Jeśli granica zmierza do liczby. Limity

Spójrzmy na kilka ilustrujących przykładów.

Niech x będzie zmienną numeryczną, X obszarem jej zmiany. Jeśli każda liczba x należąca do X jest powiązana z pewną liczbą y, to mówią, że na zbiorze X jest określona funkcja i piszą y = f(x).
Zbiór X w tym przypadku jest płaszczyzną składającą się z dwóch osi współrzędnych - 0X i 0Y. Przedstawmy na przykład funkcję y = x 2. Osie 0X i 0Y tworzą X – obszar jego zmiany. Rysunek wyraźnie pokazuje, jak zachowuje się funkcja. W tym przypadku mówią, że funkcja y = x 2 jest zdefiniowana na zbiorze X.

Zbiór Y wszystkich wartości cząstkowych funkcji nazywany jest zbiorem wartości f(x). Innymi słowy, zbiór wartości to przedział wzdłuż osi 0Y, w którym zdefiniowana jest funkcja. Przedstawiona parabola wyraźnie pokazuje, że f(x) > 0, ponieważ x2 > 0. Zatem zakres wartości będzie wynosił . Patrzymy na wiele wartości przez 0Y.

Zbiór wszystkich x nazywany jest dziedziną f(x). Patrzymy na wiele definicji według 0X i w naszym przypadku zakres akceptowalnych wartości wynosi [-; +].

Punkt a (a należy do lub X) nazywa się punktem granicznym zbioru X, jeżeli w dowolnym sąsiedztwie punktu a znajdują się punkty zbioru X różne od a.

Nadszedł czas, aby zrozumieć, jaka jest granica funkcji?

Czyste b, do którego funkcja dąży, tak jak x dąży do liczby a, nazywa się granica funkcji. Jest to napisane w następujący sposób:

Na przykład f(x) = x 2. Musimy dowiedzieć się, do czego funkcja dąży (nie jest równa) przy x 2. Najpierw zapisujemy granicę:

Spójrzmy na wykres.

Narysujmy linię równoległą do osi 0Y przez punkt 2 na osi 0X. Przetnie nasz wykres w punkcie (2;4). Opuśćmy prostopadłą z tego punktu na oś 0Y i przejdźmy do punktu 4. Do tego właśnie dąży nasza funkcja przy x 2. Jeśli teraz podstawimy wartość 2 do funkcji f(x), odpowiedź będzie taka sama .

Teraz, zanim przejdziemy do obliczanie limitów, wprowadźmy podstawowe definicje.

Wprowadzony przez francuskiego matematyka Augustina Louisa Cauchy’ego w XIX wieku.

Załóżmy, że funkcja f(x) jest zdefiniowana na pewnym przedziale zawierającym punkt x = A, ale nie jest konieczne określenie wartości f(A).

Następnie, zgodnie z definicją Cauchy’ego, granica funkcji f(x) będzie pewną liczbą B, gdzie x dąży do A, jeśli dla każdego C > 0 istnieje liczba D > 0, dla której

Te. jeżeli funkcja f(x) przy x A jest ograniczona granicą B, to zapisuje się to w postaci

Limit sekwencji wywoływana jest pewna liczba A, jeżeli dla dowolnej dowolnie małej liczby dodatniej B > 0 istnieje liczba N, dla której wszystkie wartości w przypadku n > N spełniają nierówność

Limit ten wygląda.

Ciąg mający granicę nazwiemy zbieżnym, jeśli nie, nazwiemy go rozbieżnym.

Jak już zauważyłeś, granice sygnalizuje ikona lim, pod którą zapisywany jest jakiś warunek dla zmiennej, a następnie zapisana jest sama funkcja. Zbiór taki będzie odczytany jako „granica funkcji podlegającej...”. Na przykład:

- granica funkcji, gdy x dąży do 1.

Wyrażenie „zbliża się do 1” oznacza, że x kolejno przyjmuje wartości zbliżające się do 1 nieskończenie blisko.

Teraz staje się jasne, że aby obliczyć tę granicę, wystarczy zastąpić wartość 1 wartością x:

Oprócz określonej wartości liczbowej, x może również dążyć do nieskończoności. Na przykład:

Wyrażenie x oznacza, że x stale rośnie i bez ograniczeń dąży do nieskończoności. Dlatego podstawiając nieskończoność zamiast x, staje się oczywiste, że funkcja 1-x będzie dążyć do , ale z przeciwnym znakiem:

Zatem, obliczanie limitów sprowadza się do znalezienia jej konkretnej wartości lub pewnego obszaru, w którym mieści się funkcja ograniczona granicą.

Z powyższego wynika, że przy obliczaniu limitów istotne jest stosowanie kilku zasad:

Zrozumienie istota granicy i podstawowe zasady obliczenia graniczne, zyskasz kluczowy wgląd w to, jak je rozwiązać. Jeśli jakikolwiek limit sprawia Ci trudności, napisz w komentarzach, a na pewno Ci pomożemy.

Uwaga: Orzecznictwo jest nauką prawa, która pomaga w konfliktach i innych trudnościach życiowych.

Rozwiązując problemy ze znalezieniem limitów, należy pamiętać o pewnych limitach, aby nie przeliczać ich za każdym razem. Łącząc te znane limity, znajdziemy nowe limity wykorzystując właściwości wskazane w § 4. Dla wygody przedstawiamy najczęściej spotykane granice: Granice 1 lim x - a x a 2 lim 1 = 0 3 lim x- ± co X ± 00 4 lim -L, = oo X->o\X\ 5 lim sin*- l X -о X 6 lim f(x) = f(a), jeśli f (x) jest ciągłe x a Jeśli wiadomo, że funkcja jest ciągła, to zamiast znajdować granicę, obliczamy wartość funkcji. Przykład 1. Znajdź lim (x*-6l:+ 8). Ponieważ jest ich wiele - X->2

funkcja członowa jest ciągła, wtedy lim (x*-6x4- 8) = 2*-6-2 + 8 = 4. x-+2 x*_2x 4-1 Przykład 2. Znajdź lim -r. . Najpierw znajdujemy granicę mianownika: lim [xr-\-bx)= 12 + 5-1 =6; nie jest równe zero X-Y1, co oznacza, że możemy zastosować właściwość 4 § 4, wówczas x™i *" + &* ~~ lim (x2 bx) - 12 + 5-1 ""6 1. Granica mianownik X X jest równy zero, dlatego nie można zastosować własności 4 z § 4. Ponieważ licznik jest liczbą stałą, a mianownik [x2x) -> -0 dla x - - 1, to cały ułamek rośnie nieograniczenie w wartość bezwzględna, czyli lim " 1 X - * - - 1 x* + x Przykład 4. Znajdź lim\-ll*"!"" "Granica mianownika wynosi zero: lim (xr-6lg+ 8) = 2*- 6-2 + 8 = 0, więc właściwość X 4 § 4 nie ma zastosowania. Ale granica licznika jest również równa zeru: lim (x2 - 5d; + 6) = 22 - 5-2-f 6 = 0. Zatem granice licznika i mianownika są jednocześnie równe zero. Liczba 2 jest jednak pierwiastkiem zarówno licznika, jak i mianownika, więc ułamek można pomniejszyć o różnicę x-2 (zgodnie z twierdzeniem Bezouta). W rzeczywistości x*-5x + 6 (x-2) (x-3) x-3 x"-6x + 8~ (x-2) (x-4) ~~ x-4" zatem xr- - f- 6 g x-3 -1 1 Przykład 5. Znajdź lim xn (n liczba całkowita, dodatnia). X z Mamy xn = X* X . . X, n razy Ponieważ każdy czynnik rośnie bez ograniczeń, iloczyn również rośnie bez ograniczeń, tj. lim xn = oo. x oo Przykład 6. Znajdź lim xn(n liczba całkowita, dodatnia). X -> - CO Mamy xn = x x... x. Ponieważ każdy czynnik rośnie w wartości bezwzględnej, pozostając ujemnym, to w przypadku stopnia parzystego iloczyn będzie rósł w sposób nieograniczony, pozostając dodatnim, tj. lim *n = + oo (dla parzystego n). *-* -о W przypadku stopnia nieparzystego wartość bezwzględna iloczynu rośnie, ale pozostaje ujemna, tj. lim xn = - oo (dla n nieparzystego). p -- 00 Przykład 7. Znajdź lim . x x-*- co * Jeśli m>pu to możemy zapisać: m = n + kt gdzie k>0. Dlatego xm b lim -=- = lim -=-= lim x. UP Yn x -x> A x yu Doszliśmy do przykładu 6. Jeśli ti uTL xm I lim lim lim t. X - O x-* yu L X ->co Tutaj licznik pozostaje stały, a mianownik rośnie w wartości bezwzględnej, dlatego lim -ь = 0. Х-*оо X* Zaleca się zapamiętanie wyniku tego przykładu w następującej postaci: Funkcja potęgowa rośnie tym szybciej, im większy jest wykładnik. $хв_Зхг + 7

Przykłady

Przykład 8. Znajdź lim g L -g-=. W tym przykładzie x-*® "J* "G bX -ox-o, a licznik i mianownik rosną bez ograniczeń. Podzielmy licznik i mianownik przez największą potęgę z x, czyli na xb, to 3 7_ Przykład 9. Znajdź lira... Wykonując przekształcenia otrzymujemy lira... ^ = lim X CO + 3 7 3 Ponieważ lim -5 = 0, lim -, = 0, to granica mianownika rad-*® X X-+-CD X wynosi zero, natomiast granica licznika wynosi 1. W rezultacie cały ułamek rośnie bez ograniczeń, tj. t. 7x hm X-+ yu Przykład 10. Znajdź lim oblicz mianownik granicy S, pamiętając, że funkcja cos* jest ciągła: lira (2 + cos x) = 2 + cosy = 2. Wtedy x->- S lim (l-fsin*) Przykład 15. Znajdź lim *<*-e>2 i lim e "(X"a)\ Polo X-+ ± co X ± CO naciśnij (l: - a)2 = z; ponieważ (Λ;-a)2 rośnie zawsze nieujemnie i bez ograniczeń z x, to dla x - ±oo nowa zmienna z-*oc. Otrzymujemy zatem qt £<*-«)* = X ->± 00 s=lim ег = oo (patrz uwaga do §5). g -*■ co Podobnie lim e~(X-a)2 = lim e~z=Q, ponieważ x ± oo g m - (x- a)z maleje bez ograniczeń jako x ->±oo (patrz uwaga do §

Zwykle druga niezwykła granica jest zapisana w następującej formie:

\begin(równanie) \lim_(x\to\infty)\left(1+\frac(1)(x)\right)^x=e\end(równanie)

Liczba $e$ wskazana po prawej stronie równości (1) jest niewymierna. Przybliżona wartość tej liczby to: $e\about(2(,)718281828459045)$. Jeśli dokonamy zamiany $t=\frac(1)(x)$, wówczas wzór (1) można przepisać w następujący sposób:

\begin(równanie) \lim_(t\to(0))\biggl(1+t\biggr)^(\frac(1)(t))=e\end(równanie)

Jeśli chodzi o pierwszą niezwykłą granicę, nie ma znaczenia, które wyrażenie zastępuje zmienną $x$ we wzorze (1) czy zamiast zmiennej $t$ we wzorze (2). Najważniejsze jest spełnienie dwóch warunków:

Podstawa stopnia (czyli wyrażenie w nawiasach wzorów (1) i (2)) powinna dążyć do jedności;
Wykładnik (tj. $x$ we wzorze (1) lub $\frac(1)(t)$ we wzorze (2)) musi dążyć do nieskończoności.

Mówi się, że druga niezwykła granica ujawnia niepewność wynoszącą 1^\infty$. Należy pamiętać, że we wzorze (1) nie określamy, o której nieskończoności ($+\infty$ czy $-\infty$) mówimy. W każdym z tych przypadków wzór (1) jest poprawny. We wzorze (2) zmienna $t$ może dążyć do zera zarówno po lewej, jak i po prawej stronie.

Zauważam, że z drugiej niezwykłej granicy wynika również kilka użytecznych konsekwencji. Przykłady wykorzystania drugiego niezwykłego limitu, a także jego konsekwencje, są bardzo popularne wśród kompilatorów standardowych standardowych obliczeń i testów.

Przykład nr 1

Oblicz granicę $\lim_(x\to\infty)\left(\frac(3x+1)(3x-5)\right)^(4x+7)$.

Zauważmy od razu, że podstawa stopnia (tj. $\frac(3x+1)(3x-5)$) dąży do jedności:

$$ \lim_(x\to\infty)\frac(3x+1)(3x-5)=\left|\frac(\infty)(\infty)\right| =\lim_(x\to\infty)\frac(3+\frac(1)(x))(3-\frac(5)(x)) =\frac(3+0)(3-0) = 1. $$

W tym przypadku wykładnik (wyrażenie $4x+7$) dąży do nieskończoności, tj. $\lim_(x\to\infty)(4x+7)=\infty$.

Podstawa stopnia dąży do jedności, wykładnik dąży do nieskończoności, tj. mamy do czynienia z niepewnością $1^\infty$. Zastosujmy wzór, aby ujawnić tę niepewność. Podstawą potęgi wzoru jest wyrażenie $1+\frac(1)(x)$, a w rozważanym przez nas przykładzie podstawą potęgi jest: $\frac(3x+1)(3x- 5) $. Zatem pierwszą czynnością będzie formalne dostosowanie wyrażenia $\frac(3x+1)(3x-5)$ do postaci $1+\frac(1)(x)$. Najpierw dodaj i odejmij jeden:

$$ \lim_(x\to\infty)\left(\frac(3x+1)(3x-5)\right)^(4x+7) =|1^\infty| =\lim_(x\to\infty)\left(1+\frac(3x+1)(3x-5)-1\right)^(4x+7) $$

Należy pamiętać, że nie można po prostu dodać jednostki. Jeśli jesteśmy zmuszeni dodać jeden, to musimy go również odjąć, aby nie zmienić wartości całego wyrażenia. Aby kontynuować rozwiązanie, bierzemy to pod uwagę

$$ \frac(3x+1)(3x-5)-1 =\frac(3x+1)(3x-5)-\frac(3x-5)(3x-5) =\frac(3x+1- 3x+5)(3x-5) =\frac(6)(3x-5). $$

Ponieważ $\frac(3x+1)(3x-5)-1=\frac(6)(3x-5)$, to:

$$ \lim_(x\to\infty)\left(1+ \frac(3x+1)(3x-5)-1\right)^(4x+7) =\lim_(x\to\infty)\ lewo(1+\frac(6)(3x-5)\prawo)^(4x+7) $$

Kontynuujmy regulację. W wyrażeniu $1+\frac(1)(x)$ licznikiem ułamka jest 1, a w naszym wyrażeniu $1+\frac(6)(3x-5)$ licznik wynosi 6$. Aby otrzymać 1 $ w liczniku, wrzuć 6 $ do mianownika, stosując następującą konwersję:

$$ 1+\frac(6)(3x-5) =1+\frac(1)(\frac(3x-5)(6)) $$

Zatem,

$$ \lim_(x\to\infty)\left(1+\frac(6)(3x-5)\right)^(4x+7) =\lim_(x\to\infty)\left(1+ \frac(1)(\frac(3x-5)(6))\right)^(4x+7) $$

Zatem podstawa stopnia, tj. $1+\frac(1)(\frac(3x-5)(6))$, skorygowane do wymaganej we wzorze postaci $1+\frac(1)(x)$. Teraz zacznijmy pracować z wykładnikiem. Należy zauważyć, że we wzorze wyrażenia w wykładnikach i w mianowniku są takie same:

Oznacza to, że w naszym przykładzie wykładnik i mianownik muszą zostać doprowadzone do tej samej postaci. Aby otrzymać wykładnik $\frac(3x-5)(6)$, wystarczy pomnożyć wykładnik przez ten ułamek. Oczywiście, aby zrekompensować takie mnożenie, będziesz musiał natychmiast pomnożyć przez ułamek odwrotny, tj. przez $\frac(6)(3x-5)$. Więc mamy:

$$ \lim_(x\to\infty)\left(1+\frac(1)(\frac(3x-5)(6))\right)^(4x+7) =\lim_(x\to\ infty)\left(1+\frac(1)(\frac(3x-5)(6))\right)^(\frac(3x-5)(6)\cdot\frac(6)(3x-5 )\cdot(4x+7)) =\lim_(x\to\infty)\left(\left(1+\frac(1)(\frac(3x-5)(6))\right)^(\ frac(3x-5)(6))\right)^(\frac(6\cdot(4x+7))(3x-5)) $$

Rozważmy osobno granicę ułamka $\frac(6\cdot(4x+7))(3x-5)$ znajdującego się w potędze:

$$ \lim_(x\to\infty)\frac(6\cdot(4x+7))(3x-5) =\left|\frac(\infty)(\infty)\right| =\lim_(x\to\infty)\frac(6\cdot\left(4+\frac(7)(x)\right))(3-\frac(5)(x)) =6\cdot\ frac(4)(3) =8. $$

Odpowiedź: $\lim_(x\to(0))\biggl(\cos(2x)\biggr)^(\frac(1)(\sin^2(3x)))=e^(-\frac(2) (9))$.

Przykład nr 4

Znajdź granicę $\lim_(x\to+\infty)x\left(\ln(x+1)-\ln(x)\right)$.

Ponieważ dla $x>0$ mamy $\ln(x+1)-\ln(x)=\ln\left(\frac(x+1)(x)\right)$, to:

$$ \lim_(x\to+\infty)x\left(\ln(x+1)-\ln(x)\right) =\lim_(x\to+\infty)\left(x\cdot\ln\ lewo(\frac(x+1)(x)\prawo)\prawo) $$

Rozbudowując ułamek $\frac(x+1)(x)$ na sumę ułamków $\frac(x+1)(x)=1+\frac(1)(x)$ otrzymujemy:

$$ \lim_(x\to+\infty)\left(x\cdot\ln\left(\frac(x+1)(x)\right)\right) =\lim_(x\to+\infty)\left (x\cdot\ln\left(1+\frac(1)(x)\right)\right) =\lim_(x\to+\infty)\left(\ln\left(\frac(x+1) (x)\right)^x\right) =\ln(e) =1. $$

Odpowiedź: $\lim_(x\to+\infty)x\left(\ln(x+1)-\ln(x)\right)=1$.

Przykład nr 5

Znajdź granicę $\lim_(x\to(2))\biggl(3x-5\biggr)^(\frac(2x)(x^2-4))$.

Ponieważ $\lim_(x\to(2))(3x-5)=6-5=1$ i $\lim_(x\to(2))\frac(2x)(x^2-4)= \ infty$, wówczas mamy do czynienia z niepewnością postaci $1^\infty$. Szczegółowe wyjaśnienia podano w przykładzie nr 2, ale tutaj ograniczymy się do krótkiego rozwiązania. Dokonując zamiany $t=x-2$, otrzymujemy:

$$ \lim_(x\to(2))\biggl(3x-5\biggr)^(\frac(2x)(x^2-4)) =\left|\begin(aligned)&t=x-2 ;\;x=t+2\\&t\to(0)\end(aligned)\right| =\lim_(t\to(0))\biggl(1+3t\biggr)^(\frac(2t+4)(t^2+4t))=\\ =\lim_(t\to(0) )\biggl(1+3t\biggr)^(\frac(1)(3t)\cdot 3t\cdot\frac(2t+4)(t^2+4t)) =\lim_(t\to(0) )\left(\biggl(1+3t\biggr)^(\frac(1)(3t))\right)^(\frac(6\cdot(t+2))(t+4)) =e^ 3. $$

Możesz rozwiązać ten przykład w inny sposób, używając zamiany: $t=\frac(1)(x-2)$. Oczywiście odpowiedź będzie taka sama:

$$ \lim_(x\to(2))\biggl(3x-5\biggr)^(\frac(2x)(x^2-4)) =\left|\begin(aligned)&t=\frac( 1)(x-2);\;x=\frac(2t+1)(t)\\&t\to\infty\end(aligned)\right| =\lim_(t\to\infty)\left(1+\frac(3)(t)\right)^(t\cdot\frac(4t+2)(4t+1))=\\ =\lim_ (t\to\infty)\left(1+\frac(1)(\frac(t)(3))\right)^(\frac(t)(3)\cdot\frac(3)(t) \cdot\frac(t\cdot(4t+2))(4t+1)) =\lim_(t\to\infty)\left(\left(1+\frac(1)(\frac(t)( 3))\right)^(\frac(t)(3))\right)^(\frac(6\cdot(2t+1))(4t+1)) =e^3. $$

Odpowiedź: $\lim_(x\to(2))\biggl(3x-5\biggr)^(\frac(2x)(x^2-4))=e^3$.

Przykład nr 6

Znajdź granicę $\lim_(x\to\infty)\left(\frac(2x^2+3)(2x^2-4)\right)^(3x) $.

Przekonajmy się, do czego dąży wyrażenie $\frac(2x^2+3)(2x^2-4)$ pod warunkiem $x\to\infty$:

$$ \lim_(x\to\infty)\frac(2x^2+3)(2x^2-4) =\left|\frac(\infty)(\infty)\right| =\lim_(x\to\infty)\frac(2+\frac(3)(x^2))(2-\frac(4)(x^2)) =\frac(2+0)(2 -0)=1. $$

Zatem w danej granicy mamy do czynienia z niepewnością postaci $1^\infty$, którą ujawnimy korzystając z drugiej niezwykłej granicy:

$$ \lim_(x\to\infty)\left(\frac(2x^2+3)(2x^2-4)\right)^(3x) =|1^\infty| =\lim_(x\to\infty)\left(1+\frac(2x^2+3)(2x^2-4)-1\right)^(3x)=\\ =\lim_(x\to \infty)\left(1+\frac(7)(2x^2-4)\right)^(3x) =\lim_(x\to\infty)\left(1+\frac(1)(\frac (2x^2-4)(7))\right)^(3x)=\\ =\lim_(x\to\infty)\left(1+\frac(1)(\frac(2x^2-4 )(7))\right)^(\frac(2x^2-4)(7)\cdot\frac(7)(2x^2-4)\cdot 3x) =\lim_(x\to\infty) \left(\left(1+\frac(1)(\frac(2x^2-4)(7))\right)^(\frac(2x^2-4)(7))\right)^( \frac(21x)(2x^2-4)) =e^0 =1. $$

Odpowiedź: $\lim_(x\to\infty)\left(\frac(2x^2+3)(2x^2-4)\right)^(3x)=1$.

Teoria granic jest jedną z gałęzi analizy matematycznej. Kwestia rozwiązywania granic jest dość obszerna, ponieważ istnieją dziesiątki metod rozwiązywania granic różnego typu. Istnieją dziesiątki niuansów i sztuczek, które pozwalają rozwiązać ten lub inny limit. Niemniej jednak nadal będziemy starali się zrozumieć główne rodzaje ograniczeń, które są najczęściej spotykane w praktyce.

Zacznijmy od samego pojęcia limitu. Ale najpierw krótkie tło historyczne. W XIX wieku żył Francuz Augustin Louis Cauchy, który położył podwaliny analizy matematycznej i podał ścisłe definicje, w szczególności definicję granicy. Trzeba powiedzieć, że ten sam Cauchy był, jest i będzie w koszmarach wszystkich studentów wydziałów fizyki i matematyki, ponieważ udowodnił ogromną liczbę twierdzeń analizy matematycznej, a każde twierdzenie jest bardziej obrzydliwe od drugiego. W związku z tym nie będziemy rozważać ścisłej definicji limitu, ale spróbujemy zrobić dwie rzeczy:

1. Zrozum, czym jest limit.
2. Naucz się rozwiązywać główne typy limitów.

Przepraszam za niektóre nienaukowe wyjaśnienia, ważne, żeby materiał był zrozumiały nawet dla czajnika, co zresztą jest zadaniem projektu.

Jaka jest zatem granica?

I tylko przykład dlaczego do kudłatej babci....

Każdy limit składa się z trzech części:

1) Dobrze znana ikona limitu.
2) Wpisy pod ikoną limitu, w tym przypadku . Wpis brzmi: „X dąży do jedności”. Najczęściej - dokładnie, chociaż zamiast „X” w praktyce są inne zmienne. W zadaniach praktycznych miejscem jednego może być absolutnie dowolna liczba, a także nieskończoność ().
3) Funkcje pod znakiem ograniczenia, w tym przypadku .

Samo nagranie brzmi następująco: „granica funkcji, gdy x dąży do jedności”.

Spójrzmy na kolejne ważne pytanie - co oznacza wyrażenie „x”? stara się do jednego"? I co w ogóle oznacza „starać się”?
Pojęcie granicy jest, że tak powiem, pojęciem dynamiczny. Zbudujmy sekwencję: najpierw , potem , , …, , ….
Oznacza to, że wyrażenie „x stara się do jednego” należy rozumieć następująco: „x” konsekwentnie przyjmuje wartości które zbliżają się do jedności nieskończenie blisko i praktycznie się z nią pokrywają.

Jak rozwiązać powyższy przykład? W oparciu o powyższe wystarczy podstawić jeden do funkcji pod znakiem ograniczającym:

Zatem pierwsza zasada: Jeśli mamy jakiś limit, najpierw próbujemy po prostu podłączyć liczbę do funkcji.

Rozważaliśmy najprostsze ograniczenia, ale one również występują w praktyce i to wcale nie tak rzadko!

Przykład z nieskończonością:

Zastanówmy się, co to jest? Dzieje się tak, gdy rośnie bez ograniczeń, czyli: najpierw, potem, potem, potem i tak w nieskończoność.

Co w tym momencie dzieje się z funkcją?
, , , …

Zatem: jeśli , to funkcja dąży do minus nieskończoności:

Z grubsza mówiąc, zgodnie z naszą pierwszą zasadą, zamiast „X” podstawiamy nieskończoność do funkcji i otrzymujemy odpowiedź.

Inny przykład z nieskończonością:

Znowu zaczynamy zwiększać do nieskończoności i przyglądamy się zachowaniu funkcji:

Wniosek: gdy funkcja rośnie bez ograniczeń:

I kolejna seria przykładów:

Spróbuj samodzielnie przeanalizować w myślach poniższe kwestie i zapamiętaj najprostsze rodzaje limitów:

, , , , , , , , ,
Jeśli gdziekolwiek masz wątpliwości, możesz wziąć kalkulator i trochę poćwiczyć.
W takim przypadku spróbuj skonstruować ciąg , , . Jeśli następnie , , .

Uwaga: ściśle rzecz biorąc, takie podejście do konstruowania ciągów kilku liczb jest nieprawidłowe, ale do zrozumienia najprostszych przykładów jest całkiem odpowiednie.

Zwróć także uwagę na następującą rzecz. Nawet jeśli podany jest limit z dużą liczbą na górze lub nawet z milionem: , to wszystko jest takie samo , bo prędzej czy później „X” przybierze tak gigantyczne wartości, że milion w porównaniu z nimi będzie prawdziwym mikrobem.

O czym musisz pamiętać i rozumieć z powyższego?

1) Jeśli mamy jakieś ograniczenie, najpierw po prostu próbujemy podstawić liczbę do funkcji.

2) Musisz zrozumieć i natychmiast rozwiązać najprostsze ograniczenia, takie jak , , itp.

Teraz rozważymy grupę granic kiedy , a funkcja jest ułamkiem, którego licznik i mianownik zawierają wielomiany

Przykład:

Oblicz limit

Zgodnie z naszą regułą spróbujemy wstawić do funkcji nieskończoność. Co dostajemy na górze? Nieskończoność. A co dzieje się poniżej? Także nieskończoność. Mamy zatem do czynienia z tak zwaną niepewnością gatunkową. Można by tak pomyśleć i odpowiedź jest gotowa, ale w ogólnym przypadku wcale tak nie jest i konieczne jest zastosowanie pewnej techniki rozwiązania, którą teraz rozważymy.

Jak rozwiązać tego typu limity?

Najpierw patrzymy na licznik i znajdujemy najwyższą potęgę:

Potęga wiodąca w liczniku wynosi dwa.

Teraz patrzymy na mianownik i znajdujemy go również do najwyższej potęgi:

Najwyższy stopień mianownika to dwa.

Następnie wybieramy największą potęgę licznika i mianownika: w tym przykładzie są one takie same i równe dwa.

Zatem metoda rozwiązania jest następująca: aby ujawnić niepewność, należy podzielić licznik i mianownik przez największą potęgę.

Oto odpowiedź, a nie nieskończoność.

Co jest zasadniczo ważne przy projektowaniu decyzji?

Po pierwsze, wskazujemy niepewność, jeśli taka istnieje.

Po drugie, wskazane jest przerwanie rozwiązania w celu uzyskania wyjaśnień pośrednich. Zwykle używam znaku, nie ma on żadnego znaczenia matematycznego, ale oznacza, że rozwiązanie zostaje przerwane w celu pośredniego wyjaśnienia.

Po trzecie, w limicie wskazane jest zaznaczenie, co dokąd zmierza. Kiedy praca jest sporządzana ręcznie, wygodniej jest to zrobić w ten sposób:

Do notatek lepiej używać prostego ołówka.

Oczywiście nie musisz tego robić, ale być może wtedy nauczyciel wskaże niedociągnięcia w rozwiązaniu lub zacznie zadawać dodatkowe pytania dotyczące zadania. Potrzebujesz tego?

Przykład 2

Znajdź granicę
Ponownie w liczniku i mianowniku znajdujemy w najwyższym stopniu:

Maksymalny stopień w liczniku: 3
Maksymalny stopień w mianowniku: 4
Wybierać największy wartość, w tym przypadku cztery.
Zgodnie z naszym algorytmem, aby ujawnić niepewność, dzielimy licznik i mianownik przez .
Kompletne zadanie może wyglądać następująco:

Podziel licznik i mianownik przez

Przykład 3

Znajdź granicę
Maksymalny stopień „X” w liczniku: 2
Maksymalny stopień „X” w mianowniku: 1 (można zapisać jako)
Aby ujawnić niepewność, należy podzielić licznik i mianownik przez . Ostateczne rozwiązanie może wyglądać następująco:

Podziel licznik i mianownik przez

Notacja nie oznacza dzielenia przez zero (nie można dzielić przez zero), ale dzielenie przez nieskończenie małą liczbę.

Zatem odkrywając niepewność dotyczącą gatunków, być może będziemy w stanie to zrobić ostateczny numer, zero lub nieskończoność.

Granice z niepewnością rodzaju i sposobu ich rozwiązywania

Następna grupa granic jest nieco podobna do granic, które właśnie rozważaliśmy: licznik i mianownik zawierają wielomiany, ale „x” nie dąży już do nieskończoności, ale do skończoną liczbą.

Przykład 4

Rozwiąż limit
Najpierw spróbujmy podstawić -1 do ułamka:

W tym przypadku uzyskuje się tzw. niepewność.

Główna zasada: jeśli licznik i mianownik zawierają wielomiany i istnieje niepewność co do postaci , to ujawnić to musisz rozłożyć licznik i mianownik.

Aby to zrobić, najczęściej trzeba rozwiązać równanie kwadratowe i/lub zastosować skrócone wzory na mnożenie. Jeśli o tych rzeczach zapomniałeś, odwiedź stronę Wzory i tablice matematyczne i przeczytaj materiały dydaktyczne Gorące formuły na szkolny kurs matematyki. Swoją drogą najlepiej go wydrukować, jest to potrzebne bardzo często, a informacje lepiej wchłaniają się z papieru.

Zatem rozwiążmy nasz limit

Rozłóż licznik i mianownik

Aby rozłożyć licznik na czynniki, należy rozwiązać równanie kwadratowe:

Najpierw znajdujemy dyskryminator:

I pierwiastek kwadratowy z tego: .

Jeśli dyskryminator jest duży, np. 361, używamy kalkulatora, funkcja wyciągania pierwiastka kwadratowego jest na najprostszym kalkulatorze.

! Jeśli pierwiastek nie zostanie wyodrębniony w całości (uzyskuje się liczbę ułamkową z przecinkiem), jest bardzo prawdopodobne, że wyróżnik został błędnie obliczony lub w zadaniu wystąpiła literówka.

Następnie znajdujemy korzenie:

Zatem:

Wszystko. Licznik jest rozkładany na czynniki.

Mianownik. Mianownik jest już najprostszym czynnikiem i nie ma sposobu, aby go uprościć.

Oczywiście można to skrócić do:

Teraz podstawimy -1 do wyrażenia znajdującego się pod znakiem ograniczającym:

Oczywiście w teście, teście czy egzaminie rozwiązanie nigdy nie jest opisane tak szczegółowo. W ostatecznej wersji projekt powinien wyglądać mniej więcej tak:

Rozłóżmy licznik na czynniki.

Przykład 5

Oblicz limit

Najpierw wersja „końcowa” rozwiązania

Rozłóżmy licznik i mianownik.

Licznik ułamka:
Mianownik:

,

Co jest ważne w tym przykładzie?
Po pierwsze, musisz dobrze zrozumieć, jak objawia się licznik, najpierw wyjęliśmy 2 z nawiasów, a następnie skorzystaliśmy ze wzoru na różnicę kwadratów. To jest formuła, którą musisz poznać i zobaczyć.

Z powyższego artykułu dowiesz się jaki jest limit i z czym się go spożywa – to BARDZO ważne. Dlaczego? Możesz nie rozumieć, czym są wyznaczniki i skutecznie je rozwiązywać; możesz w ogóle nie rozumieć, czym jest pochodna i znaleźć je przez „A”. Ale jeśli nie rozumiesz, czym jest limit, rozwiązywanie praktycznych zadań będzie trudne. Dobrym pomysłem będzie również zapoznanie się z przykładowymi rozwiązaniami i moimi zaleceniami projektowymi. Wszystkie informacje podane są w prostej i przystępnej formie.

Na potrzeby tej lekcji będziemy potrzebować następujących materiałów dydaktycznych: Cudowne Granice I Wzory trygonometryczne. Można je znaleźć na stronie. Instrukcje najlepiej wydrukować – jest to o wiele wygodniejsze, a poza tym często trzeba będzie z nich korzystać offline.

Co jest takiego specjalnego w niezwykłych limitach? Niezwykłą rzeczą w tych granicach jest to, że zostały one udowodnione przez największe umysły sławnych matematyków, a wdzięczni potomkowie nie muszą cierpieć z powodu strasznych ograniczeń ze stosem funkcji trygonometrycznych, logarytmów i potęg. Oznacza to, że szukając granic, będziemy korzystać z gotowych wyników, które zostały udowodnione teoretycznie.

Istnieje kilka cudownych ograniczeń, ale w praktyce w 95% przypadków studenci studiów niestacjonarnych mają dwa wspaniałe ograniczenia: Pierwsza cudowna granica, Drugi wspaniały limit. Należy zaznaczyć, że są to nazwy ugruntowane historycznie i gdy np. mówią o „pierwszej niezwykłej granicy”, mają na myśli bardzo konkretną rzecz, a nie jakiś przypadkowy limit wzięty z sufitu.

Pierwsza cudowna granica

Rozważmy następujące ograniczenie: (zamiast rodzimej litery „on” użyję greckiej litery „alfa”, jest to wygodniejsze z punktu widzenia prezentacji materiału).

Zgodnie z naszą zasadą znajdowania granic (patrz art Limity. Przykłady rozwiązań) próbujemy podstawić zero do funkcji: w liczniku otrzymujemy zero (sinus zera wynosi zero), a w mianowniku oczywiście jest też zero. Mamy zatem do czynienia z niepewnością formy, której na szczęście nie trzeba ujawniać. W toku analizy matematycznej udowadnia się, że:

Ten fakt matematyczny nazywa się Pierwsza cudowna granica. Nie podam analitycznego dowodu granicy, ale przyjrzymy się jej geometrycznemu znaczeniu w lekcji nt nieskończenie małe funkcje.

Często w zadaniach praktycznych funkcje można rozmieścić inaczej, niczego to nie zmienia:

- ten sam pierwszy cudowny limit.

Ale nie możesz sam zmienić licznika i mianownika! Jeśli granicę podano w postaci , to należy ją rozwiązać w tej samej formie, bez przestawiania czegokolwiek.

W praktyce parametrem może być nie tylko zmienna, ale także funkcja elementarna lub funkcja złożona. Jedyną ważną rzeczą jest to, że dąży do zera.

Przykłady:
, , ,

Tutaj , , , , i wszystko jest w porządku – obowiązuje pierwszy cudowny limit.

Ale następujący wpis jest herezją:

Dlaczego? Ponieważ wielomian nie dąży do zera, dąży do pięciu.

Swoją drogą szybkie pytanie: jaki jest limit? ? Odpowiedź znajdziesz na końcu lekcji.

W praktyce nie wszystko przebiega tak gładko, prawie nigdy studentowi nie oferuje się rozwiązania darmowego limitu i uzyskania łatwego przejścia. Hmmm... Piszę te linijki i przyszła mi do głowy bardzo ważna myśl - w końcu lepiej zapamiętać "darmowe" definicje i wzory matematyczne na pamięć, może to być nieocenioną pomocą na teście, gdy pytanie będzie rozstrzygać pomiędzy „dwa” a „trzy”, a nauczyciel decyduje się zadać uczniowi proste pytanie lub zaproponować rozwiązanie prostego przykładu („może on(i) jeszcze wie co?!”).

Przejdźmy do rozważenia praktycznych przykładów:

Przykład 1

Znajdź granicę

Jeśli w limicie zauważymy sinus, to od razu powinno nas to skłonić do zastanowienia się nad możliwością zastosowania pierwszego niezwykłego limitu.

Najpierw staramy się podstawić 0 do wyrażenia pod znakiem limitu (robimy to w myślach lub w wersji roboczej):

Mamy więc niepewność formy koniecznie wskaż w podjęciu decyzji. Wyrażenie pod znakiem granicy jest podobne do pierwszej cudownej granicy, ale to nie jest dokładnie to, jest pod sinusem, ale w mianowniku.

W takich przypadkach pierwsze niezwykłe ograniczenie musimy zorganizować sami, stosując sztuczną technikę. Tok rozumowania mógłby wyglądać następująco: „pod sinusem mamy , co oznacza, że musimy też dostać się do mianownika”.
Odbywa się to bardzo prosto:

Oznacza to, że mianownik jest w tym przypadku sztucznie mnożony przez 7 i dzielony przez te same siedem. Teraz nasze nagranie nabrało znajomego kształtu.
Kiedy zadanie jest sporządzane ręcznie, wskazane jest zaznaczenie pierwszego niezwykłego limitu prostym ołówkiem:

Co się stało? W rzeczywistości nasze zakreślone wyrażenie zamieniło się w jednostkę i zniknęło w pracy:

Teraz pozostaje tylko pozbyć się trzypiętrowej frakcji:

Kto zapomniał o uproszczeniu ułamków wielopoziomowych, proszę o odświeżenie materiału w podręczniku Gorące formuły na szkolny kurs matematyki .

Gotowy. Ostatnia odpowiedź:

Jeśli nie chcesz używać śladów ołówka, rozwiązanie można zapisać w ten sposób:

“

Skorzystajmy z pierwszego cudownego limitu

“

Przykład 2

Znajdź granicę

Znowu widzimy ułamek zwykły i sinus w granicy. Spróbujmy podstawić zero w liczniku i mianowniku:

Rzeczywiście mamy niepewność i dlatego musimy spróbować zorganizować pierwszy wspaniały limit. Na lekcji Limity. Przykłady rozwiązań rozważaliśmy zasadę, że gdy mamy niepewność, musimy rozłożyć licznik i mianownik na czynniki. Tutaj jest to samo, będziemy przedstawiać stopnie jako iloczyn (mnożniki):

Podobnie jak w poprzednim przykładzie, rysujemy ołówkiem wokół niezwykłych granic (tutaj są dwie) i wskazujemy, że dążą one do jedności:

Właściwie odpowiedź jest gotowa:

W poniższych przykładach nie będę robił grafiki w Paint, myślę, jak poprawnie sporządzić rozwiązanie w zeszycie - już rozumiesz.

Przykład 3

Znajdź granicę

Podstawiamy zero do wyrażenia pod znakiem granicy:

Uzyskano niepewność, którą należy ujawnić. Jeśli w granicy znajduje się styczna, prawie zawsze jest ona konwertowana na sinus i cosinus za pomocą dobrze znanego wzoru trygonometrycznego (nawiasem mówiąc, robią w przybliżeniu to samo z cotangensem, patrz materiał metodologiczny Gorące wzory trygonometryczne Na stronie Wzory matematyczne, tabele i materiały źródłowe).

W tym przypadku:

Cosinus zera jest równy jeden i łatwo się go pozbyć (nie zapomnij zaznaczyć, że dąży do jedności):

Tak więc, jeśli w granicy cosinus jest MNOŻNIKIEM, to z grubsza należy go przekształcić w jednostkę, która znika w iloczynie.

Tutaj wszystko okazało się prostsze, bez żadnych mnożeń i dzieleń. Pierwsza niezwykła granica również zamienia się w jedną i znika w produkcie:

W rezultacie uzyskuje się nieskończoność i tak się dzieje.

Przykład 4

Znajdź granicę

Spróbujmy podstawić zero w liczniku i mianowniku:

Otrzymuje się niepewność (cosinus zera, jak pamiętamy, jest równy jeden)

Korzystamy ze wzoru trygonometrycznego. Uwaga! Z jakiegoś powodu limity wykorzystujące tę formułę są bardzo powszechne.

Przesuńmy czynniki stałe poza ikonę limitu:

Zorganizujmy pierwszy wspaniały limit:

Tutaj mamy tylko jedną niezwykłą granicę, która zamienia się w jedną i znika w produkcie:

Pozbądźmy się trzypiętrowej konstrukcji:

Granica jest rzeczywiście rozwiązana, wskazujemy, że pozostały sinus dąży do zera:

Przykład 5

Znajdź granicę

Ten przykład jest bardziej skomplikowany, spróbuj sam to rozgryźć:

Niektóre limity można zredukować do pierwszego niezwykłego limitu zmieniając zmienną, o czym przeczytasz nieco w dalszej części artykułu Metody rozwiązywania granic.

Drugi wspaniały limit

W teorii analizy matematycznej udowodniono, że:

Fakt ten nazywa się drugi wspaniały limit.

Odniesienie: jest liczbą niewymierną.

Parametr może być nie tylko zmienną, ale także złożoną funkcją. Ważne jest tylko to, że dąży do nieskończoności.

Przykład 6

Znajdź granicę

Kiedy wyrażenie pod znakiem limitu jest wyrażone w stopniu, jest to pierwszy znak, że musisz spróbować zastosować drugą cudowną granicę.

Ale najpierw, jak zawsze, staramy się zastąpić wyrażenie nieskończenie dużą liczbą, zasada, według której to się dzieje, została omówiona na lekcji Limity. Przykłady rozwiązań.

Łatwo to zauważyć kiedy podstawa stopnia to , a wykładnik to , czyli istnieje niepewność postaci:

Ta niepewność jest dokładnie ujawniona za pomocą drugiej niezwykłej granicy. Jednak, jak to często bywa, druga cudowna granica nie leży na srebrnej tacy i trzeba ją sztucznie zorganizować. Można rozumować w następujący sposób: w tym przykładzie parametrem jest , co oznacza, że musimy także uporządkować wskaźnik. Aby to zrobić, podnosimy podstawę do potęgi i aby wyrażenie się nie zmieniło, podnosimy ją do potęgi:

Gdy zadanie zostanie wykonane ręcznie, zaznaczamy ołówkiem:

Prawie wszystko gotowe, straszny stopień zamienił się w miły list:

W takim przypadku samą ikonę limitu przesuwamy na wskaźnik:

Przykład 7

Znajdź granicę

Uwaga! Tego typu limity występują bardzo często. Prosimy o dokładne przestudiowanie tego przykładu.

Spróbujmy podstawić nieskończenie dużą liczbę do wyrażenia pod znakiem ograniczenia:

Rezultatem jest niepewność. Ale drugie niezwykłe ograniczenie dotyczy niepewności formy. Co robić? Musimy przeliczyć podstawę stopnia. Rozumujemy w ten sposób: w mianowniku mamy , co oznacza, że w liczniku również musimy uporządkować .