Mekanik titreşimler - Bilgi Hipermarketi. Mekanik titreşimler Mekanik dalgalar konusundaki formüller

Bu bölümü incelerken lütfen şunu aklınızda bulundurun: dalgalanmalar Farklı fiziksel yapıya sahip olan nesneler ortak matematiksel konumlardan tanımlanır. Burada harmonik salınım, faz, faz farkı, genlik, frekans, salınım periyodu gibi kavramları net bir şekilde anlamak gerekir.

Herhangi bir gerçek salınım sisteminde ortamın direncinin olduğu akılda tutulmalıdır; salınımlar sönümlenecektir. Salınımların sönümlenmesini karakterize etmek için bir sönümleme katsayısı ve logaritmik bir sönüm azalması eklenir.

Salınımlar, periyodik olarak değişen bir dış kuvvetin etkisi altında meydana gelirse, bu tür salınımlara zorunlu denir. Sönümsüz olacaklar. Zorlanmış salınımların genliği, itici kuvvetin frekansına bağlıdır. Zorlanmış salınımların frekansı doğal salınımların frekansına yaklaştıkça, zorlanmış salınımların genliği keskin bir şekilde artar. Bu olaya rezonans denir.

Elektromanyetik dalgaların incelenmesine geçerken şunu açıkça anlamalısınız:elektromanyetik dalgauzayda yayılan bir elektromanyetik alandır. Elektromanyetik dalgalar yayan en basit sistem bir elektrik dipoldür. Bir dipol harmonik salınımlara maruz kalırsa, monokromatik bir dalga yayar.

Formül tablosu: salınımlar ve dalgalar

Harmonik salınımlar sinüs ve kosinüs kanunlarına göre gerçekleştirilen salınımlardır. Aşağıdaki şekil kosinüs kanununa göre bir noktanın koordinatlarındaki zaman içindeki değişimlerin grafiğini göstermektedir.

resim

Salınım genliği

Harmonik titreşimin genliği, bir cismin denge konumundan yer değiştirmesinin en büyük değeridir. Genlik farklı değerler alabilir. Bu, zamanın ilk anında vücudu denge konumundan ne kadar uzaklaştırdığımıza bağlı olacaktır.

Genlik, başlangıç ​​koşullarıyla, yani zamanın ilk anında vücuda verilen enerjiyle belirlenir. Sinüs ve kosinüs -1 ila 1 aralığında değerler alabildiğinden, denklemin salınımların genliğini ifade eden bir Xm faktörü içermesi gerekir. Harmonik titreşimler için hareket denklemi:

x = Xm*cos(ω0*t).

Salınım periyodu

Salınım periyodu, bir tam salınımı tamamlamak için gereken süredir. Salınım periyodu T harfi ile gösterilir. Periyodun ölçüm birimleri zaman birimlerine karşılık gelir. Yani SI'da bunlar saniyedir.

Salınım frekansı, birim zaman başına gerçekleştirilen salınımların sayısıdır. Salınım frekansı ν harfiyle gösterilir. Salınım frekansı salınım periyodu cinsinden ifade edilebilir.

v = 1/T.

Frekans birimleri SI 1/sn cinsindendir. Bu ölçü birimine Hertz denir. 2*pi saniyelik bir süredeki salınımların sayısı şuna eşit olacaktır:

ω0 = 2*pi* ν = 2*pi/T.

Salınım frekansı

Bu miktara salınımların döngüsel frekansı denir. Bazı literatürde dairesel frekans adı geçmektedir. Salınımlı bir sistemin doğal frekansı, serbest salınımların frekansıdır.

Doğal salınımların frekansı aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanır:

Doğal titreşimlerin frekansı malzemenin özelliklerine ve yükün kütlesine bağlıdır. Yayın sertliği ne kadar büyük olursa, kendi titreşimlerinin frekansı da o kadar büyük olur. Yükün kütlesi ne kadar büyük olursa, doğal salınımların frekansı da o kadar düşük olur.

Bu iki sonuç açıktır. Yay ne kadar sert olursa, sistemin dengesi bozulduğunda vücuda vereceği ivme de o kadar büyük olur. Bir cismin kütlesi ne kadar büyükse, bu cismin hızı da o kadar yavaş değişecektir.

Serbest salınım süresi:

T = 2*pi/ ω0 = 2*pi*√(m/k)

Küçük sapma açılarında, gövdenin yay üzerindeki salınım periyodunun ve sarkacın salınım periyodunun salınımların genliğine bağlı olmayacağı dikkat çekicidir.

Matematiksel bir sarkacın serbest salınımlarının periyodu ve frekansına ilişkin formülleri yazalım.

o zaman periyot eşit olur

T = 2*pi*√(l/g).

Bu formül yalnızca küçük sapma açıları için geçerli olacaktır. Formülden, sarkaç ipliğinin uzunluğu arttıkça salınım periyodunun arttığını görüyoruz. Uzunluk ne kadar uzun olursa vücut o kadar yavaş titreşir.

Salınım süresi hiçbir şekilde yükün kütlesine bağlı değildir. Ancak bu serbest düşüşün hızlanmasına bağlıdır. g azaldıkça salınım periyodu artacaktır. Bu özellik pratikte yaygın olarak kullanılmaktadır. Örneğin, serbest ivmenin tam değerini ölçmek için.

Harmonik salınımlar yasaya göre meydana gelir:

X = Açünkü(ω T + φ 0),

Nerede X– parçacığın denge konumundan yer değiştirmesi, A– salınımların genliği, ω – dairesel frekans, φ 0 – başlangıç ​​fazı, T- zaman.

Salınım periyodu T = .

Salınımlı parçacığın hızı:

υ = = – Aω günah(ω T + φ 0),

hızlanma A = = –Aω 2 çünkü (ω T + φ 0).

Salınım hareketi yapan bir parçacığın kinetik enerjisi: e k = =
günah 2 (ω T+ φ 0).

Potansiyel enerji:

e n=
çünkü 2 (ω T + φ 0).

Sarkaç salınımlarının dönemleri

- bahar T =
,

Nerede M– kargo kütlesi, k– yay sertliği katsayısı,

– matematiksel T = ,

Nerede ben– süspansiyon uzunluğu, G- yerçekimi ivmesi,

– fiziksel T =
,

Nerede BEN- sarkacın askı noktasından geçen eksene göre atalet momenti, M– sarkacın kütlesi, ben– askı noktasından kütle merkezine olan mesafe.

Fiziksel bir sarkacın azaltılmış uzunluğu şu durumdan bulunur: ben np = ,

Tanımlar fiziksel bir sarkaçla aynıdır.

Aynı frekansta ve bir yönde iki harmonik salınım toplandığında, aynı frekansta ve genlikte harmonik bir salınım elde edilir:

A = A 1 2 + A 2 2 + 2A 1 A 2 çünkü(φ 2 – φ 1)

ve başlangıç ​​aşaması: φ = arktan
.

Nerede A 1 , A 2 – genlikler, φ 1, φ 2 – katlanmış salınımların başlangıç ​​aşamaları.

Aynı frekansta karşılıklı dik salınımlar eklenirken ortaya çıkan hareketin yörüngesi:

+ – cos (φ 2 – φ 1) = sin 2 (φ 2 – φ 1).

Sönümlü salınımlar yasaya göre meydana gelir:

X = A 0 e - β Tçünkü(ω T + φ 0),

burada β sönümleme katsayısıdır, geri kalan parametrelerin anlamı harmonik salınımlarla aynıdır, A 0 – başlangıç ​​genliği. Zamanın bir anında T titreşim genliği:

A = A 0 e - β T .

Logaritmik sönüm azalmasına şu ad verilir:

λ = günlük
= β T,

Nerede T– salınım periyodu: T = .

Salınımlı bir sistemin kalite faktörüne denir:

Düzlemsel ilerleyen bir dalganın denklemi şu şekildedir:

sen = sen 0 çünkü ω( T ± ),

Nerede en– salınım miktarının denge konumundan yer değiştirmesi, en 0 – genlik, ω – açısal frekans, T- zaman, X– dalganın yayıldığı koordinat, υ – dalga yayılma hızı.

“+” işareti eksene karşı yayılan bir dalgaya karşılık gelir X, “-” işareti eksen boyunca yayılan bir dalgaya karşılık gelir X.

Dalga boyuna uzaysal periyot denir:

λ = υ T,

Nerede υ – dalga yayılma hızı, T– salınımların yayılma periyodu.

Dalga denklemi şu şekilde yazılabilir:

sen = sen 0 çünkü 2π (+).

Duran bir dalga aşağıdaki denklemle tanımlanır:

sen = (2sen 0çünkü ) çünkü ω T.

Duran dalganın genliği parantez içine alınmıştır. Maksimum genliğe sahip noktalara antinodlar denir.

X n = N ,

sıfır genlikli noktalar - düğümler,

X y = ( N + ) .

Problem çözme örnekleri

Sorun 20

Harmonik titreşimlerin genliği 50 mm, periyodu 4 s ve başlangıç ​​aşaması . a) Bu salınımın denklemini yazın; b) salınım noktasının denge konumundan yer değiştirmesini bulun T=0 ve T= 1,5 sn; c) Bu hareketin grafiğini çiziniz.

Çözüm

Salınım denklemi şu şekilde yazılır: X = Açünkü( T+  0).

Koşula göre salınım periyodu bilinmektedir. Bunun aracılığıyla dairesel frekansı  = ifade edebiliriz. . Kalan parametreler bilinmektedir:

A) X= 0,05cos( T + ).

b) Ofset X en T= 0.

X 1 = 0,05 çünkü = 0,05 = 0,0355 m.

Şu tarihte: T= 1,5 sn

X 2 = 0,05 çünkü( 1,5 + )= 0,05 çünkü  = – 0,05 m.

V ) bir fonksiyonun grafiği X=0,05cos ( T + ) aşağıdaki gibi:

Birkaç noktanın konumunu belirleyelim. Bilinen X 1 (0) ve X 2 (1.5) ve salınım periyodu. Yani  aracılığıyla T= 4 sn değeri X tekrarlanır ve 'den sonra T = 2 s işaret değiştirir. Ortadaki maksimum ve minimum arasında 0 bulunur.

Sorun 21

Nokta harmonik bir salınım geçirir. Salınım periyodu 2 sn, genlik 50 mm, başlangıç ​​fazı sıfırdır. Denge konumundan yer değiştirmesinin 25 mm olduğu andaki noktanın hızını bulun.

Çözüm

1 yol. Nokta salınımının denklemini yazıyoruz:

X= 0,05 çünkü T, çünkü  = =.

Anlık hızı bulma T:

υ = = – 0,05 çünkü T.

Yer değiştirmenin 0,025 m olduğu anı buluyoruz:

0,025 = 0,05 çünkü T 1 ,

dolayısıyla  T 1 = ,  T 1 = . Bu değeri hız ifadesine koyarız:

υ = – 0,05  günah = – 0,05  = 0,136 m/sn.

Yöntem 2. Salınım hareketinin toplam enerjisi:

e =
,

Nerede A– genlik,  – dairesel frekans, M – parçacık kütlesi.

Zamanın her anında noktanın potansiyel ve kinetik enerjisinden oluşur.

e k = , e n = , Ancak k = M 2, bunun anlamı e n =
.

Enerjinin korunumu yasasını yazalım:

= +
,

buradan şunu anlıyoruz: A 2  2 = υ 2 +  2 X 2 ,

υ = 
= 
= 0,136 m/sn.

Sorun 22

Maddi bir noktanın harmonik salınımlarının genliği A= 2 cm, toplam enerji e= 3∙10 -7 J. Denge konumundan hangi yer değiştirmede kuvvet salınım noktasına etki eder? F = 2,25∙10 -5 N?

Çözüm

Harmonik salınım yapan bir noktanın toplam enerjisi şuna eşittir: e =
. (13)

Elastik kuvvet modülü, noktaların denge konumundan yer değiştirmesi yoluyla ifade edilir. X Aşağıdaki şekilde:

F = kx (14)

Formül (13) kütleyi içerir M ve dairesel frekans  ve (14)'te – sertlik katsayısı k. Ancak dairesel frekans şu şekilde ilişkilidir: M Ve k:

 2 = ,

buradan k = M 2 ve F = M 2 X. İfade ettikten sonra M 2 (13) bağıntısından şunu elde ederiz: M 2 = , F = X.

Yer değiştirme ifadesini buradan alıyoruz X: X = .

Sayısal değerlerin değiştirilmesi şunu verir:

X =
= 1,5∙10 -2 m = 1,5 cm.

Sorun 23

Nokta, aynı periyotlara ve başlangıç ​​aşamalarına sahip iki salınıma katılır. Salınım genlikleri A 1 = 3 cm ve A 2 = 4 cm Aşağıdaki durumlarda ortaya çıkan titreşimin genliğini bulun: 1) titreşimler bir yönde meydana gelir; 2) salınımlar karşılıklı olarak diktir.

Çözüm

Salınımlar bir yönde meydana gelirse, ortaya çıkan salınımın genliği şu şekilde belirlenir:

Nerede A 1 ve A 2 – eklenen salınımların genlikleri,  1 ve  2 – başlangıç ​​aşamaları. Koşula göre başlangıç ​​fazlarları aynıdır yani  2 –  1 = 0 ve cos 0 = 1 demektir.

Buradan:

A =
=
= A 1 +A 2 = 7cm.

Salınımlar karşılıklı olarak dik ise, ortaya çıkan hareketin denklemi şöyle olacaktır:

cos( 2 –  1) = sin 2 ( 2 –  1).

 2 –  1 = 0, cos 0 = 1, sin 0 = 0 koşuluna göre denklem şu şekilde yazılacaktır:
=0,

veya
=0,

veya
.

Sonuçta ortaya çıkan ilişki X Ve en bir grafik üzerinde gösterilebilir. Grafik, sonucun düz bir çizgi üzerindeki bir noktanın salınımı olacağını gösteriyor MN. Bu salınımın genliği şu şekilde belirlenir: A =
= 5cm.

Sorun 24

Sönümlü salınımların periyodu T=4 s, logaritmik sönüm azalması  = 1,6, başlangıç ​​fazı sıfırdır. Nokta yer değiştirmesi T = 4,5 cm'ye eşittir 1) Bu titreşimin denklemini yazın; 2) Bu hareketin iki dönemlik grafiğini çizin.

Çözüm

Başlangıç ​​fazı sıfır olan sönümlü salınımların denklemi şu şekildedir:

X = A 0 e -  T cos2 .

Sayısal değerlerin yerini alacak yeterli başlangıç ​​genlik değeri yok A 0 ve zayıflama katsayısı .

Zayıflama katsayısı, logaritmik zayıflama azalması ilişkisinden belirlenebilir:

 = T.

Böylece  = = = 0,4 sn-1.

İlk genlik, ikinci koşulun değiştirilmesiyle belirlenebilir:

4,5 cm = A 0
çünkü 2 = bir 0
çünkü = A 0
.

Buradan şunları buluyoruz:

A 0 = 4,5∙

(cm) = 7,75 cm.

Son hareket denklemi:

X = 0,0775
maliyet.

Sorun 25

Matematiksel bir sarkacın logaritmik sönüm azalması nedir? T = 1 dakikalık salınım genliği yarı yarıya mı azaldı? Sarkaç uzunluğu ben = 1 m.

Çözüm

Logaritmik sönüm azalması şu ilişkiden bulunabilir: =  T,

burada  zayıflama katsayısıdır, T– salınım periyodu. Matematiksel bir sarkacın doğal dairesel frekansı:

 0 =
= 3,13 sn-1 .

Salınım sönümleme katsayısı şu durumdan belirlenebilir: A 0 = A 0 e -  T ,

T= ln2 = 0,693,

 =
= 0,0116c-1 .

'den beri<<  0 , то в формуле  =
 0 ile karşılaştırıldığında ihmal edilebilir ve salınım süresi aşağıdaki formülle belirlenebilir: T = = 2c.

 yerine koyarız ve T logaritmik sönüm azalması ifadesini kullanırsak şunu elde ederiz:

 = T= 0,0116 sn -1 ∙ 2 sn = 0,0232.

Sorun 26

Sönümsüz salınımların denklemi şu şekilde verilmiştir: X= 4 sin600  T santimetre.

Belirli bir mesafede bulunan bir noktanın denge konumundan yer değiştirmesini bulun ben= Titreşim kaynağından 75 cm uzakta T= Salınım başladıktan 0,01 saniye sonra. Salınım yayılma hızı υ = 300 m/sn.

Çözüm

Belirli bir kaynaktan yayılan dalganın denklemini yazalım: X= 0,04 sin 600 ( T– ).

Belirli bir yerde, belirli bir zamanda dalganın fazını buluruz:

T– = 0,01 –= 0,0075 ,

600 ∙ 0,0075 = 4,5,

günah 4,5 = günah = 1.

Bu nedenle nokta yer değiştirmesi X= 0,04 m, yani. mesafeli ben =Kaynaktan o anda 75 cm uzakta T= 0,01 s maksimum nokta yer değiştirmesi.

Kaynakça

Volkenstein V.S.. Genel fizik dersi için problemlerin toplanması. – St. Petersburg: SpetsLit, 2001.

Savelyev I.V.. Genel fizikte soru ve problemlerin toplanması. – M.: Nauka, 1998.

VE iki ücretsiz ders alın SkyEng İngilizce dil okulunda!
Orada kendim çalışıyorum - çok güzel. İlerleme var.

Uygulamada kelimeleri öğrenebilir, dinleme ve telaffuz eğitimi verebilirsiniz.

Bir şans ver. Bağlantımı kullanarak ücretsiz iki ders!
Tıklamak

Salınım hareketleri (veya salınımlar) Fizikte ve teknolojide bir dereceye kadar tekrarlanabilirliğe sahip olan bu tür hareketlere (veya durum değişikliklerine) denir.

Sinüs veya kosinüs kanunlarına göre oluşan salınımlara harmonik denir.

Harmonik titreşim denklemi:

nerede t-zamanı; zamanla değişen x değeri (koordinat, yük, akım, emf, vb.); A - salınımların genliği - salınım değerinin ortalama (sıfır) değerden maksimum sapması; - salınım aşaması; - başlangıç ​​aşaması; w - döngüsel frekans (birim zaman başına faz değişimi). Dönem boyunca faz olarak değişir.

Harmonik titreşimlerin diferansiyel denklemi

Formun denklemi:

Harmonik titreşimlerin diferansiyel denklemi.

Periyodik salınım türleri, harmonik seriler olarak adlandırılan harmonik salınımların toplamı olarak herhangi bir doğruluk derecesiyle temsil edilebilir.

Bir cismin (nasıl olursa olsun) dengeden çıkarılıp kendi haline bırakılması durumunda yapacağı salınımlara serbest (doğal) salınımlar denir. Eğer doğal titreşimler yalnızca yarı elastik bir kuvvetin varlığından kaynaklanıyorsa, o zaman harmonik olacaklardır.

Yarı-elastik kuvvet ile sürtünme kuvvetinin (anlık hız ile orantılı olan) eşzamanlı etkisinden kaynaklanan vücut salınımlarına sönümlü salınımlar denir.

Denklem (3) sönümlü salınımların diferansiyel denklemi olarak adlandırılır. İşte zayıflama katsayısı.

Salınımların diferansiyel denkleminin çözümü

Sönümlü salınımların (3) diferansiyel denkleminin çözümü şu şekilde bir ilişkidir:

Denklem (4) sönümlü salınımların denklemi olarak adlandırılır. Denklem (4), sönümlü salınımların genliğinin zamana bağlı olduğunu göstermektedir. A sabitleri başlangıç ​​koşulları tarafından belirlenir. Salınımların genliği azalır ve genellikle Şekil 2'de gösterildiği gibi görünürler. 1

pirinç. 1.

Sönümlü salınımların periyodu formül (5) kullanılarak hesaplanır:

Sönüm katsayısının fiziksel anlamı, sönüm katsayısının gevşeme süresinin tersi olmasıdır. Gevşeme süresi ise genliğin e kat azaldığı süredir. Ancak zayıflama katsayısı zayıflamayı tam olarak karakterize etmez. Tipik olarak salınımların sönümlenmesi, sönümlemenin azalmasıyla karakterize edilir. İkincisi, salınım periyoduna eşit bir süre boyunca salınım genliğinin kaç kez azaldığını gösterir. Yani sönüm azalması şu şekilde belirlenir:

Sönümleme azalmasının logaritmasına logaritmik azalma denir ve açıkça şuna eşittir:

Salınım sistemi harici bir periyodik kuvvete maruz kalırsa, o zaman doğası gereği sönümsüz olan zorlanmış salınımlar ortaya çıkar.

Zorlanmış salınımlar kendi kendine salınımlardan ayırt edilmelidir. Sistemde kendi kendine salınım olması durumunda, özel bir mekanizmanın, kendi salınımlarıyla zamanla sisteme küçük enerji bölümleri “beslediği” varsayılmaktadır.

Problem çözme örnekleri

ÖRNEK 1

§ 6. MEKANİK TİTREŞİMLERTemel formüller

Harmonik Denklem

Nerede X - salınım noktasının denge konumundan yer değiştirmesi; T- zaman; A,ω, φ - sırasıyla genlik, açısal frekans, salınımların başlangıç ​​fazı; - şu anda salınımların aşaması T.

Açısal frekans

burada ν ve T salınımların frekansı ve periyodudur.

Harmonik salınım yapan bir noktanın hızı

Harmonik salınım sırasında hızlanma

Genlik A bir düz çizgi boyunca meydana gelen aynı frekanslara sahip iki salınımın eklenmesiyle elde edilen salınım, formülle belirlenir.

Nerede A 1 Ve A 2 - titreşim bileşenlerinin genlikleri; φ 1 ve φ 2 bunların başlangıç ​​aşamalarıdır.

Ortaya çıkan salınımın başlangıç ​​fazı φ formülden bulunabilir.

Farklı fakat benzer frekanslara sahip ν 1 ve ν 2 ile bir düz çizgi boyunca meydana gelen iki salınımı toplarken ortaya çıkan vuruşların frekansı,

A 1 ve A 2 genlikleri ve φ 1 ve φ 2 başlangıç ​​​​fazları ile karşılıklı olarak dik iki salınımlara katılan bir noktanın yörüngesinin denklemi,

Salınım bileşenlerinin başlangıç ​​fazları φ 1 ve φ 2 aynıysa, yörünge denklemi şu şekli alır:

yani nokta düz bir çizgide hareket eder.

Faz farkının olması durumunda denklem şu şekli alır:

yani nokta bir elips boyunca hareket eder.

Maddi bir noktanın harmonik salınımlarının diferansiyel denklemi

Veya m noktanın kütlesidir; k- yarı elastik kuvvet katsayısı ( k=Tω 2).

Harmonik salınımlar gerçekleştiren maddi bir noktanın toplam enerjisi

Bir yay üzerinde asılı duran bir cismin salınım periyodu (yay sarkaç)

Nerede M- vücut kütlesi; k- yay sertliği. Formül, Hooke yasasının karşılandığı sınırlar dahilindeki elastik titreşimler için geçerlidir (cismin kütlesine kıyasla yayın küçük bir kütlesi ile).

Matematiksel bir sarkacın salınım periyodu

Nerede ben- sarkacın uzunluğu; G- yerçekimi ivmesi. Fiziksel bir sarkacın salınım periyodu

Nerede J- salınan cismin eksene göre atalet momenti

tereddüt; A- sarkacın kütle merkezinin salınım ekseninden uzaklığı;

Fiziksel sarkacın kısaltılmış uzunluğu.

Verilen formüller sonsuz küçük genlikler durumunda doğrudur. Sonlu genlikler için bu formüller yalnızca yaklaşık sonuçlar verir. Daha büyük olmayan genliklerde, periyot değerindeki hata %1'i aşmaz.

Elastik bir ip üzerinde asılı duran bir cismin burulma titreşimlerinin periyodu

Nerede J- elastik ipliğe denk gelen eksene göre gövdenin atalet momenti; k- elastik bir ipliğin sertliği, iplik büküldüğünde ortaya çıkan elastik momentin, ipliğin büküldüğü açıya oranına eşittir.

Sönümlü salınımların diferansiyel denklemi veya,

Nerede R- direnç katsayısı; δ - zayıflama katsayısı: ; ω 0 - salınımların doğal açısal frekansı *

Sönümlü Salınım Denklemi

Nerede A(t)- şu anda sönümlü salınımların genliği T;ω onların açısal frekansıdır.

Sönümlü salınımların açısal frekansı

О Sönümlü salınımların genliğinin zamana bağlılığı

Nerede A 0 - şu andaki salınımların genliği T=0.

Logaritmik salınım azalması

Nerede A(t) Ve A(t+T)- zaman içinde bir periyotla ayrılmış iki ardışık salınımın genliği.

Zorlanmış salınımların diferansiyel denklemi

salınan bir malzeme noktasına etki eden ve zorlanmış salınımlara neden olan harici bir periyodik kuvvet nerede; F 0 - genlik değeri;

Zorunlu salınımların genliği

Rezonans frekansı ve rezonans genliği ve

Problem çözme örnekleri

Örnek 1. Nokta yasaya göre salınıyor x(t)= , Nerede A=2 bkz. Başlangıç ​​fazını φ belirleyin:

X(0)=cm ve X , (0)<0. Построить векторную диаграмму для мо-­ мента T=0.

Çözüm. Hareket denklemini kullanalım ve o andaki yer değiştirmeyi ifade edelim. T=0 başlangıç ​​aşamasına kadar:

Buradan başlangıç ​​aşamasını buluyoruz:

* Harmonik titreşimler için daha önce verilen formüllerde, aynı miktar basitçe ω (0 endeksi olmadan) olarak gösterildi.

Verilen değerleri bu ifadede yerine koyalım X(0) ve A:φ= = . Argümanın değeri iki açı değeriyle karşılanır:

φ açısının bu değerlerinden hangisinin de koşulu karşıladığına karar vermek için önce şunu buluruz:

Değeri bu ifadeye koymak T=0 ve dönüşümlü olarak başlangıç ​​aşamalarının değerlerini ve buluruz

T her zaman ki gibi A>0 ve ω>0 ise, bu durumda başlangıç ​​fazının yalnızca ilk değeri koşulu karşılar. Böylece istenilen başlangıç ​​aşaması

Bulunan φ değerini kullanarak bir vektör diyagramı oluşturuyoruz (Şekil 6.1). Örnek 2. Kütleli malzeme noktası T=5 g frekansla harmonik salınımlar gerçekleştirir ν =0,5 Hz. Salınım genliği A=3 cm Şunu belirleyin: 1) hız υ. yer değiştirmenin gerçekleştiği andaki noktalar x== 1,5 cm; 2) noktaya etkiyen maksimum kuvvet Fmax; 3) Şek. 6.1 toplam enerji e salınım noktası.

ve yer değiştirmenin birinci zamana göre türevini alarak hız formülünü elde ederiz:

Hızı yer değiştirme yoluyla ifade etmek için, zamanı formül (1) ve (2)'den hariç tutmak gerekir. Bunu yapmak için her iki denklemin karesini alırız ve ilkini şuna böleriz: A 2 , ikincisini A 2 ω 2 üzerine ekleyin ve şunu ekleyin:

υ için son denklemi çözdükten sonra , bulacağız

Bu formülü kullanarak hesaplamalar yaptıktan sonra şunu elde ederiz:

Artı işareti, hızın yönünün eksenin pozitif yönüyle çakıştığı duruma karşılık gelir X, eksi işareti - hızın yönü eksenin negatif yönüyle çakıştığında X.

Harmonik salınım sırasındaki yer değiştirme, denklem (1)'e ek olarak denklemle de belirlenebilir.

Aynı çözümü bu denklemle tekrarladığımızda aynı cevabı elde ederiz.

2. Bir noktaya etki eden kuvveti Newton'un ikinci yasasını kullanarak buluyoruz:

Nerede A - Hızın zamana göre türevini alarak elde ettiğimiz noktanın ivmesi:

İvme ifadesini formül (3)'te değiştirerek şunu elde ederiz:

Dolayısıyla maksimum kuvvet değeri

π, ν değerlerini bu denklemde yerine koyarsak, T Ve A, bulacağız

3. Salınım yapan bir noktanın toplam enerjisi, zamanın herhangi bir anı için hesaplanan kinetik ve potansiyel enerjilerin toplamıdır.

Toplam enerjiyi hesaplamanın en kolay yolu kinetik enerjinin maksimum değere ulaştığı andır. Bu anda potansiyel enerji sıfırdır. Bu nedenle toplam enerji e salınım noktası maksimum kinetik enerjiye eşittir

Maksimum hızı formül (2), ayardan belirleriz: . Hız ifadesini formül (4)'te yerine koyarsak, şunu buluruz:

Büyüklüklerin değerlerini bu formülde yerine koyup hesaplamalar yaparak şunu elde ederiz:

veya µJ.

Örnek 3.İnce bir çubuk uzunluğunun uçlarında ben= 1 m ve kütle M 3 =400 g kütleli takviyeli küçük toplar M 1 =200 gr Ve M 2 =300 gr. Çubuk yatay bir eksen etrafında dik olarak salınır.

çubuğa dik ve ortasından geçen (Şekil 6.2'deki O noktası). Dönemi tanımla Tçubuğun yaptığı salınımlar.

Çözüm. Bilyalı bir çubuk gibi fiziksel bir sarkacın salınım periyodu aşağıdaki ilişkiyle belirlenir:

Nerede J- T - kütlesi; ben İLE - sarkacın kütle merkezinden eksene olan mesafe.

Bu sarkacın eylemsizlik momenti topların eylemsizlik momentlerinin toplamına eşittir. J 1 ve J 2 ve çubuk J 3:

Topları maddi noktalar olarak alarak eylemsizlik momentlerini şöyle ifade ederiz:

Eksen çubuğun ortasından geçtiği için bu eksene göre eylemsizlik momenti J 3 = = . Ortaya çıkan ifadelerin değiştirilmesi J 1 , J 2 Ve J Formül (2)'de Şekil 3'ü kullanarak fiziksel sarkacın toplam eylemsizlik momentini buluruz:

Bu formülü kullanarak hesaplamalar yaptıktan sonra şunu buluruz:

Pirinç. 6.2 Sarkacın kütlesi topların kütlelerinden ve çubuğun kütlesinden oluşur:

Mesafe ben İLE Sarkacın kütle merkezini, aşağıdaki hususlara dayanarak salınım ekseninden bulacağız. Eksen ise Xçubuk boyunca yönlendirin ve koordinatların kökenini noktayla hizalayın HAKKINDA, daha sonra gerekli mesafe ben sarkacın kütle merkezinin koordinatına eşit, yani.

Miktarların değerlerini değiştirme M 1 , M 2 , M, ben ve hesaplamaları yaptıktan sonra şunu buluruz:

Formül (1)'i kullanarak hesaplamalar yaptıktan sonra, fiziksel bir sarkacın salınım periyodunu elde ederiz:

Örnek 4. Fiziksel bir sarkaç uzun bir çubuktur ben= 1 m ve kütle 3 T 1 İle uçlarından birine çapı ve kütlesi olan bir halka ile tutturulmuştur T 1 . Yatay eksen Oz

sarkaç çubuğun ortasından kendisine dik olarak geçer (Şekil 6.3). Dönemi tanımla T böyle bir sarkacın salınımları.

Çözüm. Fiziksel bir sarkacın salınım periyodu formülle belirlenir

Nerede J- sarkacın salınım eksenine göre atalet momenti; T - kütlesi; ben C - sarkacın kütle merkezinden salınım eksenine olan mesafe.

Sarkacın eylemsizlik momenti çubuğun eylemsizlik momentlerinin toplamına eşittir J 1 ve çember J 2:

Çubuğun, çubuğa dik olan ve kütle merkezinden geçen eksene göre atalet momenti formülle belirlenir. Bu durumda t= 3T 1 ve

Kasnağın eylemsizlik momentini Steiner teoremini kullanarak buluyoruz; J- keyfi bir eksene göre eylemsizlik momenti; J 0 - belirli bir eksene paralel kütle merkezinden geçen bir eksene göre eylemsizlik momenti; A - belirtilen eksenler arasındaki mesafe. Bu formülü kasnağa uyguladığımızda şunu elde ederiz:

İfadeleri değiştirme J 1 ve J Formül (2)'de Şekil 2'de sarkacın dönme eksenine göre atalet momentini buluruz:

Mesafe ben İLE sarkacın ekseninden kütle merkezine kadar olan mesafe eşittir

İfadelerin formül (1)'de değiştirilmesi J, ben sarkacın kütlesi ve salınımlarının periyodunu buluruz:

Bu formülü kullanarak hesapladıktan sonra şunu elde ederiz: T=2,17 sn.

Örnek 5. Denklemlerle ifade edilen aynı yöndeki iki salınım toplanır; X 2 = = nerede A 1 = 1 santimetre, A 2 =2 cm, s, s, ω = =. 1. Salınım bileşenlerinin başlangıç ​​fazlarını φ 1 ve φ 2'yi belirleyin

Baniya. 2. Genliği bulun A ve ortaya çıkan salınımın başlangıç ​​fazı φ. Ortaya çıkan titreşimin denklemini yazın.

Çözüm. 1. Harmonik titreşim denklemi şu şekildedir:

Problem cümlesinde belirtilen denklemleri aynı forma dönüştürelim:

İfadeleri (2) eşitlikle (1) karşılaştırarak birinci ve ikinci salınımların başlangıç ​​aşamalarını buluruz:

Sevindim ve sevindim.

2. Genliği belirlemek için A Ortaya çıkan salınımın etkisi için, aşağıda sunulan vektör diyagramını kullanmak uygundur. pirinç. 6.4. Kosinüs teoremine göre şunu elde ederiz:

salınımların bileşenleri arasındaki faz farkı nerede. O zamandan beri, bulunan φ 2 ve φ 1 değerlerini değiştirerek rad elde ederiz.

Değerleri yerine koyalım A 1 , A 2 ve formül (3)'e girin ve hesaplamaları yapın:

A= 2,65 cm.

Ortaya çıkan salınımın başlangıç ​​fazının φ tanjantını doğrudan Şekil 2'den belirleyelim. 6.4: başlangıç ​​aşamasının nereden geldiği

Değerleri yerine koyalım A 1 , A 2 , φ 1, φ 2 ve hesaplamaları yapın:

Eklenen salınımların açısal frekansları aynı olduğundan, ortaya çıkan salınım aynı frekansa (ω) sahip olacaktır. Bu, ortaya çıkan salınımın denklemini şu şekilde yazmamızı sağlar: burada A=2,65 cm, , rad.

Örnek 6. Maddi bir nokta, denklemleri birbirine dik iki harmonik salınıma aynı anda katılır.

Nerede A 1 = 1cm, A 2 =2cm, . Noktanın yörüngesinin denklemini bulun. Ölçeğe uygun bir yörünge oluşturun ve noktanın hareket yönünü belirtin.

Çözüm. Bir noktanın yörüngesinin denklemini bulmak için zamanı ortadan kaldırırız. T verilen denklemlerden (1) ve (2). Bunu yapmak için şunu kullanın:

Formülü kullanalım. Dolayısıyla bu durumda

Formül (1)'e göre , daha sonra yörünge denklemi

Ortaya çıkan ifade, ekseni eksenle çakışan bir parabolün denklemidir Ah. Denklemler (1) ve (2)'den, bir noktanın koordinat eksenleri boyunca yer değiştirmesinin sınırlı olduğu ve eksen boyunca -1 ile +1 cm arasında değiştiği sonucu çıkar. Ah ve eksen boyunca -2 ila +2 cm arasında OU.

Yörüngeyi oluşturmak için değerleri bulmak amacıyla denklem (3)'ü kullanırız. sen, bir dizi değere karşılık gelir X, cm koşulunu karşılayın ve bir tablo oluşturun:

Koordinat eksenlerini çizip ölçeği seçtikten sonra düzlem üzerinde çiziyoruz xOy noktaları buldu. Bunları düzgün bir eğri ile bağlayarak, hareket denklemlerine (1) ve (2) göre salınan bir noktanın yörüngesini elde ederiz (Şekil 6.5).

Bir noktanın hareket yönünü belirtmek için konumunun zaman içinde nasıl değiştiğini izleyeceğiz. İlk anda T=0 nokta koordinatları eşittir X(0)=1cm ve sen(0)=2 cm Zamanın sonraki bir noktasında, örneğin ne zaman? T 1 =l s olursa noktaların koordinatları değişip eşitlenir X(1)= -1cm, y( T )=0. Zamanın ilk ve sonraki (yakın) anlarındaki noktaların konumlarını bilerek, noktanın yörünge boyunca hareket yönünü belirtebilirsiniz. İncirde. 6.5 bu hareket yönü bir okla gösterilir (noktadan itibaren) A kökenine). Şu andan sonra T 2 = 2 s salınım noktası noktaya ulaşacaktır D, ters yönde hareket edecektir.

Görevler

Harmonik salınımların kinematiği

6.1. Nokta salınımlarının denklemi şu şekildedir: ω=π s -1, τ=0,2 s. Dönemi tanımla T ve salınımların başlangıç ​​aşaması φ.

6.2. Dönemi tanımla T, frekans v ve salınımların başlangıç ​​fazı φ, denklemle verilmiştir, burada ω=2,5π s -1, τ=0,4 s.

6.3. Nokta yasaya göre salınır, burada A x(0)=2 kitle iletişim araçları; 2) x(0) = cm ve ; 3) x(0)=2cm ve ; 4) x(0)= ve . Şimdilik bir vektör diyagramı oluşturun T=0.

6.4. Nokta yasaya göre salınır, burada A=4 cm Aşağıdaki durumlarda başlangıç ​​fazını φ belirleyin: 1) x(0)= 2 kitle iletişim araçları; 2) X(0)=cm ve ; 3) X(0)=cm ve ; 4) X(0)=cm ve . Şimdilik bir vektör diyagramı oluşturun T=0.