W szkolnym programie nauczania dla kursu geometrii bryły badanie trójwymiarowych postaci zwykle zaczyna się od prostego geometrycznego ciała - wielościanu pryzmatu. Rolę jego podstaw pełnią 2 równe wielokąty leżące w równoległych płaszczyznach. Szczególnym przypadkiem jest zwykły czworokątny pryzmat. Jego podstawy to 2 identyczne regularne czworokąty, do których prostopadłe są boki, mające kształt równoległoboków (lub prostokątów, jeśli graniastosłup nie jest pochylony).

Jak wygląda pryzmat

Graniastosłup regularny czworokątny to sześciokąt, u którego podstaw znajdują się 2 kwadraty, a ściany boczne są reprezentowane przez prostokąty. Inną nazwą tej figury geometrycznej jest prosty równoległościan.

Rysunek przedstawiający czworokątny pryzmat pokazano poniżej.

Możesz również zobaczyć na zdjęciu najważniejsze elementy składające się na geometryczną bryłę. Są one powszechnie określane jako:

Czasami w problemach z geometrią można znaleźć pojęcie przekroju. Definicja będzie brzmiała tak: przekrój to wszystkie punkty bryły objętościowej, które należą do płaszczyzny cięcia. Przekrój jest prostopadły (przecina krawędzie figury pod kątem 90 stopni). W przypadku prostopadłościanu brany jest pod uwagę również przekrój ukośny (maksymalna liczba przekrojów, które można zbudować to 2), przechodzący przez 2 krawędzie i przekątne podstawy.

Jeśli przekrój jest narysowany w taki sposób, że płaszczyzna cięcia nie jest równoległa ani do podstaw, ani do ścian bocznych, wynikiem jest ścięty pryzmat.

Do znalezienia zredukowanych elementów pryzmatycznych stosuje się różne proporcje i wzory. Niektóre z nich są znane z przebiegu planimetrii (np. aby znaleźć pole podstawy pryzmatu, wystarczy przypomnieć wzór na pole kwadratu).

Powierzchnia i objętość

Aby określić objętość pryzmatu za pomocą wzoru, musisz znać obszar jego podstawy i wysokości:

V = Sprim h

Ponieważ podstawą regularnego graniastosłupa czworościennego jest kwadrat o boku a, Możesz napisać wzór w bardziej szczegółowej formie:

V = a² h

Jeśli mówimy o sześcianie - zwykłym pryzmacie o równej długości, szerokości i wysokości, objętość oblicza się w następujący sposób:

Aby zrozumieć, jak znaleźć boczną powierzchnię pryzmatu, musisz wyobrazić sobie jego przeciągnięcie.

Z rysunku widać, że boczna powierzchnia składa się z 4 równych prostokątów. Jego powierzchnia jest obliczana jako iloczyn obwodu podstawy i wysokości figury:

Strona = Poz h

Ponieważ obwód kwadratu wynosi P = 4a, formuła ma postać:

Strona = 4a h

Na kostkę:

Bok = 4a²

Aby obliczyć całkowitą powierzchnię pryzmatu, dodaj 2 obszary bazowe do powierzchni bocznej:

Sfull = Side + 2Sbase

W odniesieniu do czworokątnego pryzmatu regularnego wzór ma postać:

Sfull = 4ah + 2a²

Dla powierzchni sześcianu:

Pełna = 6a²

Znając objętość lub powierzchnię, możesz obliczyć poszczególne elementy bryły geometrycznej.

Znajdowanie elementów pryzmatycznych

Często pojawiają się problemy, w których podawana jest objętość lub znana jest wartość pola powierzchni bocznej, gdzie konieczne jest określenie długości boku podstawy lub wysokości. W takich przypadkach można wyprowadzić wzory:

• długość boku podstawy: a = strona / 4h = √(V/h);
• wysokość lub długość bocznego żebra: h = Strona / 4a = V / a²;
• powierzchnia bazowa: Sprim = V / h;
• powierzchnia boczna: Strona gr = Strona / 4.

Aby określić, ile powierzchni ma sekcja po przekątnej, musisz znać długość przekątnej i wysokość figury. Na kwadrat d = a√2. W związku z tym:

Sdiag = ah√2

Do obliczenia przekątnej pryzmatu stosuje się wzór:

dprice = √(2a² + h²)

Aby zrozumieć, jak stosować powyższe proporcje, możesz przećwiczyć i rozwiązać kilka prostych zadań.

Przykłady problemów z rozwiązaniami

Oto niektóre z zadań, które pojawiają się na państwowych egzaminach końcowych z matematyki.

Ćwiczenie 1.

Piasek wsypywany jest do pudełka w kształcie zwykłego czworokątnego graniastosłupa. Wysokość jego poziomu wynosi 10 cm Jaki będzie poziom piasku, jeśli przeniesiesz go do pojemnika o tym samym kształcie, ale o długości podstawy 2 razy dłuższej?

Należy argumentować w następujący sposób. Ilość piasku w pierwszym i drugim pojemniku nie uległa zmianie, tzn. jego objętość w nich jest taka sama. Możesz zdefiniować długość podstawy jako a. W tym przypadku w pierwszym polu objętość substancji będzie wynosić:

V₁ = ha² = 10a²

W przypadku drugiego pudełka długość podstawy wynosi 2a, ale wysokość poziomu piasku jest nieznana:

V₂ = h(2a)² = 4ha²

O ile V₁ = V₂, wyrażenia można porównać:

10a² = 4ha²

Po zmniejszeniu obu stron równania o a² otrzymujemy:

W rezultacie nowy poziom piasku będzie h = 10 / 4 = 2,5 cm.

Zadanie 2.

ABCDA₁B₁C₁D₁ to zwykły pryzmat. Wiadomo, że BD = AB₁ = 6√2. Znajdź całkowitą powierzchnię ciała.

Aby ułatwić zrozumienie, które elementy są znane, możesz narysować figurę.

Ponieważ mówimy o zwykłym pryzmacie, możemy wywnioskować, że podstawą jest kwadrat o przekątnej 6√2. Przekątna lica bocznego ma taką samą wartość, dlatego lica boczna również ma kształt kwadratu równej podstawie. Okazuje się, że wszystkie trzy wymiary – długość, szerokość i wysokość – są sobie równe. Możemy stwierdzić, że ABCDA₁B₁C₁D₁ jest sześcianem.

Długość każdej krawędzi jest określana przez znaną przekątną:

a = d / √2 = 6√2 / √2 = 6

Całkowitą powierzchnię określa wzór na sześcian:

Sfull = 6a² = 6 6² = 216

Zadanie 3.

Pokój jest w remoncie. Wiadomo, że jego podłoga ma kształt kwadratu o powierzchni 9 m². Wysokość pomieszczenia wynosi 2,5 m. Jaki jest najniższy koszt tapetowania pokoju, jeśli 1 m² kosztuje 50 rubli?

Ponieważ podłoga i sufit są kwadratami, czyli regularnymi czworokątami, a jej ściany są prostopadłe do powierzchni poziomych, możemy wnioskować, że jest to graniastosłup regularny. Konieczne jest określenie obszaru jego powierzchni bocznej.

Długość pokoju wynosi a = √9 = 3 m.

Plac zostanie pokryty tapetą bok = 4 3 2,5 = 30 m².

Najniższy koszt tapety do tego pokoju będzie 50 30 = 1500 rubli.

Tak więc do rozwiązywania problemów na prostopadłościanie wystarczy umieć obliczyć pole i obwód kwadratu i prostokąta, a także znać wzory na obliczanie objętości i pola powierzchni.

Jak znaleźć obszar sześcianu

Za pomocą tego samouczka wideo każdy będzie mógł samodzielnie zapoznać się z tematem „Koncepcja wielościanu. Pryzmat. Powierzchnia pryzmatu. Podczas lekcji nauczyciel opowie czym są kształty geometryczne takie jak wielościan i graniastosłupy, poda odpowiednie definicje i wyjaśni ich istotę na konkretnych przykładach.

Za pomocą tej lekcji każdy będzie mógł samodzielnie zapoznać się z tematem „Koncepcja wielościanu. Pryzmat. Powierzchnia pryzmatu.

Definicja. Powierzchnia złożona z wielokątów i ograniczająca pewną bryłę geometryczną będzie nazywana powierzchnią wielościenną lub wielościanem.

Rozważ następujące przykłady wielościanów:

1. Czworościan ABCD to powierzchnia składająca się z czterech trójkątów: ABC, adb, bdc oraz ADC(rys. 1).

Ryż. jeden

2. Równoległościan ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 to powierzchnia złożona z sześciu równoległoboków (rys. 2).

Ryż. 2

Głównymi elementami wielościanu są ściany, krawędzie, wierzchołki.

Twarze to wielokąty, które tworzą wielościan.

Krawędzie są bokami twarzy.

Wierzchołki to końce krawędzi.

Rozważ czworościan ABCD(rys. 1). Wskażmy jego główne elementy.

Fasety: trójkąty ABC, ADB, BDC, ADC.

Żebra: AB, AC, BC, DC, OGŁOSZENIE, BD.

Szczyty: A, B, C, D.

Rozważ pudełko ABCDA 1 B 1 C 1 D 1(rys. 2).

Fasety: równoległoboki AA 1 D 1 D, D 1 DCC 1, BB 1 C 1 C, AA 1 B 1 B, ABCD, A 1 B 1 C 1 D 1 .

Żebra: AA 1 , nocleg ze śniadaniem 1 , SS 1 , DD 1 , AD, A 1 D 1 , B 1 C 1 , BC, AB, A 1 B 1 , D 1 C 1 , DC.

Szczyty: A, B, C, D, A 1 ,B 1 ,C 1 ,D 1 .

Ważnym szczególnym przypadkiem wielościanu jest pryzmat.

ABSA 1 W 1 Z 1(rys. 3).

Ryż. 3

Trójkąty Równe ABC oraz A 1 B 1 C 1 leżą w równoległych płaszczyznach α i β tak, że krawędzie AA 1 , BB 1 , SS 1 są równoległe.

Tj ABSA 1 W 1 Z 1- pryzmat trójkątny, jeżeli:

1) Trójkąty ABC oraz A 1 B 1 C 1 są równe.

2) Trójkąty ABC oraz A 1 B 1 C 1 zlokalizowane w równoległych płaszczyznach α i β: ABC║A 1 B 1 C (α ║ β).

3) Żeberka AA 1 , BB 1 , SS 1 są równoległe.

ABC oraz A 1 B 1 C 1- podstawa pryzmatu.

AA 1 , BB 1 , SS 1- boczne żebra pryzmatu.

Jeśli z dowolnego miejsca H 1 jedna płaszczyzna (na przykład β) opuść prostopadłą HH 1 na płaszczyznę α, to ta prostopadła nazywana jest wysokością pryzmatu.

Definicja. Jeśli krawędzie boczne są prostopadłe do podstaw, pryzmat nazywa się prostym, w przeciwnym razie nazywany jest ukośnym.

Rozważ trójkątny pryzmat ABSA 1 W 1 Z 1(rys. 4). Ten pryzmat jest prosty. Oznacza to, że jego boczne krawędzie są prostopadłe do podstaw.

Na przykład żebro AA 1 prostopadle do płaszczyzny ABC. Krawędź AA 1 to wysokość tego pryzmatu.

Ryż. 4

Zwróć uwagę, że boczna powierzchnia AA 1 V 1 V prostopadle do podstaw ABC oraz A 1 B 1 C 1, ponieważ przechodzi przez prostopadłą AA 1 do fundamentów.

Rozważmy teraz pochylony pryzmat ABSA 1 W 1 Z 1(rys. 5). Tutaj boczna krawędź nie jest prostopadła do płaszczyzny podstawy. Jeśli spadniemy z punktu 1 prostopadły 1 godz na ABC, to ten prostopadły będzie wysokością pryzmatu. Zauważ, że segment JAKIŚ jest rzutem segmentu AA 1 do samolotu ABC.

Następnie kąt między linią AA 1 i samolot ABC jest kątem między linią AA 1 i jej JAKIŚ rzut na płaszczyznę, czyli kąt 1 AH.

Ryż. 5

Rozważmy czworokątny pryzmat ABCDA 1 B 1 C 1 D 1(rys. 6). Zobaczmy, jak się okaże.

1) Czworokąt ABCD równy czworokątowi A 1 B 1 C 1 D 1: ABCD = A 1 B 1 C 1 D 1.

2) czworokąty ABCD oraz A 1 B 1 C 1 D 1 ABC║A 1 B 1 C (α ║ β).

3) czworokąty ABCD oraz A 1 B 1 C 1 D 1 ułożone tak, aby żebra boczne były równoległe, czyli: AA 1 BB 1 SS 1 DD 1.

Definicja. Przekątna pryzmatu to odcinek łączący dwa wierzchołki pryzmatu, które nie należą do tej samej ściany.

Na przykład, KP 1- przekątna pryzmatu czworokątnego ABCDA 1 B 1 C 1 D 1.

Definicja. Jeśli boczna krawędź AA 1 prostopadle do płaszczyzny podstawy, wtedy taki pryzmat nazywa się linią prostą.

Ryż. 6

Szczególnym przypadkiem pryzmatu czworokątnego jest znany równoległościan. Równoległościan ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 pokazano na ryc. 7.

Zobaczmy, jak to działa:

1) W podstawach leżą równe liczby. W tym przypadku - równoległoboki równe ABCD oraz A 1 B 1 C 1 D 1: ABCD = A 1 B 1 C 1 D 1.

2) równoległoboki ABCD oraz A 1 B 1 C 1 D 1 leżą w równoległych płaszczyznach α i β: ABC║A 1 B 1 C 1 (α ║ β).

3) równoległoboki ABCD oraz A 1 B 1 C 1 D 1 ułożone w taki sposób, aby boczne żebra były do ​​siebie równoległe: AA 1 BB 1 SS 1 DD 1.

Ryż. 7

Z punktu 1 upuść prostopadły JAKIŚ do samolotu ABC. Odcinek 1 godz to wysokość.

Zastanów się, jak ułożony jest sześciokątny pryzmat (ryc. 8).

1) U podstawy leżą równe sześciokąty ALFABET oraz A 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1: ALFABET= A 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1.

2) Płaszczyzny sześciokątów ALFABET oraz A 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 równoległe, to znaczy podstawy leżą w równoległych płaszczyznach: ABC║A 1 B 1 C (α ║ β).

3) Sześciokąty ALFABET oraz A 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 ułożone tak, aby wszystkie boczne krawędzie były do ​​siebie równoległe: AA 1 ║BB 1 …║FF 1.

Ryż. osiem

Definicja. Jeśli jakakolwiek krawędź boczna jest prostopadła do płaszczyzny podstawy, to taki sześciokątny pryzmat nazywa się linią prostą.

Definicja. Prawy graniastosłup nazywa się regularnym, jeśli jego podstawy są regularnymi wielokątami.

Rozważ zwykły trójkątny pryzmat ABSA 1 W 1 Z 1.

Ryż. dziewięć

trójkątny pryzmat ABSA 1 W 1 Z 1- poprawnie, to znaczy, że trójkąty regularne leżą u podstaw, czyli wszystkie boki tych trójkątów są równe. Również ten pryzmat jest prosty. Oznacza to, że krawędź boczna jest prostopadła do płaszczyzny podstawy. A to oznacza, że ​​wszystkie ściany boczne są równymi prostokątami.

Więc jeśli trójkątny pryzmat ABSA 1 W 1 Z 1 jest poprawne, to:

1) Krawędź boczna jest prostopadła do płaszczyzny podstawy, czyli jest to wysokość: AA 1 ⊥ ABC.

2) Podstawą jest trójkąt foremny: ∆ ABC- Prawidłowy.

Definicja. Całkowita powierzchnia pryzmatu to suma pól wszystkich jego ścian. Oznaczone S pełne.

Definicja. Powierzchnia powierzchni bocznej jest sumą powierzchni wszystkich ścian bocznych. Oznaczone Strona S.

Pryzmat ma dwie podstawy. Wtedy całkowita powierzchnia pryzmatu wynosi:

S pełna \u003d S strona + 2S główne.

Pole powierzchni bocznej pryzmatu prostego jest równe iloczynowi obwodu podstawy i wysokości pryzmatu.

Dowód zostanie przeprowadzony na przykładzie pryzmatu trójkątnego.

Dany: ABSA 1 W 1 Z 1- pryzmat bezpośredni, tj. AA 1 ⊥ ABC.

AA 1 = godz.

Udowodnić: Strona S \u003d R główna ∙ godz.

Ryż. dziesięć

Dowód.

trójkątny pryzmat ABSA 1 W 1 Z 1- prosto, więc AA 1 B 1 B, AA 1 C 1 C, BB 1 C 1 C - prostokąty.

Znajdź pole powierzchni bocznej jako sumę pól prostokątów AA 1 B 1 B, AA 1 C 1 C, BB 1 C 1 C:

Strona S \u003d AB h + BC ∙ h + CA ∙ h \u003d (AB + BC + CA) ∙ h \u003d P główne ∙ h.

dostajemy Strona S \u003d R główna ∙ h, co było do okazania

Poznaliśmy wielościany, pryzmat, jego odmiany. Udowodniliśmy twierdzenie na bocznej powierzchni pryzmatu. W kolejnej lekcji rozwiążemy problemy na pryzmacie.

1. Geometria. Klasa 10-11: podręcznik dla uczniów instytucji edukacyjnych (poziom podstawowy i profilowy) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - Wydanie 5, poprawione i uzupełnione - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 s. : chory.
2. Geometria. Klasa 10-11: Podręcznik dla ogólnych instytucji edukacyjnych / Sharygin I. F. - M .: Bustard, 1999. - 208 s.: chory.
3. Geometria. Klasa 10: Podręcznik dla ogólnych instytucji edukacyjnych z pogłębioną i profilową nauką matematyki / E. V. Potoskuev, L.I. Zvalich. - 6. edycja, stereotyp. - M. : Drop, 008. - 233 pkt. :chory.

1. Iklasa().
2. Szkolo.ru ().
3. Stara szkoła ().
4. wikihow().

1. Jaka jest minimalna liczba ścian, które może mieć pryzmat? Ile wierzchołków, krawędzi ma taki pryzmat?
2. Czy istnieje pryzmat, który ma dokładnie 100 krawędzi?
3. Żebro boczne jest nachylone do płaszczyzny podstawy pod kątem 60°. Znajdź wysokość pryzmatu, jeśli boczna krawędź ma 6 cm.
4. W prostopadłym trójkątnym pryzmacie wszystkie krawędzie są równe. Jego powierzchnia boczna wynosi 27 cm2. Znajdź całkowitą powierzchnię pryzmatu.

Różne pryzmaty różnią się od siebie. Jednocześnie mają ze sobą wiele wspólnego. Aby znaleźć obszar podstawy pryzmatu, musisz dowiedzieć się, jak wygląda.

Ogólna teoria

Graniastosłup to dowolny wielościan, którego boki mają kształt równoległoboku. Co więcej, u jego podstawy może znajdować się dowolny wielościan - od trójkąta do n-kąta. Co więcej, podstawy pryzmatu są zawsze sobie równe. Co nie dotyczy bocznych ścianek - mogą one znacznie różnić się wielkością.

Podczas rozwiązywania problemów napotykamy nie tylko obszar podstawy pryzmatu. Może być konieczne poznanie powierzchni bocznej, to znaczy wszystkich ścian, które nie są podstawami. Cała powierzchnia będzie już połączeniem wszystkich ścian tworzących pryzmat.

Czasami w zadaniach pojawiają się wysokości. Jest prostopadły do ​​podstaw. Przekątna wielościanu to odcinek łączący parami dowolne dwa wierzchołki, które nie należą do tej samej ściany.

Należy zauważyć, że powierzchnia podstawy prostego lub pochyłego pryzmatu nie zależy od kąta między nimi a powierzchniami bocznymi. Jeśli mają te same cyfry na górnej i dolnej powierzchni, ich obszary będą równe.

trójkątny pryzmat

Ma u podstawy figurę z trzema wierzchołkami, czyli trójkąt. Wiadomo, że jest inny. Jeśli to wystarczy przypomnieć, że jego powierzchnię wyznacza połowa iloczynu nóg.

Notacja matematyczna wygląda tak: S = ½ śr.

Aby określić obszar podstawy w ogólnej formie, przydatne są formuły: Czapla i ta, w której połowa boku jest przenoszona na narysowaną do niej wysokość.

Pierwsza formuła powinna być napisana w następujący sposób: S \u003d √ (p (p-a) (p-in) (p-s)). Ten wpis zawiera półobwód (p), czyli sumę trzech boków podzieloną przez dwa.

Po drugie: S = ½ n a * a.

Jeśli chcesz poznać obszar podstawy trójkątnego graniastosłupa, który jest regularny, to trójkąt jest równoboczny. Ma własną formułę: S = ¼ a 2 * √3.

pryzmat czworokątny

Jego podstawą jest dowolny ze znanych czworoboków. Może to być prostokąt lub kwadrat, równoległościan lub romb. W każdym przypadku, aby obliczyć powierzchnię podstawy pryzmatu, będziesz potrzebować własnego wzoru.

Jeżeli podstawą jest prostokąt, to jego pole wyznacza się następująco: S = av, gdzie a, b są bokami prostokąta.

Jeśli chodzi o pryzmat czworokątny, powierzchnię podstawy zwykłego pryzmatu oblicza się ze wzoru na kwadrat. Bo to on leży u podstawy. S \u003d 2.

W przypadku, gdy podstawa jest równoległościanem, potrzebna będzie następująca równość: S \u003d a * n a. Zdarza się, że podano bok równoległościanu i jeden z kątów. Następnie, aby obliczyć wysokość, będziesz musiał użyć dodatkowego wzoru: na \u003d b * sin A. Co więcej, kąt A sąsiaduje z bokiem „b”, a wysokość jest przeciwna do tego kąta.

Jeśli u podstawy pryzmatu leży romb, to do określenia jego powierzchni potrzebny będzie ten sam wzór, jak dla równoległoboku (ponieważ jest to przypadek szczególny). Ale możesz również użyć tego: S = ½ d 1 d 2. Tutaj d 1 i d 2 to dwie przekątne rombu.

Regularny pryzmat pięciokątny

Ten przypadek polega na podzieleniu wielokąta na trójkąty, których obszary są łatwiejsze do odnalezienia. Chociaż zdarza się, że figury mogą mieć różną liczbę wierzchołków.

Ponieważ podstawą pryzmatu jest pięciokąt foremny, można go podzielić na pięć trójkątów równobocznych. Następnie powierzchnia podstawy pryzmatu jest równa powierzchni jednego takiego trójkąta (wzór widać powyżej), pomnożonej przez pięć.

Regularny pryzmat sześciokątny

Zgodnie z zasadą opisaną dla graniastosłupa pięciokątnego można podzielić sześciokąt podstawowy na 6 trójkątów równobocznych. Wzór na powierzchnię podstawy takiego pryzmatu jest podobny do poprzedniego. Tylko w tym należy pomnożyć przez sześć.

Formuła będzie wyglądać tak: S = 3/2 i 2 * √3.

Zadania

Nr 1. Podana jest regularna linia, której przekątna wynosi 22 cm, wysokość wielościanu wynosi 14 cm Oblicz obszar podstawy pryzmatu i całej powierzchni.

Decyzja. Podstawa pryzmatu jest kwadratem, ale jego bok nie jest znany. Jego wartość można znaleźć na podstawie przekątnej kwadratu (x), która jest powiązana z przekątną pryzmatu (d) i jego wysokością (n). x 2 \u003d d 2 - n 2. Z drugiej strony ten odcinek „x” to przeciwprostokątna w trójkącie, którego nogi są równe bokowi kwadratu. Oznacza to, że x 2 \u003d a 2 + a 2. Okazuje się zatem, że a 2 \u003d (d 2 - n 2) / 2.

Zastąp liczbę 22 zamiast d i zastąp „n” jej wartością - 14, okazuje się, że bok kwadratu ma 12 cm Teraz łatwo jest znaleźć obszar podstawowy: 12 * 12 \u003d 144 cm 2 .

Aby określić obszar całej powierzchni, musisz dodać dwukrotną wartość obszaru bazowego i czterokrotnie zwiększyć bok. Tę ostatnią łatwo znaleźć według wzoru na prostokąt: pomnóż wysokość wielościanu i bok podstawy. To znaczy 14 i 12, ta liczba będzie równa 168 cm 2. Stwierdzono, że całkowita powierzchnia pryzmatu wynosi 960 cm2.

Odpowiedź. Powierzchnia podstawy pryzmatu wynosi 144 cm2. Cała powierzchnia - 960 cm 2 .

Nr 2. Dana U podstawy leży trójkąt o boku 6 cm, w tym przypadku przekątna powierzchni bocznej wynosi 10 cm Oblicz obszary: podstawę i powierzchnię boczną.

Decyzja. Ponieważ pryzmat jest regularny, jego podstawą jest trójkąt równoboczny. W związku z tym okazuje się, że jego powierzchnia jest równa 6 do kwadratu razy ¼ i pierwiastkowi kwadratowemu z 3. Proste obliczenie prowadzi do wyniku: 9√3 cm2. Jest to obszar jednej podstawy pryzmatu.

Wszystkie ściany boczne są takie same i są prostokątami o bokach 6 i 10 cm, aby obliczyć ich powierzchnie, wystarczy pomnożyć te liczby. Następnie pomnóż je przez trzy, bo pryzmat ma dokładnie tyle ścian bocznych. Następnie obszar powierzchni bocznej nawija się 180 cm 2 .

Odpowiedź. Obszary: podstawa - 9√3 cm2, boczna powierzchnia pryzmatu - 180 cm2.

Definicja.

Jest to sześciokąt, którego podstawy są dwoma równymi kwadratami, a ściany boczne są równymi prostokątami.

Boczne żebro jest wspólną stroną dwóch sąsiednich ścian bocznych

Wysokość pryzmatu to odcinek prostopadły do ​​podstawy pryzmatu

Przekątna pryzmatu- odcinek łączący dwa wierzchołki podstaw, które nie należą do tej samej ściany

Płaszczyzna ukośna- płaszczyzna przechodząca przez przekątną pryzmatu i jego boczne krawędzie

Przekrój po przekątnej- granice przecięcia pryzmatu i płaszczyzny przekątnej. Przekątna zwykłego czworokątnego graniastosłupa to prostokąt

Przekrój prostopadły (przekrój ortogonalny)- to przecięcie pryzmatu i płaszczyzny narysowanej prostopadle do jego bocznych krawędzi

Elementy zwykłego czworokątnego pryzmatu

Rysunek przedstawia dwa regularne pryzmaty czworokątne, które są oznaczone odpowiednimi literami:

• Podstawy ABCD i A 1 B 1 C 1 D 1 są równe i równoległe do siebie
• Powierzchnie boczne AA 1 D 1 D, AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C i CC 1 D 1 D, z których każda jest prostokątem
• Powierzchnia boczna - suma pól wszystkich powierzchni bocznych pryzmatu
• Powierzchnia całkowita - suma powierzchni wszystkich podstaw i ścian bocznych (suma powierzchni powierzchni bocznych i podstaw)
• Żebra boczne AA 1 , BB 1 , CC 1 i DD 1 .
• Przekątna B 1 D
• Przekątna podstawy BD
• Przekrój skośny BB 1 D 1 D
• Przekrój prostopadły A 2 B 2 C 2 D 2 .

Właściwości regularnego pryzmatu czworokątnego

• Podstawy to dwa równe kwadraty
• Podstawy są do siebie równoległe
• Boki są prostokątami.
• Boki są sobie równe
• Ściany boczne są prostopadłe do podstaw
• Żebra boczne są do siebie równoległe i równe
• Przekrój prostopadły prostopadły do ​​wszystkich bocznych żeber i równoległy do ​​podstaw
• Kąty przekroju prostopadłego — z prawej
• Przekątna zwykłego czworokątnego graniastosłupa to prostokąt
• Prostopadły (przekrój ortogonalny) równoległy do ​​podstaw

Wzory na zwykły pryzmat czworokątny

Instrukcje rozwiązywania problemów

Podczas rozwiązywania problemów na ten temat ” zwykły czworokątny pryzmat” oznacza, że:

Prawidłowy pryzmat- graniastosłup, u którego podstawy leży wielokąt foremny, a krawędzie boczne są prostopadłe do płaszczyzn podstawy. Oznacza to, że u podstawy znajduje się zwykły czworokątny pryzmat kwadrat. (patrz powyżej właściwości zwykłego pryzmatu czworokątnego) Notatka. Jest to część lekcji z zadaniami z geometrii (sekcja geometria bryłowa - pryzmat). Oto zadania, które powodują trudności w rozwiązaniu. Jeśli potrzebujesz rozwiązać problem z geometrii, którego tutaj nie ma - napisz o tym na forum. Dla oznaczenia czynności wyciągania pierwiastka kwadratowego w rozwiązywaniu problemów stosuje się symbol√ .

Zadanie.

W zwykłym czworokątnym pryzmacie powierzchnia podstawy wynosi 144 cm 2, a wysokość 14 cm. Znajdź przekątną pryzmatu i całkowitą powierzchnię.

Decyzja.
Regularny czworokąt to kwadrat.
W związku z tym bok podstawy będzie równy

√144 = 12 cm.
Skąd przekątna podstawy zwykłego prostopadłościanu będzie równa
√(12 2 + 12 2 ) = √288 = 12√2

Przekątna zwykłego graniastosłupa tworzy z przekątną podstawy i wysokością pryzmatu trójkąt prostokątny. W związku z tym, zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa, przekątna danego regularnego graniastosłupa czworokątnego będzie równa:
√((12√2) 2 + 14 2 ) = 22 cm

Odpowiedź: 22 cm

Zadanie

Znajdź łączną powierzchnię zwykłego czworokątnego pryzmatu, jeśli jego przekątna wynosi 5 cm, a przekątna powierzchni bocznej wynosi 4 cm.

Decyzja.
Ponieważ podstawą zwykłego czworokątnego graniastosłupa jest kwadrat, to bok podstawy (oznaczony jako a) znajduje się w twierdzeniu Pitagorasa:

A 2 + a 2 = 5 2
2a 2 = 25
a = √12,5

Wysokość ściany bocznej (oznaczona jako h) będzie wtedy równa:

H 2 + 12,5 \u003d 4 2
h 2 + 12,5 = 16
h 2 \u003d 3,5
h = √3,5

Całkowita powierzchnia będzie równa sumie powierzchni bocznej i dwukrotnej powierzchni bazowej

S = 2a 2 + 4ah
S = 25 + 4√12,5 * √3,5
S = 25 + 4√43,75
S = 25 + 4√(175/4)
S = 25 + 4√(7*25/4)
S \u003d 25 + 10√7 ≈ 51,46 cm 2.

Odpowiedź: 25 + 10√7 ≈ 51,46 cm 2.

W szkolnym toku stereometrii jedną z najprostszych figur, która ma niezerowe wymiary wzdłuż trzech osi przestrzennych, jest czworokątny pryzmat. Zastanów się w artykule, jaki to jest rysunek, z jakich elementów się składa, a także jak obliczyć jego powierzchnię i objętość.

Pojęcie pryzmatu

W geometrii pryzmat jest figurą przestrzenną, którą tworzą dwie identyczne podstawy i powierzchnie boczne, które łączą boki tych podstaw. Zauważ, że obie bazy są przekształcane w siebie za pomocą operacji równoległej translacji przez jakiś wektor. To zadanie pryzmatu prowadzi do tego, że wszystkie jego boki są zawsze równoległobokami.

Liczba boków podstawy może być dowolna, zaczynając od trzech. Gdy liczba ta dąży do nieskończoności, pryzmat płynnie zamienia się w cylinder, ponieważ jego podstawa staje się kołem, a boczne równoległoboki, łączące, tworzą cylindryczną powierzchnię.

Jak każdy wielościan, graniastosłup charakteryzuje się bokami (płaszczyznami, które ograniczają figurę), krawędziami (segmentami, wzdłuż których przecinają się dowolne dwie strony) i wierzchołkami (punktami spotkania trzech boków, w przypadku graniastosłupa dwa z nich są boczne, a trzeci jest baza). Liczby tych trzech elementów figury są połączone następującym wyrażeniem:

Tutaj P, C i B to odpowiednio liczba krawędzi, boków i wierzchołków. Wyrażenie to jest zapisem matematycznym twierdzenia Eulera.

Powyżej zdjęcie przedstawiające dwa pryzmaty. U podstawy jednej z nich (A) leży sześciokąt foremny, a boki są prostopadłe do podstaw. Rysunek B pokazuje inny pryzmat. Jego boki nie są już prostopadłe do podstaw, a podstawa jest pięciokątem foremnym.

czworokątny?

Jak wynika z powyższego opisu, o rodzaju pryzmatu decyduje przede wszystkim rodzaj wielokąta tworzącego bazę (obie bazy są takie same, więc możemy mówić o jednej z nich). Jeśli ten wielokąt jest równoległobokiem, otrzymujemy pryzmat czworokątny. Więc wszystkie strony tego są równoległobokami. Czworokątny pryzmat ma swoją nazwę - równoległościan.

Liczba boków równoległościanu wynosi sześć, przy czym każdy bok ma analogiczny do niego równoległość. Ponieważ podstawy równoległościanu są z dwóch stron, pozostałe cztery są boczne.

Liczba wierzchołków równoległościanu wynosi osiem, co łatwo zauważyć pamiętając, że wierzchołki graniastosłupa powstają tylko na wierzchołkach wielokątów bazowych (4x2=8). Stosując twierdzenie Eulera otrzymujemy liczbę krawędzi:

P \u003d C + B - 2 \u003d 6 + 8 - 2 \u003d 12

Z 12 żeber tylko 4 są uformowane niezależnie po bokach. Pozostałe 8 leżą w płaszczyznach podstaw figury.

Rodzaje równoległościanów

Pierwszy rodzaj klasyfikacji polega na cechach równoległoboku, który leży u podstawy. Może to wyglądać tak:

• zwykły, w którym kąty nie są równe 90 o;
• prostokąt;
• kwadrat jest regularnym czworobokiem.

Drugim rodzajem klasyfikacji jest kąt, pod którym bok przecina podstawę. Możliwe są tutaj dwa różne przypadki:

• ten kąt nie jest prosty, wtedy pryzmat nazywa się ukośnym lub ukośnym;
• kąt wynosi 90 o, wtedy taki pryzmat jest prostokątny lub po prostu prosty.

Trzeci rodzaj klasyfikacji dotyczy wysokości pryzmatu. Jeśli graniastosłup jest prostokątny, a podstawa jest kwadratem lub prostokątem, nazywa się to prostopadłościanem. Jeśli u podstawy jest kwadrat, to graniastosłup jest prostokątny, a jego wysokość jest równa długości boku kwadratu, to otrzymujemy znaną figurę sześcianu.

Powierzchnia pryzmatu i jego powierzchnia

Zbiór wszystkich punktów leżących na dwóch podstawach graniastosłupa (równoległoboki) i na jego bokach (cztery równoległoboki) tworzy powierzchnię figury. Powierzchnię tej powierzchni można obliczyć obliczając powierzchnię podstawy i tę wartość dla powierzchni bocznej. Wtedy ich suma da pożądaną wartość. Matematycznie jest to napisane tak:

Tutaj S o i S b są odpowiednio obszarem podstawy i powierzchni bocznej. Cyfra 2 przed So pojawia się, ponieważ istnieją dwie zasady.

Zwróć uwagę, że zapisana formuła obowiązuje dla każdego pryzmatu, a nie tylko dla obszaru pryzmatu czworokątnego.

Warto przypomnieć, że obszar równoległoboku S p oblicza się według wzoru:

Gdzie symbole a i h oznaczają odpowiednio długość jednego z jego boków i wysokość narysowaną do tego boku.

Powierzchnia prostopadłościanu o podstawie kwadratowej

Podstawą jest kwadrat. Dla jednoznaczności oznaczamy jego stronę literą a. Aby obliczyć powierzchnię zwykłego pryzmatu czworokątnego, powinieneś znać jego wysokość. Zgodnie z definicją dla tej wielkości jest ona równa długości prostopadłej opuszczonej z jednej podstawy do drugiej, czyli równej odległości między nimi. Oznaczmy to literą h. Ponieważ wszystkie powierzchnie boczne są prostopadłe do podstaw dla rozważanego typu pryzmatu, wysokość zwykłego czworokątnego pryzmatu będzie równa długości jego krawędzi bocznej.

W ogólnym wzorze na pole powierzchni pryzmatu występują dwa pojęcia. Powierzchnia podstawy w tym przypadku jest łatwa do obliczenia, wynosi:

Aby obliczyć pole powierzchni bocznej, argumentujemy w następujący sposób: ta powierzchnia składa się z 4 identycznych prostokątów. Co więcej, boki każdego z nich są równe a i h. Oznacza to, że powierzchnia S b będzie równa:

Zauważ, że iloczyn 4*a jest obwodem kwadratowej podstawy. Jeśli uogólnimy to wyrażenie na przypadek dowolnej podstawy, to dla prostopadłościanu powierzchnię boczną można obliczyć w następujący sposób:

Gdzie Po to obwód podstawy.

Wracając do problemu obliczania pola zwykłego czworokątnego pryzmatu, możemy napisać ostateczną formułę:

S = 2*S o + S b = 2*a 2 + 4*a*h = 2*a*(a+2*h)

Obszar ukośnego równoległościanu

Obliczenie go jest nieco trudniejsze niż w przypadku prostokąta. W tym przypadku powierzchnia podstawy czworokątnego graniastosłupa jest obliczana według tego samego wzoru, co w przypadku równoległoboku. Zmiany dotyczą sposobu wyznaczania pola powierzchni bocznej.

Aby to zrobić, użyj tego samego wzoru przez obwód, który podano w powyższym akapicie. Dopiero teraz będzie miał nieco inne mnożniki. Ogólny wzór na S b w przypadku graniastosłupa ukośnego to:

Tutaj c jest długością bocznej krawędzi figury. Wartość P sr jest obwodem prostokątnego wycinka. To środowisko jest skonstruowane w następujący sposób: konieczne jest przecięcie wszystkich ścian bocznych płaszczyzną tak, aby była do nich prostopadła. Powstały prostokąt będzie pożądanym plasterkiem.

Powyższy rysunek przedstawia przykład ukośnego pudełka. Jej kreskowany przekrój tworzy z bokami kąty proste. Obwód przekroju to P sr . Tworzą go cztery wysokości bocznych równoległoboków. W przypadku tego czworokątnego graniastosłupa powierzchnia boczna jest obliczana przy użyciu powyższego wzoru.

Długość przekątnej prostopadłościanu

Przekątna równoległościanu to odcinek łączący dwa wierzchołki, które nie mają wspólnych boków, które je tworzą. W każdym pryzmacie czworokątnym są tylko cztery przekątne. W przypadku prostopadłościanu z prostokątem u podstawy długości wszystkich przekątnych są sobie równe.

Poniższy rysunek przedstawia odpowiedni rysunek. Czerwony segment to jego przekątna.

D = √(A 2 + B 2 + C 2)

Tutaj D to długość przekątnej. Pozostałe symbole to długości boków równoległościanu.

Wiele osób myli przekątną równoległościanu z przekątnymi jego boków. Poniżej znajduje się rysunek, na którym przekątne boków rysunku są pokazane za pomocą kolorowych segmentów.

Długość każdego z nich jest również określona przez twierdzenie Pitagorasa i jest równa pierwiastkowi kwadratowemu z sumy kwadratów odpowiednich długości boków.

Objętość pryzmatu

Oprócz obszaru zwykłego pryzmatu czworokątnego lub innych typów pryzmatów, aby rozwiązać niektóre problemy geometryczne, należy również znać ich objętość. Ta wartość dla absolutnie dowolnego pryzmatu jest obliczana według następującego wzoru:

Jeśli pryzmat jest prostokątny, wystarczy obliczyć powierzchnię jego podstawy i pomnożyć ją przez długość krawędzi boku, aby uzyskać objętość figury.

Jeśli pryzmat jest regularnym czworobokiem, to jego objętość będzie równa:

Łatwo zauważyć, że wzór ten jest przekształcany na wyrażenie objętości sześcianu, jeśli długość krawędzi bocznej h jest równa boku podstawy a.

Problem z prostopadłościanem

Aby skonsolidować badany materiał, rozwiążemy następujący problem: istnieje równoległościan prostokątny o bokach 3 cm, 4 cm i 5 cm, należy obliczyć jego pole powierzchni, długość przekątnej i objętość.

S \u003d 2 * S o + S b \u003d 2 * 12 + 5 * 14 \u003d 24 + 70 \u003d 94 cm 2

Aby określić długość przekątnej i objętość figury, możesz bezpośrednio użyć powyższych wyrażeń:

D \u003d √ (3 2 +4 2 +5 2) \u003d 7,071 cm;

V \u003d 3 * 4 * 5 \u003d 60 cm 3.

Problem z ukośnym równoległościanem

Poniższy rysunek przedstawia pryzmat ukośny. Jego boki są równe: a=10 cm, b=8 cm, c=12 cm Należy określić pole powierzchni tej figury.

Najpierw określmy obszar bazy. Z rysunku widać, że kąt ostry wynosi 50o. Wtedy jego obszar to:

S o \u003d h * a \u003d grzech (50 o) * b * a

Aby określić powierzchnię boczną, znajdź obwód zacieniowanego prostokąta. Boki tego prostokąta to a*sin(45o) i b*sin(60o). Wtedy obwód tego prostokąta to:

P sr = 2*(a*sin(45o)+b*sin(60o))

Całkowita powierzchnia tego równoległościanu to:

S = 2*S o + S b = 2*(sin(50 o)*b*a + a*c*sin(45 o) + b*c*sin(60 o))

Długość boków figury podstawiamy dane z warunku zadania, otrzymujemy odpowiedź:

Z rozwiązania tego problemu wynika, że ​​do wyznaczania pól figur ukośnych wykorzystywane są funkcje trygonometryczne.