Konwergencja i rozbieżność integtów wewnętrznych. Nieprawidłowe całki

Przykłady badań nad nieprawidłowymi integantami za konwergencję

Przykład 1.
.

Zatem ta integralna zbiega się na A\u003e 1 i rozwiać w 1 GBP.

Przykład 2. Przeglądaj konwergencję. Oblicz całkę z definicji:
.

Tak więc to integralne zbiega się, gdy<1 и расходится при a³1.

Przykład 3. Przeglądaj konwergencję .

<0) при x стремящемся к 0, поэтому разобьем исходный интеграл на два

.

Konwergencja pierwszej integralnej I1 bada przy użyciu równoważnej funkcji: (t. N\u003e 0), a integralne zbiega się w M\u003e -1 (przykład 2). Podobnie dla integralnego I2:

A integralna zbiega się w M + N<-1 (пример2). Следовательно, исходный интеграл сходится при выполнении одновременно двух условий m>-1 i m + n<-1, и будет расходится при нарушении хотя бы одного из них.

Przykład 4. Przeglądaj konwergencję.

Zintegrowana funkcja może być nieskończenie duża (jeśli m<0) при x стремящемся к 0, поэтому разобьем исходный интеграл на два:

Od ARCTGX »X w X®0, wtedy integralny I1 jest równoważny z całkowitym, który zbiega się w M + 1\u003e -1 I.e. w M\u003e -2 (przykład 1).

W przypadku funkcji integracyjnej w niezgodnym integralnym pierwszego rodzaju I2 wybieramy odpowiednik:

T. K. ArctGX »P / 2 z X® ¥. W związku z tym, zgodnie z drugim oznaką porównania, integralna I2 będzie konwergentna w M + N<-1, и расходится в противном случае.

Łącząc warunki zbieżności integracji I1 i I2 Uzyskujemy warunki zbieżności pierwotnej integralności: M\u003e -2 i M + N<-1 одновременно.

Komentarz. W przykładach 2-4 zastosowano 2 objawy porównania, które zapewnia niezbędne i wystarczające warunki dla konwergencji, co pozwala, ustalając konwergencję w określonym warunkach wartości parametrów, nie udowodnić integralnej rozbieżności z naruszeniem warunków konwergencji.

Przykład 5. Przeglądaj konwergencję.

Ta integralna zawiera specjalny punkt 0, w którym funkcja integranda może zmienić w nieskończoność w P<0, поэтому снова разобьем исходный интеграл на два:

.

Integralną I1 jest niezgodnym integralnym drugiego rodzaju, a funkcja integranda jest równoważna X®0 XP (E-X ®1 w X®0), tj. I1 zbiega w P\u003e -1 (przykład 1).

Integralną I2 jest niezgodną integralną pierwszego rodzaju. Wybierz funkcję, która jest równoważna z funkcją Integranda, dzięki czemu nie zawiera funkcji orientacyjnej, nie powiedzie się. Dlatego, aby użyć znaku porównania 2, jak w poprzednich przykładach, jest to niemożliwe. Zastosuj pierwszy znak porównania, dla którego używamy następującego znanego faktu:

Z\u003e 0 i dowolnym p. Z tego, a fakt, że funkcja XPE-AX jest ciągła, wynika, że \u200b\u200bta funkcja jest ograniczona, czyli istnieje taka stała M\u003e 0, że XPE-AX< M. Возьмем, например, a=1/2, и оценим интеграл I2 сверху:

Oznacza to, że integralna I2 zbiega się w dowolnym p.

Zatem oryginalna integralna zbiega się w P\u003e -1.

Przykład 6. Przeglądaj konwergencję.

Wymieniamy zmienną: t \u003d lnx i dostaniemy

Rozdzielenie całkowania dwóch zostało wytworzone w analogicznie do przykładu 5. Zintegrowany I1 jest całkowicie równoważny z integralnym I1 z przykładu 5, a zatem zbieżuje, gdy Q<1.

Rozważ całkę I2. Pod warunkiem 1 p<0 этот интеграл полностью эквивалентен интегралу I2 в примере 5 (доказательство сходимости аналогично, а условие 1-p<0 нужно для выполнения i a \u003d (1-p) / 2.).

Tak, I2 zbiega się w P\u003e 1. Jednak w tym badaniu zbieżności tej integralności nie jest zakończone, ponieważ używany znak konwergencji daje tylko wystarczające warunki dla konwergencji. Dlatego konieczne jest studiowanie konwergencji na 1 £ 0.

Rozważmy sprawę p \u003d 1. Następnie integralny I2 jest równoważny, który zbiega się w q\u003e 1 (zauważamy, że w tym przypadku integralne I1 jest rozeszły) i inaczej rozproszone.

W P.<1 оценим интеграл I2 и покажем его расходимость. Для этого вспомним, что W 1 p\u003e 0, a zatem, począwszy od niektórych A\u003e 1. T.- P.MI.(1- P.) T. ³ m \u003d const\u003e 0. Następnie dla integralności I2 jest ważny

,

Gdzie integralna w odpowiednim części rozpakuje, co dowodzi rozbieżności integralnej I2.

Podsumowując uzyskane wyniki, uzyskujemy, że integralna źródła zbiega się, gdy q<1 и p>1, w przeciwnym razie integralna jest rozeszła.

Przykład 6. Przeglądaj konwergencję absolutną i warunkową.

Ciężka oryginalna integralna z dwóch:

.

Konwergencja. Integral I1 odpowiednik , tj. Zniebiega w P<2 (пример 1) , причем абсолютно, так как подынтегральная функция положительна на отрезке интегрирования.

Zintegrowane I2 zbiega się na znaku Dirichlet-Abel w P\u003e 0 t. Pierwszy grzech (X) jest ograniczony, a funkcja 1 / XP monotonnie ma tendencję do zera z X-X ma tendencję do nieskończoności.

Pokazujemy, że w przypadku pt. Zintegrowania £ 0. Korzystamy z kryterium Cauchy dla tego, a raczej przez odmowę

.

Weź następujące wartości jako R1I R2: R1 \u003d 2PK i R2 \u003d 2PK + P / 2,

, z p\u003e 0.

W ten sposób całkowitą zbiega się na 0

Absolutna konwergencja Bezwzględna konwergencja integralnej I1 jest już ustalona, \u200b\u200brozważ absolutną konwergencję I2. Oszacujemy integralną z góry:

, tj. Integralną zbiega się w P\u003e 1.

Udowodnić rozbieżność w p 1 funt, oszacujemy integralną z dna

.

Złamamy ostatnią integralną z różnicy funkcji na różnicę w całkach

.

Jeśli obie całki zbiegają się, integralna różnicy zbiega się, jeśli jedna z integrałów rozbieżności, a pozostałe zbiega - wtedy integralna jest oddzielona od różnicy. W przypadku rozbieżności obu integrałów konwergencja integralnej różnicy podlega dalszym badaniu. Jesteśmy zainteresowani drugim z opisanych przypadków.

Rozbieżny (przykład 1) w p<1. сходится по признаку Дирихле-Абеля при 1>p\u003e 0 (patrz konwergencja), dlatego integralna jest szacowana na dole z rozbieżnym integralnym, tj. Jest rozproszony.

Przypadek P21 nie interesuje nas, ponieważ te wartości parametrów integralnych rozbieżności.

Zatem oryginalna integralna zbiega się absolutnie na 0

Twierdzenie 12.11 (znak porównania integerów wewnętrznych). Niech funkcje F (X) i G (X) są ciągłe w przedziale [A, "\u003e) i spełniają warunek 0 poprawek)? (X). Następnie z konwergencji integralności

wynika z konwergencji integralnej

i odwrotnie, integralna rozbieżność (12.64) powinna obejmować integralną rozbieżność (12.63).

Dowód. Wprowadzamy notację:

Funkcjonować P (k) jest niespójny; W rzeczywistości, jeśli i I 2,

JOT. naprawić) DX\u003e 0, a następnie

Weź sekwencję wartości (/? ") -\u003e"\u003e; Następnie odpowiednia sekwencja wartości funkcyjnych (F (r n)) jest monotonny i niezwykły. Niech integralny (12.63) zbiega się, a następnie sekwencję (67 ( R. To)) ograniczone; Ale następnie ograniczona i spójność (FA. (/? ")), Więc dzięki twierdzeniu 7.13 zbiega się. W związku z tym istnieje limit F (r) dla R. - + "\u003e, tj. Zbiega się integralna (12.64).

Teraz udowodnimy drugą część twierdzenia; Niech integralny (12.64) rozproszony. Jeśli zakładasz, że zbiega się zbieżność integralna (12.6.63), a następnie sprawdzona powyżej integralna (12.64) powinna również zbiegać, co sprzeczne z warunkami. Twierdzenie jest udowodnione. ?

Komentarz. Podobny znak porównania jest również sprawiedliwy dla niewłaściwych integerów drugiego rodzaju. Jeśli funkcje / (x) i sOL. (x) Ciągły w półpięknie [A\u003e b) i dla wszystkich punktów w niektórych sąsiedztwie specjalnego punktu b. Zakończony

warunki 0. (x), a następnie z konwergencji całkowitego JG (X) DX następuje

most integralnej j / (x) dx i od rozbieżności integralnej j / (x) dx -

most integralnego JG (X) DX.

Rozważmy przykłady na badaniu konwergencji integerów wewnętrznych.

Przykład 27. t. ^ -.

X 3 (1 + e l)

Decyzja. Porównaj zintegrowaną funkcję w tej integralnej z funkcją

DG. Oczywiście o - - -

h. g * (1 + 0 x j

hrabstwo Jdx zbiega się; Dlatego ze względu na oznakę porównania zbieżnymi i dan- 1 H.

ny integral.

Przykład 28. I-.

Decyzja. Porównanie funkcji integrydu tego całkowania z funkcją 1 / x,

widzimy, że (1 + w X) / X\u003e 1 / X w przedziale 1

dlatego ta integralna jest również oparta na znaku porównania.

Podsumowując, dajemy bez dowodu kryterium Cauchy konwergencji niezrozumiałej integralnej pierwszego rodzaju.

12.10.4. Absolutna i warunkowa konwergencja integracji wewnętrznych

Definicja 5. Introlowany Envilegl J / (X) DX jest nazywany absolutnie

zbieżnyJeśli integralny J | / (X) jest konwergentny | DX.

Definicja 6. Inteligentna integralna j / (x) DX jest nazywany warunkowo siedzi

ma na sobieJeśli zbiega się i integralna j | / (x) | dx rozbieżności.

Zauważ, że od bezwzględnej konwergencji integralnej i jej konwergencji ze względu na oszacowanie 3 konkretnych integralnych i kryterium Cauchy.

Twierdzenie 12.13 (znak Dirichletu - Abel *). Niech funkcja / (x) jest ciągła i ma ograniczony prymityw FA. (x) W przedziale [A, "\u003e), a funkcja G (x) ma ciągłą pochodną na tej lucy, nie zwiększa się i dąży do zera w X -\u003e © o. Potem urojona integralna

zbiega się.

Dowód. Zastosuj integrację w częściach do całkowania J / (X) G (x) DX

na arbitralnym cięciu R r z [ ale, °°). Mamy:

Twierdzenie 12.12. W przypadku konwergencji integralnej odporności (12.64) jest to konieczne i wystarczy znaleźć taką liczbę dla każdego e\u003e 0 ALE \u003e 0, co dla każdego R " i /? "duży niż ALE, Nierówność jest wykonywana:

Według twierdzenia stanu F (x) Ograniczony, tj. | F (x) | K. Funkcja G (X) nie zwiększa się i ma tendencję do zero w X - ""\u003e oznacza to. g (x) \u003e 0, g "(x)

Abel Niels Henrik (1802-1829) - Norweski matematyk.

Ponieważ pod warunkiem twierdzenia G (x) - "0 na X -\u003e © °, można znaleźć dla dowolnego numeru E\u003e 0 A\u003e. taka R "L. Nierówność zostanie wykonana g (R ") Zastępuje to w ocenie (12.68), otrzymujemy:

co odpowiada ciekawym kryterium integralnej konwergencji (12.66). Twierdzenie jest udowodnione. ?

Rozważmy przykłady korzystania z funkcji Dirichlet - Abel Convergence wewnętrznych integerów.

Przykład 29. F ^^ DX, A\u003e 0.

Decyzja. Umieścić / (x) \u003d grzech x g (x) \u003d L / x "; łatwo jest upewnić się, że wszystkie warunki twierdzenia są dokonywane, tj. To integralne zbiega się. Gdy A\u003e 1 ta integralna

ral zbiega się absolutnie. Naprawdę, | grzech x / XP 1 / D L, integralny j (l / x e) dx

zbieżności, tj. Według porównania (twierdzenie 12.11), ta integralna jest konwergła.

Przykład 30. JSIn X 2 DX - Fresnel Integral,

Decyzja. Wyobraź sobie to integralną w formie kwoty:

Ponieważ grzech X 2 jest ciągłą funkcją w segmencie (0, 1J, pierwsza integralna w (12.69) istnieje. Aby określić konwergencję niezgodnej integralności w prawej stronie (12.69), umieściliśmy / (x) \u003d x sin 2, sOL. (x) \u003d 1 / x. Następnie dla prymitywnej funkcji / (x) F (x) = -Cosx 2 /! Jest ograniczony do interwału | 1, "\u003e), a # (x) jest dodatni, ma tendencję do zera w X -" °° i ma ciągłą pochodną na (1, © o). Oznacza to na podstawie Dirichletu - Abel, drugi integralny w (12.69) zbiega się, tj. Fresnel zintegrowany również zbiega się.

Jak wiesz, znalezienie integralności może być raczej skomplikowanym zadaniem. Byłoby to wielkie rozczarowanie, aby obliczyć niezgodną integralną i wykryć na końcu sposobu, w jaki rozpakuje się. Dlatego metody pozwalają, bez poważnych obliczeń, w jednym rodzaju funkcji, podejmują wniosek o konwergencję lub rozbieżność niekompletnej integralnej. Pierwsze i drugie teorety porównawcze, które zostaną omówione poniżej, są w dużej mierze pomagają zbadać niepełne integrały o konwergencji.

Niech f (x)? 0. Następnie funkcje

są monotonnie rosnące od zmiennych T lub-D (jak bierzemy D\u003e 0, ma na celu zero po lewej). Jeżeli, ze wzrostem argumentów funkcji F 1 (T) i F2 (-D) pozostają ograniczone od wyżej, oznacza to, że odpowiednie niezrozumiałe całki zbiegają się. Jest to oparte na pierwszym teorecie porównania dla integrowania z funkcji nieodegatywnych.

Załóżmy, że funkcja F (X) i G (x) z X? Warunki:

• 1) 0? F (x)? G (x);
• 2) Funkcje F (X) i G (X) są ciągłe.

Następnie z konwergencji integralności podąża za konwergencją całkowania, a rozbieżność integralności powinna być

Od 0? F (x)? G (x) i funkcje są wtedy ciągłe

Według stanu integralne zbiega się, tj. Ma ostateczną wielkość. W związku z tym integralne łączy się również.

Niech całkowitą rozbieżność. Przypuśćmy, że integralne zbiega się, ale wtedy integralna musi być konwergentna, która jest sprzeczna z warunkami. Nasze założenie jest nieprawidłowe, integralne rozbieżności.

Twierdzenie porównawcze dla niewłaściwych integerów drugiego rodzaju.

Załóżmy, że funkcje F (X) i G (x) na szczelinie, coraz częściej wzrasta wraz z X\u003e +0. Dla niej na nierówności x\u003e +0<. Несобственный интеграл есть эталонный интеграл 2-го рода, который при p=<1 сходится; следовательно, по 1-й теореме сравнения для несобственных интегралов 2-го рода интеграл сходится также.

Twierdzenie porównawcze dla niewłaściwych integrowania pierwszego rodzaju.

Załóżmy, że dla funkcji F (X) i G (x) w przedziale, a segment interkomowy jest ostateczny, to znaczy liczby są ograniczone, a nie nieskończoności. Niektóre zadania prowadzą do potrzeby porzucenia tych ograniczeń. Pojawiają się więc niezbędne integrale.

Znaczenie geometryczne niezgodnej integralności Okazuje się dość proste. W przypadku, gdy funkcja harmonogramu y. = fA.(x.) znajduje się powyżej osi. WÓŁ. Zdefiniowana integralna wyraża obszar krzywoliniowego trapezu, ograniczoną krzywą y. = fA.(x.) , Oś z odcięcia i zamówień x. = zA. , x. = b. . Z kolei niewłaściwa integralna wyraża obszar nieograniczonej (nieskończonej) trapzy, zawartej między liniami y. = fA.(x.) (na rysunku poniżej - czerwony), x. = zA. i oś odciążyła.

W ten sam sposób określane są niezgodne całki i dla innych nieskończonych odstępówek:

Obszar nieskończonej krzywoliniowej trapezu może być skończona liczba, aw tym przypadku niezmienna integralna nazywa się zbieżnymi. Obszar może być nieskończoności, aw tym przypadku niezmienna integralna nazywana jest rozbieżna.

Użyj całkowitego limitu zamiast najbardziej niezgodnych integralności. Aby obliczyć niezgodną integralną, musisz użyć limitu określonej integralnej. Jeśli ten limit istnieje i jest skończony (nie równy nieskończoności), wówczas nieustanna integralna nazywa się zbieżną i inaczej - rozbieżna. Jaka jest zmienna dążenie do oznak limitu, zależy od tego, czy mamy sprawę z niezgodną integralną pierwszym lub drugim rodzajem. Teraz dowiemy się o tym.

Integrals niezbadające z pierwszego rodzaju - z nieskończonymi ograniczeniami i ich konwergencją

Niezamierzone całki z niekończącą się górną granicą

Tak więc zapis integralności immunitetu różni się od zwykłego określonego integralnego w fakcie, że górny limit integracji jest nieskończony.

Definicja. Nieprawidłowy integralny z niekończącą górną granicą integracji z funkcji ciągłej fA.(x.) W przedziale zA. przed ∞ Nazwał limit całkowania tej funkcji z górnym ograniczeniem integracji b. i dolny limit integracji zA. pod warunkiem, że górna granica integracji jest w nieskończoność.

.

Jeśli ten limit istnieje i jest równy pewnej liczbie, a nie nieskończoności integral przychodzący nazywa się zbieżnymii numer, do którego limit jest równy jej wartości. Inaczej zaangażowany integralny nazywa się rozbieżnym I nie przypisuje żadnego znaczenia.

Przykład 1. Oblicz niezgodną integralną (Jeśli zbiega się).

Decyzja. W oparciu o definicję niezgodnego integralnego, znajdziemy

Ponieważ istnieje limit i jest równa 1, to zaangażowany zbiegał się z całej konwerge i równa 1.

W poniższym przykładzie funkcja Integranda jest prawie jak w przykładzie 1, tylko stopień ICA nie jest dwukrotnie, ale litera alfa, ale zadaniem jest studiowanie niepełnej integralności do konwergencji. Oznacza to, że odpowiedź na pytanie: W jakich wartościach alfa, to przychodzące zbieżne zbieżne zbiega się, a co rozbieżna?

Przykład 2. Aby zbadać konwergencję całkowitej (Dolny limit integracji jest większy niż zero).

Decyzja. Załóżmy, że najpierw to

W wynikowej ekspresji zwraca się do limitu, gdy:

Łatwo jest zobaczyć, że limit w prawej części istnieje i jest zero, kiedy to jest, że nie ma, kiedy jest.

W pierwszym przypadku, czyli, gdy jest miejsce. Jeśli następnie I nie ma.

Wypłata naszego badania jest następujące: To zaangażowany zbiegał się z całej konwerge na I. odchodzić w.

Ubieganie się do złożonego typu wewnętrznej formuły integralnej Newton-Leibnia , Możesz wycofać następującą formułę bardzo podobną do niego:

.

Jest to ogólna formuła Newton Labitsa.

Przykład 3. Oblicz niezgodną integralną (Jeśli zbiega się).

Limit tej integralnej istnieje:

Druga integralna stanowiąca kwotę wyrażającą oryginalną integralną:

Limit tej integralnej istnieje również:

.

Znajdujemy sumę dwóch całek, które są i wartością początkowej integrowania niezgodnych z dwoma nieskończonymi limitami:

Niezamieszkały całek drugiego rodzaju - z nieograniczonych funkcji i ich konwergencji

Pozwól funkcji fA.(x.) ustawiony na segmencie zA. przed b. I nieograniczony na nim. Załóżmy, że funkcja adresuje nieskończoność w punkcie b. , Podczas gdy we wszystkich innych punktach segmentu jest ciągły.

Definicja. Niekompatybilna integralna funkcja fA.(x.) Na cięciu zA. przed b. Nazwał limit całkowania tej funkcji z górnym ograniczeniem integracji dO. Jeśli z dążeniem dO. do b. Funkcja wzrasta w nieskończoność i w punkcie x. = b. Funkcja nie jest zdefiniowana.

.

Jeśli ten limit istnieje, przychodzące integralne drugiego rodzaju nazywa się zbieżne, w przeciwnym razie rozbieżne.

Korzystając z formuły Newton-Labender, czerpiemy.