Zostaneme uzly. Algorithm Euclida - Nájdenie najväčšieho spoločného deliča
Najväčší spoločný rozdeľovač (Uzol) Dve čísla s názvom Najväčšie číslo, na ktoré sa obe čísla budú rozdeliť bez zvyšku.
Označenie: Uzol (A; C).
Príklad. Nájdeme uzly čísla 4 a 6.
- Číslo 4 bez zvyšku je rozdelené: 1, 2 a 4.
- Číslo 6 bez zvyšku je rozdelené: 1, 2, 3 a 6.
- Najväčší spoločný delič čísel 4 a 6 bude číslo 2.
- Uzol (4; 6) \u003d 2
Toto je jednoduchý príklad. A čo veľké čísla, pre ktoré je potrebné nájsť uzly?
V takýchto prípadoch sú čísla odmietnuté na jednoduché faktory, po ktorých sú poznačené rovnaké multiplikátory v oboch rozšírení - produkt označených jednoduchých multiplikátorov a bude kývnutím.
Príklad. Nájdeme uzly čísla 81 a 45.
81 = 3 · 3 · 3 · 3 45 \u003d 3 · 3 · 5 Uzol (81; 45) \u003d 3 · 3 = 9
V prípadoch, keď dve čísla nemajú identické jednoduché multiplikátory, jediné prirodzené číslo, ktoré bude rozdelené do takýchto čísel, bude 1. VÝZUJÚCICH TIETO ČÍSLA \u003d 1. Napríklad: uzol (7; 15) \u003d 1.
Čo je to NOK.
Číslo A sa nazýva násobný Číslo, ak je rozdelený na zvyšok (zameraný). Napríklad 10 je rozdelené 5, preto 10-krát 5; 11 nie je rozdelený zaostrením na 5, preto 11 nie je viacnásobný 5.
Najmenšia spoločná farba (NOC) dvoch prírodných čísel sa nazýva najmenší počet, viac týchto dvoch čísel.
Označenie: NOK (A; B).
NOK Hľadanie pravidla:
- rozkladať oba čísla na jednoduchých faktoroch, všimnite si rovnaké jednoduché multiplikátory v oboch rozkladoch, ak existujú;
- produkt všetkých jednoduchých multiplikátorov jedného z čísel (vlastne, počet) a všetkých nevyznamenaných multiplikátorov.
Príklad. Nájdeme NOC čísla 81 a 45.
81 = 3 · 3 · 3 · 3 45 \u003d 3 · 3 · 5 NOC (81; 45) \u003d 81 · 5 \u003d 405
405 je najmenší viacnásobný pre čísla 81 a 45: 405/81 \u003d 5; 405/45 \u003d 9.
Ak dve čísla nemajú identické jednoduché multiplikátory, potom sa NOC pre takéto čísla rovná produktu týchto čísel.
14 \u003d 2 · 7 15 \u003d 3 · 5 NOC (14; 15) \u003d 14 · 15 \u003d 210
Najväčší spoločný rozdeľovač a najmenší všeobecný násobok sú kľúčové aritmetické koncepty, ktoré umožňujú bez úsilia fungovať s bežnými frakciami. NOC a najčastejšie sa používa na hľadanie spoločného menovateľa niekoľkých frakcií.
Základné pojmy
Integer delič X je ďalšie celé číslo y, ktoré X je rozdelené bez zvyšku. Napríklad delič 4 je 2 a 36 - 4, 6, 9. Násobok celého X je taký počet y, ktorý je rozdelený na x bez zvyšku. Napríklad 3 krát 15 a 6 - 12.
Pre ľubovoľný pár čísel nájdeme ich spoločné delivá a viac. Napríklad, pre 6 a 9, celkový násobok je 18 a spoločný delič - 3. Je zrejmé, že rozdeľovače a viac párov môžu byť trochu trochu, počas výpočtov, najväčší delič nódy a najmenší viacnásobný NOK .
Najmenší delič nemá zmysel, pretože pre ľubovoľné číslo je vždy jednotka. Najväčší násobok je tiež bezvýznamný, pretože postupnosť násobičiek sa ponáhľa do nekonečna.
Hľadanie uzla
Ak chcete hľadať najväčší spoločný rozdeľovač, existuje mnoho metód, z ktorých najslávnejšie:
- sekvenčné budy deliacich, výberom bežného pre pár a hľadanie najväčších z nich;
- rozklad čísel pre nedeliteľné faktory;
- algoritmus euklida;
- binárny algoritmus.
Dnes vo vzdelávacích inštitúciách sú najobľúbenejšie metódy rozkladu na jednoduchých multiplikátoroch a algoritme EUCLIDE. Posledne menované sa používa pri riešení difentínových rovníc: Vyhľadávanie uzlov je potrebné na testovanie rovnice na schopnosť riešiť celé čísla.
Nok.
Najmenší celkový násobok je tiež určený konzistentným rušným alebo rozkladom nedeliteľných multiplikátorov. Okrem toho je ľahké nájsť NOC, ak je najväčší delider už definovaný. Pre čísla X a Y, NOC a NOD sú spojené nasledujúcim pomerom:
NOK (X, Y) \u003d x × y / uzol (x, y).
Napríklad, ak NOD (15,18) \u003d 3, potom NOK (15.18) \u003d 15 × 18/3 \u003d 90. Najviac zrejmým príkladom používania NOC je vyhľadávanie spoločného menovateľa, ktorý je najmenší spoločný viacnásobný podávané frakcie.
Vzájomne jednoduché čísla
Ak pár čísel nemá spoločné rozdeľovače, potom sa takýto pár nazýva vzájomne jednoduchý. Uzol takýchto párov je vždy rovný jednému a na základe spojenia rôznych deliacich a viacerých, NOC pre vzájomne jednoduché sa rovná ich práci. Napríklad čísla 25 a 28 sú vzájomne jednoduché, pretože nemajú spoločné rozdeľovače a NOK (25, 28) \u003d 700, čo zodpovedá ich práci. Dve akékoľvek nedeliteľné čísla budú vždy vzájomne jednoduché.
Kalkulačka generálneho deliča a viac
S našimi kalkulačkami môžete vypočítať NOD a NIC pre ľubovoľný počet čísel vybrať si. Úlohy pre výpočet spoločných deličov a viacnásobných sa nachádzajú v aritmetickom 5, stupeň 6, ale NOD a NOC sú kľúčovými koncepciami matematiky a používajú sa v teórii čísel, planimetrie a komunikatívnej algebry.
Príklady zo skutočného života
Časté frakcie menovateľa
Najmenší súčet sa používa pri hľadaní spoločného menovateľa niekoľkých frakcií. Predpokladajme, že v aritmetickej úlohe musíte zhrnúť 5 frakcií:
1/8 + 1/9 + 1/12 + 1/15 + 1/18.
Ak chcete pridať frakcie, výraz musí byť uvedený do spoločného menovateľa, ktorý prichádza k úlohe nájsť NOC. Ak to chcete urobiť, vyberte 5 čísla v kalkulačke a zadajte hodnoty menovateľov príslušným bunkám. Program vypočíta NOC (8, 9, 12, 15, 18) \u003d 360. Teraz je potrebné vypočítať ďalšie multiplikátory pre každú frakciu, ktoré sú definované ako pomer NOC na denominátor. Takto budú ďalšie multiplikátory vyzerať:
- 360/8 = 45
- 360/9 = 40
- 360/12 = 30
- 360/15 = 24
- 360/18 = 20.
Potom sa vynásobíme všetky frakcie na zodpovedajúci dodatočný faktor a získajte:
45/360 + 40/360 + 30/360 + 24/360 + 20/360.
Môžeme ľahko zhrnúť takéto frakcie a získať výsledok vo forme 159/360. Znížujeme frakciu 3 a pozrite si konečnú odpoveď - 53/120.
Riešenie lineárnych dipofenčných rovníc
Lineárne dištančné rovnice sú výrazy tvaru AX + BY \u003d D. Ak je pomer D / Uzol (A, B) celé číslo, rovnica je solvidable v celoch. Poďme skontrolovať pár rovníc pre celé riešenie. Po prvé, skontrolujte rovnicu 150x + 8Y \u003d 37. Pomocou kalkulačky nájdeme uzol (150,8) \u003d 2. Dem 37/2 \u003d 18,5. Číslo nie je celé číslo, preto rovnica nemá celočíselné korene.
Skontrolujeme rovnicu 1320x + 1760Y \u003d 10120. Používame kalkulačku na nájdenie uzla (1320, 1760) \u003d 440. Rozdeľujeme 10120/440 \u003d 23. V dôsledku toho sme získali celé číslo, preto je dištantná rovnica solvidable v celej koeficientoch.
Záver
Uzly a NOC hrajú veľkú úlohu v teórii čísel a koncepty sa široko používajú v rôznych oblastiach matematiky. Použite našej kalkulačku na výpočet najväčších deličov a najmenší násobok ľubovoľného počtu čísel.
Najväčší spoločný rozdelenie
Definícia 2.
Ak je prirodzené číslo A rozdelené na prirodzené číslo $ b $, potom $ B $ sa nazýva číslo čísla $ A $ a číslo $ A $ A $ A.
Nechajte $ a $ a $ b $ -tuntral čísla. Číslo $ c c $ sa nazýva spoločný delič a za $ a $ a za $ $.
Mnohé spoločné delivá $ A $ a $ B $ sú samozrejme, pretože žiadny z týchto divov nemôže byť viac ako $ a $. Znamená to, že existuje najväčší medzi týmito rozdeľovačmi, ktorý sa nazýva najväčší spoločný delider $ A $ a $ B $ a písanie záznamov za jeho označenie:
$ Uzol (a; b) alebo d \\ (a; b) $
Ak chcete nájsť najväčší spoločný delič dvoch, čísla potrebujú:
- Nájdite produkt zistených v kroku 2. Výsledné číslo bude požadovaným najväčším spoločným rozdeľovačom.
Príklad 1.
Nájsť uzly 121 $ a $ 132. $
242 dolárov \u003d 2 cdot 11 cdot $ 11
$ 132 \u003d 2 cdot 2 cdot 3 cdot 11 $
Vyberte čísla, ktoré sú zahrnuté v rozkladu týchto čísel
242 dolárov \u003d 2 cdot 11 cdot $ 11
$ 132 \u003d 2 cdot 2 cdot 3 cdot 11 $
Nájdite produkt čísiel nachádzajúcich sa v kroku 2. Číslo bolo prijaté a bude slávnym najväčším spoločným deliteľom.
$ Node \u003d 2 cdot 11 \u003d 22 $
Príklad 2.
Nájsť uzol homory $ 63 $ a $ 81 $.
Nájdeme podľa prezentovaného algoritmu. Pre to:
Šíri čísla na jednoduchých multiplikátoroch
$ 63 \u003d 3 cdot 3 cdot $ 7
$ 81 \u003d 3 cdot 3 cdot 3 cdot $ 3
Vyberte si čísla, ktoré sú zahrnuté v rozkladu týchto čísel
$ 63 \u003d 3 cdot 3 cdot $ 7
$ 81 \u003d 3 cdot 3 cdot 3 cdot $ 3
Nájdeme produkt z čísel nachádzajúcich sa v kroku 2. Prijaté číslo a bude požadovaným najväčším spoločným rozdeľovačom.
$ Node \u003d 3 cdot 3 \u003d 9 $
Je možné nájsť uzol dvoch čísel iným spôsobom, pomocou mnohých deliacich čísiel.
Príklad 3.
Nájdite číslo uzla $ 48 a $ 60 $.
Rozhodnutie:
Nájdeme veľa divákov čísla $ 48 $: $ doľava (rm 1,2,4,6,8,12,16,24,48) doprava
Teraz nájdeme veľa divákov čísla $ 60 $: $ \\ \\ ((rm 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60) doprava
Nájdeme križovatku týchto súborov: $ vľavo (RM 1,2,3,4,6,12) Right (RM 1,2,3,4,6,12) Right (RM 1,2,3,4,6,12) Right (RM 1,2,3,4,6,12) Right \\) $ - tento súbor určí súbor spoločných deliteľov 48 dolárov a 60 dolárov $. Najväčším prvkom v tejto sade bude číslo 12 $. Tak najväčší spoločný delič vo výške 48 $ a $ 60 $ $ 12 $.
Nok.
Definícia 3.
Spoločné viacnásobné prirodzené čísla $ A $ a $ B $ sa nazýva prirodzené číslo, ktoré je viac a $ a $ a $ b $.
Spoločné viacnásobné čísla sa nazývajú čísla, ktoré sú rozdelené na zdroj bez zvyšku. Napríklad tvorí $ 25 a $ 50 $ 50 bežnými viacerými číslami $ 50,100,150,200 $, atď
Najmenší z celkového viacnásobného viac sa bude nazývať najmenším spoločným viacnásobným a je označený NOC $ (A; B) $ alebo K $ (A; B)
Ak chcete nájsť NOC z dvoch čísel, potrebujete:
- Odosielacie čísla pre jednoduché faktory
- Ak chcete zapísať multiplikátory v prvom čísle a pridajte im multiplikátory, ktoré sú súčasťou druhej a nechodia do prvého
Príklad 4.
Hľadanie nočových čísel $ 99 $ a $ 77 $.
Nájdeme podľa prezentovaného algoritmu. Pre to
Odosielacie čísla pre jednoduché faktory
$ 99 \u003d 3 cdot 3 cdot $ 11
Napísať multiplikátory v prvom
pridajte im multiplikátory, ktoré sú súčasťou druhej a nejdú na prvú
Nájdite produkt z čísel nachádzajúcich sa v kroku 2. Číslo bolo prijaté a bude požadovaný najmenší spoločný
$ Nok \u003d 3 cdot 3 cdot 11 cdot 7 \u003d $ 693
Vypracovanie zoznamov rozdeľovačov čísel je často veľmi pracné zamestnanie. Tam je spôsob, ako nájsť uzol s názvom EUCLIDEA algoritmus.
Vyhlásenia, na ktorých je založený algoritmus EUCLID:
Ak $ A $ a $ B $ - reprezentuje a $ A VDOTS B $, potom $ D (A; B) \u003d B $
Ak $ a $ a $ b $ - reprezentuje, taký, že $ b
Použitie $ D (A; B) \u003d D (A-B; b) $, možno dôsledne znížiť počet posudzovaných čísel, kým nebudeme robiť s takýmto pár čísla, ktoré je jeden z nich rozdelený na druhý. Potom menšie z týchto čísel bude požadovaný najväčší spoločný delič za čísla $ A $ a $ B $.
Vlastnosti NOD a NOK
- Akékoľvek spoločné viacnásobné čísla $ A $ a $ B $ je rozdelené do K $ (A; B) $
- Ak $ A VDOTS B $, potom na $ (A; B) \u003d $
Ak na $ (A; B) \u003d K $ a $ M $ -Nural číslo, potom na $ (AM; BM) \u003d km $
Ak $ D $ - Delder Papers za $ A $ a $ B $, potom ($ frac (a) (d); frac (b) (d) $) \u003d $ \\ wac (k) (d) ) $
Ak $ A VDOTS C $ A $ B W VDOTS C $, potom $ frac (AB) (c) $ - celkom viacnásobné čísla $ A $ a $ B $
Pre akékoľvek prírodné čísla $ a $ a $ b $ rovnosť
$ D (a; b) cdot na (a; b) \u003d ab $
Akýkoľvek spoločný delič čísel $ A $ a $ B $ je delider čísla $ d (a; b) $
Najväčší spoločný rozdelenie
Definícia 2.
Ak je prirodzené číslo A rozdelené na prirodzené číslo $ b $, potom $ B $ sa nazýva číslo čísla $ A $ a číslo $ A $ A $ A.
Nechajte $ a $ a $ b $ -tuntral čísla. Číslo $ c c $ sa nazýva spoločný delič a za $ a $ a za $ $.
Mnohé spoločné delivá $ A $ a $ B $ sú samozrejme, pretože žiadny z týchto divov nemôže byť viac ako $ a $. Znamená to, že existuje najväčší medzi týmito rozdeľovačmi, ktorý sa nazýva najväčší spoločný delider $ A $ a $ B $ a písanie záznamov za jeho označenie:
$ Uzol (a; b) alebo d \\ (a; b) $
Ak chcete nájsť najväčší spoločný delič dvoch, čísla potrebujú:
- Nájdite produkt zistených v kroku 2. Výsledné číslo bude požadovaným najväčším spoločným rozdeľovačom.
Príklad 1.
Nájsť uzly 121 $ a $ 132. $
242 dolárov \u003d 2 cdot 11 cdot $ 11
$ 132 \u003d 2 cdot 2 cdot 3 cdot 11 $
Vyberte čísla, ktoré sú zahrnuté v rozkladu týchto čísel
242 dolárov \u003d 2 cdot 11 cdot $ 11
$ 132 \u003d 2 cdot 2 cdot 3 cdot 11 $
Nájdite produkt čísiel nachádzajúcich sa v kroku 2. Číslo bolo prijaté a bude slávnym najväčším spoločným deliteľom.
$ Node \u003d 2 cdot 11 \u003d 22 $
Príklad 2.
Nájsť uzol homory $ 63 $ a $ 81 $.
Nájdeme podľa prezentovaného algoritmu. Pre to:
Šíri čísla na jednoduchých multiplikátoroch
$ 63 \u003d 3 cdot 3 cdot $ 7
$ 81 \u003d 3 cdot 3 cdot 3 cdot $ 3
Vyberte si čísla, ktoré sú zahrnuté v rozkladu týchto čísel
$ 63 \u003d 3 cdot 3 cdot $ 7
$ 81 \u003d 3 cdot 3 cdot 3 cdot $ 3
Nájdeme produkt z čísel nachádzajúcich sa v kroku 2. Prijaté číslo a bude požadovaným najväčším spoločným rozdeľovačom.
$ Node \u003d 3 cdot 3 \u003d 9 $
Je možné nájsť uzol dvoch čísel iným spôsobom, pomocou mnohých deliacich čísiel.
Príklad 3.
Nájdite číslo uzla $ 48 a $ 60 $.
Rozhodnutie:
Nájdeme veľa divákov čísla $ 48 $: $ doľava (rm 1,2,4,6,8,12,16,24,48) doprava
Teraz nájdeme veľa divákov čísla $ 60 $: $ \\ \\ ((rm 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60) doprava
Nájdeme križovatku týchto súborov: $ vľavo (RM 1,2,3,4,6,12) Right (RM 1,2,3,4,6,12) Right (RM 1,2,3,4,6,12) Right (RM 1,2,3,4,6,12) Right \\) $ - tento súbor určí súbor spoločných deliteľov 48 dolárov a 60 dolárov $. Najväčším prvkom v tejto sade bude číslo 12 $. Tak najväčší spoločný delič vo výške 48 $ a $ 60 $ $ 12 $.
Nok.
Definícia 3.
Spoločné viacnásobné prirodzené čísla $ A $ a $ B $ sa nazýva prirodzené číslo, ktoré je viac a $ a $ a $ b $.
Spoločné viacnásobné čísla sa nazývajú čísla, ktoré sú rozdelené na zdroj bez zvyšku. Napríklad tvorí $ 25 a $ 50 $ 50 bežnými viacerými číslami $ 50,100,150,200 $, atď
Najmenší z celkového viacnásobného viac sa bude nazývať najmenším spoločným viacnásobným a je označený NOC $ (A; B) $ alebo K $ (A; B)
Ak chcete nájsť NOC z dvoch čísel, potrebujete:
- Odosielacie čísla pre jednoduché faktory
- Ak chcete zapísať multiplikátory v prvom čísle a pridajte im multiplikátory, ktoré sú súčasťou druhej a nechodia do prvého
Príklad 4.
Hľadanie nočových čísel $ 99 $ a $ 77 $.
Nájdeme podľa prezentovaného algoritmu. Pre to
Odosielacie čísla pre jednoduché faktory
$ 99 \u003d 3 cdot 3 cdot $ 11
Napísať multiplikátory v prvom
pridajte im multiplikátory, ktoré sú súčasťou druhej a nejdú na prvú
Nájdite produkt z čísel nachádzajúcich sa v kroku 2. Číslo bolo prijaté a bude požadovaný najmenší spoločný
$ Nok \u003d 3 cdot 3 cdot 11 cdot 7 \u003d $ 693
Vypracovanie zoznamov rozdeľovačov čísel je často veľmi pracné zamestnanie. Tam je spôsob, ako nájsť uzol s názvom EUCLIDEA algoritmus.
Vyhlásenia, na ktorých je založený algoritmus EUCLID:
Ak $ A $ a $ B $ - reprezentuje a $ A VDOTS B $, potom $ D (A; B) \u003d B $
Ak $ a $ a $ b $ - reprezentuje, taký, že $ b
Použitie $ D (A; B) \u003d D (A-B; b) $, možno dôsledne znížiť počet posudzovaných čísel, kým nebudeme robiť s takýmto pár čísla, ktoré je jeden z nich rozdelený na druhý. Potom menšie z týchto čísel bude požadovaný najväčší spoločný delič za čísla $ A $ a $ B $.
Vlastnosti NOD a NOK
- Akékoľvek spoločné viacnásobné čísla $ A $ a $ B $ je rozdelené do K $ (A; B) $
- Ak $ A VDOTS B $, potom na $ (A; B) \u003d $
Ak na $ (A; B) \u003d K $ a $ M $ -Nural číslo, potom na $ (AM; BM) \u003d km $
Ak $ D $ - Delder Papers za $ A $ a $ B $, potom ($ frac (a) (d); frac (b) (d) $) \u003d $ \\ wac (k) (d) ) $
Ak $ A VDOTS C $ A $ B W VDOTS C $, potom $ frac (AB) (c) $ - celkom viacnásobné čísla $ A $ a $ B $
Pre akékoľvek prírodné čísla $ a $ a $ b $ rovnosť
$ D (a; b) cdot na (a; b) \u003d ab $
Akýkoľvek spoločný delič čísel $ A $ a $ B $ je delider čísla $ d (a; b) $
Nájsť najmenšia spoločná bolesť (Noc) a najväčší spoločný rozdelenie (NOD) Dve čísla používajú našu online kalkulačku:
Zadajte čísla: a
NOK:
Uzol:
Určiť
Stačí zadať čísla a získať výsledok.
Ako nájsť dve čísla NOK
Najmenší celkový počet (NOK) Dva alebo viac čísel sú najmenšie číslo, ktoré možno rozdeliť do každého z týchto čísel bez zvyšku.
Ak chcete nájsť najmenšie celkové viacnásobné (NOC) dve čísla, môžete použiť nasledujúci algoritmus (stupeň 5):
- Obe čísla (najprv najvyššie číslo).
- Porovnajte viac čísel s menej viacerými multiplikátormi. Zvýrazňujeme všetky multiplikátory menšieho čísla, ktoré nie sú viac.
- Pridajte vyhradené multiplikátory menšieho čísla k viacerým poruchám.
- Nájdem NOC, presunutie viacerých multiplikátorov prijatých v odseku 3.
Príklad
Definujeme napríklad čísla NOC 8 a 22 .
1) Odomknite jednoduché faktory:
2) Prideliť všetky multiplikátory z 8, ktoré nie sú 22:
8 = 2⋅2 ⋅2
3) Pridajte vybrané multiplikátory 8 až multiplikátorov 22.
NOK (8; 22) \u003d 2 · 11 · 2 · 2
4) Vypočítajte NOC:
NOK (8; 22) \u003d 2 · 11 · 2 · 2 \u003d 88
Ako nájsť uzol dve čísla
Najväčší spoločný delič (uzol) Dva alebo viac čísel je najväčšie prirodzené celé číslo, na ktorom môžu byť tieto čísla rozdelené bez zvyšku.
Ak chcete nájsť najväčší spoločný delič (uzol) dvoch čísel, najprv ich musíte rozložiť na jednoduchých multiplikátoroch. Potom musíte prideliť všeobecné faktory, ktoré sú k dispozícii aj na prvom čísle a na druhom mieste. Presunutie ich - to bude uzol. Ak chcete lepšie pochopiť algoritmus, zvážte príklad:
Príklad
Napríklad, definujeme uzly 20 a 30 .
20 = 2 ⋅2⋅5
30 = 2 ⋅3⋅5
Uzol (20.30) = 2⋅5 = 10
Načítava...