Bir matrisin rankı nasıl çözülür? Bir matrisin derecesini bulun: yöntemler ve örnekler

Bu makale, matrisin rankı gibi bir kavramı ve gerekli ek kavramları tartışacaktır. Bir matrisin rankını bulmanın örneklerini ve kanıtlarını vereceğiz ve ayrıca size matris minörünün ne olduğunu ve neden bu kadar önemli olduğunu anlatacağız.

Yandex.RTB R-A-339285-1

matris minör

Bir matrisin rankının ne olduğunu anlamak için, matris minör gibi bir kavramı anlamak gerekir.

tanım 1

Küçükkmertebe matrisi - önceden seçilmiş k-satırlarında ve k-sütunlarında bulunan, A matrisinin elemanlarının konumunu korurken, A matrisinin elemanlarından oluşan, k × k mertebesinde bir kare matrisin determinantı.

Basitçe söylemek gerekirse, A matrisindeki (pk) satırları ve (nk) sütunları silersek ve A matrisinin elemanlarının düzenini koruyarak kalan bu elemanların bir matrisini yaparsak, o zaman ortaya çıkan matrisin determinantı şudur: A matrisinin k mertebesinden minör.

Örnekten, A matrisinin birinci dereceden küçüklerinin matris elemanlarının kendileri olduğu sonucu çıkar.

2. dereceden küçüklere birkaç örnek verebiliriz. İki satır ve iki sütun seçelim. Örneğin, 1. ve 2. satır, 3. ve 4. sütun.

Bu eleman seçimi ile ikinci mertebenin minörü - 1 3 0 2 = (- 1) × 2 - 3 × 0 = - 2 olacaktır.

A matrisinin başka bir 2. dereceden minörü 0 0 1 1 = 0

A matrisinin ikinci mertebeden küçüklerinin yapımının örneklerini verelim:

3. dereceden minör, A matrisinin üçüncü sütunu silinerek elde edilir:

0 0 3 1 1 2 - 1 - 4 0 = 0 × 1 × 0 + 0 × 2 × (- 1) + 3 × 1 × (- 4) - 3 × 1 × (- 1) - 0 × 1 × 0 - 0 × 2 × (- 4) = - 9

A matrisinin 3. dereceden minörünün nasıl elde edildiğine dair bir örnek:

Belirli bir matris için 3. dereceden daha yüksek minör yoktur, çünkü

k ≤ m ben n (p , n) = m ben n (3 , 4) = 3

p×n düzeyindeki bir A matrisi için kaç k-inci dereceden minör vardır?

Küçüklerin sayısı aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanır:

C p k × C n k , g e C p k = p ! k! (p - k) ! ve Cnk = n! k! (n - k) ! - sırasıyla p'den k'ye, n'den k'ye kombinasyon sayısı.

A matrisinin minörlerinin ne olduğuna karar verdikten sonra, A matrisinin rankını belirlemeye geçebiliriz.

Matris sıralaması: bulma yöntemleri

tanım 2

matris sıralaması - sıfır dışında matrisin en yüksek mertebesi.

Tanım 1

Sıra (A), Rg(A), Rang(A).

Bir matrisin rankının ve bir matrisin minörünün tanımından, sıfır matrisinin rankının sıfıra eşit olduğu ve sıfır olmayan bir matrisin rankının sıfırdan farklı olduğu anlaşılır.

Tanıma göre bir matrisin sırasını bulma

tanım 3

Küçük numaralandırma yöntemi - bir matrisin sırasını belirlemeye dayalı bir yöntem.

Küçüklerin numaralandırılmasıyla eylemlerin algoritması :

A matrisinin sırasını bulmak gerekir. P× n. En az bir sıfır olmayan eleman varsa, matrisin sırası en az bire eşittir ( Çünkü sıfıra eşit olmayan bir 1. dereceden küçük).

Ardından 2. dereceden küçüklerin numaralandırılması gelir. Tüm 2. dereceden küçükler sıfıra eşitse, sıra bire eşittir. 2. mertebeden en az bir sıfır olmayan minör varsa, 3. mertebeden minörlerin numaralandırılmasına gitmek gerekir ve bu durumda matrisin rankı en az iki olacaktır.

Aynısını 3. mertebenin rankı ile yapalım: matrisin tüm minörleri sıfıra eşitse, rank ikiye eşit olacaktır. En az bir sıfır olmayan üçüncü dereceden küçük varsa, matrisin sırası en az üçtür. Ve benzeri, benzetme yoluyla.

Örnek 2

Bir matrisin derecesini bulun:

A \u003d - 1 1 - 1 - 2 0 2 2 6 0 - 4 4 3 11 1 - 7

Matris sıfır olmadığı için sıralaması en az bire eşittir.

2. sıra minör - 1 1 2 2 = (- 1) × 2 - 1 × 2 = 4 sıfır değildir. Bu, A matrisinin rankının en az iki olduğu anlamına gelir.

3. sıradaki küçükleri sıralarız: C 3 3 × C 5 3 \u003d 1 5 ! 3! (5 - 3) ! = 10 adet.

1 1 - 1 2 2 6 4 3 11 = (- 1) × 2 × 11 + 1 × 6 × 4 + (- 1) × 2 × 3 - (- 1) × 2 × 4 - 1 × 2 × 11 - (-1) × 6 × 3 = 0

1 - 1 - 2 2 6 0 4 11 1 = (- 1) × 6 × 1 + (- 1) × 0 × 4 + (- 2) × 2 × 11 - (- 2) × 6 × 4 - (- 1) × 2 × 1 - (- 1) × 0 × 11 = 0

1 1 - 2 2 2 0 4 3 1 = (- 1) × 2 × 1 + 1 × 0 × 4 + (- 2) × 2 × 3 - (- 2) × 2 × 4 - 1 × 2 × 1 - (-1) × 0 × 3 = 0

1 - 1 0 2 6 - 4 4 11 - 7 = (- 1) × 6 × (- 7) + (- 1) × (- 4) × 4 + 0 × 2 × 11 - 0 × 6 × 4 - ( - 1) × 2 × (- 7) - (- 1) × (- 4) × 11 = 0

1 - 1 0 2 6 - 4 3 11 - 7 = 1 × 6 × (- 7) + (- 1) × (- 4) × 3 + 0 × 2 × 11 - 0 × 6 × 3 - (- 1) × 2 × (- 7) - 1 × (- 4) × 11 = 0

1 - 2 0 2 0 - 4 3 1 - 7 = 1 × 0 × (- 7) + (- 2) × (- 4) × 3 + 0 × 2 × 1 - 0 × 0 × 3 - (- 2) × 2 × (- 7) - 1 × (- 4) × 1 = 0

1 - 2 0 6 0 - 4 11 1 - 7 = (- 1) × 0 × (- 7) + (- 2) × (- 4) × 11 + 0 × 6 × 1 - 0 × 0 × 11 - ( - 2) × 6 × (- 7) - (- 1) × (- 4) × 1 = 0

3. dereceden küçükler sıfırdır, bu nedenle matrisin sırası ikidir.

Yanıt vermek : Sıra (A) = 2.

Küçükleri saçaklama yöntemiyle bir matrisin sırasını bulma

tanım 3

Fringing Minör Yöntemi - daha az hesaplamalı çalışma ile sonuç almanızı sağlayan bir yöntem.

yan minör - minör M ok (k + 1) - minör M ok'a karşılık gelen matris minöre karşılık gelen matrisi "içeriyorsa", A matrisinin k derecesindeki minör M'yi sınırlayan A matrisinin -th mertebesi M.

Basitçe söylemek gerekirse, kenarlı minör M'ye karşılık gelen matris, bir satır ve bir sütunun elemanları silinerek sınırlayıcı minör M o k'ye karşılık gelen matristen elde edilir.

Örnek 3

Bir matrisin derecesini bulun:

A = 1 2 0 - 1 3 - 2 0 3 7 1 3 4 - 2 1 1 0 0 3 6 5

Sıralamayı bulmak için 2. dereceden küçük M = 2 - 1 4 1 alıyoruz

Sınırdaki tüm küçükleri yazıyoruz:

1 2 - 1 - 2 0 7 3 4 1 , 2 0 - 1 0 3 7 4 - 2 1 , 2 - 1 3 0 7 1 4 1 1 , 1 2 - 1 3 4 1 0 0 6 , 2 0 - 1 4 - 2 1 0 3 6 , 2 - 1 3 4 1 1 0 6 5 .

Küçükleri sınırlama yöntemini doğrulamak için, formülasyonu bir kanıt temeli gerektirmeyen bir teorem sunuyoruz.

teorem 1

Eğer p ile n mertebesine sahip bir A matrisinin k-inci dereceden minörünü çevreleyen tüm minörler sıfıra eşitse, bu durumda A matrisinin (k + 1) mertebesinden tüm minörleri sıfıra eşittir.

Eylem algoritması :

Bir matrisin rankını bulmak için tüm minörlerin üzerinden geçmeniz gerekmez, sadece sınırlara bakın.

Sınırdaki küçükler sıfıra eşitse, matrisin sırası sıfırdır. Sıfıra eşit olmayan en az bir reşit olmayan varsa, o zaman sınırdaki küçükleri dikkate alırız.

Hepsi sıfırsa, Rank(A) ikidir. En az bir sıfırdan farklı sınırda çocuk varsa, o zaman sınırdaki çocukları dikkate almaya devam ederiz. Ve benzer şekilde.

Örnek 4

Küçükleri saçaklama yöntemiyle bir matrisin sırasını bulun

A = 2 1 0 - 1 3 4 2 1 0 - 1 2 1 1 1 - 4 0 0 2 4 - 14

Nasıl karar verilir?

A matrisinin a 11 elemanı sıfıra eşit olmadığından, 1. mertebenin minörünü alırız. Sıfırdan farklı bir sınırlayıcı minör aramaya başlayalım:

2 1 4 2 = 2 x 2 - 1 x 4 = 0 2 0 4 1 = 2 x 1 - 0 x 4 = 2

Sıfır 2 0 4 1'e eşit olmayan 2. dereceden bir sınırlayıcı minör bulduk.

Kenardaki küçükleri sıralayalım - (4 - 2) × (5 - 2) = 6 adet var.

2 1 0 4 2 1 2 1 1 = 0 ; 2 0 - 1 4 1 0 2 1 1 = 0 ; 2 0 3 4 1 - 1 2 1 - 4 = 0 ; 2 1 0 4 2 1 0 0 2 = 0 ; 2 0 - 1 4 1 0 0 2 4 = 0 ; 2 0 3 4 1 - 1 0 2 - 14 = 0

Yanıt vermek : Sıra(A) = 2.

Gauss yöntemiyle bir matrisin sırasını bulma (temel dönüşümleri kullanarak)

Temel dönüşümlerin ne olduğunu hatırlayın.

Temel dönüşümler:

matrisin satırlarını (sütunlarını) yeniden düzenleyerek;
matrisin herhangi bir satırının (sütununun) tüm öğelerini sıfırdan farklı rastgele bir sayı k ile çarparak;

matrisin başka bir satırına (sütununa) karşılık gelen herhangi bir satırın (sütun) elemanlarına ekleyerek, bunlar keyfi bir sayı k ile çarpılır.

tanım 5

Gauss yöntemini kullanarak bir matrisin sırasını bulma - matris denkliği teorisine dayalı bir yöntem: B matrisi, A matrisinden sonlu sayıda temel dönüşüm kullanılarak elde edilirse, Sıra(A) = Sıra(B).

Bu ifadenin geçerliliği, matrisin tanımından kaynaklanmaktadır:

bir matrisin satırlarının veya sütunlarının permütasyonu durumunda, determinantı işaret değiştirir. Sıfıra eşitse, satırlara veya sütunlara izin verirken sıfıra eşit kalır;
matrisin herhangi bir satırının (sütununun) tüm elemanlarının sıfıra eşit olmayan keyfi bir k sayısı ile çarpılması durumunda, ortaya çıkan matrisin determinantı, çarpılan orijinal matrisin determinantına eşittir k ile;

matrisin belirli bir satırının veya sütununun elemanlarına eklenmesi durumunda, k sayısı ile çarpılan başka bir satır veya sütunun karşılık gelen elemanlarının determinantını değiştirmez.

Temel dönüşümler yönteminin özü : sırası bulunacak matrisi, temel dönüşümleri kullanarak yamuk olana indirgeyin.

Ne için?

Bu tür matrislerin sıralamasını bulmak oldukça kolaydır. En az bir boş olmayan öğeye sahip satır sayısına eşittir. Ve elementer dönüşümler sırasında rank değişmediği için, bu matrisin rankı olacaktır.

Bu süreci örnekleyelim:

Satır sayısı sütun sayısından büyük olan, p ile n düzeyindeki A dikdörtgen matrisleri için:

A ~ 1 b 12 b 13 ⋯ b 1 n - 1 b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 n - 2 b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 1 milyar - 1 n 0 0 0 ⋯ 0 1 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 0 0 , Sıra (A) = n

A ~ 1 b 12 b 13 ⋯ b 1 kb 1 k + 1 ⋯ b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 kb 2 k + 1 ⋯ b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 1 bkk + 1 ⋯ bkn 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 , Sıra (A) = k

Satır sayısı sütun sayısından az olan, p ile n düzeyindeki A dikdörtgen matrisleri için:

A ~ 1 b 12 b 13 ⋯ b 1 pb 1 p + 1 ⋯ b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 pb 2 p + 1 ⋯ b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 1 bpp + 1 ⋯ bpn , Sıra (A) = p

A ~ 1 b 12 b 13 ⋯ b 1 kb 1 k + 1 ⋯ b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 kb 2 k + 1 ⋯ b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 1 bkk + 1 ⋯ bkn 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0

n'den n'ye kadar olan A kare matrisleri için:

A ~ 1 b 12 b 13 ⋯ b 1 n - 1 b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 n - 1 b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 1 milyar - 1 n 0 0 0 ⋯ 0 1 , Sıra (A) = n

A ~ 1 b 12 b 13 ⋯ b 1 kb 1 k + 1 ⋯ b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 kb 2 k + 1 ⋯ b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 1 bkk + 1 ⋯ bkn 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 , Sıra (A) = k , k< n

Örnek 5

Temel dönüşümleri kullanarak A matrisinin sırasını bulun:

A = 2 1 - 2 6 3 0 0 - 1 1 - 1 2 - 7 5 - 2 4 - 15 7 2 - 4 11

Nasıl karar verilir?

a 11 öğesi sıfır olmadığı için, A matrisinin ilk satırının öğelerini 1 a 11 \u003d 1 2 ile çarpmak gerekir:

A = 2 1 - 2 6 3 0 0 - 1 1 - 1 2 - 7 5 - 2 4 - 15 7 2 - 4 11 ~

2. sıranın elemanlarına, (-3) ile çarpılan 1. sıranın karşılık gelen elemanlarını ekliyoruz. 3. satırın elemanlarına 1. satırın elemanlarını ekleriz, bunlar (-1) ile çarpılır:

~ A (1) \u003d 1 1 2 - 1 3 3 0 0 - 1 1 - 1 2 - 7 5 - 2 4 - 15 7 2 - 4 11 ~ A (2) \u003d \u003d 1 1 2 - 1 3 3 + 1 (- 3) 0 + 1 2 (- 3) 0 + (- 1) (- 3) - 1 + 3 (- 3) 1 + 1 (- 3) - 1 + 1 2 (- 3) 2 + (- 1) (- 1) - 7 + 3 (- 1) 5 + 1 (- 5) - 2 + 1 2 (- 5) 4 + (- 1) (- 5) - 15 + 3 (- 5 ) 7 + 1 (- 7) 2 + 1 2 (- 7) - 4 + (- 1) (- 7) 11 + 3 (- 7) =

1 1 2 - 1 3 0 - 3 2 3 - 10 0 - 3 2 3 - 10 0 - 9 2 9 - 30 0 - 3 2 3 - 10

a 22 (2) öğesi sıfır değildir, bu nedenle A matrisinin 2. satırının öğelerini A (2) ile 1 a 22 (2) = - 2 3 ile çarparız:

A (3) \u003d 1 1 2 - 1 3 0 1 - 2 20 3 0 - 3 2 3 - 10 0 - 9 2 9 - 30 0 - 3 2 3 - 10 ~ A (4) \u003d 1 1 2 - 1 3 0 1 - 2 20 3 0 - 3 2 + 1 3 2 3 + (- 2) 3 2 - 10 + 20 3 × 3 2 0 - 9 2 + 1 9 2 9 + (- 2) 9 2 - 30 + 20 3 × 9 2 0 - 3 2 + 1 3 2 3 + (- 2) 3 2 - 10 + 20 3 × 3 2 = = 1 1 2 - 1 3 0 1 - 2 20 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Ortaya çıkan matrisin 3. satırının öğelerine, 2. satırın karşılık gelen öğelerini ekliyoruz, bunlar 3 ile çarpılıyor 2 ;
4. sıranın elemanlarına - 2. sıranın elemanları, 9 2 ile çarpılır;
5. sıranın öğelerine - 2. sıranın 3 ile çarpılmış öğeleri 2 .

Tüm satır öğeleri sıfırdır. Böylece, temel dönüşümlerin yardımıyla, matrisi, Ra n k (A (4)) = 2 olduğu görülebileceği şekilde yamuk bir forma indirdik. Orijinal matrisin sıralamasının da ikiye eşit olduğunu takip eder.

Yorum Yap

Temel dönüşümler yaparsanız, yaklaşık değerlere izin verilmez!

Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.

Teorem (rütbe tanımının doğruluğu üzerine). Tüm matris minörleri olsun A m × n (\displaystyle A_(m\times n)) Emir k (\görüntüleme stili k) sıfıra eşittir ( M k = 0 (\displaystyle M_(k)=0)). O zamanlar ∀ M k + 1 = 0 (\displaystyle \forall M_(k+1)=0) eğer varlarsa. Desen: / çerçeve

İlgili tanımlar

Özellikler

Teorem (küçük bazında):İzin vermek r = çaldı ⁡ A , M r (\displaystyle r=\operatöradı (zil) A,M_(r))- matrisin temel minörü A (\görüntüleme stili A), sonra:
Sonuçlar:
Teorem (temel dönüşümler altında sıra değişmezliği üzerine): Temel-dönüşümlerle birbirinden elde edilen matrisler için bir gösterim sunalım. O zaman ifade doğrudur: Eğer A ∼ B (\displaystyle A\sim B), o zaman sıraları eşittir.
Teorem Kronecker - Cappelli: Bir lineer cebirsel denklem sistemi, ancak ve ancak ana matrisinin sıralaması genişletilmiş matrisinin sıralamasına eşitse tutarlıdır. Özellikle:
- Sistemin ana değişkenlerinin sayısı sistemin rankına eşittir.
- Sistemin sırası, tüm değişkenlerinin sayısına eşitse, tutarlı bir sistem tanımlanacaktır (çözüm benzersizdir).
Eşitsizlik Sylvester : Eğer A ve B boyut matrisleri mxn ve nx k, sonra

r bir n k A B ≥ r bir n k A + r bir n k B − n (\displaystyle rankAB\geq rankA+rankB-n)

Bu, aşağıdaki eşitsizliğin özel bir durumudur.

Eşitsizlik Frobenius: AB, BC, ABC iyi tanımlanmışsa, o zaman

r bir n k A B C ≥ r bir n k A B + r bir n k B C − r bir n k B (\displaystyle rankABC\geq rankAB+rankBC-rankB)

Doğrusal dönüşüm ve matris sıralaması

İzin vermek A (\görüntüleme stili A)- boyut matrisi m × n (\displaystyle m\times n) sahanın üzerinde C (\görüntüleme stili C)(veya R (\görüntüleme stili R)). İzin vermek T (\görüntüleme stili T) karşılık gelen doğrusal bir dönüşümdür A (\görüntüleme stili A) standart bazda; demek oluyor T (x) = A x (\displaystyle T(x)=Ax). matris sıralaması A (\görüntüleme stili A) dönüşüm aralığının boyutudur T (\görüntüleme stili T).

yöntemler

Bir matrisin sırasını bulmak için birkaç yöntem vardır:

Temel dönüşümler yöntemi

Bir matrisin rankı, matris satırları üzerinde temel dönüşümler kullanılarak basamaklı forma indirgendikten sonra matristeki sıfır olmayan satırların sayısına eşittir.

Fringing Minör Yöntemi

Matrise izin ver A (\görüntüleme stili A) sıfır olmayan küçük bulundu k (\görüntüleme stili k)-inci sıra M (\görüntüleme stili M). Tüm küçükleri düşünün (k + 1) (\displaystyle (k+1))(çevreleyen) minör dahil sipariş M (\görüntüleme stili M); hepsi sıfıra eşitse, matrisin rankı k (\görüntüleme stili k). Aksi takdirde, sınırdaki küçükler arasında sıfır olmayan bir tane var ve tüm prosedür tekrarlanıyor.

Tanım. matris sıralaması vektör olarak kabul edilen maksimum lineer bağımsız satır sayısıdır.

Bir matrisin rankı üzerine Teorem 1. matris sıralaması bir matrisin sıfır olmayan bir minörünün maksimum mertebesidir.

Determinantlar dersinde minör kavramını zaten tartışmıştık ve şimdi onu genelleştireceğiz. Matristeki bazı satırları ve bazı sütunları alalım ve bu "bir şey" matrisin satır ve sütun sayısından daha az olmalı ve satırlar ve sütunlar için bu "bir şey" aynı sayı olmalıdır. Sonra kaç satır ve kaç sütunun kesişiminde orijinal matrisimizden daha küçük bir matris olacak. Bahsedilen "bir şey" (satır ve sütun sayısı) k ile gösterilirse, bu matrisin determinantı k'inci dereceden küçük olacaktır.

Tanım. Küçük ( r+1-inci sıra, içinde seçilen minör r-th sırasına, verilen minör için bordür denir.

En sık kullanılan iki yöntem bir matrisin rankını bulma. Bu reşit olmayanları engelleme yolu ve temel dönüşümler yöntemi(Gauss yöntemiyle).

Küçükleri sınırlama yöntemi aşağıdaki teoremi kullanır.

Bir matrisin rankı üzerine Teorem 2. Matrisin elemanlarından bir minör oluşturmak mümkünse r sıfıra eşit olmayan inci sıra, matrisin sırası eşittir r.

Temel dönüşümler yöntemiyle aşağıdaki özellik kullanılır:

Temel dönüşümlerle orijinaline eşdeğer bir yamuk matris elde edilirse, o zaman bu matrisin rankı tamamen sıfırlardan oluşan satırlar dışındaki satır sayısıdır.

Küçükleri sınırlayarak bir matrisin sırasını bulma

Sınırlı bir çocuk, verilen küçük çocuğu içeriyorsa, verilen çocukla ilgili olarak daha yüksek düzeyde bir çocuktur.

Örneğin, verilen matris

küçük bir tane alalım

kenar bu kadar küçük olacak:

Bir matrisin sırasını bulmak için algoritma sonraki.

1. Sıfıra eşit olmayan ikinci dereceden küçükleri buluyoruz. Tüm ikinci dereceden küçükler sıfıra eşitse, matrisin sırası bire eşit olacaktır ( r =1 ).

2. Sıfıra eşit olmayan en az bir ikinci dereceden küçük varsa, o zaman üçüncü dereceden küçükleri sınırlıyoruz. Tüm üçüncü dereceden sınırlayıcı küçükler sıfırsa, matrisin sırası iki ( r =2 ).

3. Üçüncü mertebeden sınırdaki küçüklerden en az biri sıfıra eşit değilse, onu sınırlayan küçükleri oluştururuz. Tüm sınırlayıcı dördüncü dereceden küçükler sıfırsa, matrisin sırası üçtür ( r =2 ).

4. Matrisin boyutu izin verdiği sürece devam edin.

örnek 1 Bir matrisin sırasını bulun

Çözüm. İkinci dereceden küçük .

Çerçeveleyelim. Sınırda dört küçük çocuk olacak:

Böylece, tüm sınırlayıcı üçüncü dereceden küçükler sıfıra eşittir, bu nedenle bu matrisin sırası iki ( r =2 ).

Örnek 2 Bir matrisin sırasını bulun

Çözüm. Bu matrisin sırası 1'dir, çünkü bu matrisin tüm ikinci dereceden küçükleri sıfıra eşittir (bunda, sonraki iki örnekte sınırdaki küçükler durumunda olduğu gibi, sevgili öğrenciler kendileri için doğrulamaya davet edilir, belki belirleyicileri hesaplama kurallarını kullanarak) ve birinci dereceden küçükler arasında , yani matrisin öğeleri arasında sıfıra eşit değildir.

Örnek 3 Bir matrisin sırasını bulun

Çözüm. Bu matrisin ikinci dereceden küçükleri ve bu matrisin tüm üçüncü dereceden küçükleri sıfırdır. Bu nedenle, bu matrisin rankı ikidir.

Örnek 4 Bir matrisin sırasını bulun

Çözüm. Bu matrisin rankı 3'tür çünkü bu matrisin tek üçüncü mertebeden minörü 3'tür.

Temel dönüşümler yöntemiyle bir matrisin sırasını bulma (Gauss yöntemiyle)

Halihazırda Örnek 1'de, bir matrisin sırasını küçüklerin sınırlanması yöntemiyle belirleme probleminin çok sayıda belirleyicinin hesaplanmasını gerektirdiği görülebilir. Bununla birlikte, hesaplama miktarını en aza indirmenin bir yolu vardır. Bu yöntem, temel matris dönüşümlerinin kullanımına dayanır ve Gauss yöntemi olarak da adlandırılır.

Bir matrisin temel dönüşümleri aşağıdaki işlemler anlamına gelir:

1) matrisin herhangi bir satırının veya herhangi bir sütununun sıfırdan farklı bir sayı ile çarpımı;

2) matrisin herhangi bir satırının veya sütununun elemanlarına, aynı sayı ile çarpılarak başka bir satır veya sütunun karşılık gelen elemanlarının eklenmesi;

3) bir matrisin iki satırını veya sütununu değiştirmek;

4) "boş" satırların, yani tüm öğeleri sıfıra eşit olan satırların kaldırılması;

5) biri hariç tüm orantılı çizgilerin silinmesi.

Teorem. Temel dönüşüm matrisin sırasını değiştirmez. Başka bir deyişle, matristen temel dönüşümler kullanırsak A matrise git B, sonra .

Bir matrisin sıralaması önemli bir sayısal özelliktir. Bir matrisin sırasını bulmayı gerektiren en tipik problem, bir lineer cebirsel denklem sisteminin uyumluluğunu kontrol etmektir. Bu yazıda, bir matrisin rankı kavramını vereceğiz ve onu bulma yöntemlerini ele alacağız. Malzemenin daha iyi özümsenmesi için birkaç örneğin çözümlerini ayrıntılı olarak analiz edeceğiz.

Sayfa gezintisi.

Bir matrisin rankının belirlenmesi ve gerekli ek kavramlar.

Bir matrisin rankının tanımını dile getirmeden önce, minör kavramının iyi anlaşılması gerekir ve bir matrisin minörlerini bulmak, determinantı hesaplama yeteneği anlamına gelir. Bu nedenle, gerekirse, makalenin teorisini, matris determinantını bulma yöntemlerini, determinantın özelliklerini hatırlamanızı öneririz.

mertebeden bir A matrisi alın. k, m ve n sayılarının en küçüğünü geçmeyen bir doğal sayı olsun, yani, .

Tanım.

Küçük k. sıra A matrisi, önceden seçilmiş k satır ve k sütunda bulunan A matrisinin öğelerinden oluşan mertebeden kare matrisin determinantıdır ve A matrisinin öğelerinin konumu korunur.

Başka bir deyişle, A matrisindeki (p–k) satırlarını ve (n–k) sütunlarını silersek ve kalan elemanlardan A matris elemanlarının düzenini koruyarak bir matris oluşturursak, elde edilen matrisin determinantı A matrisinin k mertebesinde bir minör.

Bir örnek kullanarak bir matris minör tanımına bakalım.

matrisi düşünün .

Bu matrisin birkaç birinci dereceden küçüklerini yazalım. Örneğin, A matrisinin üçüncü satırını ve ikinci sütununu seçersek, seçimimiz birinci dereceden bir minöre karşılık gelir. . Başka bir deyişle, bu minörü elde etmek için A matrisinden birinci ve ikinci satırların yanı sıra birinci, üçüncü ve dördüncü sütunların üzerini çizdik ve kalan elemandan determinantı oluşturduk. A matrisinin ilk satırını ve üçüncü sütununu seçersek, o zaman bir minör elde ederiz. .

Birinci dereceden reşit olmayanları elde etme prosedürünü gösterelim
ve .

Böylece, bir matrisin birinci dereceden küçükleri, matris elemanlarının kendileridir.

İkinci dereceden birkaç küçük gösterelim. İki satır ve iki sütun seçin. Örneğin, birinci ve ikinci satırları ve üçüncü ve dördüncü sütunları alın. Bu seçimle, ikinci dereceden bir minörümüz var . Bu minör, A matrisinden üçüncü satır, birinci ve ikinci sütunlar silinerek de oluşturulabilir.

A matrisinin bir başka ikinci dereceden minörü .

Bu ikinci dereceden küçüklerin yapısını örnekleyelim.
ve .

A matrisinin üçüncü dereceden küçükleri benzer şekilde bulunabilir. A matrisinde sadece üç satır olduğu için hepsini seçiyoruz. Bu satırlar için ilk üç sütunu seçersek, üçüncü dereceden bir minör elde ederiz.

A matrisinin son sütunu silinerek de oluşturulabilir.

Başka bir üçüncü dereceden minör

A matrisinin üçüncü sütunu silinerek elde edilir.

İşte bu üçüncü dereceden küçüklerin yapımını gösteren bir çizim
ve .

Belirli bir A matrisi için, üçüncü mertebeden daha yüksek mertebeden minörler yoktur, çünkü .

A düzeyi matrisinin kaç k'inci dereceden küçükleri var?

k dereceli küçüklerin sayısı şu şekilde hesaplanabilir: ve - sırasıyla p'den k'ye ve n'den k'ye kombinasyon sayısı.

n üzerinde p dereceli A matrisinin k dereceli tüm küçükleri nasıl oluşturulur?

Bir dizi matris satır numarasına ve bir dizi sütun numarasına ihtiyacımız var. Her şeyi kaydetmek p elemanlarının k ile kombinasyonları(k dereceden bir minör oluşturulurken A matrisinin seçilen satırlarına karşılık geleceklerdir). Her satır numarası kombinasyonuna, k sütun numarasına göre n elemanın tüm kombinasyonlarını sırayla ekliyoruz. A matrisinin satır numaraları ve sütun numaralarının bu kombinasyonları, k düzeyindeki tüm minörlerin oluşturulmasına yardımcı olacaktır.

Bir örnek alalım.

Örnek.

Matrisin tüm ikinci dereceden küçüklerini bulun.

Çözüm.

Orijinal matrisin sırası 3'e 3 olduğundan, toplam ikinci dereceden küçükler olacaktır. .

A matrisinin 3 ila 2 satır numaralarının tüm kombinasyonlarını yazalım: 1, 2; 1, 3 ve 2, 3. 3'e 2 sütun numaralarının tüm kombinasyonları 1, 2'dir; 1, 3 ve 2, 3.

A matrisinin birinci ve ikinci satırlarını alın. Bu satırlar için birinci ve ikinci sütunları, birinci ve üçüncü sütunları, ikinci ve üçüncü sütunları seçerek sırasıyla küçükleri elde ederiz.

Benzer sütun seçenekleriyle birinci ve üçüncü satırlar için,

İkinci ve üçüncü satırlara birinci ve ikinci, birinci ve üçüncü, ikinci ve üçüncü sütunları eklemeye devam ediyor:

Böylece, A matrisinin ikinci mertebesinden dokuz minörün tümü bulunur.

Şimdi matrisin rankını belirlemeye geçebiliriz.

Tanım.

matris sıralaması sıfır olmayan matris minörünün en yüksek mertebesidir.

A matrisinin rankı Rank(A) olarak gösterilir. Ayrıca Rg(A) veya Rang(A) tanımlarını da görebilirsiniz.

Bir matrisin rankının ve bir matrisin minörünün tanımlarından, sıfır matrisinin rankının sıfıra eşit olduğu ve sıfır olmayan bir matrisin rankının en az bir olduğu sonucuna varabiliriz.

Tanıma göre bir matrisin rankını bulma.

Bu nedenle, bir matrisin rankını bulmanın ilk yöntemi şudur: küçük numaralandırma yöntemi. Bu yöntem matrisin rankının belirlenmesine dayanmaktadır.

A mertebesinden bir matrisin rankını bulalım.

Kısaca açıkla algoritma bu sorunun küçükleri sayma yöntemiyle çözümü.

Sıfır olmayan en az bir matris elemanı varsa, matrisin rankı en az bire eşittir (çünkü sıfıra eşit olmayan birinci dereceden bir minör vardır).

Ardından, ikinci dereceden küçükler üzerinde yineleniriz. Tüm ikinci dereceden küçükler sıfıra eşitse, matrisin sırası bire eşittir. En az bir sıfır olmayan ikinci dereceden küçük varsa, üçüncü dereceden küçüklerin numaralandırılmasına geçilir ve matrisin sırası en az ikiye eşittir.

Benzer şekilde, tüm üçüncü dereceden küçükler sıfırsa, matrisin sırası ikidir. En az bir sıfır olmayan üçüncü dereceden küçük varsa, matrisin sırası en az üçtür ve dördüncü dereceden küçüklerin sayımına geçiyoruz.

Bir matrisin rankının p ve n'nin en küçüğünü aşamayacağını unutmayın.

Örnek.

Bir matrisin sırasını bulun .

Çözüm.

Matris sıfır olmadığı için sıralaması birden az değildir.

İkinci dereceden küçük sıfırdan farklıdır, bu nedenle, A matrisinin rankı en az ikidir. Üçüncü dereceden küçüklerin sayımına geçiyoruz. Hepsi şeyler.

Tüm üçüncü dereceden küçükler sıfıra eşittir. Bu nedenle, matrisin sırası ikidir.

Yanıt vermek:

Sıra(A) = 2 .

Küçükleri saçaklama yöntemiyle bir matrisin rankını bulma.

Daha az hesaplama çalışmasıyla sonucu elde etmenizi sağlayan bir matrisin sırasını bulmak için başka yöntemler de vardır.

Bu yöntemlerden biri saçaklama minör yöntemi.

ilgilenelim sınırdaki küçük kavramı.

A matrisinin (k+1) mertebesindeki minör M ok'un, A matrisinin k mertebesindeki minör M'yi sınırladığı söylenir, eğer minör M ok'a karşılık gelen matris, minöre karşılık gelen matrisi "içerirse" M .

Başka bir deyişle, kenarlı minör M'ye karşılık gelen matris, bir satır ve bir sütunun elemanları silinerek sınırlayıcı minör M OK'ye karşılık gelen matristen elde edilir.

Örneğin, matrisi düşünün ve ikinci dereceden bir minör alın. Sınırdaki tüm küçükleri yazalım:

Küçükleri sınırlama yöntemi aşağıdaki teorem ile doğrulanır (formülasyonunu kanıtsız sunuyoruz).

Teorem.

Bu nedenle, bir matrisin rankını bulmak için, yeterince bordering olan tüm minörleri numaralandırmak gerekli değildir. A mertebesinden matrisin k'inci mertebeden minörünü çevreleyen minörlerin sayısı formülle bulunur. . A matrisinin k-inci dereceden minörünü, A matrisinin (k+1)-inci dereceden minörlerinden daha fazla sınırlayan minör olmadığına dikkat edin. Bu nedenle, çoğu durumda, küçükleri sınırlama yöntemini kullanmak, tüm küçüklerin basitçe numaralandırılmasından daha karlıdır.

Küçükleri saçaklama yöntemiyle bir matrisin rankını bulmaya devam edelim. Kısaca açıkla algoritma Bu method.

A matrisi sıfır değilse, o zaman A matrisinin sıfırdan farklı herhangi bir öğesini birinci dereceden küçük olarak alırız. Sınırdaki küçükleri düşünüyoruz. Hepsi sıfıra eşitse, matrisin sırası bire eşittir. En az bir sıfır olmayan sınır çocuğu varsa (sıralaması ikiye eşittir), o zaman sınırdaki küçüklerin değerlendirilmesine geçiyoruz. Hepsi sıfırsa, Rank(A) = 2 . En az bir sınır çocuğu sıfır değilse (sıralaması üçe eşittir), o zaman sınırdaki küçükleri dikkate alırız. Vb. Sonuç olarak, A matrisinin (k + 1). mertebesindeki tüm sınırlayıcı minörler sıfıra eşitse Rank(A) = k veya olmayan bir varsa Rank(A) = min(p, n) olur. mertebenin minörünü çevreleyen sıfır minör (min( p, n) – 1) .

Bir örnek kullanarak bir matrisin sırasını bulmak için küçükleri sınırlama yöntemini analiz edelim.

Örnek.

Bir matrisin sırasını bulun sınırlayıcı küçükler yöntemiyle.

Çözüm.

A matrisinin a 1 1 elemanı sıfır olmadığı için, onu birinci dereceden küçük olarak alıyoruz. Sıfırdan farklı bir sınırlayıcı minör aramaya başlayalım:

Sıfırdan farklı ikinci dereceden bir minör bulundu. Sınırındaki küçükleri (onların şeyler):

İkinci dereceden minörü çevreleyen tüm minörler sıfıra eşittir, bu nedenle A matrisinin rankı ikiye eşittir.

Yanıt vermek:

Sıra(A) = 2 .

Örnek.

Bir matrisin sırasını bulun sınırdaki küçüklerin yardımıyla.

Çözüm.

Birinci mertebeden sıfır olmayan bir minör olarak, A matrisinin a 1 1 = 1 öğesini alıyoruz. ikinci dereceden küçük saçak sıfıra eşit değildir. Bu reşit olmayan üçüncü dereceden bir reşit tarafından sınırlanmıştır
. Sıfıra eşit olmadığı ve onun için bir sınırlayıcı minör olmadığı için, A matrisinin rankı üçe eşittir.

Yanıt vermek:

Sıra(A) = 3 .

Matrisin temel dönüşümlerini kullanarak sıra bulma (Gauss yöntemiyle).

Bir matrisin rankını bulmanın başka bir yolunu düşünün.

Aşağıdaki matris dönüşümleri temel olarak adlandırılır:

matrisin satırlarının (veya sütunlarının) permütasyonu;
matrisin herhangi bir satırının (sütununun) tüm elemanlarının sıfırdan farklı rastgele bir k sayısı ile çarpımı;
herhangi bir satırın (sütun) elemanlarına matrisin başka bir satırının (sütununun) karşılık gelen elemanlarının eklenmesi, keyfi bir k sayısı ile çarpılır.

Matris B, matris A'ya eşdeğer olarak adlandırılır, B, A'dan sonlu sayıda temel dönüşüm yardımıyla elde edilirse. Matrislerin denkliği "~" sembolü ile gösterilir, yani A ~ B şeklinde yazılır.

Temel matris dönüşümlerini kullanarak bir matrisin sırasını bulmak şu ifadeye dayanır: B matrisi, A matrisinden sonlu sayıda temel dönüşüm kullanılarak elde edilirse, Sıra(A) = Sıra(B) .

Bu ifadenin geçerliliği, matris determinantının özelliklerinden kaynaklanmaktadır:

Bir matrisin satırları (veya sütunları) değiştirildiğinde, determinantı işaret değiştirir. Sıfıra eşitse, satırlara (sütunlara) izin verilirken sıfıra eşit kalır.
Matrisin herhangi bir satırının (sütununun) tüm öğelerini sıfırdan farklı bir k sayısıyla çarparken, ortaya çıkan matrisin determinantı, orijinal matrisin determinantına eşittir, k ile çarpılır. Orijinal matrisin determinantı sıfıra eşitse, herhangi bir satır veya sütunun tüm öğelerini k sayısıyla çarptıktan sonra, elde edilen matrisin determinantı da sıfıra eşit olacaktır.
Matrisin belirli bir satırının (sütununun) öğelerine, matrisin başka bir satırının (sütununun) karşılık gelen öğelerinin belirli bir k sayısı ile çarpılması, determinantını değiştirmez.

Temel dönüşümler yönteminin özü rankını bulmamız gereken matrisi, temel dönüşümleri kullanarak bir yamuğa (belirli bir durumda, bir üst üçgen olana) getirmektir.

Bu ne için? Bu tür matrislerin rankını bulmak çok kolaydır. En az bir boş olmayan öğe içeren satır sayısına eşittir. Ve elementer dönüşümler sırasında matrisin rankı değişmediğinden, elde edilen değer orijinal matrisin rankı olacaktır.

Biri dönüşümlerden sonra elde edilmesi gereken matrislerin çizimlerini veriyoruz. Formları matrisin sırasına bağlıdır.

Bu çizimler, A matrisini dönüştüreceğimiz şablonlardır.

tarif edelim yöntem algoritması.

Sıfır olmayan bir A matrisinin sırasını bulmamız gerektiğini varsayalım (p, n'ye eşit olabilir).

Böyle, . A matrisinin ilk satırının tüm öğelerini ile çarpalım. Bu durumda, eşdeğer bir matris elde ederiz, bunu A (1) olarak ifade edin:

Ortaya çıkan A (1) matrisinin ikinci satırının öğelerine, ilk satırın karşılık gelen öğelerini çarparak ekliyoruz. Üçüncü satırın öğelerine, ilk satırın karşılık gelen öğelerini çarparak ekleyin. Ve böylece p-th satırına kadar. Eşdeğer bir matris elde ederiz, bunu A (2) olarak ifade edin:

Ortaya çıkan matrisin ikinciden p-th'ye kadar olan tüm öğeleri sıfıra eşitse, bu matrisin sırası bire eşittir ve sonuç olarak orijinal matrisin sırası bire eşit.

İkinciden p-th'e kadar olan satırlarda en az bir sıfır olmayan eleman varsa, dönüşümleri gerçekleştirmeye devam ederiz. Ayrıca, tam olarak aynı şekilde hareket ediyoruz, ancak yalnızca A matrisinin şekilde (2) ile işaretlenmiş kısmı ile hareket ediyoruz.

ise, A (2) matrisinin satırlarını ve (veya) sütunlarını "yeni" öğe sıfır olmayacak şekilde yeniden düzenleriz.

r sayısı, aşağıdaki durumlarda A matrisinin sırası olarak adlandırılır:
1) matris A, r mertebesinde sıfır olmayan bir minör içerir;
2) tüm küçükler (r + 1) ve varsa daha yüksek, sıfıra eşittir.
Aksi takdirde, bir matrisin sırası, sıfır olmayan bir minörün en yüksek mertebesidir.
Tanımlamalar: rangA , r A veya r .
Tanımdan, r'nin pozitif bir tam sayı olduğu çıkar. Boş bir matris için, sıra sıfır olarak kabul edilir.

Servis ataması. Çevrimiçi hesap makinesi bulmak için tasarlanmıştır matris sıralaması. Çözüm, Word ve Excel formatında kaydedilir. çözüm örneğine bakın.

Talimat. Matrisin boyutunu seçin, İleri'ye tıklayın.

Tanım . R dereceli bir matris verilsin. Sıfırdan farklı ve r mertebesindeki herhangi bir minör matrise temel, bileşenlerinin satır ve sütunlarına ise temel satırlar ve sütunlar denir.
Bu tanıma göre, A matrisinin birkaç temel minörü olabilir.

E kimlik matrisinin rankı n'dir (satır sayısı).

Örnek 1 . İki matris verildiğinde, ve onların küçükleri , . Bunlardan hangisi esas alınabilir?
Çözüm. Minör M 1 = 0, bu nedenle matrislerin herhangi biri için bir temel olamaz. Minör M 2 =-9≠0 ve mertebe 2'ye sahip olduğundan, rankları 2'ye eşit olmak kaydıyla A veya / ve B'nin temel matrisleri olarak alınabilir. detB=0 olduğundan (iki orantılı sütunlu bir determinant olarak), o zaman rangB=2 ve M2, B matrisinin minör temeli olarak alınabilir. detA=-27≠ olduğu gerçeğinden dolayı, A matrisinin rankı 3'tür. 0 ve bu nedenle, bu matrisin temel minörünün sırası 3 olmalıdır, yani M2, A matrisi için bir temel değildir. A matrisinin, A matrisinin determinantına eşit benzersiz bir minör temele sahip olduğuna dikkat edin.

Teorem (minör bazında). Bir matrisin herhangi bir satırı (sütun), temel satırlarının (sütunlarının) doğrusal bir birleşimidir.
Teoremin sonuçları.

R dereceli bir matrisin herhangi bir (r+1) sütunu (satırı) doğrusal olarak bağımlıdır.
Bir matrisin sırası, satırlarının (sütunlarının) sayısından küçükse, satırları (sütunları) doğrusal olarak bağımlıdır. rangA, satırlarının (sütunlarının) sayısına eşitse, satırlar (sütunlar) doğrusal olarak bağımsızdır.
Bir A matrisinin determinantı, ancak ve ancak satırları (sütunları) doğrusal olarak bağımlıysa sıfıra eşittir.
Bir matrisin bir satırına (sütununa) sıfırdan başka bir sayı ile çarpılan başka bir satır (sütun) eklenirse, matrisin rankı değişmez.
Diğer satırların (sütunların) doğrusal bir kombinasyonu olan matristeki bir satırın (sütun) üzerini çizerseniz, matrisin sırası değişmez.
Bir matrisin sırası, doğrusal olarak bağımsız satırlarının (sütunlarının) maksimum sayısına eşittir.
Maksimum doğrusal bağımsız satır sayısı, maksimum doğrusal bağımsız sütun sayısıyla aynıdır.

Örnek 2. Bir matrisin sırasını bulun .
Çözüm. Bir matrisin rankının tanımına dayanarak, sıfırdan farklı olan en yüksek mertebeden bir minör arayacağız. İlk olarak, matrisi daha basit bir forma dönüştürüyoruz. Bunu yapmak için, matrisin ilk satırını (-2) ile çarpın ve ikinciye ekleyin, ardından (-1) ile çarpın ve üçüncüye ekleyin.