Wyśrodkowane i znormalizowane zmienne losowe. Normowane zmienne losowe

Różnica między zmienną losową a jego oczekiwaniem matematycznym jest nazywany odchyleniem lub skoncentrowana zmienna losowa:

Wiersz dystrybucji ze środkowej zmiennej losowej ma formularz:

Nieruchomości wyśrodkowana zmienna losowa:

1. Matematyczne oczekiwania odchylenia wynosi 0:

2. Dyspersja losowej wariancji H. Z jego matematycznego oczekiwania jest równe dyspersji najbardziej losowej zmiennej X:

Innymi słowy, dyspersja zmiennej losowej i dyspersja jego odchylenia jest równa sobie nawzajem.

4.2. Jeśli ugięcie H. M (x)podzielony na średnie odchylenie kwadratowe  (X), wtedy otrzymujemy niezwykłą losową kwotę bezwymiarową standardowa (znormalizowana) zmienna losowa:

Nieruchomości Standardowa zmienna losowa:

Matematyczne oczekiwanie standardowej zmiennej losowej wynosi zero: M.(Z.) =0.

Dyspersja standardowej zmiennej losowej wynosi 1: RE.(Z.) =1.

Zadania dla samotnych rozwiązań

Dwie rzeczy są rozgrywane na loterii na 100 biletów, których koszt jest 210 i 60 Cu. Spraw, aby ustawa dystrybucja kwoty zdobywania osoby posiadającej: a) bilet 1, b) 2 biletów. Znajdź charakterystykę numeryczną.

Dwie strzały strzelają do celu raz. Wartość losowa H.- liczba punktów znokautowanych w jednym strzale z pierwszą strzelecką - ma prawo dystrybucyjne:

Z. - ilość punktów, które zostaną powalone z obu strzałami. Określ charakterystykę numeryczną.

Dwóch strzelców strzelają do swojego celu, co czyni go niezależnie od każdego strzału. Prawdopodobieństwo uderzenia celu dla pierwszej strzałki wynosi 0,7, dla drugiego - 0,8. Wartość losowa H. 1 - liczba strzałek pierwszej strzałki, H. 2  Liczba osiągnięć drugiej strzałki. Znajdź prawo dystrybucji: a) całkowitą liczbę trafień; b) zmienna losowa Z.=3H. 1  2H. 2 . Określ właściwości liczbowe całkowitej liczby trafień. Sprawdź wykonanie właściwości oczekiwań matematycznych i dyspersji: M.(3 X.  2 Y.)=3 M.(X.)  2 M.(Y.), RE.(3 X.  2 Y.)=9 RE.(X.)+4 RE.(Y.).

Wartość losowa H.- Przychody spółki - ma prawo dystrybucyjne:

Znajdź prawo dystrybucji zmiennej losowej Z. - Spółka zysku. Określić jego charakterystykę numeryczną.

Zmienne losowe H. i W. Niezależny i mają to samo prawo dystrybucji:

Są te same prawa dystrybucyjne mają losowe zmienne 2 H. i H. + W. ?

Udowodnij, że matematyczne oczekiwanie standardowej zmiennej losowej wynosi zero, a dyspersja jest równa 1.

Powyżej zapoznaliśmy się z prawami dystrybucji zmiennych losowych. Każda ustawa dystrybucyjna wyczerpująco opisuje właściwości prawdopodobieństwa zmiennej losowej i umożliwia obliczenie prawdopodobieństwa jakichkolwiek zdarzeń związanych z zmienną losową. Jednak w wielu praktykach nie ma potrzeby takiego pełnego opisu i często jest to wystarczające, aby określić tylko poszczególne parametry numeryczne charakteryzujące podstawowe funkcje dystrybucji. Na przykład, średnia, wokół których wartości zmiennej losowej są rozproszone, niektóre liczby charakteryzujące wielkość tego rozproszenia. Numery te są zaprojektowane do wyrażania w skompresowanej formie najbardziej niezbędnych funkcji dystrybucji i są nazywane cechy liczbowe zmiennej losowej.

Wśród właściwości liczbowych zmiennych losowych są przede wszystkim uważane za cechy blokujące położenie zmiennej losowej na osi numerycznej, tj. Kilka średniej wartości zmiennej losowej, w pobliżu których zgrupowane są jego możliwe wartości. Od charakterystyki pozycji w teorii prawdopodobieństwa odgrywa największą rolę wartość oczekiwanaktóry jest czasami po prostu nazywany średniej wartości zmiennej losowej.

Załóżmy, że dyskretne SV? x (x 2, ..., x n Z prawdopodobieństwami r.jot, p 2, ... PTV te. Ustaw szereg dystrybucji

Możliwe, że w tych eksperymentach wartość x. zauważony N ( razy, znaczenie x 2 - N 2 razy ..., co oznacza x n - n n n czas. W tym samym czasie +. N2. +... + N n \u003d n.

Średnie wyniki arytmetyczne obserwacji

Jeśli N. Veliko, tj. N. - "Oo, potem

opisywanie centrum dystrybucji. Zatem średnia wartość zmiennej losowej nazywana jest oczekiwaniem matematycznym. Dajmy werbalną formułę definicji.

Definicja 3.8. Oczekiwanie matematyczne (MO) Dyskretny św.% Jest nazywany liczbą równą ilością produktów wszystkich jego możliwych wartości w prawdopodobieństwach tych wartości (oznaczenie M;):

Teraz rozważmy przypadek, gdy liczba możliwych wartości dyskretnych SV?, Zliczająco, tj. Mamy PP.

Formuła do oczekiwań matematycznych pozostaje taka sama, tylko w górnej limicie kwoty p. Zastąpiony oo, tj.

W takim przypadku otrzymujemy już numer, który może i rozpraszać, tj. Odpowiednie SV ^ może nie mieć oczekiwań matematycznych.

Przykład 3.8. SV?, Ustaw szereg dystrybucji

Znajdziemy MO tego św.

Decyzja. A-priory. te. Mt, nie istnieje.

Tak więc w przypadku policzalnej liczby wartości, następujące definicje.

Definicja 3.9. Oczekiwanie matematycznelub znaczy, dyskretny SV, Mając policzalną liczbę wartości, zwane liczbą równą sumie wielu dzieł wszystkich jej możliwych wartości do odpowiednich prawdopodobieństw, pod warunkiem że ta seria zbiega się absolutnie, tj.

Jeśli ta seria rozbiega się lub konwergencja, mówią, że SV ^ nie ma oczekiwań matematycznych.

Przejdźmy z dyskretnego SV do ciągłego z gęstością p (x).

Definicja 3.10. Oczekiwanie matematycznelub znaczy, ciągły św. zwany liczbą równą

pod warunkiem, że ta integralna zbiega się absolutnie.

Jeśli ta integralna jest rozeszła lub skonstruowana warunkowo, powiedzą, że ciągłe sv?, Nie ma oczekiwań matematycznych.

Uwaga 3.8. Jeśli wszystkie możliwe wartości zmiennej losowej j;

należą tylko do interwału ( ale; B) że

Oczekiwanie matematyczne nie jest jedyną cechą położenia stosowanego w teorii prawdopodobieństwa. Czasami używane są takie jak moda i mediana.

Definicja 3.11. Modoy. Sv ^ (oznaczenie Mot,) Nazywa się swoją najbardziej prawdopodobną wartością, tj. wtedy, dla którego prawdopodobieństwo lICZBA PI. lub gęstość prawdopodobieństwa p (x) Dociera do największej wartości.

Definicja 3.12. Mediana SV? (Oznaczenie Spotkał) Nazywany jest jego wartością, dla której P (t\u003e MET) \u003d P (?\u003e Spotkał) = 1/2.

Geometrycznie dla ciągłego mediany SV - jest to odcięcie punktu osi O, Dla których kwadraty leżące po lewej i po prawej stronie są takie same i równe 1/2.

Przykład 3.9. Św.t, Ma wiele dystrybucji

Znajdujemy oczekiwania matematyczne, mody i mediana

Decyzja. M, \u003d 0-0,1 + 1 0,3 + 2 0,5 + 3 0,1 \u003d 1,6. L / O? \u003d 2. ja (?) Nie istnieje.

Przykład 3.10. Ciągłe St.% ma gęstość

Znajdujemy oczekiwania matematyczne, mediana i mody.

Decyzja.

p (x) Osiąga maksimum, oczywiście jest mediana jest równa, ponieważ obszar zgodnie z prawą i lewą stroną linii przechodzącym przez punkt jest równy.

Oprócz właściwości stanowiska w teorii prawdopodobieństwa zużywa kolejna liczba właściwości numerycznych różnych celów. Wśród nich są szczególne znaczenie dla momentów - pierwotnej i centralnej.

Definicja 3.13. Początkowy moment K-TH SV?, Zwane oczekiwaniem matematycznym k-j. Stopień tej wartości: \u003d M (t\u003e k).

Od określenia oczekiwań matematycznych dla dyskretnych i ciągłych zmiennych losowych wynika z tego

Uwaga 3.9. Oczywiście początkowy moment pierwszej kolejności jest oczekiwaniem matematycznym.

Zanim dasz determinację centralnego momentu wprowadzimy nową koncepcję skupionej zmiennej losowej.

Definicja 3.14. Centralizowany SV nazywany jest odchyleniem losowej zmiennej z oczekiwań matematycznych, tj.

Łatwo się to upewnić

Centrowanie zmiennej losowej jest oczywiście równoważne przeniesieniem początku odniesienia do punktu M; Nazywane są chwile koncentrowanej losowej zmiennej centralne chwile.

Definicja 3.15. Centralny moment zamówienia K-TH St.% nazywa się oczekiwaniem matematycznym k-j. Stopień koncentrowanej zmiennej losowej:

Z określania oczekiwań matematycznych

Oczywiście, dla dowolnej zmiennej losowej ^ Głównym momentem pierwszego rzędu wynosi zero: z H. \u003d M (? 0) \u003d 0.

Szczególne znaczenie dla praktyki ma drugi centralny moment c2.Nazywa się to dyspersją.

Definicja 3.16. Dyspersja SV? Nazywany jest matematycznym oczekiwaniem kwadratu odpowiedniej wartości koncentrowanej (oznaczenie RE?)

Aby obliczyć dyspersję, możesz uzyskać następujące wzory bezpośrednio z definicji:

Konwersja formuła (3.4), możesz uzyskać następujący formułę do obliczania Dl;.

Dyspersja SV jest charakterystyczna dyspersjaRozpraszanie przypadkowych wartości w pobliżu jego oczekiwań matematycznych.

Dyspersja ma wymiar kwadratowy zmiennej losowej, która nie zawsze jest wygodna. Dlatego dla jasności jako charakterystyki dyspersji, wygodne jest użycie numeru, którego wymiar zbiega się z wymiarem zmiennej losowej. W tym celu pierścień kwadratowy jest usuwany z dyspersji. Wartość jest nazywana średnie odchylenie kwadratowe zmienna losowa. Oznaczymy to: a \u003d l / s.

Dla nieadegatywnych SV?, Jako charakterystyka, czasami jest używana współczynnik zmiennościrówny stosunku średniego odchylenia kwadratowego do oczekiwań matematycznych:

Znajomość oczekiwań matematycznych i średnie odchylenie kwadratowe o zmiennej losowej może być przybliżoną reprezentacją zakresu jego możliwych wartości. W wielu przypadkach możemy założyć, że wartości zmiennej losowej% czasami wykraczają poza interwał m; ± za. Ta reguła służy do normalnego dystrybucji, że będziemy wstydzić w przyszłości, nosi nazwę rządzić trzema sigmami.

Oczekiwanie matematyczne i dyspersja - najczęściej stosowane właściwości liczbowe zmiennej losowej. Od określania oczekiwań matematycznych i dyspersji, przestrzegane są pewne proste i wystarczająco oczywiste właściwości tych właściwości numerycznych.

Najprostszywłaściwości oczekiwań matematycznych i dyspersji.

1. Matematyczne oczekiwanie nie-losowe z Równie największa wartość z: M (c) \u003d s.

Rzeczywiście od wartości z Zajmuje tylko jedną wartość z prawdopodobieństwem 1, a następnie m (c) \u003d z 1 \u003d s.

2. Dyspersja wartości nie-losowej z zerową, tj. D (c) \u003d 0.

Naprawdę, DC \u003d M (C - MS) 2 \u003d M (z - c) 2 \u003d M (0) = 0.

3. Non-losowy mnożnik można wykonać na oznakę oczekiwań matematycznych: M (s ^) \u003d z M (?,).

Pokazujemy sprawiedliwość tej nieruchomości na przykładzie dyskretnego św.

Pozwól mu ustawić wiele dystrybucji

Następnie

W związku z tym,

Podobnie, właściwość jest udowodniona i dla ciągłej zmiennej losowej.

4. Mnożnik nie-losowy można wykonać dla znaku dyspersji na placu:

Im więcej chwil losowej wariancji są znane, tym bardziej szczegółowy pomysł prawa dystrybucyjnego.

W teorii prawdopodobieństwa i jej zastosowań dwie kolejne cechy liczbowe zmiennej losowej, w oparciu o centralne punkty trzeciej i 4 rzędów, są współczynnik asymetrii)