tgx a denkleminin kökü formül ile bulunur. Trigonometrik Denklemler - Formüller, Çözümler, Örnekler

Tikhonov A. N. ve Samarsky A. A., Equations of matematiksel fizik, 3. baskı, M., 1977. - s. 155....

Hiperbolik kısmi diferansiyel denklemlerin sınıflandırılması

Isı denklemi, sürekli bir ortamda (gaz ...

Kuyruk sistemleri teorisinde kullanılan matematiksel yöntemler

Sistem durumlarının olasılıkları, aşağıdaki kurala göre derlenen Kolmogorov diferansiyel denklem sisteminden bulunabilir: Her birinin sol tarafında i-inci durum olasılığının türevi bulunur...

Durağan olmayan Riccati denklemi

1. Genel Riccati denklemi şu şekildedir: , (1.1) burada P, Q, R, x aralıkta değişirken x'in sürekli fonksiyonlarıdır Bernoulli...

Bilimsel araştırmanın temelleri ve ulaşımda deneylerin planlanması

En küçük kareler yöntemini (LSM) kullanarak Y = f(X) fonksiyonel bağımlılığını (regresyon denklemi) elde ederiz. Yaklaşan fonksiyonlar olarak doğrusal (Y = a0 + a1X) ve ikinci dereceden bağımlılıkları (Y = a0 + a1X + a2X2) kullanın. a0 değerinin en küçük kareleri kullanılarak...

Kutupsal koordinat sisteminin kutbunu dikdörtgen koordinat sisteminin başına yerleştirelim, kutupsal eksen apsisin pozitif yarı ekseni ile uyumludur (Şekil 3). Pirinç. 3 Düz bir çizginin denklemini normal formda ele alalım: (3.1) - dikeyin uzunluğu ...

Uçakta kutupsal koordinat sistemi

Kutup ekseninde merkezli ve R yarıçaplı bir çemberin kutuplarından geçen bir çemberin kutupsal koordinatlarında bir denklem oluşturalım. OAA dik üçgeninden OA= OA elde ederiz (Şekil 4)...

Örnekleme teorisi kavramları. Dağıtım sıraları. Korelasyon ve regresyon analizi

Çalışmak için: a) eşleştirilmiş doğrusal regresyon kavramı; b) bir normal denklem sisteminin derlenmesi; c) en küçük kareler yöntemiyle yapılan tahminlerin özellikleri; d) doğrusal bir regresyon denklemi bulmak için bir teknik. Sanmak...

Kuvvet serileri şeklinde diferansiyel denklem çözümlerinin oluşturulması

Oluşturulan teorinin uygulanmasına bir örnek olarak, Bessel denklemini ele alalım: (6.1) Nerede. z = 0 tekil noktası düzenlidir. Düzlemin sonlu kısmında başka tekillikler yoktur. Denklem (6.1)'de, bu nedenle, tanımlayıcı denklem şu şekle sahiptir, yani ...

Matris denklemlerinin çözümü

ХА=В matris denklemi de iki şekilde çözülebilir: 1. Ters matris, bilinen yöntemlerden herhangi biri ile hesaplanır. O zaman matris denkleminin çözümü şöyle görünecektir: 2...

Matris denklemlerinin çözümü

Yukarıda açıklanan yöntemler, AX=XB, AX+XB=C şeklindeki denklemleri çözmek için uygun değildir. Ayrıca bilinmeyen X matrisindeki faktörlerden en az birinin dejenere bir matris olduğu denklemleri çözmek için uygun değildirler...

Matris denklemlerinin çözümü

AX = XA şeklindeki denklemler, önceki durumda olduğu gibi, yani eleman eleman çözülür. Buradaki çözüm, permütasyon matrisini bulmaya geliyor. Bir örneğe daha yakından bakalım. Örnek. Tüm matrisleri bul...

Baklava biçimli bir kuyruk ağının sabit çalışması

Durumdan aşağıdaki durumlardan birine gidebilir: - uygulamanın yoğunluğa sahip ilk düğümün kuyruğuna gelmesi nedeniyle; - içinde işlenen başvurunun ilk düğümden üçüncü düğümün kuyruğuna yoğunluğu ile alınması nedeniyle ...

Trigonometrik fonksiyonlar

Bir sayının yay tanjantı, sinüsü a olan bir sayıdır: if ve. Denklemin tüm kökleri aşağıdaki formülle bulunabilir: ...

Matematik problemlerini çözmek için sayısal yöntemler

Sorununuza detaylı çözüm siparişi verebilirsiniz!!!

Bir trigonometrik fonksiyonun ('sin x, cos x, tg x' veya 'ctg x') işareti altında bilinmeyen içeren bir eşitliğe trigonometrik denklem denir ve formüllerini daha sonra ele alacağız.

En basit denklemler "sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a"dır, burada "x" bulunacak açıdır, "a" herhangi bir sayıdır. Her biri için kök formülleri yazalım.

1. Denklem "sin x=a".

`|a|>1` için çözümü yoktur.

`|a| ile \leq 1` sonsuz sayıda çözüme sahiptir.

Kök formül: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`

2. Denklem "cos x=a"

`|a|>1' için - sinüs durumunda olduğu gibi, gerçek sayılar arasında çözüm yoktur.

`|a| ile \leq 1` sonsuz sayıda çözüme sahiptir.

Kök formül: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`

Grafiklerde sinüs ve kosinüs için özel durumlar.

3. Denklem tg x=a

Herhangi bir "a" değeri için sonsuz sayıda çözüme sahiptir.

Kök formül: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`

4. Denklem "ctg x=a"

Ayrıca herhangi bir "a" değeri için sonsuz sayıda çözüme sahiptir.

Kök formül: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`

Tablodaki trigonometrik denklemlerin kökleri için formüller

Sinüs için:
kosinüs için:
Teğet ve kotanjant için:
Ters trigonometrik fonksiyonlar içeren denklemleri çözmek için formüller:

Trigonometrik denklemleri çözme yöntemleri

Herhangi bir trigonometrik denklemin çözümü iki aşamadan oluşur:

• kullanarak en basitine dönüştürmek için;
• Elde edilen basit denklemi yukarıdaki kökler ve tablolar için formülleri kullanarak çözün.

Örnekleri kullanarak ana çözüm yöntemlerini ele alalım.

cebirsel yöntem.

Bu yöntemde, bir değişkenin yer değiştirmesi ve eşitliğe ikamesi yapılır.

Örnek. Denklemi çözün: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0'

`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0',

değiştirme yapın: "cos(x+\frac \pi 6)=y", ardından "2y^2-3y+1=0",

"y_1=1, y_2=1/2" köklerini buluruz, buradan iki durum gelir:

1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`.

2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`.

Yanıt: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.

Faktoring.

Örnek. Denklemi çözün: `sin x+cos x=1'.

Çözüm. Tüm eşitlik koşullarını sola taşıyın: `sin x+cos x-1=0`. kullanarak, sol tarafı dönüştürür ve çarpanlara ayırırız:

`sin x - 2sin^2 x/2=0',

`2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 (cos x/2-sin x/2)=0',

1. "sin x/2 =0", "x/2 =\pi n", "x_1=2\pi n".
2. `cos x/2-sin x/2=0`, `tg x/2=1`, `x/2=yay 1+ \pi n`, `x/2=\pi/4+ \pi n` , `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Yanıt: "x_1=2\pi n", "x_2=\pi/2+ 2\pi n".

Homojen bir denkleme indirgeme

Öncelikle, bu trigonometrik denklemi iki formdan birine getirmeniz gerekir:

"a sin x+b cos x=0" (birinci dereceden homojen denklem) veya "a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0" (ikinci dereceden homojen denklem).

Sonra her iki parçayı da birinci durum için "cos x \ne 0"a ve ikinci durum için "cos^2 x \ne 0"a bölün. Bilinen yöntemlerle çözülmesi gereken "tg x": "a tg x+b=0" ve "a tg^2 x + b tg x +c =0" denklemlerini elde ederiz.

Örnek. Denklemi çözün: "2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x=1".

Çözüm. Sağ tarafı `1=sin^2 x+cos^2 x` şeklinde yazalım:

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` `sin^2 x+cos^2 x`,

`2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x -` ` sin^2 x - cos^2 x=0`

`sin^2 x+sin x cos x - 2 cos^2 x=0'.

Bu, sol ve sağ kısımlarını "cos^2 x \ne 0" ile bölen, ikinci dereceden homojen bir trigonometrik denklemdir, şunu elde ederiz:

`\frac (sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) - \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0`

`tg^2 x+tg x - 2=0`. Sonuç olarak "t^2 + t - 2=0" olarak değiştirilen "tg x=t"yi tanıtalım. Bu denklemin kökleri "t_1=-2" ve "t_2=1"dir. Daha sonra:

1. "tg x=-2", "x_1=yay (-2)+\pi n", "n \in Z"
2. "tg x=1", "x=arctg 1+\pi n", "x_2=\pi/4+\pi n", "n \in Z".

Cevap. "x_1=arctg (-2)+\pi n", "n \in Z", "x_2=\pi/4+\pi n", "n \in Z".

Yarım Köşeye Git

Örnek. Denklemi çözün: `11 sin x - 2 cos x = 10`.

Çözüm. Çift açı formüllerini uygulayarak sonuç şu şekildedir: `22 sin (x/2) cos (x/2) -` ` 2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` `10 sin^2 x /2 +10 cos^2 x/2`

`4 tg^2 x/2 - 11 tg x/2 +6=0`

Yukarıda açıklanan cebirsel yöntemi uygulayarak şunu elde ederiz:

1. `tg x/2=2`, `x_1=2 arctg 2+2\pi n`, `n \in Z`,
2. `tg x/2=3/4`, `x_2=yay 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

Cevap. `x_1=2 yay 2+2\pi n, n \in Z`, `x_2=yay 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

Yardımcı açının tanıtılması

a,b,c'nin katsayılar ve x'in bir değişken olduğu 'a sin x + b cos x =c' trigonometrik denkleminde, her iki parçayı da 'sqrt (a^2+b^2)' ile böleriz:

`\frac a(sqrt (a^2+b^2)) sin x +` `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x =` `\frac c(sqrt (a^2) +b^2))'.

Sol taraftaki katsayılar sinüs ve kosinüs özelliklerine sahiptir, yani karelerinin toplamı 1'e eşittir ve modülleri 1'den büyük değildir. Bunları aşağıdaki gibi gösterin: `\frac a(sqrt (a^2+) b^2))=cos \varphi` , ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2))= C`, ardından:

`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`.

Aşağıdaki örneğe daha yakından bakalım:

Örnek. Denklemi çözün: "3 sin x+4 cos x=2".

Çözüm. Denklemin her iki tarafını da `sqrt (3^2+4^2)' ile bölerek şunu elde ederiz:

`\frac (3 sin x) (sqrt (3^2+4^2))+` `\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=` `\frac 2(sqrt (3^2+4^2)'

"3/5 günah x+4/5 çünkü x=2/5".

"3/5 = cos \varphi", "4/5=sin \varphi" olarak belirtin. "sin \varphi>0", "cos \varphi>0" olduğundan, yardımcı açı olarak "\varphi=yay 4/5" alırız. Ardından eşitliğimizi şu şekilde yazıyoruz:

`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`

Sinüs için açıların toplamı formülünü uygulayarak eşitliğimizi aşağıdaki biçimde yazıyoruz:

`sin(x+\varphi)=2/5`,

`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,

`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Cevap. `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Kesirli-rasyonel trigonometrik denklemler

Bunlar, payları ve paydaları trigonometrik fonksiyonları olan kesirli eşitliklerdir.

Örnek. Denklemi çözün. "\frac (sin x)(1+cos x)=1-cos x".

Çözüm. Denklemin sağ tarafını `(1+cos x)` ile çarpın ve bölün. Sonuç olarak, şunu elde ederiz:

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)-` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)=0`

`\frac (sin x-sin^2 x)(1+cos x)=0'

Paydanın sıfır olamayacağı göz önüne alındığında, `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z` elde ederiz.

Kesrin payını sıfıra eşitleyin: "sin x-sin^2 x=0", "sin x(1-sin x)=0". Sonra "sin x=0" veya "1-sin x=0".

1. "sin x=0", "x=\pi n", "n \in Z"
2. "1-sin x=0", "sin x=-1", "x=\pi /2+2\pi n, n \in Z".

"x \ne \pi+2\pi n, n \in Z" verildiğinde, çözümler "x=2\pi n, n \in Z" ve "x=\pi /2+2\pi n" şeklindedir. , `n \in Z`.

Cevap. `x=2\pi n`, `n \in Z`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z`.

Trigonometri ve özellikle trigonometrik denklemler geometri, fizik ve mühendisliğin hemen her alanında kullanılmaktadır. Çalışma 10. sınıfta başlar, sınav için her zaman görevler vardır, bu nedenle trigonometrik denklemlerin tüm formüllerini hatırlamaya çalışın - kesinlikle sizin için kullanışlı olacaklar!

Ancak bunları ezberlemenize bile gerek yok, asıl mesele özü anlamak ve çıkarım yapabilmek. Göründüğü kadar zor değil. Videoyu izleyerek kendiniz görün.

başarıyla çözmek için trigonometrik denklemler kullanımı uygun indirgeme yöntemi Daha önce çözülmüş problemlere. Bakalım bu yöntemin özü nedir?

Önerilen herhangi bir problemde, daha önce çözülmüş problemi görmeniz ve ardından birbirini izleyen eşdeğer dönüşümler yardımıyla size verilen problemi daha basit bir probleme indirgemeye çalışmanız gerekir.

Bu nedenle, trigonometrik denklemleri çözerken, genellikle, son halkası açık bir çözümü olan bir denklem olan sonlu bir dizi eşdeğer denklem oluştururlar. Sadece en basit trigonometrik denklemleri çözme becerisi oluşturulmazsa, daha karmaşık denklemlerin çözümünün zor ve etkisiz olacağını hatırlamak önemlidir.

Ek olarak, trigonometrik denklemleri çözerken, birkaç çözümün var olma olasılığını asla unutmamalısınız.

Örnek 1. Aralıktaki cos x = -1/2 denkleminin kök sayısını bulun.

Çözüm:

ben yol. y = cos x ve y = -1/2 fonksiyonlarının grafiğini çizelim ve aralıktaki ortak noktalarının sayısını bulalım (Şekil 1).

Fonksiyonların grafikleri aralıkta iki ortak noktaya sahip olduğundan, denklem bu aralıkta iki kök içerir.

II. Trigonometrik daireyi kullanarak (Şekil 2), cos x = -1/2 olduğu aralığa ait nokta sayısını buluruz. Şekil, denklemin iki kökü olduğunu göstermektedir.

3. yol. Trigonometrik denklemin köklerinin formülünü kullanarak cos x = -1/2 denklemini çözüyoruz.

x = ± arccos (-1/2) + 2πk, k bir tamsayıdır (k € Z);

x = ± (π – arccos 1/2) + 2πk, k bir tamsayıdır (k € Z);

x = ± (π – π/3) + 2πk, k bir tamsayıdır (k € Z);

x = ± 2π/3 + 2πk, k bir tamsayıdır (k € Z).

2π/3 ve -2π/3 + 2π kökleri aralığa aittir, k bir tamsayıdır. Böylece, denklemin belirli bir aralıkta iki kökü vardır.

Cevap: 2.

Gelecekte, trigonometrik denklemler, çoğu durumda diğer yöntemlerin kullanımını dışlamayan önerilen yöntemlerden biriyle çözülecektir.

Örnek 2. [-2π; 2π].

Çözüm:

Trigonometrik denklemin köklerinin formülünü kullanarak şunu elde ederiz:

x + π/4 = arctan 1 + πk, k bir tamsayıdır (k € Z);

x + π/4 = π/4 + πk, k bir tamsayıdır (k € Z);

x = πk, k bir tamsayıdır (k € Z);

[-2π; 2π], -2π sayılarına aittir; -π; 0; π; 2π. Yani, denklemin belirli bir aralıkta beş kökü vardır.

Cevap: 5.

Örnek 3. [-π; π].

Çözüm:

1 = sin 2 x + cos 2 x (temel trigonometrik özdeşlik) olduğundan, orijinal denklem şöyle olur:

çünkü 2 x + günah x çünkü x = günah 2 x + çünkü 2 x;

günah 2 x - günah x çünkü x \u003d 0;

sin x(sin x - cos x) = 0. Çarpım sıfıra eşittir, bu da faktörlerden en az birinin sıfıra eşit olması gerektiği anlamına gelir, dolayısıyla:

sin x \u003d 0 veya sin x - cos x \u003d 0.

cos x = 0 olan değişkenin değeri ikinci denklemin kökleri olmadığı için (aynı sayının sinüsü ve kosinüsü aynı anda sıfıra eşit olamaz), o zaman saniyenin her iki kısmını da böleriz cos x ile denklem:

sin x = 0 veya sin x / cos x - 1 = 0.

İkinci denklemde, tg x = sin x / cos x olduğu gerçeğini kullanıyoruz, o zaman:

sin x = 0 veya tg x = 1. Formülleri kullanarak şunları elde ederiz:

x = πk veya x = π/4 + πk, k bir tam sayıdır (k ∈ Z).

İlk kök dizisinden [-π; π] -π sayılarına aittir; 0; π. İkinci diziden: (π/4 – π) ve π/4.

Böylece, orijinal denklemin beş kökü [-π; π].

Cevap: 5.

Örnek 4. [-π; 1.1π].

Çözüm:

Denklemi aşağıdaki biçimde yeniden yazalım:

tg 2 x + сtg 2 x + 3(tg x + сtgx) + 4 = 0 ve bir değişiklik yapın.

tg x + сtgx = a olsun. Denklemin her iki tarafının karesini alalım:

(tg x + сtg x) 2 = bir 2 . Parantezleri genişletelim:

tg 2 x + 2tg x ctgx + ctg 2 x = bir 2 .

tg x сtgx \u003d 1 olduğundan, tg 2 x + 2 + сtg 2 x \u003d a 2, yani

tg 2 x + сtg 2 x \u003d a 2 - 2.

Şimdi orijinal denklem şöyle görünür:

2 - 2 + 3a + 4 = 0;

a 2 + 3a + 2 = 0. Vieta teoremini kullanarak a = -1 veya a = -2 olduğunu elde ederiz.

Ters ikame yaparak, elimizde:

tgx + ctgx = -1 veya tgx + ctgx = -2. Elde edilen denklemleri çözelim.

tgx + 1/tgx = -1 veya tgx + 1/tgx = -2.

Karşılıklı olarak karşılıklı iki sayının özelliği ile, birinci denklemin kökleri olmadığını ve ikinci denklemden şunu elde ettiğimizi belirleriz:

tg x = -1, yani x = -π/4 + πk, k bir tamsayıdır (k ∈ Z).

[-π; 1,1π] kökler şunlara aittir: -π/4; -π/4 + π. Toplamları:

-π/4 + (-π/4 + π) = -π/2 + π = π/2.

Cevap: π/2.

Örnek 5. Sin 3x + sin x = sin 2x denkleminin köklerinin [-π; 0.5π].

Çözüm:

sin α + sin β = 2sin ((α + β)/2) cos ((α - β)/2) formülünü kullanırız, sonra

sin 3x + sin x = 2sin ((3x + x)/2) cos ((3x – x)/2) = 2sin 2x cos x ve denklem şöyle olur

2sin 2x çünkü x = günah 2x;

2sin 2x cos x - sin 2x \u003d 0. Sin 2x ortak faktörünü parantezlerden çıkarıyoruz

sin 2x(2cos x - 1) = 0. Ortaya çıkan denklemi çözelim:

günah 2x \u003d 0 veya 2cos x - 1 \u003d 0;

günah 2x = 0 veya cos x = 1/2;

2x = πk veya x = ±π/3 + 2πk, k bir tam sayıdır (k € Z).

Böylece köklerimiz var

x = πk/2, x = π/3 + 2πk, x = -π/3 + 2πk, k bir tamsayıdır (k € Z).

[-π; 0.5π], -π köklerine aittir; -π/2; 0; π/2 (ilk kök dizisinden); π/3 (ikinci seriden); -π/3 (üçüncü diziden). Aritmetik ortalamaları:

(-π - π/2 + 0 + π/2 + π/3 - π/3)/6 = -π/6.

Cevap: -π/6.

Örnek 6. Sin x + cos x = 0 denkleminin [-1.25π; 2π].

Çözüm:

Bu denklem birinci dereceden homojen bir denklemdir. Her iki kısmını da cosx'e bölün (cos x = 0 olan değişkenin değeri bu denklemin kökleri değildir, çünkü aynı sayının sinüsü ve kosinüsü aynı anda sıfıra eşit olamaz). Orijinal denklem şuna benzer:

x = -π/4 + πk, k bir tamsayıdır (k € Z).

Boşluk [-1,25π; 2π] -π/4 köklerine sahiptir; (-π/4 + π); ve (-π/4 + 2π).

Böylece, denklemin üç kökü verilen aralığa aittir.

Cevap: 3.

En önemli şeyi yapmayı öğrenin - sorunu çözmek için bir planı net bir şekilde sunmak ve ardından herhangi bir trigonometrik denklem omzunuzda olacaktır.

Sormak istediğiniz bir şey var mı? Trigonometrik denklemleri nasıl çözeceğinizi bilmiyor musunuz?
Bir öğretmenin yardımını almak için - kayıt olun.

site, malzemenin tamamen veya kısmen kopyalanmasıyla, kaynağa bir bağlantı gereklidir.

>> Ark teğeti ve ark teğeti. Denklemlerin çözümü tgx = a, ctgx = a

§ 19. Ark teğeti ve ark teğeti. Denklemlerin çözümü tgx = a, ctgx = a

§16'daki Örnek 2'de, üç denklemi çözemedik:

Bunlardan ikisini zaten çözdük - birincisi § 17'de ve ikincisi § 18'de, bunun için kavramları tanıtmamız gerekiyordu. ark kosinüsü ve arksin. Üçüncü denklemi x = 2 olarak ele alalım.
Y \u003d tg x ve y \u003d 2 fonksiyonlarının grafikleri sonsuz sayıda ortak noktaya sahiptir, tüm bu noktaların apsisi, y \u003d 2 çizgisinin teğetin ana dalı ile kesişme noktasının apsisi gibi görünür. (Şek. 90). Matematikçiler x1 sayısı için arstg 2 adını buldular (“ikinin yay tanjantı” şeklinde okunur). O zaman x=2 denkleminin tüm kökleri x=arstg 2 + pc formülü ile tanımlanabilir.
arstg 2 nedir? bu numara teğet hangisi 2'ye eşit ve hangisi aralığa ait
Şimdi tg x = -2 denklemini ele alalım.
Fonksiyon Grafikleri sonsuz sayıda ortak noktaları varsa, tüm bu noktaların apsisleri şu şekildedir: y \u003d -2 düz çizgisinin teğetin ana dalı ile kesişme noktasının apsisi. x 2 sayısı için matematikçiler arstg (-2) gösterimini buldular. O zaman x = -2 denkleminin tüm kökleri şu formülle tanımlanabilir:

arstg(-2) nedir? Bu, tanjantı -2 olan ve aralığa ait bir sayıdır. Dikkat edin (bkz. Şekil 90): x 2 \u003d -x 2. Bu, arctg(-2) = - arctg 2 olduğu anlamına gelir.
Ark teğetinin tanımını genel bir şekilde formüle edelim.

tanım 1. arstg a (yay teğeti a), teğeti a olan aralıktan bir sayıdır. Bu yüzden,

Artık çözüm hakkında genel bir sonuca varabilecek durumdayız. denklemler x=a: x=a denkleminin çözümleri vardır

Yukarıda arktg (-2) = -arctg 2 olduğunu belirtmiştik. Genel olarak, a'nın herhangi bir değeri için formül

örnek 1 Hesaplamak:

Örnek 2 Denklemleri Çöz:

A) Bir çözüm formülü yapalım:

Bu durumda ark teğetinin değerini hesaplayamayız, bu nedenle denklemin çözümlerinin kaydını elde edilen formda bırakacağız.
Cevap:
Örnek 3 Eşitsizlikleri çözün:
Formun eşitsizliği, aşağıdaki planlara bağlı kalarak grafiksel olarak çözülebilir.
1) bir tanjantoid y \u003d tg x ve düz bir çizgi y \u003d a oluşturun;
2) tanenheizoidin ana dalı için, verilen eşitsizliğin sağlandığı x ekseni aralığını seçin;
3) y \u003d tg x fonksiyonunun periyodikliğini dikkate alarak cevabı genel biçimde yazın.
Bu planı verilen eşitsizliklerin çözümüne uygulayalım.

: a) y \u003d tgx ve y \u003d 1 fonksiyonlarının grafiklerini oluştururuz. Tanjantoidin ana dalında, noktada kesişirler.

Tanjantoidin ana dalının y \u003d 1 düz çizgisinin altında bulunduğu x ekseni aralığını seçiyoruz, bu aralıktır
y \u003d tgx fonksiyonunun periyodikliğini hesaba katarak, verilen eşitsizliğin formun herhangi bir aralığında karşılandığı sonucuna varıyoruz:

Tüm bu aralıkların birleşimi, verilen eşitsizliğin genel çözümüdür.
Cevap başka bir şekilde de yazılabilir:

b) y \u003d tg x ve y \u003d -2 fonksiyonlarının grafiklerini oluşturuyoruz. Tanjantoidin ana kolunda (Şekil 92), x = arktg (-2) noktasında kesişirler.

Tanjantoidin ana dalının üzerinde olduğu x ekseni aralığını seçiyoruz.

a>0 olmak üzere tg x=a ile bir denklem düşünün. Y \u003d ctg x ve y \u003d a fonksiyonlarının grafikleri sonsuz sayıda ortak noktaya sahiptir, tüm bu noktaların apsisi şöyle görünür: x \u003d x 1 + pc, burada x 1 \u003d arcctg a - apsis y \u003d a çizgisinin teğetoidin ana dalı ile kesişme noktası (Şekil .93). Dolayısıyla arkctg a, kotanjantı a'ya eşit olan ve (0, n) aralığına ait bir sayıdır; bu aralıkta, y \u003d сtg x fonksiyonunun grafiğinin ana dalı oluşturulur.

Şek. 93 ayrıca c1tg = -a denkleminin çözümünün grafiksel bir gösterimini sunar. Y \u003d ctg x ve y \u003d -a fonksiyonlarının grafikleri sonsuz sayıda ortak noktaya sahiptir, tüm bu noktaların apsisi x \u003d x 2 + pc şeklindedir, burada x 2 \u003d arcctg (-a) y \u003d -a çizgisinin teğetin ana dalı ile kesişme noktasının apsisi. Dolayısıyla arkctg(-a), kotanjantı -a olan ve (0, n) aralığına ait bir sayıdır; bu aralıkta, Y \u003d сtg x fonksiyonunun grafiğinin ana dalı oluşturulur.

tanım 2. arkctg a (ark kotanjantı a), kotanjantı a olan (0, n) aralığından bir sayıdır.
Bu yüzden,

Şimdi ctg x=a denkleminin çözümü hakkında genel bir sonuca varabilecek durumdayız: ctg x = a denkleminin çözümleri vardır:

Dikkat edin (bkz. Şekil 93): x 2 \u003d n-x 1. Bu demektir

Örnek 4 Hesaplamak:

A) koyalım

сtg x=a denklemi hemen hemen her zaman şu forma dönüştürülebilir. İstisna, сtg x=0 denklemidir. Ancak bu durumda, gidebileceğiniz gerçeğini kullanarak
cos x=0 denklemi. Bu nedenle, x=a biçimindeki bir denklemin bağımsız bir önemi yoktur.

A.G. Mordkovich Cebir 10. Sınıf

Matematikte takvim-tematik planlama, videoçevrimiçi matematikte, Okulda matematik indir

ders içeriği ders özeti destek çerçevesi ders sunumu hızlandırıcı yöntemler etkileşimli teknolojiler Pratik görevler ve alıştırmalar kendi kendine inceleme atölye çalışmaları, eğitimler, vakalar, görevler ödev tartışma soruları öğrencilerden retorik sorular İllüstrasyonlar ses, video klipler ve multimedya fotoğraflar, resimler grafikler, tablolar, şemalar mizah, anekdotlar, fıkralar, çizgi roman benzetmeler, özdeyişler, çapraz bulmacalar, alıntılar eklentiler özetler makaleler meraklı kopya kağıtları için çipler ders kitapları temel ve ek terimler sözlüğü diğer Ders kitaplarının ve derslerin iyileştirilmesiders kitabındaki hataları düzeltme ders kitabındaki bir parçanın güncellenmesi, dersteki yenilik unsurlarının eskimiş bilgilerin yenileriyle değiştirilmesi Sadece öğretmenler için mükemmel dersler yıl için takvim planı tartışma programının metodolojik önerileri Entegre Dersler

Bu derste ark teğetini incelemeye ve herhangi bir a için tg x = a şeklindeki denklemlerin çözümüne devam edeceğiz. Dersin başında, denklemi bir tablo değeriyle çözeceğiz ve çözümü grafikte ve ardından daire üzerinde göstereceğiz. Daha sonra, tgx = a denklemini genel formda çözeriz ve cevap için genel formülü elde ederiz. Hesaplamaları grafik ve daire üzerinde gösterelim ve cevabın çeşitli biçimlerini ele alalım. Dersin sonunda, çözümlerin grafik ve daire üzerinde gösterilmesiyle birkaç problem çözeceğiz.

Konu: Trigonometrik denklemler

Ders: Arktanjant ve tgx=a denklemini çözme (devamı)

1. Ders konusu, giriş

Bu derste, herhangi bir gerçek için denklemin çözümünü ele alacağız.

2. tgx=√3 denkleminin çözümü

Görev 1. Denklemi çözün

Fonksiyon grafiklerini kullanarak bir çözüm bulalım (Şek. 1).

Aralığı göz önünde bulundurun Bu aralıkta, işlev monotondur, yani yalnızca işlevin bir değerinde ona ulaşılır.

Cevap:

Aynı denklemi bir sayı çemberi kullanarak çözelim (Şekil 2).

Cevap:

3. tgx=a denkleminin genel formda çözümü

Denklemi genel biçimde çözelim (Şekil 3).

Aralıkta, denklemin benzersiz bir çözümü vardır

En küçük pozitif dönem

Sayısal bir daire üzerinde gösterelim (Şekil 4).

4. Problem çözme

Görev 2. Denklemi çözün

değişkeni değiştirelim

Görev 3. Sistemi çözün:

Çözüm (Şekil 5):

Noktada, değer bu nedenle sistemin çözümü sadece noktadır.

Cevap:

Görev 4. Denklemi çözün

Değişken değiştirme yöntemiyle çözelim:

Problem 5. Aralıktaki denklemin çözüm sayısını bulun

Grafiği kullanarak sorunu çözelim (Şekil 6).

Denklemin belirli bir aralıkta üç çözümü vardır.

Grafikteki kadar net olmasa da, sayısal bir daire üzerinde göstereceğiz (Şekil 7).

Cevap: Üç çözüm.

5. Sonuç, sonuç

Ark teğet kavramını kullanarak herhangi bir gerçek için denklemi çözdük. Bir sonraki derste ark teğet kavramını tanıyacağız.

Kaynakça

1. Cebir ve analizin başlangıcı, 10. sınıf (iki bölüm halinde). Eğitim kurumları için ders kitabı (profil seviyesi), ed. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2009.

2. Cebir ve analizin başlangıcı, 10. sınıf (iki bölüm halinde). Eğitim kurumları için görev kitabı (profil düzeyi), ed. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2007.

3. Vilenkin N. Ya., Ivashev-Musatov O. S., Shvartsburd S. I. 10. sınıf için cebir ve matematiksel analiz (derinlemesine matematik çalışması olan okul ve sınıf öğrencileri için ders kitabı) - M .: Eğitim, 1996.

4. Galitsky M. L., Moshkovich M. M., Shvartsburd S. I. Derin cebir ve matematiksel analiz çalışması.-M .: Education, 1997.

5. Teknik üniversitelere başvuran adaylar için matematik görevleri koleksiyonu (MISkanavi'nin editörlüğünde).-M.: Higher School, 1992.

6. Merzlyak A. G., Polonsky V. B., Yakir M. S. Algebraic simulator.-K.: A. S. K., 1997.

7. Sahakyan S. M., Goldman A. M., Denisov D. V. Cebirdeki görevler ve analizin başlangıcı (genel eğitim kurumlarının 10-11.

8. A. P. Karp, Cebirde Problemlerin Toplanması ve Analiz Prensipleri: Proc. 10-11 hücre için ödenek. derin bir çalışmak matematik.-M.: Eğitim, 2006.

Ev ödevi

Cebir ve Analizin Başlangıcı, 10. Sınıf (iki kısım). Eğitim kurumları için görev kitabı (profil düzeyi), ed. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2007.

№№ 22.18, 22.21.

Ek web kaynakları

1. Matematik.

2. İnternet portalı Sorunları. ru.

3. Sınav hazırlığı için eğitim portalı.