Hlúpy trojuholník. Hlúpy trojuholník nechať rohu potom stranou
1. Určite typ trojuholníka (akútne, hlúpy alebo obdĺžnikové) s stranami 8, 6 a 11 cm (obr. 126). (jeden)
Rozhodnutie. Označujú väčší uhol trojuholníka cez?. Je zrejmé, že leží oproti boku 11 cm, pretože trojuholník väčší uhol leží proti hlavnej strane. Cosine teorem 112 \u003d 82+ 62- 2? 8? 6? COS?
Bolo možné argumentovať inak. Ak sa uhol? bol rovný 90 °, potom by bola veľká časť teoremity pytgagore rovná
Predĺženie boku 1 cm automaticky sa zvyšuje a uhol pod tvárou - stáva sa tupým.
Odpoveď: hlúpe.
2. Základňa trojuholníka sa rovná 6 cm, jeden z uhlov na báze je 105 °, druhý je 45 °. Nájdite dĺžku boku ležiaceho proti uhlu 45 ° (obr. 127). (jeden)
Rozhodnutie. Predpokladajme, že v trojuholníku ABC bude AC \u003d 6 cm, A \u003d 45 ° ,? C \u003d 105 °. Označujú dĺžku strany slnka cez x. Musíme ho nájsť. Používame Sinus Theorem, na ktorom:
Vzhľadom na to, že súčet uhlov v trojuholníku je 180 °, získame:? B \u003d 180 ° -? A -? C \u003d 180 ° - 45 ° - 105 ° \u003d 30 °.
3. Nájdite trojuholníkový priestor so stranami 2 ,? 5 a 3 (obr. 128). (jeden)
Rozhodnutie. Môžete využiť Gerona vzorec:
V našom prípade:
Semball:
Bolo by ľahšie vyriešiť úlohu by to bolo. Cosine teorem:
Vzhľadom k tomu, trojuholník je rovná polovici práce dvoch strán na sínus rohu medzi nimi, potom:
4. V trojuholníku ABC, kde? ACB \u003d 120 °, bol vykonaný medián. Nájdite ho, ak kopije \u003d 6, Sun \u003d 4 (obr. 129). (2)
Rozhodnutie. Používame mediánový vzorec
Máme \u003d Sun \u003d 4, B \u003d AC \u003d 6. Zostáva nájsť C \u003d AB. Aplikujte na trojuholník nápravy Cosine teoremity: C2 \u003d AV2 \u003d AC2 + BC 2-2AC? Bc? COS (? DC) \u003d 62+ 42- 2? 6? štyri? COS 120 ° \u003d 36 + 16-48? (- 1/2) \u003d 76.
5. Nájdite dĺžky strán ABC ABC akútneho trojuholníka, ak Slnko \u003d 8, a dĺžka výšok spustených na AC a Slnke, sú 6, 4 a 4, resp. (Obr. 130 ). (2)
Rozhodnutie. Jediný uhol trojuholníka, ktorý zostal "nedotknutý", roh C.
Z pravouhlého trojuholníka námorníctva:
A teraz na cosine teorem aplikovanej na trojuholník ABC, dostaneme:
Odpoveď: AB \u003d? 41; AC \u003d 5.
6. V trojuholníku, jeden z uhlov, ktorého sa rovná rozdielu medzi ostatnými dvoma, dĺžka menšej strany je rovná 1, a súčet štvorcov štvorcov postavených na dvoch ďalších stranách, dvojnásobok oblasti oblasti opísaná v blízkosti trojuholníka kruhu. Nájdite dĺžku väčšej strany trojuholníka (obr. 131). (2)
Riešenie: Naznačte sa? Najmenší roh v trojuholníku a cez? Najväčší roh. Potom je tretí roh rovnaký? - ?? -?. Pod podmienkou úlohy? - ?? \u003d? - ?? - ?? (Väčší uhol sa nemôže rovnať rozdielu dvoch ďalších uhlov). Z toho vyplýva, že 2? \u003d?; ? \u003d? / 2. Takže trojuholník je pravouhlý. Odstráňte lietadlo ležiace proti menšiemu uhlu?, Rovnaký pod podmienkou 1, čo znamená, že druhý kotúč AV je CTG?, A AU Hypotenuse je 1 / hriech?. Preto je súčet štvorcov štvorcov postavených na hyptonuse a väčšej Nuttou je:
Centrum kruhu opísaného v blízkosti obdĺžnikového trojuholníka leží uprostred hypotenuse a jeho polomer sa rovná:
a oblasť je rovnaká:
Použitie stavu úlohy máme rovnicu:
Dĺžka najviac strany trojuholníka je rovná
7. Dĺžky strany A, B, z trojuholníka sú rovné 2, 3 a 4. Nájdite vzdialenosť medzi centrami opísaných a napísaných kruhov. (2)
Rozhodnutie. Na vyriešenie problému nie je potrebný aj výkres. Dôsledne nájdeme: polovičné opatrenie
Vzdialenosť medzi centrami kruhov:
8. V trojuholníku ABC sa veľkosť uhla rovná? / 3, dĺžka výšky, znížená z hornej strany so stranou AB, je rovnaká ako 3 cm a polomer kruhu opísaného V blízkosti trojuholníka ABC je 5 cm. Nájdite dĺžky strany trojuholníka ABC (obr. 132). (3)
Riešenie: Nech je CD výška trojuholníka ABC, znížená z samitu C. Tri prípady sú možné. Dostane sa CD výška základu D:
1) na segmente AV;
2) Pokračovať v segmente AV za bod;
3) bod V.
Podmienkou je polomer kruhu opísaného v blízkosti trojuholníka ABC 5 cm. V dôsledku toho vo všetkých troch prípadoch:
Teraz je jasné, že bod D sa nezhoduje s bodom, pretože slnko? CD. Používanie Pythagora teorem na trojuholníky ACD a BCD, zistíme, že
Z toho vyplýva, že bod d leží medzi bodmi A a B, ale potom AV \u003d AD + BD (1 + 6? 2), pozri
Odpoveď: AV \u003d (6? 2 + 1) cm, Slnko \u003d 5? 3 cm, AC \u003d 2 cm.
9. V trojuholníkoch ABC a A1B1C1 je dĺžka boku AV rovná dĺžke strany A1B1, dĺžka boku reproduktora sa rovná dĺžke strany A1C1, hodnota uhla je 60 ° A hodnota uhla B1A1C1 je 120 °. Je známe, že pomer dĺžky B1C1 k dĺžke slnka je rovný n (kde n je celé číslo). Nájdite pomer dĺžky AU na dĺžku AU. Za akých hodnôt n má úloha aspoň jedno riešenie (obr. 133)? (3)
Riešenie: Nech ABC a A1B1C1 sú údaje o stave úloh trojuholníka. Aplikácia Cosine Theorem na ABC a A1B1C1 trojuholníky, máme:
T. K. Pod podmienkou úlohy B1C1: Slnko \u003d? N, potom
Pretože A1B1 \u003d AB a A1C1 \u003d AU, potom oddeľujúca nuterátor a menovateľ frakcie na ľavej strane rovnosti (1) na AC2I, označujeme AB: AU až X, získavame rovnosť:
kde je zrejmé, že požadovaný pomer dĺžky AU k dĺžke, ako je koreň rovnice
x2 (N-1) - X (n + 1) + N-1 \u003d 0. (2)
T. K. B1C1\u003e Slnko, potom N\u003e 1. Následne je rovnica (2). Jeho diskriminant sa rovná (n + 1) 2-4 (n - 1) 2 \u003d - 3N2 + 10N - 3.
Rovnica (2) bude mať riešenia, ak - 3N2 + 10N - 3? 0, t.j. na -1/3? n? 3. T. K. N je prirodzené číslo, väčšie ako 1, potom rovnica (2) má roztoky na n \u003d 2 a n \u003d 3. s n \u003d 3, rovnica (2) má koreň X \u003d 1; Pre n \u003d 2, rovnica má koreň
Odpoveď: Pomer dĺžky AB na dĺžku rečníka je rovnaký
pri n \u003d 2; rovná 1 pri n \u003d 3; So zostávajúcimi N roztokmi.
Všeobecne platí, že trojuholník je najjednoduchšou postavou všetkých existujúcich polygónov. Je vytvorený s pomocou troch bodov, ktoré ležia v prvej rovine, ale zároveň neležia na 1. rovno, a páry sú navzájom spojené. Trojuholníky majú rôzne typy, a preto sú charakterizované rôznymi vlastnosťami. V závislosti od typu uhlov sa trojuholník môže vzťahovať na jeden z troch typov - byť akútne uhlový, obdĺžnikový alebo hlúpy. Stupid trojuholník je trojuholník, ktorý má jeden hlúpy uhol. Zároveň sa hlúpy nazýva taký uhol, ktorý má väčšiu veľkosť deväťdesiat stupňov, ale menej ako sto osemdesiat stupňov.
Inými slovami, hlúpy trojuholník je najjednoduchší polygón, ktorý obsahuje hlúpy uhol - niektoré z jeho rohov sú do 90-180 stupňov.
Úloha: Je tam alebo nie trojuholník hlúpy, keď:
- aBC Uhol v IT sa rovná 65 stupňam;
- jeho uhol BCA je 95 stupňov;
- uhol kabíny - 20 stupňov.
Riešenie: CAB a ABC ROCE sú menšie ako 90 stupňov, ale s uhlom BCA viac ako 90 stupňov. Taký trojuholník je hlúpy.
Ako nájsť strany hlúpeho trojuholníka
Čo je to hlúpy trojuholník, sme sa zaoberali vyššie. Teraz by sa malo riešiť, s ktorým trojuholník je považovaný za rovnako predsedajúci.
Rovnako nazývaný taký trojuholník, ktorý má 2 absolútne rovnocennú stranu. Tieto strany sa nazývajú strana, tretia strana trojuholníka sa nazýva základ.
Vertices trojuholníka sú zvyčajne indikované kapitálovými latinskými písmenami - to znamená, A, B a C. Hodnoty jeho rohov, resp. Vertices sú označené gréckymi písmenami, to znamená α, p, y. Dĺžky opačných strán trojuholníka sú kapitál latinské písmená, to znamená A, B, C.
Jednoduchá úloha: obvod hlúpeho iscesovaného trojuholníka je 25 cm, rozdiel 2 jeho bokov je 4 cm a 1-in z vonkajších rohov trojuholníka je ostrý. Ako nájsť taký trojuholník?
Riešenie: Uhol susediaci, s ktorým je akútny uhol trojuholníka hlúpy. V trojuholníku takéhoto plánu môže byť tupý uhol výlučne uhol, ktorý je proti jej základom. Preto je základom je najväčšia strana takéhoto trojuholníka. Ak podniknete základňu tohto trojuholníka pre X, potom na vyriešenie tohto problému musíte použiť nasledujúci vzorec:
Odpoveď: Základom rovnako pripútaného hlúpyho trojuholníka je 11 cm a jeho obe strany sú 7 cm.
Formuláry, pre ktoré môžete nájsť strany hlúpeho trojuholníka
Používa sa:
- b - Toto je strana základne trojuholníka
- a - Jeho rovná strana
- α - uhly na základni trojuholníka
- β - uhol, ktorý tvoria svoje rovnaké strany
- √ - Druhý koreň
1. Formuly základnej dĺžky (b):
- b \u003d 2a hriech (β / 2) \u003d a√2-2cosβ
- b \u003d 2a cos α
2. Formuly dĺžky rovných strán trojuholníka (y):
2sin (β / 2) √2-2cos β
Ako nájsť Cosine Angle v hlúpe trojuholník, ak je výška známa
Ak chcete začať, to nebude ublížiť pochopiť s hlavnými podmienkami, ktoré sa používajú v tejto veci: čo sa nazýva výška trojuholníka a čo je Cosine Angle.
Výška trojuholníka je považovaná za kolmo, ktorá sa vykonáva z vrcholu na linky, ktorá obsahuje opačnú stranu tohto trojuholníka. Cosine je známa trigonometrická funkcia, ktorá je jednou z hlavných funkcií trigonometrie.
Aby ste mohli nájsť Cosine z uhla v hlúpe trojuholník s vrcholom A, B a C, za predpokladu, že výška je známa, musíte znížiť výšku zo strany reproduktorov. Bod, v ktorom sa výška pretínajú so stranou AU, musí byť označená D a zvážiť trojuholník AVD, ktorý je obdĺžnikový. V tomto trojuholníku AB, ktorá je stranou pôvodného trojuholníka, je hyptootenuse. Comates sú výška pôvodného trojuholníka, ako aj segmentu reklamy, ktorý patrí do strany AU. Zároveň sa Cosine z uhla, ktorý zodpovedá vrchnemu A rovná postojovi AD AD AB, pretože reklamná katalota je susediaca s rohom v hornej časti AV v AV trojuholníku. V prípade, že je známe, aký presne je pomer zdieľania AU rozdelený výška VD a čo je táto výška, potom Cosine z uhla zodpovedajúceho vrcholu A, nájdené.
Otázka 1.Aké uhly sa nazývajú susedné?
Odpoveď.Dva uhly sa nazývajú v susedstve, ak majú jednu stranu spoločného, \u200b\u200ba ďalšie strany týchto uhlov sú ďalšie polkruhy.
Na obrázku 31, uhly (A 1 b) a (a 2 b) susedí. Mali celkovú stranu B a strany A 1 a A2 sú ďalšie polkruhy.
Otázka 2.Dokážte, že súčet susedných uhlov je 180 °.
Odpoveď. Veta 2.1.Súčet susedných uhlov je 180 °.
Dôkazov. Nechajte uhol (A 1 b) a uhol (A 2 b) - tieto susedné uhly (pozri obr. 31). BEAM B prechádza medzi stranami 1 a 2 nasadeného rohu. Preto je súčet uhlov (1 b) a (a 2 b) rovná rozmiestnenému rohu, t.j. 180 °. Q.E.ED.
Otázka č.Dokážte, že ak sú dva uhly rovnaké, potom sú susedné uhly rovnaké.
Odpoveď.
Od teorem 2.1
z toho vyplýva, že ak sú dva uhly rovnaké, potom sú susedné uhly rovnaké.
Predpokladajme, že uhly (A 1 b) a (C1D) sú rovnaké. Musíme dokázať, že uhly (a 2 b) a (c 2 d) sú tiež rovnaké.
Súčet susedných uhlov je 180 °. Z toho vyplýva, že 1 B + A2b \u003d 180 ° a C1 D + C2 D \u003d 180 °. Preto, A2b \u003d 180 ° - A 1 B a C2 D \u003d 180 ° C - C1 D. Vzhľadom k tomu, uhly (1 b) a (c 1 d) sú rovnaké, získavame, že A2 B \u003d 180 ° - A 1 B \u003d C2D D. Podľa vlastníctva tranzitity znamenia rovnosti, z toho vyplýva, že A2 B \u003d C 2 D. Q.E.ED.
Otázka č.Aký uhol sa nazýva priamy (ostrý, hlúpy)?
Odpoveď. Uhol rovný 90 ° sa nazýva priamym uhlom.
Uhol menší ako 90 ° sa nazýva ostrý uhol.
Uhol väčší ako 90 ° a menšie 180 ° sa nazýva hlúpy.
Otázka č. Dokážte, že uhol, susediace s priamym, je priamym uhlom.
Odpoveď.Z teste na súčet susedných uhlov, z toho vyplýva, že uhol, susediaci s priamym uhlom, je priamym uhlom: X + 90 ° \u003d 180 °, X \u003d 180 ° - 90 °, X \u003d 90 °.
Otázka č.Aké uhly sa nazývajú vertikálne?
Odpoveď.Dva uhly sa nazývajú vertikálne, ak sú strany rovnakého uhla ďalšie polo-jednoduché strany druhého.
Otázka 7.Dokážte, že vertikálne uhly sú rovnaké.
Odpoveď. Veta 2.2. Vertikálne uhly sú rovnaké.
Dôkazov.Nech (A 1 B 1) a (A 2 B 2) - Tieto vertikálne uhly (obr. 34). Uhol (A 1 B2) je susedí s uhlom (A 1 B1) a uhlom (A2 B2). Teda teorem na súčet susedných uhlov, dospejeme k záveru, že každý z uhlov (A 1 B 1) a (A 2 B 2) dopĺňa uhol (1 B2) na 180 °, t.j. Uhly (A 1 B1) a (A2 B2) sú rovnaké. Q.E.ED.
Otázka č.Dokážte, že ak s križovatkou dvoch rovných línií jeden z rohov riadku, potom zostávajúci tri uhol je tiež rovný.
Odpoveď.Predpokladajme, že priame AB a CD sa navzájom prekrývajú v bode O. Predpokladajme, že uhol AOD je 90 °. Vzhľadom k tomu, súčet susedných uhlov je 180 °, získame, že AOC \u003d 180 ° -AOD \u003d 180 ° je 90 ° \u003d 90 °. Uhol COB Uhol ANOD, takže sú rovnaké. To znamená, že uhol COB \u003d 90 °. COA uhol vertikálne roh Bod, takže sú rovnaké. To znamená, že uhol bod \u003d 90 °. Takže všetky uhly sú 90 °, to znamená, že sú priame. Q.E.ED.
Otázka 9.Aké sú priame nazývané kolmo? Aké znamenie sa používa na označenie kolmách priameho?
Odpoveď.Dva priamky sa nazývajú kolmo, ak sa pretínajú v pravom uhle.
Zdrojová hodnota priameho je označená znakom (PERP). Nahrávanie (A PERP BHO) Číta: "Direct ovplyvnenie na priame B".
Otázka 10.Dokážte, že prostredníctvom akéhokoľvek bodu môže byť priamo vykonaná priamo osoba kolmou, a len jeden.
Odpoveď. Veta 2.3.Prostredníctvom každého priameho môže byť vykonaná priamo a len jedna.
Dôkazov.Nech je táto priama a a - tento bod na to. Označuje 1 jednou z polovodičových priamych a s východiskovým bodom A (obr. 38). Odložíme z polkruhového A 1 uhlu (1 B 1), rovný 90 °. Potom bude priama obsahujúca lúč b 1 kolmý na priamu a.
Predpokladajme, že existuje ďalšia priamka, tiež prechádzajúcou bodom A a kolmou na priamku a. Naznačte sa pomocou C1, semi-osou tejto priamky, ležiace v jednej polovici roviny s nosníkom B 1.
Uhly (A 1 B1) a (A1 C1), rovné každému 90 °, sa odložia v jednej polovici roviny z semi-zjednodušiteľnej A 1. Ale zo semikondumA A 1 v tejto polovici roviny, môže byť len jeden uhol odložený rovný 90 °. Preto nie je ďalší priamy prechod cez bod A a kolmého priameho a. Theorem sa dokáže.
Otázka 11.Čo je kolmé na priamku?
Odpoveď. Kolmo k tomuto priamemu sa nazýva priamka, kolmou na to, ktorá má jeden z jeho koncových bodov. Tento koniec segmentu sa volá základňa Kolmý.
Otázka 12.Vysvetliť, že dôkaz oškvania.
Odpoveď. Metóda dôkazov, ktorú sme uplatnili v teorem 2.3, sa nazývajú dôkazom súpera. Týmto spôsobom dôkazov je, že sme spočiatku za predpokladu, že je opakom toho, čo je schválené teoremou. Potom, odôvodnením, spoliehajúci sa na axiómy a osvedčených terém, dospel k záveru, že je v rozpore s podmienkou teorem alebo jedného z axiómov alebo predtým osvedčenej teorem. Na tomto základe sme dospeli k záveru, že náš predpoklad bol nesprávny, a preto je vyhlásenie veta pravda.
Otázka 13.Čo sa nazýva Bisector Uhol?
Odpoveď.Bisector z uhla sa nazýva lúč, ktorý pochádza z hornej strany rohu, prechádza medzi jeho stranami a rozdeľuje uhol na polovicu.
Načítava...