Wzór na pochodną logarytmiczną. Pochodna funkcji

Pochodna logarytmu naturalnego x równa się jedynce podzielonej przez x:
(1) (lnx)′ =.

Pochodna logarytmu do podstawy a jest równa jedności podzielonej przez zmienną x razy logarytm naturalny a :
(2) (log x)′ =.

Dowód

Niech będzie jakaś liczba dodatnia nie równa jedynce. Rozważmy funkcję, która zależy od zmiennej x , która jest logarytmem podstawowym:
.
Ta funkcja jest zdefiniowana za pomocą . Znajdźmy jego pochodną względem x . Z definicji pochodną jest granica:
(3) .

Przekształćmy to wyrażenie, aby zredukować je do znanych właściwości i reguł matematycznych. Aby to zrobić, musimy znać następujące fakty:
A) Własności logarytmu. Potrzebujemy następujących formuł:
(4) ;
(5) ;
(6) ;
B) Ciągłość logarytmu i własność granic dla funkcji ciągłej:
(7) .
Oto jakaś funkcja, która ma limit i ta granica jest dodatnia.
V) Znaczenie drugiej cudownej granicy:
(8) .

Stosujemy te fakty do naszego limitu. Najpierw przekształcamy wyrażenie algebraiczne
.
W tym celu stosujemy właściwości (4) i (5).

.

Używamy własności (7) i drugiej godnej uwagi granicy (8):
.

I na koniec zastosuj właściwość (6):
.
logarytm podstawowy mi nazywa naturalny logarytm. Jest oznaczony tak:
.
Następnie ;
.

W ten sposób otrzymaliśmy wzór (2) na pochodną logarytmu.

Pochodna logarytmu naturalnego

Jeszcze raz wypisujemy wzór na pochodną logarytmu o podstawie a:
.
Wzór ten ma najprostszą postać logarytmu naturalnego, dla którego , . Następnie
(1) .

Ze względu na tę prostotę logarytm naturalny jest bardzo szeroko stosowany w rachunku różniczkowym i innych dziedzinach matematyki związanych z rachunkiem różniczkowym. Funkcje logarytmiczne o innych podstawach można wyrazić w postaci logarytmu naturalnego za pomocą własności (6):
.

Bazową pochodną logarytmu można znaleźć ze wzoru (1), jeśli ze znaku różniczkowania wyjmiemy stałą:
.

Inne sposoby udowodnienia pochodnej logarytmu

Tutaj zakładamy, że znamy wzór na pochodną wykładnika:
(9) .
Następnie możemy wyprowadzić wzór na pochodną logarytmu naturalnego, zakładając, że logarytm jest odwrotnością wykładnika.

Udowodnijmy wzór na pochodną logarytmu naturalnego, zastosowanie wzoru na pochodną funkcji odwrotnej:
.
W naszym przypadku . Odwrotnością logarytmu naturalnego jest wykładnik:
.
Jego pochodną określa wzór (9). Zmienne mogą być oznaczone dowolną literą. We wzorze (9) zastępujemy zmienną x przez y:
.
Od , wtedy
.
Następnie
.
Formuła została sprawdzona.

Teraz udowodnimy wzór na pochodną logarytmu naturalnego używając zasady różniczkowania funkcji złożonej. Ponieważ funkcje i są odwrotne do siebie, to
.
Rozróżnij to równanie ze względu na zmienną x :
(10) .
Pochodna x jest równa jeden:
.
Stosujemy zasadę różniczkowania funkcji zespolonej:
.
Tutaj . Zastąp w (10):
.
Stąd
.

Przykład

Znajdź pochodne w 2x, w 3x oraz w nx.

Rozwiązanie

Podobną formę mają oryginalne funkcje. Dlatego znajdziemy pochodną funkcji y = log nx. Następnie podstawiamy n = 2 i n = 3 . I tak otrzymujemy wzory na pochodne w 2x oraz w 3x .

Więc szukamy pochodnej funkcji
y = log nx .
Przedstawmy tę funkcję jako złożoną funkcję składającą się z dwóch funkcji:
1) Funkcje zależne od zmiennych : ;
2) Funkcje zależne zmiennych : .
Wtedy pierwotna funkcja składa się z funkcji i :
.

Znajdźmy pochodną funkcji względem zmiennej x:
.
Znajdźmy pochodną funkcji względem zmiennej:
.
Stosujemy wzór na pochodną funkcji zespolonej.
.
Tutaj mamy podstawione .

Więc znaleźliśmy:
(11) .
Widzimy, że pochodna nie zależy od n. Wynik ten jest całkiem naturalny, jeśli przekształcimy pierwotną funkcję za pomocą wzoru na logarytm iloczynu:
.
- jest stałą. Jego pochodna wynosi zero. Następnie zgodnie z zasadą różniczkowania sumy mamy:
.

Odpowiedź

; ; .

Pochodna logarytmu modulo x

Znajdźmy pochodną innej bardzo ważnej funkcji - logarytmu naturalnego modułu x:
(12) .

Rozważmy przypadek. Wtedy funkcja wygląda tak:
.
Jego pochodną określa wzór (1):
.

Rozważmy teraz przypadek. Wtedy funkcja wygląda tak:
,
gdzie .
Ale znaleźliśmy również pochodną tej funkcji w powyższym przykładzie. Nie zależy od n i jest równe
.
Następnie
.

Łączymy te dwa przypadki w jedną formułę:
.

W związku z tym dla logarytmu o podstawie a mamy:
.

Pochodne wyższego rzędu logarytmu naturalnego

Rozważ funkcję
.
Znaleźliśmy jego pochodną pierwszego rzędu:
(13) .

Znajdźmy pochodną drugiego rzędu:
.
Znajdźmy pochodną trzeciego rzędu:
.
Znajdźmy pochodną czwartego rzędu:
.

Widać, że pochodna n-tego rzędu ma postać:
(14) .
Udowodnijmy to za pomocą indukcji matematycznej.

Dowód

Podstawmy wartość n = 1 do wzoru (14):
.
Ponieważ , to dla n = 1 , formuła (14) jest poprawna.

Załóżmy, że wzór (14) jest spełniony dla n = k . Udowodnijmy, że z tego wynika, że ​​wzór jest ważny dla n = k + 1 .

Rzeczywiście, dla n = k mamy:
.
Różnicuj względem x :

.
Więc dostaliśmy:
.
Wzór ten pokrywa się ze wzorem (14) dla n = k + 1 . Zatem z założenia, że ​​wzór (14) jest ważny dla n = k, wynika, że ​​wzór (14) jest ważny dla n = k + 1 .

Zatem wzór (14) dla pochodnej n-tego rzędu jest ważny dla dowolnego n .

Pochodne wyższego rzędu logarytmu o podstawie a

Aby znaleźć n-tą pochodną logarytmu podstawowego a , musisz wyrazić ją w postaci logarytmu naturalnego:
.
Stosując wzór (14), znajdujemy n-tą pochodną:
.

Czy uważasz, że do egzaminu jest jeszcze dużo czasu? Czy to miesiąc? Dwa? Rok? Praktyka pokazuje, że uczeń najlepiej radzi sobie z egzaminem, jeśli zaczął się do niego wcześniej przygotowywać. W Unified State Examination jest wiele trudnych zadań, które stoją na drodze studentowi i przyszłemu kandydatowi do uzyskania najwyższych wyników. Te przeszkody trzeba nauczyć się pokonywać, poza tym nie jest to trudne. Musisz zrozumieć zasadę pracy z różnymi zadaniami z biletów. Wtedy nie będzie problemów z nowymi.

Logarytmy na pierwszy rzut oka wydają się niezwykle złożone, ale po bliższej analizie sytuacja staje się znacznie prostsza. Jeśli chcesz zdać egzamin z najwyższym wynikiem, powinieneś zrozumieć pojęcie, o którym mowa, co proponujemy w tym artykule.

Najpierw oddzielmy te definicje. Co to jest logarytm (log)? Jest to wskaźnik siły, do której należy podnieść podstawę, aby uzyskać określoną liczbę. Jeśli nie jest to jasne, przeanalizujemy elementarny przykład.

W takim przypadku podstawa poniżej musi zostać podniesiona do drugiej potęgi, aby uzyskać liczbę 4.

Zajmijmy się teraz drugą koncepcją. Pochodną funkcji w dowolnej postaci nazywamy pojęciem charakteryzującym zmianę funkcji w danym punkcie. Jest to jednak program szkolny, a jeśli masz problemy z tymi pojęciami osobno, warto powtórzyć temat.

Pochodna logarytmu

W zadaniach USE na ten temat jako przykład można podać kilka zadań. Zacznijmy od najprostszej pochodnej logarytmicznej. Musimy znaleźć pochodną następującej funkcji.

Musimy znaleźć następną pochodną

Istnieje specjalna formuła.

W tym przypadku x=u, log3x=v. Podstaw wartości z naszej funkcji do wzoru.

Pochodna x będzie równa jeden. Logarytm jest trochę trudniejszy. Ale zrozumiesz tę zasadę, jeśli po prostu zamienisz wartości. Przypomnijmy, że pochodna lg x jest pochodną logarytmu dziesiętnego, a pochodna ln x jest pochodną logarytmu naturalnego (opartego na e).

Teraz wystarczy podstawić uzyskane wartości do wzoru. Spróbuj sam, a następnie sprawdź odpowiedź.

Jaki może być problem dla niektórych? Wprowadziliśmy pojęcie logarytmu naturalnego. Porozmawiajmy o tym, a jednocześnie wymyślmy, jak rozwiązać z nim problemy. Nie zobaczysz niczego skomplikowanego, zwłaszcza gdy zrozumiesz zasadę jego działania. Powinieneś się do tego przyzwyczaić, ponieważ jest często używany w matematyce (szczególnie w szkołach wyższych).

Pochodna logarytmu naturalnego

W swej istocie jest to pochodna logarytmu o podstawie e (jest to liczba niewymierna, która wynosi około 2,7). W rzeczywistości ln jest bardzo proste, dlatego jest często używane w matematyce w ogóle. Właściwie rozwiązanie problemu z nim również nie będzie problemem. Warto pamiętać, że pochodna logarytmu naturalnego o podstawie e będzie równa jedynce podzielonej przez x. Najbardziej orientacyjne będzie rozwiązanie z poniższego przykładu.

Wyobraź to sobie jako złożoną funkcję składającą się z dwóch prostych.

wystarczy, by się przemienić

Szukamy pochodnej u po x

Twoja prywatność jest dla nas ważna. Z tego powodu opracowaliśmy Politykę prywatności, która opisuje, w jaki sposób wykorzystujemy i przechowujemy Twoje dane. Przeczytaj naszą politykę prywatności i daj nam znać, jeśli masz jakiekolwiek pytania.

Gromadzenie i wykorzystywanie danych osobowych

Dane osobowe to dane, które można wykorzystać do zidentyfikowania konkretnej osoby lub skontaktowania się z nią.

Możesz zostać poproszony o podanie swoich danych osobowych w dowolnym momencie, gdy się z nami skontaktujesz.

Poniżej znajduje się kilka przykładów rodzajów danych osobowych, które możemy gromadzić oraz sposobu, w jaki możemy je wykorzystywać.

Jakie dane osobowe zbieramy:

• Kiedy przesyłasz wniosek na stronie, możemy zbierać różne informacje, w tym imię i nazwisko, numer telefonu, adres e-mail itp.

Jak wykorzystujemy Twoje dane osobowe:

• Gromadzone przez nas dane osobowe pozwalają nam kontaktować się z Tobą i informować Cię o wyjątkowych ofertach, promocjach i innych wydarzeniach oraz nadchodzących wydarzeniach.
• Od czasu do czasu możemy wykorzystywać Twoje dane osobowe, aby wysyłać Ci ważne powiadomienia i wiadomości.
• Możemy również wykorzystywać dane osobowe do celów wewnętrznych, takich jak przeprowadzanie audytów, analiza danych i różne badania w celu ulepszenia świadczonych przez nas usług i udzielania rekomendacji dotyczących naszych usług.
• Jeśli weźmiesz udział w losowaniu nagród, konkursie lub podobnym programie motywacyjnym, możemy wykorzystać podane przez Ciebie informacje do administrowania takimi programami.

Ujawnianie osobom trzecim

Nie ujawniamy informacji otrzymanych od Ciebie stronom trzecim.

Wyjątki:

• W przypadku, gdy jest to konieczne - zgodnie z prawem, nakazem sądowym, w postępowaniu sądowym i / lub na podstawie publicznych żądań lub wniosków organów państwowych na terytorium Federacji Rosyjskiej - ujawnić swoje dane osobowe. Możemy również ujawnić informacje o Tobie, jeśli ustalimy, że takie ujawnienie jest konieczne lub odpowiednie ze względów bezpieczeństwa, egzekwowania prawa lub z innych względów interesu publicznego.
• W przypadku reorganizacji, fuzji lub sprzedaży możemy przekazać zebrane przez nas dane osobowe odpowiedniemu następcy strony trzeciej.

Ochrona danych osobowych

Podejmujemy środki ostrożności – w tym administracyjne, techniczne i fizyczne – w celu ochrony Twoich danych osobowych przed utratą, kradzieżą i niewłaściwym wykorzystaniem, a także przed nieautoryzowanym dostępem, ujawnieniem, zmianą i zniszczeniem.

Zachowanie prywatności na poziomie firmy

Aby zapewnić bezpieczeństwo danych osobowych, informujemy naszych pracowników o praktykach dotyczących prywatności i bezpieczeństwa oraz ściśle egzekwujemy praktyki dotyczące prywatności.

Pozwalać
(1)
jest różniczkowalną funkcją x . Najpierw rozważymy to na zbiorze wartości x, dla których y przyjmuje wartości dodatnie: . W dalszej części pokażemy, że wszystkie otrzymane wyniki mają zastosowanie również dla ujemnych wartości .

W niektórych przypadkach, aby znaleźć pochodną funkcji (1), wygodnie jest wstępnie obliczyć logarytm
,
a następnie obliczyć pochodną. Następnie, zgodnie z zasadą różniczkowania funkcji zespolonej,
.
Stąd
(2) .

Pochodną logarytmu funkcji nazywamy pochodną logarytmiczną:
.

Pochodna logarytmiczna funkcji y = f(x) jest pochodną logarytmu naturalnego tej funkcji: (log f(x))′.

Przypadek ujemnych wartości y

Rozważmy teraz przypadek, w którym zmienna może przyjmować zarówno wartości dodatnie, jak i ujemne. W takim przypadku weź logarytm modułu i znajdź jego pochodną:
.
Stąd
(3) .
Oznacza to, że w ogólnym przypadku musisz znaleźć pochodną logarytmu modułu funkcji.

Porównując (2) i (3) mamy:
.
Oznacza to, że formalny wynik obliczenia pochodnej logarytmicznej nie zależy od tego, czy przyjęliśmy modulo, czy nie. Dlatego przy obliczaniu pochodnej logarytmicznej nie musimy się martwić, jaki znak ma funkcja.

Sytuację tę można wyjaśnić za pomocą liczb zespolonych. Niech dla niektórych wartości x będą ujemne: . Jeśli weźmiemy pod uwagę tylko liczby rzeczywiste, funkcja nie jest zdefiniowana. Jeśli jednak weźmiemy pod uwagę liczby zespolone, otrzymamy:
.
Oznacza to, że funkcje i różnią się złożoną stałą:
.
Ponieważ pochodna stałej wynosi zero, to
.

Własność pochodnej logarytmicznej

Z takiego rozpatrzenia wynika, że pochodna logarytmiczna nie zmienia się, jeśli funkcja jest mnożona przez dowolną stałą :
.
Rzeczywiście, aplikując właściwości logarytmiczne, formuły suma pochodna oraz pochodna stałej, mamy:

.

Zastosowanie pochodnej logarytmicznej

Wygodnie jest używać pochodnej logarytmicznej w przypadkach, gdy pierwotna funkcja składa się z iloczynu funkcji potęgowych lub wykładniczych. W tym przypadku operacja logarytmiczna zamienia iloczyn funkcji w ich sumę. Upraszcza to obliczanie pochodnej.

Przykład 1

Znajdź pochodną funkcji:
.

Rozwiązanie

Bierzemy logarytm pierwotnej funkcji:
.

Różniczkowanie względem x .
W tabeli instrumentów pochodnych znajdujemy:
.
Stosujemy zasadę różniczkowania funkcji zespolonej.
;
;
;
;
(P1.1) .
Pomnóżmy przez:

.

Tak więc znaleźliśmy pochodną logarytmiczną:
.
Stąd znajdujemy pochodną pierwotnej funkcji:
.

Notatka

Jeśli chcemy używać tylko liczb rzeczywistych, powinniśmy wziąć logarytm modułu oryginalnej funkcji:
.
Następnie
;
.
I otrzymaliśmy wzór (A1.1). Dlatego wynik się nie zmienił.

Odpowiedź

Przykład 2

Korzystając z pochodnej logarytmicznej, znajdź pochodną funkcji
.

Rozwiązanie

Logarytm:
(P2.1) .
Różnicuj względem x :
;
;

;
;
;
.

Pomnóżmy przez:
.
Stąd otrzymujemy pochodną logarytmiczną:
.

Pochodna pierwotnej funkcji:
.

Notatka

Tutaj pierwotna funkcja jest nieujemna: . Jest zdefiniowany w . Jeżeli nie założymy, że logarytm można wyznaczyć dla ujemnych wartości argumentu, to wzór (A2.1) należy zapisać w następujący sposób:
.
O ile

oraz
,
nie wpłynie to na końcowy wynik.

Odpowiedź

Przykład 3

Znajdź pochodną
.

Rozwiązanie

Różnicowanie odbywa się za pomocą pochodnej logarytmicznej. Logarytm, biorąc pod uwagę, że:
(P3.1) .

Różniczkując otrzymujemy pochodną logarytmiczną.
;
;
;
(P3.2) .

Od , wtedy

.

Notatka

Zróbmy obliczenia bez założenia, że ​​logarytm można zdefiniować dla ujemnych wartości argumentu. Aby to zrobić, weź logarytm modułu oryginalnej funkcji:
.
Wtedy zamiast (A3.1) mamy:
;

.
W porównaniu z (A3.2) widzimy, że wynik się nie zmienił.