dowolnej stałej można stosować podczas rozwiązywania liniowy niejednorodny nakaz 1. Ponieważ wkrótce jest równanie pierwszego rzędu, stała (stała) jest również sama.
2) metoda zmienności dowolnych stałych jest używana do rozwiązania niektórych liniowy niejednorodny równania drugiego rzędu. Dwa stałe (stałe) różnią się tutaj.
Logiczne jest założenie, że lekcja składa się z dwóch akapitów .... Tutaj napisałem tę ofertę i 10 minut starannie myśleć niezależnie od inteligentnego bzdury, aby dodać płynne przejście do praktycznych przykładów. Ale z jakiegoś powodu nie ma myśli po wakacjach, chociaż wydaje się i nie nadużywał z niczym. Dlatego natychmiast dostajemy przez pierwszy akapit.
Metoda zmienności dowolnej stałej stałej
dla liniowego niejednorodnego równania pierwszego rzędu
Przed rozważeniem sposobu zmienności arbitralnej stałej, pożądane jest zapoznanie się z artykułem Równania różnicowe liniowe pierwszego zamówienia. Na tej lekcji wypracowaliśmy pierwszy sposób na rozwiązanie Niejednorodny zamówienie. To pierwsze rozwiązanie przypomina się, zwana metoda wymiany lub metoda Bernoulli. (nie należy mylić równanie Bernoulli.!!!)
Teraz przyjrzymy się drugim sposobem rozwiązywania - Sposób zmienności dowolnej stałej stałej. Daję tylko trzy przykłady i zabrać je z wyżej wymienionej lekcji. Dlaczego tak mało? Ponieważ w rzeczywistości decyzja będzie bardzo podobna do decyzji w pierwszej drodze. Ponadto, zgodnie z moimi obserwacjami, sposób odmiany arbitralnych stałych stosuje się rzadziej metodą zastępczą.
Przykład 1.
(Diffur z przykładu nr 2 lekcji Liniowy niejednorodny nakaz 1)
Decyzja: To równanie jest niejednorodne i ma znajomy wygląd: 
W pierwszym etapie konieczne jest rozwiązanie prostszego równania: 
Oznacza to, że głupio zresetuj prawą stronę - zamiast pisać zero.
Równanie zadzwonię równanie pomocnicze..
W tym przykładzie musisz rozwiązać następujący pomocniczy kapitał własny:
Przed nami równanie z zmiennymi oddzielającymiCzyja decyzja (mam nadzieję) nie reprezentuje już trudności dla Ciebie: 
W ten sposób: 
- Rozwiązanie ogólne do równania pomocniczego.
W drugim kroku zastąpić Niektórzy niektórzy. podczas gdy znowu Nieznana funkcja, która zależy od "X":
Stąd nazwa metody - różni się stałą. Alternatywnie stała może być pewną funkcją, którą musimy teraz znaleźć.
W źródło Równanie heterogeniczne Zastąpmy:
Zastępować I. 
w równaniu :
Sprawdź moment - obaj elementy po lewej stronie są zmniejszone. Jeśli tak się nie stanie, powinieneś wyszukać błąd powyżej.
W wyniku wymiany uzyskano równanie z zmiennymi oddzielającymi. Udostępniamy zmienne i integrujemy.
Co łaski, wystawcy są również zmniejszone:
Dodam też "normalną" stałą do znalezionego:
Na ostatnim etapie pamiętam naszą wymianę:
Funkcja właśnie znaleziono!
Tak więc rozwiązanie ogólne: 
Odpowiedź: Wspólna decyzja: 
Jeśli wydrukujesz dwa sposoby rozwiązania, łatwo zauważysz, że w obu przypadkach znaleźliśmy te same całki. Różnica tylko w algorytmie roztworu.
Teraz coś bardziej skomplikowanego, drugi przykład, również komentuję:
Przykład 2.
Znajdź ogólne rozwiązanie równania różnicowego 
(Diffur z przykładu nr 8 lekcji Liniowy niejednorodny nakaz 1)
Decyzja: Dajemy równanie formy :
Usunął prawą stronę i stałe równanie pomocnicze:
Ogólne rozwiązanie równania pomocniczego:
Na niejednorodnym równaniu zastąpimy:
Zgodnie z zasadą różnicowania, praca: 
Zastępować I. Na oryginalnym niejednorodnym równaniu:
Dwa składniki po lewej stronie są zmniejszone, oznacza to, że jesteśmy na właściwym miejscu: 
Integrujemy się w częściach. Smaczny list z formuły integracyjnej w częściach jest już zaangażowany w rozwiązanie, więc używamy, na przykład, litery "A" i "Be":
Teraz pamiętaj o wymianie:
Odpowiedź: Wspólna decyzja:
I jeden przykład dla niezależnego rozwiązania:
Przykład 3.
Znajdź prywatne rozwiązanie równania różnicowego odpowiadającego danym stanie początkowym.
,
(Diffur z przykładu nr 4 lekcji Liniowy niejednorodny nakaz 1)
Decyzja:
Ten du jest niejednorodny liniowy. Użyj metody odmiany arbitralnych stałych. Rozwiążę równanie pomocnicze:
Udostępniamy zmienne i integrujemy: 
Wspólna decyzja: 
Na niejednorodnym równaniu zastąpimy: 
Wykonaj podstawienie: 
Tak więc rozwiązanie ogólne: 
Znajdziemy prywatne rozwiązanie, które spełnia określony stan początkowy: 
Odpowiedź: Prywatne rozwiązanie:
Decyzja na koniec lekcji może służyć jako przykładowa próbka do definicji zadania.
Metoda zmienności dowolnej stałej stałej
na liniowe niejednorodne równanie drugiego rzędu
ze stałymi współczynnikami
Często konieczne było usłyszenie opinii, że sposób zmienności arbitralnych stałych dla równania drugiego rzędu nie jest płucami. Ale zakładam: najprawdopodobniej metoda wydaje się wiele trudna, ponieważ nie jest tak często. Ale w rzeczywistości nie ma szczególnych trudności - przebieg rozwiązywania jest jasny, przejrzysty, zrozumiały. I piękny.
Aby opanować metodę, pożądane jest, aby móc rozwiązać niejednorodne równania drugiego rzędu przez metodę wyboru prywatnego rozwiązania przez pojawienie się właściwej części. Ta metoda jest szczegółowo omówiony w artykule. Non-Uniform du 2nd Order. Pamiętamy, że liniowe niejednorodne równanie drugiego rzędu z stałymi współczynnikami jest:
Sposób wyboru, który został rozważany na wyżej wymienionej lekcji, przechodzi tylko w ograniczonym w przypadkach, gdy wielomiany, wykładnicy, zatoki, cosines znajdują się po prawej stronie. Ale co robić, kiedy na przykład, na przykład, frakcja, logarytm, styczna? W takiej sytuacji przychodzi sposób zmienności stałej pomocy.
Przykład 4.
Znajdź ogólne rozwiązanie równania różnicowego drugiego rzędu 
Decyzja: W prawej części tego równania jest frakcja, więc można natychmiast powiedzieć, że metoda wyboru prywatnego rozwiązania nie przewraca. Użyj metody odmiany arbitralnych stałych.
Nic nie naprzeciw widoku burzy, początek decyzji jest całkowicie zwyczajny:
Odnaleźć wspólna decyzja istotnych mundur Równania: 
Będziemy również zdecydować o charakterystycznym równaniu: 
- Otrzymane koniugate kompleksowe korzenie, więc ogólne rozwiązanie:
Zwróć uwagę na wpisanie rozwiązania ogólnego - jeśli są wsporniki, a następnie ujawnij je.
Teraz robimy prawie taką samą sztuczkę, jak na równanie pierwszego rzędu: zmieniają stałe, zastępując je nieznane funkcje. To znaczy, ogólne rozwiązanie heterogenicznerównania będą poszukiwane w formie:
Gdzie - podczas gdy znowu Nieznane funkcje.
Wygląda na wysypisko odpadów domowych, ale teraz wszystko jest posortowane.
Niewiadomy są funkcjami. Naszym celem jest znalezienie pochodnych, a znalezione pochodne powinny spełniać pierwsze i drugie równanie systemu.
Skąd pochodzą ireria? Bocian przynosi im. Patrzymy na powstałe wcześniejsze rozwiązanie i zapisujemy:
Znajdź pochodne:
Z lewą częściami. Co prawda?
- Jest to prawa strona oryginalnego równania, w tym przypadku:
Współczynnik jest współczynnikiem z drugą pochodną:
W praktyce prawie zawsze, a nasz przykład nie jest wyjątkiem.
Wszystko okazało się, teraz możesz utworzyć system: 
System zwykle decyduje według formuł KrameraZa pomocą standardowego algorytmu. Jedyną różnicą jest to, że zamiast liczb mamy funkcje.
Znajdujemy główny determinant systemu: 
Jeśli zapomniałeś, jak ujawniono wyznacznik "Dwa do dwóch", skonsultuj się z lekcją Jak obliczyć wyznacznik? Link prowadzi do płyty cienia \u003d)
Tak więc: Oznacza to, że system ma pojedyncze rozwiązanie.
Znajdź pochodną: 
Ale to nie wszystko, dopóki nie znaleźliśmy tylko pochodnej.
Sam funkcja jest przywrócona przez integrację:
Rozumiemy drugą funkcją: 
Tutaj dodajemy "normalną" stałą
Na ostatnim etapie pamiętam rozwiązania, w jakiej formie szukaliśmy ogólnego rozwiązania niejednorodnych równania? W takich:
Właśnie znaleziono niezbędne funkcje! 
Pozostaje wykonać substytucję i zapisanie odpowiedzi:
Odpowiedź: Wspólna decyzja:
Zasadniczo w odpowiedzi można ujawnić wsporniki.
Pełna kontrola odpowiedzi jest wykonywana zgodnie ze standardowym schemacją, która została uwzględniona w lekcji. Non-Uniform du 2nd Order. Ale weryfikacja będzie trudna, ponieważ istnieje dość ciężkie pochodne, aby znaleźć i wykonywać nieporęczną substytucję. Jest to nieprzyjemna funkcja podczas rozwiązywania takich dyfuzorów.
Przykład 5.
Rozwiąż równanie mechanizmu różnicowego przez zmienność arbitralnej stałej
Jest to przykład dla niezależnego rozwiązania. W rzeczywistości także w prawej części frakcja. Pamiętamy formułę trygonometryczną, przy okazji, będzie musiał zostać zastosowany w trakcie rozwiązania.
Sposób zmiany arbitralnej stałej jest najbardziej uniwersalną metodą. Mogą rozwiązać wszelkie równanie, które są rozwiązane metoda wyboru prywatnego rozwiązania według wyglądu właściwej części. Powstaje pytanie i dlaczego nie używać metody różnorodności dowolnych stałych? Odpowiedź jest oczywista: wybór prywatnego rozwiązania, który został rozważany na lekcji Niejednorodne równania drugiego rzędu, znacznie przyspiesza roztwór i zmniejsza nagrywanie - brak tchchu z determinantami i całami.
Rozważmy dwa przykłady zadanie Cauchy..
Przykład 6.
Znajdź prywatne rozwiązanie równania różnicowego odpowiadającego określonym warunkom.
, 
Decyzja: Ponownie, frakcja i wykładnik w ciekawym miejscu.
Użyj metody odmiany arbitralnych stałych.
Odnaleźć wspólna decyzja istotnych mundur Równania: 
- uzyskuje się różne prawidłowe korzenie, więc ogólne rozwiązanie:
Ogólne rozwiązanie heterogeniczne Równania wyglądają jak w formie: gdzie - podczas gdy znowu Nieznane funkcje.
Zrób system:
W tym przypadku:
,
Znajdź pochodne: 
, 
W ten sposób: 
System rozpuszczalny przez wzory gąsienicowe:
System ma jedno rozwiązanie.
Przywracamy funkcję przez integrację:
Używane tutaj metoda podsumowania funkcji pod znakiem różnicowego.
Przywracamy drugą funkcję integracji: 
Taka integralna jest rozwiązana wymieniając zmienną:
Od samej wymiany, wyrażamy:
W ten sposób: 
Ten integralny można znaleźć. metoda przydziału pełnego kwadraAle w przykładach z dyfuzorami wolę połóż frakcję metoda niepewnych współczynników:
Znaleziono obie funkcje:
W rezultacie ogólne rozwiązanie niejednorodnych równania:
Znajdziemy prywatne rozwiązanie, które spełniają warunki wstępne. .
Technicznie, roztwór roztworu przeprowadza się przez standardowy sposób, który został oglądany w artykule. Niejednoznaczne równania różniczkowe drugiego rzędu.
Trzymaj się, teraz znajdziemy pochodną znalezionego rozwiązania ogólnego:
Oto taka hańba. Nie trzeba go uprościć, łatwiej jest natychmiast dokonać systemu równań. Zgodnie z warunkami początkowymi :
Zastępuj fundamenty znalezione stałych 
Ogólne rozwiązanie:
W odpowiedzi logarytmy mogą być nieco używane.
Odpowiedź: Prywatne rozwiązanie: 
Jak widać, trudności mogą wystąpić w całkach i pochodnych, ale w żaden sposób w żadnym zakresie w algorytmie zmienności samych arbitralnych stałych. To nie ja cię walczyło, to cała kolekcja Kuznetowa!
Do relaksu końcowy, prostszy przykład dla niezależnego rozwiązania:
Przykład 7.
Rozwiąż zadanie Cauchy
, 
Przykład jest prosty, ale kreatywny, kiedy zrobić system, starannie spojrzeć na to, zanim zdecydujesz ;-),
W rezultacie rozwiązanie ogólne:
Znajdź prywatne rozwiązanie, które spełnia warunki początkowe .
Zastępuj znalezione wartości stałych w rozwiązaniu ogólnym:
Odpowiedź: Prywatne rozwiązanie:
Metoda zmienności dowolnej stałej stałej
Sposób zmienności arbitralnych stałych do konstruowania roztworu liniowego niejednorodnego równania różnicowego
zA. n. (t.)z. (n.) (t.) + zA. n. − 1 (t.)z. (n. − 1) (t.) + ... + zA. 1 (t.)z."(t.) + zA. 0 (t.)z.(t.) = fA.(t.)
składa się w zastępowaniu dowolnej stałej stałej dO. k. W ogólnym rozwiązaniu
z.(t.) = dO. 1 z. 1 (t.) + dO. 2 z. 2 (t.) + ... + dO. n. z. n. (t.)
odpowiednie jednorodne równanie
zA. n. (t.)z. (n.) (t.) + zA. n. − 1 (t.)z. (n. − 1) (t.) + ... + zA. 1 (t.)z."(t.) + zA. 0 (t.)z.(t.) = 0
na funkcjach pomocniczych. dO. k. (t.) pochodzące z którego spełniają liniowy system algebraiczny
Determinant systemu (1) jest funkcjami funkcji z. 1 ,z. 2 ,...,z. n. zapewnia jego jednoznaczne względne rozwiązanie.
Jeśli jesteś prymitywny, wykonany w ustalonych wartościach ciągłej integracji, a następnie funkcja
jest to rozwiązanie do początkowego liniowego niejednorodnego równania różnicowego. Integracja niejednorodnych równania w obecności ogólnego roztworu odpowiedniego jednorodnego równania jest zatem zmniejszona do kwadraturów.
Metoda zmienności arbitralnych stałej konstruowania rozwiązań systemu równań różnicowych liniowych w normalnej formie wektorowej
składa się w budowaniu prywatnego rozwiązania (1) w formie
gdzie Z.(t.) - Podstawą rozwiązań odpowiednich jednorodnych równania odnotowanych w postaci matrycy i funkcji wektorowej, zastępując wektor arbitralnych stałych, zależy od współczynnika. Drugie prywatne rozwiązanie (z zerowymi wartościami początkowymi t. = t. 0 ma gatunki
W przypadku systemu ze stałymi współczynnikami ostatnia ekspresja jest uproszczona:
Macierz Z.(t.)Z. - 1 (τ) nazywa cauchy Matrix. Operator L. = ZA.(t.) .
Rozważana jest metoda rozwiązywania liniowych niejednorodnych równań różniczkowych wyższych zleceń ze stałymi współczynnikami przez zmienność stałego Lagrange'a. Metoda Lagrange ma również zastosowanie do rozwiązywania dowolnych równań niejednorodnych liniowych, jeśli znany jest podstawowy system roztworów jednorodnych równania.
ZawartośćZobacz też:
Metoda Lagrange (zmienność stałej)
Rozważmy liniowe niejednorodne równanie różniczkowe ze stałymi współczynnikami dowolnego nakazu N-th:
(1)
.
Sposób zmienności stałej, rozpatrywanej przez nas dla równania pierwszego rzędu, ma również zastosowanie do równań wyższych zamówień.
Rozwiązanie przeprowadza się w dwóch etapach. Na pierwszym etapie wyrzuciliśmy po prawej stronie i rozwiążymy jednorodne równanie. W rezultacie otrzymujemy rozwiązanie zawierające n arbitralne stałe. W drugim etapie różnią się stałą. Oznacza to, że uważamy, że stałe te są funkcjami z niezależnej zmiennej x i znajdź formę tych funkcji.
Chociaż uważamy tutaj równania ze stałymi współczynnikami, ale metoda Lagrange ma również zastosowanie do rozwiązywania dowolnych niejednorodnych równań liniowych. W tym celu należy znać podstawowy system rozwiązań jednorodnych równania.
Krok 1. Rozwiązanie jednorodnej równania
Podobnie jak w przypadku równań pierwszego rzędu, na początku szukamy ogólnego rozwiązania jednorodnego równania, co odpowiada prawej części niejednorodnej części zero:
(2)
.
Ogólne rozwiązanie takiego równania ma formularz:
(3)
.
Tutaj - arbitralna stała; - N liniowo niezależne rozwiązania jednorodnego równania (2), które tworzą fundamentalny system rozwiązań tego równania.
Krok 2. Odmiana stałych - zastępujących funkcji trwałych
W drugim etapie zajmiemy się różnorodnością stałej. Innymi słowy, zastąpimy stałą na funkcji niezależnej zmiennej X:
.
Oznacza to, że szukamy rozwiązania początkowego równania (1) w następującym formularzu:
(4)
.
Jeśli zastąpimy (4) w (1), otrzymujemy jedno równanie różnicowe dla funkcji N. Jednocześnie możemy skojarzyć te funkcje z dodatkowymi równaniami. Następnie będzie równania N, z których można określić n funkcje N. Dodatkowe równania mogą być wykonane na różne sposoby. Ale udało nam się, aby decyzja ma najprostszy wygląd. W tym celu, zróżnicowaniem, musisz równać się z zerowymi terminami zawierającymi instrumenty pochodne z funkcji. Pokażmy to.
Aby zastąpić szacowany roztwór (4) do pierwotnego równania (1), musimy znaleźć pochodne pierwszych n rzędów funkcji odnotowanej w formularzu (4). Różnicowanie (4), stosując reguły zróżnicowania kwoty i pracy:
.
Grupowaliśmy członków. Po pierwsze, odpieramy członków pochodnych, a następnie - członkowie pochodnymi z:
.
Oferujemy pierwszy stan funkcji:
(5.1)
.
Następnie wyrażenie pierwszej pochodnej oprogramowania będzie miał prostszą formę:
(6.1)
.
W ten sam sposób, znajdziemy drugą pochodną:
.
Zostawmy drugie warunek:
(5.2)
.
Następnie
(6.2)
.
Itp. W dodatkowych warunkach utożsamiujemy członków zawierające funkcje pochodne do zera.
Tak więc, jeśli wybierzesz następujące dodatkowe równania dla funkcji:
(5.k) ,
Pierwsze pochodne oprogramowania będą miały najłatwiejszy widok:
(6.K) .
Tutaj.
Znajdujemy n-pochodną:
(6.n)
.
Zastępujemy w początkowym równaniu (1):
(1)
;
.
Biorą pod uwagę, że wszystkie funkcje spełniają równanie (2):
.
Wtedy suma członków zawierających daje zero. W rezultacie otrzymujemy:
(7)
.
W rezultacie otrzymaliśmy system równań liniowych do pochodnych:
(5.1)
;
(5.2)
;
(5.3)
;
. . . . . . .
(5.n-1) ;
(7 ') .
Rozwiązywanie tego systemu, znajdujemy wyrażenia instrumentów pochodnych jako funkcje z X. Integracja otrzymujemy:
.
Tutaj - nie zależy już od stałej X. Zastępowanie w (4), otrzymujemy ogólne rozwiązanie równania źródła.
Należy pamiętać, że określenie wartości instrumentów pochodnych nie wykorzystaliśmy gdziekolwiek, aby współczynniki były stałe. w związku z tym metoda Lagrange ma zastosowanie do rozwiązania jakichkolwiek liniowych niejednorodnych równańJeśli znany jest fundamentalny system roztworów jednorodnych równania (2).
Przykłady.
Rozwiązuj równania przez zmianę stałego (Lagrange).
Rozwiązanie przykładów \u003e\u003e\u003e
Rozwiązanie równań wyższych zamówień przez Bernoulliego
Roztwór liniowych równań różnorodnych równań wyższych zleceń z stałymi współczynnikami substytucji liniowej
Ładowanie...