W pewnym momencie i ma w nim ciągłe prywatne pochodne, co najmniej jedna nie ma zastosowania do zera, a następnie w pobliżu tego punktu, powierzchnia określona przez równanie (1) właściwa powierzchnia.

W dodatku do powyższego ukryty sposób na zadanie Powierzchnia może być określona oczywistyJeśli jedna z zmiennych, na przykład z, może być wyrażona w reszcie:

Również istnieje parametryczny Metoda przypisania. W tym przypadku powierzchnia jest określona przez system równań:

Pojęcie prostej powierzchni

Dokładniej, prosta powierzchnia Nazywany jest obraz homeomorfowego mapowania (czyli wzajemnie jednoznaczny i wzajemnie ciągły wyświetlacz) wnętrza pojedynczego kwadratu. Ta definicja może mieć wyrażenie analityczne.

Załóżmy na płaszczyźnie z prostokątnym układem współrzędnych U i V, kwadratowy jest ustawiony, współrzędne punktów wewnętrznych, których spełniają nierówności 0< u < 1, 0 < v < 1. Гомеоморфный образ квадрата в пространстве с прямоугольной системой координат х, у, z задаётся при помощи формул х = x(u, v), у = y(u, v), z = z(u, v) (параметрическое задание поверхности). При этом от функций x(u, v), y(u, v) и z(u, v) требуется, чтобы они были непрерывными и чтобы для различных точек (u, v) и (u", v") были различными соответствующие точки (x, у, z) и (x", у", z").

Przykład prosta powierzchnia jest pół asphere. Cała sfera nie jest prosta powierzchnia. Powoduje to dalsze uogólnienie koncepcji powierzchni.

Podzbiór przestrzeni, której każdy punkt ma sąsiedztwo, który jest prosta powierzchnia, nazywa właściwa powierzchnia .

Powierzchnia w geometrii różnicowej

Helikoid

Kattenoid.

Metryk nie definiuje unikalnego kształtu powierzchni. Na przykład, metryka helikicyny i otwór, sparametryzowany odpowiednio, zbieży się, czyli między ich regionami istnieje korespondencja, która utrzymuje wszystkie długości (izometria). Nazywane są właściwości, które utrzymują się w transformacjach izometrycznych geometria wewnętrzna Powierzchnie. Geometria wewnętrzna nie zależy od położenia powierzchni w przestrzeni i nie zmienia się, gdy jest wygięta bez rozciągania i ściskania (na przykład, gdy cylinder jest wygięty do stożka).

Współczynniki metryczne definiują nie tylko długość wszystkich krzywych, ale ogólnie, wyniki wszystkich pomiarów wewnątrz powierzchni (kąty, obszar, krzywizna itp.). Dlatego wszystko, co zależy tylko od metryki odnosi się do geometrii wewnętrznej.

Normalna i normalna sekcja

Normalne wektory w punktach powierzchni

Jedna z głównych cech powierzchni jest jego normalna - Pojedynczy wektor, prostopadle samolotu w określonym punkcie:

.

Normalny znak zależy od wyboru współrzędnych.

Przekrój poprzeczny powierzchni płaszczyzny zawierający normalny (w tym momencie) tworzy pewną krzywą na powierzchni, która jest nazywana normalny przekrój Powierzchnie. Główny standard do normalnego przekroju przekroju zbieży z normalną do powierzchni (z dokładnością znaku).

Jeśli krzywa na powierzchni nie jest normalną sekcją przekroju, to jego główne normalne tworzy pewny kąt θ z normalną powierzchnią. Potem Crivale. k. Krzywa jest związana z krzywizną k. n. Normalna sekcja (z tym samym stycznym) wzorem Menias:

Współrzędne ORT normalnego dla różnych sposobów na zadanie pokazano w tabeli:

	Współrzędne normy w punkcie powierzchni
ukryte zadanie
wyraźne zadanie
zadanie parametryczne.

Krzywizna

Dla różnych kierunków otrzymuje się inna krzywiatura normalnego przekroju poprzecznego, który jest nazywany normalna krzywizna; Przypisuje się znakiem plus, jeśli główna normalna normalna krzywa jest w tym samym kierunku co normalna do powierzchni lub minus, jeśli kierunki są przeciwne.

Ogólnie rzecz biorąc, w każdym punkcie powierzchni znajdują się dwie prostopadłe kierunki. mI. 1 I. mI. 2, w którym normalna krzywizna ma minimalną i maksymalną wartość; Te kierunki są nazywane główny. Wyjątkiem jest przypadek, gdy normalna krzywizna we wszystkich kierunkach tego samego (na przykład w kuli lub na końcu elipsoidy obrotu), a następnie wszystkie kierunki w punkcie są głównymi.

Powierzchnie z ujemną (lewą), zerową (środkową) krzywizną (prawej) krzywizny.

Należy nazywa się normalne krzywizny w głównych kierunkach główni krzywy; Oznacz je κ 1 i κ 2. Wartość:

K. \u003d κ 1 κ 2

nazywa krzywa Gaussa, pełna krzywizna lub po prostu krzywizna Powierzchnie. Termin znajduje się również krzywa skalarnaktóry implikuje wynik tensora krzywizny; Jednocześnie skalar krzywizny jest dwa razy więcej niż krzywizna Gaussa.

Krzywa Gaussa może być obliczona przez metrykę, a zatem jest przedmiotem wewnętrznej geometrii powierzchni (zauważamy, że główne krzywizny do wewnętrznej geometrii nie odnoszą się). Znak krzywizny można sklasyfikować punkty powierzchniowe (patrz rysunek). Krzywa płaszczyzny wynosi zero. Krzywa promienia RADIUS R jest wszędzie. Istnieje również powierzchnia stałej negatywnej krzywizny - pseudosfera.

Linie geodezyjne, krzywiznę geodezyjską

Nazywa się krzywa na powierzchni linia geodezyjska., lub po prostu geodezyjnyJeśli w ogóle jego wskazuje, że główny normalny normalny do krzywej zbieży się z normalną do powierzchni. Przykład: Na płaszczyźnie geodezyjne będzie proste i segmenty linii prostych, na kuli - duże koła i ich segmenty.

Równoważna definicja: Linia geodezyjska ma projekcję jego głównego normalnego na płaszczyźnie dotykowym, jest wektor zerowy. Jeśli krzywa nie jest geodezykiem, określona projekcja jest niezerowa; Jego długość jest nazywana krzywa geodezyjska k. sOL. krzywa na powierzchni. Stosunek to:

,

gdzie k. - krzywizna tej krzywej, k. n. - krzywizna normalnego przekroju z tym samym stycznym.

Linie geodezyjne odnoszą się do geometrii wewnętrznej. Wymień swoje główne właściwości.

• Przez tę powierzchnię powierzchni, jeden i tylko jeden przepustki geodezyjne w danym kierunku.
• Na wystarczająco małej części powierzchni, dwa punkty można zawsze łączyć z geodezyjną, a tylko jeden. Objaśnienie: Na sferze, przeciwni bluzy łączą nieskończone ilości południków, a dwa bliskie punkty mogą być łączone nie tylko przez segment dużego okręgu, ale także jego dodatkiem do pełnego okręgu, dzięki czemu nieuzasadnicza jest obserwowana tylko w małych .
• Geodezja jest wkrótce. Bardziej ściśle: na małym kawałku powierzchni, najkrótsza ścieżka między z góry określonymi punktami jest geodezja.

Powierzchnia

Innym ważnym atrybutem jest jej powierzchnia który jest obliczany przez wzór:

Mianowicie, co widzisz w tytule. Zasadniczo jest to "analog przestrzenny" cele znalezienia styczna i normalna Do wykresu funkcji jednej zmiennej, a zatem nie powinno być trudności.

Zacznijmy od podstawowych pytań: Jaki jest samolot styczny i co jest normalne? Wielu jest świadomy tych koncepcji na poziomie intuicji. Najprostszym modelem przyjście na myśl jest piłką, na której kłama cienki płaski karton. Karton znajduje się jak najbliżej kuli i dotyczy go w jednym punkcie. Ponadto w punkcie dotykowym stał się ściśle w górę igły.

Teoretycznie istnieje dość dowcipna determinacja samolotu stycznego. Wyobraź sobie za darmo powierzchnia I punkt należący do niego. Oczywiście wiele punktów przechodzi przez punkt linie przestrzennektóre należą do tej powierzchni. Kto ma jakieś stowarzyszenia? \u003d) ... Osobiście przedstawiłem ośmiornicę. Przypuśćmy, że każda taka linia istnieje przestrzenna styczna W punkcie.

Definicja 1.: styczna samolot na powierzchnię w punkcie jest samolotzawierające style do wszystkich krzywych należących do tej powierzchni i przejść przez punkt.

Definicja 2.: normalna na powierzchnię w punkcie jest prosto, przechodząc przez ten punkt prostopadłego do stylu.

Prosty i elegancki. Nawiasem mówiąc, abyś nie umierał z nudy z prostoty materiału, trochę później, podzielę się z wami jedną elegancki sekret, który pozwala zapomnieć o Bunningu różnych definicji na zawsze.

Wraz z formułami roboczymi i algorytmami rozwiązania zapoznają się bezpośrednio na konkretnym przykładzie. W przytłaczającej większości zadań równanie płaszczyzny stycznej i równania normalne są również wymagane:

Przykład 1.

Decyzja: Jeśli powierzchnia jest ustawiona przez równanie (tj. domyślnie), Równanie płaszczyzny stycznej do tej powierzchni w punkcie można znaleźć zgodnie z następującym wzorem:

Zwracanie szczególnej uwagi na niezwykłe prywatne pochodne - ich nie bądź zmieszany z częściowe pochodne dajownie określone funkcje (Chociaż określona jest powierzchnia). Jeśli znajdziesz te pochodne, musisz być prowadzony zasady różnicowania funkcji trzech zmiennych, to znaczy, gdy zróżnicowane przez dowolną zmienną dwie inne litery są uważane za stałe:

Bez odchodzenia z kasji, znajdź prywatną pochodną w punkcie:

Podobnie:

Był to najbardziej nieprzyjemny moment rozwiązania, w którym błąd, jeśli nie jest dozwolony, stale wydawało się. Istnieje jednak skuteczny odbiór czeku, o którym mówiłem w klasie Pochodna gradientu.

WSZYSTKIE "SKŁADNIKI" są znalezione, a teraz jest schludną podstawieniem z dalszymi uproszczeniem:

– równanie ogólne Pożądana płaszczyzna styczna.

Zdecydowanie zalecam sprawdzenie tego etapu rozwiązania. Najpierw musisz upewnić się, że współrzędne punktu dotykowego są naprawdę spełniające znane równanie:

- wierna równość.

Teraz "Usuń" współczynniki ogólnego równania płaszczyzny i sprawdzić je do zbiegu okoliczności lub proporcjonalności z odpowiednimi wartościami. W takim przypadku są proporcjonalne. Jak pamiętasz kurs geometrii analitycznej, - to jest wektor normalny samolot styczny i to - przewodnik Normalny prosto. Makijaż równania kanoniczne Normalny w punkcie i podręczniku wektor:

Zasadniczo mianownicy można zmniejszyć do "dwóch", ale nie ma szczególnej potrzeby

Odpowiedź:

Równania nie są równozbawne do wyznaczenia niektórych liter - dlaczego? Tutaj i tak niezwykle jasne, co jest co dzieje.

Następujące dwa przykłady niezależnego rozwiązania. Mały "matematyczny tupter":

Przykład 2.

Znajdź równania samolotu stycznego i normalne do powierzchni w punkcie.

Oraz zadanie, interesujące z technicznego punktu widzenia:

Przykład 3.

Dokonać równań płaszczyzny stycznej i normalnie do powierzchni w punkcie

W punkcie.

Istnieją wszystkie szanse nie tylko do zdezorientowania, ale także w obliczu trudności na piśmie. równania kanoniczne są bezpośrednim. A równania są normalne, jak prawdopodobnie zrozumiałeś, jest zwyczajowo nagrywanie w tym formularzu. Chociaż, ze względu na zapomnienie lub ignorancję niektórych niuansów bardziej niż akceptowalna i parametryczna.

Przykładowe próbki decyzji wykończeniowych na końcu lekcji.

Czy w każdej powierzchni jest samolot styczny? Oczywiście, oczywiście, nie. Klasyczny przykład jest powierzchnia stożkowa I punkt - styczniki w tym momencie bezpośrednio tworzą stożkową powierzchnię i oczywiście nie leżą w tej samej płaszczyźnie. W coś łatwy do upewnienia się i analitycznie :.

Innym źródłem problemów jest fakt nieistnienie jakakolwiek konkretna pochodna w punkcie. Nie oznacza to jednak, że w tym momencie nie ma pojedynczego samolotu stycznego.

Ale było raczej popularne niż praktycznie istotne informacje, a my wracamy do pilnych spraw:

Jak robić równania samolotu stycznego i normalnego w punkcie,
jeśli powierzchnia jest określona przez wyraźną funkcję?

Przepisz go w niejawnej formie:

I na tych samych zasadach znajdują się prywatne pochodne:

Zatem formuła płaszczyzny stycznej przekształca się na następujące równanie:

W związku z tym równania kanoniczne są normalne:

Jak zgadnąć - To już "prawdziwe" prywatne pochodne dwóch zmiennych W momencie zidentyfikowaliśmy literę "ZET" i znalazł 100.500 razy.

Zauważ, że ten artykuł wystarczy, aby zapamiętać pierwszą formułę, z której w razie potrzeby łatwo jest usunąć wszystko inne. (Jasne, posiadanie podstawowego poziomu przygotowania). Takie podejście powinno być używane podczas badania dokładnych nauk, tj. Od minimum informacji konieczne jest dążenie do "wyciągania" maksimum wniosków i konsekwencji. "Dotarcie" i już istniejąca wiedza, aby pomóc! Zasada ta jest również przydatna w fakcie, że z wysokim prawdopodobieństwem pozwoli zaoszczędzić w krytycznej sytuacji, gdy wiesz bardzo mało.

Opracujemy "zmodyfikowane" formuły do \u200b\u200bpary przykładów:

Przykład 4.

Dokonać równań płaszczyzny stycznej i normalnie do powierzchni W punkcie.

Podszewka okazała się tutaj w notacji - teraz litera oznacza punkt samolotu, ale co robić, to taki popularny list ....

Decyzja: Równanie pożądanej płaszczyzny stycznej będzie według wzoru:

Oblicz wartość funkcji w punkcie:

Oblicz prywatne pochodne pierwszej kolejności W tym momencie:

W ten sposób:

Ostrożnie, nie w pośpiechu:

Piszemy równania kanoniczne normalnej w punkcie:

Odpowiedź:

I ostatni przykład niezależnego rozwiązania:

Przykład 5.

Zrób równania płaszczyzny stycznej i normalne do powierzchni w punkcie.

Final - ponieważ faktycznie wyjaśniłem wszystkie chwile techniczne i nie ma nic do dodania. Nawet funkcje zaproponowane w tym zadaniu, smutku i monotonne - prawie gwarantowane w praktyce otrzymasz "wielomian", aw tym sensie przykład nr 2 z wykładnikiem wygląda jak "White Voron". Nawiasem mówiąc, jest znacznie prawdopodobne, że spełnia powierzchnię określoną przez równanie i jest to kolejny powód, dla którego funkcja wprowadziła do artykułu przez "drugą liczbę".

I wreszcie, obiecany tajemnica: więc jak uniknąć wiązek definicji? (Na pewno nie znaczyłem sytuacji, gdy uczeń jest gorący ogolony przed egzaminem)

Definicja dowolnej koncepcji / zjawiska / obiektu, przede wszystkim odpowiedź na następne pytanie: co to jest? (Kto / taki / taki / taki). Świadomie Odpowiadanie na to pytanie, musisz spróbować odzwierciedlić znaczącyoznaki określony Identyfikacja tego lub tego koncepcji / zjawiska / obiektu. Tak, na początku okazuje się nieco ukośnie, niedokładnie i nadmiernie (nauczyciel będzie poprawić \u003d)), ale w czasie rozwija się całkowicie przyzwoita mowa naukowa.

Powtórz na przykład na najbardziej zakłócanych obiektach, odpowiedz na pytanie: Kto jest taka Cheburashka? Nie tak, wszystko jest proste ;-) Jest to wspaniała postać z dużymi uszami, oczami i brązową wełną "? Daleko daleko od definicji - istnieje kilka znaków z takimi cechami .... Ale jest już znacznie bliższy do definicji: "Cheburashka to postać wynalazła pisarz Edward Asspensky w 1966 r., Która ... (transfer głównych cech wyróżniających)". Zwróć uwagę na to, jak działa kompetentny

Niech mamy powierzchnię określoną przez równanie typu

Wprowadzamy następującą definicję.

Definicja 1. Linia prosta nazywa się styczną do powierzchni w pewnym momencie, jeśli jest

styczny do dowolnej krzywej leżącej na powierzchni i przechodząc przez punkt.

Ponieważ przez punkt P przekazuje nieskończoną liczbę różnych krzywych leżących na powierzchni, a style do powierzchni przechodzącego przez ten punkt, ogólnie mówiąc, w nieskończonym zestawie.

Przedstawiamy koncepcję specjalnych i zwykłych punktów powierzchniowych

Jeśli w punkcie wszystkie trzy pochodne są zerowe lub co najmniej jeden z tych pochodnych nie istnieje, punkt M nazywany jest specjalnym punktem powierzchni. Jeśli w punkcie występują wszystkie trzy pochodne i są ciągłe, a co najmniej jeden z nich różni się od zera, wtedy punkt M nazywa się zwykłym punktem powierzchniowym.

Teraz możemy sformułować następujący twierdzenie.

Twierdzenie. Wszystkie linie styczne do tej powierzchni (1) w zwykłym punkcie p leżą w tej samej płaszczyźnie.

Dowód. Rozważ pewną linię L (rys. 206), przechodząc przez ten punkt powierzchni. Pozwól, aby krzywa rozważała ustalona przez równania parametryczne

Styczna do krzywej będzie styczna na powierzchnię. Równania tego stycznego

Jeśli wyrażenia (2) substytut równania (1), to równanie zmieni się w tożsamość względem T, ponieważ krzywa (2) leży na powierzchni (1). Rozróżniając go, otrzymując

Prognozy tego wektora zależą od współrzędnych punktu p; Zauważ, że ponieważ punkt R jest zwyczajny, następnie te projekcje w punkcie p jednocześnie nie obracają się do zera i dlatego

styczna do krzywej przechodzącej przez punkt p i leżący na powierzchni. Prognozy tego wektora są obliczane na podstawie równań (2) przy wartości parametru T odpowiadającej punkcie R.

Obliczamy skalar produkt wektory N i który jest równy ilościowi prac o tych samych nazwach:

W oparciu o równość (3) wyrażenie, które stoi w prawej części, dlatego jest zero,

Od ostatniej równości wynika, że \u200b\u200bwektor LG i wektor styczna do krzywej (2) w punkcie P prostopadle. Argument jest ważny dla dowolnej krzywej (2) przechodzącej przez p i leżąc na powierzchni. W konsekwencji każdy styczny na powierzchnię w punkcie p jest prostopadle do tego samego wektora N, dlatego wszystkie te style klai w tej samej płaszczyźnie prostopadle do wektora LG. Twierdzenie jest udowodnione.

Definicja 2. Samolot, w którym wszystkie styczne bezpośrednie linie na powierzchniach przechodzących przez ten punkt p są nazywane płaszczyzną styczną do powierzchni w punkcie p (rys. 207).

Należy pamiętać, że w różnych punktach powierzchni może nie być płaszczyzny stycznej. W takich punktach styczna bezpośrednia na powierzchnię nie może leżeć w tej samej płaszczyźnie. Na przykład wierzchołek powierzchni stożkowej jest specjalnym punktem.

Dzieci do stożkowej powierzchni w tym momencie nie leżą w tej samej płaszczyźnie (sami tworzą stożkową powierzchnię).

Napisz równanie płaszczyzny stycznej na powierzchnię (1) w zwykłym punkcie. Ponieważ ten samolot jest prostopadle do wektora (4), a następnie jego równanie ma formularz

Jeśli równanie powierzchni jest określone w formie lub równaniu płaszczyzny stycznej w tym przypadku weźmie formularz

Komentarz. Jeśli umieścimy w formule (6), to formuła weźmie formularz

jego właściwa część jest pełną funkcją różnicową. W związku z tym, . W ten sposób pełna funkcja różnicowa dwóch zmiennych w punkcie odpowiadająca przyrostom zmiennych niezależnych X i Y jest równa odpowiedniemu przyrostowi zastosowania płaszczyzny stycznej na powierzchnię, która jest wykresem tej funkcji.

O tytule 3. Direct, prowadzone przez punkt powierzchni (1) prostopadle do płaszczyzny stycznej, nazywany jest normalnie do powierzchni (rys. 207).

Napiszymy normalne równania. Ponieważ jego kierunek pokrywa się z kierunkiem wektora N, a następnie jego równania będą

Równanie normalnego samolotu

1.

4.

Płaszczyzna styczna i normalna powierzchnia

Niech pewna powierzchnia zostanie podana, a jest stałym punktem powierzchniowym i b - zmienną punkt powierzchniowy,

(Rys. 1).

Niezerowy wektor

→

n.

nazywa normalny wektor na powierzchnię w punkcie A, jeśli

LIM. B → A. j \u003d. π 2 .

Punkt powierzchniowy F (X, Y, Z) \u003d 0 nazywany jest zwykłym, jeśli w tym momencie

1. prywatne pochodne F "X, F" Y, F "Z są ciągłe;
2. (F "X) 2 + (F" Y) 2 + (F "Z) 2 ≠ 0.

W przypadku naruszenia co najmniej jednego z tych warunków, zostanie nazwany punkt powierzchniowy specjalny punkt powierzchni .

Twierdzenie 1.Jeśli m (x 0, Y 0, Z 0) - zwykły punkt powierzchniowy f (x, y, z) \u003d 0, a następnie wektor

→ n. \u003d grad f (x 0, y 0, z 0) \u003d f "x (x 0, y 0, z 0) → jA. + F "y (x 0, y 0, z 0) → jOT. + F "z (x 0, y 0, z 0) → k.

(1)

jest to normalne dla tej powierzchni w punkcie m (x 0, y 0, z 0).

Dowóddioda w książce I.M. Petrushko, L.a. Kuznetsova, V.I. PROKHORENKO, V.F. Safonova `` Kurs wyższej matematyki: Zintegrowany rachunek. Funkcje kilku zmiennych. Równania różniczkowe. M.: Wydawnictwo Mei, 2002 (str. 128).

Normalny do powierzchni W niektórych momencie, bezpośrednio, którego wektor przewodnik jest normalny do powierzchni w tym momencie i który przechodzi przez ten punkt.

Kanoniczny równania normalne może być reprezentowany jako

x - x 0 F "x (x 0, y 0, z 0) = Y - y 0 F "y (x 0, y 0, z 0) = Z - Z 0 F "z (x 0, y 0, z 0) .

(2)

Styczna samolot Do powierzchni w pewnym momencie jest płaszczyzna, która przechodzi przez ten punkt prostopadle do normalnej powierzchni do powierzchni w tym momencie.

Z tej definicji wynika z tego równanie samolotu stycznego Ma formularz:

(3)

Jeśli punkt powierzchniowy jest określony, w tym momencie normalnie do wektora powierzchni może nie istnieć, a zatem powierzchnia może nie mieć normalnej i stycznej płaszczyzny.

Geometryczne znaczenie pełnej funkcji różnicowej dwóch zmiennych

Niech funkcję z \u003d f (x, y) odróżniają się w punkcie A (x 0, y 0). Jego harmonogram jest powierzchnią

f (x, y) - z \u003d 0.

Umieść z 0 \u003d f (x 0, y 0). Następnie punkt A (X 0, Y 0, Z 0) należy do powierzchni.

Prywatne pochodne f (x, y, z) \u003d f (x, y) - esencja

F "x \u003d f" x, f "y \u003d f" y, f "z \u003d - 1

i w punkcie A (x 0, y 0, Z 0)

1. są ciągłe;
2. F "2 x + F" 2 Y + F "2 Z \u003d F" 2 x + F "2 Y + 1 ≠ 0.

W konsekwencji A jest zwykłym punktem powierzchniowym F (X, Y, Z) iw tym momencie znajduje się płaszczyzna styczna do powierzchni. Według (3) równanie samolotu stycznego jest:

f "x (x 0, y 0) (x - x 0) + f" y (x 0, y 0) (y - y 0) - (z - z 0) \u003d 0.

Pionowe przemieszczenie punktu na płaszczyźnie stycznej podczas przełączania z punktu A (X 0, Y 0) do dowolnego punktu p (x, y) jest b Q (rys. 2). Zastosowana przyrostowa aplikacja

(Z - Z 0) \u003d f "x (x 0, y 0) (x - x 0) + f" y (x 0, y 0) (y - y 0)

Tutaj w prawej części jest różnica rE. z funkcji z \u003d f (x, y) w punkcie A (x 0, x 0). W związku z tym,
rE. f (x 0, y 0). Istnieje przyrosty zastosowań w punkcie styku samolotu do wykresu funkcji F (X, Y) w punkcie (X 0, Y 0, Z 0 \u003d F (x 0, Y 0)).

Od oznaczania różnicowego wynika, że \u200b\u200bodległość między punktem P na wykresie funkcji a punktem Q na płaszczyźnie stycznej istnieje nieskończenie mały porządek niż odległość od punktu p do punktu a.

1 °

1 °. Równania płaszczyzny stycznej i normalne dla przypadku wyraźnego zadania powierzchni.

Rozważ jedną z geometrycznych zastosowań prywatnych pochodnych funkcji dwóch zmiennych. Pozwól funkcji z. = f (x;y) Różniczkowy w pkt (x 0.; y 0) Jakiś region. RE.Î R2.. Wydaj powierzchnię S,funkcja obrazu z, Samoloty x \u003d x 0 i y \u003d y 0 (Rys. 11).

Samolot h. = x 0. Przekraczanie powierzchni S. Dla niektórych linii z 0 (y) Równanie uzyskuje się przez zastąpienie do ekspresji pierwotnej funkcji z \u003d.=f (x;y) zamiast h. liczby x 0. Punkt M 0 (x 0;y 0.f (x 0;y 0))należą Krijoy. z 0 (y). Na mocy funkcji różnicowej z. W punkcie M 0. funkcjonować z 0 (y) jest również zróżnicowany w punkcie y \u003d y 0. W związku z tym w tym momencie w samolocie x \u003d x 0 Krzywa z 0 (y) może styczna l 1.

Prowadzenie podobnych argumentów na przekrój w. = 0, Budujemy styczna l 2. Krzywa z 0 (x) W punkcie h. = x 0 - Prosto 1 1 i 1 2 określić samolot o nazwie styczna samolot Do powierzchni S. W punkcie M 0.

Uczynić jego równanie. Gdy samolot przechodzi przez punkt Mo (x 0;y 0;z 0), Następnie jego równanie można nagrać w formularzu

A (X - HO) + IN (Y - UH) + C (Z - ZO) \u003d 0,

który można przepisać:

z -Z 0 \u003d a 1 (x - x 0) + b 1 (y - y 0) (1)

(Oddzielenie równania do -s i wskazujące ).

Odnaleźć A 1. i b 1.

Równania style 1 1 i 1 2 mieć rodzaj

odpowiednio.

Tangens l 1. Leży w samolocie a , W związku z tym współrzędne wszystkich punktów l 1. Spełniają równanie (1). Ten fakt może być zapisany jako system.

Umożliwienie tego systemu w stosunku do B 1, otrzymujemy to. Przewodzące podobne rozumowanie styczne l 3.Łatwy do zainstalowania tego.

Zastępujące znaczenia A 1. i b 1 do równania (1), otrzymujemy pożądane równanie samolotu stycznego:

Prosto, przechodząc przez punkt M 0. I prostopadle do samolotu stycznego zbudowanego na tej powierzchni powierzchni nazywa się normalna.

Korzystając ze stanu stanu bezpośredniego i płaszczyzny, łatwo jest uzyskać równania kanoniczne normalnego:

Komentarz. Wzory płaszczyzny stycznej i normalne do powierzchni są uzyskiwane dla zwykłego, tj. Nie specjalne, punkty powierzchniowe. Punkt M 0. Powierzchnie są nazywane specjalny Jeśli w tym momencie wszystkie prywatne pochodne są zero lub przynajmniej jeden z nich nie istnieje. Nie uwzględniamy takich punktów.

Przykład. Napisz równania samolotu stycznego i normalne do powierzchni w swoim punkcie M (2; -1; 1).

Decyzja. Znajdziemy prywatne pochodne tej funkcji i ich wartości w punkcie m

Dlatego stosując formuły (2) i (3), będziemy mieć: z-1 \u003d 2 (x - 2) +2 (y + 1) lub 2x + 2ows-Z - 1 \u003d 0 - równanie samolotu stycznego i - równania normalności.

2 °. Równania płaszczyzny stycznej i normalne dla przypadku ukrytego zadania powierzchni.

Jeśli powierzchnia S. Wysłany przez równanie F (x; y;z) \u003d 0, a następnie równania (2) i (3), biorąc pod uwagę fakt, że prywatne instrumenty pochodne można znaleźć jako pochodne wewnętrznej funkcji.