Równania liniowe z parametrem. Równania liniowe z parametrem, jak znaleźć wartość parametru

DO zadania z parametrem Można go przypisać, na przykład, poszukiwanie równań liniowych i kwadratowych w formie ogólnej, badanie równania do liczby korzeni dostępnych w zależności od wartości parametru.

Nie przynoś szczegółowych definicji, jako przykładów, rozważ następujące równania:

y \u003d KX, gdzie X, Y - zmienne, K - parametr;

y \u003d KX + B, gdzie X, Y są zmiennymi, K i B - parametr;

aX 2 + BX + C \u003d 0, gdzie X jest zmienne, parametr A, B i C.

Rozwiązuj równanie (nierówność, system) z parametrem, co oznacza, z reguły, w celu rozwiązania nieskończonego zestawu równań (nierówności, systemy).

Zadania z parametrem można podzielić na dwa typy:

ale)stan mówi: Aby rozwiązać równanie (nierówność, system), jest to, że oznacza to dla wszystkich wartości parametrów, aby znaleźć wszystkie rozwiązania. Jeśli przynajmniej jeden przypadek pozostał niezbadany, niemożliwe jest rozpoznanie takiej decyzji.

b)musisz określić możliwe wartości parametru, w którym równanie (nierówność, system) ma pewne właściwości. Na przykład ma jedno rozwiązanie, nie ma rozwiązań, ma rozwiązania należące do szczeliny itp. W takich zadaniach konieczne jest jasno wskazywać, przy czym wykonana jest wartość parametru wymagana przez pożądany stan.

Parametr, będący nieznaną stałą liczbą, ma specjalną dwoistość. Przede wszystkim należy pamiętać, że domniemana sława mówi, że parametr musi być postrzegany jako numer. Na drugim miejscu swoboda obsługi parametru jest ograniczona do jego nieznanego. Na przykład operacje rozszczepów na wyrażaniu, w którym parametr lub ekstrakcja korzenia równomiernego stopnia występuje z takiej ekspresji, wymagają wstępnych badań. Dlatego konieczne jest dokładność w obsłudze parametru.

Na przykład, aby porównać dwie liczby -6a i 3a, należy wziąć pod uwagę trzy przypadki:

1) -6a będzie większa niż 3a, jeśli liczba ujemna;

2) -6a \u003d 3a w przypadku, gdy A \u003d 0;

3) -6a będzie mniejsza niż 3a, jeśli a jest liczbą pozytywną 0.

Rozwiązanie będzie odpowiedzią.

Niech równanie KX \u003d B zostanie podane. To równanie jest krótkim zapisem nieskończonego zestawu równań z jedną zmienną.

W rozwiązywaniu takich równań może występować przypadki:

1. Niech k będzie dowolną ważną liczbą nie zero i b - dowolna liczba ISR, a następnie x \u003d b / k.

2. Niech k \u003d 0 i b ≠ 0, początkowe równanie weźmie formularz 0 · x \u003d b. Oczywiście nie ma rozwiązań rozwiązań.

3. Niech k i b liczby równe zero, a następnie mamy równość 0 · x \u003d 0. Jego rozwiązaniem jest dowolny prawidłowy numer.

Algorytm do rozwiązywania tego typu równań:

1. Określ wartości parametrów "Steruj".

2. Rozwiąż początkowe równanie w odniesieniu do X na wartościach parametru, który został zdefiniowany w akapicie pierwszym.

3. Rozwiąż początkowe równanie w odniesieniu do X z wartościami parametru różnią się od wybranego w pierwszym akapicie.

4. Nagraj odpowiedź może być następująca:

1) W ... (wartości parametrów), równanie ma root ...;

2) W ... (wartości parametrów), brak równań korzenia.

Przykład 1.

Rozwiązuj równanie z parametrem | 6 - x | \u003d a.

Decyzja.

Łatwo jest zobaczyć, że tutaj ≥ 0.

Zgodnie z zasadą modułu 6 - x \u003d ± a, wyrażamy X:

Odpowiedź: X \u003d 6 ± A, gdzie ≥ 0.

Przykład 2.

Rozwiązuj równanie A (X - 1) + 2 (X - 1) \u003d 0 w stosunku do zmiennej x.

Decyzja.

Wsporniki: AH - A + 2x - 2 \u003d 0

Piszemy równanie w formie standardowej: X (A + 2) \u003d A + 2.

W przypadku, gdy wyrażenie A + 2 nie jest zero, tj. Jeśli jest ≠ -2, mamy rozwiązanie X \u003d (A + 2) / (A + 2), tj. x \u003d 1.

W przypadku + 2 wynosi zero, tj. A \u003d -2, mamy wierną równość 0 · x \u003d 0, więc x - dowolny prawidłowy numer.

Odpowiedź: X \u003d 1 na A ≠ -2 i X € R w A \u003d -2.

Przykład 3.

Rozwiązuj równanie X / A + 1 \u003d A + X w stosunku do zmiennej x.

Decyzja.

Jeśli A \u003d 0, przekształcamy równanie w postaci A + X \u003d A 2 + AH lub (A - 1) X \u003d -a (A - 1). Ostatnie równanie w A \u003d 1 ma formularz 0 · x \u003d 0, Dlatego X - dowolny numer.

Jeśli ≠ 1, ostatnie równanie weźmie formę X \u003d -a.

To rozwiązanie można zilustrować na koordynatorze bezpośrednio (Rys. 1)

Odpowiedź: Brak rozwiązań dla A \u003d 0; x - dowolna liczba w A \u003d 1; x \u003d -a z ≠ 0 i a ≠ 1.

Metoda graficzna

Rozważ inny sposób rozwiązania równań z parametrem - grafiką. Ta metoda jest używana dość często.

Przykład 4.

Ile korzeni w zależności od parametru A ma równanie || x | - 2 |. \u003d a?

Decyzja.

Aby rozwiązać metodę graficzną, budujemy wykresy funkcji Y \u003d || x | - 2 |. i y \u003d a (Rys. 2).

Możliwe przypadki bezpośredniego y \u003d a, a liczba korzeni w każdym z nich są wyraźnie widoczne na rysunku.

Odpowiedź: Korzenie równania nie będą< 0; два корня будет в случае, если a > 2 i a \u003d 0; Trzy równanie korzenie będą miały w przypadku A \u003d 2; Cztery root - na 0< a < 2.

Przykład 5.

Z jakiego równania 2 | x | + | x - 1 | \u003d A ma jedyny root?

Decyzja.

Wykresy zdjęć funkcji Y \u003d 2 | x | + | X - 1 | i y \u003d a. Dla y \u003d 2 | x | + | X - 1 |, Otwórz moduły sposobem interwałów, otrzymujemy:

(-3x + 1, z x< 0,

y \u003d (x + 1, w 0 ≤ x ≤ 1,

(3x - 1, z X\u003e 1.

Na rysunek 3. Widocznie widać, że jedyne równanie korzeni będzie miało tylko w A \u003d 1.

Odpowiedź: a \u003d 1.

Przykład 6.

Określ liczbę rozwiązań równania | X + 1 | + | X + 2 | \u003d a w zależności od parametru lub?

Decyzja.

Funkcja harmonogramu y \u003d | x + 1 | + | X + 2 | będzie złamany. Jego wierzchołki znajdą się w punktach (-2; 1) i (-1; 1) (Rysunek 4).

Odpowiedź: Jeśli parametr A jest mniejszy niż jeden, korzenie równania nie będą; Jeśli A \u003d 1, to roztwór równania jest nieskończonym zestawem liczb z segmentu [-2; -jeden]; Jeśli wartości parametru A będą większe niż jedno, równanie będzie miał dwa korzenie.

Mieć pytania? Nie wiem, jak rozwiązać równania z parametrem?
Aby uzyskać pomoc na opiekun - zarejestruj się.
Pierwsza lekcja jest bezpłatna!

wymagana jest witryna, z pełnym lub częściowym kopiowaniem materiału odniesienia do oryginalnego źródła.

Wyświetl równanie fA.(x.; zA.) \u003d 0 zwany przez równanie zmiennej h. i parametr. ale.

Rozwiązuj równanie z parametrem ale - oznacza dla każdej wartości ale Znajdź wartości h.spełniające to równanie.

Przykład 1. o= 0

Przykład 2. o = ale

Przykład 3.

x + 2 \u003d ah
x - ah \u003d -2
X (1 - a) \u003d -2

Jeśli 1 - ale \u003d 0, tj. ale \u003d 1, to h.0 \u003d -2 korzenie nie

Jeśli 1 - ale 0, tj. ale 1, T. h. =

Przykład 4.

(ale 2 – 1) h. = 2ale 2 + ale – 3
(ale – 1)(ale + 1)h. = 2(ale – 1)(ale – 1,5)
(ale – 1)(ale + 1)h. = (1ale – 3)(ale – 1)

Jeśli ale\u003d 1, a następnie 0 h. = 0
h. - dowolny ważny numer

Jeśli ale \u003d -1, a następnie 0 h. = -2
Brak korzeni

Jeśli ale 1, ale -1, T. h. \u003d (Pojedyncza decyzja).

Oznacza to, że każda ważna wartość ale odpowiada jedynej wartości h..

Na przykład:

jeśli ale \u003d 5, potem h. = = ;

jeśli ale \u003d 0, to h. \u003d 3 itd.

1. o = h. + 3

2. 4 + o = 3h. – 1

3. ale = +

dla ale \u003d 1 korzenie nr.

dla ale \u003d 3 korzenie nr.

dla ale = 1 h. - dowolny prawidłowy numer z wyjątkiem h. = 1

dla ale = -1, ale \u003d 0 Rozwiązania nr.

dla ale = 0, ale \u003d 2 roztwory nie.

dla ale = -3, ale = 0, 5, ale \u003d -2 Rozwiązania Nie

dla ale = -z, z \u003d 0 Rozwiązania nr.

Równania kwadratowe z parametrem

Przykład 1. Rozwiązuj równanie

(ale – 1)h. 2 = 2(2ale + 1)h. + 4ale + 3 = 0

Dla ale = 1 6h. + 7 = 0

Gdy ale 1 Zaznacz wartości parametru, w którym RE. Narysowany do zera.

D \u003d (2 (2) ale + 1)) 2 – 4(ale – 1)(4ale + 30 = 16ale 2 + 16ale + 4 – 4(4ale 2 + 3ale – 4ale – 3) = 16ale 2 + 16ale + 4 – 16ale 2 + 4ale + 12 = 20ale + 16

20ale + 16 = 0

20ale = -16

Jeśli ale < -4/5, то RE. < 0, уравнение имеет действительный корень.

Jeśli ale \u003e -4/5 I. ale 1, T. RE. > 0,

h. =

Jeśli ale \u003d 4/5, potem RE. = 0,

Przykład 2. W jakich wartościach parametru i równania

x 2 + 2 ( ale + 1)h. + 9ale - 5 \u003d 0 ma 2 różnych negatywnych korzenia?

D \u003d 4 ( ale + 1) 2 – 4(9ale – 5) = 4ale 2 – 28ale + 24 = 4(ale – 1)(ale – 6)

4(ale – 1)(ale – 6) > 0

przez t. Vieta: h. 1 + h. 2 = -2(ale + 1)
h. 1 h. 2 = 9ale – 5

Według stanu h. 1 < 0, h. 2 < 0 то –2(ale + 1) < 0 и 9ale – 5 > 0

Ostatecznie

4(ale – 1)(ale – 6) > 0 - 2(ale + 1) < 0 9ale – 5 > 0

ale < 1: а > 6 ale > - 1 ale > 5/9

(Figa. jeden) < zA. < 1, либо zA. > 6

Przykład 3. Znajdź wartości aleW ramach którego to równanie ma rozwiązanie.

x 2 - 2 ( ale – 1)h. + 2ale + 1 = 0

D \u003d 4 ( ale – 1) 2 – 4(2ale + 10 = 4ale 2 – 8ale + 4 – 8ale – 4 = 4ale 2 – 16ale

4ale 2 – 16 0

4ale(ale – 4) 0

ale( ale – 4)) 0

ale( ale – 4) = 0

a \u003d 0 lub ale – 4 = 0
ale = 4

(Figa. 2.)

Odpowiedź: ale 0 I. ale 4

Materiał dydaktyczny

1. W jakiej wartości ale równanie o 2 – (ale + 1) h. + 2ale - 1 \u003d 0 ma jeden root?

2. W jakiej wartości ale równanie ( ale + 2) h. 2 + 2(ale + 2)h. + 2 \u003d 0 ma jeden root?

3. W jakich wartościach i równaniu ( ale 2 – 6ale + 8) h. 2 + (ale 2 – 4) h. + (10 – 3ale – ale 2) \u003d 0 ma więcej niż dwa korzenie?

4. W jakich wartościach i równaniu 2 h. 2 + h. – ale \u003d 0 ma co najmniej jeden wspólny root z równaniem 2 h. 2 – 7h. + 6 = 0?

5. W jakich wartościach i równaniu h. 2 +o + 1 \u003d 0 i h. 2 + h. + ale \u003d 0 ma co najmniej jeden wspólny root?

1. Ply. ale = - 1/7, ale = 0, ale = 1

2 warstwy ale = 0

3. Ply. ale = 2

4. Ply. ale = 10

5. Ply. ale = - 2

Orientacyjne równania z parametrem

Przykład 1.. Widok wszystkie wartości alew którym równaniu

9 x - ( ale + 2) * 3 x-1 / x +2 ale* 3 -2 / x \u003d 0 (1) Istnieje dokładnie dwa korzenie.

Decyzja. Mnożąc obie części równania (1) o 3 2 / x, otrzymujemy równoważne równanie

3 2 (x + 1 / x) - ( ale + 2) * 3 x + 1 / x + 2 ale = 0 (2)

Niech 3 x + 1 / x \u003d w., a następnie równanie (2) zobaczy w. 2 – (ale + 2)w. + 2ale \u003d 0 lub

(w. – 2)(w. – ale) \u003d 0, skąd w. 1 =2, w. 2 = ale.

Jeśli w. \u003d 2, tj. 3 x + 1 / x \u003d 2 h. + 1/h. \u003d dziennik 3 2 lub h. 2 – h.lOG 3 2 + 1 \u003d 0.

To równanie nie ma ważnych korzeni, ponieważ to RE. \u003d dziennik 2 3 2 - 4< 0.

Jeśli w. = ale. 3 x + 1 / x \u003d ale że h. + 1/h. \u003d dziennik 3. alelub. h. 2 – H.lOG 3 A + 1 \u003d 0. (3)

Równanie (3) ma dokładnie dwa korzenie, jeśli i tylko wtedy, gdy

D \u003d dziennik 2 3 2 - 4\u003e 0 lub | dziennik 3 a | \u003e 2.

Jeśli dziennik 3 A\u003e 2, a następnie ale \u003e 9, a jeśli dziennik 3 a< -2, то 0 < ale < 1/9.

Odpowiedź: 0.< ale < 1/9, ale > 9.

Przykład 2.. W jakich wartościach i równaniu 2 2x - ( ale -3) 2 x - 3 ale \u003d 0 ma rozwiązania?

W celu uzyskania danej równania mają rozwiązania, konieczne jest i wystarczy na równanie t. 2 – (a -3) t. – 3zA. \u003d 0 miał co najmniej jeden dodatni korzeń. Znajdziemy korzenie na twierdzeniu Vieta: h. 1 = -3, h. 2 = ale = >

a jest liczbą dodatnią.

Odpowiedź: Ply. ale > 0

Materiał dydaktyczny

1. Znajdź wszystkie wartości A, w którym równanie

25 x - (2 ale + 5) * 5 x-1 / x + 10 ale * 5 -2 / x \u003d 0 ma dokładnie 2 rozwiązania.

2. W jakich wartościach i równaniu

2 (A-1) X? +2 (A + 3) X + A \u003d 1/4 ma jedyny root?

3. W jakich wartościach parametru i równania

4 x - (5 ale-3) 2 x +4 ale 2 – 3ale \u003d 0 ma pojedyncze rozwiązanie?

Przykład 1. Znajdź wszystkie wartości alew którym równaniu

dziennik 4x (1 + o) = 1/2 (1)

ma jedną decyzję.

Decyzja. Równanie (1) jest równoważne równania

1 + o = 2h. dla h. > 0, h. 1/4 (3)

h. = w.

au 2 - w. + 1 = 0 (4)

Nie (2) stan z (3).

Zostawiać ale 0, T. au 2. – 2w. + 1 \u003d 0 ma poprawne korzenie, jeśli i tylko wtedy, gdy RE. = 4 – 4ale 0, tj. dla ale 1. Aby rozwiązać nierówność (3), budujemy wykresy funkcji Galitsky M.L., Moshkovich M.m., Schwarzburg S.I.Dogłębne badanie przebiegu algebry i analizy matematycznej. - m.: Oświecenie, 1990

Wykorzystanie równań jest szeroko rozpowszechnione w naszym życiu. Są one używane w wielu obliczeniach, budowa struktur, a nawet sportów. Równania osoby stosowane w starożytności i od tego czasu ich wniosek jest tylko wzrastający. W matematyce istnieją zadania, w których konieczne jest poszukiwanie rozwiązań równań liniowych i kwadratowych w ogóle formularzu lub wyszukaj liczbę korzeni, co ma równanie w zależności od wartości parametru. Wszystkie te zadania z parametrami.

Rozważ następujące równania jako wizualny przykład:

[Y \u003d KX,] gdzie zmienne - parametr;

[Y \u003d KX + B,] gdzie - zmienne - parametr;

[AX ^ 2 + BX + C \u003d 0,] gdzie jest zmienna, [A, B, C \\] - parametr.

Rozwiązanie równania z parametrem oznacza, co do rozwiązania nieskończonego zestawu równań.

Jednak przestrzeganie pewnego algorytmu, takie równania można łatwo rozwiązać:

1. Określ wartości "Kontroluj" parametru.

2. Rozwiąż początkowe równanie w stosunku do [x "z wartościami parametru zdefiniowanego w akapicie pierwszym.

3. Rozwiąż początkowe równanie w stosunku do [x "z wartościami parametru różnią się od wybranego w pierwszym akapicie.

Przypuśćmy, że takie równanie jest podane:

[MID 6 - X MID \u003d A.]

Po przeanalizowaniu danych źródłowych widać, że jest to [Ge 0.]

Zgodnie z zasadą modułu Express

Odpowiedź: gdzie

Gdzie mogę rozwiązać równanie z parametrem online?

Możesz rozwiązać równanie na naszej stronie internetowej HTTPS: // Strona. Darmowy solver online rozwiąże równanie online dowolnej złożoności w kilka sekund. Wszystko, co musisz zrobić, to wpisać swoje dane w solver. Możesz także obejrzeć instrukcję wideo i dowiedzieć się, jak rozwiązać równanie na naszej stronie internetowej. A jeśli masz jakieś pytania, możesz je zapytać w naszej grupie VKontakte http://vk.com/pocceteacher. Dołącz do naszej grupy, zawsze jesteśmy szczęśliwi, że ci pomożemy.

W jakich wartościach parametru $ A $ nierówności $ () - x ^ 2 + (A + 2) X - 8A - 1\u003e 0 $ ma co najmniej jedno rozwiązanie?

Decyzja

Przedstawiamy tę nierówność w stosunku pozytywnym z $ X ^ $ 2:

$ () - x ^ 2 + (A + 2) X - 8A - 1\u003e 0 quad Leftrightarrow quad x ^ 2 - (A + 2) x + 8A + 1< 0 .$

Oblicz dyskryminujący: $ d \u003d (A + 2) ^ 2 - 4 (8A + 1) \u003d A ^ 2 + 4A + 4 - 32a - 4 \u003d A ^ 2 - 28A $. Aby ta nierówność ma rozwiązanie, konieczne jest, aby co najmniej jeden punkt paraboli leżał poniżej osi $ x $. Ponieważ oddziały paraboli są skierowane do tego, musisz mieć kwadratowy trzy root po lewej stronie nierówności, czyli jej dyskryminujący był pozytywny. Przychodzimy na potrzebę rozwiązania nierówności kwadratowej $ a ^ 2 - 28a\u003e 0 $. Kwadratowy trzy zmniejsza się $ A ^ 2 - 28A $ ma dwa korzenie: $ a_1 \u003d 0 $, $ A_2 \u003d 28 $. Dlatego nierówność $ a ^ 2 - 28a\u003e 0 $ zaspokaja luki $ A (- infty; 0) puchar (28; + infrast) $.

Odpowiedź. $ A (- infty; 0) puchar (28; + infrast) $.

Podającymi wartościami parametru $ A $ równanie $ (A-2) x ^ 2-2ax + A + 3 \u003d 0 $ ma co najmniej jeden root, a jednocześnie wszystkie korzenie są pozytywne?

Decyzja

Pozwól $ a \u003d 2 $. Wtedy równanie zajmuje formularz $ () - 4x +5 \u003d 0 $, z miejsca, w którym otrzymujemy ten $ x \u003d dfrac (5) (4) jest dodatnim korzeniem.

Teraz pozwól $ 2 $. Uzyskuje się równanie kwadratowe. Zdefiniujemy najpierw w jakich wartości parametru $ A $ to równanie ma root. Konieczne jest, aby jego dyskryminujący nie jest negatywny. To znaczy:

$ D \u003d 4a ^ 2 - 4 (A-2) (A + 3) \u003d () -4a + 24 Geqslant 0 Leftrightarrow a \\ leqslant 6. $

Korzenie pod warunkiem powinny być dodatnie, dlatego z twierdzenia Vieta otrzymujemy system:

$ Rozpocząć (przypadki) X_1 + X_2 \u003d DFRAC (2A) (A - 2)\u003e 0, (Przypadki) QUAD Leftrightarrow Czteroczynne (przypadki) A (- Infty; 0) Puchar (2; + Infral), A (- Depty; -3) \\ \\ Cup (2; + Depty), A (- infty; 6] end (przypadki) QUAD LEFTRIGHTARROW quay A (- infty; -3) \\ z (2; . $.

Łączymy odpowiedzi, otrzymujemy pożądany zestaw: $ A (- infty; -3) puchar $.

Odpowiedź. $ A (- infty; -3) puchar $.

W jakich wartościach wartości $ A $ Aquality $ ax ^ 2 + 4ax + 5 Leqslant 0 $ nie ma rozwiązań?

Decyzja

1. Jeśli $ A \u003d 0 $, to nierówność jest zdegenerowana do nierówności w wysokości 5 $ Leqslant 0 $, która nie ma rozwiązań. Dlatego wartość $ A \u003d 0 $ spełnia stan problemu.
2. Jeśli $ A\u003e 0 $, a następnie kwadrat jest trzy rozdrabniany w lewej części nierówności - parabola z oddziałami skierowanymi do góry. Oblicz $ dfrac (D) (4) \u003d 4a ^ 2 - 5A $. Nierówność nie ma rozwiązań, jeśli parabola znajduje się nad osią odciętej, to znaczy, gdy trzykrotnie nie ma korzeni ($ d< 0$). Решим неравенство $4a^2 - 5a < 0$. Корнями квадратного трёхчлена $4a^2 - 5a$ являются числа $a_1 = 0$ и $a_2 = \dfrac{5}{4}$, поэтому $D < 0$ при $0 < a < \dfrac{5}{4}$. Значит, из положительных значений $a$ подходят числа $a \in \left(0; \dfrac{5}{4}\right)$.
3. Jeśli $ A.< 0$, то график квадратного трехчлена в левой части неравенства - парабола с ветвями, направленными вниз. Значит, обязательно найдутся значения $х$, для которых трёхчлен отрицателен. Следовательно, все значения $a < 0$ не подходят.

Odpowiedź. $ A w lewej dolieci kłamstwa między korzeniami, więc korzenie powinny być dwa (oznacza to $ a ne 0 $). Jeśli gałęzie Parabolli wynosi $ Y \u003d AX ^ 2 + (A + 3) X - 3A $ są skierowane do góry, a następnie Y (-1)< 0$ и $y(1) < 0$; если же они направлены вниз, то $y(-1) > 0 $ i $ y (1)\u003e 0 $.

Sprawa I. Pozwól $ A\u003e 0 bądź $. Następnie

$ lewe (rozpocznij (tablica) (L) y (-1) \u003d A- (A + 3) -3a \u003d -3a-3<0 \\ y(1)=a+(a+3)-3a=-a+3<0 \\ a>0 end (tablica) prawy. QUAD LEFTRIGHTARROW QUAD Left (rozpocznij (tablica) (L) A\u003e -1 A\u003e 3 A\u003e 0 end (tablica) prawy. Quad Leftrightarrow quay A\u003e 3. $

W takim przypadku okazuje się, że wszystkie $ A\u003e 3 $ jest odpowiednie.

Wyczyść II. Pozwól $ A.< 0$. Тогда

$ lewe (rozpocznij (tablica) (L) y (-1) \u003d A- (A + 3) -3a \u003d -3a-3\u003e 0 \\\\ Y (1) \u003d A + (A + 3) - 3a \u003d -a + 3\u003e 0<0 \end{array} \right.\quad \Leftrightarrow \quad \left\{ \begin{array}{l} a<-1 \\ a<3 \\ a<0 \end{array} \right.\quad \Leftrightarrow \quad a<-1.$

W tym przypadku okazuje się, że wszystkie $ a< -1$.

Odpowiedź. $ A (- infty; -1) puchar (3; + infrast) $

Znajdź wszystkie wartości parametru $ A $ A, z których każdy system równania

$ rozpocznij (przypadki) x ^ 2 + Y ^ 2 \u003d 2A, 2xy \u003d 2A-1 end (przypadki) $

ma dokładnie dwa rozwiązania.

Decyzja

Składaj z pierwszej sekundy: $ (X-Y) ^ 2 \u003d 1 $. Następnie

$ Left [Rozpocznij (tablica) (L) X-Y \u003d 1, x-y \u003d -1 end (tablica) Prawo. QUAD LEFTHTIGHTARROW QUAD Left [Rozpocznij (tablica) (L) X \u003d Y + 1, x \u003d Y-1. Koniec (tablica) Prawo. $

Zastępowanie uzyskanych wyrażeń do drugiego równania systemu, otrzymujemy dwa równania kwadratowe: 2 lat ^ 2 + 2Y - 2A + 1 \u003d 0 $ i $ 2Y ^ 2 - 2Y - 2A + 1 \u003d 0 $. Dyskryminujący każdego z nich jest $ D \u003d 16A-4 $.

Należy zauważyć, że nie może się zdarzyć, że para pierwszego równań kwadratowych pokrywa się z parą korzeni równania drugiego kwadratu, ponieważ ilość korzeni pierwszej wynosi $ -1 $, a druga 1.

Więc konieczne jest, aby każdy z tych równań ma jeden root, a następnie system początkowym ma dwa rozwiązania. To znaczy, d \u003d 16a - 4 \u003d 0 $.

Odpowiedź. $ a \u003d dfrac (1) (4) $

Znajdź wszystkie wartości parametru $ A $ A, z których każda z nich wynosi 4x- | 3x- | X + A || \u003d 9 | X-3 | $ ma dwa korzenie.

Decyzja

Zapoznaj się z równaniem w formularzu:

9 $ | X-3 | -4x + | 3x- | x + A || \u003d 0,00 $.

Rozważ funkcję $ F (x) \u003d 9 | X-3 | -4x + | 3x- | x + A || $.

Za pomocą $ X Geqslant 3 $, pierwszy moduł jest ujawniony za pomocą znaku plus, a funkcja ma formularz: $ f (x) \u003d 5x-27 + | 3x- | x + a || $. Oczywiście, z dowolnym ujawnieniem modułów, funkcja liniowa z współczynnikiem $ k \\ geqslant 5-3-1 \u003d 1\u003e 0 $ zostanie uzyskana, czyli funkcję tej luki jest w nieskończoność rosnąca.

Rozważ teraz szczelinę $ x<3$. В этом случае первый модуль раскрывается с минусом, и функция принимает следующий вид: $f(x) = - 13x+27+|3x-|x+a||$. При любом раскрытии модулей в итоге будет получаться линейная функция с коэффициентом $k\leqslant - 13+3+1 = - 9<0$, то есть на этом промежутке функция убывает.

Mamy więc minimalny punkt tej funkcji X \u003d 3 $. Oznacza to, że aby początkowe równanie ma dwa rozwiązania, wartość funkcji w punkcie minimalnego powinna być mniejsza niż zero. Oznacza to, że istnieje nierówność: $ F (3)<0$.

12-- | 9- | 3 + A ||\u003e 0 QUAD Leftrightarrow quad | 9- | 3 + A ||< 12 \quad \Leftrightarrow \quad -12 < 9-|3+a| < 12 \quad \Leftrightarrow \quad$

$ Leftrightarrow quad | 3 + a |< 21 \quad \Leftrightarrow \quad - 21 < 3+a < 21 \quad \Leftrightarrow \quad -24

Odpowiedź. $ A (-24; 18) $

W jakich wartościach parametru $ a $ równanie 5 ^ (2x) -3 Cdot 5 ^ x + A-1 \u003d 0 $ jest jedynym korzeniem?

Decyzja

Zastąpimy: $ t \u003d 5 ^ x\u003e 0 $. Następnie początkowe równanie przybiera widok równania kwadratowego: $ T ^ 2-3T + A - 1 \u003d 0 $. Początkowe równanie będzie miało jedyny root w przypadku, gdy równanie to ma jeden dodatni korzeń lub dwa korzenie, z których jeden jest dodatni, drugi jest negatywny.

Dyskryminant równania to: $ d \u003d 13-4a $. Jeden root Ten równanie będzie miała w przypadku, gdy wynikający dyskryminacyjny okazuje się zero, czyli, z $ a \u003d dfrac (13) (4) $. W tym przypadku root $ t \u003d dfrac (3) (2)\u003e 0 $, więc ta wartość $ A $ jest odpowiednia.

Jeśli są dwa korzenie, z których jedna jest pozytywna, druga nie jest pozytywna, a następnie $ d \u003d 13-4a\u003e 0 $, $ x_1 + x_2 \u003d 3\u003e 0 $ i $ x_1x_2 \u003d a - 1 leqslant 0 $ .

To znaczy, $ A (- infty; 1] $

Odpowiedź. $ A (- infty; 1] puchar lewej (13) (4) Prawo) $

Znajdź wszystkie wartości parametru $ A $ A, w której system

$ rozpocząć (przypadki) log_a y \u003d (x ^ 2-2x) ^ 2, x ^ 2 + y \u003d 2x (przypadki) $

ma dokładnie dwa rozwiązania.

Decyzja

Przekształcimy system do następującego formularza:

$ rozpocznij (przypadki) log_a y \u003d (2x-x ^ 2) ^ 2, Y \u003d 2x-x ^ 2. Koniec (przypadki) $

Ponieważ parametr $ A $ a parametr znajduje się u podstawy logarytmu, następujące ograniczenia są nałożone na nią: $ A\u003e 0 $, $ a ne $ 1. Ponieważ zmienna $ y to argument logarytm, a następnie y\u003e 0 $.

Łącząc obie równania systemu, przejdź do równania: $ Log_a y \u003d y ^ $ 2. W zależności od tego, jakie wartości są odbierane przez parametr $ A $ A $ Dwie przypadki są możliwe:

1. Pozwól 0 $< a < 1$. В этом случае функция $f(y) = \log_a y$ убывает на области определения, а функция $g(y)=y^2$ возрастает в той же области $y > 0 $. Z zachowania wykresów oczywiste jest, że korzeń równania jest jednym, podczas gdy jest mniej niż 1. Drugie równanie systemu i całego systemu jako całości ma zatem dwie decyzje, ze względu na fakt że dyskryminujący równania x ^ 2-2x + y \u003d 0 $ z 0 $
2. Teraz pozwól $ a\u003e 1 $. W takim przypadku funkcja $ f (y) \u003d log_a y \\ Leqslant 0 $ z $ y< 1$, а функция $g(y) = y^2 > 0 $ z tym samym $ y $. Oznacza to, że jeśli istnieją rozwiązania, tylko za $ Y\u003e 1 $, ale drugie równanie rozwiązań nie będzie miało, ponieważ dyskryminujący równania $ x ^ 2 - 2x + y \u003d 0 $ z $ y\u003e 1 $ jest negatywny.

Odpowiedź. $ a (0; 1) $

Rozważmy przypadek, gdy $ a\u003e 1 $. Ponieważ z dużą wartością $ t $ Funkcja funkcji $ f (t) \u003d a ^ t $ leży powyżej bezpośredniego $ g (t) \u003d t $, to jedyny typowy punkt może być tylko punktem dotykowym.

Niech $ T_0 będzie punktem dotykowym. W tym momencie pochodna do $ f (t) \u003d a ^ t $ jest równa jednostce (styczna kąta przechyłu), ponadto wartości obu funkcji zbiegają się z tego, że system ma miejsce:

$ Rozpocznij (przypadki) a ^ (t_0) ln a \u003d 1, a ^ (t_0) \u003d t_0 end (przypadki) quad lEFTRIGHTARROW \\ BECT (przypadki) A ^ (T_0 ) \u003d Dfrac (1) (ln a), a ^ (tau) \u003d tau (przypadki) $

Gdzie $ t_0 \u003d dfrac (1) (ln a) $.

$ A ^ (frac (1) (ln a)) ln a \u003d 1 quad lEFTRIGHTARROW quad a ^ (Log_a e) \u003d frac (1) (ln a) quad liftrow A \u003d e ^ (frac (1) (e)). $

W takim przypadku inne wspólne punkty w funkcji prostej i orientacyjnej są oczywiście nie.

Odpowiedź. $ a (0; 1] puchar lewej (e ^ (e ^ (- 1)) Prawda