Aptal üçgen. Aptal üçgen sonra köşeyi sonra

1. Partiler 8, 6 ve 11 cm'li üçgeni (akut, aptal veya dikdörtgen) türünü belirleyin (Şekil 126). (bir)

Karar. Üçgenin daha büyük açısını belirtir. Açıkçası, üçgen daha büyük açı ana tarafa karşı yatar, çünkü 11 cm tarafın karşısındadır. Cosine Theorem 112 \u003d 82+ 62-2? 8? 6? COS?;

Farklı tartışmak mümkündü. Eğer açı ise? 90 ° 'e eşitti, o zaman pitagore teoreminin büyük kısmı eşit olurdu

1 cm'lik tarafın uzaması otomatik olarak artar ve yüzün altındaki açıyı - kör olur.

Cevap: Aptalca.

2. Üçgenin tabanı 6 cm'ye eşittir, tabandaki açılardan biri 105 °, diğeri 45 °. 45 ° 'lik bir açıya karşı yatan tarafın uzunluğunu bulun (Şek. 127). (bir)

Karar. ABC üçgeninde, AC \u003d 6 cm ,? A \u003d 45 °,? C \u003d 105 ° olacaktır. Güneşin kenarının uzunluğunu x üzerinden belirtir. Bulmak zorundayız. Sinus teoremini kullanıyoruz:

Üçgendeki açıların toplamının 180 ° olduğundan, elde ettik :? B \u003d 180 ° -? A -? C \u003d 180 ° - 45 ° - 105 ° \u003d 30 °.

3. Parçalar 2, 3 ve 3 ile üçgen alanını bulun (Şek. 128). (bir)

Karar. Gerona formülünden yararlanabilirsiniz:

Bizim durumumuzda:

Seminer:

Görevi çözmek daha kolay olurdu. Kosinüs teoremi tarafından:

Üçgen alanı, aralarındaki köşenin sinüsündeki iki tarafın çalışmalarının yarısına eşit olduğu için:

4. ABC üçgeninde, nerede? ACB \u003d 120 °, bir ortanca yapıldı. Spear \u003d 6, Sun \u003d 4 ise uzunluğu bulun (Şek. 129). (2)

Karar. Ortanca uzunluk formülünü kullanıyoruz

A \u003d SUN \u003d 4, B \u003d AC \u003d 6'yımız var. C \u003d ab'yi bulmak için kalır. Kosinüs teoremi aksın üçgenine uygulayın: C2 \u003d AV2 \u003d AC2 + BC 2-2AC? M.Ö? COS (? DC) \u003d 62+ 42- 2? 6? Dört? COS 120 ° \u003d 36 + 16-48? (- 1/2) \u003d 76.

5. Sun \u003d 8 ise Abc Akut-Açısal Üçgenin ABC'nin kenarlarının uzunluklarını bulun ve AC ve Sun tarafında alçaltılan yükseklik uzunlukları sırasıyla 6, 4 ve 4'tür (Şek. 130 ). (2)

Karar. "Sağlam" kalan tek üçgen açı, Corner C.

Donanmanın dikdörtgen üçgeninden aşağıdakileri takip eder:

Ve şimdi ABC üçgeni'ne uygulanan kosinüs teoreminde, biz:

Cevap: AB \u003d? 41; AC \u003d 5.

6. Bir üçgende, diğer ikisi arasındaki farkın bir kısmı, daha küçük tarafın uzunluğu 1'e eşittir ve iki iki tarafta yerleşik karelerin karelerinin toplamı, iki katı Çemberin üçgeni yakınında tarif edilen alanın alanı. Üçgenin daha büyük tarafının uzunluğunu bulun (Şek. 131). (2)

Çözüm: Tayt? Üçgendeki en küçük köşe ve aracılığıyla? En büyük köşe. Sonra üçüncü köşe eşittir? -? - ?. Görevin durumunda? -? \u003d? -? -? (Daha büyük bir açı, diğer iki açının farkına eşit olamaz). 2'yi takip ediyor? \u003d ?; ? \u003d? / 2. Böylece üçgen dikdörtgendir. Daha küçük bir açıya karşı yatan uçağı boşa harcanan, durum 1 altında eşittir, yani AV'nin ikinci silindirinin CTG olduğu anlamına gelir?, AU hipotenüsü 1 / günah mı? Bu nedenle, hipotenüs ve daha büyük nutta üzerine inşa edilen karelerin karelerinin toplamı:

Dikdörtgen üçgenin yakınında açıklanan dairenin merkezi hipotenusun ortasında yatıyor ve yarıçapı eşittir:

ve alan eşittir:

Görevin durumunu kullanarak bir denklemimiz var:

Üçgenin en büyük tarafının uzunluğu eşittir

7. A, B, üçgenden A, B'nin uzunlukları 2, 3'e eşittir ve 4. Açıklanan ve yazılı çevrelerin merkezleri arasındaki mesafeyi bulun. (2)

Karar. Sorunu çözmek için, çizim bile gerekli değildir. Sürekli olarak buluruz: Yarım ölçü

Dairelerin merkezleri arasındaki mesafe:

8. ABC üçgeninde, açının büyüklüğü eşittir? / 3, yüksekliğin uzunluğu, üstten ab, yukarıdan aşağıya indirilen, eklenen 3 cm'ye eşittir ve tarif edilen dairenin yarıçapıdır. ABC üçgeni yakınında 5 cm'dir. ABC üçgenin kenarındaki uzunluklarını bulun (Şek. 132). (3)

Çözüm: CD'nin ABC üçgenin yüksekliği olmasına izin verin, CummIt C. Üç vaka mümkündür. Temel d yüksekliği CD'si alır:

1) AV segmentinde;

2) AV'nin noktasına göre bölümüne devam etmek;

3) V noktasına

Durumla, ABC üçgeni yakınında açıklanan dairenin yarıçapı 5 cm'dir. Sonuç olarak, her üç vakada:

Şimdi, D noktasının güneşten beri nokta ile çakışmadığı açıktır. CD. Pythagora teoremini ACD ve BCD'nin üçgenlerine kullanarak, bunu bulduk.

Aşağıdaki noktaya, A ve B puanları arasında yatar, ancak AV \u003d AD + BD (1 + 6? 2), bkz.

Cevap: AV \u003d (6? 2 + 1) cm, Sun \u003d 5? 3 cm, AC \u003d 2 cm.

9. ABC ve A1B1C1'in üçgenlerinde, AV, A1B1 tarafının uzunluğuna eşittir, hoparlörün tarafının uzunluğu A1C1 tarafının uzunluğuna eşittir, açı değeri 60 ° ve B1A1C1 açısının değeri 120 ° 'dir. B1c1 uzunluğunun güneşin uzunluğuna oranının, N (N bir tamsayı olduğu) neye eşit olduğu bilinmektedir. AU'nun uzunluğunun AU'nun uzunluğuna oranını bulun. N'nin neyin en az bir çözümüne sahip olduğunda (Şekil 133)? (3)

Çözüm: ABC ve A1B1C1'in üçgen görev koşulunda veri olmasına izin verin. Cosine teoremini ABC ve A1B1C1 üçgenlerine uygulamak, biz var:

T. K. B1C1'in görevi altında: Sun \u003d? N, sonra

A1B1 \u003d AB ve A1C1 \u003d AU'dan bu yana, fraksiyonun sayısal ve paynatorunun, AC2I üzerindeki sol tarafındaki (1) sol tarafındaki (1) 'nin sol tarafındaki AB: AU'dan ayrılmasını, eşitliği alıyoruz:

au uzunluğunun arzu edilen oranının, denklemin kökü olanın uzunluğuna kadar açık olduğu açıktır.

x2 (n - 1) - x (n + 1) + n - 1 \u003d 0. (2)

T. K. B1C1\u003e Güneş, sonra n\u003e 1. Sonuç olarak, denklem (2) karedir. Ayrımcısı (N + 1) 2-4 (N - 1) 2 \u003d - 3N2 + 10N - 3'e eşittir.

Denklem (2) IF - 3N2 + 10N - 3? 0, yani -1/3? n? 3. T. K. N, 1'den büyük olan doğal bir sayıdır, daha sonra denklem (2) n \u003d 2 ve n \u003d 3'teki çözeltilere sahiptir. N \u003d 3, denklem (2) bir kök x \u003d 1; N \u003d 2 için, denklemin bir kök var

Cevap: AB'nin uzunluğunun hoparlörün uzunluğuna oranı eşittir

n \u003d 2'de; n \u003d 3'te 1'e eşit; Kalan N çözümleri var.

Genel olarak, üçgen mevcut tüm çokgenlerin en basit figürüdür. İlk düzlemde yatan üç nokta yardımı ile oluşturulur, ancak aynı zamanda 1. düzlükte yalan söylemezler ve çiftler birbirine bağlanır. Üçgenler farklı tiplerdedir ve bu nedenle farklı özelliklerle karakterize edilir. Açıların türüne bağlı olarak, üçgen, 3 tipten biriyle ilgili olabilir - akut açısal, dikdörtgen veya aptalca olacaktır. Aptal üçgen, aptal bir açı olan bir üçgendir. Aynı zamanda, Aptal, daha fazla doksan derecenin büyüklüğüne sahip, ancak yüz seksen dereceden az olan bir açıyla denir.

Başka bir deyişle, aptal bir üçgen, aptal bir açı içeren en basit poligondur - bazıları 90-180 derece içindedir.

Görev: Ne zaman bir üçgen aptal değil:

• aBC açısı içinde 65 dereceye eşittir;
• bCA açısı 95 derecedir;
• kabin açısı - 20 derece.

Çözüm: Kabin ve ABC köşeleri 90 dereceden azdır, ancak, BCA açısı ile 90 dereceden fazla. Yani, böyle bir üçgen aptal.

Aptal bir anossuz üçgenin kenarlarını nasıl bulabilirsiniz?

Aptal bir üçgen nedir, yukarıda ele aldık. Şimdi üçgenin eşit başkan olarak kabul edildiği ele alınmalıdır.

Eşit olarak 2 kesinlikle eşit tarafı olan bir üçgen denir. Bu taraflara taraf olarak adlandırılır, üçgenin üçüncü tarafı esas alınır.

Üçgenin köşeleri genellikle sermaye latin harfleri ile gösterilir - yani A, B ve C'dir. Sırasıyla köşelerinin değerleri, köşelerin değerleri, Yunan harfleri tarafından belirlenir, yani α, β, γ. Üçgenin karşı taraflarının uzunluğu sermaye latin harfleridir, yani A, B, C.

Basit bir görev: Aptal bir izseli üçgenin çevresi 25cm, yanlarından 2 farkı 4 cm'dir ve üçgenin dış köşelerinden 1 inç keskindir. Böyle bir üçgen nasıl bulabilirsiniz?

Çözüm: Üçgenin akut açısının aptalca olduğu bitişik bir açı. Böyle bir planın üçgeninde, künt bir açı, özel olarak kuruluşuna karşı olan açı olabilir. Buna göre, baz böyle bir üçgenin en büyük tarafıdır. Bu üçgenin tabanını X için alırsanız, bu sorunu çözmek için aşağıdaki formülü kullanmanız gerekir:

Cevap: Aynı şekilde zincirli bir aptal üçgenin temeli 11 cm ve her iki tarafı da 7 cm'dir.

Aptal bir anossuz üçgenin kenarlarını bulabileceğiniz formüller

Kullanılan gösterim:

• b - Bu üçgenin tabanının yanıdır
• a - onun eşit tarafı
• α - üçgenin tabanındaki açılar
• β - Eşit partileri tarafından oluşturulan bir açı
• √ - kare kök

1. Baz uzunluğunun formülleri (B):

• b \u003d 2A SIN (β / 2) \u003d A√2-2COSβ
• b \u003d 2a cos α

2. Üçgenin eşit taraflarının uzunluğunun formülleri:

2Sin (β / 2) √2-2COS β

Yükseklik biliniyorsa aptal bir üçgende kosinüs açısı nasıl bulunur

Başlamak için, bu konuda kullanılan ana şartları anlamaya zarar vermez: Üçgenin yüksekliği nedir ve kosinüs açısı nedir.

Üçgenin yüksekliği, bu üçgenin karşı tarafını içeren çizgiye doğru yapılan çizgiye doğru yapılan dik olarak kabul edilir. Kosinüs, trigonometrinin ana fonksiyonlarından biri olan tanınmış bir trigonometrik fonksiyondur.

Açının kosinüsünü aptal bir üçgende bulmak için, yüksekliğin bilinmesi şartıyla, yüksekliği hoparlörlerin yanından azaltmanız gerekir. Yüksekliğin AU'nun bir tarafıyla kesiştiği nokta D ile gösterilmeli ve AVD'nin üçgenini dikdörtgen olarak düşünün. Orijinal üçgenin bir tarafı olan bu üçgen AB'de hipotenüs. Cihazlar, orijinal üçgenin yüksekliği, yanı sıra AU'nun tarafına ait olan reklamın segmentidir. Aynı zamanda, A vertex A'ya karşılık gelen açının kosinüsünün, reklamın AD'nin AV üçgenindeki AV'nin üst kısmındaki köşeye bitişik olduğundan, reklamın AB'ye tutumuna eşittir. Au paylaşımının tam olarak neyin tam olarak ne olduğunu bildiğinde, VD yüksekliğine ve bu yükseklik nedir, daha sonra Vertex A'ya karşılık gelen açının kosinüsü bulunur.

Soru 1.Hangi açılardan bitişik olarak adlandırılır?
Cevap.Ortak bir tarafı varsa ve bu açıların diğer tarafları ilave yarım daire olduğunda bitişik olarak adlandırılır.
Şekil 31'de, açılar (A 1 b) ve (a 2 b) bitişik. Genel olarak B tarafı var ve partiler 1 ve a 2 ek yarım dairedir.

Soru 2.Bitişik açıların toplamının 180 ° olduğunu kanıtlayın.
Cevap. Teorem 2.1.Bitişik açıların toplamı 180 ° 'dir.
Kanıt. Bir açı (A 1 B) ve bir açı (A 2 B) - bu bitişik açılara izin verin (bkz. Şekil 31). Beam B, bir 1 ve konuşlandırılmış köşenin bir 2'nin yanları arasında geçer. Bu nedenle, açıların (A 1 b) ve (a 2 b) toplamı, dağıtılan köşeye eşittir, yani 180 °. Q.e.d.

Soru 3.İki açının eşit olması durumunda, bitişik açılar da eşit olduğunu kanıtlayın.
Cevap.

Teorem'den 2.1 İki açının eşit olması durumunda, bitişik açılar eşittir.
Açıların (A 1 B) ve (Cı D) eşit olduğunu varsayalım. Açıların (2 B) ve (C2H) aynı zamanda eşit olduğunu kanıtlamamız gerekiyor.
Bitişik açıların toplamı 180 ° 'dir. Bundan bir 1 b + a 2 b \u003d 180 ° ve c1 d + c2 d \u003d 180 ° 'lik. Bu nedenle, bir 2 b \u003d 180 ° - A 1 B ve C2 D \u003d 180 ° - C 1 D. Açılar (A 1 B) ve (Cı D) eşit olduğundan, 2 b \u003d 180 ° 'lik bir 1 B \u003d C2 D. Eşitlik işaretinin geçiş özelliğine göre, bir 2 b \u003d C 2 D'yi izler. Q.e.d.

Soru 4.Hangi açıyla doğrudan (keskin, aptal) denir?
Cevap. 90 ° 'ye eşit bir açı doğrudan açı olarak adlandırılır.
90 ° 'den daha az bir açı keskin bir açı denir.
90 ° 'den büyük açı ve 180 °' lik 180 ° Aptalca denir.

Soru 5. Doğrudan bitişiğin açının düz bir açı olduğunu kanıtlamaktadır.
Cevap.Teoremden bitişik açıların toplamı üzerine, doğrudan açıya bitişik açının doğrudan bir açıdır: x + 90 ° \u003d 180 °, x \u003d 180 ° - 90 °, x \u003d 90 °.

Soru 6.Hangi açılardan dikey denir?
Cevap.Aynı açının yanları diğerlerinin ek yarı sadece tarafları ise dikey denir.

Soru 7.Dikey açıların eşit olduğunu kanıtlayın.
Cevap. Teorem 2.2. Dikey açılar eşittir.
Kanıt.(A 1 B1) ve (A 2 B2) - bu dikey açılar (Şek. 34) olsun. Açı (A 1 B2), bir açılı (A 1 B1) ve bir açıyla (2 B2) bitişiktir. Dolayısıyla bitişik açıların toplamı üzerindeki teorem, açıların her birinin (bir 1 b 1) ve (a 2 B2) açısını (1 B2) 180 °, yani) tamamladığını sonlandırıyoruz. Açılar (A 1 B 1) ve (A 2 B2) eşittir. Q.e.d.

Soru 8.Eğer çizginin köşelerinden biri olan iki düz çizgilerin kesiştiği durumdaysa, geri kalan üç açı da düzdür.
Cevap.Direct AB ve CD'nin O noktasında birbirlerini geçtiğini varsayalım. AOD açısının 90 ° olduğunu varsayalım. Bitişik açıların toplamı 180 ° olduğundan, AOC \u003d 180 ° -AOD \u003d 180 ° 90 ° \u003d 90 °'dir. COB Açı Dikey AOD Açı, böylece onlar eşittir. Yani, açı koçanı \u003d 90 °. COA Açı Dikey Köşe Bod, bu yüzden onlar eşittir. Yani, açı gövdesi \u003d 90 °. Böylece, tüm açılar 90 ° cinsindendir, yani hepsi doğrudan. Q.e.d.

Soru 9.Doğrudan dik olarak adlandırılır? Doğrudanın dikliğine atıfta bulunmak için hangi işaret kullanılır?
Cevap.Dik açılarda kesişirse iki düz çizgi dik olarak adlandırılır.
Doğrudanın dikliği, \\ (\\ perp \\) işaretiyle gösterilir. Kayıt \\ (a \\ perp b \\) okur: "Doğrudan B'ye dik olarak doğrudan B".

Soru 10.Herhangi bir noktadan doğrudan, kendisine dik olan kişi tarafından gerçekleştirilebileceğini kanıtlayın.
Cevap. Teorem 2.3.Her doğrudan doğrudan doğrudan yapılabilir ve sadece bir tane yapılabilir.
Kanıt.Bu doğrudan ve A - bu nokta olalım. Başlangıç \u200b\u200bnoktası A (Şekil 38) ile yarı iletken doğrudan A'dan biri tarafından belirtir. Yarım daire A 1 açısından (A 1 B 1), 90 ° 'ye eşit erteleyeceğiz. Ardından, B 1 ışını içeren doğrudan A'ya dik olacaktır.

Bir başka düz çizgi olduğunun, ayrıca A noktasından geçerken ve düz çizgi a'ya dik bir şekilde. C1 ile, bu düz çizginin yarı eksenini, ışın B 1 ile bir yarım düzlemde yatar.
Her 90 ° 'ye eşit olan açılar (A 1 B1) ve (A 1 Cı), yarı basitleştirilebilir A 1'den bir yarı düzlemde ertelenir. Ancak bu yarı düzlemde Semiconduma A 1'den, sadece bir açı 90 ° 'ye eşit olarak ertelenebilir. Bu nedenle, A noktasından ve dikey doğrudan A'dan doğrudan geçen başka bir şey olmamak. Teoremi kanıtlandı.

Soru 11.Düz çizgiye dik olan nedir?
Cevap. Bu doğrudan bu doğrudan, buna dik, kesişme noktalarından birine sahip olan düz bir çizgi denir. Segmentin bu sonu denir üs Dik.

Soru 12.Kötü kanıtı açıklayın.
Cevap. Theorem 2.3'te başvurduğumuz kanıt yöntemi, rakibin kanıtı denir. Bu kanıt yöntemi, başlangıçta teorem tarafından onaylananların tam tersi olan bir varsayım yapmamızdır. Daha sonra, aksiyomlara güvenerek ve kanıtlanmış teoremlere dayanarak, teoremin durumuna veya aksiyomlardan birinin veya daha önce kanıtlanmış bir teoremden birinin aksine sonucuna varın. Bu temelde, varsayımımızın yanlış olduğu sonucuna vardık ve bu nedenle teoremin ifadesi doğrudur.

Soru 13.Bisector açısı denir?
Cevap.Açının bisektörü, köşenin üstünden gelen bir kiriş denir, tarafları arasında geçer ve açıyı ikiye böler.