Zbiór testów z geometrii na temat „Ciała obrotowe” (klasa 11). Zbiór testów z geometrii na temat „Ciała obrotowe” (klasa 11) W kuli narysowane są dwie wzajemnie prostopadłe sekcje

3.1. Promień podstawy stożka jest równy R, tworząca jest nachylona pod kątem do płaszczyzny podstawy  . W stożku przechodzącym przez wierzchołek pod kątem  płaszczyzna jest narysowana na swoją wysokość. Znajdź obszar powstałego przekroju.

3.2. Pole podstaw ściętego stożka wynosi 81  cm2 i 225  cm 2, tworząca jest powiązana z wysokością jako 5: 4. Znajdź obszar przekroju osiowego.

3.3. Przekątne przekroju osiowego stożka ściętego są wzajemnie prostopadłe. Pole przekroju osiowego wynosi 324 cm2. Znajdź pola podstaw stożka, wiedząc, że promień jednej podstawy jest o 2 cm większy od drugiej.

3.4. Biorąc pod uwagę trapez ABCD, w którym OGŁOSZENIE= 15cm, PNE.= 9cm, AB = płyta CD= 5 cm Trapez obraca się wokół osi przechodzącej przez wierzchołek A i prostopadłe OGŁOSZENIE. Znajdź pole powierzchni powstałego ciała obrotowego.

3.5. Linia prosta odcina od boków trójkąta prostokątnego, którego kąt wynosi 60, odcinki, których długość stanowi jedną czwartą długości przeciwprostokątnej, licząc od wierzchołka tego kąta. Znajdź stosunek pola trójkąta do pola powierzchni ciała uzyskanego przez obrót tego trójkąta wokół linii prostej.

3.6. Stożek leży na płaszczyźnie i toczy się po niej, obracając się wokół ustalonego wierzchołka. Wysokość stożka wynosi H, formowanie - B. Znajdź pole powierzchni opisane wysokością stożka.

3.7. Obydwa stożki mają wspólną podstawę. W ogólnym przekroju osiowym tworząca jednego ze stożków jest prostopadła do tworzącej przeciwległej drugiego. Objętość jednego z nich jest o połowę mniejsza od drugiego. Znajdź kąt pomiędzy tworzącą większego stożka a płaszczyzną podstaw szyszek.

3.8. Trójkąt ABC, Który AB= 13cm, Słońce= 20cm, AC= 21 cm, obraca się wokół osi przechodzącej przez wierzchołek A prostopadły AC. Znajdź objętość powstałego ciała obrotowego.

3.9. Równoległobok obraca się wokół osi przechodzącej przez wierzchołek kąta ostrego prostopadłego do większej przekątnej. Znajdź objętość ciała obrotowego, jeśli boki równoległoboku i jego większa przekątna wynoszą odpowiednio 15 cm, 37 cm i 44 cm.

3.10. Generator ściętego stożka równego l, nachylony do płaszczyzny podstawy pod kątem . Stosunek pól podstaw stożka wynosi 4. Znajdź objętość ściętego stożka.

12.6. Piłka

Piłka i kula

Kula jest zbiorem wszystkich punktów w przestrzeni jednakowo odległych od danego punktu.

Ten punkt nazywa się Centrum kule. Odcinek łączący środek kuli z dowolnym punktem na niej nazywa się promień kule. Chordoj nazywany odcinkiem łączącym dwa punkty na kuli. Średnica zwany cięciwą przechodzącą przez środek kuli (ryc. 12.40).

Piłka jest ciałem geometrycznym ograniczonym kulą. Nazywa się odpowiednio środek, promień, cięciwę i średnicę kuli Centrum ,promień ,akord I średnica piłka (ryc. 12.40).

Kulę można uznać za ciało powstałe w wyniku obrotu półkola wokół osi zawierającej średnicę półkola.

Powierzchnię kuli nazywa się także kulą.

Płaszczyzna, która ma jeden punkt wspólny ze kulą, nazywa się styczną samolot do kuli (kuli). Punkt wspólny nazywa się punktem kontaktowym kula (kula) i płaszczyzna.

Twierdzenie . Aby płaszczyzna była styczna do kuli (kuli), konieczne i wystarczające jest, aby płaszczyzna ta była prostopadła do promienia kuli (kuli) wyciągniętej do punktu styczności.

Dla piłki prawdziwe są następujące wzory:

Gdzie S– powierzchnia kuli (powierzchnia kuli); R– promień kuli; V– objętość piłki.

Segment kulisty i segment kulisty

Odcinek kulkowy Część piłki odcięta od niej przez płaszczyznę nazywa się. Powstały okrąg w przekroju nazywa się podstawa człon. Odcinek łączący środek podstawy odcinka z punktem na powierzchni kuli, prostopadłym do podstawy, nazywa się wysokość segment kulisty (ryc. 12.41). Nazywa się powierzchnię kulistej części segmentu kulistego odcinek kulisty .

Dla odcinka kuli poprawne są następujące wzory:

Gdzie S– pole sferycznej części segmentu kulistego (powierzchnia segmentu kulistego); R– promień kuli; H– wysokość segmentu; S pełny– całkowita powierzchnia segmentu kulistego; R– promień podstawy odcinka kuli; V– objętość odcinka kuli.

Warstwa kulista i pas kulisty

Warstwa kulkowa jest częścią kuli ujętą pomiędzy dwiema równoległymi płaszczyznami przecięcia. Okręgi uzyskane w przekroju poprzecznym nazywane są powodów warstwa. Odległość między płaszczyznami cięcia nazywa się wysokość warstwa (ryc. 12.42). Nazywa się powierzchnię kulistej części warstwy kulistej pas sferyczny .

Za geometryczne ciała wirujące można uznać kulę, odcinek sferyczny i warstwę kulistą. Kiedy półkole obraca się wokół osi zawierającej średnicę półkola, otrzymuje się kulę, odpowiednio, gdy obraca się części koła, otrzymuje się części kuli: segment kulisty i warstwę kulistą.

Dla warstwy kulistej poprawne są następujące wzory:

Gdzie S 1 , S 2 – powierzchnia podstaw; R 1 , R 2 – promienie podstawy; S– obszar części kulistej warstwy kulistej (obszar pasa kulistego); R– promień kuli; H- wysokość; S pełny– powierzchnia całkowita; V– objętość warstwy kulistej.

Sektor piłki

Sektor piłki to bryła geometryczna uzyskana poprzez obrót wycinka koła (o kącie mniejszym niż 90) wokół osi zawierającej jeden z promieni bocznych. Nazywa się również dodanie takiego ciała do kuli sektor kulisty . Zatem sektor kulisty składa się z odcinka kuli i stożka lub odcinka kuli bez stożka (ryc. 12.43 a, b).

Dla sektora sferycznego poprawne są następujące wzory:

Gdzie S– powierzchnia sektora kulistego; R– promień kuli; R– promień podstawy segmentu; H– wysokość segmentu kulowego; V– objętość sektora kulistego.

Przykład 1. Promień kuli jest podzielony na trzy równe części. Przez punkty podziału poprowadzono dwa przekroje prostopadłe do promienia. Znajdź pole pasa kulistego, jeśli promień kuli wynosi 15 cm.

Rozwiązanie. Zróbmy rysunek (ryc. 12.44).

Aby obliczyć powierzchnię pasa kulistego, musisz znać promień kuli i jej wysokość. Promień kuli jest znany i obliczymy wysokość, wiedząc, że promień jest podzielony na trzy równe części:

Potem okolica

Przykład 2. Kulę przecinają dwie równoległe płaszczyzny biegnące prostopadle do średnicy i po przeciwnych stronach środka kuli. Pole segmentów kulistych wynosi 42  cm2 i 70  cm2. Znajdź promień kuli, jeśli odległość między płaszczyznami wynosi 6 cm.

Rozwiązanie. Rozważmy dwa segmenty kuliste z obszarami:

Gdzie R - promień kuli (kuli), H, H – wysokości segmentów. Otrzymujemy równania:
I
Mamy dwa równania z trzema niewiadomymi. Utwórzmy kolejne równanie. Średnica kuli wynosi
Rozwiążmy układ:

Z pierwszych dwóch równań układu wyrażamy:

podstaw do trzeciego równania układu:
Rozwiązujemy powstałe równanie:
dostajemy

Zgodnie z warunkami problemu wartość jest odpowiednia

Przykład 3. Przekrój kuli przez płaszczyznę prostopadłą do jej średnicy dzieli średnicę w stosunku 1: 2. Ile razy pole przekroju poprzecznego jest mniejsze od pola powierzchni kuli?

Rozwiązanie . Zróbmy rysunek (ryc. 12.45).

Rozważ przekrój średnicowy kuli: OGŁOSZENIE- średnica, O- Centrum, OE= R– promień kuli, BYĆ– promień przekroju prostopadłego do średnicy kuli,

Wyraźmy BYĆ Poprzez R:

Z  OOBE wyrażmy BYĆ Poprzez R:

Powierzchnia przekroju
powierzchnia kuli
Dostajemy postawę

Stąd, S 1 mniej S 2 4,5 razy.

Warstwa kulkowa jest częścią kuli ujętą pomiędzy dwiema równoległymi płaszczyznami przecięcia. Okręgi uzyskane w przekroju poprzecznym nazywane są powodów warstwa. Odległość między płaszczyznami cięcia nazywa się wysokość warstwa (ryc. 42). Nazywa się powierzchnię kulistej części warstwy kulistej pas sferyczny .

Dla warstwy kulistej poprawne są następujące wzory:

Gdzie R– promień kuli;

R1, R2– promienie podstaw;

H- wysokość;

S1, S2– powierzchnia baz;

S– obszar części kulistej warstwy kulistej (obszar pasa kulistego);

Pełny– powierzchnia całkowita;

V– objętość warstwy kulistej.

Sektor piłki

Sektor piłki jest bryłą geometryczną uzyskaną przez obrót wycinka koła (o kącie mniejszym niż ) wokół osi zawierającej jeden z promieni bocznych. Nazywa się również dodanie takiego ciała do kuli sektor kulisty . Zatem sektor kulisty składa się z odcinka kuli i stożka lub odcinka kuli bez stożka (ryc. 43a, 43b).

Ryż. 43a. Ryż. 43b.

Dla sektora sferycznego poprawne są następujące wzory:

Gdzie R– promień kuli;

R– promień podstawy segmentu;

H- wysokość segmentu kulowego;

S– powierzchnia sektora kulistego;

V– objętość sektora kulistego.

Rozwiązanie. Zróbmy rysunek (ryc. 44).

Potem okolica

Odpowiedź:

Przykład 2. Kulę przecinają dwie równoległe płaszczyzny biegnące prostopadle do średnicy i po przeciwnych stronach środka kuli. Pola odcinków kulistych wynoszą 42p cm 2 i 70 p cm 2. Znajdź promień kuli, jeśli odległość między płaszczyznami wynosi 6 cm.

Rozwiązanie. Rozważmy dwa segmenty kuliste z obszarami: gdzie R - promień kuli (kuli), h, H – wysokości segmentów. Otrzymujemy równania: i Mamy dwa równania z trzema niewiadomymi. Utwórzmy kolejne równanie. Średnica kuli jest równa. Rozwiązując układ, znajdujemy promień kuli.

Û Þ Û

Zgodnie z warunkami problemu wartość jest odpowiednia

Odpowiedź: 7cm

Przykład 3. Przekrój kuli przez płaszczyznę prostopadłą do jej średnicy dzieli średnicę w stosunku 1:2. Ile razy pole przekroju poprzecznego jest mniejsze niż pole powierzchni kuli?

Rozwiązanie. Zróbmy rysunek (ryc. 45).

Rozważ przekrój średnicowy kuli: OGŁOSZENIE- średnica, O- Centrum, OE=R– promień kuli, BYĆ– promień przekroju prostopadłego do średnicy kuli,

Wyraźmy BYĆ Poprzez R:

Z DOBE wyrażmy BYĆ Poprzez R:

Pole przekroju poprzecznego to powierzchnia kuli.Otrzymujemy stosunek . Oznacza, S 1 mniej S2 4,5 razy.

Odpowiedź: 4,5 razy.

Przykład 4. W kuli o promieniu 13 cm narysowano dwa wzajemnie prostopadłe przekroje w odległości 4 cm i 12 cm od środka. Znajdź długość ich wspólnego cięciwy.

Rozwiązanie. Zróbmy rysunek (ryc. 46).

Przekroje są prostopadłe, ponieważ OO 2– odległość i OO 1 – dystans. Zatem i OC– przekątna prostokąta OO2CO1 i jest równe

a) Narysowano dwie równoległe części kuli. Udowodnić, że środek kuli leży na prostej przechodzącej przez środki tych odcinków.
b) Kulę o promieniu R narysowano na przekroju odcinka o promieniu r. Jaka jest odległość między nim a równoległym do niego kołem wielkim?
c) W kuli o promieniu 3 narysowano dwa odcinki o promieniach 1 i 2, których płaszczyzny są równoległe. Oblicz odległość między nimi,
d) Ułóż problemy odwrotne do problemów b) ic).

a) Biorąc pod uwagę dwa koła w jednej kuli, których okręgi leżą na kuli i mają jeden wspólny punkt. Udowodnić, że linia przecięcia płaszczyzn, w których leżą te okręgi, ma jeden punkt wspólny z kulą,
b) Na kuli narysowano dwa okręgi mające jeden wspólny punkt. Udowodnij, że środek kuli, środki obu okręgów i ich wspólny punkt leżą w tej samej płaszczyźnie,
c) Na kuli o promieniu R narysowano dwa przekroje o tym samym promieniu r, mające jeden wspólny punkt. Ich płaszczyzny tworzą kąt, por. Utwórz połączenie pomiędzy R, r, φ.

III. 3. W kuli o promieniu R dwa odcinki o promieniu r przecinają się pod kątem φ. Ich przecięciem jest cięciwa o długości d. Ustal połączenie pomiędzy R, r, d, φ.

III. 4. Obszar ten obejmuje:

a) cylinder;
b) stożek;
c) stożek ścięty.

Znane są ich rozmiary. Jak znaleźć odległości środka kuli od podstaw i powierzchni bocznych walca, stożka i stożka ściętego?

III. 5. Cztery równe kule o promieniu R ułożono tak, że każda stykała się z trzema pozostałymi. Trzy z tych piłek leżą na płaszczyźnie poziomej, a czwarta piłka leży nad nimi. Jaka jest wysokość tej konstrukcji? Jak znaleźć promień kuli opisanej na tej konstrukcji.

III. 6. Trzy walce ułożono tak, aby każde dwa miały jeden wspólny punkt. Ten wspólny punkt znajduje się wewnątrz tworzącej każdego z cylindrów. Osie cylindrów są wzajemnie prostopadłe, a jedna z nich jest pionowa. Promień każdego cylindra wynosi R. Znajdź promień kuli, która spadając pionowo, przejdzie przez szczelinę utworzoną przez cylindry.

III. 7. Kula o promieniu R zawiera walec o największym przekroju osiowym. Jakie są wymiary tego cylindra?

III. 8. Rozważ wszystkie możliwe cylindry o osiowej przekątnej przekroju równej d. Oblicz promień największej kulki zawartej w takim cylindrze i promień najmniejszej kulki zawartej w takim cylindrze.

III. 9. W cylindrze o wysokości równej średnicy podstawy i równej d należy umieścić dwie identyczne kule. Jaki jest ich największy promień?

III. 10. Dwa równe stożki mają wspólny wierzchołek. Ich powierzchnie boczne przecinają się wzdłuż dwóch tworzących. Udowodnij, że płaszczyzna przechodząca przez te generatory jest prostopadła do płaszczyzny zawierającej osie stożków.

III.11. Dwa równe stożki mają równoległe osie. Czy mają wspólną płaszczyznę nośną przechodzącą przez ich powierzchnie składowe?

III.12. Udowodnij, że okrąg jest linią przecięcia (jeśli taka istnieje):

a) powierzchnie boczne stożka i walca, których osie leżą na tej samej linii prostej);
b) powierzchnie boczne dwóch stożków, których osie leżą na tej samej linii prostej.

III.13. Środek kuli leży na wierzchołku stożka. Promień kuli jest mniejszy niż tworząca powierzchni bocznej stożka. Udowodnić, że kula przecina powierzchnię boczną stożka po okręgu.

a) Na prawdziwej kuli narysowano okrąg. Jak obliczyć jego promień?
b) Jak obliczyć promień prawdziwej kuli (kuli)?

Używamy komputera

III.15. Mając daną prostą p i odcinek AB na prostej równoległej do prostej p. Znajdź punkt X na prostej p taki, że kąt AXB jest największy.

III.16. Spośród wszystkich trójkątów równoramiennych ABC opisanych na danym okręgu stycznym do podstawy AC znajdź trójkąt o najmniejszym polu.

III.17. Czy na danej prostej istnieje punkt, z którego widoczne są dwa równe okręgi ustawione pod równymi kątami?

III.18. W danym okręgu wpisz prostokąt o największym polu.

III.19. Dany okrąg o środku O. Zawiera cięciwę AB różną od średnicy i promień OS prostopadły do tej cięciwy. Niech D będzie punktem przecięcia tego promienia i tej cięciwy. Punkt X porusza się po większym łuku okręgu. Wyprowadzono z niego dwa cięciwy: XK przechodzący przez punkt D i XC. Niech L będzie punktem przecięcia cięciw XC i AB. Który z odcinków jest dłuższy: KD czy LC?

Podsumowanie rozdziału III

W § 16-19 udowodniono tylko trzy twierdzenia:

Twierdzenie 17 o przecięciu kuli i płaszczyzny (rozdział 16.2),
Twierdzenie 18 o styczności kuli i płaszczyzny (rozdział 16.3) i
Twierdzenie 19 o przekroju stożka (rozdział 19.1).

Rozdział III rozpoczyna dyskusję nad istotnym zagadnieniem symetrii figur przestrzennych.

W § 20 badane są bardziej złożone zagadnienia geometrii koła niż w szkole podstawowej.

1. Linie a i b są równoległe, a linie a i c przecinają się. Jaka jest względna pozycja b i c? (gotowe)
2. Przez trzy punkty leżące na trzech przecinających się krawędziach sześcianu poprowadzono płaszczyznę. Znajdź sumę kątów wewnętrznych wielokąta otrzymanego w przekroju. (gotowe)
3. Wszystkie boczne krawędzie piramidy są równe 13. Promień okręgu wpisanego u podstawy piramidy wynosi 5, a promień okręgu opisanego na podstawie piramidy wynosi 12. Znajdź wysokość piramidy . podane instrukcje
4. Wszystkie kąty dwuścienne na krawędziach podstawy czworokątnej piramidy są równe 45. Promień okręgu wpisanego u podstawy piramidy wynosi 8, a promień okręgu opisanego na podstawie piramidy wynosi 52 Znajdź wysokość piramidy. (zrobiony)
5. Płaszczyzny trzech bocznych ścian ostrosłupa trójkątnego tworzą z płaszczyzną jego podstawy kąt 60. Promień okręgu wpisanego u podstawy ostrosłupa wynosi 8, a promień okręgu opisanego na podstawie piramidy wynosi 52. Znajdź wysokość piramidy (gotowe)
6. Odległość między środkami dwóch kul o promieniach 4 i 7 wynosi 2. Opisz zbiór punktów wspólnych tych kul. (zrobiony)
7. Dwie tworzące stożka są wzajemnie prostopadłe. Czy kąt rozwinięcia stożka może być równy 252? (gotowe)
8. ABCD – przekrój osiowy cylindra. B i C to punkty górnej podstawy, a A i D to punkty dolnej podstawy. Punkt K dzieli łuk AD w stosunku AK:KD=1:2. Znajdź kąt AKC. (zrobiony)
9. Sekcja przechodząca przez środek bocznej krawędzi piramidy i równoległa do podstawy podzieliła piramidę na dwie części, z których objętość jednej jest o 6 m^3 mniejsza od drugiej. Znajdź objętość piramidy. (zrobiony)
10. MABC – czworościan. Z ilu różnych płaszczyzn można usunąć wszystkie wierzchołki tego czworościanu w tej samej odległości?
11. Przy jakiej wartości x długość wektora o współrzędnych (1-x;4+x;x) jest najmniejsza? (zrobiony)
12. Jaka część objętości równoległościanu ABCDA1B1C1D1 zajmuje objętość czworościanu A1C1BD? (zrobiony)
13. Czy dwie płaszczyzny nieprzylegających do siebie ścian bocznych czworokątnej piramidy mogą być prostopadłe do płaszczyzny podstawy?
14. Odległości końców średnicy kuli od dotykającej ją płaszczyzny wynoszą 3 i 7 cm Znajdź promień kuli. (zrobiony)

W 8. klasie potrafiłem jedynie narysować obrazek i zapamiętałem, że kąt ACB jest równy kątowi BAC, gdy leżą one poprzecznie. Nie wiem co dalej robić.

W 13 mogą zgodnie z twierdzeniem o 3 prostopadłych. Tak?

W dziesiątce może być 4. Zakładam, bo czworościan ma 4 ściany, ale nie widzę logiki.

W 9. okazało się, że było 8.

k.black napisałeś tak:
Myślałem w ten sam sposób.
Objętość jednej z takich odciętych ostrosłupów jest równa 1/6 objętości równoległościanu (1/3*połowa podstawy*ta sama wysokość)
Sl-ale objętość odciętej części wynosi 4/6 = 2/3
Wtedy objętość piramidy A1C1BD wynosi 1/3 objętości par-da

Nie rozumiem, dlaczego najpierw Twoje objętości są powiązane jako 1/6, a potem jako 1/3

GBOU SPO PT 13 nazwany na cześć P.A. Ovchinnikova

Testy na temat „Ciała obrotowe”

nauczycielka matematyki Elena Sergeevna Makeeva

T E S T 1

opcja 1

A1 . Pole powierzchni bocznej prawego okrągłego cylindra wynosi 12π, a wysokość cylindra wynosi 3. Znajdź całkowitą powierzchnię cylindra.

¤ 1) 24π ¤ 2) 16π ¤ 3) 22π ¤ 4) 20π

A2 . Osiowa powierzchnia przekroju cylindra wynosi 10 cm 2 , pole podstawy wynosi 5 cm 2

¤ 1) ¤ 2) ¤ 3) ¤ 4)
A3 . Przez tworzącą cylindra przeciągnięto dwie sekcje, z których jedna jest osiowa i ma powierzchnię równąS. Kąt pomiędzy płaszczyznami przekroju wynosi 30 O

¤ 1) ¤ 2) S ¤ 3) ¤ 4)

B 1. Końce odcinka AB leżą na okręgach podstaw walca. Promień podstawy wynosi 10 cm, odległość prostej AB od osi walca wynosi 8 cm, AB = 13 cm.Wyznacz wysokość walca.

Odpowiedź:

O 2 . Wysokość cylindra wynosiH, promień podstawy –R. W walec ten wpisano ukośnie do osi kwadrat, tak że wszystkie jego wierzchołki leżą na okręgach podstaw. Znajdź bok kwadratu.

Odpowiedź :________________________________________________________________________

C1 . Przekątna rozwinięcia powierzchni bocznej walca tworzy kąt β z bokiem podstawy rozwinięcia. Oblicz kąt między przekątną przekroju osiowego walca a płaszczyzną podstawy.

Odpowiedź:________________________________________________________________________

T E S T 1

Cylinder. Powierzchnia cylindra.

Opcja 2

A1. Pole powierzchni bocznej prawego okrągłego cylindra wynosi 20π, a wysokość cylindra wynosi 5. Znajdź całkowitą powierzchnię cylindra.

¤ 1) 24π ¤ 2) 32π ¤ 3) 28π ¤ 4) 36π

A2 . Osiowa powierzchnia przekroju cylindra wynosi 16 cm 2 , pole podstawy wynosi 8 cm 2 . Oblicz wysokość i powierzchnię boczną cylindra.

¤ 1) ¤ 2) ¤ 3) ¤ 4) A3. Przez tworzącą cylindra przeciągnięto dwie sekcje, z których jedna jest osiowa i ma powierzchnię równąS. Kąt pomiędzy płaszczyznami przekroju wynosi 45 O . Znajdź obszar drugiej sekcji.

¤ 1) ¤ 2) ¤ 3) ¤ 4) S

B 1. Końce odcinka AB leżą na okręgach podstaw walca. Promień podstawy wynosi 5 cm, wysokość walca wynosi 6 cm, AB = 10 cm.Wyznacz odległość między prostą AB a osią walca.

Odpowiedź: ________________________________________________________________________

O 2 . Promień podstawy walca wynosiR. W cylinder ten wpisano kwadrat o boku pod kątem do osiAtak, że wszystkie jego wierzchołki leżą na okręgach podstaw. Znajdź wysokość cylindra.

Odpowiedź: ________________________________________________________________________

C1 . Kąt pomiędzy przekątną przekroju osiowego cylindra a płaszczyzną jego podstawy jest równy β. Oblicz kąt pomiędzy przekątną rozwinięcia jej powierzchni bocznej a bokiem podstawy zabudowy.

Odpowiedź: ________________________________________________________________________

T E S T 2

Prosty okrągły stożek

opcja 1

A1 . Znajdź wysokość prawego stożka kołowego, jeśli jego pole przekroju osiowego wynosi 6 cm 2 , a pole podstawy wynosi 8 cm 2 .

¤ 1) 3 2) 3 ¤ 3) 6 ¤ 4) 4

A2. Wyznacz kąt przy wierzchołku osiowego przekroju stożka, jeżeli rozwinięciem jego powierzchni bocznej jest wycinek o łuku równym 90 o

¤ 1) 60 o ¤ 2) 2 arcsin ¤ 3) 2 arcsin ¤ 4) 30 o

A3. Obwód podstaw ściętego stożka wynosi 4π i 10π. Wysokość stożka wynosi 4. Znajdź pole powierzchni ściętego stożka.

¤ 1) 64 π ¤ 2) 68 π ¤ 3) 52 π ¤ 1) 74 π

B 1. Wysokość stożka jest równa promieniowiRjego podstawy. Przez wierzchołek stożka narysowano płaszczyznę, odcinając łuk o długości 60 od okręgu podstawowego. o

Odpowiedź:

O 2. Tworząca stożka wynosi 13 cm, wysokość 12 cm, stożek ten przecina linia prosta równoległa do podstawy. Jej odległość od podstawy wynosi 6 cm, a od wysokości 2 cm.Oblicz długość odcinka tej prostej zawartego w stożku.

Odpowiedź: ________________________________________________________________________________

C1 . Tworząca ściętego stożka jest równaLi tworzy kąt α z płaszczyzną podstawy. Przekątna jego przekroju osiowego jest prostopadła do tworzącej. Znajdź powierzchnię boczną stożka.

Odpowiedź: ________________________________________________________________________________

T E S T 2

Prosty okrągły stożek

Opcja 2

A1 . Znajdź wysokość prawego stożka kołowego, jeśli jego pole przekroju osiowego wynosi 8 cm 2 , a pole podstawy wynosi 12 cm 2 .

1) 4 ¤ 2) 4 ¤ 3) 6 ¤ 4) 6

A2 . Wyznacz kąt przy wierzchołku osiowego przekroju stożka, jeżeli rozwinięciem jego powierzchni bocznej jest wycinek o łuku równym 120 o

¤ 1) 90 o ¤ 2) 2 arcsin ¤ 3) 2 arcsin ¤ 4) 60 o

A3 . Obwód podstaw ściętego stożka wynosi 4π i 28π. Wysokość stożka wynosi 5. Znajdź pole powierzchni ściętego stożka.

¤ 1) 420 π ¤ 2) 412 π ¤ 3) 416 π ¤ 1) 408 π

B 1. Wysokość stożka jest równa promieniowiRjego podstawy. Przez wierzchołek stożka przerysowano płaszczyznę, odcinając łuk o długości 90° od okręgu podstawy. o . Określ pole przekroju poprzecznego.

Odpowiedź: ________________________________________________________________________________

O 2. Tworząca stożka wynosi 17 cm, wysokość 8 cm, stożek ten przecina linia prosta równoległa do podstawy. Jej odległość od podstawy wynosi 4 cm, a od wysokości 6 cm.Oblicz długość odcinka tej prostej zawartego w stożku.

Odpowiedź: ________________________________________________________________________________

C1 . Tworząca ściętego stożka tworzy kąt α z płaszczyzną dolnej podstawy. Przekątna jego przekroju osiowego jest prostopadła do tworzącej stożka. Suma obwodów wynosi 2 πm. Znajdź powierzchnię boczną stożka.

Odpowiedź: ________________________________________________________________________________

T E S T 3

opcja 1

A1 . Punkty A i B leżą na kuli o promieniuR. Znajdź odległość środka kuli od prostej AB, jeśli AB=m.

¤ 1) ¤ 2) ¤ 3) ¤ 4)

A2. Znajdź współrzędne środka C i promieńRkula określona równaniem

¤ 1) C (-3; 2; 0), R= ¤ 2) C (3; -2;0), R=5 ¤ 3) C (-3; 2;0), R=5 ¤ 4) C (3; -2;0), R=

A3. Napisz równanie kuli o środku w punkcie C (4; -1; 3) przechodzącej przez punkt A (-2; 3; 1)

¤ 1) ¤ 2)

¤ 3) ¤ 4)

B 1 . Wierzchołki trójkąta prostokątnego o nogach 25 i 5połóż się na kuli. Znajdź promień kuli, jeśli odległość od środka do płaszczyzny trójkąta wynosi 8.

Odpowiedź: ________________________________________________________________________________

B 2 Arównanie

definiuje kulę.

Odpowiedź: ________________________________________________________________________________

C1. Dwa wzajemnie prostopadłe odcinki kuli mają wspólną cięciwę o długości 12. Wiadomo, że pola tych odcinków wynoszą 100π i 64π . Znajdź promień kuli.

Odpowiedź: ________________________________________________________________________________

T E S T 3

Kula i piłka. Równanie kuli.

Opcja 2

A1. Punkty A i B leżą na kuli o promieniuR. Odległość od środka kuli do prostej AB jest równaA. Znajdź długość odcinka AB.

¤ 1) ¤ 2) ¤ 3) ¤ 4)

A2 . Znajdź współrzędne środka C i promieńRkula określona równaniem

¤ 1) C (-4; 0; 3), R= ¤ 2) do (4; 0;-3), R=7 ¤ 3) do (-4; 0;3), R=7 ¤ 4) do (4; 0;-3), R=

A3. Zapisz równanie kuli o środku w punkcie C (-3; 1; -2) przechodzącej przez punkt A (3; 4; -1)

¤ 1) ¤ 2)

¤ 3) ¤ 4)

B 1 . Wierzchołki trójkąta prostokątnego o nogach 15 i połóż się na kuli. Znajdź promień kuli, jeśli odległość od środka do płaszczyzny trójkąta wynosi 5.

Odpowiedź: ________________________________________________________________________________

B 2 . Określ, przy jakich wartościach parametruArównanie

definiuje kulę.

Odpowiedź: ________________________________________________________________________________

C1. Dwa wzajemnie prostopadłe odcinki kuli mają wspólną cięciwę o długości 12. Wiadomo, że pola tych odcinków wynoszą 256π i 100π . Znajdź promień kuli.

Odpowiedź: ________________________________________________________________________________

T E S T 4

opcja 1

A1. Linia przecięcia kuli i płaszczyzny w odległości 8 od środka ma długość 12 π. Znajdź pole powierzchni kuli.

¤ 1) 396 π ¤ 2) 400 π ¤ 3) 408 π ¤ 4) 362π

A2. Promień SferyRdotyka ścian kąta dwuściennego, którego wielkość jest równaα . Wyznacz odległość od środka kuli do krawędzi kąta dwuściennego.

¤ 1) ¤ 2) RTg ¤ 3) ¤ 4) Odb

A3. Znajdź długość cięciwy kuli , należący do osi odciętych.

¤ 1) 2 ¤ 2) 4 ¤ 3) 8 ¤ 4) 2

W 1. Przekrój kuli przez dwie równoległe płaszczyzny, pomiędzy którymi leży środek kuli, ma pole 144π i 25π . Oblicz pole powierzchni kuli, jeśli odległość między równoległymi płaszczyznami wynosi 17.

O 2.

Odpowiedź

C1.

Odpowiedź:________________________________________________________________________________

T E S T 4

Względne położenie kuli i płaszczyzny, kuli i prostej.

Opcja 2

A1. Sekcja kulipłaszczyzna oddalona od jej środka o 15 ma powierzchnię 64 π. Znajdź pole powierzchni kuli.

¤ 1) 1156 π ¤ 2) 1024 π ¤ 3) 1172 π ¤ 4) 1096π

A2. Kula styka się ze ścianami kąta dwuściennego, którego wielkość wynosiα . Odległość od środka kuli do krawędzi kąta dwuściennego wynosil. Wyznacz promień kuli.

¤ 1) l tg ¤ 2) l grzech ¤ 3) lcos ¤ 4) lctg

A3. Znajdź długość cięciwy kuli , należący do osi rzędnych..

¤ 1) 2 ¤ 2) 10 ¤ 3) 4 ¤ 4) 2

W 1. Przekrój kuli przez dwie równoległe płaszczyzny, które leżą po jednej stronie środka kuli, ma pole powierzchni 576π i 100π . Oblicz pole powierzchni kuli, jeśli odległość między równoległymi płaszczyznami wynosi 14.

Odpowiedź:________________________________________________________________________________

O 2. Napisz równanie płaszczyzny, w której leżą punkty wspólne sfer podanych w równaniach

Odpowiedź:________________________________________________________________________________

C1. Znajdź współrzędne punktów przecięcia prostej podanej w równaniu i kula określona równaniem

Odpowiedź:________________________________________________________________________________

T E S T 5

Kombinacje figur obrotowych.

opcja 1

A1. Trójkąt prostokątny o bokach 5 cm i 12 cm obraca się wokół przeciwprostokątnej. Oblicz pole powierzchni powstałego ciała obrotowego.

¤ 1) cm 2 ¤ 2) 82π cm 2 ¤ 3) cm 2 ¤ 4) 78π cm 2

A2. Kulka jest wpisana w cylinder. Znajdź stosunek całkowitej powierzchni cylindra do pola powierzchni kuli.

¤ 1) 3:2 ¤ 2) 2:1 ¤ 3) 4:3 ¤ 4) 5:2

A3. R, wysokość -H

¤ 1) ¤ 2) ¤ 3) π( ¤ 4)

B 1 . W stożek wpisano cylinder, którego wysokość jest równa promieniowi podstawy stożka. Znajdź kąt między osią stożka a jego tworzącą, jeśli pole całkowitej powierzchni walca odnosi się do pola podstawy stożka jako 3:2, a oś walca pokrywa się z oś stożka.

Odpowiedź: ________________________________________________________________________________

C1 . Trzy identyczne kule o promieniu leżą na płaszczyźnieRdotykając się nawzajem. Czwartą kulę o tym samym promieniu umieszcza się na górze otworu utworzonego przez kule. Znajdź odległość od najwyższego punktu czwartej piłki do płaszczyzny.

Odpowiedź :________________________________________________________________________________

T E S T 5

Kombinacje figur obrotowych.

Opcja 2

A1. Trójkąt prostokątny o bokach 8 cm i 15 cm obraca się wokół przeciwprostokątnej. Oblicz pole powierzchni powstałego ciała obrotowego.

¤ 1) 162π cm 2 ¤ 2) cm 2 ¤ 3) 164π cm 2 ¤ 4) cm 2

A2. Kulka jest wpisana w cylinder. Znajdź stosunek powierzchni bocznej cylindra do pola powierzchni kuli.

¤ 1) 2:1 ¤ 2) 3:2 ¤ 3) 1:1 ¤ 4) 2:3

A3. W kulę, której promień jest równy, wpisano stożekR, wysokość -L. Określ pole powierzchni kuli.

¤ 1) π ( ¤ 2) ¤ 3) πr ¤ 4) πL

Odpowiedź: ________________________________________________________________________________

C1 . Cztery identyczne kule o promieniu leżą na płaszczyźnieRtak, aby każda kula dotykała dwóch sąsiednich. Piątą kulę o tym samym promieniu umieszcza się na górze otworu utworzonego przez kule. Znajdź odległość od najwyższego punktu piątej piłki do płaszczyzny.

Odpowiedź :________________________________________________________________________________

T E S T 6

opcja 1

A1. W regularny trójkątny pryzmat wpisano cylinder. Znajdź jego pole powierzchni, jeśli bok podstawy pryzmatu wynosi 2, a wysokość wynosi 3.

¤ 1) 6π ¤ 2) 8π ¤ 3) 10π ¤ 4) 5π

A2. Wokół regularnej trójkątnej piramidy opisano stożek. Oblicz pole powierzchni bocznej stożka, jeśli bok podstawy piramidy jest równyA, żebra boczne są nachylone do podstawy pod kątem 30 o .

¤ 1) ¤ 2) ¤ 3) 4)

A3. W regularny czworokątny pryzmat wpisano kulę. Znajdź stosunek całkowitej powierzchni pryzmatu do pola kuli.

¤ 1) ¤ 2) ¤ 3) ¤ 4)

W 1. AIB. Znajdź pole powierzchni bocznej piramidy.

Odpowiedź:________________________________________________________________________________

O 2. W sześcian o krawędzi równejA, wpisana jest kula. Oblicz promień kuli stykającej się z daną kulą oraz trzy ściany sześcianu, które mają wspólny wierzchołek.

Odpowiedź:________________________________________________________________________________

C1. Przekrój osiowy stożka jest trójkątem równobocznym. W stożek ten wpisana jest regularna trójkątna piramida. Znajdź stosunek pól powierzchni bocznych piramidy i stożka.

Odpowiedź:________________________________________________________________________________

T E S T 6

Kombinacje wielościanów i ciał obrotowych.

Opcja 2

A1. Walec opisano wokół regularnego trójkątnego pryzmatu. Znajdź jego pole powierzchni, jeśli wysokość pryzmatu wynosi 4, a wysokość podstawy pryzmatu wynosi 6.

¤ 1) 64π ¤ 2) 56π ¤ 3) 68π ¤ 4) 60π

A2. W regularnej trójkątnej piramidzie bok podstawy jest równyA, ściany boczne są nachylone do płaszczyzny podstawy pod kątem 45 o . Oblicz pole powierzchni bocznej stożka wpisanego w piramidę.

¤ 1) ¤ 2) ¤ 3) 4)

A3. Wokół sześcianu opisano kulę. Znajdź stosunek pola kuli do całkowitej powierzchni sześcianu.

¤ 1) ¤ 2) ¤ 3) ¤ 4)

W 1. Wokół kuli opisano regularną trójkątną ściętą piramidę, której boki podstaw są równeAIB. Znajdź pole powierzchni kuli.

Odpowiedź:________________________________________________________________________________

O 2. W sześcian wpisano kulę. Promień kuli stykającej się z daną kulą i trzech ścian sześcianu mających wspólny wierzchołek jest równyR. Oblicz długość krawędzi sześcianu.

Odpowiedź:________________________________________________________________________________

C1. Przekrój osiowy stożka jest trójkątem równobocznym. W stożek ten wpisana jest regularna czworokątna piramida. Znajdź stosunek pól powierzchni bocznych piramidy i stożka.

Odpowiedź:________________________________________________________________________________

T E S T 7

opcja 1

A1. Prostokąt o bokach 10 cm i 12 cm obraca się wokół większego boku. Znajdź całkowitą powierzchnię powstałego ciała obrotowego.

¤ 1) 460π cm 2 ¤ 2) 420π cm 2 ¤ 3) 440 π cm 2 ¤ 4) 400π cm 2

A2 A. Oblicz pole przekroju poprzecznego przechodzącego przez dwie tworzące stożka, których kąt wynosi 60° o .

¤ 1) A 2 ¤ 2) A 2 ¤ 3) A 2 ¤ 4) A 2

A3 . Określ całkowite pole powierzchni ściętego stożka, jeśli promienie jego podstaw wynoszą 6 cm i 10 cm, a jego wysokość wynosi 3 cm.

¤ 1)212πcm 2 ¤ 2)224πcm 2 ¤ 3)220πcm 2 ¤ 4)216πcm 2

A4. + + +6 X-8 y+2 z-7=0

¤ 1) 132 π ¤ 2) 136 π ¤ 3) 140 π ¤ 4) 128π

A5. Boki trójkąta stykają się z kulą o promieniu 5 cm. Oblicz odległość środka kuli od płaszczyzny trójkąta, jeśli jego boki wynoszą 15 cm, 15 cm i 24 cm.

A6. W stożek z kątem Rwpisana kula o promieniuR. Znajdź wartośćR, Jeśli jest znanyRI .

¤ 1) R tan( - ¤ 2) R tan( + ¤ 3) R tg ¤ 4) Odb

W 1 . Przez tworzącą walca poprowadzono dwie wzajemnie prostopadłe płaszczyzny. Pola powstałych sekcji są równe cm 2 I

Odpowiedź: _______________________________________________________________________________

O 2. Trójkąt równoramienny obraca się wokół własnej osi symetrii. Znajdź boki tego trójkąta, jeśli jego obwód wynosi 30 cm, a całkowita powierzchnia ciała obrotowego wynosi 60

Odpowiedź: ________________________________________________________________________________

O 3 . Promień SferyRdotyka wszystkich krawędzi foremnego trójkątnego pryzmatu. Znajdź długość bocznej krawędzi pryzmatu i odległość od środka kuli do płaszczyzn bocznych ścian.

Odpowiedź: ________________________________________________________________________________

C1 DD: D.B.=1:2:3. Wyznaczyć stosunek promieni przekrojów (mniejszych do większych), jeżeli prosta zawierająca podaną średnicę tworzy z płaszczyznami kąt .

Odpowiedź: ________________________________________________________________________________

C2. Kula dotyka wszystkich krawędzi regularnej czworokątnej piramidy. Znajdź promień takiej kuli, jeśli wszystkie krawędzie piramidy mają długość 18 cm.

Odpowiedź: ________________________________________________________________________________

T E S T 7

Uogólnienie tematu „Walec, stożek, kula”.

Opcja 2

A1. Prostokąt o bokach 8 cm i 10 cm obraca się wokół mniejszego boku. Znajdź całkowitą powierzchnię powstałego ciała obrotowego.

¤ 1) 360π cm 2 ¤ 2) 354π cm 2 ¤ 3) 368 π cm 2 ¤ 4) 376π cm 2

A2 . Przekrój osiowy stożka jest trójkątem prostokątnym z przeciwprostokątną równąA. Oblicz pole przekroju poprzecznego przechodzącego przez dwie tworzące stożka, których kąt wynosi 45 o .

¤ 1) A 2 ¤ 2) A 2 ¤ 3) A 2 ¤ 4) A 2

A3 . Określ całkowite pole powierzchni ściętego stożka, jeśli promienie jego podstaw wynoszą 5 cm i 8 cm, a jego wysokość wynosi 4 cm.

¤ 1)150πcm 2 ¤ 2)154πcm 2 ¤ 3)158πcm 2 ¤ 4)146πcm 2

A4. Znajdź pole powierzchni kuli podane równaniem + + -4 X+2 y+6 z-4=0

¤ 1) 68 π ¤ 2) 80 π ¤ 3) 76 π ¤ 4) 72 π

A5. Boki trójkąta stykają się z kulą o promieniu 5 cm.Wyznacz odległość środka kuli od płaszczyzny trójkąta, jeśli jego boki wynoszą 10 cm, 10 cm i 12 cm.

¤ 1) 1 cm ¤ 2) 2 cm ¤ 3) 3 cm ¤ 4) 4 cm

A6. W stożek z kątem na wierzchołku przekroju osiowego i promieniu podstawyRwpisana kula o promieniuR. Znajdź wartośćR, Jeśli jest znany

Odpowiedź: ________________________________________________________________________________

O 3 . Promień SferyRdotyka wszystkich krawędzi foremnego trójkątnego pryzmatu. Znajdź długość krawędzi podstawy pryzmatu i odległość od środka kuli do płaszczyzn podstaw pryzmatu.

Odpowiedź: ________________________________________________________________________________

C1 . Dwie równoległe płaszczyzny przecinają średnicę kuli AB w punktach C iD, dzieląc go w stosunku AC:CD: D.B.=1:3:4. Wyznaczyć stosunek promieni przekrojów (mniejszych do większych), jeżeli prosta zawierająca podaną średnicę tworzy z płaszczyznami kąt .

Odpowiedź: ________________________________________________________________________________

C2. Kula dotyka wszystkich krawędzi regularnej czworokątnej piramidy. Znajdź promień takiej kuli, jeśli wszystkie krawędzie piramidy mają długość 22 cm.

Odpowiedź: ________________________________________________________________________________

676π

4x-6y+2z+7=0

(-4 ;5;2), (; )

2704π

3x-4y+8z-12=0

(3;0;7), (1;2;3)

(2+ )R

2(2+ )R

12 cm, 9 cm, 9 cm

11cm