Potęgowanie liczby trygonometrycznej. Podnoszenie liczb zespolonych do potęgi

Zacznijmy od ulubionego kwadratu.

Przykład 9

Kwadrat liczba zespolona

Tutaj możesz przejść na dwa sposoby, pierwszy sposób to przepisanie stopnia jako iloczynu czynników i pomnożenie liczb zgodnie z zasadą mnożenia wielomianów.

Drugi sposób to wykorzystanie znanej szkolnej formuły mnożenia skróconego:

Dla liczby zespolonej łatwo wyprowadzić własny wzór na mnożenie skrócone:

Podobny wzór można wyprowadzić dla kwadratu różnicy, a także dla sześcianu sumy i sześcianu różnicy. Ale te formuły są bardziej odpowiednie w przypadku złożonych zadań analitycznych. Co się stanie, jeśli liczba zespolona musi zostać podniesiona do, powiedzmy, potęgi piątej, dziesiątej lub setnej? Oczywiste jest, że w formie algebraicznej jest prawie niemożliwe wykonanie takiej sztuczki, naprawdę, zastanów się, jak rozwiążesz przykład taki jak?

I tu na ratunek przychodzi postać trygonometryczna liczby zespolonej i tzw Formuła Moivre'a: Jeżeli liczba zespolona jest przedstawiona w postaci trygonometrycznej, to podnosząc ją do potęgi naturalnej, formuła jest poprawna:

Po prostu oburzające.

Przykład 10

Mając liczbę zespoloną, znajdź.

Co powinno być zrobione? Najpierw musisz przedstawić podaną liczbę w formie trygonometrycznej. Uważni czytelnicy Zauważ, że w przykładzie 8 już to zrobiliśmy:

Następnie zgodnie z formułą Moivre'a:

Nie daj Boże, nie musisz liczyć na kalkulator, ale w większości przypadków kąt powinien być uproszczony. Jak uprościć? Mówiąc obrazowo, musisz pozbyć się niepotrzebnych zakrętów. Jeden obrót to radiany lub 360 stopni. Dowiedzmy się, ile zwojów mamy w kłótni. Dla wygody robimy ułamek poprawny:, po czym wyraźnie widać, że można odjąć jeden obrót:. Mam nadzieję, że wszyscy rozumieją, że są pod tym samym kątem.

Tak więc ostateczna odpowiedź zostanie napisana tak:

Odrębnym rodzajem problemu potęgowania jest potęgowanie liczb czysto urojonych.

Przykład 12

Podnieś liczby zespolone do potęgi ,,

Tutaj też wszystko jest proste, najważniejsze jest zapamiętanie słynnej równości.

Jeśli jednostka urojona zostanie podniesiona do równej potęgi, technika rozwiązania jest następująca:

Jeśli wyimaginowana jednostka zostanie podniesiona do nieparzystej mocy, wtedy „uszczypniemy” jedno „i”, uzyskując moc parzystą:

Jeśli występuje minus (lub dowolny poprawny współczynnik), należy go najpierw oddzielić:

Wyodrębnianie pierwiastków z liczb zespolonych. Równanie kwadratowe o złożonych pierwiastkach

Rozważmy przykład:

Nie możesz wydobyć korzenia? Jeśli mówimy o liczbach rzeczywistych, to naprawdę jest to niemożliwe. W liczbach zespolonych możesz wyodrębnić pierwiastek! Albo raczej, dwaźródło:

Czy znalezione korzenie naprawdę są rozwiązaniem równania? Sprawdźmy:

I właśnie to wymagało weryfikacji.

Często stosuje się notację skróconą, oba rdzenie są zapisane w jednym wierszu pod "jeden grzebień":.

Takie korzenie są również nazywane sprzężony złożone korzenie .

Jak wyodrębnić pierwiastki kwadratowe z liczb ujemnych, myślę, że wszyscy rozumieją: ,,, itp. Okazuje się, że we wszystkich przypadkach dwa sprzężone złożone korzenie.

Zacznijmy od ulubionego kwadratu.

Przykład 9

Kwadrat liczba zespolona

Tutaj możesz przejść na dwa sposoby, pierwszy sposób to przepisanie stopnia jako iloczynu czynników i pomnożenie liczb zgodnie z zasadą mnożenia wielomianów.

Drugi sposób to wykorzystanie znanej szkolnej formuły mnożenia skróconego:

Dla liczby zespolonej łatwo wyprowadzić własny wzór na mnożenie skrócone:

Podobny wzór można wyprowadzić dla kwadratu różnicy, a także dla sześcianu sumy i sześcianu różnicy. Ale te formuły są bardziej odpowiednie w przypadku złożonych zadań analitycznych. Co się stanie, jeśli liczba zespolona musi zostać podniesiona do, powiedzmy, potęgi piątej, dziesiątej lub setnej? Oczywiste jest, że w formie algebraicznej jest prawie niemożliwe wykonanie takiej sztuczki, naprawdę, zastanów się, jak rozwiążesz przykład taki jak?

I tu na ratunek przychodzi postać trygonometryczna liczby zespolonej i tzw Formuła Moivre'a: Jeżeli liczba zespolona jest przedstawiona w postaci trygonometrycznej, to podnosząc ją do potęgi naturalnej, formuła jest poprawna:

Po prostu oburzające.

Przykład 10

Mając liczbę zespoloną, znajdź.

Co powinno być zrobione? Najpierw musisz przedstawić podaną liczbę w formie trygonometrycznej. Uważni czytelnicy zauważą, że w przykładzie 8 już to zrobiliśmy:

Następnie zgodnie z formułą Moivre'a:

Nie daj Boże, nie musisz liczyć na kalkulator, ale w większości przypadków kąt powinien być uproszczony. Jak uprościć? Mówiąc obrazowo, musisz pozbyć się niepotrzebnych zakrętów. Jeden obrót to radiany lub 360 stopni. Dowiedzmy się, ile zwojów mamy w kłótni. Dla wygody robimy ułamek poprawny:, po czym wyraźnie widać, że można odjąć jeden obrót:. Mam nadzieję, że wszyscy rozumieją, że są pod tym samym kątem.

Tak więc ostateczna odpowiedź zostanie napisana tak:

Odrębnym rodzajem problemu potęgowania jest potęgowanie liczb czysto urojonych.

Przykład 12

Podnieś liczby zespolone do potęgi ,,

Tutaj też wszystko jest proste, najważniejsze jest zapamiętanie słynnej równości.

Jeśli jednostka urojona zostanie podniesiona do równej potęgi, technika rozwiązania jest następująca:

Jeśli wyimaginowana jednostka zostanie podniesiona do nieparzystej mocy, wtedy „uszczypniemy” jedno „i”, uzyskując moc parzystą:

Jeśli występuje minus (lub dowolny poprawny współczynnik), należy go najpierw oddzielić:

Wyodrębnianie pierwiastków z liczb zespolonych. Równanie kwadratowe o złożonych pierwiastkach

Rozważmy przykład:

Nie możesz wydobyć korzenia? Jeśli mówimy o liczbach rzeczywistych, to naprawdę jest to niemożliwe. W liczbach zespolonych możesz wyodrębnić pierwiastek! Albo raczej, dwaźródło:

Czy znalezione korzenie naprawdę są rozwiązaniem równania? Sprawdźmy:

I właśnie to wymagało weryfikacji.

Często stosuje się notację skróconą, oba rdzenie są zapisane w jednym wierszu pod "jeden grzebień":.

Takie korzenie są również nazywane sprzężone złożone korzenie.

Myślę, że każdy rozumie, jak wyodrębnić pierwiastki kwadratowe z liczb ujemnych: ,,, itd. Okazuje się, że we wszystkich przypadkach dwa sprzężone złożone korzenie.

Przykład 13

Rozwiąż równanie kwadratowe

Obliczmy wyróżnik:

Wyróżnik jest ujemny, a równanie nie ma rozwiązania w liczbach rzeczywistych. Ale pierwiastek można wyodrębnić w liczbach zespolonych!

Według znanych wzorów szkolnych otrzymujemy dwa pierwiastki: - sprzężone złożone pierwiastki

Zatem równanie ma dwa sprzężone złożone pierwiastki :,

Teraz możesz rozwiązać dowolne równanie kwadratowe!

Ogólnie rzecz biorąc, każde równanie z wielomianem „n-tego” stopnia ma równe pierwiastki, z których niektóre mogą być złożone.

Prosty przykład rozwiązania „zrób to sam”:

Przykład 14

Znajdź pierwiastki równania i podziel na czynniki dwumian kwadratowy.

Rozkład na czynniki przeprowadza się ponownie według standardowej formuły szkolnej.