Jak opisać okrąg wokół trapezu równoramiennego. Zapamiętaj i zastosuj właściwości trapezu

Jeśli w trapez wpisano okrąg, problem ma kilka ścieżek, po których można przeprowadzić rozumowanie.

1. Okrąg można wpisać w czworokąt wtedy i tylko wtedy, gdy sumy długości jego przeciwległych boków są równe. Wynika, że Jeżeli w trapez wpisano okrąg, to suma jego podstaw jest równa sumie boków.

AB+CD=AD+BC

2. Odcinki styczne narysowane z jednego punktu są równe. Wynika, że

3. Wysokość trapezu jest równa długości średnicy okręgu wpisanego lub dwóm jego promieniom.

MK jest wysokością trapezu, MK=2r, gdzie r jest promieniem okręgu wpisanego w trapez.

4. Środek okręgu wpisanego jest w punkt przecięcia dwusiecznych kątów trapezu.

Spójrzmy na podstawowy problem.

Znajdź promień okręgu wpisanego w trapez, jeśli punkt styczności dzieli bok na odcinki o długości m i n (CF=m, FD=n).

1) ∠ADC+∠BCD=180° (jako suma kątów jednostronnych wewnętrznych dla prostych równoległych AD i BC oraz siecznej CD);

2) skoro punkt O jest punktem przecięcia dwusiecznych narożników trapezu, to ∠ODF+∠OCF=1/2∙(∠ADC+∠BCD)=90°;

3) skoro suma kątów w trójkącie wynosi 180°, to w trójkącie COD ∠COD=90°;

4) zatem trójkąt COD jest prostokątny, OF jest wysokością poprowadzoną do przeciwprostokątnej, CF i FD są rzutami nóg OC i OD na przeciwprostokątną. Ponieważ wysokość poprowadzona do przeciwprostokątnej znajduje się pomiędzy rzutami nóg na przeciwprostokątną,

Stąd promień okręgu wpisanego w trapez wyraża się w długościach odcinków, ponieważ bok boczny jest podzielony przez punkt styczności, jak

A ponieważ wysokość trapezu jest równa jego średnicy, wysokość trapezu można wyrazić za pomocą długości tych odcinków.

Trapez jest szczególnym przypadkiem czworokąta, w którym jedna para boków jest równoległa. Określenie „trapez” pochodzi od greckiego słowa τράπεζα, oznaczającego „stół”, „stół”. W tym artykule przyjrzymy się rodzajom trapezu i jego właściwościom. Dodatkowo dowiemy się jak obliczyć poszczególne elementy tego np. przekątną trapezu równoramiennego, linię środkową, pole itp. Materiał przedstawiony jest w stylu elementarnej popularnej geometrii, czyli w łatwo dostępnej formie .

Informacje ogólne

Najpierw dowiedzmy się, czym jest czworokąt. Ta figura jest szczególnym przypadkiem wielokąta zawierającego cztery boki i cztery wierzchołki. Dwa wierzchołki czworokąta, które nie sąsiadują ze sobą, nazywane są przeciwległymi. To samo można powiedzieć o dwóch niesąsiadujących ze sobą stronach. Główne typy czworokątów to równoległobok, prostokąt, romb, kwadrat, trapez i naramienny.

Wróćmy więc do trapezów. Jak już powiedzieliśmy, liczba ta ma dwa równoległe boki. Nazywa się je bazami. Pozostałe dwa (nierównoległe) to boki boczne. W materiałach egzaminacyjnych i różnorodnych sprawdzianów często można znaleźć zadania związane z trapezami, których rozwiązanie często wymaga od ucznia posiadania wiedzy nie przewidzianej w programie. Szkolny kurs geometrii zapoznaje uczniów z właściwościami kątów i przekątnych oraz linią środkową trapezu równoramiennego. Ale oprócz tego wspomniana figura geometryczna ma inne cechy. Ale o nich trochę później...

Rodzaje trapezu

Istnieje wiele rodzajów tej figury. Jednak najczęściej zwyczajowo rozważa się dwa z nich - równoramienne i prostokątne.

1. Trapez prostokątny to figura, w której jeden z boków jest prostopadły do ​​podstaw. Jej dwa kąty są zawsze równe dziewięćdziesięciu stopniom.

2. Trapez równoramienny to figura geometryczna, której boki są sobie równe. Oznacza to, że kąty przy podstawach są również równe parami.

Główne zasady metodologii badania właściwości trapezu

Główną zasadą jest stosowanie tzw. podejścia zadaniowego. Właściwie nie ma potrzeby wprowadzania nowych własności tej figury do teoretycznego przebiegu geometrii. Można je odkrywać i formułować w procesie rozwiązywania różnorodnych problemów (najlepiej systemowych). Jednocześnie bardzo ważne jest, aby nauczyciel wiedział, jakie zadania należy przypisać uczniom w danym momencie procesu edukacyjnego. Co więcej, każdą właściwość trapezu można przedstawić jako kluczowe zadanie w systemie zadań.

Drugą zasadą jest tak zwana spiralna organizacja badania „niezwykłych” właściwości trapezu. Oznacza to powrót w procesie uczenia się do indywidualnych cech danej figury geometrycznej. Dzięki temu uczniowie łatwiej je zapamiętają. Na przykład właściwość czterech punktów. Można to udowodnić zarówno badając podobieństwo, jak i później używając wektorów. Natomiast równoważność trójkątów przylegających do boków figury można udowodnić, stosując nie tylko właściwości trójkątów o jednakowych wysokościach narysowanych do boków leżących na tej samej prostej, ale także korzystając ze wzoru S = 1/2( ab*sinα). Ponadto możesz pracować na trapezie wpisanym lub trójkącie prostokątnym na trapezie wpisanym itp.

Wykorzystanie „pozaszkolnych” cech figury geometrycznej w treści zajęć szkolnych jest technologią zadaniową do ich nauczania. Ciągłe odwoływanie się do badanych właściwości podczas przechodzenia przez inne tematy pozwala studentom na głębsze poznanie trapezu i gwarantuje sukces w rozwiązywaniu postawionych problemów. Zacznijmy więc studiować tę cudowną postać.

Elementy i właściwości trapezu równoramiennego

Jak już zauważyliśmy, ta figura geometryczna ma równe boki. Znany jest również jako prawidłowy trapez. Dlaczego jest tak niezwykły i dlaczego otrzymał taką nazwę? Osobliwością tej figury jest to, że nie tylko boki i kąty u podstaw są równe, ale także przekątne. Ponadto suma kątów trapezu równoramiennego wynosi 360 stopni. Ale to nie wszystko! Ze wszystkich znanych trapezów tylko trapez równoramienny można opisać jako okrąg. Wynika to z faktu, że suma przeciwnych kątów tej figury wynosi 180 stopni i tylko pod tym warunkiem można opisać okrąg wokół czworoboku. Kolejną właściwością rozważanej figury geometrycznej jest to, że odległość od wierzchołka podstawy do rzutu przeciwległego wierzchołka na prostą zawierającą tę podstawę będzie równa linii środkowej.

Teraz zastanówmy się, jak znaleźć kąty trapezu równoramiennego. Rozważmy rozwiązanie tego problemu, pod warunkiem, że znane są wymiary boków figury.

Rozwiązanie

Zazwyczaj czworokąt jest zwykle oznaczany literami A, B, C, D, gdzie BS i AD są podstawami. W trapezie równoramiennym boki są równe. Założymy, że ich rozmiar jest równy X, a rozmiary podstaw są równe Y i Z (odpowiednio mniejsze i większe). Aby przeprowadzić obliczenia, należy narysować wysokość H z kąta B. W rezultacie powstaje trójkąt prostokątny ABN, gdzie AB jest przeciwprostokątną, a BN i AN są przyprostokątnymi. Obliczamy rozmiar nogi AN: od większej podstawy odejmujemy mniejszą i dzielimy wynik przez 2. Zapisujemy to w postaci wzoru: (Z-Y)/2 = F. Teraz obliczamy ostrość kąt trójkąta, korzystamy z funkcji cos. Otrzymujemy następujący zapis: cos(β) = X/F. Teraz obliczamy kąt: β=arcos (X/F). Ponadto, znając jeden kąt, możemy określić drugi, w tym celu wykonujemy elementarną operację arytmetyczną: 180 - β. Wszystkie kąty są zdefiniowane.

Istnieje drugie rozwiązanie tego problemu. Najpierw obniżamy go od rogu do wysokości H. Obliczamy wartość nogi BN. Wiemy, że kwadrat przeciwprostokątnej trójkąta prostokątnego jest równy sumie kwadratów nóg. Otrzymujemy: BN = √(X2-F2). Następnie używamy funkcji trygonometrycznej tg. W rezultacie mamy: β = arctan (BN/F). Znaleziono kąt ostry. Następnie definiujemy to podobnie jak w przypadku pierwszej metody.

Własność przekątnych trapezu równoramiennego

Najpierw napiszmy cztery zasady. Jeżeli przekątne w trapezie równoramiennym są prostopadłe, to:

Wysokość figury będzie równa sumie podstaw podzielonej przez dwa;

Jego wysokość i linia środkowa są równe;

Środek okręgu to punkt, w którym ;

Jeśli bok boczny zostanie podzielony przez punkt styczności na odcinki H i M, wówczas jest on równy pierwiastkowi kwadratowemu iloczynu tych odcinków;

Czworokąt utworzony przez punkty styczności, wierzchołek trapezu i środek okręgu wpisanego jest kwadratem, którego bok jest równy promieniowi;

Pole figury jest równe iloczynowi podstaw i iloczynu połowy sumy podstaw i jej wysokości.

Podobne trapezy

Ten temat jest bardzo wygodny do badania właściwości tego. Na przykład przekątne dzielą trapez na cztery trójkąty, a te sąsiadujące z podstawami są podobne, a te sąsiadujące z bokami są równej wielkości. Stwierdzenie to można nazwać właściwością trójkątów, na które trapez jest podzielony przez jego przekątne. Pierwszą część tego stwierdzenia można udowodnić za pomocą znaku podobieństwa pod dwoma kątami. Aby udowodnić drugą część, lepiej zastosować metodę podaną poniżej.

Dowód twierdzenia

Przyjmujemy, że figura ABSD (AD i BS są podstawami trapezu) jest podzielona przez przekątne VD i AC. Punkt ich przecięcia to O. Otrzymujemy cztery trójkąty: AOS - u dolnej podstawy, BOS - u górnej podstawy, ABO i SOD po bokach. Trójkąty SOD i BOS mają wspólną wysokość, jeśli odcinki BO i OD są ich podstawami. Stwierdzamy, że różnica między ich obszarami (P) jest równa różnicy między tymi segmentami: PBOS/PSOD = BO/OD = K. Zatem PSOD = PBOS/K. Podobnie trójkąty BOS i AOB mają wspólną wysokość. Za ich podstawy przyjmujemy segmenty CO i OA. Otrzymujemy PBOS/PAOB = CO/OA = K i PAOB = PBOS/K. Wynika z tego, że PSOD = PAOB.

Aby utrwalić materiał, zaleca się uczniom znalezienie połączenia między obszarami powstałych trójkątów, na które trapez jest podzielony przez jego przekątne, rozwiązując następujący problem. Wiadomo, że trójkąty BOS i AOD mają równe pola, konieczne jest znalezienie pola trapezu. Ponieważ PSOD = PAOB, oznacza to PABSD = PBOS+PAOD+2*PSOD. Z podobieństwa trójkątów BOS i AOD wynika, że ​​BO/OD = √(PBOS/PAOD). Zatem PBOS/PSOD = BO/OD = √(PBOS/PAOD). Otrzymujemy PSOD = √(PBOS*PAOD). Wtedy PABSD = PBOS+PAOD+2*√(PBOS*PAOD) = (√PBOS+√PAOD)2.

Właściwości podobieństwa

Kontynuując rozwój tego tematu, możemy wykazać inne interesujące cechy trapezów. Zatem korzystając z podobieństwa można wykazać własność odcinka przechodzącego przez punkt utworzony przez przecięcie przekątnych tej figury geometrycznej, równoległych do podstaw. W tym celu rozwiążmy następujące zadanie: musimy znaleźć długość odcinka RK przechodzącego przez punkt O. Z podobieństwa trójkątów AOD i BOS wynika, że ​​AO/OS = AD/BS. Z podobieństwa trójkątów AOP i ASB wynika, że ​​AO/AC=RO/BS=AD/(BS+AD). Stąd otrzymujemy RO=BS*BP/(BS+BP). Podobnie z podobieństwa trójkątów DOC i DBS wynika, że ​​OK = BS*AD/(BS+AD). Stąd otrzymujemy RO=OK i RK=2*BS*AD/(BS+AD). Odcinek przechodzący przez punkt przecięcia przekątnych, równoległy do ​​podstaw i łączący dwa boki boczne, dzieli się na pół przez punkt przecięcia. Jego długość jest średnią harmoniczną podstaw figury.

Rozważmy następującą właściwość trapezu, zwaną własnością czterech punktów. Punkty przecięcia przekątnych (O), przecięcie kontynuacji boków (E), a także środki podstaw (T i F) zawsze leżą na tej samej prostej. Można to łatwo udowodnić metodą podobieństwa. Powstałe trójkąty BES i AED są podobne i w każdym z nich środkowe ET i EJ dzielą kąt wierzchołkowy E na równe części. Zatem punkty E, T i F leżą na tej samej prostej. Podobnie punkty T, O, Zh leżą na tej samej prostej, co wynika z podobieństwa trójkątów BOS i AOD. Stąd wnioskujemy, że wszystkie cztery punkty – E, T, O i F – będą leżeć na tej samej linii prostej.

Korzystając z podobnych trapezów, możesz poprosić uczniów o znalezienie długości odcinka (LS), który dzieli figurę na dwie podobne. Odcinek ten musi być równoległy do ​​podstaw. Ponieważ powstałe trapezy ALFD i LBSF są podobne, to BS/LF = LF/AD. Wynika z tego, że LF=√(BS*AD). Stwierdzamy, że odcinek dzielący trapez na dwa podobne ma długość równą średniej geometrycznej długości podstaw figury.

Rozważ następującą właściwość podobieństwa. Opiera się na odcinku dzielącym trapez na dwie równe figury. Zakładamy, że trapez ABSD jest podzielony odcinkiem EH na dwa podobne. Z wierzchołka B pominięto wysokość, którą odcinkiem EN dzielimy na dwie części – B1 i B2. Otrzymujemy: PABSD/2 = (BS+EN)*B1/2 = (AD+EN)*B2/2 i PABSD = (BS+AD)*(B1+B2)/2. Następnie tworzymy układ, którego pierwsze równanie to (BS+EN)*B1 = (AD+EN)*B2, a drugie (BS+EN)*B1 = (BS+AD)*(B1+B2)/2. Wynika z tego, że B2/B1 = (BS+EN)/(AD+EN) i BS+EN = ((BS+AD)/2)*(1+B2/B1). Stwierdzamy, że długość odcinka dzielącego trapez na dwie równe części jest równa pierwiastkowi kwadratowemu długości podstaw: √((BS2+AD2)/2).

Ustalenia dotyczące podobieństwa

W ten sposób udowodniliśmy, że:

1. Odcinek łączący środki boków trapezu jest równoległy do ​​AD i BS i równy średniej arytmetycznej BS i AD (długość podstawy trapezu).

2. Prosta przechodząca przez punkt O przecięcia przekątnych równoległych do AD i BS będzie równa średniej harmonicznej liczb AD i BS (2*BS*AD/(BS+AD)).

3. Odcinek dzielący trapez na podobne ma długość średniej geometrycznej podstaw BS i AD.

4. Element dzielący figurę na dwie równe części ma długość średniego kwadratu liczb AD i BS.

Aby utrwalić materiał i zrozumieć powiązania pomiędzy rozważanymi segmentami, uczeń musi je skonstruować dla konkretnego trapezu. Z łatwością potrafi wskazać linię środkową oraz odcinek przechodzący przez punkt O – przecięcie przekątnych figury – równoległy do ​​podstaw. Ale gdzie będzie zlokalizowany trzeci i czwarty? Odpowiedź ta doprowadzi ucznia do odkrycia pożądanej zależności pomiędzy wartościami średnimi.

Odcinek łączący środki przekątnych trapezu

Rozważ następującą właściwość tej figury. Zakładamy, że odcinek MH jest równoległy do ​​podstaw i dzieli przekątne na pół. Nazwijmy punkty przecięcia Ш i Ш.Odcinek ten będzie równy połowie różnicy podstaw. Przyjrzyjmy się temu bardziej szczegółowo. MS to środkowa linia trójkąta ABS, równa się BS/2. MSH jest środkową linią trójkąta ABD i jest równa AD/2. Następnie otrzymujemy, że ShShch = MSh-MSh, zatem ShShch = AD/2-BS/2 = (AD+VS)/2.

Środek ciężkości

Przyjrzyjmy się, jak wyznacza się ten element dla danej figury geometrycznej. Aby to zrobić, konieczne jest przedłużenie podstaw w przeciwnych kierunkach. Co to znaczy? Musisz dodać dolną podstawę do górnej podstawy - w dowolnym kierunku, na przykład w prawo. I przedłużamy dolny o długość górnego w lewo. Następnie łączymy je po przekątnej. Punkt przecięcia tego odcinka z linią środkową figury jest środkiem ciężkości trapezu.

Trapezy wpisane i opisane

Wymieńmy cechy takich liczb:

1. Trapez można wpisać w okrąg tylko wtedy, gdy jest równoramienny.

2. Trapez można opisać wokół okręgu pod warunkiem, że suma długości ich podstaw jest równa sumie długości boków.

Następstwa okręgu:

1. Wysokość opisanego trapezu jest zawsze równa dwóm promieniom.

2. Bok opisywanego trapezu obserwujemy od środka okręgu pod kątem prostym.

Pierwszy wniosek jest oczywisty, ale aby udowodnić drugi, należy ustalić, że kąt SOD jest prosty, co w rzeczywistości również nie jest trudne. Ale znajomość tej właściwości pozwoli ci używać trójkąta prostokątnego przy rozwiązywaniu problemów.

Określmy teraz te konsekwencje dla trapezu równoramiennego wpisanego w okrąg. Okazuje się, że wysokość jest średnią geometryczną podstaw figury: H=2R=√(BS*AD). Ćwicząc podstawową technikę rozwiązywania problemów trapezowych (zasada rysowania dwóch wysokości), student musi rozwiązać następujące zadanie. Zakładamy, że BT jest wysokością figury równoramiennej ABSD. Konieczne jest znalezienie odcinków AT i TD. Korzystając ze wzoru opisanego powyżej, nie będzie to trudne.

Teraz zastanówmy się, jak określić promień koła za pomocą obszaru opisanego trapezu. Obniżamy wysokość od wierzchołka B do podstawy AD. Ponieważ okrąg jest wpisany w trapez, to BS+AD = 2AB lub AB = (BS+AD)/2. Z trójkąta ABN znajdujemy sinα = BN/AB = 2*BN/(BS+AD). PABSD = (BS+BP)*BN/2, BN=2R. Otrzymujemy PABSD = (BS+BP)*R, z czego wynika, że ​​R = PABSD/(BS+BP).

Wszystkie wzory na linię środkową trapezu

Teraz czas przejść do ostatniego elementu tej figury geometrycznej. Zastanówmy się, jaka jest środkowa linia trapezu (M):

1. Przez podstawy: M = (A+B)/2.

2. Przez wysokość, podstawę i narożniki:

M = A-H*(ctgα+ctgβ)/2;

M = B+N*(ctgα+ctgβ)/2.

3. Poprzez wysokość, przekątne i kąt między nimi. Na przykład D1 i D2 to przekątne trapezu; α, β - kąty między nimi:

M = D1*D2*sinα/2N = D1*D2*sinβ/2N.

4. Powierzchnia przelotowa i wysokość: M = P/N.

Jak znaleźć promień obwodu trapezu?

W zależności od warunków można to zrobić na różne sposoby. Nie ma gotowego wzoru na promień okręgu opisanego na trapezie.

I. Promień okręgu opisanego na trapezie jako promień okręgu opisanego na trójkącie, którego wierzchołki są wierzchołkami trapezu

Okrąg opisany na trapezie przechodzi przez wszystkie jego wierzchołki, dlatego jest opisany na każdym z trójkątów, których wierzchołki są wierzchołkami trapezu.

Ogólnie można to znaleźć za pomocą jednego ze wzorów

gdzie a jest bokiem trójkąta, α jest kątem leżącym naprzeciw niego;

lub według wzoru

gdzie a, b, c to boki, S to obszar trójkąta.

W przypadku trapezu ABCD promień można obliczyć na przykład jako promień okręgu opisanego na trójkącie ABD:

gdzie sinus kąta A można znaleźć w trójkącie prostokątnym ABF:

III. Promień okręgu opisanego na trapezie jako odległość do punktu przecięcia dwusiecznych

Promień okręgu opisanego jest punktem przecięcia dwusiecznych prostopadłych z bokami trapezu. (Możesz rozumować inaczej: w trójkącie równoramiennym AOD (AO=OD=R) wysokość ON jest także medianą. W przypadku trójkąta BOC to samo jest prawdą.)

Jeśli znana jest wysokość trapezu KN=h, podstawy AD=a, BC=b można oznaczyć ON=x.

Jeżeli środek okręgu leży wewnątrz trapezu, OK=h-x, z trójkątów prostokątnych ANO i BKO możemy wyrazić

i zrównaj prawe strony

Rozwiązując te równania dla x, możesz znaleźć R.

IV. Jeżeli przekątna trapezu jest prostopadła do boku, to środek opisanego okręgu leży na środku większej podstawy, a promień jest połową większej podstawy.

Praca projektowa „Ciekawe właściwości trapezu” Wykonali: uczniowie 10. klasy Kudzaeva Ellina Bazzaeva Diana MCOU Liceum im. N.Batako Kierownik: Gagieva A.O. 20 listopada 2015

Cel pracy: Rozważenie właściwości trapezu, których nie uczy się na szkolnym kursie geometrii, ale przy rozwiązywaniu problemów geometrycznych egzaminu Unified State Exam z rozszerzonej części C 4 może być konieczna znajomość i umiejętność zastosować dokładnie te właściwości.

Właściwości trapezu: Jeśli trapez jest podzielony linią równoległą do jego podstaw równą a i b, na dwa równe trapezy. Następnie odcinek tej linii, zawarty pomiędzy bokami bocznymi, jest równy B

Właściwość odcinka przechodzącego przez punkt przecięcia przekątnych trapezu. Odcinek równoległy do ​​podstaw przechodzący przez punkt przecięcia przekątnych jest równy: a w c

Właściwości trapezu: Odcinek prosty równoległy do ​​podstaw trapezu, zamknięty wewnątrz trapezu, jest podzielony na trzy części przez jego przekątne. Wtedy segmenty przylegające do boków są sobie równe. MP=OK R M O K

Własności trapezu równoramiennego: Jeżeli w trapez można wpisać okrąg, to promień okręgu jest średnią proporcjonalną do odcinków, na które punkt styczny dzieli bok. O S V A D. E O

Właściwości trapezu równoramiennego: Jeżeli środek okręgu opisanego leży u podstawy trapezu, to jego przekątna jest prostopadła do boku O A B C D

Właściwości trapezu równoramiennego: W trapez równoramienny można wpisać okrąg, jeśli bok boczny jest równy jego linii środkowej. SVA D godz

1) Jeżeli w opisie problemu jest napisane, że w trapez prostokątny wpisano okrąg, można skorzystać z następujących właściwości: 1. Suma podstaw trapezu jest równa sumie boków. 2. Odległości wierzchołka trapezu od punktów stycznych okręgu wpisanego są równe. 3. Wysokość trapezu prostokątnego jest równa jego mniejszemu bokowi i równa średnicy okręgu wpisanego. 4. Środek okręgu wpisanego jest punktem przecięcia dwusiecznych kątów trapezu. 5. Jeżeli punkt styczny dzieli bok na odcinki m i n, to promień okręgu wpisanego jest równy

Właściwości trapezu prostokątnego, w który wpisano okrąg: 1) Czworokąt utworzony przez środek okręgu wpisanego, punkty styczności i wierzchołek trapezu - kwadrat, którego bok jest równy promieniowi. (AMOE i BKOM to kwadraty o boku r). 2) Jeżeli w trapez prostokątny wpisano okrąg, to pole trapezu jest równe iloczynowi jego podstaw: S=AD*BC

Dowód: Pole trapezu jest równe iloczynowi połowy sumy jego podstaw i wysokości: Oznaczmy CF=m, FD=n. Ponieważ odległości wierzchołków do punktów stycznych są równe, wysokość trapezu jest równa dwóm promieniom okręgu wpisanego, a

I. Dwusieczne kątów bocznych trapezu przecinają się pod kątem 90°. 1)∠ABC+∠BAD=180° (jako jednostronny wewnętrzny z AD∥BC i sieczną AB). 2) ∠ABK+∠KAB=(∠ABC+∠BAD):2=90° (ponieważ dwusieczne przecinają kąty na pół). 3) Ponieważ suma kątów w trójkącie wynosi 180°, w trójkącie ABK mamy: ∠ABK+∠KAB+∠AKB=180°, stąd ∠AKB=180-90=90°. Wniosek: Dwusieczne kątów na bocznej stronie trapezu przecinają się pod kątem prostym. Stwierdzenia tego używa się przy rozwiązywaniu problemów na trapezie, w który wpisany jest okrąg.

I I. Punkt przecięcia dwusiecznych trapezu przylegających do boku bocznego leży na linii środkowej trapezu. Niech dwusieczna kąta ABC przecina bok AD w punkcie S. Wtedy trójkąt ABS jest równoramienny o podstawie BS, co oznacza, że ​​jego dwusieczna AK jest jednocześnie środkową, czyli punkt K jest środkiem BS. Jeżeli M i N są środkami boków trapezu, to MN jest linią środkową trapezu i MN∥AD. Ponieważ M i K są środkami AB i BS, wówczas MK jest linią środkową trójkąta ABS i MK∥AS. Ponieważ przez punkt M można poprowadzić tylko jedną prostą równoległą do tej, punkt K leży na linii środkowej trapezu.

III. Punkt przecięcia dwusiecznych kątów ostrych u podstawy trapezu należy do innej podstawy. W tym przypadku trójkąty ABK i DCK są równoramienne o podstawach odpowiednio AK i DK. Zatem BC=BK+KC=AB+CD. Wniosek: Jeżeli dwusieczne kątów ostrych trapezu przecinają się w punkcie należącym do mniejszej podstawy, to mniejsza podstawa jest równa sumie boków bocznych trapezu. Trapez równoramienny w tym przypadku ma mniejszą podstawę dwukrotnie większą od jego boku.

I V. Punkt przecięcia dwusiecznych kątów rozwartych u podstawy trapezu należy do innej podstawy. W tym przypadku trójkąty ABF i DCF są równoramienne o podstawach odpowiednio BF i CF. Zatem AD=AF+FD=AB+CD. Wniosek: Jeżeli dwusieczne kątów rozwartych trapezu przecinają się w punkcie należącym do większej podstawy, to większa podstawa jest równa sumie bocznych boków trapezu. W tym przypadku trapez równoramienny ma większą podstawę, która jest dwa razy większa niż jego bok.

Jeśli można wpisać trapez równoramienny o bokach a, b, c, d i narysować wokół niego okręgi, to pole trapezu wynosi

Trapez to figura geometryczna z czterema kątami. Konstruując trapez, należy wziąć pod uwagę, że dwie przeciwne strony są równoległe, a dwie pozostałe, wręcz przeciwnie, nie są względem siebie równoległe. Słowo to przyszło do czasów nowożytnych ze starożytnej Grecji i brzmiało jak „trapedzion”, co oznaczało „stół”, „stół jadalny”.

W tym artykule omówiono właściwości trapezu opisanego na okręgu. Przyjrzymy się także rodzajom i elementom tej figury.

Elementy, rodzaje i charakterystyka trapezu figury geometrycznej

Równoległe boki na tej figurze nazywane są podstawami, a te, które nie są równoległe, nazywane są bokami. Pod warunkiem, że boki są tej samej długości, trapez uważa się za równoramienny. Trapez, którego boki są prostopadłe do podstawy pod kątem 90°, nazywa się prostokątem.

Ta pozornie prosta figura ma w sobie znaczną liczbę właściwości, podkreślających jej cechy:

1. Jeśli narysujesz środkową linię wzdłuż boków, będzie ona równoległa do podstaw. Odcinek ten będzie równy 1/2 różnicy zasad.
2. Konstruując dwusieczną z dowolnego narożnika trapezu, powstaje trójkąt równoboczny.
3. Z własności trapezu opisanego wokół okręgu wiadomo, że suma boków równoległych musi być równa sumie podstaw.
4. Konstruując odcinki ukośne, gdzie jeden z boków jest podstawą trapezu, powstałe trójkąty będą podobne.
5. Podczas konstruowania odcinków ukośnych, w których jeden z boków jest boczny, powstałe trójkąty będą miały równe pole.
6. Jeśli będziemy kontynuować linie boczne i zbudujemy odcinek ze środka podstawy, wówczas powstały kąt będzie równy 90°. Odcinek łączący podstawy będzie równy 1/2 ich różnicy.

Właściwości trapezu opisanego na okręgu

Okrąg można zamknąć w trapezie tylko pod jednym warunkiem. Warunek jest taki, że suma boków musi być równa sumie podstaw. Na przykład przy konstruowaniu trapezu AFDM zastosowanie ma AF + DM = FD + AM. Tylko w tym przypadku okrąg można zamknąć w trapezie.

A więc więcej o właściwościach trapezu opisanych wokół okręgu:

1. Jeśli okrąg jest zamknięty w trapezie, to aby znaleźć długość jego linii przecinającej figurę na pół, należy znaleźć 1/2 sumy długości boków.
2. Konstruując trapez opisany na okręgu, utworzona przeciwprostokątna jest identyczna z promieniem okręgu, a wysokość trapezu jest jednocześnie średnicą okręgu.
3. Inną właściwością trapezu równoramiennego opisanego na okręgu jest to, że jego bok jest natychmiast widoczny ze środka okręgu pod kątem 90°.

Trochę więcej o właściwościach trapezu zamkniętego w okręgu

W okrąg można wpisać tylko trapez równoramienny. Oznacza to, że konieczne jest spełnienie warunków, w jakich zbudowany trapez AFDM będzie spełniał następujące wymagania: AF + DM = FD + MA.

Twierdzenie Ptolemeusza głosi, że w trapezie zamkniętym w okręgu iloczyn przekątnych jest identyczny i równy sumie pomnożonej przeciwległych boków. Oznacza to, że przy konstruowaniu okręgu opisanego na trapezie AFDM obowiązuje zasada: AD × FM = AF × DM + FD × AM.

Dość często na egzaminach szkolnych pojawiają się zadania wymagające rozwiązania zadań z trapezem. Wiele twierdzeń trzeba zapamiętać, ale jeśli nie możesz się ich od razu nauczyć, nie ma to znaczenia. Najlepiej okresowo sięgać po podpowiedzi w podręcznikach, aby wiedza ta sama, bez większych trudności zmieściła się w Twojej głowie.