Prawdopodobieństwo całkowite i wzór bayesowski. Wzór na prawdopodobieństwo całkowite i wzory bayesowskie

Krótka teoria

Jeśli zdarzenie występuje tylko wtedy, gdy pojawia się jedno ze zdarzeń, które tworzą kompletną grupę niezgodnych zdarzeń, to jest ono równe sumie iloczynów prawdopodobieństw każdego zdarzenia przez odpowiednie prawdopodobieństwo warunkowe portfela.

W tym przypadku zdarzenia nazywane są hipotezami, a prawdopodobieństwa nazywane są a priori. Ta formuła nazywa się formułą całkowitego prawdopodobieństwa.

Formuła Bayesa jest stosowana w rozwiązywaniu problemów praktycznych, gdy zaistniało zdarzenie, które pojawia się wraz z którymkolwiek ze zdarzeń tworzących pełną grupę zdarzeń i wymagane jest przeprowadzenie ilościowego przeszacowania prawdopodobieństw hipotez. Znane są prawdopodobieństwa a priori (przed doświadczeniem). Wymagane jest obliczenie prawdopodobieństw a posteriori (po doświadczeniu), tj. zasadniczo musisz znaleźć prawdopodobieństwa warunkowe. Wzór Bayesa wygląda tak:

Następna strona dotyczy problemu.

Przykład rozwiązania problemu

Stan problemu 1

W fabryce maszyny 1, 2 i 3 produkują odpowiednio 20%, 35% i 45% wszystkich części. W ich produktach małżeństwo wynosi odpowiednio 6%, 4%, 2%. Jakie jest prawdopodobieństwo, że losowo wybrany produkt okaże się wadliwy? Jakie jest prawdopodobieństwo, że został wyprodukowany: a) maszyna 1; b) maszyna 2; c) maszyna 3?

Rozwiązanie problemu 1

Oznaczmy przez zdarzenie, że standardowy produkt okazał się wadliwy.

Zdarzenie może wystąpić tylko wtedy, gdy wystąpi jedno z trzech zdarzeń:

Produkt jest produkowany na maszynie 1;

Produkt jest produkowany na maszynie 2;

Produkt jest produkowany na maszynie 3;

Zapiszmy prawdopodobieństwa warunkowe:

Wzór na całkowite prawdopodobieństwo

Jeżeli zdarzenie może wystąpić tylko wtedy, gdy wystąpi jedno ze zdarzeń tworzących kompletną grupę zdarzeń niezgodnych, to prawdopodobieństwo zdarzenia oblicza się według wzoru

Korzystając ze wzoru na prawdopodobieństwo całkowite, znajdujemy prawdopodobieństwo zdarzenia:

Formuła Bayesa

Formuła Bayesa pozwala na „przeorganizowanie przyczyny i skutku”: na podstawie znanego faktu zdarzenia obliczyć prawdopodobieństwo, że było ono spowodowane przez daną przyczynę.

Prawdopodobieństwo, że wadliwy produkt został wykonany na maszynie 1:

Prawdopodobieństwo, że wadliwy produkt został wyprodukowany na maszynie 2:

Prawdopodobieństwo, że wadliwy produkt został wykonany na maszynie 3:

Stan problemu 2

Grupa składa się z 1 doskonałego ucznia, 5 uczniów osiągających dobre wyniki i 14 uczniów przeciętnych. Doskonały uczeń odpowiada 5 i 4 z równym prawdopodobieństwem, dobry uczeń odpowiada 5, 4 i 3 z równym prawdopodobieństwem, a przeciętny uczeń odpowiada 4,3 i 2 z równym prawdopodobieństwem. Wybrany losowo uczeń odpowiedział 4. Jakie jest prawdopodobieństwo, że przeciętny uczeń został wywołany?

Rozwiązanie problemu 2

Hipotezy i prawdopodobieństwa warunkowe

Możliwe są następujące hipotezy:

Odpowiedział znakomity uczeń;

Dobry człowiek odpowiedział;

- odpowiedział przeciętny student;

Niech wydarzenie studenckie otrzyma 4.

Odpowiedź:

Na cenę duży wpływ ma pilność decyzji (od dnia do kilku godzin). Pomoc online do egzaminu/testu jest dostępna po wcześniejszym umówieniu.

Możesz opuścić aplikację bezpośrednio na czacie, wcześniej odrzucając stan zadań i informując Cię o warunkach rozwiązania, którego potrzebujesz. Czas odpowiedzi to kilka minut.

Wyprowadzając wzór na prawdopodobieństwo całkowite założono, że prawdopodobieństwa hipotez są znane przed eksperymentem. Formuła Bayesa pozwala na ponowną ocenę pierwotnych hipotez w świetle nowych informacji, które wydarzenie wystąpił. Dlatego formuła Bayesa nazywana jest formułą doprecyzowania hipotezy.

Twierdzenie (wzór Bayesa). Jeśli wydarzenie może wystąpić tylko z jedną z hipotez
które tworzą kompletną grupę zdarzeń, to prawdopodobieństwo hipotez, pod warunkiem, że zdarzenie się stało, oblicza się według wzoru

,
.

Dowód.

Formuła Bayesa lub podejście bayesowskie do oceny hipotez odgrywa ważną rolę w ekonomii, ponieważ: umożliwia korygowanie decyzji zarządczych, oszacowanie nieznanych parametrów rozkładu badanych cech w analizie statystycznej itp.

Przykład. Lampy elektryczne produkowane są w dwóch fabrykach. Pierwsza fabryka produkuje 60% całkowitej liczby lamp elektrycznych, druga - 40%. Produkty pierwszego zakładu zawierają 70% standardowych lamp, drugie - 80%. Sklep odbiera produkty z obu fabryk. Żarówka kupiona w sklepie okazała się standardem. Znajdź prawdopodobieństwo, że lampa została wyprodukowana w pierwszej fabryce.

Zapiszmy stan problemu, wprowadzając odpowiednie oznaczenia.

Dany: wydarzenie jest to, że lampa jest standardowa.

Hipoteza
jest to, że lampa jest produkowana w pierwszej fabryce

Hipoteza
jest to, że lampa jest produkowana w drugiej fabryce

Odnaleźć
.

Rozwiązanie.

5. Powtarzane niezależne testy. Wzór Bernoulliego

Rozważ schemat niezależne testy lub Schemat Bernoulliego, co ma duże znaczenie naukowe i różnorodne zastosowania praktyczne.

Niech się wyprodukuje niezależne testy, w każdym z których może wystąpić jakieś zdarzenie .

Definicja. Testowanie są nazywaneniezależny jeśli w każdym z nich wydarzenie

, niezależnie od tego, czy wydarzenie się pojawiło, czy nie
w innych testach.

Przykład. Stanowisko testowe zostało wyposażone w 20 żarówek, które są testowane pod obciążeniem przez 1000 godzin. Prawdopodobieństwo, że lampa przejdzie test wynosi 0,8 i nie zależy od tego, co stało się z innymi lampami.

W tym przykładzie test odnosi się do testowania lampy, aby upewnić się, że wytrzyma obciążenie przez 1000 godzin. Dlatego liczba prób wynosi
... W każdym indywidualnym badaniu możliwe są tylko dwa wyniki:

Definicja. Seria powtarzanych niezależnych testów, w każdym z nich zdarzenie
przychodzi z tym samym prawdopodobieństwem
niezależnie od numeru testu nazywa sięSchemat Bernoulliego.

Prawdopodobieństwo odwrotnego zdarzenia oznaczać
i, jak wykazano powyżej,

Twierdzenie. W warunkach schematu Bernoulliego prawdopodobieństwo, że dla niezależne próby wydarzenie pojawi się
razy, określa wzór

gdzie
liczba przeprowadzonych niezależnych testów;

liczba wystąpień zdarzenia
;

prawdopodobieństwo zdarzenia
w odrębnym procesie;

prawdopodobieństwo niewystąpienia zdarzenia
w odrębnym procesie;

prawdopodobieństwo, że w niezależne wydarzenia testowe
stanie się

pewnego razu.

Formuła (1) nazywa się według formuły Bernoulliego lub wzór dwumianowy odkąd jego prawa strona to
członek dwumianu Newtona

Twierdzenie przyjmujemy bez dowodu.

Przykład. Do tarczy pada 6 strzałów. Prawdopodobieństwo trafienia w cel każdym strzałem wynosi 0,7. znajdź prawdopodobieństwo wystąpienia 2 trafień.

Zapiszmy przede wszystkim stan problemu, wprowadzając odpowiednie oznaczenia.

Dany: wydarzenie
uderzyć jednym strzałem;

Odnaleźć

Rozwiązanie.

Sygnał i szum. Dlaczego niektóre prognozy się sprawdzają, a inne nie Silver Nate

Prosta matematyka twierdzenia Bayesa

Jeśli filozoficzne podłoże twierdzenia Bayesa jest zaskakująco głębokie, to jego matematyka jest zdumiewająco prosta. W swojej podstawowej formie jest to tylko wyrażenie algebraiczne z trzema znanymi zmiennymi i jedną nieznaną. Jednak ta prosta formuła może prowadzić do wglądu w przewidywania.

Twierdzenie Bayesa jest bezpośrednio związane z prawdopodobieństwem warunkowym. Innymi słowy, pozwala obliczyć prawdopodobieństwo teorii lub hipotezy, Jeśli wydarzy się jakieś wydarzenie. Wyobraź sobie, że mieszkasz z partnerem i wracasz do domu z podróży służbowej, aby znaleźć w swojej szafie nieznaną parę bielizny. Być może zastanawiasz się: jakie jest prawdopodobieństwo, że Twój partner Cię zdradza? Stan: schorzenie czy znajdujesz pościel; hipoteza jest to, że jesteś zainteresowany oceną prawdopodobieństwa, że jesteś oszukiwany. Wierz lub nie, ale twierdzenie Bayesa może dać ci odpowiedź na tego rodzaju pytanie - pod warunkiem, że znasz (lub chcesz docenić) trzy cechy.

Przede wszystkim musisz ocenić prawdopodobieństwo pojawienia się prania jako warunek poprawności hipotezy - to znaczy pod warunkiem, że jesteś oszukiwany.

Aby rozwiązać ten problem, załóżmy, że jesteś kobietą, a Twoim partnerem jest mężczyzna, a przedmiotem sporu są majtki. Jeśli cię zdradza, łatwo sobie wyobrazić, jak cudze majtki mogą dostać się do twojej garderoby. Ale nawet jeśli (a nawet szczególnie jeśli) cię zdradza, możesz oczekiwać, że będzie wystarczająco ostrożny. Powiedzmy, że istnieje 50% szans na pojawienie się majtek, jeśli cię oszukuje.

Po drugie, musisz ocenić prawdopodobieństwo pojawienia się prania pod warunkiem, że hipoteza jest błędna.

Gdyby twój mąż cię nie zdradza, muszą być inne, bardziej niewinne wytłumaczenia pojawienia się majtek w twojej szafie. Niektóre z nich mogą być dość nieprzyjemne (np. mogą to być jego własne majtki). Możliwe, że jego bagaż został omyłkowo pomylony z cudzym. Możliwe, że z jakiegoś powodu, z jakiegoś powodu, twój przyjaciel, któremu ufasz, spędził noc w jego domu. Majtki mogą być prezentem, którego zapomniał spakować. Żadna z tych teorii nie jest błędna, chociaż czasami wyjaśnienia typu „moją pracę domową zjadł pies” okazują się prawdziwe. Szacujesz ich skumulowane prawdopodobieństwo na 5%.

Trzecią i najważniejszą rzeczą, której potrzebujesz, jest to, co nazywają Bayesianie wcześniejsze prawdopodobieństwo(lub po prostu apriorycznie). Jak oceniłeś prawdopodobieństwo jego zdrady? przed tym jak znalazłeś pościel? Oczywiście trudno jest zachować obiektywną ocenę teraz, gdy te majtki pojawiły się w twoim polu widzenia (najlepiej oceniasz to prawdopodobieństwo przed rozpoczęciem badania dowodów). Ale czasami prawdopodobieństwo takich zdarzeń można oszacować empirycznie. Na przykład wiele badań wykazało, że w dowolnym losowo wybranym roku około 4% małżonków (570) zdradza swoich małżonków, więc przyjmujemy tę liczbę jako prawdopodobieństwo a priori.

Jeśli oszacowałeś wszystkie te wartości, możesz zastosować twierdzenie Bayesa do oszacowania prawdopodobieństwo a posteriori... To właśnie ta postać nas najbardziej interesuje – jakie jest prawdopodobieństwo, że nas zdradzą, pod warunkiem, że znaleźliśmy cudzą bieliznę?

Obliczenie i prosty wzór algebraiczny, który pozwala to zrobić, podano w tabeli. 8.2.

Tabela 8.2. Przykład obliczenia prawdopodobieństwa zdrady przez twierdzenie Bayesa

Okazuje się, że prawdopodobieństwo zdrady jest wciąż niewielkie – 29%. To może wydawać się sprzeczne z intuicją: czy majtki nie są wystarczająco mocnym dowodem? Być może ten wynik wynika z faktu, że zastosowałeś zbyt niską a priori wartość prawdopodobieństwa jego zdrady.

Chociaż niewinna osoba może mieć znacznie mniej uzasadnień dla pojawienia się majtek niż osoba winna, początkowo uważałeś ją za niewinną, a to miało duży wpływ na wynik równania.

Kiedy jesteśmy czegoś a priori pewni, możemy być zdumiewająco elastyczni nawet wtedy, gdy pojawiają się nowe dowody. Jednym z klasycznych przykładów takich sytuacji jest wykrycie raka piersi u kobiet po 40 roku życia. Na szczęście prawdopodobieństwo zachorowania na raka piersi u kobiety powyżej 40 roku życia jest raczej niskie i wynosi około 1,4% (571). Jednak jakie jest prawdopodobieństwo pozytywnego wyniku mammografii?

Badania pokazują, że nawet jeśli kobieta ma Nie raka, mammografia błędnie wykaże jego obecność w 10% przypadków (572). Z drugiej strony, jeśli ma raka, mammografia wykryje go w około 75% przypadków (573). Widząc te statystyki, możesz pomyśleć, że pozytywny wynik mammografii oznacza, że sprawy mają się bardzo źle. Jednak obliczenia bayesowskie wykorzystujące te liczby sugerują inny wniosek: prawdopodobieństwo zachorowania na raka piersi u kobiety w wieku powyżej 40 lat pod warunkiem, że ma pozytywny wynik mammografii nadal wynosi około 10%. W tym przypadku równanie to wynika z faktu, że sporo młodych kobiet ma raka piersi. Dlatego wielu lekarzy zaleca, aby kobiety nie rozpoczynały regularnych mammografii przed ukończeniem 50 roku życia, po czym znacznie wzrasta a priori prawdopodobieństwo raka piersi (574).

Problemy tego rodzaju są niewątpliwie złożone. W niedawnym badaniu umiejętności statystycznych wśród Amerykanów przytoczyli ten przykład raka piersi. I okazało się, że tylko 3% z nich potrafiło poprawnie obliczyć wartości prawdopodobieństwa (575). Czasami, zwalniając nieco i próbując zwizualizować ten problem (jak pokazano na rysunku 8.2), możemy łatwo sprawdzić w rzeczywistości nasze nieprecyzyjne przybliżenia. Wizualizacja pomaga nam lepiej widzieć szerszy obraz – ponieważ rak piersi u młodych kobiet jest niezwykle rzadki, sam fakt pozytywnej mammografii nic nie znaczy.

Ryż. 8.2. Graficzna reprezentacja danych początkowych dla twierdzenia Bayesa na przykładzie mammografii

Skupiamy się jednak na najnowszych lub najłatwiej dostępnych informacjach i ogólny obraz zaczyna się gubić. Sprytni hazardziści, tacy jak Bob Woolgaris, nauczyli się wykorzystywać te błędy w naszym myśleniu. Woolgaris postawił lukratywny zakład na Lakers po części dlatego, że bukmacherzy położyli zbyt duży nacisk na kilka pierwszych meczów Lakersów i zmienili zakłady na drużynę, która zdobyła tytuł z 4 na 1 na 65 na 1. Jednak w rzeczywistości zespół grała nie gorzej, niż mogłaby zagrać dobra drużyna w przypadku kontuzji jednego z jej gwiazdorów. Twierdzenie Bayesa wymaga od nas dokładniejszego zastanowienia się nad tego rodzaju problemami. Może to być niezwykle przydatne w identyfikowaniu przypadków, w których nasze intuicyjne przybliżenia są zbyt zgrubne.

Ale nie chcę powiedzieć, że nasze wcześniejsze oczekiwania zawsze dominują w nowych dowodach lub że twierdzenie Bayesa zawsze prowadzi do pozornie nielogicznych wyników. Czasami nowe dowody okazują się dla nas tak znaczące, że przeważają nad wszystkim innym i możemy niemal natychmiast zmienić zdanie i stać się całkowicie pewnymi zdarzenia, którego prawdopodobieństwo zostało uznane za prawie zerowe.

Spójrzmy na ciemniejszy przykład – ataki z 11 września. Większość z nas, kiedy obudziliśmy się tego ranka, przypisywała prawie zerową wartość prawdopodobieństwu, że terroryści zaczną rozbijać samoloty o drapacze chmur na Manhattanie. Jednak po tym, jak pierwszy samolot uderzył w World Trade Center, dostrzegliśmy wyraźną możliwość ataku terrorystycznego. I pozbyliśmy się wątpliwości, że zostaliśmy zaatakowani po tym, jak samolot uderzył w drugą wieżę. Twierdzenie Bayesa jest w stanie odzwierciedlić ten wynik.

Powiedzmy, że przed zderzeniem pierwszego samolotu z wieżą nasze obliczenia prawdopodobieństwa ataku terrorystycznego na wieżowce na Manhattanie wynosiły tylko 1 szansę na 20 tys., czyli 0,005%. Musieliśmy jednak również uznać za wystarczająco niskie prawdopodobieństwo sytuacji, w której samolot przez pomyłkę zderzy się z wieżą World Trade Center. Liczbę tę można obliczyć empirycznie. W ciągu 25 000 dni poprzedzających 11 września, podczas których odbywały się loty nad Manhattanem, miały miejsce tylko dwa takie incydenty (576): zderzenie z Empire State Building w 1945 r. oraz z wieżą przy Wall Street 40. w 1946 r. Dlatego prawdopodobieństwo takiego incydentu wynosiło około 1 na 12 500 każdego dnia. Gdyby te liczby wykorzystać do obliczeń z wykorzystaniem twierdzenia Bayesa (tab. 8.3a), to prawdopodobieństwo ataku terrorystycznego wzrosło z 0,005 do 38% w momencie zderzenia pierwszego samolotu z budynkiem.

Tabela 8.3a.

Jednak ideą stojącą za twierdzeniem Bayesa jest to, że nie zmieniamy naszych obliczeń prawdopodobieństwa tylko raz. Robimy to stale, gdy pojawiają się nowe dowody. Tym samym nasze późniejsze prawdopodobieństwo ataku terrorystycznego po zderzeniu pierwszego samolotu, równe 38%, staje się naszym apriorycznie możliwość kolizji z drugim.

A jeśli ponownie przeprowadzisz obliczenia po zderzeniu drugiego samolotu z wieżą World Trade Center, zobaczysz, że prawdopodobieństwo ataku terrorystycznego na poziomie 99,99% ustępuje prawie całkowitej pewności w tym przypadku. Jeden wypadek w jasny słoneczny dzień w Nowym Jorku był niezwykle mało prawdopodobny, ale drugi nie mógł się nie wydarzyć (Tabela 8.3b), o czym nagle i z wielkim przerażeniem zdaliśmy sobie sprawę.

Tabela 8.3b. Przykład obliczenia prawdopodobieństwa ataku terrorystycznego z wykorzystaniem twierdzenia Bayesa

Świadomie wybrałem kilka dość skomplikowanych przypadków - ataki terrorystyczne, nowotwory, cudzołóstwo - jako przykłady, ponieważ chcę pokazać skalę problemów, do których można zastosować myślenie bayesowskie. Twierdzenie Bayesa nie jest magiczną formułą. Jego najprostsza formuła, którą przedstawiamy w tej książce, wykorzystuje proste operacje arytmetyczne do dodawania, odejmowania, dzielenia i mnożenia. Aby jednak dał nam użyteczny wynik, musimy dostarczyć mu informacji, w szczególności naszych obliczeń prawdopodobieństw a priori.

Twierdzenie Bayesa zmusza jednak do zastanowienia się nad prawdopodobieństwem wystąpienia zdarzeń na świecie, nawet jeśli chodzi o kwestie, których nie chcielibyśmy uważać za przejaw przypadku. Nie wymaga od nas postrzegania świata jako wewnętrznie, metafizycznie nieokreślony: Laplace wierzył, że wszystko, od orbit planet po ruch najmniejszych molekuł, podlega uporządkowanym regułom Newtona. A jednak odegrał ważną rolę w rozwoju twierdzenia Bayesa. Można raczej powiedzieć, że twierdzenie to jest związane z epistemologiczny niepewność - granice naszej wiedzy.

Ten tekst jest fragmentem wprowadzającym. Z książki Gazeta jutro 156 (48 1996) autor Gazeta Jutro

PROSTA ARYTMETYKA (Rosja i WNP) Y. Byaly 18 listopada - W Radzie Najwyższej Białorusi dochodzi do rozłamu: 75 deputowanych podpisało żądanie oskarżenia Łukaszenki, a 80 deklarowało lojalność wobec kursu prezydenta. - Zrezygnowany na znak niezgody na kurs Łukaszenki

Z książki Gazeta jutro 209 (48 1997) autor Gazeta Jutro

LOW MATH Denis Tukmakov Stałem na przystanku czekając na autobus i na próżno próbowałem zrozumieć akapit z podręcznika wyższej matematyki, o który nas dzisiaj poproszono. Czytałem coś o znaczeniach sinusów, kiedy usłyszałem pytanie „Przepraszam, kto jest autorem tego samouczka?” JA JESTEM

Z książki Zrozum Rosję swoim umysłem Autor Dmitrij Kalyuzhny

Konsekwencje „gorzkiego twierdzenia” W warunkach swobodnego przepływu kapitału ani jeden inwestor, ani nasz, ani zagraniczny, nie zainwestuje w rozwój praktycznie żadnej produkcji w Rosji. W naszej branży nie ma i nigdy nie będzie inwestycji.

Z książki Słownictwo Autor Rubinstein Lew Siemionowicz

1.5. Analiza „gorzkiego twierdzenia” Parszewa

Z książki Gazeta Literacka 6281 (nr 26 2010) Autor Gazeta Literacka

Prosta historia Ostatnio dużo mówi się o historii. To znaczy nie o historii jako takiej, ale o tym, jak uczyć tę historię dociekliwą młodzież. Najbardziej subtelną materią, jak to zawsze bywa, jest współczesna historia. A gdzie jest subtelne. itd. A prawda jest taka: jak…

Z książki WikiLeaks. Kompromitujące dowody na Rosję Autor Autor nieznany

Prosta i straszna prawda Bibliomaniac. Książka tuzin Prosta i straszna prawda Dziennik blokady. - Tallin - SPb.: Tallin Towarzystwo mieszkańców oblężonego Leningradu; Centrum Informacyjno-Wydawnicze Rządu Sankt Petersburga „Petrocentrum”, 2010. - 410 s.: il. Wiele

Z książki Konsumpcja [Choroba zagrażająca światu] autorstwa Vanna Davida

Rosnące opóźnienia wizowe - wrogość czy zwykła niekompetencja? 19. (C) Rosną obawy, że coraz trudniejsze staje się uzyskanie wizy tadżyckiej – nie tylko dla personelu amerykańskich organizacji non-profit, ale także dla personelu europejskich organizacji non-profit, dla

Z książki Prezydenci RU Autor Minkin Aleksander Wiktorowicz

Z książki The Collapse of the World Dollar System: Immediate Prospects. autor Maslyukov Yu.D.

Prosty system 25 listopada 1994, „MK” Taka maść zacieśni ranę skórką, Ale ukryta ropa pożre wszystko w tobie. Szekspir. Hamlet pod ostrzałem W 1941 roku Anatolij Papanow walczył w batalionie karnym. Kiedy opowiedział mi o wojnie w 1980 roku, wydawało mi się, że wszystko rozumiem. Papanow,

Z książki Gazeta Literacka 6461 (nr 18 2014) Autor Gazeta Literacka

3.1. Prosty analfabetyzm Mając na uwadze opisane krótkookresowe zagrożenia dla Stanów Zjednoczonych (w sferze ekonomicznej, przejawiające się zagrożeniem dla dolara), należy przede wszystkim odrzucić te, które są spowodowane prostym analfabetyzmem autorów, którzy je nominowali.

Z książki Najciekawsza historia w historii ludzkości Autor Delyagin Michaił Giennadiewicz

Konsekwencje „twierdzenia mniejszości” Co uniemożliwia nam bycie razem w życiu i na ekranie W lutym Aleksandr Prochanow i ja występowaliśmy na Syberii Zachodniej. Przyjechaliśmy z różnymi książkami, ale pytaniami publiczności: tylko Ukraina. Aleksander Andriejewicz przyznał z westchnieniem: ”

Z książki Sygnał i hałas. Dlaczego niektóre prognozy się sprawdzają, a inne nie? przez Silver Nate

Igła Koshchei nie jest prosta, olej - Jasne, mówiliśmy już o sankcjach. Co się stanie z cenami ropy po zawarciu przez Zachód pokoju z Iranem - Spadną, ale nie krytycznie. I to nie jest faktem od dawna, bo cena oleju ustalana jest na specjalnie dobranym bardzo wąskim segmencie

Z książki Czego współczesna nauka nie wie Autor Zespół autorów

Niewiarygodne dziedzictwo Thomasa Bayesa Thomas Bayes był angielskim księdzem urodzonym w 1701 lub 1702 roku. Niewiele wiadomo o jego życiu, chociaż podarował swoje nazwisko całej gałęzi statystyki i być może jej najsłynniejszemu twierdzeniu. Nie jest nawet jasne

Z książki Żelazny Bulwar Autor Lurie Samuil Aronovich

Kiedy statystyki odbiegały od zasad Bayesa Angielski statystyk i biolog Ronald Eimler (RA) Fischer był prawdopodobnie głównym rywalem intelektualnym Thomasa Bayesa, mimo że urodził się w 1890 roku, prawie 120 lat po jego śmierci. On pokazał

Z książki autora

Matematyka o losie Pewność Co jest najbardziej cenione w nauce? Najwyraźniej fakt, że potrafi przewidzieć przyszłość. To na tej podstawie większość ludzi odróżnia „naukę” od „nienauki”. Jeśli powiesz: „Może tak być, chociaż może być inaczej”, na ciebie

Z książki autora

TEORIE CHAADAJEWA Mason. Pisarz francuskojęzyczny. Napisał trzysta stron, wydrukowanych trzydzieści, z których wielu przeczytało dziesięć; dla których dziesięć stron jest podejrzanych o rusofobię; ukarany.'' Było coś w rodzaju notatki, jakby odstępstwo od tematu wypowiedzi:

Forma wydarzeń pełna grupa jeśli przynajmniej jeden z nich koniecznie wystąpi w wyniku eksperymentu i są niekompatybilne parami.

Załóżmy, że wydarzenie A może wystąpić tylko razem z jednym z kilku niekompatybilnych parami zdarzeń, które tworzą kompletną grupę. Zadzwonimy wydarzenia ( i= 1, 2,…, n) hipotezy dodatkowe doświadczenie (a priori). Prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia A określa wzór pełne prawdopodobieństwo :

Przykład 16. Są trzy urny. Pierwsza urna zawiera 5 białych i 3 czarne kule, druga zawiera 4 białe i 4 czarne kule, a trzecia zawiera 8 białych kul. Jedna z urn wybierana jest losowo (może to oznaczać np. wybór z urny pomocniczej, w której znajdują się trzy kule o numerach 1, 2 i 3). Z tej urny losowana jest kula. Jakie jest prawdopodobieństwo, że okaże się czarny?

Rozwiązanie. Wydarzenie A- czarna kula zostaje usunięta. Gdyby było wiadomo, z której urny wylosowano kulkę, to pożądane prawdopodobieństwo można by obliczyć zgodnie z klasyczną definicją prawdopodobieństwa. Wprowadźmy założenia (hipotezy) co do wyboru urny do wydobycia kuli.

Kulę można wyciągnąć albo z pierwszej urny (hipoteza), albo z drugiej (hipoteza) lub z trzeciej (hipoteza). Skoro są równe szanse na wybranie dowolnej urny, to więc.

Stąd wynika, że

Przykład 17. Lampy elektryczne produkowane są w trzech fabrykach. Pierwsza fabryka produkuje 30% całkowitej liczby lamp elektrycznych, druga - 25%,
a trzecia to reszta. Produkty pierwszej rośliny zawierają 1% wadliwych żarówek, drugiej - 1,5%, trzeciej - 2%. Do sklepu trafiają produkty ze wszystkich trzech fabryk. Jakie jest prawdopodobieństwo uszkodzenia lampy kupionej w sklepie?

Rozwiązanie. Należy przyjąć założenia, w jakiej fabryce żarówka została wyprodukowana. Wiedząc o tym, możemy znaleźć prawdopodobieństwo, że jest wadliwa. Wprowadźmy notację dla wydarzeń: A- zakupiona żarówka okazała się uszkodzona, - lampa została wyprodukowana przez pierwszy zakład, - lampa została wyprodukowana przez drugi zakład,
- lampa jest produkowana przez trzeci zakład.

Wymagane prawdopodobieństwo znajdujemy ze wzoru na prawdopodobieństwo całkowite:

Wzór Bayesa. Niech będzie kompletną grupą niekompatybilnych parami zdarzeń (hipotez). A- Zdarzenie losowe. Następnie,

Ostatnia formuła, która umożliwia przeszacowanie prawdopodobieństw hipotez po poznaniu wyniku testu, w wyniku którego pojawiło się zdarzenie A, nosi nazwę Wzór Bayesa .

Przykład 18.Średnio 50% pacjentów z tą chorobą trafia do specjalistycznego szpitala DO, 30% - z chorobą L, 20 % –
z chorobą m... Prawdopodobieństwo całkowitego wyleczenia choroby K równy 0,7 dla chorób L oraz m te prawdopodobieństwa wynoszą odpowiednio 0,8 i 0,9. Pacjent przyjęty do szpitala został wypisany zdrowy. Znajdź prawdopodobieństwo, że ten pacjent miał schorzenie K.

Rozwiązanie. Postawmy hipotezy: - pacjent cierpiał na chorobę DO L, - pacjent cierpiał na chorobę m.

Następnie, według stanu problemu, mamy. Przedstawmy wydarzenie A- pacjent przyjęty do szpitala został wypisany zdrowy. Według warunku

Ze wzoru na prawdopodobieństwo całkowite otrzymujemy:

Zgodnie z formułą Bayesa.

Przykład 19. Niech w urnie będzie pięć kul i wszystkie założenia dotyczące liczby białych kul są równie możliwe. Z urny zabrano losowo piłkę, która okazała się biała. Jakie jest najbardziej prawdopodobne założenie dotyczące pierwotnego składu urny?

Rozwiązanie. Załóżmy hipotezę, że w urnie są białe kulki, to znaczy, że można postawić sześć założeń. Następnie, według stanu problemu, mamy.

Przedstawmy wydarzenie A- losowo wylosowana piłka jest biała. Obliczmy. Od tego czasu, zgodnie z formułą Bayesa, mamy:

Tak więc najbardziej prawdopodobną hipotezą jest, ponieważ.

Przykład 20. Dwa z trzech niezależnie działających elementów urządzenia obliczeniowego uległy awarii. Znajdź prawdopodobieństwo uszkodzenia pierwszego i drugiego elementu, jeśli prawdopodobieństwo uszkodzenia pierwszego, drugiego i trzeciego elementu jest odpowiednio równe 0,2; 0,4 i 0,3.

Rozwiązanie. Oznaczmy przez A zdarzenie - zawiodły dwa elementy. Można postawić następujące hipotezy:

- pierwszy i drugi element uległy awarii, a trzeci element jest sprawny. Ponieważ elementy działają niezależnie, obowiązuje twierdzenie o mnożeniu:.

Ponieważ zgodnie z hipotezami zdarzenie A jest wiarygodny, to odpowiednie prawdopodobieństwa warunkowe są równe jeden:.

Zgodnie ze wzorem prawdopodobieństwa całkowitego:

Zgodnie ze wzorem Bayesa poszukiwane prawdopodobieństwo, że pierwszy i drugi element zawiodły.

Cel pracy: kształtowanie umiejętności rozwiązywania problemów z zakresu rachunku prawdopodobieństwa za pomocą formuły prawdopodobieństwa całkowitego i formuły Bayesa.

Wzór na całkowite prawdopodobieństwo

Prawdopodobieństwo zdarzenia A, co może wystąpić tylko w przypadku wystąpienia jednego z niezgodnych zdarzeń B x, B 2, ..., B p, utworzenie kompletnej grupy jest równe sumie iloczynów prawdopodobieństw każdego z tych zdarzeń przez odpowiednie prawdopodobieństwo warunkowe zdarzenia A:

Ta formuła nazywa się wzór całkowitego prawdopodobieństwa.

Prawdopodobieństwo hipotez. Formuła Bayesa

Niech wydarzenie A może wystąpić, jeśli wystąpi jedno z niezgodnych zdarzeń B b B 2, ..., B p, tworząc kompletną grupę. Ponieważ nie wiadomo z góry, które z tych wydarzeń nastąpi, nazywa się je hipotezami. Prawdopodobieństwo zdarzenia A określa wzór na prawdopodobieństwo całkowite:

Załóżmy, że przeprowadzono test, w wyniku którego doszło do zdarzenia A... Wymagane jest ustalenie, jak się zmieniły (ze względu na fakt, że zdarzenie) A już wystąpił) prawdopodobieństwa hipotez. Prawdopodobieństwa warunkowe hipotez znajdują się za pomocą wzoru

W tym wzorze indeks / = 1,2

Formuła ta nosi nazwę formuły Bayesa (od nazwiska angielskiego matematyka, który ją wyprowadził; opublikowana w 1764 r.). Formuła Bayesa pozwala przeszacować prawdopodobieństwa hipotez po poznaniu wyniku testu, w wyniku którego pojawiło się zdarzenie A.

Cel 1. Fabryka produkuje określony typ części, każda część ma wadę z prawdopodobieństwem 0,05. Część jest sprawdzana przez jednego inspektora; wykrywa wadę z prawdopodobieństwem 0,97, a jeśli nie zostanie znaleziona żadna wada, przekazuje część do gotowego produktu. Ponadto inspektor może omyłkowo odrzucić część, która nie ma wady; prawdopodobieństwo tego wynosi 0,01. Znajdź prawdopodobieństwa następujących zdarzeń: A - część zostanie odrzucona; B - część zostanie odrzucona, ale błędnie; C - część zostanie przekazana do gotowego produktu z wadą.

Rozwiązanie

Wyznaczmy hipotezy:

h= (do kontroli otrzymamy część standardową);

h= (do kontroli zostanie odebrana część niestandardowa).

Wydarzenie A =(część zostanie odrzucona).

Na podstawie stanu problemu znajdujemy prawdopodobieństwa

R N (A) = 0,01; Pfi (A) = 0,97.

Korzystając ze wzoru na prawdopodobieństwo całkowite, otrzymujemy

Prawdopodobieństwo, że część zostanie odrzucona przez pomyłkę wynosi

Znajdźmy prawdopodobieństwo, że część zostanie przekazana do gotowego produktu z wadą:

Odpowiedź:

Cel 2. Produkt jest sprawdzany pod kątem standaryzacji przez jednego z trzech ekspertów ds. surowców. Prawdopodobieństwo, że produkt trafi do pierwszego sprzedawcy wynosi 0,25, do drugiego 0,26, a do trzeciego 0,49. Prawdopodobieństwo rozpoznania produktu przez standardowego pierwszego eksperta towarowego wynosi 0,95, drugiego 0,98, trzeciego 0,97. Znajdź prawdopodobieństwo, że standardowy przedmiot został sprawdzony przez drugiego inspektora.

Rozwiązanie

Wyznaczmy wydarzenia:

L. =(produkt trafi do merchandisera do weryfikacji); / = 1, 2, 3;

B =(produkt będzie uważany za standardowy).

Ze stanu problemu znane są prawdopodobieństwa:

Znane są również prawdopodobieństwa warunkowe

Korzystając ze wzoru Bayesa, znajdujemy prawdopodobieństwo, że standardowy produkt zostanie sprawdzony przez drugiego inspektora:

Odpowiedź:„0,263.

Zadanie 3. Dwie automatyczne maszyny produkują części, które trafiają na wspólny przenośnik. Prawdopodobieństwo uzyskania niestandardowej części na pierwszej maszynie wynosi 0,06, a na drugiej 0,09. Wydajność drugiej maszyny jest dwukrotnie wyższa od pierwszej. Z przenośnika pobrano niestandardową część. Znajdź prawdopodobieństwo, że ta część zostanie wyprodukowana przez drugą maszynę.

Rozwiązanie

Wyznaczmy wydarzenia:

A. =(część pobrana z przenośnika jest produkowana przez /-tą maszynę); / = 1,2;

V= (wzięcie udziału będzie niestandardowe).

Znane są również prawdopodobieństwa warunkowe

Korzystając ze wzoru na prawdopodobieństwo całkowite, znajdujemy

Korzystając ze wzoru Bayesa, znajdujemy prawdopodobieństwo, że pobrana część niestandardowa zostanie wyprodukowana przez drugą maszynę:

Odpowiedź: 0,75.

Zadanie 4. Testowane jest urządzenie składające się z dwóch jednostek, których niezawodność wynosi odpowiednio 0,8 i 0,9. Węzły zawodzą niezależnie od siebie. Urządzenie nie powiodło się. Znajdź, biorąc to pod uwagę, prawdopodobieństwo hipotez:

a) uszkodzony jest tylko pierwszy węzeł;
b) uszkodzony jest tylko drugi węzeł;
c) oba węzły są uszkodzone.

Rozwiązanie

Wyznaczmy wydarzenia:

D = (7. węzeł nie zawiedzie); i = 1,2;

D - odpowiadające przeciwstawne zdarzenia;

A= (podczas testu nastąpi awaria urządzenia).

Z warunku problemu otrzymujemy: P (D) = 0,8; P (L 2) = 0,9.

Według własności prawdopodobieństw przeciwnych zdarzeń

Wydarzenie A równa sumie iloczynów niezależnych zdarzeń

Korzystając z twierdzenia o dodawaniu prawdopodobieństw zdarzeń niespójnych oraz twierdzenia o mnożeniu prawdopodobieństw zdarzeń niezależnych otrzymujemy

Teraz znajdujemy prawdopodobieństwa hipotez:

Odpowiedź:

Zadanie 5. W fabryce śruby są wykonywane na trzech maszynach, które produkują odpowiednio 25%, 30% i 45% całkowitej liczby śrub. W produkcji obrabiarek złom stanowi odpowiednio 4%, 3% i 2%. Jakie jest prawdopodobieństwo, że śruba przypadkowo wyjęta z przychodzącego produktu będzie wadliwa?

Rozwiązanie

Wyznaczmy wydarzenia:

4 = (losowo pobrana śruba została wykonana na /-tej maszynie); i = 1, 2, 3;

V= (śruba pobrana losowo będzie uszkodzona).

Z warunku problemu, korzystając ze wzoru na prawdopodobieństwo klasyczne, znajdujemy prawdopodobieństwa hipotez:

Ponadto, korzystając z klasycznego wzoru prawdopodobieństwa, znajdujemy prawdopodobieństwa warunkowe:

Korzystając ze wzoru na prawdopodobieństwo całkowite, znajdujemy

Odpowiedź: 0,028.

Zadanie 6. Obwód elektroniczny należy do jednej z trzech stron z prawdopodobieństwem 0,25; 0,5 i 0,25. Prawdopodobieństwo, że obwód będzie działał poza gwarantowanym okresem użytkowania dla każdej partii, wynosi odpowiednio 0,1; 0,2 i 0,4. Znajdź prawdopodobieństwo, że losowo wybrany schemat będzie działał po okresie gwarancyjnym.

Rozwiązanie

Wyznaczmy wydarzenia:

4 = (losowo wybrany schemat z partii rth); ja = 1, 2, 3;

V= (losowo wybrany schemat będzie działał poza okresem gwarancji).

Ze stanu problemu znane są prawdopodobieństwa hipotez:

Znane są również prawdopodobieństwa warunkowe:

Korzystając ze wzoru na prawdopodobieństwo całkowite, znajdujemy

Odpowiedź: 0,225.

Zadanie 7. Urządzenie zawiera dwa bloki, z których każdy jest niezbędny do działania urządzenia. Prawdopodobieństwo bezawaryjnej pracy tych jednostek wynosi odpowiednio 0,99 i 0,97. Urządzenie nie działa. Określ prawdopodobieństwo, że obie jednostki zawiodły.

Rozwiązanie

Wyznaczmy wydarzenia:

D = (z-ta jednostka ulegnie awarii); i = 1,2;

A= (urządzenie ulegnie awarii).

Z warunku problemu, przez własność prawdopodobieństw przeciwnych zdarzeń, otrzymujemy: DD) = 1-0,99 = 0,01; DD) = 1-0,97 = 0,03.

Wydarzenie A występuje tylko wtedy, gdy przynajmniej jedno ze zdarzeń D lub 2. Dlatego to wydarzenie jest równe sumie wydarzeń A= D + A 2 .

Z twierdzenia o dodawaniu dla prawdopodobieństw wspólnych zdarzeń otrzymujemy

Korzystając ze wzoru Bayesa, znajdujemy prawdopodobieństwo, że urządzenie uległo awarii z powodu awarii obu jednostek.

Odpowiedź:

Zadania do samodzielnego rozwiązania Cel 1. W magazynie studia telewizyjnego znajduje się 70% kineskopów produkowanych przez zakład nr 1; inne kineskopy zostały wyprodukowane w fabryce nr 2. Prawdopodobieństwo, że kineskop nie ulegnie awarii w okresie gwarancji wynosi 0,8 dla kineskopów z fabryki nr 1 i 0,7 dla kineskopów z fabryki nr 2. Kineskop wytrzymał okres gwarancji. Znajdź prawdopodobieństwo, że został wyprodukowany przez fabrykę nr 2.

Cel 2. Części dostarczane są do montażu z trzech automatów. Wiadomo, że pierwsza maszyna daje 0,3% złomu, druga 0,2%, trzecia 0,4%. Znajdź prawdopodobieństwo otrzymania wadliwej części do montażu, jeśli otrzymano 1000 części z pierwszej maszyny, 2000 z drugiej i 2500 z trzeciej.

Cel 3. Te same części są produkowane na dwóch maszynach. Prawdopodobieństwo, że część wyprodukowana na pierwszej maszynie będzie standardowa wynosi 0,8, a na drugiej 0,9. Wydajność drugiej maszyny jest trzykrotnie wyższa od pierwszej. Znajdź prawdopodobieństwo, że standardowa część zostanie losowo pobrana z przenośnika, który odbiera części z obu maszyn.

Zadanie 4. Szef firmy zdecydował się skorzystać z usług dwóch z trzech firm transportowych. Prawdopodobieństwo nieterminowej dostawy ładunku dla pierwszej, drugiej i trzeciej firmy wynosi odpowiednio 0,05; 0,1 i 0,07. Porównując te dane z danymi dotyczącymi bezpieczeństwa przewozu ładunków, kierownik doszedł do wniosku, że wybór był równy i zdecydował się na losowanie. Znajdź prawdopodobieństwo, że wysłany ładunek zostanie dostarczony na czas.

Zadanie 5. Urządzenie zawiera dwa bloki, z których każdy jest niezbędny do działania urządzenia. Prawdopodobieństwo bezawaryjnej pracy tych jednostek wynosi odpowiednio 0,99 i 0,97. Urządzenie nie działa. Określ prawdopodobieństwo awarii drugiej jednostki.

Zadanie 6. Montażownia odbiera części z trzech automatów. Pierwsza maszyna daje 3% złomu, druga 1%, a trzecia 2%. Określ prawdopodobieństwo, że nieuszkodzona część dostanie się do zespołu, jeśli z każdej maszyny otrzymano odpowiednio 500, 200, 300 części.

Zadanie 7. Do magazynu trafiają produkty trzech firm. Ponadto produkcja pierwszej firmy wynosi 20%, drugiej - 46%, a trzeciej - 34%. Wiadomo również, że średni odsetek produktów niestandardowych dla pierwszej firmy wynosi 5%, dla drugiej - 2%, a dla trzeciej - 1%. Znajdź prawdopodobieństwo, że wybrany losowo produkt został wyprodukowany przez drugą firmę, jeśli okaże się, że jest standardowy.

Zadanie 8. Wada produktów zakładu z powodu wady a wynosi 5%, a wśród odrzuconych na podstawie a produkty są wadliwe w 10% przypadków R. Oraz w produktach wolnych od wad a, wada r występuje w 1% przypadków. Znajdź prawdopodobieństwo napotkania defektu r we wszystkich produktach.

Problem 9. Firma posiada 10 nowych samochodów i 5 starych, które były wcześniej w naprawie. Prawdopodobieństwo poprawnej pracy nowego samochodu wynosi 0,94, starego - 0,91. Znajdź prawdopodobieństwo, że wybrany losowo samochód będzie działał poprawnie.

Problem 10. Dwa czujniki wysyłają sygnały do wspólnego kanału komunikacyjnego, przy czym pierwszy z nich wysyła dwa razy więcej sygnałów niż drugi. Prawdopodobieństwo otrzymania zniekształconego sygnału z pierwszego czujnika wynosi 0,01, z drugiego - 0,03. Jakie jest prawdopodobieństwo otrzymania zniekształconego sygnału w ogólnym kanale komunikacji?

Problem 11. Istnieje pięć partii produktów: trzy partie po 8 sztuk, z czego 6 to standardowe i 2 niestandardowe, oraz dwie partie po 10 sztuk, z czego 7 to standardowe i 3 niestandardowe. Jedna z partii jest wybierana losowo, a część z tej partii jest pobierana. Określ prawdopodobieństwo, że pobrana część będzie standardowa.

Problem 12. Monter otrzymuje średnio 50% części z pierwszego zakładu, 30% z drugiego zakładu i 20% z trzeciego zakładu. Prawdopodobieństwo, że pierwsza część fabryczna jest doskonałej jakości wynosi 0,7; dla części drugiej i trzeciej rośliny odpowiednio 0,8 i 0,9. Wylosowana część okazała się doskonałej jakości. Znajdź prawdopodobieństwo, że część została wyprodukowana przez pierwszą fabrykę.

Problem 13. Kontrolę celną pojazdów przeprowadza dwóch inspektorów. Średnio na 100 samochodów 45 przechodzi przez pierwszego inspektora. Prawdopodobieństwo, że pojazd spełniający przepisy celne nie zostanie zatrzymany podczas kontroli wynosi 0,95 dla pierwszego inspektora i 0,85 dla drugiego. Ustal prawdopodobieństwo, że pojazd zgodny z przepisami celnymi nie zostanie zatrzymany.

Problem 14. Części potrzebne do montażu urządzenia pochodzą z dwóch automatów, których wydajność jest taka sama. Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania standardowej części do montażu, jeśli jedna z maszyn daje średnio 3% naruszenie normy, a druga - 2%.

Problem 15. Trener podnoszenia ciężarów obliczył, że aby otrzymać zespołowo punkty w danej kategorii wagowej, zawodnik musi pchnąć sztangę o wadze 200 kg. Iwanow, Pietrow i Sidorow walczą o miejsce w drużynie. Podczas treningu Iwanow próbował podnieść taki ciężar w 7 przypadkach i podniósł w 3 z nich. Pietrow podbił 6 razy na 13, a Sidorow ma 35% szans na udane obstawienie poprzeczki. Trener losowo wybiera jednego sportowca do zespołu.

a) Znajdź prawdopodobieństwo, że wybrany zawodnik zdobędzie punkty dla drużyny.
b) Drużyna nie zdobyła żadnych punktów. Znajdź prawdopodobieństwo, że Sidorow przemówił.

Problem 16. W białym pudełku znajduje się 12 czerwonych i 6 niebieskich kulek. W kolorze czarnym - 15 czerwonych i 10 niebieskich kulek. Rzuć kostką. Jeśli liczba punktów jest wielokrotnością 3, piłka jest losowo pobierana z białego pudełka. Jeśli wypadnie jakakolwiek inna liczba punktów, piłka jest losowo pobierana z czarnej skrzynki. Jakie jest prawdopodobieństwo pojawienia się czerwonej kuli?

Problem 17. W dwóch pudełkach znajdują się lampy radiowe. Pierwsze pudełko zawiera 12 lamp, z czego 1 jest niestandardowa; w drugim 10 lamp, z czego 1 jest niestandardowa. Z pierwszego pudełka pobrano losowo lampę i przeniesiono do drugiego. Znajdź prawdopodobieństwo, że lampa wyjęta losowo z drugiego pudełka będzie niestandardowa.

Problem 18. Biała kula jest wrzucana do urny zawierającej dwie kule, po czym wybiera się z niej losowo jedną kulę. Znajdź prawdopodobieństwo, że usunięta kulka okaże się biała, jeśli wszystkie możliwe założenia dotyczące początkowego składu kulek (według koloru) są jednakowo możliwe.

Problem 19. Standardowa część jest wrzucana do pudełka zawierającego 3 identyczne części, a następnie jedna część jest losowo wyjmowana. Znajdź prawdopodobieństwo usunięcia części znormalizowanej, jeśli wszystkie możliwe założenia dotyczące liczby części znormalizowanych pierwotnie w pudełku są równie prawdopodobne.

Problem 20. W celu poprawy jakości komunikacji radiowej wykorzystywane są dwa odbiorniki radiowe. Prawdopodobieństwo odebrania sygnału przez każdego odbiornika wynosi 0,8, a zdarzenia te (odebranie sygnału przez odbiornik) są niezależne. Określ prawdopodobieństwo odbioru sygnału, jeśli prawdopodobieństwo bezawaryjnej pracy podczas sesji łączności radiowej dla każdego odbiornika wynosi 0,9.