Opcje lokalizacji prostej i płaszczyzny w przestrzeni. Wzajemna pozycja bezpośredniego i samolotu, dwa płaszczyzny

Lokalizacja

Znak:jeśli proste, nie leżąc w tej płaszczyźnie, równolegle do bezpośredniego leżącego w tym płaszczyźnie, a następnie równolegle do tego płaszczyzny.

1. Jeśli płaszczyzna przechodzi przez tę bezpośrednią, równoległą inną płaszczyznę i przekracza tę płaszczyznę, wówczas linia przecięcia linii jest równoległa do tego bezpośredniego.

2. Jeśli jeden z 2 prostych równoległa do tego, następnie drugi bezpośredni lub równoległy do \u200b\u200btej płaszczyzny lub kłamstwa w tej płaszczyźnie.

Wzajemna lokalizacja samolotów. Równoległość samolotów

Lokalizacja

1. Samoloty mają co najmniej 1 typowy punkt, tj. przecinają się bezpośrednio

2. Samoloty nie przecinają się, tj. W tym przypadku nie ma 1 punktu wspólnego, są one nazywane równolegle.

znak

jeśli 2 przecinające się proste płaszczyzny są odpowiednio równoległe do 2 bezpośrednich samolotów, a następnie samoloty są równoległe.

Sv-v.

1. W przypadku przekroczenia 2 równoległych samolotów 3, linie ich skrzyżowania są równoległe

2. Segmenty równoległych linii prostych, więźniów między równoległych płaszczyzn są równi.

Prostopada prosta i samolotu. Znak prostopadłości bezpośredniej i płaszczyzny.

Bezpośrednia nazwa płaczJeśli przecinają się<90.

Lemat:jeśli 1 z 2 równoległych bezpośrednich prostopadłych do trzeciej linii prostej, a następnie drugi bezpośredni jest prostopadle do tej linii prostej.

Prosty zwykły prostopadle do samolotu,jeśli jest prostopadle do dowolnego bezpośredniego w tym płaszczyźnie.

Twierdzenie: Jeśli 1 z ich 2 równoległego bezpośredniego jest prostopadle do płaszczyzny, drugi bezpośredni jest prostopadle do tej płaszczyzny.

Twierdzenie:jeśli 2 bezpośredni jest prostopadle do płaszczyzny, są one równoległe.

Znak

Jeżeli bezpośrednie jest prostopadłe do 2M przecinające się bezpośrednie leżące w płaszczyźnie, jest prostopadle do tego samolotu.

Prostopadły i ukośny

Konstruujemy samolot i tak dalej, nie należący do samolotu. Czasami spędzą prostą, proste Perpendica samolotu. Punktem przecięcia linii prostej z płaszczyzną jest N. sekcja an - prostopadła, prowadzona przez płaszczyznę. Tak zwana jest podstawą prostopadłej. Jesteśmy w płaszczyźnie TM, który nie pasuje do N. Sekcja AM - nachylona, \u200b\u200bprzeprowadzona z TA do płaszczyzny. M jest podstawą ukośnej. Wytnij MN - skośne projekcja na płaszczyźnie. Prostopadła jest odległość od t.a do samolotu. Każda odległość jest częścią prostopadłej.

Trzy twierdzenie prostopadły:

Bezpośredni, prowadzony w płaszczyźnie przez podstawę pochyłej prostopadle do projekcji w tej płaszczyźnie, prostopadle do najbardziej ukośnych.

Kąt między prostym a płaszczyzną

Kąt między prostym asamolot zwany kątem między tym prostym a jego projekcją na płaszczyźnie.

Kąt dihedralny. Kąt między samolotami

Dihed Corner. Postać utworzona przez proste i 2 płytki o całkowitej granicy A, nie należącym do jednej płaszczyzny.

Granica a - krawędź manekina rogu.Pół-samolot - twarz rogu z Dugran.W celu pomiaru kąta dihedrycznego. Musisz zbudować kąt liniowy w niej. Uwaga na krawędzi kąta danego punktu i na każdej twarzy z tego punktu prowadzimy promień, prostopadle do krawędzi. Róg rogu utworzonego przez te promienie linear Bump Diugran Corner.Ich wewnątrz kąta kręczności może być nieskończenie dużo. Wszystkie mają tę samą wartość.

Produkcja dwóch samolotów

Dwa przecinające się samoloty prostopadły,jeśli kąt między nimi wynosi 90.

Znak:

Jeśli 1 z 2-płaszczyzn przechodzi przez prostą, prostopadłą do innej płaszczyzny, to takie samoloty są prostopadłe.

Polihedra.

Wielościan- powierzchnia składająca się z wielokątów i ograniczając niektóre korpus geometryczny. Twarz - Wielokąty, z których składa się polihedra. Żebra - twarze twarzy. Vershins. - Końce żeber. Diagonalny polihedron. Segment łączący 2 wierzchołki, które nie należą do 1 faset. Samolot, po obu stronach, których są punkty wieloredronowe, zwane . Strzymać samolot.Całkowita część wielościennego i obszaru zabezpieczającego nazu przekrój polihedron.Polihedra są wypukły i wklęsły. Polihedron zwany wypukłyJeśli znajduje się w jedną stronę z płaszczyzny każdego z jego aspektów (Tetrahedron, Paralleped, Octahedron). W polyhedron wypukłym suma wszystkich płaskich narożników na każdym wierzchu jest mniejsza niż 360.

PRYZMAT

Polihedron skompilowany z 2 równych wielokątów znajdujących się w płaszczyźnie równoległych i P - równoległo pryzmat.

Wielokąty A1A2..a (P) i V1V2..V (P) - fundamenty pryzmatu. A1A2V2B1 ... - równoległoki, A (p) A1V1V (P) - boczna twarz. Segmenty A1B1, A2B2..a (P) w (P) - boczne krawędzie. W zależności od wielokąta, podstawowy pryzmat, pryzmat zwany p-węglowo.Prostopadły przeprowadzone z dowolnego punktu jednej bazy do płaszczyzny innej bazy o nazwie wysokość.Jeśli boczne krawędzie pryzmatu są prostopadłe do podstawy, a następnie pryzmat - prostoi jeśli nie jest prostopadły - potem nachylony.Wysokość bezpośredniego pryzmatu jest równa długości bokowej krawędzi. Bezpośredni prismanazJeśli jego podstawa jest prawe wielokąty, wszystkie powierzchnie boczne są równymi prostokątów.

Paralelepiped.

AVSD // A1B1S1D1, AA1 // BB1 // SS1 // DD1, AA1 \u003d BB1 \u003d SS1 \u003d DD1 (według płaszczyzn równoległych obligacji)

Parallepiped składa się z 6 równoległobokami. Nazwane równoległoki twarze.ABSC i A1B1S1D1 - Bazy, inne twarze bok. Punkty A w C D A1 B1 C1 D1 - wierzchołki. Segmenty łączące wierzchołki - żebra. AA1, BB1, SS1, DD1 - boczne krawędzie.

Diagonal Parallewipeda -segment łączący 2 wierzchołki, które nie należą do 1 faset.

Sv-v.

1. przeciwne twarze paralelepiped równolegle i równe. 2. Przekątna paralelepipped jest przecinająca się w jednym punkcie i są podzielone przez ten punkt na pół.

PIRAMIDA

Rozważmy wielokąt A1A2..a (P), punkt p, nie leżący w płaszczyźnie tego wielokąta. Podłącz punkt P z wierzchołkami wielokąta i otrzymujemy trójkąty: RA1A2, RA2A3 ..... (P) A1.

Polihedron skompilowany z Cornel P-Cornel i P-trójkątów nazywany piramidą.Wielokąt - Baza.Trójkąty - boczna twarz.R - górna piramida.Segmenty A1R, A2R..a (P) R - boczne krawędzie.W zależności od wielokąta leżącego u podstawy, piramida p-węgiel. Wysokość piramidyprostopadły, prowadzone z góry do płaszczyzny bazowej. Piramida nazistowska prawaJeśli jej fundament leży odpowiedni wielokąt i wysokość spada do środka bazy. Apothem.- Wysokość bocznej powierzchni prawej piramidy.

Ścięta piramida

Rozważaj piramidę RA1A2A3A (P). Wykonujemy płaszczyźnie zabezpieczające równolegle do podstawy. Ten płaszczyzna dzieli naszą piramidę na 2 części: górna - piramida, podobna do tego, dolna obcięta piramida. Powierzchnia boczna składa się z trapezu. Boczne krawędzie dołączyć do szczytów podstawy.

Twierdzenie:obszar powierzchni bocznej prawidłowej skróconej piramidy jest równe pracy obwodników podstawy na apigan.

Prawa polihedra.

Wypukłe nazwy polihedronowe poprawneJeśli wszystkie jego twarze są równe odpowiednich wielokątów, a każdy z jego najlepszej konkurencji tej samej liczby żeber. Przykład właściwego polihedronu kostki OLL. Wszystkie jej kwadraty graniczne, aw każdym wierzchołku zbiega 3 żebra.

Prawy tetrahedron.istnieją 4 trójkąty równoboczne. Każdy wierzchołek - szczyt 3 trójkątów. Suma płaskich narożników na każdym wierzchołku 180.

Poprawić oktahedron. Koszt 8 Estancjonora trójkątów. Każdy wierzchołek jest wierzchołkiem 4 trójkątów. Suma płaskich rogów na każdym wierzchołku \u003d 240

Prawy Ikosaahedron. Koszt 20 trójkątów równobocznych. Każdy wierzchołek jest trójkąt VEREX 5. Suma płaskich narożników na każdym wierzchołku 300.

Sześciennykoszt 6 kwadratów. Każdy wierzchołek jest kwadratami VEREX 3. Suma narożników płaskich na każdym wierzchołku \u003d 270.

Prawa dodecahedron.koszt od 12 regularnych pentagonów. Każdy wierzchołek - wierzchołek 3 odpowiednich pktapów. Suma płaskich narożników na każdym wierzchołku \u003d 324.

Nie ma innych rodzajów prawidłowej wielościanu.

CYLINDER

Ciało ograniczone przez cylindryczną powierzchnię i dwie koła z granicami L i L1 cylinder.Kręgi L i L1 podstawy cylindra. Cięcie mm1, AA1 - formowanie. Tworząc powierzchnię cylindryczną lub boczną cylindra. Bezpośrednie, kompleksowe centra naziemne O i O1 oś cylindra.Długość formowania - wysokość cylindra.Promień bazy (R) -RODIUS Cylinder.

Sekcje przecinające cylindryczne

Osiowyprzechodzi przez oś i średnicę podstawy

Prostopadle do osi

Cylinder jest korpusem obrotu. Okazuje się obracać prostokąt około 1 z partii.

STOŻEK

Rozważ koło (O; R) i bezpośrednio lub prostopadle do płaszczyzny tego kręgu. Poprzez każdy punkt obwodu L, a TR przeprowadzi segmenty, są nieskończenie dużo. Tworzą stożkową powierzchnię i zwane formularz.

R- wierzchołekLub - oś stożkowej powierzchni.

Ciało ograniczone przez stożkową powierzchnię i koło z granicą L zwany stożek. Koło -baza stożkowa. Szczyt stożkowej powierzchni - Top stożek.Tworząc powierzchnię stożkową - moderujący stożek. Powierzchnia stożkowa - powierzchnia boczna stożka.Ro - oś stożkowa. Odległość od r do o - stożek wysokości.Stożek jest korpusem obrotu. Okazuje się obracać prawy trójkąt wokół kategorii.

Przekrój stożka

Sekcja osiowa

Osi prostopadła

Kula i Sher.

Kulapowierzchnia nosowa składająca się ze wszystkich punktów przestrzeni znajdującej się w danej odległości od tego momentu. Ten punkt jest Środek kuli.Ta odległość jest Promień kuli.

Wytnij łączenie 2 punktów kuli i przechodząc przez centrum przyciemniony o średnicy kuli.

Ciało ograniczone do sfery piłka.Centrum, promień i średnica kuli centrum, promień i średnica piłki.

Kula i piłka - to ciała rotacji. Kula Okazuje się obracać półkole o średnicy i piłka Okazuje się obracanie półkole wokół średnicy.

w prostokątnym układzie współrzędnych równanie kuli o promieniu R ze środkiem C (X (0), Y (0), Z (0) ma formularz (X (0)) (2) + (UY (0 )) (2) + (ZZ (0)) (2) \u003d r (2)

Wzajemne rozwiązanie bezpośredniego i samolotu w przestrzeni pozwala na trzy przypadki. Direct i samolot może przecinać się w jednym punkcie. Mogą być równoległe. Wreszcie proste może leżeć w samolocie. Dowiedz się określonej sytuacji dla bezpośredniego i płaszczyzny zależy od sposobu ich opisu.

Przypuśćmy, że płaszczyzna Π podaje się przez ogólne równanie π: AX + przez + CZ + D \u003d 0, a linia prosta L - równania kanoniczne (X - x 0) / L \u003d (y - y 0) / m \u003d (y - y 0) / m \u003d (y - y 0) / m \u003d ( z - z 0) / n. Równania bezpośrednio dają współrzędne punktu M 0 (x 0; Y 0; Z 0) na bezpośrednim współrzędnym wektora przewodnika S \u003d (L; M; N) tego bezpośredniego i równania płaszczyzny - Współrzędne jego normalnego wektora N \u003d (A; B; C).

Jeśli linia prosta L i płaszczyzna Π przecinają się, wówczas wektora prowadząca proste nie jest równoległe płaszczyzna π. Więc normalny wektor N płaszczyzna nie jest wektor ortogonalny S, tj. Ich produkt skalarny nie jest zerowy. Poprzez współczynniki równań prostych i płaszczyznowych stan ten jest rejestrowany jako nierówność A1 + BM + CN ≠ 0.

Jeśli proste i płaszczyzna są równoległe lub bezpośrednie w płaszczyźnie, wykonywane jest warunek S ⊥ N, który we współrzędnych jest zredukowany do równości AL + BM + CN \u003d 0. Aby podzielić przypadki "równoległy" i "bezpośredni Należy do samolotu ", musisz sprawdzić, czy sprawdzić, czy punkt bezpośredniej płaszczyzny.

Zatem wszystkie trzy przypadki wzajemnego układu bezpośredniego i płaszczyzny są podzielone przez sprawdzenie odpowiednich warunków:

Jeśli Direct L jest podawany przez jego wspólne równania:

możliwe jest przeanalizowanie wzajemnego układu bezpośrednich i płaszczyzny π w następujący sposób. Z ogólnych równań będzie równania bezpośredniego i ogólnego równania samolotu system trzech równań liniowych Z trzema niewiadomymi

Jeśli ten system nie ma rozwiązań, a następnie bezpośrednio równolegle do płaszczyzny. Jeśli ma jedno rozwiązanie, a następnie proste i płaszczyzna przecinają się w jednym punkcie. Ten ostatni jest równoważny faktowi system określony. (6.6)

różni się od zera. Wreszcie, jeśli system (6.6) ma nieskończenie wielu rozwiązań, a następnie bezpośrednio należy do płaszczyzny.

Kąt między prostym a płaszczyzną. Kąt φ między linią prostą L: (X - X 0) / L \u003d (Y - Y 0) / M \u003d (Z - Z 0) / N i płaszczyzna π: AX + przez + CZ + D \u003d 0 jest W zakresie 0 ° (w przypadku równoległości) do 90 ° (w przypadku prostopadłości prostej i płaszczyzny). Sinus tego kątu jest równy | cosψ |, gdzie ψ jest kątem między wektorem prowadnicy Direct S a normalnym n Płaszczącą (rys. 6.4). Obliczanie cosinusu kąta między dwoma wektory przez ich współrzędne (patrz (2.16)), otrzymujemy

Stan prostopadłości prostej i płaszczyzny jest równoważny faktowi, że normalny wektor samolotu i bezpośredni wektor przewodnika kollinowego. Poprzez współrzędne wektory, warunek ten jest zapisywany w formie podwójnej równości.

W Planimetrii samolot jest jedną z głównych danych, dlatego bardzo ważne jest, aby mieć jasną ideę. Ten artykuł ma na celu ujawnienie tego tematu. Początkowo pojęcie samolotu, jego reprezentacji graficznej i pokazuje oznaczenia samolotów. Następnie samolot jest rozpatrywany wraz z punktem, bezpośrednią lub inną płaszczyzną, podczas gdy są warianty z wzajemnej lokalizacji w przestrzeni. W akapicie drugim i trzecim i czwartym artykułu wszystkie warianty wzajemnego porozumienia dwóch samolotów, bezpośrednich samolotów, a także punktów i samolotów, przedstawia się główne aksjomaty i graficzna ilustracja. Podsumowując, podano podstawowe sposoby ustawiania płaszczyzny w przestrzeni.

Strona nawigacyjna.

Samolot - podstawowe koncepcje, notacja i obraz.

Najprostsze i podstawowe kształty geometryczne w przestrzeni trójwymiarowej są punktem prostym i samolotem. Mamy już pomysł na punkt i bezpośrednio w samolocie. Jeśli umieścisz samolot, na którym punkty i bezpośrednio, w przestrzeni trójwymiarowej, dostaniemy punkty i proste w przestrzeni. Widok na przestrzeń w przestrzeni umożliwia uzyskanie, na przykład powierzchnię stołu lub ściany. Jednak tabela lub ściana ma skończone rozmiary, a płaszczyzna rozciąga się na ich granice do nieskończoności.

Punkty i bezpośrednio w przestrzeni są wskazane, a także na płaszczyźnie - odpowiednio duże i małe litery łacińskie. Na przykład punkty A i Q, prosto A i d. Jeśli dwa punkty są ustawione na linii prostej, a następnie bezpośrednie mogą być oznaczone dwoma literami odpowiadającymi tym punktom. Na przykład prosty AV lub WA przechodzi przez punkty A i B. Samolot jest wykonany, aby oznaczyć małymi greckimi literami, na przykład samolotem lub.

Podczas rozwiązywania zadań konieczne jest przedstawienie płaszczyzny na rysunku. Samolot jest zwykle przedstawiany jako równoległobok lub arbitralny prosty zamknięty obszar.

Samolot jest zwykle uważany za razem z kropkami, bezpośrednimi lub innymi samolotami, podczas gdy występują różne opcje ich wzajemnej lokalizacji. Idź do opisu.

Wzajemna lokalizacja samolotu i punktu.

Zacznijmy od aksjomów: istnieją punkty w każdej płaszczyźnie. Wynika z pierwszej wersji względnej pozycji płaszczyzny i punkt - punkt może należeć do płaszczyzny. Innymi słowy, samolot może przejść przez punkt. Aby odnosić się do przynależności dowolnego punktu dowolnej płaszczyzny, użyj symbolu "". Na przykład, jeśli samolot przechodzi przez punkt A, możesz krótko palić się.

Należy rozumieć, że na danej płaszczyźnie w przestrzeni jest nieskończenie wielu punktów.

Następujący aksjomat pokazuje, ile punktów w przestrzeni należy zauważyć, że określają określoną płaszczyznę: przez trzy punkty, które nie leżą na jednej linii prostej, samolot przechodzi i tylko jeden. Jeśli znane są trzy punkty leżące w płaszczyźnie, samolot może być wyznaczony w trzech literach odpowiadających tym punktom. Na przykład, jeśli samolot przechodzi przez punkty A, B i C, można go oznaczyć ABC.

Sformułujemy kolejny aksjomat, który daje drugą opcję względnej lokalizacji samolotu i punktów: jest co najmniej cztery punkty, które nie leżą w tej samej płaszczyźnie. Tak więc punkt przestrzeni nie może należeć do samolotu. Rzeczywiście, ze względu na poprzednie aksjomaty przez trzy punkty przestrzeni, przechodzi samolot, a czwarty punkt może być jak leżący na tym płaszczyźnie i nie kłamie. Z krótkim rekordem użyj symbolu "", który jest równoważny z frazą "nie należy".

Na przykład, jeśli punkt i nie leży w płaszczyźnie, a następnie użyj krótkiego rekordu.

Bezpośrednio i samolot w przestrzeni.

Po pierwsze, proste może leżeć w samolocie. W tym przypadku samolot leży co najmniej dwa punkty tego prosto. Jest to ustawione przez aksjomat: jeśli dwa punkty bezpośrednie leżą w płaszczyźnie, a następnie wszystkie punkty tego prostego leżą w samolocie. W przypadku krótkiego zapisu przynależności niektórych bezpośrednich płaszczyzn użyj symbolu "". Na przykład rekord oznacza, że \u200b\u200bproste i leży w płaszczyźnie.

Po drugie, bezpośrednio może przekroczyć samolot. W tym samym czasie proste i samolot mają jeden wspólny punkt, który nazywa się punktem przecięcia prostych i płaszczyzny. Przy krótkim rekordzie skrzyżowanie wskazuje symbol "". Na przykład rekord oznacza, że \u200b\u200bprosto i przekracza płaszczyznę w punkcie m. Wraz z przecięciem płaszczyzny niektóre proste występują pojęcie kąta między prostym a płaszczyzną.

Oddzielnie warto zatrzymać się na linii prostej, która przecina samolot i prostopadle do dowolnego bezpośredniego leżącego w tym płaszczyźnie. Takie bezpośrednio zwane prostopadłą do samolotu. W przypadku krótkiego zapisu prostopadłości, Simomal "jest używany" ". W celu głębszego badania materiału można odnosić się do pozycji prostopadłościowej bezpośredniej i płaszczyzny.

Specjalne znaczenie w rozwiązywaniu problemów związanych z samolotem ma tak zwany normalny wektor samolotu. Normalny wektor samolotu jest dowolny niezerowy wektor leżący na prostym, prostopadle do tego samolotu.

Po trzecie, bezpośrednie może być równoległe do samolotu, czyli, że nie ma w nim wspólnych punktów. Z krótkim zapisem równoległości, użyj symbolu "". Na przykład, jeśli proste i równoległe do płaszczyzny, możesz napisać. Zalecamy czytanie tego przypadku bardziej szczegółowo, odnosząc się do równoległości artykułu prostej i płaszczyzny.

Należy powiedzieć, że proste, leżące w samolocie dzieli ten samolot na dwa pół-samoloty. Bezpośredni w tym przypadku nazywa się granicą półpogodziny. Wszelkie dwa punkty o pół-płaszczyźnie znajdują się po jednej stronie z linii, a dwa punkty różnych pół-samolotów leżą na różnych stronach granicy bezpośrednich.

Wzajemna lokalizacja samolotów.

Dwie samoloty w przestrzeni mogą się pokrywać. W takim przypadku mają co najmniej trzy wspólne punkty.

Dwie samoloty w przestrzeni mogą się przecinać. Skrzyżowanie dwóch samolotów jest linia prosta, która jest ustawiona przez aksjomat: jeśli dwa płaszczyzny mają wspólny punkt, mają one wspólną linię, na której wszystkie wspólne punkty tych płaszczyzn kłamały.

W tym przypadku pojawia się koncepcja kąta między samolotami przecinającymi. Oddzielne zainteresowanie to przypadek, gdy kąt między samolotami jest równy dziewięćdziesiąt stopni. Takie samoloty nazywane są prostopadle. Rozmawialiśmy o prostopadłości samolotów w artykule.

Wreszcie, dwa samoloty w przestrzeni mogą być równoległe, czyli, że nie ma wspólnych punktów. Zalecamy zapoznanie się z równoległością artykułu samolotów w celu uzyskania pełnego obrazu tego przykładu wykonania krewnych.

Sposoby na ustawienie samolotu.

Teraz wymieniamy główne sposoby określania określonej płaszczyzny w przestrzeni.

Po pierwsze, samolot można ustawić, mocując trzy nie leżące na jednym prostym punkcie przestrzeni. Ta metoda opiera się na aksjomieniu: przez trzy punkty, które nie leżą na jednej linii prostej, jedynej płaszczyzny przechodzi.

Jeśli samolot jest rejestrowany w przestrzeni trójwymiarowej, stosując wskazanie współrzędnych trzech różnych punktów, które nie leżą na jednej prostej, możemy pisać równanie samolotu przechodzącego przez trzy wartości zadane.

Następujące dwie metody ustawiania płaszczyzny są konsekwencją poprzedniego. Opierają się na konsekwencjach aksjomatu samolotu przechodzącego przez trzy punkty:

• przez bezpośredni i nie leżący punkt punkt przekazuje płaszczyznę, ponadto tylko jeden (patrz także równanie artykułu samolotu przechodzącego przez prosty i punkt);
• przez dwie przecinające się proste linie, jedyne przechodzi samolot (zalecamy zapoznanie się z materiałem artykułu przez równanie płaszczyzny przechodzące przez dwie przecinające się linie proste).

Czwarty sposób ustawienia płaszczyzny w przestrzeni opiera się na definicji równoległych linii prostych. Przypomnijmy, że dwie proste linie są nazywane równolegle, jeśli leżą w tej samej płaszczyźnie i nie przecinają się. W ten sposób wskazuje dwie równoległe linie proste w przestrzeni, definiujemy jedyną płaszczyznę, w której leży te proste kłamstwa.

Jeśli w trójwymiarowej przestrzeni w stosunku do prostokątnego układu współrzędnych płaszczyzna jest ustawiony przez określony sposób, wówczas możemy dokonać równania płaszczyzny przechodzącego przez dwie równoległe linie proste.

Kurs liceum w lekcjach geometrii okazuje się następującym twierdzeniem: przez stały punkt przestrzeni, jedyna płaszczyzna jest przeprowadzana, prostopadle do tego bezpośredniego. W ten sposób możemy ustawić płaszczyznę, jeśli określisz punkt, przez który przechodzi, i proste, prostopadłe do niego.

Jeśli układ współrzędnych prostokątnego jest rejestrowany w przestrzeni trójwymiarowej, a płaszczyzna jest ustawiony przez określony sposób, a następnie równanie płaszczyzny przechodzące przez określony punkt jest prostopadły do \u200b\u200bokreślonej linii prostej.

Zamiast prosty, prostopadłej do samolotu, można określić jeden z normalnych wektorów tej płaszczyzny. W tym przypadku możliwe jest pisać

Wzajemna lokalizacja dwóch linii prostych

Poniższe stwierdzenia wyrażają niezbędne i wystarczające oznaki wzajemnego układu dwóch bezpośrednich w przestrzeni określonej przez równania kanoniczne

ale) Przejdź prosto, tj. Nie leżaj na tej samej płaszczyźnie.

B.) Prosty przecinek.

Ale wektory i nieollillylinear (w przeciwnym razie ich współrzędne są proporcjonalne).

w) Prosta równoległa.

Wektory i kollinę, ale wektor jest NellLylinear.

SOL.) Prosty zbiegły.

Wszystkie trzy wersje:, Collinear.

Dowód. Udowodnijmy adekwatność tych znaków

ale) Rozważ wektory wektora i przewodnika bezpośrednich danych

następnie te wektory są niezadowoleniowe, dlatego te kierunki nie leżą na tej samej płaszczyźnie.

B.) Jeśli wektory są zatem przedziały, dlatego bezpośrednie dane znajdują się w tej samej płaszczyźnie, a ponieważ w przypadku ( b.) Zakłada się, że wektory przewodnika i te bezpośrednie są nieolllyline, a następnie bezpośrednie przecinające się.

w) Jeśli wektory prowadzące i dane bezpośredniego kolegów, a następnie proste lub równoległe lub zbiegły. Gdy ( w) proste równolegle, ponieważ Według stanu, wektor, którego początek znajduje się w punkcie pierwszego prostego, a końcem - w momencie drugiego bezpośredniego nie jest kollinialny i.

d) Jeśli wszystkie wektory i kollinę, a następnie bezpośrednie pokrywają się.

Potrzeba funkcji okazuje się metodą z paskudnej.

Checker Nr 1007.

Poniższe stwierdzenia dają niezbędne i wystarczające warunki do wzajemnej lokalizacji bezpośrednich określonych równań kanonicznych.

i samolot podany przez ogólne równanie

w stosunku do ogólnego systemu współrzędnych dekartularnych.

Samolot i bezpośrednie przecinek:

Płaszczyzna i prosta równoległa:

Proste leży w samolocie:

Najpierw udowodniliśmy wystarczalność tych znaków. Piszemy równania tej bezpośredniej formy parametrycznej:

Zastępowanie do równania (2 (płaszczyzna)) Współrzędne arbitralnego punktu tej linii, pobrane z formuł (3), będą miały:

1. Jeśli równanie (4) ma stosunkowo t. tylko decyzja:

więc ten bezpośrednie i ten samolot ma tylko jeden wspólny punkt, tj. Krzyż.

2. Jeśli równanie (4) nie jest spełnione żadnej wartości t.. Na tym bezpośrednim nie ma punktu leżącego na tej płaszczyźnie, dlatego dane są proste, a płaszczyzna są równoległe.

3. Jeśli równanie (4) jest spełnione w żadnym znaczeniu t.. Wszystkie punkty tego bezpośredniego kłamstwa w tej płaszczyźnie oznacza to, że ten bezpośrednie leży na tym płaszczyźnie.

Wyprowadzimy wystarczające warunki do wzajemnego układu bezpośredniego i płaszczyzny są niezbędne i udowodniono niezwłocznie metodą od odwrotnej.

Od udowodnionego, konieczne i wystarczające warunki następuje fakt, że składnik wektorowy płaszczyzny określony przez ogólne równanie w odniesieniu do ogólnego układu współrzędnych dekartularnych.

Direct należy płaszczyznaJeśli istnieją dwa wspólne punkty lub jeden wspólny punkt i równoległy do \u200b\u200bdowolnego bezpośredniego leżącego w płaszczyźnie. Niech płaszczyzna na rysunku ustawiona jest przez dwa przecinające się prosto. W tej płaszczyźnie wymagane jest skonstruowanie dwóch prostych M i N zgodnie z tymi warunkami ( SOL. (A b)) (Rys. 4.5).

R e W E. 1. I arbitralnie wykonuję M2, ponieważ bezpośrednie należy do samolotu, zwróć uwagę na projekcję punktów przecięcia z bezpośrednim ale i b. I okreśrzymy ich poziome projekcje, po 1 1 i 2 1, przeprowadzamy M 1.

2. Po punkcie do płaszczyzny wykonujemy N2 ║M 2 i N 1 ║M 1.

Bezpośredni płaszczyzna równoległaJeśli jest równoległe do dowolnego bezpośredniego leżącego w płaszczyźnie.

Przejście bezpośrednio i samolot. Trzy przypadki lokalizacji bezpośredniej i płaskiej są możliwe w stosunku do samolotów prognoz. W zależności od tego zdefiniowano bezpośredni i płaski punkt przecięcia.

Pierwszy przypadek - Direct and Plane - projekcja. W tym przypadku dostępny jest punkt przecięcia w rysunku (oba jego prognozy), należy jedynie określić.

Pri Mers. Rysunek jest ustawiony płaszczyznę ze śladami σ ( h 0. f 0) - Poziomo poddawana pozycja - i prosta l. - Pozycja projekcyjna frontowo. Określ punkt ich skrzyżowania (rys. 4.6).

Punkt przecięcia na rysunku jest już tam - K (k 1 do 2).

Drugi przypadek - lub prosty lub samolot - projekcja. W tym przypadku, na jednym z samolotów prognoz, projekcja punktu przecięcia jest już dostępna, musi być oznaczona, a na drugim płaszczyźnie prognoz - aby znaleźć na akcesoriach.

Pri Mers. Na rys. 4.7 i przedstawiony samolot ze śladami pozycji zasiadowej i bezpośredni l. - ogólna sytuacja. Projekcja punktu przecięcia do 2 na rysunku jest już dostępna, a projekcja do 1 należy znaleźć w punkcie do bezpośredniego l.. Na
Figa. 4.7, B płaszczyźnie ogólnej pozycji, a prosta m - projekcja przednia, następnie do 2 już jedzenia (zbiega się z M2), a do 1 musisz znaleźć od stanu punktu do samolotu . Zrobić to, aby wydać
prosto ( h. - poziome) leżące w płaszczyźnie.

Trzeci przypadek - i prosta i samolotowa - ogólna pozycja. W takim przypadku, aby określić punkt przecięcia bezpośredniej i płaszczyzny, konieczne jest stosowanie tzw. Pośrednika - płaszczyzny projekcji. W tym celu przeprowadzana jest pomocnicza płaszczyzna świecka. Ten samolot przecina określoną płaszczyznę linii. Jeśli ta linia przekroczy określony bezpośredni, czyli punkt przecięcia prostych i płaszczyzny.

Pri Mers. Na rys. 4.8 przedstawia płaszczyznę trójkąta ABS - ogólna pozycja - i prosta l. - ogólna sytuacja. Aby określić punkt przecięcia K, jest to konieczne l. Aby wykonać przednią rzutową płaszczyznę σ, aby skonstruować linię w trójkącie skrzyżowania δ i σ (na rysunku jest segmentem 1.2), aby określić do 1 i akcesoriów - do 2. Następnie widoczność bezpośredniego l. W odniesieniu do trójkąta w konkurencyjnych punktach. W ramach P 1 Konkurencyjne punkty podjęte Punkty 3 i 4. Widoczne na projekcji P1 pkt 4, ponieważ koordynowanie koordynacji Z jest większa niż w pkt 3, dlatego projekcja l 1. Z tego momentu zostanie niewidzialny.

Na P 2 Konkurencyjne punkty wzięte punktem 1, należące do AB i pkt 5 należących do l.. Widoczny będzie punktem 1, ponieważ ma współrzędną Y więcej niż punkt 5, a zatem projekcję bezpośredniego l 2.do 2 niewidzialnych.