Reshebnik Kuznetsova.
Iii grafika

Úloha 7. Vykonajte kompletnú štúdiu funkcie a vybudovať jeho plán.

A NBSP & NBSP & NBSP & NBPSP PRED NIKDUJETE SIVERNÝCH VOPOVOROV, VYKONÁVAJTE SA VZORNÝ PROTI PROJESTNOSTI PRE OPTION 3. Časť možností sú archivované vo formáte.rar

& Nbssp & nbssp & nbssp & nbsp 7.3 Vykonajte úplné štúdium funkcie a vybudovať jeho plán

Rozhodnutie.

A NBSP & NBSP & NBSP & NBSP 1) Oblasť definície: & NBSP & NBSP & NBSP & NBSP & NBSP & NBSP & NBSP, I.E. & NBSP & NBSP & Nbssp & nbsp.
.
Takto: & nbsp & nbssp & nbssp & nbsp.

& NBSP & NBSP & NBSP & NBSP 2) prechádzacie body s osou oxom. Skutočne, & nbssp & nbsp & nbssp & nbssp rovnica nemá žiadne riešenia.
Body priesečníka s osou OY NO, pretože & nbsp & nbssp & nbssp & nbsp.

A NBSP & NBSP & NBSP & NBSP 3) Funkcia je buď niečo, ani intenzívne. Neexistujú žiadne symetrie týkajúce sa osi ordinácie. Neexistujú žiadne symetrie, pokiaľ ide o začiatok súradníc. Ako
.
Vidíme, že & nbsp & nbssp & nbssp & nbsp & nbssp & nbssp & nbssp & nbssp.

A NBSP & NBSP & NBSP & NBSP 4) Funkcia je nepretržitá v oblasti definície
.

; .

; .
V dôsledku toho je bod a nbssp & nbssp & nbsp & nbsp. Bodom breakovej objednávky (nekonečná zlom).

5) Vertikálne asymptoty: & Nbssp & nbssp & nbssp & nbsp

Nájdeme naklonené Asymptotes & NBP & NBSP & NBSP & NBPP. Tu

;
.
V dôsledku toho máme horizontálne asymptoty: y \u003d 0. Neexistuje žiadny šikmý asymptot.

A NBSP & NBSP & NBSP & NBSP 6) nájde prvý derivát. Prvý derivát:
.
A to je dôvod, prečo
.
Nájsť stacionárne body, kde je derivát nulový, to znamená
.

A NBSP & NBSP & NBSP & NBSP 7) Nájdeme druhý derivát. Druhý derivát:
.
A je ľahké sa uistiť, pretože

Ako skúmať funkciu a budovať jeho plán?

Zdá sa, že začnem pochopiť Spiritualizovanú tvár lídra svetového proletariat, autor kolekcie spisov v 55 zväzkoch .... ZOZNAMY ZAHRANIČNÉ INFORMÁCIU funkcie a grafyA teraz, práca na časovo náročnej téme končí prirodzeným výsledkom - článok o úplnom štúdiu funkcie. Dlhodobá úloha je formulovaná takto:

Preskúmajte funkciu diferenciálnych metód kalkulusu a na základe výsledkov štúdie vybudovať jeho plán

Alebo kratšie: Preskúmajte funkciu a vytvorte graf.

Prečo preskúmať? V jednoduchých prípadoch nebudeme zistí, že je ťažké pochopiť základné funkcie, čerpať plán získaný základné geometrické transformácie atď. Avšak, vlastnosti a grafické obrazy zložitejších funkcií sú ďaleko od zrejmé, čo je dôvod, prečo je celá štúdia potrebná.

Hlavné stupne roztoku sa znižujú v referenčnom materiáli. Funkčná výskumná schémaToto je váš sprievodca v sekcii. Teaeapotes vyžadujú krok za krokom vysvetlenie témy, niektorí čitatelia nevedia, kde začať a ako organizovať štúdiu a pokročilých študentov môžu mať záujem len na niektorých momentoch. Ale ktokoľvek môžete, drahý návštevník, navrhovaný abstrakt s ukazovateľmi na rôzne lekcie v najkratšom termíne zameraných a bude vás nasmerovať v smere záujmu. Roboty Chlaperered \u003d) Sprievodca riadok vo forme súboru PDF a urobili si zaslúžené miesto na stránke Matematické vzorce a tabuľky.

Štúdium funkcie som použil na rozchod 5-6 bodov:

6) Ďalšie body a harmonogram založený na výsledkoch štúdie.

Na úkor záverečnej akcie si myslím, že všetko je pre každého jasné - bude to veľmi sklamanie, ak sa v priebehu niekoľkých sekúnd prekročí a vráti sa k zdokonaleniu. Správny a presný výkres je hlavným výsledkom riešenia! Je výrazne pravdepodobné, že "viazanie" analytické odreniny, zatiaľ čo nesprávny a / alebo nedbanlivý graf dodá problémy aj s ideálne vykonaným štúdiom.

Treba poznamenať, že v iných zdrojoch sa počet výskumných položiek, postup pre ich implementáciu a štýl registrácie sa môže výrazne líšiť od systému, ktorú ma navrhuje, ale vo väčšine prípadov je dosť dosť. Najjednoduchšia verzia úlohy sa skladá len z 2-3 etáp a je formulovaná takto: "Preskúmajte funkciu pomocou derivátu a vybudovať graf" alebo "Preskúmajte funkciu pomocou prvého a druhého derivátu, vytvorte graf."

Prirodzene - ak je vaša metóda podrobne rozobratá iným algoritmom alebo váš učiteľ prísne požaduje dodržiavať svoje prednášky, bude musieť vykonať určité úpravy riešenia. Nie je ťažšie ako nahradenie vidlice paušálnou lyžičkou.

Skontrolujte funkciu na pripravenosť / podivnosť:

Potom sa nasleduje nahrávanie šablóny:
Preto táto funkcia nie je ani ani nepárna.

Keďže funkcia je nepretržitá, neexistujú žiadne vertikálne asymptoty.

Žiadny šikmý asymptot.

Poznámka : Pripomínam vám, že je vyššia rastúca objednávkaako, takže konečný limit sa rovná " plus Nekonečno. "

Zistite, ako sa funkcia správa na nekonečno:

Inými slovami, ak pôjdeme doprava, potom plán ide nekonečne ďaleko, ak je vľavo nekonečne nadol. Áno, tu sú tiež dve limity v rámci jedného záznamu. Ak máte akékoľvek ťažkosti s dekódovaním značiek, navštívte lekciu o nekonečne malé funkcie.

Funkcia nie sú obmedzené na vyššie uvedené a nIEKTORÉ NIEKTORÉ. Vzhľadom na to, že nemáme žiadne prerušenia, stáva sa jasné a plocha funkčných hodnôt: - aj akékoľvek platné číslo.

Užitočná technická technika

Každé nastavenie úlohy prináša nové informácie o grafePreto je v priebehu riešenia vhodné použiť druh usporiadania. Budem zobrazovať súradnicový systém na Cartovku Cartov. Čo je už známe? Po prvé, plán nemá asymptot, preto nie je potrebná priama nevýhoda. Po druhé, vieme, ako sa funkcia správa v nekonečno. Podľa analýzy nakreslite prvú aproximáciu:

Všimnite si, že na základe cnosti kontinuita Funkcie a skutočnosť, že plán by mal aspoň raz prejsť osi. Alebo možno existuje niekoľko priesečníckych bodov?

3) Zeros a intervaly zarovnania.

Najprv nájdeme bod priesečníka grafu s osou ordinácie. Je to jednoduché. Je potrebné vypočítať hodnotu funkcie, keď:

Jednu a polovicu nad morom.

Ak chcete nájsť priesečnícke body s osou (nulami funkcie), je potrebné vyriešiť rovnicu, a tu budeme mať nepríjemné prekvapenie:

Na konci bol pripojený voľný člen, čo značne komplikuje úlohu.

Takáto rovnica má aspoň jeden platný koreň a najčastejšie je tento koreň iracionálny. V horšom rozprávke budeme mať tri ošípané. Rovnica je solvidable s použitím tzv. kardano vzorceAle poškodenie papiera je porovnateľné takmer so všetkou štúdiou. V tomto ohľade je zrozumiteľnejší buď na návrhu, aby sa pokúsil vybrať aspoň jeden celok koreň. Skontrolujte, nie sú čísla:
- nevhodný;
- Tam je!

Je to šťastie. V prípade zlyhania je tiež možné testovať, a ak tieto čísla neprišli, potom existuje veľmi málo šancí na ziskové riešenie rovnice. Potom je študijná položka lepšie úplne preskočiť - možno sa stane niečo jasnejšie v poslednom kroku, keď budú vykonať ďalšie body. A ak je to isté koreň (korene) jasne "zlé", potom sú intervaly zarovnania lepšie vo všeobecnosti skromne silex áno, je viac pokyn, aby splnil výkres.

Máme však krásny koreň, takže rozdeľujeme polynóm Žiadne zvyšky:

Algoritmus na rozdelenie polynómu k polynómu podrobne je detail v prvom príklade lekcie Ťažké limity.

V dôsledku toho ľavá časť zdrojovej rovnice zložené do práce:

A teraz trochu o zdravom životnom štýle. Samozrejme, že to pochopím kvadratické rovnice Musíte sa každý deň rozhodnúť, ale dnes urobíme výnimku: Rovnica Má dva platné koreň.

Na numerickej priamom odložení nájdených hodnôt a intervalová metóda Určite funkcie funkcie:


teda v intervaloch Plán sa nachádza
pod osou ABSCISSA av intervaloch - nad touto osou.

Výsledné závery vám umožňujú podrobne popisovať naše usporiadanie a druhá aproximácia grafu je nasledovná:

Upozorňujeme, že funkcia musí mať nevyhnutne aspoň jednu maximum a v intervale - aspoň jedno minimum. Ale koľkokrát, kde a kedy bude "skryť" harmonogram, ešte nevieme. Mimochodom, funkcia môže mať nekonečne veľa extrémy.

4) Vzostupne, Zníženie a extrémna funkcia.

Nájdite kritické body:

Táto rovnica má dva platné koreň. Budem ich odložiť na numerické priame a definovať znaky derivátu:


V dôsledku toho sa funkcia zvyšuje a klesá.
V bode, funkcia dosiahne maximum: .
V bode, funkcia dosiahne minimum: .

Nainštalované fakty Libujte našu šablónu v pomerne tvrdom ráme:

Čo povedať, diferenciálny kalkul - mocná vec. Nakoniec sa zaoberáme tvarom harmonogramu:

5) vydutie, konzumácia a bod inflexie.

Nájdeme kritické body druhého derivátu:

Určite označenia:


Funkčný graf je konvexný a konkávny. Vypočítajte ordináciu bodu inflexie :. \\ T

Takmer všetko sa ukázalo.

6) Zostáva nájsť ďalšie body, ktoré pomôžu presnejšie postaviť harmonogram a vykonávať seba-test. V tomto prípade nestačia, ale nezanedám:

Vykonajte výkres:

Zelená farba je označená bodom inflexie, krížov - ďalšie body. Graf kubickej funkcie je symetrický okolo jeho inflexného bodu, ktorý je vždy striktne umiestnený v strede medzi maximálnym a minimálnym.

V priebehu vykonávania úlohy som priniesol tri hypotetické medziprodukty. V praxi to stačí nakresliť súradnicový systém, označte zistené body a po každej položke štúdie psychicky odhadnúť, ako môže vyzerať funkčný graf. Študenti s dobrou úrovňou odbornej prípravy nebudú ťažké vykonávať takúto analýzu výlučne v mysli bez prilákania návrhu.

Pre vlastné riešenia:

Príklad 2.

Preskúmajte funkciu a vybudujte plán.

Existuje rýchlejšia a zábavná, príkladná vzorka dokončovacieho dizajnu na konci hodiny.

Veľa tajomstiev odhaľuje štúdium frakčných racionálnych funkcií:

Príklad 3.

Metódy diferenciálnej kalkuly preskúmať funkciu a na základe výsledkov štúdie na vybudovanie jeho harmonogramu.

Rozhodnutie: Prvá etapa štúdia sa nelíši s niečím pozoruhodným, s výnimkou diery v oblasti definície:

1) Funkcia je definovaná a kontinuálna na celej číselnej priamej s výnimkou bodu, doména: .

To znamená, že táto funkcia nie je ani ani nepárna.

Je zrejmé, že funkcia je neperiodická.

Graf funkcie je dva kontinuálne vetvy umiestnené v ľavej a pravej polovici roviny - to je snáď najdôležitejším záverom 1. bodu.

2) Asymptotes, správanie funkcie v nekonečno.

a) S pomocou jednosmerných limitov skúmame správanie funkcie v blízkosti podozrivého bodu, kde je jasne vertikálna asymptota:

Funkcie tolerujú nekonečná prestávka V bode,
a rovno (os) je vertikálna asimptota Grafika.

b) Skontrolujte, či existujú šikmé asymptoty:

Áno, Direct je Šikmý asymptoto Grafika, ak.

Limity na analýzu nemá zmysel, pretože je tak jasné, že funkcia v recepcii s jeho naklonenou asymptotou nie sú obmedzené na vyššie uvedené a nIEKTORÉ NIEKTORÉ.

Druhý výskumný bod priniesol mnoho dôležitých informácií o funkcii. Vykonajte náčrt náčrtu:

Závery číslo 1 sa týka intervalov zarovnania. Na "mínus nekonečno" je graf funkcie jednoznačne umiestnený pod osou ABSCISSA, a na "plus nekonečno" - nad touto osou. Okrem toho, jednostranné limity uviedli, ako vľavo a vpravo na funkciu, tiež viac nula. Upozorňujeme, že v ľavej polovici roviny je harmonogram aspoň raz povinný prekročiť os osi. V pravej polovici rovinného nuly nemusia byť funkcie.

Výstupné číslo 2 je, že funkcia sa zvyšuje a doľava (je "zdola nahor"). Na pravej strane tohto bodu - funkcia klesá (existuje "zhora nadol"). Správna vetva grafu určite by mala byť aspoň jedno minimum. Ľavé extrémy nie sú zaručené.

Záver číslo 3 poskytuje spoľahlivé informácie o konkávnosti grafu v susedstve bodu. Nemôžeme povedať nič o vydutí / konkávnosti na nekonečno, pretože linka je možné stlačiť na ich asymptoty zhora a nižšie. Všeobecne povedané, existuje analytický spôsob, ako to, aby ste to práve teraz vymysleli, ale tvar darov "pre nič" sa stane jasnejšími v neskorších štádiách.

Prečo toľko slov? Monitorovať následné výskumné miesta a zabrániť chybám! Ďalšie výpočty by nemali byť v rozpore so závermi.

3) Body priesečníka grafu s súradnicovými osami, intervaly funkcie symbolu.

Graf funkcie neprechádza os.

Intervalová metóda určuje označenia:

, Ak ;
, Ak .

Výsledky bodu úplne zodpovedajú záveru číslo 1. Po každej fáze sa pozrite na návrh, mentálne označte štúdiu a nakreslite funkčný plán.

V posudzovanom príklade je nuterátor rozdelený na denominátor, ktorý je veľmi prospešný pre diferenciáciu:

Vlastne sa už uskutočnilo, keď sa nachádzajú asymptoty.

- kritický bod.

Určite označenia:

zvyšuje a zníženie

V bode, funkcia dosiahne minimum: .

Diskusie s záverom číslo 2 tiež zistili, a s najväčšou pravdepodobnosťou sme na správnej ceste.

Funkčný graf je teda konkávny v celej oblasti definície.

Vynikajúce - a nič nekreslí.

Neexistujú žiadne inflexné body.

Konferencia je v súlade s záverovým číslom 3, navyše naznačuje, že v nekonečnom (a tam) sa nachádza graf funkcie vyššie jeho šikmé asymptoty.

6) V svedomito ružovej úlohe s ďalšími bodmi. Tu bude pekné pracovať tvrdo, pretože štúdia sme známe len dva body.

A obraz, ktorý, pravdepodobne, mnohí už dlho predstavili:

Počas úlohy musíte starostlivo zabezpečiť, aby neexistovali žiadne rozpory medzi fázami štúdie, ale niekedy je situácia núdzová situácia alebo dokonca zúfalý-dead-end. Tu "nie konvergovať" analytik - a to je všetko. V tomto prípade odporúčam pohotovostný príjem: nájdeme toľko bodov, ktoré patria do grafiky (koľko trpezlivosti stačí), a všimli sme ich na súradnicovom lietadle. Grafická analýza zistených hodnôt vo väčšine prípadov vám povie, kde pravda a kde je lož. Okrem toho, harmonogram môže byť predtým postavený pomocou akéhokoľvek programu, napríklad v tom istom exile (zrozumiteľné, pre to potrebujete zručnosti).

Príklad 4.

Diferenciálne metódy počítača preskúmajú funkciu a budujú svoj plán.

Toto je príklad pre nezávislé riešenie. V ňom je samonosná kontrola zvýšená funkciou - graf je symetrický o osi, a ak je niečo, čo je v rozpore s týmto faktom vo vašej štúdii, pozrite sa na chybu.

Môžete tiež preskúmať jasnú alebo podivnú funkciu, keď a potom použite symetriu grafu. Takéto riešenie je optimálne, ale vyzerá to, že podľa môjho názoru je veľmi nezvyčajné. Osobne považujem celú číselnú os, ale nájdem ďalšie body ešte vpravo:

Príklad 5.

Vykonať kompletnú štúdiu funkcie a vybudovať jeho plán.

Rozhodnutie: HARD HARD:

1) Funkcia je definovaná a kontinuálna na celej číselnej čiare :.

To znamená, že táto funkcia je nepárna, jeho graf je symetrický vzhľadom na začiatok súradníc.

Je zrejmé, že funkcia je neperiodická.

2) Asymptotes, správanie funkcie v nekonečno.

Vzhľadom k tomu, funkcia je nepretržitá, potom sú vertikálne asymptoty neprítomné

Pre funkciu obsahujúcu vystavovateľ oddelený Štúdia "plus" a "mínus nekonečno", ale naše životy uľahčuje symetriu harmonogramu - buď doľava a na pravej strane je asymptota, alebo to nie je. Preto môžu byť nekonečné limity vydané v rámci jedného záznamu. Počas riešenia, ktoré používame lopital pravidlo:

DIRECT (AXIS) je horizontálna asymptota grafu.

Upozorňujeme, ako som zasiahol kompletný algoritmus hľadania naklonených asymptotov: Limit je úplne ľahko a objasňuje správanie funkcie v nekonečno a horizontálna asymptota našla "ako keby súčasne."

Z kontinuity a existencie horizontálnych asymptotov nadväzuje na skutočnosť, že funkcia obmedzené zhora a obmedzené združené.

3) Priesecové body grafu s súradnicovými osami, intervalmi vyrovnania.

Aj tu znížte rozhodnutie:
Rozvrh prechádza pôvodom súradníc.

Neexistujú žiadne iné body križovatky s súradnicovými osami. Okrem toho sú intervaly alpopurizmu zrejmé, a os nie je možné čerpať:, čo znamená, že funkcia funkcie závisí len na "ICA":
, Ak ;
, Ak .

4) Zvýšenie, zníženie, extrémne funkcie.


- kritické body.

Body sú symetrické vzhľadom na nulu, ako by mala byť.

Určite príznaky derivátu:


Funkcia sa zvyšuje v intervale a znižuje sa v intervaloch

V bode, funkcia dosiahne maximum: .

Na základe majetku (Náhradné funkcie) Minimálne nie je možné vypočítať:

Keďže funkcia sa znižuje v intervale, je zrejmé, že "mínus nekonečno" sa nachádza plán pod S jeho asymptotou. V intervale sa táto funkcia tiež znižuje, ale tu všetko je naopak - po prepnutí maximálneho bodu sa línia približuje k osi už na vrchole.

Z vyššie uvedeného vyplýva, že funkčný plán je konvexný na "mínus nekonečno" a konkávne na "plus nekonečno".

Po tomto mieste štúdia bola tiež nakreslená oblasť hodnôt funkcie:

Ak nemáte nedorozumenie akýchkoľvek okamihov, opäť nutkanie nakresliť súradnicové osi v notebooku a ceruzkou v rukách, aby znovu analyzovať každý záver.

5) Konverzia, konzumácia, inffekcia grafiky.

- kritické body.

Body symetrie sú zachované a s najväčšou pravdepodobnosťou nie sme mylne.

Určite označenia:


Funkčný graf je konvexný A konkávne .

Potvrdili sa vydutie / konzumácia v extrémnych intervaloch.

Vo všetkých kritických bodoch sú geografické body ohýbanie. Nájdeme ordináty božských bodov, zatiaľ čo opäť zníži počet výpočtov pomocou podivnosti funkcie:

Ak je úlohou dokončiť plnú štúdiu funkcie f (x) \u003d x 2 4 x 2 - 1 s výstavbou jeho harmonogramu, potom tento princíp podrobne zvážte.

Ak chcete vyriešiť úlohu tohto typu, použite vlastnosti a grafy hlavných elementárnych funkcií. Študijný algoritmus obsahuje kroky:

Nájdenie oblasti definície

Keďže výskum sa vykonáva v oblasti definície poľa, je potrebné začať z tohto kroku.

Príklad 1.

Zadaný príklad znamená základ nenominatorových núl, aby sa ich vylúčilo z OTZ.

4 x 2 - 1 \u003d 0 x \u003d ± 1 2 ⇒ x ∈ - ∞; - 1 2 ∪ - 1 2; 1 2 ∪ 1 2; + ∞.

V dôsledku toho môžete získať korene, logaritmy a tak ďalej. Potom môže byť OTZ žiadaný aj pre dokonca stupeň typu g (x) 4 nerovnosťou g (x) ≥ 0, pre logaritmus log a g (x) nerovnosťou g (x)\u003e 0.

Štúdium hraničných hraníc a nájsť vertikálne asymptot

V hraniciach funkcie existujú vertikálne asymptoty, keď sú jednostranné limity v takýchto bodoch nekonečné.

Príklad 2.

Zvážte napríklad hraničné body rovné X \u003d ± 12.

Potom je potrebné študovať funkciu, aby ste našli jednostranný limit. Potom sa dostaneme: LIM X → - 1 2 - 0 F (X) \u003d LIM X → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 \u003d \u003d LIM X → - 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1 ) (2 x + 1) \u003d 1 4 (- 2) · 0 \u003d + ∞ LIM X → - 1 2 + 0 F (X) \u003d LIM X → - 1 2 + 0 x 2 4 x - 1 \u003d LIM X → - 1 2 + 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) \u003d 1 4 (- 2) · (+ 0) \u003d - ∞ LIM X → 1 2 - 0 F (X) \u003d LIM X → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 \u003d \u003d LIM X → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) \u003d 1 4 (- 0) · 2 \u003d - ∞ LIM X → 1 2 - 0 F (x) \u003d LIM X → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 \u003d \u003d LIM X → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) \u003d 1 4 (+ 0 ) · 2 \u003d + ∞

Je možné vidieť, že jednostranné limity sú nekonečné, čo znamená rovno x \u003d ± 1 2 - vertikálne asymptoty grafu.

Výskumná funkcia a parita alebo podivnosť

Keď je stav y (- x) \u003d y (x) spokojný, funkcia sa považuje za dokonca. To naznačuje, že plán sa nachádza symetricky v porovnaní s o. Keď je stav y (- x) \u003d - y (x) spokojný, funkcia je považovaná za nepárne. Znamená to, že symetria prichádza vo vzťahu k štartu súradníc. S predvoleným, aspoň jedna nerovnosť získavame spoločnú funkciu.

Implementácia rovnosti y (- x) \u003d y (x) naznačuje, že funkcia je dokonca. Pri výstavbe je potrebné vziať do úvahy, že bude symetria vzhľadom na o.

Pre riešenie rastúcich a zostupných medzier s podmienkami F "(x) ≥ 0 a F" (x) ≤ 0.

Definícia 1.

Stacionárne body- Toto sú body, ktoré otáčajú derivát v nule.

Kritické body - Toto sú vnútorné body z oblasti definície, kde je derivát funkcie nula alebo neexistuje.

Pri riešení je potrebné zohľadniť tieto poznámky: \\ t

• s predĺžením zvýšenia a zostupu nerovnosti formy F "(x)\u003e 0, nie sú zahrnuté kritické body v roztoku;
• body, v ktorých je funkcia definovaná bez konečného derivátu, musia byť zahrnuté do medzier zvyšovania a zostupu (napríklad y \u003d x 3, kde bod x \u003d 0 robí definovanú funkciu, derivát má hodnotu nekonečna bod, y "\u003d 1 3 · x 2 3, y" (0) \u003d 1 0 \u003d ∞, X \u003d 0 je zahrnuté v rastúcom intervale);
• aby sa predišlo nezhodám, odporúča sa použiť matematickú literatúru, ktorú odporúča Ministerstvo školstva.

Začlenenie kritických bodov do medzier zvyšovania a zostupu v prípade, že spĺňajú oblasti definície poľa.

Definícia 2.

Pre treba nájsť definície rozdielov rastúcej a zostupnej funkcie:

• derivát;
• kritické body;
• rozdeliť oblasť definície s kritickými bodmi do intervalov;
• určite znak derivátu na každej z medzier, kde + je zvýšenie a zostupuje.

Príklad 3.

Nájdite derivát na poľa definície F "(x) \u003d X2" (4 x 2 - 1) - x 2 4 x 2 - 1 "(4 x 2 - 1) 2 \u003d - 2 x (4 x 2 - 1) ) 2.

Rozhodnutie

Ak chcete vyriešiť, potrebujete:

• nájsť stacionárne body, tento príklad má x \u003d 0;
• nájdite nuly denominátora, príklad si vyžaduje hodnotu nuly pri X \u003d ± 1 2.

Skúšobné body na číselnej osi na stanovenie derivátu v každom intervale. Aby to urobilo, stačí si vziať akýkoľvek bod z medzery a vykonať výpočet. S pozitívnym výsledkom je graf zobrazujúci +, čo znamená zvýšenie funkcie a - znamená jeho zníženie.

Napríklad f "(- 1) \u003d - 2 · (- 1) 4 - 1 2 - 1 2 \u003d 2 9\u003e 0, znamená to, že prvý interval vľavo má znak +. Zvážte na číselnej čiare.

Odpoveď:

• v intervale - ∞ je zvýšenie funkcie; - 1 2 a (- 1 2; 0];
• zníženie intervalu [0; 1 2) a 1 2; + ∞.

V diagrame s + a - pozitívnosť a negativita funkcie je znázornená a strelec sa znižuje a zvyšuje.

Funkcia extrémnych bodov - body, kde je definovaná funkcia a cez ktorú derivát zmení znak.

Príklad 4.

Ak zvážime príklad, kde x \u003d 0, potom je hodnota funkcie v ňom rovná f (0) \u003d 0 2 4 · 0 2 - 1 \u003d 0. Pri zmene znaku derivátu s + na - a prechádzajú cez bod x \u003d 0, potom sa bod s súradnicami (0, 0) považuje za maximálny bod. Pri zmene označenia C - ON + získame minimálny bod.

Konverzia a konkára sa určujú pri riešení nerovností formulára F "" (x) ≥ 0 a F "" (x) ≤ 0. Menej často používajte názov vydutia namiesto konkávneho a vydutia namiesto konvexity.

Definícia 3.

Pre určenie medzier konkávneho a vydutia Potrebujú:

• nájdite druhý derivát;
• nájsť nuly funkcie druhého derivátu;
• rozdeliť oblasť definície, ktorá sa objavila v intervaloch;
• určiť znak intervalu.

Príklad 5.

Nájdite druhý derivát z oblasti definície.

Rozhodnutie

f "" (x) \u003d - 2 x (4 x 2 - 1) 2 "\u003d \u003d (- 2 x)" (4 x 2 - 1) 2 - - 2 x 4 x 2 - 1 2 "(4 x 2) - 1) 4 \u003d 24 x 2 + 2 (4 x 2 - 1) 3

Nájdeme nuly čísla a menovateľa, kde v príklade nášho príkladu máme, že nuly denominátora x \u003d ± 1 2

Teraz musíte aplikovať body na numerickú os a definovať znak druhého derivátu každej medzery. Dostaneme to

Odpoveď:

• funkcia je konvexná z medzery - 1 2; 12;
• funkcia je konkávna z medzier - ∞; - 1 2 a 1 2; + ∞.

Definícia 4.

Miesto inflexie - Je to bod typu x 0; f (x 0). Keď má tangenčnú grafiku funkcie, potom, keď prechádza cez x 0, funkcia zmení znak naopak.

Inými slovami, to je taký bod, cez ktorý druhý derivát prechádza a zmení znamienko a v samotných bodoch sa rovná nule alebo neexistuje. Všetky body sú považované za oblasť definície poľa.

V príklade bolo jasné, že body inflexie chýbajú, pretože druhý derivát zmení znamenie počas prechodu cez body x \u003d ± 12. Na druhej strane nie sú zahrnuté v oblasti definície.

Nájdenie horizontálnych a naklonených asymptotov

Pri určovaní funkcie v nekonečnote je potrebné hľadať horizontálne a naklonené asymptoty.

Definícia 5.

Šikmé asymptotyobrázky sú zobrazené pomocou priameho špecifikovaného rovnicou y \u003d k x + b, kde k \u003d lim x → ∞ f (x) x a b \u003d lim x → ∞ f (x) - k x.

Na k \u003d 0 a b, nie je rovná nekonečno, získame, že šikmá asymptota sa stáva horizontálny.

Inými slovami, asymptoty zvažujú čiary, na ktoré sa program funkcie blíži nekonečno. To prispieva k rýchlej výstavbe funkčnej grafiky.

Ak chýbajú asymptoty chýbajú, ale funkcia je určená na oboch infinančných hrách, je potrebné vypočítať limit funkcie na týchto nekonečnoch, pochopiť, ako bude samotný funkčný graf.

Príklad 6.

Na príklade si to zvážte

k \u003d LIM X → ∞ F (X) X \u003d LIM X → ∞ X 2 4 x 2 - 1 x \u003d 0 B \u003d LIM X → ∞ (F (X) - KX) \u003d LIM X → ∞ X 2 4 x 2 - 1 \u003d 1 4 ⇒ y \u003d 1 4

je to horizontálna asymptota. Po výskume môže byť funkcia začať ju postaviť.

Vypočítajte funkciu v medziľahlých bodoch

Ak chcete vybudovať plán je najpresnejší, odporúča sa nájsť niekoľko funkcií funkcie v medziľahlých bodoch.

Príklad 7.

Z príkladu sme uvažovali, je potrebné nájsť hodnoty funkcie v bodoch X \u003d - 2, X \u003d - 1, X \u003d - 3 4, X \u003d - 1 4. Keďže funkcia je dokonca, získame, že hodnoty sa zhodujú s hodnotami v týchto bodoch, to znamená, že získame X \u003d 2, X \u003d 1, X \u003d 3 4, X \u003d 1 4.

Píšeme a vyriešime:

F (- 2) \u003d f (2) \u003d 2 2 4 · 2 2 - 1 \u003d 4 15 ≈ 0, 27 f (1) - f (1) \u003d 1 2 4 · 1 2 - 1 \u003d 1 3 ≈ 0 , 33 F - 3 4 \u003d F34 \u003d 3 4 2 4 3 4 - 1 \u003d 9 20 \u003d 0, 45 F - 1 4 \u003d F14 \u003d 1 4 2 4 · 1 4 2 - 1 \u003d - 1 12 ≈ - 0, 08

Na určenie maxima a minimá funkcie, body inflexie, medziprodukty musia vybudovať asymptoty. Pre pohodlné označenie sa zaznamenávajú medzery zvyšovania, zníženia, vydutia, konzumácie. Zvážte na obrázku uvedenom nižšie.

Prostredníctvom označených bodov je potrebné vykonávať riadky grafu, ktorý prinesie bližšie k asymptómu, po arogách.

To končí úplnú štúdiu funkcie. Existujú prípady vybudovania niektorých elementárnych funkcií, pre ktoré sa používajú geometrické transformácie.

Ak všimnete chybu v texte, vyberte ho a stlačte kláves CTRL + ENTER