Bayes dağılımı. Tam Olasılık Formülü, Bayes Formülü

Kısa teori

Bir olay yalnızca eksiksiz bir eksiklik grubu oluşturma olaylarından birinin görünmesi durumunda meydana gelirse, olayların her birinin cüzdanın uygun şartlı olasılığına kadar olasılığı miktarına eşittir.

Aynı zamanda, olaylara hipotez ve olasılıklar denir - bir priori. Bu formül tam bir olasılık formülü denir.

Bayes Formülü, tam bir olay grubu oluşturan olaylardan herhangi biri ile birlikte görünen bir olay ortaya çıktığında pratik görevleri çözmede kullanılır ve hipotez olasılıklarının nicel bir şekilde yeniden değerlenmesi gereklidir. Bir priori (deneyimden önce) bilinen bilinmektedir. Olasılık, yani posteriori (deneyimden sonra) hesaplamak gerekir. Temel olarak koşullu olasılıklar bulmanız gerekir. Bayes formülü şöyle görünüyor:

Bir sonraki sayfa görevini giderir.

Sorunu çözme örneği

Görev durumu 1.

Fabrikada, makineler 1,2 ve 3, tüm parçaların% 20,% 35'i% 45 üretir. Ürünlerinde, evlilik sırasıyla% 6,% 4,% 2'dir. Rastgele seçilen ürünün kusurlu olduğu ortaya çıkma olasılığı nedir? Üretilmesi olasılığı nedir: a) Makine 1; b) makine 2; c) makine 3?

Sorunun çözümü 1.

Etkinlik tarafından belirtir, bu da standart ürünün kusurlu olduğu ortaya çıkmıştır.

Bir olay yalnızca üç olaydan biri olursa oluşabilir:

Ürün makinede yapılır 1;

Ürün makine 2'de yapılır;

Ürün makine 3'te yapılır;

Koşullu olasılıklar yazıyoruz:

Formula tam olasılık

Bir olay yalnızca anlaşılmaz olayların komisyonunu oluşturan olaylardan birini gerçekleştirirken, bir olayın olasılığı formülle hesaplanırsa

Tam olasılık formülüne göre, bir etkinliğin olasılığını buluruz:

Formula Bayes.

Bayes formülü, "sebep ve sonucu yeniden düzenlemenizi sağlar": Bilinen gerçeğe göre, olay bu sebepten kaynaklanan olasılığını hesaplar.

Arızalı ürünün makinede yapılması olasılığı 1:

Arızalı ürünün makinede yapılması olasılığı 2:

Arızalı ürünün makinede yapılması olasılığı 3:

Görev Durumu 2.

Grup, 1 mükemmel öğrenci, 5 öğrenci ve zamanın olması için 14 öğrenciden oluşur. Mükemmel öğrenci, eşit olasılıkla 5 ve 4'e cevap verir, iyi biri eşit olasılıkla 5, 4 ve 3'e cevap verir ve bir vasat art arda bir öğrenci eşit olasılıkla 4.3 ve 2'ye cevap verir. Rastgele seçilen öğrenci cevap verdi 4. Vasat öğrencinin çağrıldığı olasılığı nedir?

Görev Çözümü 2.

Hipotez ve şartlı olasılıklar

Aşağıdaki hipotezler mümkündür:

Mükemmel bir öğrenciyi cevapladı;

İyi bir cevap verdi;

- vasat bir öğrenci yaptı;

Olayın 4'ü almasına izin verin.

Cevap:

Fiyat, çözeltinin aciliyetini güçlü bir şekilde etkiler (günden birkaç saate kadar). Sınav / STANDING'TA SINAVI YARDIMCISI Randevu ile gerçekleştirilir.

Uygulama, daha önce görevlerin durumunu atarak ve ihtiyacınız olan kararı bildiren sohbette bırakılabilir. Cevap zamanı - birkaç dakika.

Muhtemelen bilinmelerine ve karşılık gelen koşullu olasılıklara izin verin. O zaman olayların olasılığı eşittir:

Bu formül seçildi formüller tam olasılık. Ders kitaplarında, ispat olan teorem tarafından formüle edilmiştir: olayların cebiri, (Etkinlik meydana geldi ve veya Etkinlik oldu ve Hiç olmasından sonra veyaetkinlik oldu ve Hiç olmasından sonra veya …. veya Etkinlik oldu ve bir olay geldikten sonra). Hipotezden beri tutarsız ve bir olay - bağlı olarak eksik olayların olasılığının eklenmesinin teoremi (ilk adım) ve olasılık bağımlı olayların niyeti teoremi (ikinci adım):

Muhtemelen çoğu, ilk örneğin içeriğini öngörüyor \u003d)

Nerede tükürürsem - her yerde URN:

Görev 1.

Üç özdeş urn var. İlk URN'de, ikinci - sadece beyaz ve üçüncü siyah toplarda 4 beyaz ve 7 siyah top var. Maudoku bir urn seçildi ve bir top rastgele ondan çıkarılır. Bu topun siyah olması olasılığı nedir?

Karar: Bir olayı düşünün - siyah bir top, seçilen URN'nin atmosferinden çıkarılır. Bu olay, aşağıdaki hipotezlerden birinin uygulanmasının bir sonucu olarak oluşabilir veya gerçekleşmez:
- 1. Urn seçilecek;
- 2. Urn seçilecek;
- 3. Urn seçilecektir.

URN, rastgele seçildiğinden, üçünün herhangi birinin seçimi mümkün, dolayısıyla:

Lütfen listelenen hipotez formunun olduğunu unutmayın. tam olaylar grubu, yani şart olarak, siyah bir top sadece bu URN'lerden görünebilir ve örneğin, bilardo masasından uçmayın. Basit bir ara kontrol çizeceğiz:
, Tamam, daha ileri git:

İlk Urn 4 Beyaz + 7 Black \u003d 11 Topları, klasik tanımı:
- Siyah topun çıkarılması olasılığı verilen1. URN'nin seçileceği.

İkinci URN'de, sadece beyaz toplar, bu yüzden seçimi durumunda Siyah topun görünümü olur İmkansız: .

Ve nihayet, üçüncü URN'de bir siyah toplarda ve bu nedenle karşılık gelen Şartlı olasılık Siyah top ekstresi olacak (Etkinlik güvenilirdir).

- Bir siyah topun, seçilen URN'nin rastgelesinden çıkarılmayacağının olasılığı.

Cevap:

Demonte Örneği yine duruma ne kadar önemli olduğunu öne sürüyor. URN'ler ve toplarla aynı görevleri alın - dış benzerlik olduklarında, çözümler tamamen farklı olabilir: Sadece başvuru yapmanız gereken bir yerde klasik olasılık tanımı, bir yerlerde etkinlik bağımsızbir yerde bağımlıve bir yerde hipotezlerden bahsettiğimiz bir yerde. Aynı zamanda, çözüm çözümünü seçmek için net bir resmi kriter yoktur - hemen hemen her zaman bunun üzerinde düşünmesi gerekiyor. Niteliklerinizi nasıl geliştirirsiniz? Karar veriyoruz, tekrar karar veriyoruz ve çözelim!

Görev 2.

Dash'de 5 farklı tüfek savaşı doğruluğu var. Bu ok için hedefe girme olasılıkları sırasıyla 0.5; 0.55; 0.7; 0.75 ve 0.4. Eğer atıcı rastgele seçilmiş bir tüfek atış yaparsa, hedefi vurma olasılığı nedir?

Dersin sonunda kısa bir çözüm ve cevap.

Çoğu tematik görevde, elbette hipotezi eşit derecede eşit değildir:

Görev 3.

Piramit 5 tüfek, üçü optik bir görüş ile donatılmıştır. Optik bir manzara olan bir tüfeğin vurulduğunda, atıcının hedefe 0,95'e eşit olduğunu; Optik görüşsüz bir tüfek için, bu olasılık 0,7'dir. Atıcı, tüfek çekilen bir satırın bir atışını üretirse, hedefin hayran kalması ihtimali bulun.

Karar: Bu görevde, tüfek sayısı bir öncekinden olduğu gibi tamamen aynıdır, ancak sadece iki hipotez vardır:
- Nişancı, optik görüşlü bir tüfek seçecektir;
- Atıcı, optik bir manzara olmadan bir tüfek seçecektir.
Tarafından olasılığın klasik tanımı: .
Kontrol:

Etkinliği göz önünde bulundurun: - Atıcı, alınan rastgele tüfeklerden hedefi vuracaktır.
Şartla:.

Tam Olasılık Formülüne göre:

Cevap: 0,85

Uygulamada, aynı zamanda da bildiğiniz görevin kaydedilmesinin kısaltılmış bir yolu:

Karar: Klasik tanımla: - Sırasıyla optik ve optik görüşlü bir tüfek seçme olasılıkları.

Şartla, - Hedefi karşılık gelen tüfeklerden girme olasılıkları.

Tam Olasılık Formülüne göre:
- Atıcının, seçilen tüfeğin rampasından hedefi vuracağı olasılığı.

Cevap: 0,85

Kendi kendine çözümler için bir sonraki görev:

Görev 4.

Motor üç modda çalışır: normal, zorla ve rölanti. Rölanti modunda, başarısızlığının olasılığı 0.05, normal çalışma modunda - 0.1 ve zorunlu - 0.7 ile. Motorun% 70'i normal modda çalışır ve zorunlu olarak% 20'dir. Operasyon sırasında motorun başarısızlığının olasılığı nedir?

Sadece size hatırlatmam durumunda - olasılık faiz oranlarının 100'e bölünmesi gerekir. Çok dikkatli olun! Gözlemlerime göre, tam olasılık formülündeki görevler için koşullar genellikle almaya çalışıyor; Ve özellikle böyle bir örnek aldım. Sana bir sır olarak söyleyeceğim - neredeyse karışmadım \u003d)

Dersin sonunda bir çözüm (kısa bir şekilde dekore edilmiş)

Bayes formülleri için görevler

Malzeme önceki paragrafın içeriği ile yakından ilgilidir. Olay, hipotezlerden birinin uygulanmasından bir sonucu olarak gerçekleşmesine izin verin. . Böyle bir hipotezin bir yeri olduğu ihtimalin nasıl belirleneceği?

Verilenbu olay zaten olduolasılık hipotezi aşırı abartılı İngiliz rahip thomas baylarının adını alan formüllere göre:

- bir hipotez olması olasılığı;
- bir hipotez olması olasılığı;
…
- Bir hipotezin olasılığı olasılığı.

İlk bakışta, tamamen saçma gibi görünüyor - neden bu kadar ünlüse, hipotez olasılığını yeniden hesaplıyor? Ancak aslında bir fark var:

- bu Önsel (Oy önce Testler) olasılığı.

- bu apapery (Oy sonra Testler), "yeni keşfedilen koşullarla" nedeniyle yeniden hesaplanan, olayın gerçeğini dikkate alarak yeniden hesaplanması güvenilir oldu.

Bu ayrımı belirli bir örnekte düşünün:

Görev 5.

Depo 2 toplu ürün aldı: İlk - 4000 adet, ikinci - 6000 adet. İlk partiye göre standart olmayan ürünlerin ortalama yüzdesi% 20'dir ve ikinci -% 10'dur. Raduchi depodan alınan ürünün standart olduğu ortaya çıktı. Aşağıdakilerin olasılığını bulun: a) ilk partisinden, B) ikinci partisinden.

İlk kısım çözümler Tam olasılık formülünü kullanmaktan oluşur. Başka bir deyişle, hesaplamalar testin varsayımı altında tutulur. henüz üretilmedi Etkinlik "Ürün standart olduğu ortaya çıktı" gelinceye kadar.

İki hipotez düşünün:
- Sağ elini kullanan ürün 1. taraftan olacak;
- Ürünü alınan sınır 2. taraftan olacaktır.

Toplam: 4000 + 6000 \u003d Stokta 10.000 ürün. Klasik tanımla:
.

Kontrol:

Bağımlı olayı düşünün: - Depodan alınan ürünü büyütme olacak Standart.

İlk partide% 100 - 20% \u003d standart ürünlerin% 80'i, yani: verilen1 partiye ait olduğunu.

Benzer şekilde, ikinci partiye% 100 - 10% standart ürünlerin% 90'ı ve - Depoda alınan ürünün standart olacağını verilen2. partiye aittir.

Tam Olasılık Formülüne göre:
- Depoda alınan ürünün standart olabileceği olasılığı standart olacaktır.

Bölüm iki. Çamurun depodan alınan ürünün standart olduğu ortaya çıktı. Bu cümle doğrudan durumunda yazıldığından ve olayın gerçeğini belirtir. meydana gelen.

Bayes formüllerine göre:

a) - Seçilen standart ürünün ilk partiye ait olma olasılığı;

b) - Seçilen standart ürünün 2. partiye ait olma olasılığı.

Sonra yeniden değerleme Elbette hipotezler hala oluşuyor tam grup:
(Kontrol ;-))

Cevap:

Ivan Vasilyevich, mesleğini tekrar değiştiren ve bitkinin müdürü olan hipotezlerin yeniden değerlenmesinin anlamını anlamamıza yardımcı olacaktır. Bugünün 1. atölyenin depoya 4000'i sevk ettiğini ve 2. dükkanın 6000 ürün olduğunu ve bunundan emin olacağını biliyor. Aynı türdeki tüm ürünlerin tek bir kapta olduğunu varsayalım. Doğal olarak, Ivan Vasilyevich, şimdi kontrol etmesi gereken ürünün muhtemelen 1. atölye tarafından ve bir olasılıkla - ikincisi olan ürünün serbest bırakıldığını hesapladı. Ancak, seçilen ürün standart olarak ortaya çıktıktan sonra, şunları dışlar: "Ne harika bir cıvata! - Büyük olasılıkla 2. mağazayı yayınladı. " Böylece, ikinci hipotezin olasılığı daha iyi olarak yeniden değerlenir ve ilk hipotezin olasılığı hafife alınmıştır :. Ve bu yeniden değerleme yerinden olmadı - çünkü 2. dükkan sadece daha fazla ürün değil, aynı zamanda 2 kat daha iyi çalışıyor!

Saf öznellik mi diyor musun? Kısmen evet, ayrıca, Bayes kendisi yorumlandı apapery Olasılık güven seviyesi. Ancak, her şey çok basit değil - Bayesian yaklaşımında objektif bir tane var. Sonuçta, ürünün standart olabileceği olasılığı (Sırasıyla 1. ve 2. atölye çalışmaları için 0.8 ve 0.9) bu ön hazırlık (bir priori) ve ortatahminler. Ancak, felsefi olarak ifade eden - her şey akar, her şey değişir ve de dahil olasılıklar. Bu mümkün araştırma sırasında Daha başarılı bir 2. atölye standart ürünlerin yüzdesini kaldırdı (ve / veya 1. atölye azaltıldı)Ve eğer daha fazla veya 10 bin ürünün stokta olup olmadığını kontrol ederseniz, yeniden değerlenmiş değerler gerçeğe çok daha yakın olacaktır.

Bu arada, Ivan Vasilyevich standart dışı bir detay'ı kaldırırsa, aksine - 1. atölyeyi ve daha azını daha az "şüphelenmek" olacaktır. Bundan emin olmayı öneriyorum:

Görev 6.

Depo 2 toplu ürün aldı: İlk - 4000 adet, ikinci - 6000 adet. İlk partiye göre standart olmayan ürünlerin ortalama yüzdesi, ikinci -% 10'unda% 20'dir. Depo ürününden alınan raduch çıktı değilstandart. Aşağıdakilerin olasılığını bulun: a) ilk partisinden, B) ikinci partisinden.

Durum, cesur yazı tipini vurguladığım iki harfle ayırt edilir. Görev, "temiz bir sayfa" ile çözülebilir veya önceki hesaplamaların sonuçlarından yararlanılabilir. Numunede, tam bir çözümüm oldu, ancak 5 numaralı Görev Numarası ile resmi bir bindirme yapmamaya, bir olay "Depodan alınan ürün standart dışı olacak" işaretli.

Güneşli olasılıkların sahtekarlık şeması her yerde gerçekleşir ve aktif olarak çeşitli dolandırıcılık türleri tarafından yararlanır. Olumsuz JSC'yi nüfusun mevduatlarını çeken üç harfe göz önünde bulunduralım, iddia edilen bir yere yatırım yapanlar, uygun şekilde ödenmiş temettüler vb. Ne oluyor? Günden sonraki gün, ay sonra, reklam ve "Sorrolhed Radio" tarafından bildirilen daha fazla ve daha yeni gerçekler alır, ancak finansal piramite olan güven seviyesini arttırır. (Bir posteriori bayesov, meydana gelen olaylarla bağlantılı olarak yeniden değerleme!). Yani, mevduatçıların gözünde, olasılığındaki sürekli bir artış var. "Bu ciddi bir ofis"; Bu durumda, zıt hipotezin olasılığı (Bunlar bir sonraki keskilerdir "), elbette, azalır ve azalır. Ayrıca, düşünüyorum, anlaşılır. Kazanılan itibarın, organizatörlere sadece bir cıvata partisi olmayan, aynı zamanda pantolonsuz olan Ivan Vasilyevich'ten başarılı bir şekilde saklanması için zaman ayırması dikkat çekicidir.

Daha az ilginç örnekler yok, biraz sonra geri döneceğiz, kuyruk, belki de üç hipotez ile en yaygın durum:

Görev 7.

Elektronlar üç fabrikada yapılır. 1. tesis, toplam lambanın% 30'unun% 30'unu,% 2'sinin% 30'unu,% 2 - 55'i ve 3'ün geri kalanıdır. 1. bitkinin ürünleri% 1 arızalı lambalar, 2.% 1.5, 3 - 2%. Mağaza üç bitkinin tüm ürünleri geliyor. Satın alınan lamba evlilikti. 2. bitki tarafından üretilmesi olasılığı nedir?

Koşuldaki Bayes formülleri için görevlerde olduğuna dikkat edin. Önce Bazıları görünür ne oldubu durumda etkinlik - bir lamba satın alıyor.

Etkinlikler eklendi ve karar "Hızlı" tarzda düzenlemek daha uygundur.

Algoritma tamamen aynıdır: İlk adımda, satın alınan lambanın hiç olmadığı olasılığını bulduk. ortaya çıkacak mı arızalı.

Kaynak verileri kullanarak, olasılıkla ilgileniyoruz:
- Lambanın sırasıyla 1., 2. ve 3. bitkiler tarafından üretilmesi olasılığı.
Kontrol:

Benzer şekilde: - İlgili fabrikalar için kusurlu bir lamba üretim olasılıkları.

Tam Olasılık Formülüne göre:

- Satın alınan lambanın bir evlilikle olabileceği olasılığı.

İkinci adım. Satın alınan lambanın arızalı olmasına izin verin (olay gerçekleşti)

Bayes Formula tarafından:
- Satın alınan kusurlu lambanın ikinci bitki tarafından yapıldığı olasılığı

Cevap:

Yeniden değerleme sonrası 2. hipotezin ilk olasılığı neden? Sonuçta, ikinci bitki lambanın kalitesinde orta üretir (ilk - daha iyi, üçüncüsü daha kötü). Öyleyse neden arttı apotteri Arızalı lambanın 2. bitkiden olması olasılığı var mı? Bu "itibar" ile açıklanmadı, ancak boyut. 2 numaralı bitki, en büyük miktarda lambayı serbest bıraktığından, sonra (en azından öznel olarak) ve köpük: "Büyük olasılıkla, bu arızalı lamba oradan".

İlk ve 3. hipotezlerin olasılıklarının beklenen yönlerde yeniden değerlendiğini ve aşağıdakilere eşit olduğunu belirtmek ilginçtir.

Kontrol: Kontrol etmek için nelerdi?

Bu arada, sade ve fazla tahmin edilen tahminler hakkında:

Görev 8.

Öğrenci grubunda, 3 kişinin yüksek düzeyde hazırlık seviyesine, 19 kişi - orta ve 3 - düşüktür. Öğrencilerin verileri için başarılı geçiş sınavı olasılıkları sırasıyla eşittir: 0.95; 0.7 ve 0.4. Bazı öğrencilerin sınavı geçtiği bilinmektedir. Bunun olasılığı nedir:

a) Çok iyi hazırlandı;
b) ortalama hazırlandı;
B) iyi hazırlandı.

Hesaplamaları yapın ve hipotezlerin yeniden değerlenmesinin sonuçlarını analiz eder.

Görev gerçekliğe yakındır ve özellikle öğretmenin pratikte bir öğrencinin yeteneklerini bilmeyen bir grup mimar öğrencisi için inanılırdır. Bu durumda, sonuç beklenmedik bir sonuçtan hoşlanmaya neden olabilir. (özellikle 1. yarıyıldaki sınavlar için). Kötü hazırlanmış bir öğrenci bilet için şanslıysa, öğretmenin iyi olduğunu veya hatta gelecekte iyi temettü getirecek güçlü bir öğrenciyi düşünmesi muhtemeldir. (Doğal olarak, "Çubuğu kaldırmanız" ve imajınızı koruymanız gerekir). 7 gün ve 7 gece öğretilen bir öğrenci, kapandı, tekrar tekrar, ama çok şanslı değildi, daha sonra çok kötü kaplama içinde daha fazla olay gelişebilir - ayrılışın eşiğinde çok sayıda yenileme ve dengeleme.

Ne söyleyeceğiniz, itibar, en önemli sermayedir, birçok şirketin kurucu babalarının isimlerini giymesi, 100-200 yıl önce bir işi yöneten ve kusursuz itibarlarıyla ünlüleştiği tesadüfen değil.

Evet, bir dereceye kadar Bayesian yaklaşımı özneldir, ancak ... hayat çok düzenlenmiş!

Malzemeyi, yalnızca kararın teknik bir şekilde anlaşılmasından bahsettiğim son sanayi örneği tarafından yerine getirin:

Görev 9.

Üç fabrika atölyesi, montajı ortak bir kaba giren benzer eşyalar üretir. İlk atölyenin ikinci atölyeden 2 kat daha fazla ayrıntı ürettiği ve üçüncü atölyeden 4 kat daha fazla olduğu bilinmektedir. İlk atölyede, evlilik% 12, ikinci -% 8,% 4'ünde% 4'tür. Konteyneri kontrol etmek için bir detay alınır. Arızalı olmanın olasılığı nedir? Çıkarılan kusurlu öğenin 3. dükkanın yayınlanması olasılığı nedir?

Taki Ivan Vasilyevich tekrar at sırtında \u003d) Filmden mutlu bir sonuç olmalıdır)

Karar: 5-8 sayılı Görevlerin aksine, tam olasılık formülünü kullanarak izin verilen bir soru verilir. Ancak öte yandan, durum biraz "şifrelenmiş", bu Rebus'u çözmek için okul becerisinin en basit denklemleri oluşturmasına yardımcı olacağına yardımcı olacaktır. "X" için en küçük anlamı kabul etmek için uygun:

İzin - üçüncü atölye tarafından üretilen detayların oranı.

Durum olarak, ilk mağaza üçüncü atölyenin 4 katı üretir, bu nedenle 1. atölyenin payıdır.

Ek olarak, ilk atölye, ikinci atölyeden 2 kat daha fazla ürün üretir, bu da ikincisinin paylaştığı anlamına gelir.

Bize izin verin ve denklemi çözelim:

Böylece,: - Kaptan çıkan parçanın sırasıyla 1, 2. ve 3. dükkanlar piyasaya sürülmemesi olasılığı.

Kontrol:. Ek olarak, cümleye bakmak gerekmez. "İlk mağazanın, ikinci atölyeden 2 kat daha fazla ve üçüncü atölyeden 4 kat daha fazla ürün ürettiği bilinmektedir" Ve elde edilen olasılık değerlerinin bu duruma uygun olduğundan emin olun.

"X" için başlangıçta 1. atölye çalışmasının 1. payını almak mümkündü - olasılıklar aynı şekilde ortaya çıkacak. Ancak, bir yol ya da başka, en zor arsa geçti ve kararın haddelenmiş rut içine dahil edildi:

Bulduğumuz durumdan:
- İlgili atölye çalışmaları için kusurlu bir parça üretme olasılıkları.

Tam Olasılık Formülüne göre:
- Konteynerden çıkan tüm detayların standart olmayacağı olasılığı standart değildir.

Soru ikincisi: Çıkarılan kusurlu parçanın 3. mağazayı serbest bırakmanın olasılığı nedir? Bu soru, öğenin zaten çıkarıldığını ve kusurlu olduğu ortaya çıktığını göstermektedir. Boyalar Formülü tarafından hipotezi abartın:
- İstenilen olasılık. Kesinlikle bekleniyor - üçüncü atölye sadece en küçük detaylar payını değil, aynı zamanda kalitede yol açtığı için!

Bu durumda yapmalıyım dört katlı bir atışı basitleştirinBayes formüllerinin görevlerinde oldukça sık yapmak zorunda. Ancak bu ders için, bir şekilde, pek çok hesaplamanın sıradan kesirler olmadan gerçekleştirilebileceği örnekleri buldum.

Yakında, "A" ve "Be" puanı yoktur, cevap metin yorumları sağlamak için daha iyidir:

Cevap: - Konteynerden çıkan parçanın arızalı olacağı olasılığı; - Alınan arızalı öğenin 3. mağazayı piyasaya sürdüğü olasılığı.

Gördüğünüz gibi, tam olasılık ve baylar formülleri için formüldeki görevler oldukça basittir ve muhtemelen bu nedenle, bu nedenle, çok sık, bahsettiğim şey hakkında düşünmeyi zorlaştırmaya çalışırlar. makalenin başlangıcı.

Ek örnekler dosyada f.P.V.'de hazır çözümler ve baylar formülüEk olarak, muhtemelen kendinizi diğer kaynaklarda bu konuyla daha derinden tanımak istiyorsunuz. Ve konu gerçekten çok ilginç - sadece bir nedir paradoks Bayes.Bu, her gün konseyi, bir kişinin nadir görülen bir hastalık teşhisi konması durumunda, tekrarlamak ve hatta iki tekrarlanan bağımsız ankete sahip olmanın mantıklı olduğunu haklı çıkarır. Sadece umutsuzluktan yaptığı gibi görünüyor ... - ama hayır! Ama üzgün olmayacağız.

- keyfi seçilen bir öğrencinin sınavı geçeceği olasılığı.
Öğrencinin sınavı geçmesine izin verin. Bayes formüllerine göre:
fakat) - Sınavı geçen öğrencinin çok iyi hazırlandığı olasılığı. Nesnel bir başlangıç \u200b\u200bolasılığı overpriced, çünkü neredeyse her zaman "orta sürü" sorularla şanslı olduğundan ve kusursuz bir şekilde yanıt veriyorlar, bu da kusursuz eğitimin hatalı izlenimine neden olur.
b) - Sınavı geçen öğrencinin ortalama olarak hazırlandığı olasılığı. İlk olasılık biraz overpriced, çünkü Ortalama hazırlık seviyesine sahip olan öğrenciler genellikle çoğu, ek olarak, öğretmen başarısız "mükemmel öğrencileri" alacak ve bazen bir biletle çok şanslı olan bir öğrenciyi zaman zaman ve kötü bir şekilde harcayacak.
içinde) - sınavı geçen bir öğrencinin iyi hazırlandığı olasılığı iyi hazırlandı. İlk olasılık daha kötüsü için yeniden değerlenmiştir. Şaşırtıcı değil.
Kontrol:
Cevap :

Klasik olasılık teorisinin klasik seyrinin sona erdiği olasılıkların bir anlayışı (çalışma) başlar. Bazı nedenlerden dolayı, okul ve üniversite frekansı (kombinasyon) olasılığını veya neyin belirlendiğinin olasılığını öğretiyor. İnsan beyni farklı çalışıyor. Dünyadaki her şey hakkında teorilerimiz var. Belirli olayların olasılığını öznel olarak değerlendiriyoruz. Beklenmedik bir şey olmuşsa, fikrinizi de değiştirebiliriz. Her gün yaptığımız şey bu. Örneğin, Pushkin Anıtı Anıtı'ndaki bir kız arkadaşıyla tanışırsanız, zamanında olup olmayacağını, 15 dakika veya yarım saat geç kalacağını anlıyorsunuz. Ancak metro alanına gidip 20 cm taze kar görüyorsanız, yeni verileri dikkate almak için olasılıklarınızı güncellersiniz.

Böyle bir yaklaşım önce Bayes ve Laplace tarafından tanımlandı. Laplace, bence Bayes'in çalışmalarına aşina olmadığını düşünüyorum. Anlaşılmaz nedene göre, Bayesian yaklaşımı, Rusça konuşan literatürde oldukça kötü bir şekilde temsil edilmektedir. Karşılaştırma için, Bayes Ozon'un isteğinde 4 referans verdiğini ve Amazon'un yaklaşık 1000 olduğunu unutmayacağım.

Şimdiki not, küçük bir İngiliz kitabın bir çevirisidir ve Size Bayes teoreminin nasıl kullanılacağını sezgisel bir anlayacaktır. Tanımla başlar ve daha sonra tüm muhakeme sürecinin izlenmesini sağlayacak olan Excel'de örnekleri kullanır.

Scott Hartshorn. Bayes teoremi örnekleri: Yeni başlayanlar için görsel bir rehber. - 2016, 82 s.

Not formatında veya formattaki örnekler indirin

Bayes teoremi ve sezgisel bir açıklama tanımı

Theorem Bayes.

a ve B'nin olaylar olduğu durumlarda, p (a) ve p (b) - olasılıklar A ve B birbirleriyle hariç, P (A | B), B'nin doğru olması şartıyla, A etkinliğinin şartlı olasılığıdır, P (B | a ) - Koşullu olasılık B, eğer ve gerçekten.

Aslında, denklem biraz daha karmaşıktır, ancak çoğu uygulama için yeterlidir. Hesaplamaların sonucu, başlangıç \u200b\u200bvarsayımına dayanan normalleştirilmiş ağırlıklı değerdir. Böylece, başlangıç \u200b\u200bvarsayımını yapın, diğer ilk olasılıklarla ilgili olarak, gözlem temelinde normalleştirin:

Sorunları çözme sürecinde aşağıdaki adımları izleyeceğiz (bundan sonra daha netleşecekler):

1. Ne tür olasılıkları hesaplamak istediğimizin ve neyi gözlemlediğimiz şeyleri belirleyin.
2. Tüm olası seçenekler için ilk olasılıkları değerlendirin.
3. Belirli bir başlangıç \u200b\u200bseçeneğinin gerçeğini varsayarsak, gözlemimizin olasılığını hesaplar; Ve böylece tüm ilk seçenekler için.
4. İlk olasılık (Adım 2) ve koşullu olasılık (Adım 3) ve böylece ilk seçeneklerin her biri için askıya alınmış bir değer bulun.
5. Sonuçları normalleştirin: Her bir ağırlıklı olasılığı (Adım 4) tüm askıya alınmış olasılıkların toplamı için bölün; Normalleştirilmiş olasılıkların toplamı \u003d 1.
6. Her yeni gözlem için 2-5 adımları tekrarlayın.

Örnek 1. Kemiklerle basit bir örnek

Arkadaşınızın 3 kemikli olduğunu varsayalım: 4, 6 ve 8 yüzünden. Bir tanesini rastgele seçer, size göstermez, atar ve sonucu bildirir - 2. 4 yaşındaki bir yaşın seçildiği olasılığını, 6 yaşında, 8 yaşında.

Adım 1. 4 kademeli bir seçim olasılığını, 6 yaşındaki veya 8 yaşındaki bir çocukluğunu hesaplamak istiyoruz. Düşen numarayı gözlemliyoruz - 2.

Adım 2. Kemikler 3 olduğundan, her birini seçme olasılığı 1/3'tür.

Adım 3. Gözlem - Kemik bir yüz olarak düştü 2. 4 yaşında bir yaşındaysa, bunun şansı 1/4'e eşittir. 6 kademeli bir 2 Ki bırakma şansı için - 1/6. 8 dereceli - 1/8.

Adım 4. 4 yıl boyunca 2 Ki'nin kaybı \u003d 1/3 * 1/4 \u003d 1/12, 6 dereceli \u003d 1/3 * 1/6 \u003d 1/18, 8 yıl \u003d 1 için 1 / 3 * 1/8 \u003d 1/24.

Adım 5. 2-Kı \u003d 1/12 + 1/18 + 1/24 \u003d 13/72 kaybetme olasılığı. Bu 1'den az, çünkü 2'den az 2-Ku atma şansı, ancak 2-Ku'yu zaten attığınızı biliyoruz. Böylece, her bir sürümün şansını 4 ila 13/72'den itibaren bölünmemiz gerekir, böylece tüm kemiklerin 2. 1. 1. işlemin aşağıya yatması için tüm şansların toplamı normalizasyon denir.

Her ağırlıklı olasılığı normalleştirme, bu kemiğin seçildiği olasılığını buluyoruz:

• 4 yıl \u003d (1/12) / (13/72) \u003d 6/13
• 6 yıl \u003d (1/18) / (13/72) \u003d 4/13
• 8 yıl \u003d (1/24) / (13/72) \u003d 3/13

Ve bu cevap.

Görevi çözmeye başladığımızda, belirli bir kemik seçme olasılığının% 33,3 olduğunu önerdik. 2-Ki düştükten sonra, 4 kademeli 4 kademeli şansın% 46,1'e kadar seçildiği ihtimalleri hesapladık, 6 yaşındaki bir çocuk seçme şansı% 30,8'e geriledi ve 8 yıllık Eski seçildi ve% 23,1'e kadar düştü.

Başka bir atış yaparsanız, yeni hesaplanan ilgiyi ilk varsayımlarımız olarak kullanabilir ve ikinci gözlemeye dayanan olasılıkları netleştirebiliriz.

Tek gözleminiz varsa, tüm adımlar bir tablo formunda sunulması için uygundur:

Masa. 1. Bir tablo formunda adım adım çözümü (formlar, bkz. Bir sayfadaki Excel dosyası Örnek 1.)

Not:

• Eğer 2-Ki yerine düştü, örneğin, 7-KA, o zaman 3. adımdaki şanslar sıfır olurdu ve normalizasyondan sonra, 8 yaşındaki çocukların şansı% 100 olacaktır.
• Örnek olarak sadece üç kemik ve bir atış içerir, basit fraksiyonlar kullandık. Çok sayıda seçenek ve olayla ilgili çoğu problem için, ondalık kesirlerle çalışmak daha kolaydır.

Örnek 2. Daha fazla kemik. Daha fazla atış

Bu sefer 4, 6, 8, 10, 12 ve 20 yüze sahip 6 kemik var. Bir tanesini rastgele seçiyoruz ve 15 kez atıyoruz. Belirli bir kemiğin seçildiği olasılığı nedir?

Modeli Excel'de kullanıyorum (Şekil 1; Bkz. Yaprak Örnek 2.). Function \u003d rationing (1; $ B $) kullanılarak B sütununda rasgele numaralar üretilir. Bu durumda, B9 hücresinde 8 yıllık bağlı bir hücre seçilir, bu nedenle rastgele sayılar 1 ila 8 arasında değer alabilir. Bu nedenle, Excel, sayfa üzerindeki her bir değişiklikten sonra rastgele numaraları güncellediğinden, sütunu tampona kopyaladım. ve yalnızca C sütunundaki değerleri takın. Şimdi değerler değişmez ve sonraki çizimler için kullanılacaktır. (Size, levhadaki yüz sayısı ve rastgele atışların seçimi ile "oynama" fırsatını ekledim. Örnek 2 oyunu. Özellikle meraklı sonuçlar elde edilir, eğer B9 hücresinde 13 numarayı ayarlayın. Yaklaşık. Baguzin.)

İncir. 1. Jeneratör rastgele sayılar

Adım 2. Sadece altı küpten beri, bir rastgele seçme olasılığı 1/6 veya 0.167'dir.

Adım 3 ve 4. Karşılık gelen atıştan sonra belirli bir kemiğin ilk tercihi olasılığının denklemini yazıyoruz. Örnek 1'in sonunda gördüğümüz gibi, bazı atalar bir veya başka bir kemike karşılık gelmeyebilir. Örneğin, 9-Ki kaybı, 4-, 6- ve 8 yüz yüze kemiklerin olasılığını sıfıra eşittir. "Meşru" numara düşerse, bu kemik olasılığı, yüzlerin sayısına bölünmüş bir birime eşittir. Kolaylık sağlamak için, 3. ve 4. adımları birleştirdik, bu yüzden önceki atıştan sonra normalize olasılıkla çarpılan bir atış olasılığının formülünü hemen geri kazandık (Şekil 2):

Eğer (fırlat\u003e yüzlerin sayısını; 0; 1 / yüz sayısı * Önceki normalleştirilmiş olasılık)

Dikkatlice kullanırsanız, bu formülü tüm satırlara sürükleyebilirsiniz.

İncir. 2. Olasılık denklemi; Görüntüyü büyütmek için sağ tıklayın ve seçin Yeni bir sekmede resim aç

Adım 5. Son adım, her atıştan sonra sonuçların normalleşmesidir (Şekil 3'teki L11: R28).

İncir. 3. Sonuçların normalleşmesi

Bu nedenle,% 96,4 olasılıkla 15 çekimden sonra, 8 kademeli kemiğin başlangıçta seçildiğini varsayabiliriz. Kemiğin B ile seçildiği ihtimaller olmasına rağmen hakkında yüz sayısı ile: 10 dereceli kemik için% 3.4,% 0.2 - 12 dereceli,% 0.0001 için - 20 dereceli. Ancak 4- ve 6 kademeli kemiklerin olasılığı sıfırdır, çünkü düşen sayılar arasında 7 ve 8. bu, doğal olarak, 8 numarayı B9 hücresine, değerleri sınırlandırdığımız gerçeğine karşılık gelir. rastgele sayıların jeneratörü için.

İlk kemiklerin ilk tercihi seçeneğinin her seçeneğinin olasılığının bir grafiğini oluşturursak, atma atmak, göreceğiz (Şekil 4):

• İlk atmadan sonra, 4 yüzce bir zar seçme olasılığı sıfıra düşer, çünkü 6 ka hemen düştü. Bu nedenle, liderlik 6 yüz yüze kemiğin versiyonunu ele geçirdi.
• Birkaç ilk çekim için, 6 yüz yüze kemik, düşmüş değerlere cevap verebilecek kemikler arasında en az yüzleri içerdiğinden en büyük olasılığa sahiptir.
• Beşinci atışta 8 KA'ya düştü, 6 yaşındaki 6 yaşındaki düşüşün olasılığı sıfıra kadar ve 8 yaşında lider olur.
• İlk atışlarda 10-, 12- ve 20 kademeli kemiklerin olasılıkları sorunsuz bir şekilde azaldı ve daha sonra 6 yüzlü kemik yarıştan düştüğünde bir sıçrama yaşadı. Bunun nedeni, sonuçların daha küçük bir numunede normalleştirildiği gerçeğinden kaynaklanmaktadır.

İncir. 4. Olasılık atışının atılması

Not:

• Birden fazla olay için baylar teoremi, sırayla güncellenmiş verilerdeki basitçe çoğaltır. Son cevap, olayların nasıl gerçekleştiğine bağlı değildir.
• Her olaydan sonra olasılıkları normalleştirmek gerekli değildir. Sonunda bir kez yapabilirsiniz. Sorun şu ki, sürekli olarak normalleştirilmemesi durumunda, olasılıklar, Excel'in yuvarlama hataları nedeniyle yanlış çalışabileceği kadar küçük olur. Böylece, her adımda normalleştirmek, Excel doğruluğunun sınırına gelmediyseniz kontrol etmekten daha pratiktir.

Bayes teoremi. Terminoloji

• İlk olasılık, gözlem oluşmadan önce her ihtimalin olasılığıdır. Önsel.
• Her veri noktası olasılığını hesapladıktan sonra normalize edilmiş yanıt (her gözlem için) denir bir posteriorio.
• Cevabı normalleştirmek için kullanılan toplam olasılık sabit normalizasyon.
• Koşullu olasılık, yani. Her olayın olasılığı denir oynama.

İşte bu terimlerin ilk örneği nasıl aradığı (Şekil 1'i karşılaştırarak).

İncir. 5. Bayes Teoremi Şartları

Bayes teoremi yeni tanımlardaki kendisi buna benziyor (formül 2 ile karşılaştırıldığında):

Örnek 3. haksız para

Şüphelendiğiniz gibi, dürüst olmadığınız bir madenidir. 100 kez atıyorsun. Dürüst olmayan bir madalyonun,% 0,% 10,% 20,% 30,% 40,% 50,% 60,% 70,% 80,% 90,% 100 olasılıkla bir kartal ile düşeceği olasılığını hesaplayın. .

Excel dosyasına, sayfaya bakın. Örnek 3.. B13: B112 hücrelerinde, 0 ile 1 arasında rasgele bir sayı oluşturdum ve özel bir ekleme yardımıyla, değeri B8 hücresindeki C sütununa taşıdım, bu sahtekâr para için düşen kartal yüzdesini belirttim. . DO sütununda, bir fonksiyon kullanarak bir fonksiyonu kullanarak (Eagles, olasılık için kartallar) r 0.35 ile 1 arasında) veya sıfırlarda ( r 0 ila 0.35 arasında).

İncir. 6. sahtekâr paralar için ilk veriler

Eagles% 65'i% 65 oranında kurduksa, rastgele sayıların jeneratörüne karşılık gelen 63 kartal ve 37 yapımım var.

Adım 1. Eagles'ın% 0,% 10, ...% 100 sepetlerine atıfta bulunduğu olasılıkları hesaplamak istiyoruz, 100 çekim ile 63 kartal ve 37 nehir izliyor.

Adım 2. 11 başlangıç \u200b\u200byeteneği vardır: olasılıklar% 0,% 10, ...% 100. Tüm ilk yeteneklerin eşit bir olasılığa sahip olacağını, yani 1 1 şansı (Şekil 7). (Kenarlardaki olasılıklardan% 50 büyük ağırlık alanında bulunan ilk olasılıkları daha gerçekçi bir şekilde verebiliriz -% 0 ve% 100. Fakat en dikkat çekici ki, bir bütün 100 atışımız olduğumuz için, ilk olasılıklar çok önemli değil!)

Adım 3 ve 4. Gerçeğin Hesaplanması. Excel'de her fırlatıldıktan sonra olasılığı hesaplamak için, işlev kullanılır. Kartalın düşmesi durumunda, makul, önceki normalleştirilmiş olasılık olasılığının çalışmalarına eşittir. Nehir düştüyse, olasılık eşittir (1 eksi, yeteneğe) * Önceki normalleştirilmiş olasılık (Şek. 8).

İncir. 8. Nüks

Adım 5. Normalizasyon, önceki örnekte olduğu gibi yapılır.

Sonuçlar en çok bir dizi histogram formunda görselleştirilir. İlk program, priori olasılıktır. Daha sonra her yeni program, sonraki 25 çekimden sonraki durumdur (Şekil 9). Kartalın% 65'i girişte olasılığını belirlediğimiz için, sunulan grafikler sürprize neden olmaz.

İncir. 9. Bir dizi atıştan sonra seçenekler olasılığı

Aslında 0.6 olasılığı için% 70 şansı nedir? Bu, madalyonun doğru bir şekilde% 60 oranında düşmesi için% 70 değildir. Seçenekler arasında% 10'luk bir sahaya sahip olduğumuz için, bu madalyonun% 70 ve% 65 arasındaki aralığa girmesinin% 70'inin olduğunu tahmin ediyoruz. 11 ilk seçenek kullanmanın çözümü,% 10'luk bir artış tamamen keyfidir. % 1'lik artışlarla 101 ilk olasılık kullanabiliriz. Bu durumda, maksimum% 63'te (63 kartalım olduğundan beri) ve grafikte daha pürüzsüz bir düşüşle sonuç alacağız.

Lütfen bu örnekte bir Örnek 2'ye kıyasla daha yavaş bir yakınsama gözlemledik. Bunun nedeni, madeni para arasındaki farkın,% 70'e kadar% 70'e, 8 ve 10 yüzlü küplerden daha az olduğu gerçeğinden kaynaklanmaktadır.

Örnek 4. Daha fazla kemik. Ancak veri akışındaki hatalarla

Örneğin geri dönelim 2. 4, 6, 8, 10, 12, 20 büyüklüğündeki kemik çantasında bir arkadaş. Bir kemiği rastgele çıkarır ve 80 kez atar. Düşen rakamları kaydeder, ancak vakaların% 5'inde yanılıyor. Bu durumda, gerçek atış sonucu yerine 1 ve 20 arasında rastgele bir sayı belirir. 80 atışından sonra, ne tür bir kemik seçildiğini düşünüyorsunuz?

Excel'de giriş olarak (sayfa Örnek 4.) Tarafların sayısını (8) girdim ve verilerin bir hata içerme olasılığı (0.05). Atma değeri için formül (Şek. 10):

Eğer (adhesis ()\u003e hata olasılıkları; kalıcı (1; yüz sayısı); rasyon (1; 20))

Rasgele sayı, hata olasılığından daha büyükse (0.05), daha sonra hiçbir hata atışı yoktu, böylece rasgele numaraların jeneratörü 1 ile küpün "monte edilmiş" tarafı arasındaki değeri seçer, aksi takdirde rastgele bir tamsayı oluşturmalısınız. 1 ile 20 arasında.

İncir. 10. Atma değerinin hesaplanması

İlk bakışta, bu sorunu Örnek 2'deki gibi aynı şekilde çözebiliriz, ancak hataların olasılığını düşünmüyorsanız, ŞEKİL 2'deki gibi bir olasılık programı alacağız. 11. (Excel'de elde etmenin en kolay yolu, ilk önce sütunda 0.05 hatasının değerinde atış üretmektir; daha sonra atış değerlerini C kolonuna aktarın ve sonunda B11 hücresindeki değeri değiştirin. 0'a; D14 aralığında atıdığın hesaplanması için formülden bu yana: J94 B11 hücresine bakın, muhasebe hatalarının etkisi elde edilecektir.)

İncir. 11. Hata varlığı olasılığını dikkate almadan atış değerlerinin işlenmesi

Hata olasılığı küçük olduğundan ve rastgele sayı üreteci 8 yaşında yapılandırılmıştır, ikincisinin her atışlı olasılığı baskın hale gelir. Dahası, bir hata, 8 içinde bir değer vermek için% 40 (sekiz sekiz) olasılıkla (80) bir değer verebilir, daha sonra sonucu etkileyen hatanın değeri, yalnızca 63. atışta ortaya çıktı. Bununla birlikte, eğer hatalar dikkate alınmazsa, 8 yıllık birinin olasılığı sıfıra dönüşecek ve% 100'lük bir 20 yaşında alacak. 63RD atışının 20 dereceli olasılığını sadece 2 * 10 -25 olduğunu unutmayın.

Hata alma şansı -% 5 ve hatanın 8'den büyük bir değer vermenin olasılığı% 60'dır. Bunlar, atışların% 3'ü, kayıt yapıldığında, atış 63'te olan 8'den fazla bir değere sahip bir hata verecektir. 17. Formula olasılığı olası hataları dikkate almazsa, kalkış Şekil 2'de olduğu gibi, 20 yıllık bir sınıfın 2 * 10 -25'e kadar olasılığı. onbir.

Bir kişi titizlikle verileri izlerse, bu hatayı tespit edebilir ve hatalı değerler alamaz. İşlemi otomatikleştirmek için, gerçeğin benzeri denklemini hata kontrolü ile ekleyin. Tamamen dışlanamayacaklarını kabul ederseniz, asla hata olasılığını asla yüklemeyin. Hataların olasılıklarını göz önünde bulundurursanız, yüzlerce "doğru" veri, ayrı hatalı değerlerin resmi bozmasına izin vermez.

Hata kontrolünün güvenilirliğinin denklemini destekliyoruz (Şek. 12):

Eğer ($ C15\u003e F $ 13; $ B $ 11 * 1/20 * N14; ($ B $ 11 * 1/20 + (1- $ B $ 11) / F $ 13) * N14)

İncir. 12. Hatalarla ses yüksekliğinin işlevi

Eğer atmanın kaydedilen değeri yüzlerin sayısından daha büyükse ($ C15\u003e F $ 13), koşullu olasılık sıfırlanmaz, ancak hatanın olasılığını göz önünde bulundurun ($ B $ 11 * 1/20 * N14). Kaydedilen bir sayı, yüzlerin sayısından daha azsa, koşullu olasılık tam olarak değil, olası hatayı göz önünde bulundurun ($ B $ 11 * 1/20 + (1- $ B $ 11) / f $ 13) * N14). İkinci durumda, kaydedilen numaranın hatanın bir sonucu olarak ($ \u200b\u200bB $ 11 * 1/20) ve doğru girişin sonucu (1- $ B $ 11) / f $ 13) olduğuna inanıyoruz.

Normalize edilmiş olasılıktaki değişiklik olası hatalara daha dayanıklı hale gelir (Şekil 13).

İncir. 13. Normalleştirilmiş olasılığı atmaktan atmak

Bu örnekte, 6 dereceli kemik başlangıçta bir favoridir, çünkü ilk 3 atış - 5, 6, 1. Sonra 7-KA ve 8 yıllık birinin olasılığı yukarı doğru gider. Bununla birlikte, 7-KI'nin görünümü 6 yaşındaki olasılığını sıfırlamaz, çünkü 7 KA bir hata olabilir. Ve bir sonraki dokuz atış, değerler 6'dan fazla olmadığında bunu onaylamak gibi görünüyor: 6 yaşındaki bir yaşın olasılığı tekrar büyümeye başlar. Bununla birlikte, 14. ve 15. atarlarda, 7-Ki tekrar düşer ve 6 yüz yüze bir kemiğin olasılığı sıfıra yaklaşır. Daha sonra, 17 ve 19'un değerleri görünür, hangi "sistem", ne kadar net bir şekilde hatalı olduğunu tanımlar.

Örnek 4A. Ya gerçekten yüksek bir hata sıklığınız varsa?

Bu örnek bir öncekine benzer, ancak hataların sıklığı% 5 ila% 75'e yükseltilir. Veriler daha az alakalı hale geldiğinden, 250'e kadar olan çekim sayısını arttırdık. Aynı denklemleri Örnek 4'teki gibi uygulayarak aşağıdaki tabloyu elde ediyoruz:

İncir. 14. Hatalı girişlerin% 75'inde normalleştirilmiş olasılık

Böyle yüksek bir hata sıklığı ile çok daha fazla atış aldı. Ek olarak, sonuç daha az tanımlanmıştır ve 6 yaşında periyodik olarak daha muhtemel hale gelir. Daha yüksek bir hata oranı varsa, örneğin% 99, hala doğru cevabı alabilirsiniz. Açıkçası, hataların sıklığı ne kadar yüksek olursa, o kadar fazla atar yapılmalıdır. Hataların% 75'i için, dört bir doğru değeri elde ediyoruz. Bir hatanın olasılığı% 99 ise, yüzünden sadece bir doğru değer elde ederiz. Baskın seçeneği tanımlamak için muhtemelen 25 kat daha fazla veriye ihtiyacımız var.

Peki ya hata olasılığını bilmiyorsan? B11 (örneğin, örneğin, örneğin, örneğin, örneğin, örneğin, örneğin, örneğin, örneğin, örneğin, örneğin, örneğin, örneğin, örneğin, örneğin, örneğin, örneğin, örneğin, örneğin, örneğin, örneğin, örneğin, örneğin, örneğin, örneğin, örneğin, örneğin, örneğin, örneğin% 90) İşte ana sonuçlar:

• Hata frekansı tahmini gerçek hata frekansından daha yüksekse, sonuçlar yavaşça birleşir, ancak yine de doğru cevaba birleşir.
• Hata frekansını çok düşük değerlendirirseniz, sonuçların doğru olmayacağı bir risk vardır.
• Hataların gerçek frekansı daha az olan, hataların sıklığını tahmin ettiğiniz manevra için yer artar.
• Gerçek hataların fiili sıklığı ne kadar yüksek olursa, ihtiyacınız olan daha fazla veri.

Örnek 5. Alman tankının sorunu

Bu görevde, yakalanan tankların seri numaralarına dayanarak, kaç tankın nasıl üretildiğini değerlendirmeye çalışıyorsunuz. Bayes teoremi, İkinci Dünya Savaşı sırasında müttefikler tarafından kullanıldı ve sonuçta bildirilen zekanınkinden sonuçları daha düşük verdi. Savaştan sonra, kayıt, Bayes teoremini kullanarak istatistiksel tahminlerin daha doğru olduğunu göstermiştir. (Bu konuda bir not yazdığım, henüz Bayesu tarafından neler olasılığı bilmediğimi merak ediyor. - Gör. - Yaklaşık. Baguzin.)

Öyleyse, seri numaralarını kırılmış veya yakalanan tanklardan çıkarın. Amaç, kaç tankın nasıl üretildiğini değerlendirmektir. Seri tank sayıları hakkında bildiğiniz şey budur:

• 1 ile başlarlar.
• Bunlar atlamadan tamsayılardır.
• Aşağıdaki seri numaralarını buldunuz: 30, 70, 140, 125.

Sorunun cevabıyla ilgileniyoruz: Maksimum tank sayısı nedir? 1000 tank ile başlayacağım. Fakat başka biri 500 tank veya 2000 tank ile başlayabilir ve farklı sonuçlar alabiliriz. Her 20 tankları analiz edeceğim, bu, tank sayısı için 50 ilk fırsatım olduğu anlamına gelir. Modeli karmaşıklaştırabilir ve Excel'deki her bireyi analiz edebilirsiniz, ancak cevap fazla değişmez ve analiz önemli ölçüde karmaşık olacaktır.

Tank sayısının tüm olasılığının eşit olduğunu varsayalım (yani, 50 tank olasılığı 500 ile aynıdır). Lütfen Excel dosyasının, Şekilde gösterilenden daha fazla sütun olduğuna dikkat edin. Gibi olasılık fonksiyonu için geleneksel olasılık, Örnek 2'nin şartlı olasılığına çok benzer:

• Gözlemlenen seri numarası bu grup için maksimum seri numaradan daha büyükse, böyle bir dizi tankların varlığının olasılığı 0'dır.
• Gözlemlenen seri numarası bu grup için maksimum seri numarasından daha azsa, olasılık, önceki adımda normalize olasılığa çarpılan tank sayısına bölünmüş bir birimdir (Şek. 15).

İncir. 15. Tankların gruplara göre dağılım olasılıkları

Normalleştirilmiş olasılıklar aşağıdaki gibi görünüyor (Şek. 16).

İncir. 16. Normalleştirilmiş tankların olasılığı

Gözlenen maksimum seri numarası için büyük bir olasılık olasılık vardır. Bundan sonra, sıfıra asimptotik bir düşüş meydana gelir. 4 tespit edilen seri numarası için, maksimum 140 tanklara cevap verir. Ancak, bu numaranın en muhtemel cevap olduğu gerçeğine rağmen, bu, en iyi değerlendirme değildir, çünkü neredeyse kesinlikle tank sayısını küçümser.

Ağırlıklı ortalama tank sayısını alırsanız, yani. Çarpık grupları ve olasılıklarını dört tank için özetlemek, formülü uygulayarak:

Yuvarlak (BD9: DA9; BD14: DA14); 0)

193'ün en iyi tahminini alıyoruz.

Eğer başlangıçta 2000 tanklarından geçersek, esasen hiçbir şeyi değiştirmeyen ağırlıklı bir ortalama 195 tank olacaktır.

Örnek 6. İlaç Testi

Nüfusun% 0,5'inin ilaç kullandığını biliyorsunuz. İlaç için gerçek olumlu sonuçların% 99'unu ve tüketilmeyen için gerçek olumsuz sonuçların% 98'ini veren bir testiniz var. Rastgele bir kişiyi seçersiniz, testi geçirin ve olumlu bir sonuç elde edersiniz. Bir kişinin aslında uyuşturucu kullanması olasılığı nedir?

Rastgele bireyimiz için İlk olasılık Bir uyuşturucu tüketicisi olması,% 0.5'tir ve bir uyuşturucu tüketicisi olmaması olasılığı% 99,5'tir.

Bir sonraki adım, koşullu olasılıkın hesaplanmasıdır:

• Konuyla ilgili ilaç tüketirse, testlerin% 99'unda olumsuz olacağı ve vakaların% 1'inde olumsuz olacaktır.
• Konu ilaç kullanmazsa, testlerin% 2'sinde olumsuz ve olumsuz olgunun% 98'inde olumsuz olacaktır.

Tüketilen ve ilaçlar için inanma fonksiyonları, Şekil 2'de sunulmuştur. 17.

İncir. 17. İnanma fonksiyonları: (a) ilaç kullanımı için; (b) İlaçlar için

Normalizasyondan sonra, olumlu geri bildirimlere rağmen, bu rastgele kişinin ilaç kullanması olasılığı sadece% 0.1992 veya% 19,9'dur. Bu sonuç birçok insanı şaşırtıyor, çünkü sonunda, testin doğruluğu oldukça yüksektir -% 99 kadar. İlk olasılık sadece% 0.5 olduğundan, bu olasılıkta büyük bir artış bile cevabı gerçekten büyük hale getirmek için yeterli değildi.

Çoğu insanın sezgisini ilk olasılığı dikkate almaz. Koşullu olasılık gerçekten yüksek olsa bile, çok düşük bir başlangıç \u200b\u200bolasılığı düşük sonlu olasılıklara neden olabilir. Çoğu insanın sezgisi, 50/50'nin ilk olasılığı etrafında yapılandırılmıştır. Bu durumda, test sonucu pozitif, daha sonra normalize olasılık, bir kişinin ilaç kullandığını doğrulayarak, normalize edilmiş olasılık beklenen% 98 olacaktır (Şek. 18).

İncir. 18. İlk olasılık ile test sonucu 50/50

Bu tür durumların açıklanmasına alternatif bir yaklaşım, bkz.

Notların sonundaki Bayes teoreminde bibliyografyaya bakın.

Eğer olay FAKAT sadece oluşan olaylardan birini gerçekleştirirken oluşabilir eksik olaylar grubu Sonra bir olayın olasılığı FAKAT Formül tarafından hesaplanan

Bu formül denir formula tam olasılık .

Yine, görünüşünün olasılığı olan eksiksiz bir eksiklik grubunu kabul ediyoruz. . Etkinlik FAKAT sadece aranacak olaylardan herhangi biriyle olabilir hipotez . Sonra tam olasılığın formülüne göre

Eğer olay FAKAT Oldu, hipotez olasılığını değiştirebilir .

Olasılık çarpma teoremi ile

.

Benzer şekilde, kalan hipotezler için

Elde edilen formül denir bayes Formülü (bayes Formülü ). Hipotez olasılığı denir bir posteriori olasılıkları , buna karşılık - bir priori olasılık .

Misal. Mağaza üç işletmeden yeni ürünler aldı. Bu ürünün yüzdesi aşağıdaki gibidir:% 20 - Birinci işletmenin ürünleri,% 30'u - ikinci girişimin ürünleri,% 50'si üçüncü işletmenin ürünleridir; Ayrıca, en yüksek derecenin ilk girişiminin% 10'unun, ikinci girişimde -% 5'inde ve en yüksek dereceli ürünlerin% 20'sinde. Rastgele satın alınan yeni ürünlerin en yüksek not olacağının olasılığını bulun.

Karar. Belirtmek İÇİNDE En yüksek notun ürünlerinin, birinci, ikinci ve üçüncü işletmelere göre birinci, ikinci ve üçüncü işletmelere ait olan ürünleri satın alma olayları aracılığıyla satın alınacak olan olay.

Tam bir olasılık formülü uygulayabilirsiniz ve gösterimde:

Bu değerleri tam olasılığın formülünde yerine koymak, istenen olasılığı elde ederiz:

Misal. Üç atıcıdan biri ateş hattına çağrılır ve iki atış üretir. Hedefe ilk ok için bir atışla vurma olasılığı, ikinci - 0.5 için 0,3'dür; Üçüncü - 0.8 için. Hedef hayran değil. Çekimlerin ilk atıcı tarafından yapılması ihtimali bulun.

Karar. Üç hipotez mümkündür:

İlk atıcı ateş hattında çağrılır,

İkinci atıcı ateş hattında çağrılır,

Üçüncü atıcı ateş hattına neden olur.

Herhangi bir okun ateş hattındaki zorluk denge olduğundan, o zaman

Tecrübenin bir sonucu olarak, atıcıların yapıldıktan sonra bir olay gözlendi, hedef şaşırmadı. Bu olayın hipotezleri ile şartlı olasılıkları eşittir:

bayes formülüne göre, deneyim sonrası hipotez olasılığını buluyoruz:

Misal. Üç makinelerde, ortak bir konveyör üzerinde işlemden sonra gelen aynı kısım türü ile işlenir. İlk makine evliliğin% 2'sini verir, ikinci -% 7, üçüncü -% 10. İlk makinenin performansı, saniyenin 3 kat daha fazla performansıdır ve üçüncüsü ikinciden 2 kat daha azdır.

a) Konveyör üzerindeki evliliğin yüzdesi nedir?

b) Konveyör üzerindeki kusurlu parçalar arasında her makinenin ayrıntılarının piyasası nelerdir?

Karar. Bir ayrıntı getirmek için konveyörden alın ve A etkinliğini göz önünde bulundurun - detay kusurludur. Bu detayın işlendiği yerde hipotezlerle ilişkilidir: - Makine tarafından çekilen detaylar makine tarafından işlendi.

Koşullu olasılıklar (sorunun durumunda ilgi formunda verilir):

Makine üreticileri arasındaki ilişki aşağıdaki anlamına gelir:

Ve hipotezin tam bir grup oluşturduğundan, o zaman.

Elde edilen denklem sistemine karar veriyoruz:.

a) Konveyörden alınan detayların arızalı olması tespiti:

Başka bir deyişle, konveyörden gelen parçaların kütlesinde, evlilik% 4'tür.

b) Alınan detayların kusurlu olduğunu bildirin. Bayes formülünü kullanarak, hipotezlerin şartlı olasılığını bulacağız:

Böylece, konveyör üzerindeki kusurlu parçaların toplam kütlesinde, birinci makinenin payı% 33'tür, ikincisi% 39'dur, üçüncüsü% 28'dir.

Pratik görevler

1. Egzersiz

Olasılık teorisinin ana bölümleri için görevleri çözme

Amaç, problem çözmede pratik beceriler elde etmektir.

olasılık teorisinin bölümleri

Pratik bir görevin uygulanması için hazırlık

Bu konudaki teorik materyali okuyun, teorik içeriğin içeriğini ve edebi kaynaklardaki ilgili bölümleri araştırmak için

Görevi gerçekleştirme prosedürü

Tablo 1'de verilen görev sürümünün numarasına göre 5 görevi çözün.

Kaynak verileri için seçenekler

tablo 1

	görev numarası

Görevdeki raporun bileşimi 1

5 Çözülen görev seçenek sayısına göre.

Öz Çözümler İçin Görevler

1 .. aşağıdaki olaylar gruplarıdır: a) Tecrübe - paralar atma; Etkinlikler: A1.- artanların görünümü; A2.- Rakamların görünümü; b) Deneyim - iki para atma; Etkinlikler: 1'de- İki kat arın görünümü; 2'DE -İki hanenin görünümü; 3'te- bir kat arması ve bir rakamın görünümü; c) deneyim - bir oyun kemiği atma; Etkinlikler: C1 -iki noktadan fazla olmayan görünüm; C2 -üç veya dört noktanın görünümü; C3 -en az beş noktaların görünümü; d) deneyim - hedef atış; Etkinlikler: D1- Hit; D2 -kayma; e) Deneyim - iki hedef atış; Etkinlikler: E0- Tek bir vuruş değil; E1- bir vuruş; E2.- İki hit; e) Deneyim - iki kartı güvertedeki kaldırın; Etkinlikler: F1 -iki kırmızı kartın ortaya çıkması; F2.- İki siyah kartın görünümü?

2. Siyah ve B urn'da siyah toplar. Bir top URN'lerden çıkarılır. Bu topun beyaz olması ihtimali bulun.

3. URN A'da beyaz I. B. siyah toplar. Urns'tan bir topa çıkın ve bir kenara koyun. Bu top beyazdı. Bundan sonra, başka bir top urndan alır. Bu topun da beyaz olacağı şansı bulun.

4. URN A'da beyaz ve B. siyah toplar. Bir top, Urns'tan çekildi ve bakmadan bir kenara koyuldu. Bundan sonra, başka bir top urndan aldı. O beyazdı. Birinci topun bir kenara sapma şansını da bulun.

5. içeren URN'den beyaz ve B. siyah toplar, birbiri ardına bir tane çıkar. Topdaki son kalan topun beyaz olacağının olasılığını bulun.

6. Hangi urn beyaz toplar ve b siyah, içinde tüm topları çıkarın. İkinci balonun sırayla alınması ihtimali bulun.

7. Urn'da beyaz ve B siyah topları (A. > 2). İki top, URN'lerden çıkarılır. Her iki topun da beyaz olacağının olasılığını bulun.

8. Siyah ve B Urn'de siyah toplar (A\u003e 2, b\u003e 3). Beş top, URN'lerden çıkarılır. Olasılık bulmak rbu ikisi beyaz olacak ve üç siyah olacak.

9. x'den oluşan bir partide Ürünler, mevcut BEN.arızalı. Partiden kontrol için seçildi Ürün:% s. Olasılık bulmak rbunların tam olarak j Ürünler arızalı olacaktır.

10. Kemik çalmak bir kez acele eder. Aşağıdaki olayların olasılığını bulun: FAKAT -eşit sayıda puanın ortaya çıkması; İÇİNDE- en az 5 puanın görünümü; Dan5 puandan fazla olmayan görünümü.

11. Kemik çalmak iki kez acele eder. Olasılık bulmak rher iki katın da aynı sayıda puan görünmesi.

12. Aynı anda iki çalma kemikleri atılır. Aşağıdaki olayların olasılıklarını bulun: FAKAT- Düşen noktaların toplamı 8; İÇİNDE- Düşen noktaların ürünü 8; Danpuan miktarı, işlerinden daha fazla düştü.

13. İki madeni paralar acele ediyor. Olaylardan hangisi daha muhtemeldir: FAKAT -paralar aynı partilerle yatacak; İÇİNDE -paralar farklı taraflarda mı yalan söyler?

14. URN A'da beyaz ve B. siyah toplar (A. > 2; B. > 2). Urns'tan aynı anda iki top. Hangi olay daha muhtemeldir: FAKAT- Aynı renkteki toplar; İÇİNDE -farklı renklerin topları?

15. Üç oyuncu kartlar oynuyor. Her biri 10 kartı verdi ve iki kart bir bonada kaldı. Oyunculardan biri, bir bubnova kıyafeti ve 4 haritası olduğunu görüyor. Bu dörtten iki kartı sıfırlar ve kendisini bir bona alır. İki tamburous kart alacağının olasılığını bulun.

16. İçeren URN'den pamaçlı toplar, rastgele bir diğerinden bir tane çıkarır. Kesim toplarının sayısının yola çıkması olasılığını bulun: 1, 2, ..., p.

17. Önceki görevdeki olduğu gibi aynı URN, ancak çıkardıktan sonraki her top, geri dönüp başkalarıyla karıştırılır ve numarası kaydedilir. Doğal sayı dizisinin kaydedileceği ihtimali bulun: 1, 2, ..., s.

18. Tam kart destesi (52 sayfa) 26 sayfanın iki eşit paketine ayrılır. Aşağıdaki olayların olasılıklarını bulun: FAKAT -paketlerin her birinde iki as olacak; İÇİNDE- Paketlerden birinde, tek bir ACE olmayacak ve diğeri - dört; C-b.bir toka bir ACE olacak ve diğer - üçü olacak.

19. Basketbol şampiyonluğunun çizilmesinde, her biri iki takımın iki grubunun rastgele oluştuğu 18 takım dahildir. Yarışmanın katılımcıları arasında 5 takım var

ekstra sınıf. Aşağıdaki olayların olasılıklarını bulun: FAKAT -tüm ekstra sınıf komutları aynı gruba girecek; İÇİNDE- İki acil durum takımı gruplardan birine girecek ve üç kişiye düşecek.

20. Dokuz Kart Yazılı Numaralar: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. Bunlardan ikisi rastgele çıkarılır ve görünüş sırasına göre masaya istiflenir, daha sonra ortaya çıkan sayı, örneğin okunur. 07 (yedi), 14 (on dört), vb. Numaranın bile olabileceği olasılığını bulun.

21. Beş kartta, sayılar yazılır: 1, 2, 3, 4, 5. Bir tanesi, birbiri ardına kaldırıldı. İkinci karttaki numaranın ilk olarak daha büyük olabileceği olasılığını bulun.

22. Aynı soru, görev 21'de, ancak çıkardıktan sonraki ilk kart geri yerleştirilir ve geri kalanıyla karıştırılır ve üzerinde duran sayıdır.

23. URN A'da beyaz, B. siyah ve kırmızı toplarla. Urns'dan bir diğerinden birinden sonra bir tane çıkarın ve renklerini yazın. Bu listede beyaz rengin siyahtan önce görüneceğini bulma.

24. İki URN var: İlk A'da beyaz ve B. siyah Toplar; İkinci C'de beyaz ve D siyah. Her bir urndan topun üzerinden çıkarıldı. Her iki topun da beyaz olacağının olasılığını bulun.

25. Görevlerin 24'ü uyarınca, topların farklı renkler olacağı olasılığını bulun.

26. Tabanca davulunda, beşinin yattığı yedi yuva ve iki tane boş bırakıldı. Davul, yuvalardan birinin bagaja döndüğü bir sonucu olarak döndürülür. Bundan sonra tetik basılır; Hücre boşsa, çekim gerçekleşmez. Olasılık bulmak rböyle bir deneyimi üst üste iki kez tekrarlayan, ikimiz de kaydırılmadık.

27. Aynı koşullarda (Görev 26'ya bakınız) Her iki kere de atışın gerçekleşeceği olasılığını bulun.

28. Urn'de orada bir; 1, 2 sayılarla işaretlenmiş toplar, ..., içinUrns BEN.bir kez bir top kaldırıldı (BEN.<к), top numarası yazılır ve top URN'ye geri tutar. Olasılık bulmak rtüm kaydedilen numaraların farklı olacağı.

29. Bölünmüş bir alfabenin beş harfinin, "kitap" kelimesi hazırlanır. Nasıl okunacağını bilmeyen bir çocuk, bu mektupları dağılmış ve daha sonra rastgele sırayla toplanır. Olasılık bulmak ryine "kitap" kelimesini ortaya çıkardığı gerçeği.

30. "Ananas" kelimesi, bölünmüş bir alfabenin harflerinden çekildi. Nasıl okunacağını bilmeyen bir çocuk, bu mektupları dağılmış ve daha sonra rastgele sırayla toplanır. Olasılık bulmak ryine "ananas" kelimesi var.

31. Çoklu haritalar, kartların tam destesinden (52 sayfa, 4 süit) kaldırılır. Bunların arasında aynı kartların olacağını iddia etmek için 0,50'den daha muhtemel olmak için kaç kartın kaldırılması gerekir?

32. N.bir adam rastgele yuvarlak masa üzerinde kaybolur (N\u003e2). Olasılık bulmak rbu iki sabit yüz FAKATve İÇİNDEyakın olacak.

33. Aynı görev (cm 32), ancak tablo dikdörtgendir ve n bir kişi, yanlışlıkla yanlarından birinin yanında.

34. Loto varilleri 1'e kadar yazılmıştır. N.Bunların N.varil yanlışlıkla iki seçilir. K'lerden daha küçük sayıların her iki fıçıya yazıldığından daha küçük olma olasılığını bulun. (2

35. Varillerde loto 1'den N.Bunların N.varil yanlışlıkla iki seçilir. Fıçılardan birinin KE'lerden birinin K'den daha büyük olduğunu bulun. , ve diğer tarafta - k'den az . (2

36. Batarya dışarı M.silahlar, oluşan bir gruba ateş açar. N.hedefler (M.< N). Silahlar, hiçbir iki silahın bir hedefi vuramayacağı sağlanan, rastgele, rastgele hedeflerini seçer. Olasılık bulmak r1, 2 numaralı hedefler tarafından ne atılacak ..., M.

37. Batarya, içinsilahlar, oluşan bir gruba ateş açar BEN.uçak (için< 2). Her bir cihaz yanlışlıkla ve başkalarından bağımsız olarak bir hedef seçer. Hepsinin olasılığını bulun içinsilahlar aynı amaçla ateş edecek.

38. Önceki görevin koşullarında, tüm silahların farklı amaçlar çekeceği olasılığını bulun.

39. Dört top dört delikte rastgele saçılır; Her top, aynı olasılıkla ve başkalarından bakılmaksızın (aynı olana ve aynı iyi topların aynı şekilde iyi edilmesi engeller). Üç topun kuyulardan birinde, diğerine geleceği ihtimalini bulun ve diğer sol deliklerde top olmayacaktır.

40. Masha Peter ile kavga etti ve ona bir otobüste gitmek istemiyor. 5 otobüs, hostelden enstitüye 7'den 8'e kadar bırakır. Bu otobüsler için zamanım yoktu, bir ders için geç kaldı. Masha ve Peter'ın kaç yönü farklı otobüsler için enstitüye ulaşabilir ve bir ders için geç kalmayabilir mi?

41. Bankanın bilgi yönetiminde 3 analitik, 10 programcı ve 20 mühendis bulunmaktadır. Bir tatilde fazla mesai için, bölümün başkanı bir çalışanı tahsis etmelidir. Bu kaç yol yapılabilir?

42. Banka'nın güvenlik hizmeti başkanı 10 görev için 10 görev için ayrılmalıdır. Bu kaç yol yapılabilir?

43. Bankanın yeni başkanı, 10 yönetici arasından 2 yeni başkan yardımcısı atamalıdır. Bu kaç yol yapılabilir?

44. Savaşan taraflardan biri 12, diğerlerini ve diğerlerini yakaladı. 7 Mahkum Mahsus Exchange'i kaç yön değiştirebilirim?

45. Petya ve Masha video video toplayın. Petit, 30 komedy, 80 militan ve 7 meloder, Masha - 20 komedi, 5 militan ve 90 meloder vardır. Peter ve Masha'nın 3 komediyi, 2 militan ve 1 melodramı değiştirebilir kaç?

46. \u200b\u200b45 ile ilgili problemler açısından, bazı şekillerde, Peter ve Masha, 3 melodram ve 5 komediyi değiştirebilir mi?

47. Görevlerin 45 şartları altında, bazı şekillerde, Peter ve Masha, 2 militan ve 7 komediyi değiştirebilir.

48. Savaşan taraflardan biri 15'i yakaladı ve diğer - 16 mahkum. 5 Mahkum Mahkum Mahsusunu değiştirebilirim?

49. Numara 3 hane ve 3 harf varsa, 1 şehirde kaç araba kaydedilebilir (yalnızca yazısı Latin ile çakışanlar - A, B, E, K, M, N, O, P, C, T, Y , X)?

50. Savaşan partilerden biri 14 ve diğer - 17 tutucu. 6 Mahkum Savaş Mahkumunu değiştirebilirim?

51. "Anne" kelimesinde harfleri yeniden düzenleyerek kaç farklı kelime yapılabilir?

52. 3 kırmızı ve 7 yeşil elma sepetinde. Ondan bir elma alır. Kırmızı olacağının olasılığını bulun.

53. 3 kırmızı ve 7 yeşil elma sepetinde. Bundan çıkarıldı ve bir yeşil elmayı erteledi. Bundan sonra, 1 elma sepetten çıkarılır. Bu elmanın yeşil olmanın olasılığı nedir?

54. 1000 üründen oluşan bir partide, 4 kusurludur. Kontrol etmek için, 100 ürün grubu seçin. Kontrol listesinde de kusurlu olmayacak olan şeyin olasılığı nedir?

56. 80'lerde, 36 oyunun Sportoto 5'si SSCB'de popülerdi. Oyuncu, kartta 1'den 36'dan 36'dan 36 numaraya geldi ve dolaşım komisyonu tarafından açıklanan farklı sayıda sayı olduğunu tahmin ediyorsa, çeşitli avantajların ödüllerini aldı. Müzikçaların tek bir numarayı tahmin etme şansını bulun.

57. SSCB'deki 80'lerde, "36 Sportlot 5" oyunu popülerdi. Oyuncu, kartta 1'den 36'dan 36'dan 36 numaraya geldi ve dolaşım komisyonu tarafından açıklanan farklı sayıda sayı olduğunu tahmin ediyorsa, çeşitli avantajların ödüllerini aldı. Oyuncunun bir numarayı tahmin etme şansını bulun.

58. SSCB'deki 80'lerde, "36 Sportoto 5" oyunu popülerdi. Oyuncu, kartta 1'den 36'dan 36'dan 36 numaraya geldi ve dolaşım komisyonu tarafından açıklanan farklı sayıda sayı olduğunu tahmin ediyorsa, çeşitli avantajların ödüllerini aldı. Oyuncunun 3 numarayı tahmin etme şansını bulun.

59. SSCB'deki 80'lerde, "36 Sportoto 5" oyunu popülerdi. Oyuncu, kartta 1'den 36'dan 36'dan 36 numaraya geldi ve dolaşım komisyonu tarafından açıklanan farklı sayıda sayı olduğunu tahmin ediyorsa, çeşitli avantajların ödüllerini aldı. Müzikçaların tüm 5 sayıyı tahmin etme şansını bulun.

60. 1980'lerde, 49'daki Gameloto 6, SSCB'de popülerdi. Oyuncu, kartta 1 ila 49 arasında 6 rakamlandı ve dolaşım komisyonu tarafından bildirilen farklı sayıda sayı olduğunu tahmin ediyorsa, çeşitli avantajların ödülü aldı. Oyuncunun 2 numarayı tahmin etme şansını bulun.

61. 1980'lerde, 49'daki Greyloto'nun 6'sı SSCB'de popülerdi. Oyuncu, kartta 1 ila 49 arasında 6 rakamlandı ve dolaşım komisyonu tarafından bildirilen farklı sayıda sayı olduğunu tahmin ediyorsa, çeşitli avantajların ödülü aldı. Müzikçaların tek bir numarayı tahmin etme şansını bulun.

62. 80'lerde, 49'daki Greyloto'nun 6'sı SSCB'de popülerdi. Oyuncu, kartta 1 ila 49 arasında 6 rakamlandı ve dolaşım komisyonu tarafından bildirilen farklı sayıda sayı olduğunu tahmin ediyorsa, çeşitli avantajların ödülü aldı. Müzikçaların tüm 6 sayıyı verme olasılığını bulun.

63. 1000 üründen oluşan bir partide, 4'ün kusurları var. Kontrol etmek için, 100 ürün grubu seçin. SADECE 1 kusurun kontrol listesinde olacağı da olasılığı nedir?

64. "Kitap" kelimesinde harfleri yeniden düzenleyerek kaç farklı kelime yapılabilir?

65. "Ananas" kelimesinde harfleri yeniden düzenleyerek kaç farklı kelime yapılabilir?

66. 6 kişi asansöre girdi ve hostelin 7 katı var. 6 kişinin de aynı katta çıkacağı olasılığı nedir?

67. 6 kişi asansöre girdi, binanın 7 katı var. 6 kişinin hepsinin farklı katlarda çıkması olasılığı nedir?

68. 40 ila 79 km arasında bir arsa üzerinde bir fırtına sırasında, elektrik hatları meydana geldi. Molanın herhangi bir yerde eşit derecede mümkün olduğunu göz önüne alarak, kırıkın 40. ve 45. kilometre arasında meydana gelme olasılığını bulun.

69. Gaz boru hattının 200 kilometresine göre, boru hattının herhangi bir noktasında eşit derecede mümkün olan kompresör istasyonları A ve B arasında bir gaz kaçağı meydana gelir. Kaçağın 20 km'den daha fazla olmadığı olasılığı nedir?

70. Gaz boru hattının 200 kilometresine göre, boru hattının herhangi bir yerinde eşit derecede mümkün olan kompresör istasyonları A ve B arasında gaz kaçağı meydana gelir. Kaçakın k'ye daha yakın olması olasılığı nedir

71. Radar DPS Müfettişi 10 km / saat doğruluğuna sahiptir ve bir sonraki yönde yuvarlanır. Daha sık ne olur - sürücü ya da müfettiş lehine yuvarlama?

72. Masha, enstitüye 40 ila 50 dakika olan yola harcıyor ve bu boşlukta herhangi bir zamanda eşdeğerdir. 45 ila 50 dakika arasında yola harcayacağı olasılığı nedir.

73. Petya ve Masha, Pushkin Anıtı'nda 12 ila 13 saat arasında buluşmayı kabul etti, ancak kimse varış zamanını belirleyemez. 15 dakika beklemeyi kabul ettiler. Toplantılarının olasılığı nedir?

74. Balıkçılar, 10 adet ısıtıldığı gölde 120 balık yakaladı. Ocellenmiş balığı yakalama olasılığı nedir?

75. 3 kırmızı ve 7 yeşil elma içeren sepetten tüm elmaları sırayla çıkarın. 2. elmanın kırmızı olmanın olasılığı nedir?

76. 3 kırmızı ve 7 yeşil elma içeren sepetten tüm elmaları sırayla çıkarın. Son elmanın yeşil olmanın olasılığı nedir?

77. Öğrenciler, 50 biletin 10'unun 10'undan "iyi" olduğunu düşünüyor. Petya ve Masha bir bilet çekerek sırayla alır. Masha'nın "iyi" bir bilet olması olasılığı nedir?

78. Öğrenciler, 50 biletin 10'unun 10'undan "iyi" olduğunu düşünüyor. Petya ve Masha bir bilet çekerek sırayla alır. İkisinin de "iyi" bir bilet olduğu olasılığı nedir?

79. Masha, 25'den Programın 20 sorusunun cevaplarını bilmek sınava geldi. Profesör 3 soru belirtir. Masha'nın 3 soruyu cevaplayacağı olasılığı nedir?

80. Masha, programın 20 sorusuna olan cevapları 25'ten 25. Profesör 3 soruyu belirtir. Masha'nın herhangi bir soruyu cevaplamayacağı olasılığı nedir?

81. Masha, Programın 20 sorusuna olan cevapları 25'ten 25. Profesörün 3 soruyu belirtir. Masha'nın 1 soru cevaplayacağı olasılığı nedir?

82. Bankadaki kredi taleplerinin istatistikleri aşağıdaki gibidir:% 10 - Devlet. Yetkililer,% 20 - Diğer bankalar, gerisi bireylerdir. Sırasıyla, 0.01, 0.05 ve 0.2 kredilerin iadesi olasılığı. Kredilerin hangi payı iade edilmiyor?

83. Dondurma tüccarının haftalık cirosunun 2000 ruble'yi geçeceği olasılığı. Net hava koşullarında% 80, bulut değişkenli% 50 ve yağışlı havalarda% 10'dur. Ciro 2000 ruble aşmanın olasılığı nedir. Net hava koşulları olasılığı% 20 ise, değişken bulutluluk ve yağmur% 40'dır.

84. Urn ve White (B) ve içinde siyah (h) topları. Urns'tan (aynı zamanda veya sırayla) iki topdan çıkarılır. Her iki topun da beyaz olacağının olasılığını bulun.

85. URN A'da beyaz ve B.

86. ARN A. beyaz ve B.

87. ARN A. beyaz ve B. siyah toplar. Bir top, urndan çıkarılır, rengi ve top urn'a geri döner. Bundan sonra, URN'den bir top daha alınır. Bu topların farklı renkler olacağı olasılığını bulun.

88. Dokuz yeni tenis topu olan bir kutu var. Oyun için üç hedef alın; Oyundan sonra geri koyulurlar. Topları seçerken, oyuncular sandalyelerden ayırt edilmez. Kutudaki üç maçtan sonra toplar için ayrılmayacağı olasılığı nedir?

89. Daireyi terk etmek, N. her konuk helosunu giyecek;

90. Daireyi terk etmek, N.aynı ayakkabı boyutlarına sahip olan misafirler karanlıkta bir mandrel üzerine konur. Her biri sağ calico'yu soldan ayırt edebilir, ancak yabancılarını ayırt edemez. Bu olasılığını bulmak her misafir, bir çifte ait olan Kalosh'u koyar (belki de kendi).

91. 90 Gece görevinin koşullarında, herkesin kalorilerinde bırakacağı olasılığı konuklar doğru Calosa'yı soldan ayıramazlar ve sadece ilk iki kaloskoyu alın.

92. Okçuluk, savunmasız parçaları iki motor ve pilot kabin olan uçaklar tarafından yapılır. Bir uçağa vurmak için (çıktı), her iki motorda birlikte veya pilot kabin vurmak için yeterlidir. Bu çekim koşulları altında, ilk motorun zarar görme olasılığı eşittir. plİkinci motor p2,pilot kabinler p3.Uçağın kısımları birbirinden bağımsız olarak etkilenir. Uçağın hayran olacağı şansı bulun.

93. İki ok, birbirinden bağımsız olarak, iki çekim yapın (her biri hedefleri tarafından). Hedefi ilk ok için bir atışla vurma olasılığı plikinci için p2.Kazanan yarışmanın, hedefte daha basılmış olacak olan atıcı olarak kabul edilir. Olasılık bulmak Rhİlk okları ne kazanacak?

94. Uzay nesnesinin arkasında, nesne olasılıkla tespit edilir r.Her bir döngüdeki nesne tespiti diğerlerinden bağımsız olarak gerçekleşir. Ne zamanki olasılığını bulmak pdöngü nesnesi tespit edilecektir.

95. 32 Rus alfabesinin harfleri, bölünmüş alfabe çemberine yazılmıştır. Beş kart, diğerinden bir taneden rastgele çıkarılır ve görünüş sırasına göre masaya yığılmıştır. "Son" kelimesinin olacağı şansı bulun.

96. İki top, dört hücrede birbirlerinin birbirlerinden bağımsız olarak düz bir çizgide birbirinden bağımsız olarak dağılmıştır. Her bir top 1/4 olasılığı her bir hücreye girer. Topların komşu hücrelere girme şansını bulun.

97. Okçuluk, uçak yakma kabukları tarafından yapılır. Uçaktaki yakıt, gövdede bir tek tek bulunan dört tankta konsantre edilir. Plaza tankları aynıdır. Uçağı tutuşturmak için, aynı tankta veya komşu tanklarda iki kabuk elde etmek yeterlidir. İki merminin tank alanına düştüğü bilinmektedir. Uçağın aydınlanma şansını bulun.

98. Dört kart, haritaların tam destesinden çıkarılır (52 sayfa). Tüm bu dört kartın farklı dokular olacağı olasılığını bulun.

99. Dört kart, kartların tam destesinden (52 sayfa), ancak her bir kartın desteye geri döndükten sonra her kart. Tüm bu dört kartın farklı dokular olacağı olasılığını bulun ..

100. Kontak açıldığında, motor olasılıkla çalışmaya başlar. r.

101. Cihaz iki modda çalışabilir: 1) normal ve 2) anormal. Normal mod, cihazın tüm vakalarının% 80'inde gözlenir; Anormal -% 20. Cihazın başarısızlığının sırayla olasılığı t.normal modda 0.1; Anormal - 0.7. Tam olasılık rcihazın başarısızlığı söner.

102. Mağaza 3 tedarikçiden malları alır: 1., 1., 20'nin% 55'i, 3. ve% 25'inin% 25'inin. Evlilik payı sırasıyla yüzde 5, 6 ve 8'dir. İkinci tedarikçiden satın alınan kusurlu bir malın gelme olasılığı nedir.

103. Benzin istasyonundaki araçlar kargoun% 60'ından ve binek otomobillerinin% 40'ından oluşur. Bir kamyonun benzin istasyonu bulma olasılığı, eğer yakıt ikmali 0.1 ve yolcu olasılığı - 0.3

104. Otomobillerin benzin istasyonu tarafından akışı, kargoların% 60'ından ve binek otomobillerinin% 40'ından oluşur. Bir kamyonun benzin istasyonu bulma olasılığı, eğer yakıt ikmali 0.1 ve yolcu olasılığı - 0.3

105. Mağaza 3 tedarikçiden malları alır: 1., 1., 20'nin% 55'i, 3. ve% 25'inin% 25'inin. Evlilik payı sırasıyla yüzde 5, 6 ve 8'dir. Satın alınan kusurlu malların 1. tedarikçiden gelme olasılığı nedir.

106. 32 Rus alfabesinin harfleri, bölünmüş alfabe çemberine yazılmıştır. Beş kart, diğerinden bir taneden rastgele çıkarılır ve görünüş sırasına göre masaya yığılmıştır. "Kitap" kelimesinin olacağı olasılığını bulun.

107. Mağaza 3 tedarikçiden mal alıyor: 1., 1., 20'nin% 55'i, 3. ve% 25'inin% 25'inin. Evlilik payı sırasıyla yüzde 5, 6 ve 8'dir. Satın alınan kusurlu malların 1. tedarikçiden gelme olasılığı nedir.

108. İki top, dört hücrede birbirinden bağımsız olarak, birbiri ardına düz bir çizgide birbirinden bağımsız olarak dağılır. Her bir top 1/4 olasılığı her bir hücreye girer. 2 topun bir hücreye gireceği olasılığını bulun

109. Kontak açıldığında, motor bir olasılıkla çalışmaya başlar. r. Motorun ikinci ateşleme anahtarı ile çalışmaya başlayacağı olasılığını bulun;

110. Uçak çekimi, güvenilir kabukları tarafından yapılır. Uçaktaki yakıt, gövdede bir tek tek bulunan dört tankta konsantre edilir. Plaza tankları aynıdır. Uçağı aydınlatmak için, aynı tankın içine iki mermi elde etmek yeterlidir. İki merminin tank alanına düştüğü bilinmektedir. Uçağın yanacağı olasılığını bulun

111. Uçak çekimi, güvenilir kabukları tarafından yapılır. Uçaktaki yakıt, gövdede bir tek tek bulunan dört tankta konsantre edilir. Plaza tankları aynıdır. Uçağı tutuşturmak için, bitişik tanklarda iki mermi elde etmek yeterlidir. İki merminin tank alanına düştüğü bilinmektedir. Uçağın yanacağı olasılığını bulun

112. URN A. beyaz ve B. siyah toplar. Bir top, urndan çıkarılır, rengi ve top urn'a geri döner. Bundan sonra, URN'den bir top daha alınır. Her iki kesme toplarının da beyaz olacağını gör.

113. ARN A. beyaz ve B. siyah toplar. İki top, URN'den çıkarılır. Bu topların farklı renkler olacağı olasılığını bulun.

114. İki top, şanstan ve birbirlerinden bağımsız olarak birbirlerinden bağımsız olarak birbirlerini düz bir çizgide birbirine bağırır. Her bir top 1/4 olasılığı her bir hücreye girer. Topların komşu hücrelere girme şansını bulun.

115. Masha, 25'den Programın 20'nin sorusuna cevapları bilerek sınava geldi. Profesör 3 soru belirtir. Masha'nın 2 soruyu cevaplayacağı olasılığı nedir?

116. Öğrenciler, 50 biletin 10'undan 10 "iyi" olduğunu düşünüyor. Petya ve Masha bir bilet çekerek sırayla alır. İkisinin de "iyi" bir bilet olduğu olasılığı nedir?

117. Bankadaki kredi taleplerinin istatistikleri aşağıdaki gibidir:% 10 - Devlet. Yetkililer,% 20 - Diğer bankalar, gerisi bireylerdir. Sırasıyla, 0.01, 0.05 ve 0.2 kredilerin iadesi olasılığı. Kredilerin hangi payı iade edilmiyor?

118. 32 Rus alfabesinin harfleri bölünmüş alfabe çemberine yazılmıştır. Beş kart, diğerinden bir taneden rastgele çıkarılır ve görünüş sırasına göre masaya yığılmıştır. "Son" kelimesinin olacağı şansı bulun.

119 Bankadaki krediler için taleplerin istatistikleri aşağıdaki gibidir:% 10 - Devlet. Yetkililer,% 20 - Diğer bankalar, gerisi bireylerdir. Sırasıyla, 0.01, 0.05 ve 0.2 kredilerin iadesi olasılığı. Kredilerin hangi payı iade edilmiyor?

120. Dondurmanın haftalık cirosunun 2000 ruble'yi geçeceği olasılığı. Net hava koşullarında% 80, bulut değişkenli% 50 ve yağışlı havalarda% 10'dur. Ciro 2000 ruble aşmanın olasılığı nedir. Net hava koşulları olasılığı% 20 ise, değişken bulutluluk ve yağmur% 40'dır.