Twierdzenie absorpcji napisane w dwóch formach - rozłączne i

odpowiednio spójne:

A + AB \u003d A (16)

A (A + C) \u003d A (17)

Udowodni, że pierwszy twierdzenie. Przynieśmy list A do nawiasów:

ALE + Ab \u003d a (1 + b)

Według twierdzenia (3) 1 + W \u003d. 1

A (1 + c) \u003d a 1 \u003d a

Udowodnić drugiego twierdzenia, ujawnij wsporniki:

A (A + C) \u003d A + A + AV \u003d A + AV

Okazało się wyrazem, tylko udowodnione.

Rozważ kilka przykładów na stosowaniu twierdzenia absorpcji, gdy

uprość formuły boolowskie.

Twierdzenie klejenia ma również dwie formy - rozłączne i

łączący:

Udowodni, że pierwszy twierdzenie:

ponieważ zgodnie z twierdzeniami (5) i (4)

Aby udowodnić drugie twierdzenie, otwarte wsporniki:

Według Twierdzenia (6) Dlatego:

Przez twierdzenie o absorpcji (16) A + av \u003d a

Twierdzenie absorpcji, jak również twierdzenie klejenia, jest stosowany, gdy uprościży

wzbuły boolowskie, na przykład:

Twierdzenie de Morgana. Wiąże wszystkie trzy podstawowe operacje boolean algebry

Rozłączanie, koniunkcja i inwersja:

Pierwszy twierdzenie jest taki czytany: Inwersja koniunkcji jest rozłączenie

inwersje. Po drugie: odwrócenie dysji jest koniunkcją inwersji. Możesz udowodnić twierdzeń Morgan za pomocą tabel prawdy dla lewej i odpowiednich części.

Theore De Morgana ma również zastosowanie do większej liczby zmiennych:

Wykład 5.

Odwracając kompleksowe wyrażenia

Twierdzenie de Morgan ma zastosowanie nie tylko do indywidualnych koniunkcji

lub rozłączanie, ale także do bardziej złożonych wyrażeń.

Znajdujemy odwrócenie wyrażenia AV + CD. , przedstawiony w formie rozdzierania koniunkcji. Inverting zostanie uznany za zakończony, jeśli oznaki kosztów zaprzeczenia tylko nad zmiennymi. Wprowadzamy notację: Av \u003d x;

Cd \u003d y,następnie

Znajdziemy i zastąpimy wyrażenie (22):

W ten sposób:

Rozważ wyrażenie przedstawione w formie spójności:

(A + B) (C + D)

Znajdź jego inwersję w formularzu

Wprowadzamy notację: A + b \u003d x; C + D \u003d Y,następnie

Znajdź i zastępuj je w wyrażeniu

W ten sposób:

Podczas odwracania złożonych wyrażeń można użyć następującej reguły. Aby znaleźć inwersję, konieczne jest zastąpienie oznak połączenia, który ma zostać zastąpiony oznaki rozłączenia, a oznaki dysjencji są oznaki koniunkcji i umieszczania inwersji na każdą zmienną:

Pojęcie funkcji mleka

Wogólna funkcja przypadku (Lat. Funkcjonowanie - Wykonanie, zgodność,

wyświetlacz) jest jakąś zasadę (ustawa), zgodnie z którym każdy element zestawu X. reprezentujący obszar niezależnych wartości zmiennych x, Umieść zgodność z określonym elementem zestawu FA,

w którym obszar wartości zmiennej zależnej rozumie się fA. . W przypadku funkcji boolowskich X \u003d F. \u003d (0,1). Reguła, z którą określono funkcję, każda formuła boolowska może służyć, na przykład:

Symbol fA. tutaj wskazana jest funkcja, a także argumenty A, W, s,zmienna binarna.

Argumenty są zmiennymi niezależnymi, mogą podjąć dowolne wartości - albo 0, albo 1. funkcja fA. - zmienna zależna. Jego wartość jest w pełni określona przez wartości zmiennych i połączeń logicznych między nimi.

Główną cechą funkcji: określenie jego wartości, w ogólnym przypadku konieczne jest poznanie wartości wszystkich argumentów, z których zależy. Na przykład powyższa funkcja zależy od trzech argumentów A, B, S.Jeśli weźmiesz a \u003d 1, dostajemy

tj. Okazało się nową ekspresję, nie równą zero, ani

jedność. Aresztować W\u003d 1. Następnie.

i. W tym przypadku nie wiadomo, co jest równe funkcji, zero lub jednostce.

W końcu weźmy Z\u003d 0. Następnie dostajemy: fA. = 0. Tak więc, jeśli w początkowej ekspresji, weź a \u003d 1, W= 1, Z = 0, funkcja zajmie wartość zerowej: f \u003d. 0.

Rozważać koncepcja zestawu wartości zmiennych .

Jeśli wszystkie argumenty, na których zależą funkcję, niektóre wartości są przypisane, mówią o zestawie wartości argumentów, które mogą być

zadzwoń tylko zestawem. Zestaw wartości argumentów jest sekwencja zer i jednostek, na przykład 110, gdzie pierwsza cyfra odpowiada pierwszym argumentowi, drugi - druga i trzeci jest trzecim. Oczywiście konieczne jest zgodzić się z wyprzedzeniem, co pierwszy, drugi lub zezwala na piąty argument. Aby to zrobić, wygodnie użyć alfabetycznej lokalizacji liter.

Na przykład, jeśli

następnie według alfabetu łacińskiego pierwszy to argument R, druga -

Q,trzeci - X. czwarty - W. Następnie na zestawach wartości argumentów jest łatwy

znajdź wartość funkcji. Niech, na przykład, biorąc pod uwagę zestaw 1001. Według niego

rekordy, tj. W zestawie 1001 określona funkcja jest równa jedna.

Po raz kolejny zauważamy, że zestaw wartości argumentów jest całość

zer i jednostki. Liczby binarne są również zestawami zer i jednostek.

Stąd pojawia się pytanie - czy zestawy nie są uważane za binarne

liczby? Jest to możliwe, aw wielu przypadkach jest bardzo wygodne, zwłaszcza jeśli binarne

numer jest tłumaczony na system dziesiętny. Na przykład, jeśli

A \u003d 0, B \u003d 1, C \u003d 1, RE. = 0,

0 * 2 3 +1 * 2 2 +1 * 2 1 +0 * 2 0 = 4+2 = 6

tj. Określony zestaw ma numer 6 w systemie dziesiętnym.

Jeśli liczba dziesiętna jest wymagana do znalezienia wartości argumentów,

wchodzimy w odwrotnej kolejności: Po pierwsze, liczba dziesiętna jest przetłumaczona na binarna, to te czytają tyle zerów w lewo, aby łączna liczba wyładowań była równa liczbie argumentów, po których znajdują wartości argumentów.

Niech na przykład konieczne jest znalezienie wartości argumentów A, W, s, d, e, filość z numerem 23. Przekładamy numer 23 do systemu binarnego metodą

podział na dwa:

W rezultacie otrzymujemy 23 10 \u003d 10111 2. Jest to pięciocyfrowa i całkowita liczba

argumenty sześć, w lewo konieczne jest zapisanie jednego zera:

23 10 \u003d 010111 2. Stąd znajdziemy:

A \u003d 0, B \u003d 1, C \u003d 0, D \u003d 1, E \u003d 1, F \u003d 1.

Ile zestawów istnieje, jeśli numer jest znany p. argumenty? Oczywiście, tyle, ile istnieje n-rozładowywanie liczb binarnych, tj. 2 n

Wykład 6.

Ustaw funkcję byka

Jednym ze sposobów, w jaki już znamy. Jest to analityczne, tj. W postaci wyrażenia matematycznego przy użyciu zmiennych binarnych i operacji logicznych. Oprócz niego istnieją inne sposoby, z których najważniejsze jest tabelary. Tabela zawiera wszystkie możliwe zestawy wartości argumentów i dla każdego wybierania wskazuje wartość funkcji. Taka tabela nazywa się dopasowanym stołem (prawda).

Na przykładzie funkcji

dowiedz się, jak zbudować tabelę zgodności.

Funkcja zależy od trzech argumentów A, B, S. Dlatego w tabeli

zapewniamy trzy kolumny na argumenty A, B, C i jedną kolumnę dla wartości funkcji F. Po lewej stronie kolumny, ale przydatne jest umieszczenie innej kolumny. W nim rejestrujemy liczby dziesiętne, które odpowiadają zestawom, jeśli są one uważane za trzy-bitowe liczby binarne. Ten dziesiętny

kolumna jest wprowadzana do wygody pracy ze stołem, w zasadzie, w zasadzie,

można go pominąć.

Wypełnij stół. W linii z liczbą zarejestrowanego LLC:

A \u003d b \u003d c \u003d0.

Określ wartość funkcji na tym zestawie:

W kolumnie F napisz zero w rzędzie z zestawem 000.

Następny zestaw: 001, t. mi. a \u003d b \u003d 0, C \u003d 1. Znajdź funkcję

na tym zestawie:

W zestawie 001 funkcja jest zatem 1, w kolumnie F w ciągu

numer 001 jest napisany przez jednego.

Podobnie oblicz wartości funkcji na wszystkich innych zestawach i

wypełnij całą tabelę.

Skojarzenie

x 1 (x 2 x 3) \u003d (x 1 x 2) x 3;

x 1 ú (x 2 ú x 3) \u003d (x 1 Ú x 2) Ú x 3.

Komustyfikacja

x 1 x 2 \u003d x 2 x 1

x 1 ú x 2 \u003d x 2 Ú x 1

Dystrybucja koniunkcji w stosunku do rozłączenia

x 1 (x 2 ú x 3) \u003d x 1 x 2 Ú x 1 x 3.

Dystrybucja rozłączenia w stosunku do koniunkcji

x 1 Ú (x 2 x 3) \u003d (x 1 Ú) 2) × (x 1 Ú). *

Idmpotency (tautologia)

Dwa razy nie

Stała właściwości

x & 1 \u003d x; (Universal Set Laws)

x & 0 \u003d 0; (Ustawy zerowego zestawu)

Zasady (prawa) de Morgana

Prawo sprzeczności (opcjonalnie)

Prawo wyjątku trzeciego (opcjonalne)

Dowody wszystkich tych formuł banalnych. Jedną z opcji jest budowa tabel prawdy z lewą i prawą częścią i ich porównaniem.

Zasady klejenia

Klulowa reguła dla podstawowych spójności wynika z prawa dystrybucyjnego, prawa komplementowalności i ustawa Uniwersalnego zestawu: rozłączanie dwóch sąsiednich koniunkcji można zastąpić elementarnym koniunkcją, która jest całkowitą częścią koniunktury społecznej .

Zasada klejenia dla podstawowych kwot wynika z prawa dystrybucyjnego drugiego rodzaju, prawo komplementarności i prawa zestawu zerowego: połączenie dwóch sąsiednich rozrzutów można zastąpić jednym elementarnym rozłączeniem, co jest całkowitą częścią rozłączenia technicznego .

Reguła absorpcji

Zasada absorpcji sumy dwóch elementów elementarnych wynika z prawa dystrybucyjnego pierwszego rodzaju i prawa Uniwersalnego zestawu: rozłączanie dwóch elementów koniunkcyjnych, z których jedna jest integralną częścią drugiej, można zastąpić koniunkcją, która ma liczbę operandów .

Zasada absorpcji w dziedzinie kwot podstawowych wynika z prawa dystrybucyjnego drugiego rodzaju i ustawy zerowego zestawu: połączenie dwóch dysjunkcji podstawowych, z których jedna jest integralną częścią drugiej, można zastąpić rozłączeniem elementarnym z mniejszą liczbą operandów.

Reguła wdrażania

Ta reguła określa odwrotny efekt klejenia.

Zasada wdrożenia podstawowej pracy do logicznej ilości podstawowych dzieł większa rangi (w limicie do R \u003d N, tj. Do składnika jednostki, jak będzie traktowane poniżej) wynika z przepisów ustawień Uniwersalnego, Prawo dystrybucji pierwszego rzędu i jest produkowany w trzech etapach:

W rozkładanym elementarnym produkcie rangi R wprowadzono jako fabryczne jednostki N-R, gdzie składniki N-Rank urządzenia;

Każda jednostka zastępuje logiczną sumę niektórych niedostępnych w początkowym elementarnym produkcie zmiennej i jej zaprzeczenia: x I V. `x I. = 1;

Ujawnienie wszystkich wsporników na podstawie prawa dystrybucyjnego pierwszego rodzaju, co prowadzi do wdrażania początkowego elementu elementarnego rangi R do logicznej sumy 2 N-R składnika urządzenia.

Zasada ujawniania produktu elementarnego jest używana do zminimalizowania funkcji logiki algebry (FAL).

Zasada wdrażania podstawowej sumy rangi R do pracy podstawowych kwot rangi N (składnik zerowy) następuje ich przepisy ustawy zerowej (6) i prawa dystrybucyjnego wtórnego (14) i produkowane w trzech etapach:

W rozmieszczonej ilości rangi R, N-R Zer są wstrzykiwane jako terminy;

Każdy zero jest reprezentowany jako logiczny produkt niektórych, niedostępnych w początkowej ilości zmiennej i jej zaprzeczenia: x I.·` x I. = 0;

Uzyskane wyrażenie przekształca się na podstawie prawa dystrybucyjnego drugiego typu (14) w taki sposób, że początkową ilość rangi R obróci się do logicznego produktu 2 N-R składnika zera.

16. Połączenie pełnego systemu. Przykłady kompletnych systemów (z dowodem)

Definicja. Zestaw funkcji logiki algebry A nazywany jest pełnym systemem (w P2), jeśli jakakolwiek funkcja algebry logiki można wyrazić według wzoru nad A.

System funkcji A \u003d ( F 1, F 1, ..., F M ), który jest kompletny, zwany podstawa.

Minimalna podstawa nazywana jest taką podstawą, dla której usunięcie co najmniej jednej funkcji f 1. Tworzenie tej podstawy zmienia system funkcji (F 1, F 1, ..., f m) W niekompletnym.

Twierdzenie. System A \u003d (∨, i) jest kompletny.

Dowód. Jeśli funkcja logiki algebry f różni się od identycznego zero, f wyraża się w postaci doskonałej rozłącznej formularza normalnego, który obejmuje tylko rozłączanie, koniunkcję i odmowę. Jeśli f ≡ 0, a następnie f \u003d x & x. Twierdzenie jest udowodnione.

Lemat. Jeśli system A jest kompletny, a dowolna funkcja systemu A może być wyrażona o wzorze za pomocą innego systemu B, a następnie B jest również kompletnym systemem.

Dowód. Rozważmy dowolną funkcję logiki algebry f (x 1, ..., xn) i dwa systemy funkcji: A \u003d (G 1, G2, ...) i B \u003d (H 1, H 2, .. .). Ze względu na fakt, że system A jest pełny, funkcja F może być wyrażona jako formuła powyżej:

f (x 1, ..., x n) \u003d ℑ

gdzie g i \u003d ℜ ja

oznacza to, że funkcja f jest reprezentowana jako

f (x 1, ..., x n) \u003d ℑ [ℜ1, ℜ2, ...]

innymi słowy, może być reprezentowany przez wzór nad B. W ten sposób wszystkie funkcje algebry logiki, otrzymujemy również, że system B jest również pełny. Udowodniono Lemat.

Twierdzenie. Następujące systemy są kompletne w P 2:

4) (& ⊕, 1) podstawa Zhegalkina.

Dowód.

1) Znany (twierdzenie 3), że system A \u003d (& V) jest pełny. Pokazujemy, że system jest b \u003d (v,. Rzeczywiście, z prawa De Morgana (X & Y) \u003d (x ∨ Y) otrzymujemy, że X & Y \u003d (x ∨ Y), to znaczy koniunkcja jest wyrażona Poprzez rozłączenie i zaprzeczenie, a wszystkie funkcje systemu A są wyrażone przez wzory na system B. Według Lematu B jest pełny.

2) Podobnie do klauzuli 1: (x ∨ y) \u003d x & y ⇔ x ∨ y \u003d (X & Y) i z LEMMA 2 wynika z prawdziwego stwierdzenia według zastrzeżenia 2.

3) x | y \u003d (x & y), x | x \u003d x; x & y \u003d (x | y) \u003d (x | y) | (x | y) i zgodnie z LEMMA 2, system jest pełny.

4) X \u003d X ⊕1 i zgodnie z LEMMA 2, system jest pełny.

Twierdzenie jest udowodnione.

17. Algebra Zhegalkin. Właściwości operacji i pełni

Wezwał wiele funkcji boolowskich określonych w Zhegalkin S4 \u003d (⊕, i 1) algebra zhegalkina..

Właściwości podstawowe.

1. komustyfikacja

h1⊕H2 \u003d H2⊕H1 H1 & H2 \u003d H2 & H1

2. skojarzenie

h1⊕ (H2⊕H3) \u003d (H1⊕H2) ⊕H3 H1 & (H2 & H3) \u003d (H1 & H2) & H3

3. dystrybucja

h1 & (H2⊕H3) \u003d (H1 & H2) ⊕ (H1 i H3)

4. stała właściwości

5. h⊕h \u003d 0 h & h \u003d h
Komunikat. Operacje, Zhegalkin Algebra można wyrazić wszystkie inne funkcje boolowskie:

x → y \u003d 1⊕x⊕xy

x ↓ y \u003d 1⊕x⊕y⊕xy

18. Zhegalkina Polina. Metody konstrukcyjne. Przykład.

Wielomian Zhegalkina (moduł wielomianowy 2) z n. Zmienne x 1, x 2 ... x n nazywa się wyrazem formularza:

c 0 ⊕c 1 x 1 ⊕c 2 x 2 ⊕ ... ⊕c n x n ⊕c 12 x 1 x 2 ⊕ ... ⊕c 12 ... n x 1 x 2 ... x n,

gdzie stały C K może podjąć wartości 0, czy 1.

Jeśli wielomian Zhegalkina nie zawiera dzieł indywidualnych zmiennych, nazywa się to liniową (funkcja liniowa).

Na przykład F \u003d X⊕yz⊕xyz i F 1 \u003d 1⊕x⊕y⊕z - wielomianów, a druga jest funkcją liniową.

Twierdzenie. Każda funkcja boolowska jest reprezentowana jako wielomian zhegalkin.

Przedstawiamy główne metody budowy wielomianów Zhegalkin z określonej funkcji.

1. Metoda niepewnych współczynników. Niech p (x 1, x 2 ... x n) będzie pożądanym wielomianem Zhegalkin, który realizuje określoną funkcję F (x 1, x 2 ... x N). Piszemy to w formie

P \u003d c 0 ⊕c 1 x 1 ⊕c 2 x 2 ⊕ ... ⊕c n x n ⊕c 12 x 1 x 2 ⊕ ... ⊕c 12 ... n x 1 x 2 ... x n

Znajdź współczynniki c k. Aby to zrobić, konsekwentnie podaj zmienną x 1, x 2 ... x n wartości z każdego wiersza tabeli prawdy. W rezultacie otrzymujemy system 2 N równania z 2 N przez nieznany, mający jedno rozwiązanie. Po podjęciu decyzji, znajdziemy współczynniki wielomicznego p (x 1, x 2 ... x n).

2. Metoda oparta na transformacji formuł nad zestawem więzadeł (i). Zbuduj jakąś formułę FA. Ponad zestawy więzadeł (i), wdrażanie tej funkcji f (x 1, x 2 ... x N). Następnie zastąpiony wszędzie specyfikacji A na A⊕1, ujawniają wsporniki, stosując prawo dystrybucyjne (patrz Właściwość 3), a następnie stosuje właściwości 4 i 5.

Przykład. Buduj wielomianowe funkcje Zhegalkin F (X, Y) \u003d X → Y

Decyzja.
1. (metoda współczynników nieokreślonych). Piszemy pożądaną wielomię w formularzu:

P \u003d c 0 ⊕c 1 x⊕c 2 y⊕c 12 xy

Korzystając z tabeli prawdy implikacji, otrzymujemy to

f (0,0) \u003d p (0,0) \u003d c 0 \u003d 1

f (0,1) \u003d p (0,1) \u003d C 0 ⊕c 2 \u003d 1

f (1.0) \u003d p (1,0) \u003d C 0 ⊕c 1 \u003d 0

f (1,1) \u003d p (1,1) \u003d C 0 ⊕C 1 ⊕C 2 ° C 12 \u003d 1

Gdzie konsekwentnie znaleźć, C 0 \u003d 1, C1 \u003d 1, C2 \u003d 0, C12 \u003d 1

W konsekwencji: x → y \u003d 1⊕x⊕xy.

2. (metoda przekształcania formuł). Mamy: x → y \u003d xvy \u003d (xy) \u003d (x (y⊕1)) ⊕1 \u003d 1⊕x⊕xy
Należy zauważyć, że zaletą Algebry Zhegalkina (w porównaniu z innymi algebrami) jest arytmetyczna logiki, która umożliwia konwersję funkcji boolowskich jest dość proste. Jego wadą w porównaniu z algebrą Boolean jest nieporęczny formuł.

Podobne informacje.

Formuły i prawa logiki

Na lekcji wprowadzającej poświęconej podstawy logiki matematycznejZapoznaliśmy się z podstawowymi pojęciami tej części matematyki, a teraz temat ma naturalną kontynuację. Oprócz nowych teoretycznych lub raczej zadania praktycznych oczekuje się, że nie ma nawet materiału teoretycznego, a zatem, jeśli wprowadziłeś tę stronę z wyszukiwarki i / lub słabo zorientowany w materiale, a następnie przejdź na powyższy link i zacznij od poprzedniego artykułu. Ponadto do praktyki będziemy potrzebować 5 smaki prawdy operacje logikiże jestem wysoce zalecane przepisać.

Nie pamiętaj, nie drukuj, a mianowicie ponownie, aby odzwierciedlić i osobiście przepisywać na papierze - aby były przed naszymi oczami:

- Tabela nie;
- stół i;
- stół lub;
- Tabela implikacji;
- Stół równoważności.

To jest bardzo ważne. Zasadniczo będą wygodnie kontynuować "Tabela 1", "Tabela 2" itp.Ale wielokrotnie podkreślałem wadę tego podejścia - jak mówią, w jednym źródle stół będzie pierwszy, a w drugim - sto pierwszy. Dlatego użyjemy nazw "naturalnych" nazw. Kontynuujemy:

W rzeczywistości, z koncepcją formuły logicznej jesteś już znany. Dam standard, ale dość dowcipny definicja: formuły Oświadczenie algebr są nazywane:

1) Wszelkie elementy podstawowe (proste) stwierdzenia;

2) Jeśli oba formuły, wówczas wzory są również wyrażaniem formularza
.

Nie ma innych formuł.

W szczególności formuła jest dowolną logalną obsługą, taką jak mnożenie logiczne. Zwróć uwagę na drugi punkt - pozwala rekurencyjny Jak "stworzyć" arbitralnie długą formułę. ISOFAR AS. - formuły, a następnie - również formuła; Ponieważ obie - formuły, - Również formuła itp. Każde oświadczenie podstawowe (ponownie zgodnie z definicją) Może powtórzyć formułę.

Formuła nie Jest na przykład nagranie - i oto jest widoczna analogia z "Algebraic śmieci", z której nie jest jasne - czy liczby muszą być złożone lub pomnożone.

Formuła logiczna może być oglądana jako funkcja logiczna. Piszemy w funkcjonalnej formie tego samego koniunkcji:

Podstawowe oświadczenia i w tym przypadku odgrywają rolę argumentów (zmiennych niezależnych), które w klasycznej logiki może zająć 2 wartości: prawdziwe lub fałszywe. Dalej dla wygody czasami nazywam proste wypowiedzi zmienne.

Tabela opisująca formułę logiczną (funkcja) jest wywoływana, jak już został dźwięczny, tytuł tytułu. Proszę - znajomy obrazek:

Zasada tworzenia stołu prawdy: "Na wlocie" musisz wymienić wszystkie możliwe kombinacje Prawdy i kłamstwa mogą przyjmować oświadczenia podstawowe (argumenty). W tym przypadku formuła zawiera dwa stwierdzenia i łatwo jest dowiedzieć się, że cztery z tych kombinacji są cztery. "Na wyjście" uzyskujemy odpowiednie wartości logiczne całego wzoru (funkcja).

Muszę powiedzieć, że "wyjście" okazało się tutaj "w jednym kroku", ale ogólnie, formuła logiczna jest bardziej złożona. W takich trudnych przypadkach należy przestrzegać procedura wykonania operacji logicznych:

- przede wszystkim zaprzeczenia;
- w drugim miejscu - koniunkcja;
- Następnie - rozłączanie;
- Wtedy implikacja;
- I wreszcie najniższy priorytet ma równoważność.

Na przykład rekord oznacza, że \u200b\u200bnajpierw musisz przeprowadzić mnożenie logiczne, a następnie - logiczne dodawanie :. Tak jak w "Normalnej" Algebra - "Po pierwsze, mnożymy, a następnie składamy".

Procedurę można zmienić za pomocą zwykłej metody - wsporniki:
- Tutaj, przede wszystkim wykonywane są dysjencje i tylko wtedy "silna" operacja.

Prawdopodobnie wszyscy rozumieją, ale dla każdego pożaru: i to dwa różne Formuły! (zarówno w formalnym, jak iw znaczącym planie)

Zrób stół prawdy do formuły. Ta formuła zawiera dwa elementy podstawowe i "przy wejściu" musimy wymienić wszystkie możliwe kombinacje jednostek i zer. Aby uniknąć zamieszania i rozbieżności, aby wyrazić zgodę na kombinacje listy ściśle w tej kolejności (co faktycznie używam de facto od samego początku):

Formuła zawiera dwie operacje logiczne i według ich priorytetu, należy przedstawić przede wszystkim przede wszystkim negacja sprawozdania. Cóż, zaprzeczymy kolumnę "PE" - jednostki konwertowane na zeros i zer - w jednostkach:

W drugim kroku patrzymy na kolumny i stosujemy się do nich operacja Or.. Trochę bliżej naprzód, powiem, że rozłączenie jest perlustowalne (i jest to samo)Dlatego kolumny mogą być analizowane w zwykły sposób - od lewej do prawej. Podczas wykonywania logicznego dodatku wygodnie jest użyć następującego zastosowanego argumentu: "Jeśli dwa zero - umieścić zero, jeśli przynajmniej jedna jednostka jest jedna":

Zbudowany jest tabela prawdy. A teraz pamiętajmy o starym implikacji:

... uważnie starannie ... Patrzymy na ostatnie kolumny .... W oświadczeniu nazywane są takie formuły równowartość lub identyczny:

(Trzy poziome zrzuty ekranu to ikona tożsamości)

W pierwszej części lekcji obiecałem wyrazić implikację poprzez podstawowe operacje logiczne, a obietnica nie sprawiła, że \u200b\u200bchodzi o czekanie! Ci, którzy życzą, mogą inwestować w implikację znaczące znaczenie (na przykład "Jeśli pada deszcz, ulica jest surowa") I niezależnie przeanalizuj równoważne oświadczenie.

Formułować ogólna definicja: Nazywane są dwa formuły odpowiednik (identyczny)Jeśli przyjmują te same wartości dla dowolnego zestawu wartości zawartych w tych wzorach zmiennych (Instrukcje podstawowe). Również tak mówią "Wzory są równoważne, jeśli ich stoły prawdy pokrywa się"Ale tak naprawdę nie lubię tego frazy.

Ćwiczenie 1.

Zrób tabelę prawdy do formuły i upewnij się, że tożsamość znana dla ciebie.

Po raz kolejny powtarzamy problem rozwiązania problemu:

1) Ponieważ formuła zawiera dwie zmienne, będzie 4 możliwe zestawy zer i jednostek. Piszemy je w powyższym zamówieniu.

2) implikacje "słabsze" koniunkcja, ale znajdują się w nawiasach. Wypełnij kolumnę, podczas gdy wygodne jest użycie poniższego argumentu zastosowanego: "Jeśli zero wynika z urządzenia, a następnie umieść zero, we wszystkich innych przypadkach - jednostka". Następnie wypełnij kolumnę na implikację, a jednocześnie, uwaga! - kolumny i należy analizować "prawo do lewej"!

3) I na końcowym etapie wypełnij ostatnią kolumnę. I tutaj wygodnie jest mówić: "Jeśli w kolumnach i dwóch jednostkach, umieść jednostkę we wszystkich innych przypadkach - zero".

I wreszcie rysujemy z tabelą prawdy odpowiedniki .

Podstawowe stwierdzenia algebra równoważności

Z dwoma z nich się spotkaliśmy, ale są jasne, nie ograniczone. Tożsamości są bardzo dużo i wymieniam najważniejsze i najbardziej znane z nich:

Commutativity i przełączalność rozcieńczenia

Komustyfikacja - To jest permutacja:

Zaznajomiony z zasadami pierwszej klasy: "Z permutacji mnożników (warunki), praca (kwota) nie zmieni się". Ale ze wszystkimi pozorną elementalnością tej nieruchomości nie zawsze jest sprawiedliwe, w szczególności niezgodne maplication Matrix. (Ogólnie rzecz biorąc, nie można ich zmienić), ale wektor wektory grafiki. - Anti-Commutive (permutacja wektorów obejmuje zmianę znaku).

Ponadto, tutaj chcę podkreślić formalizm logiki matematycznej. Tak więc na przykład frazy "Uczeń minął egzamin i pili" i "Uczeń pił i zdał egzamin" Różni się od znaczącego punktu widzenia, ale nie do odróżnienia z punktu widzenia formalnej prawdy. ... Taki uczniowie znają każdy z nas, a ze względów etycznych nie będziemy głosami określonymi nazwami \u003d)

Skojaństwo logicznych mnożenia i dodawania

Lub, jeśli "szkoła" jest obiektem kombinacyjnym:

Dystrybucja właściwości

Należy pamiętać, że w drugim przypadku błędna będzie mówić o "ujawnianiu nawiasów", w pewnym sensie tutaj "fiction" - w końcu można je usunąć:, ponieważ Mnożenie jest silniejszą obsługą.

I znowu - te pozornie "banalne" właściwości przeprowadzane są daleko od wszystkich systemów algebraicznych, wymagają one dowodów (o czym wkrótce porozmawiamy). Nawiasem mówiąc, drugie prawo dystrybucyjne jest nieuczciwe nawet w naszej "zwykłej" algebrze. W rzeczywistości:

Idempotencja prawa

Co robić, łaciński ....

Bezpośrednio jakaś zasada zdrowej psychiki: "ja i ja jestem ja", "ja lub jestem - to także ja" \u003d)

I natychmiast niektóre podobne tożsamości:

... Hmm, coś, co nawet Podzavis ... więc lekarz filozofii może się bać jutro \u003d)

Podwójne prawo odmowy

Cóż, tutaj sugeruje już przykład z językiem rosyjskim - wszyscy wiedzą, że dwie cząstki nie oznaczają "tak". I w celu wzmocnienia emocjonalnego koloru negacji często używaj trzech "nie":
- Nawet z małym dowodem okazał się!

Przepisy dotyczące absorpcji

- "Czy był chłopak?" \u003d)

W prawej tożsamości wsporniki można pominąć.

Prawa de Morgana.

Załóżmy, że ścisły nauczyciel (czyjej znany również nazwę :)) stawia egzamin, jeśli - Student odpowiedział na pierwsze pytanie i – Student odpowiedział na drugie pytanie. Wtedy oświadczenie mówi Student nie Zdał egzaminbędzie równoważny oświadczeniu - Student nie odpowiedział na pierwszy pytanie lub Na drugim pytaniu.

Jak wspomniano powyżej, równoważność podlega dowodom, co jest standardowo przeprowadzane przy użyciu tabel prawdy. W rzeczywistości udowodniliśmy już, wyrażając implikację i równoważność, a teraz nadszedł czas, aby skonsolidować technikę rozwiązania tego zadania.

Udowodnamy tożsamość. Ponieważ zawiera jedno stwierdzenie, a następnie "przy wejściu" jest możliwe tylko dwie opcje: jeden lub zero. Następnie przypisujesz jedną kolumnę i dotyczy ich rządzić I.:

W rezultacie formuła została uzyskana "na wyjściu", której prawda zbiega się z prawdą oświadczenia. Dowody są udowodnione.

Tak, ten dowód jest prymitywny (I ktoś powie i "głupi")Ale typowy nauczyciel w Matlogic rozprzestrzenie dla niego duszę. Dlatego nawet takie proste rzeczy nie powinny być znikome.

Teraz będziesz przekonany, na przykład, w sprawiedliwości prawa de Morgana.

Po pierwsze, zrobimy stół prawdy po lewej stronie. Ponieważ rozłączenie jest w nawiasach, po pierwsze, przenoszę go, po czym odmówię kolumny:

Następnie zrobić stół prawdy po prawej stronie. Tutaj też wszystko jest przezroczyste - przede wszystkim posiadamy więcej "silnych" zaprzeczeń, a następnie stosować się do kolumn rządzić I.:

Wyniki zbiegły się zatem tożsamość udowodniona.

Wszelkie wykonanie mogą być reprezentowane jako identycznie prawdziwa formuła . To znaczy, że Z dowolnym zestawem źródłowi zer i jednostek "Na wyjściu" Okazuje się ściśle jednostkę. I jest to bardzo proste wyjaśnienie: Od stołów prawdy i zbiegły, oczywiście, są one równoważne. Połączenia, na przykład, równoważność lewej i prawej części tylko sprawdzonej tożsamości de Morgana:

Lub, jeśli bardziej kompaktowy:

Zadanie 2.

Udowodnij następującą równoważność:

b)

Podsumowanie na końcu lekcji. Nie leniwy! Spróbuj nie łatwo robić stoły prawdy, ale także wyraźnie Sformułować wnioski. Kiedy ostatnio zauważyłem, zaniedbanie prostych rzeczy może zrobić bardzo i bardzo drogie!

Nadal zapoznamy się z prawami logiki!

Tak, całkiem dobrze - już z nimi współpracujemy:

Prawdziwe dla , nazywa identycznie prawdziwa formuła lub prawo logiki.

Na mocy wcześniej rozsądnej przejścia z równowagi na identycznie prawdziwą formułę, wszystkie powyższe tożsamości to prawa logiki.

Formuła, która ma wartość Fałszywedla wszelkie zestaw wartości zmiennych w nim, nazywa identycznie fałszywa formuła lub sprzeciwiać się.

Kormature Przykład sprzeczności ze starożytnych Greków:
- Żadne oświadczenie może być prawdziwe i fałszywe w tym samym czasie.

Odporna trywialna:

"Na wyjściu" uzyskano wyłącznie zeros, dlatego formuła jest naprawdę tożsamość jest fałszywa.

Jednak każda sprzeczność jest również prawem logiki, w szczególności:

Nie można argumentować takiego obszernego tematu w jednym artykule, dlatego ograniczę tylko kilka przepisów:

Prawo wykluczonego trzeciego

- W klasycznej logiki każde oświadczenie jest naprawdę lub fałszywe, a trzecia nie jest podana. "Być albo nie być" - to jest pytanie.

Niezależnie wykonaj znak prawdy i upewnij się, że jest identycznie prawdziwe formuła.

Prawo kontrapozycji

Prawo to zostało aktywnie martwione, gdy omówiliśmy istotę. wymagany stan, Zapamiętaj: "Jeśli podczas deszczu na ulicy, wynika z tego, jeśli jest sucha na ulicy, a następnie deszcz był zdecydowanie".

Również wynika z tego prawa, że \u200b\u200bjeśli tylko prosto twierdzenie , koniecznie będzie prawdziwe i stwierdzenie, które czasami nazywane naprzeciwko Twierdzenie.

Jeśli prawda odwrotność twierdzenie, a następnie ze względu na prawo kontrapozycji i twierdzenia, przeciwny odwrotny:

Iz powrotem do naszych znaczących przykładów: dla stwierdzeń - liczba jest podzielona na 4, - liczba jest podzielona na 2 Targi prosto i naprzeciwko theoremowie, ale fałszywe odwrotność i przeciwny odwrotny Teoremy. W przypadku formułowania "dorosłego" twierdzenia Pitagore wszystkie 4 "kierunki" są prawdziwe.

Prawo śniegowskie

Również klasyczny gatunek: "Wszystkie dęby - drzewa, wszystkie drzewa - Dlatego wszystkie dęby - rośliny".

Cóż, znowu, znowu, chcę zauważyć formalizm logiki matematycznej: jeśli nasz ścisły nauczyciel uważa, że \u200b\u200bpewien student jest dymem, a następnie z formalnego punktu widzenia, ten student jest zdecydowanie rośliną \u003d) ... chociaż, jeśli myślisz, a może z nieformalnym \u003d)

Zrób stół prawdy do formuły. Zgodnie z priorytetem operacji logicznych przylegają do następnego algorytmu:

1) Wykonaj implikacje i. Ogólnie rzecz biorąc, można natychmiast spełnić trzykrotne implikacje, ale jest to wygodniejsze (I dopuszczalne!) uporządkować trochę później;

2) Zastosuj do kolumn rządzić I.;

3) Teraz przeprowadzamy;

4) I na ostatnim etapie używamy implikacji kolumn i.

Zapraszam do kontrolowania procesu indeksu i środkowego palec :))


Z ostatniej kolumny myślę, że wszystko jest jasne bez komentarza:
Zgodnie z wymaganiami udowodnić.

Zadanie 3.

Dowiedz się, czy prawo logiki będzie następującym wzorem:

Podsumowanie na końcu lekcji. Tak, a ja prawie zapomniałem - traktujmy początkowe zestawy zer i jednostek dokładnie w tej samej kolejności, co w dowodzie prawem slogizmu. Rzędy oczywiście możliwe jest zmianę, ale znacznie gromadzi się z moją decyzją.

Transformacja formuł logicznych

Oprócz jego "logicznego" spotkania, równoważność jest szeroko stosowana do konwersji i uproszczenia wzorów. Mniej więcej mówiąc, jedna część tożsamości może zostać zmieniona na inny. Tak więc, na przykład, jeśli spotkałeś fragment w logicznym wzorze, a następnie zgodnie z prawem idempotency, jest to możliwe (i konieczne) do pisania prostego. Jeśli widzisz, uprościć nagranie przed ustawą o absorpcji. Itp.

Ponadto istnieje kolejna ważna rzecz: tożsamości są ważne nie tylko dla oświadczeń podstawowych, ale także dla arbitralnych formuł. Na przykład:

gdzie - dowolny (arbitralnie złożony) Formuły.

Konwertujemy na przykład, złożoną implikację (1. tożsamość):

Następnie stosujemy się do wspornika "złożone" prawo de Morgana, podczas gdy przez priorytet działania, jest to prawo, w którym :

Wsporniki można usunąć, ponieważ Wewnątrz jest więcej "silnych" koniunkcji:

Cóż, a z komutatywnością wszystko jest proste - nie jest konieczne wyznaczenie czegokolwiek ... coś, co wpadłem w duszę prawa siloGizmu :))

Tak więc prawo można przepisać iw bardziej skomplikowanej formie:

Powiedzmy głośno łańcuch logiczny "z dębem, drzewem, rośliną", a zrozumiesz, że znaczące znaczenie prawa nie zmieniło się od permutacji implikacji. Czy sformułowanie stało się oryginalne.

Jako trening, ścisła formuła.

Gdzie zacząć? Przede wszystkim radzić sobie z procedurą działania: Tutaj negacja jest stosowana do całego wspornika, który jest "przymocowany" ze stwierdzeniem "lekko słabszego" połączenia. Zasadniczo mamy logiczny produkt dwóch mnożników :. Dwóch pozostałych operacji, implikacja ma niższy priorytet, a zatem cały formułą ma następującą strukturę :.

Z reguły w pierwszym kroku (kroki) pozbywają się równoważności i implikacji (Jeśli są) i zmniejsz formułę do trzech podstawowych operacji logicznych. Co tu mówisz .... Logiczny.

(1) Używamy tożsamości . I nasza sprawa.

Następnie zazwyczaj podążaj za "demontażem" z nawiasami. Po pierwsze, całe rozwiązanie, a następnie komentuje. Aby nie być "olejem olejowym", użyję "zwykłej" ikony równości:

(2) Zastosuj prawo do Morgana na zewnętrzne wsporniki, gdzie.

Rozważane operacje na zestawach podlegają niektórym przepisom, które przypominają dobrze znane podstawowe prawa numerów algebry. To określa nazwę zestaw algebry.Co jest często określane jako zestawy mleka algebry, co wiąże się z nazwą angielskiej matematyki John Bul, która położyła ideę analogii między algebrą a logiką.

Dla arbitralnych zestawów A, B i C. Wewiduj następujące tożsamości (tabela 3.1):

Tabela 3.1.

1. Prawo tożsamości
2. Wspólna komunikacja	2 '. Skrzyżowanie zobowiązania
3. Stowarzyszenie Stowarzyszenia	3 '. Skrzyganie stowarzyszenia
4. Dystrybucja stowarzyszenia w stosunku do skrzyżowania	cztery ". Dystrybucja skrzyżowania w odniesieniu do Unii
5. Prawa działania z pustymi i wszechstronna wielokrotność (Prawo wykluczało trzecią)	pięć'. Prawa działań z pustym i wszechstronna wielokrotność (Prawo sprzeczności)
6. Kombinacja prawa idmpnotation	6 '. Prawo wdrażania prawa
7. Prawo de Morgana	7 '. Prawo de Morgana.
8. Prawo eliminacji (absorpcja)	osiem'. Prawo eliminacji (absorpcja)
9. Prawo klejenia	dziewięć'. Prawo klejenia
10. Prawo Perestsky.	10 '. Prawo Perestsky.
11. Prawo inwolucji (podwójny suplement)

Ustawy zestawów algebry w odniesieniu do działalności skrzyżowania () i stowarzyszeni () podlegają zasadowi dualności: jeżeli w dowolnym prawie wszystkie znaki przecięcia zastępują znaki zjednoczenia, a wszystkie oznaki przecięcia - Znaki przecięcia, znak uniwersalny (U) zastępuje znak pusty zestaw (Ø), a pusty znak jest znakiem uniwersalnym, a następnie ponownie otrzymamy lojalną tożsamość. Na przykład (na mocy tej zasady), z następujących itp.

3.1. Sprawdzanie prawdy tożsamości za pomocą wykresów Euler-Venna

Wszystkie prawa zestawów Algebry mogą być wyraźnie prezentowane i udowodnić za pomocą wykresów Euler-Venna. Za to potrzebujesz:

Narysuj odpowiedni diagram i cień wszystkie zestawy w lewej części równości.

Narysuj kolejny diagram i rób to samo dla właściwej części równości.

Ta tożsamość jest naprawdę wtedy i tylko wtedy, gdy ten sam obszar jest zacieniony na obu diagramach.

Uwaga 3.1.Dwa przecinające się koła dzielą wszystkie uniwersalne ustawione na cztery obszary (patrz rys. 3.1)

Uwaga 3.2. Trzy przecinające się koła dzielą wszystkie uniwersalne zestaw do ośmiu regionów (patrz rys. 3.2):

Uwaga 3.2. Podczas nagrywania warunków różnych przykładów należy często używać notacji:

 - z ... następuje ...;

 - Następnie i tylko wtedy, gdy ....

Zadanie 3.1. . Uprość wyrażenia zestawów algebry:

Decyzja.

Zadanie 3 .2 . Udowodnij tożsamości:

(AV) B \u003d A;

A (VС) \u003d A (a C)  (A).

Decyzja.

Zadanie 3.3. . Udowodnij następujące proporcje na dwa sposoby: za pomocą diagramów i określając równość zestawów.

Decyzja.

2. Dowód, określając równość zestawów.

Z definicji zestawy X i Y są równe, jeśli relacje są jednocześnie zadowoleni: XY i YX.

Po pierwsze, pokazujemy to
. Zostawiać h. - arbitralny element zestawu
, tj h.
. To znaczy, że h.U I. h.
. Stąd wynika z tego h.a lub. h.. Jeśli h. h.ā, a zatem
. Gdyby h.v, T.
i dlatego
. Tak więc każdy element zestawu.
. Istnieje również zestaw wielu
To znaczy

Teraz udowodnimy odwrotnie, to znaczy
. Zostawiać
. Jeśli h.ā, T. h.U I. h.a, co oznacza h.v. Dlatego to wynika
. Gdyby
T. h.U I. h.. To znaczy h.v, to jest
. Stąd wynika z tego, że każdy element zestawu
jest również zestawem wielu
, tj
.

To znaczy
Zgodnie z wymaganiami udowodnić.

A (BC) \u003d (AB)  (AC);

1. Dowód za pomocą diagramu:

Zostawiać h. (VС). Następnie h.a I. h.вС. Jeśli h.v, T. h.v, który nie jest sprzeczny z tym, a zatem h. (AV)  (АС). Gdyby h.С do. h.ас. W związku z tym, h. (AB)  (AC). Udowodniono więc, że A (BC)  (AB)  (AC.

Aresztować h. (AB)  (AC). Jeśli h.Av, T. h.a I. h.. Dlatego to wynika h.a I. h.вС to jest h. (VС). Gdyby h.аС do. h.a I. h.c. Stąd wynika z tego h.a I. h.вС to jest h. (VС). Tak więc (AB)  (AC)  A (BC). W konsekwencji, A (BC) \u003d (AB)  (AC). co było do okazania

W przypadku dowodów na wystarczającą ilość otrzymaliśmy, że av \u003d . Oczywiście, c, więc wskaźnik okazuje się. W dowodach najbardziej ogólna sprawa została uwzględniona. Jednak nadal istnieją pewne opcje podczas budowania diagramów. Na przykład przypadek równości Av \u003d C lub
, przypadek pustego zestawu i tak dalej. Oczywiście wszystkie możliwe opcje uwzględnienia pod uwagę jest trudne. Dlatego uważa się, że dowód stosunków z pomocą diagramów nie zawsze jest poprawny.

2. Dowód, określając równość zestawów.

Konieczność. Niech av i element h.a. Pokazujemy, że w tym przypadku element zestawu A będzie również elementem zestawu
.

Rozważmy dwa przypadki: h.v Or
.

Jeśli h.v, T. h.авС to jest h.c, a w rezultacie
.

Gdyby
, że ja.
. Potwierdza się.

Aresztować
i h.v. Pokazujemy, że element h.będzie też element zestawu C.

Jeśli h.v h.a I. h.. ISOFAR AS.
Więc h.c. Dowodem jest wystarczalność.

1. Dowód za pomocą diagramu:

2. Dowód, określając równość zestawów.

Niech av. Rozważ pozycję h.v (Or
). Podobnie: h.a (Or h.ā). To znaczy każdy element zestawu istnieje również element zestawu. I może to być w przypadku
. co było do okazania

Zadanie 3.4. Wyraź symbolicznie wskazane obszary i uprościć uzyskane wyrażenia.

Decyzja.

Pożądany obszar składa się z dwóch pojedynczych części. Warunkowo nazwijmy je na górę i dołu. Zestaw, który przedstawiają, mogą być opisane w ten sposób:

M \u003d ( x. x.a I. h.b I. h.С. h.С I. h.a I. h.v).

Z definicji operacji nad zestawami otrzymujemy:

M \u003d ((av) c)  (c b).

Piszemy to wyrażenie za pomocą podstawowych operacji - dodatki, stowarzyszenie i skrzyżowanie:

Nie można uprościć tego wyrażenia, ponieważ mamy jeden wpis każdego symbolu. Jest to najprostszy widok na tę formułę.

Obszar ten można postrzegać jako związek ustawień a i avс. Z definicji m \u003d ( x. x.a I. x.b I. h.С. h.a I. h.b I. h.С). Uprość:

Zadania dla samotnych rozwiązań.

1. Uproszczać:

2. Udowodnij za pomocą schematów, ustawień ustawień algebry prawnych i definicji zestawów zestawów:

(AV) B \u003d A;

A (VС) \u003d A (A C)  (A);

Av \u003d av  a \u003d b;

A b \u003d   av \u003d A.

3. Aby dowiedzieć się, czy jest wiele x, satysfakcjonuje z dowolną równością:

Ah \u003d a; (odpowiedź );