Emme teoremi İki formda yazılmış - ayrık ve

konjonktürel, sırasıyla:

A + AB \u003d A (16)

A (A + C) \u003d A (17)

İlk teoremi ispatladık. A harfini parantez için getirelim:

FAKAT + Ab \u003d a (1 + b)

Teorem'e göre (3) 1 + \u003d. 1, bu nedenle

A (1 + c) \u003d a 1 \u003d a

İkinci teoremi kanıtlamak için, parantezleri ortaya çıkarın:

A (A + C) \u003d A + A + AV \u003d A + AV

İfadeyi ortaya çıkardı, sadece kanıtlanmış.

Ne zaman emilim teoreminin kullanımına ilişkin çeşitli örnekler düşünün.

boolean formüllerini basitleştirin.

Yapıştırma teoremi Ayrıca iki form var - ayrık ve

konjonktürel:

İlk teoremi ispatladık:

teoremlere göre (5) ve (4)

İkinci teoremi, açık parantezleri kanıtlamak için:

Teoreme göre (6) bu nedenle:

Absorpsiyon teoremi (16) tarafından A + AV \u003d A

Emme teoremi, yapıştırma teoremi, basitleştirildiğinde uygulanır

boolean formülleri, örneğin:

Teorem de morgana Tüm üç temel işlemi bağlar Boolean Cebir

BİLGİSİ, BİRLEŞTİRME VE BAŞLADI:

İlk teorem böyle okunur: Birleşim inversiyonu ayrılma

İnversiyonlar. İkincisi: İnversiyonun inversiyonunun inversiyonların birleşimidir. Morgan'ın teoremlerini, sol ve sağ parçalar için doğruluk tablolarını kullanarak kanıtlayabilirsiniz.

Teorem de Morgana ayrıca daha fazla değişkene uygulanabilir:

Ders 5.

Kompleks ifadelerin tersi

Teorem de Morgan, yalnızca bireysel birleşim için geçerli değil

veya ayrılma, aynı zamanda daha karmaşık ifadelere de.

İfadenin inversiyonunu buluruz AV + CD. , bağlaçların ayrılma biçiminde sunulur. İnkar maliyetinin sadece değişkenler üzerindeki belirtileri varsa, tersi olarak kabul edilecektir. Notasyonu tanıtıyoruz: Av \u003d x;

Cd \u003d y,sonra

Ekspresyonda buluruz ve değiştireceğiz (22):

Böylece:

Konjonktif formda sunulan ifadeyi düşünün:

(A + B) (C + D)

Formdaki inversiyonunu bul

Notasyonu tanıtıyoruz: A + B \u003d X; C + D \u003d Y,sonra

İfadesinde onları bulun ve değiştirin

Böylece:

Kompleks ifadeleri ters çevirirken, aşağıdaki kuralı kullanabilirsiniz. İnversiyonu bulmak için, ayrılma belirtileri ile değiştirilmesi için birleşme belirtilerinin değiştirilmesi ve ayrılma belirtileri birleşme belirtileridir ve her değişken üzerinde inversiyon koymak gerekir:

Süt fonksiyonu kavramı

İÇİNDEgenel durum işlevi (LAT. FUNCTIO - İcra, Uyumluluk,

ekran), setin her bir elemanına göre bir kuraldır (kanun) X bağımsız değişken değerlerin bir alanını temsil etmek x, setin belirli bir unsuruna uymak F,

bağımlı değişkenin değer alanının anlaşıldığı f. . Boolean fonksiyonları durumunda X \u003d F. \u003d (0,1). İşlevin belirtildiği kural, herhangi bir Boolean formülü, örneğin hizmet verebilir:

Sembol f. burada işlev, argümanların yanı sıra, İn, s,İkili değişken.

Argümanlar bağımsız değişkenlerdir, herhangi bir değer alabilir - 0 veya 1. işlevi f. - bağımlı değişken. Değeri, aralarındaki değişkenlerin değerleri ve mantıksal bağlantıların değerleri ile belirlenir.

Fonksiyonun ana özelliği: değerini belirlemek için, genel durumda, bağlı olduğu tüm argümanların değerlerini bilmek gerekir. Örneğin, yukarıdaki işlev, üç argümana bağlı, a, B, S.A \u003d 1 alırsanız, o zaman

yani yeni bir ifade ortaya çıktı, sıfıra eşit değil, ne de

birlik. Şimdi izin vermek İÇİNDE\u003d 1. Sonra

yani ve bu durumda, fonksiyona, sıfıra veya birimin eşit olduğu bilinmemektedir.

Sonunda aldık Dan\u003d 0. Sonra alırız: f. = 0. Böylece, eğer başlangıç \u200b\u200bifadesinde ise \u003d 1, İÇİNDE= 1, Dan = 0, fonksiyon sıfır değeri alır: f \u003d. 0.

Düşünmek değişken değerler kümesi kavramı .

İşlevin bağlı olduğu tüm argümanlar, bazı değerler atanırsa, olabilecek argüman değerleri kümesi hakkında konuşuyorlarsa

sadece bir set'i ara. Argüman değerleri kümesi, bir sıfır ve birim dizisidir, örneğin, ilk basamağın ilk argümana karşılık geldiği 110, ikincisi, ikinci ve üçüncüsü üçüncü. Açıkçası, birinci, ikinci veya Beşinci tartışmaya izin verdiği önceden kabul etmek gerekir. Bunu yapmak için, harflerin alfabetik yerini kullanmak uygundur.

Örneğin, eğer

sonra Latin alfabesine göre, ilk argümandır R, ikinci -

Q,Üçüncü - X dördüncü - W. Ardından argüman değerleri kümesinde kolaydır

İşlevin değerini bulun. Örneğin, 1001 seti verildi. Ona göre

kayıtlar, yani SET 1001'de belirtilen işlev birine eşittir.

Bir kez daha, argüman değerlerinin kümesinin bir bütünlük olduğuna dikkat ediyoruz.

sıfırlar ve birimler. İkili sayılar aynı zamanda sıfır ve birimler setleridir.

Dolayısıyla soru ortaya çıkıyor - kümelerin ikili olarak kabul edilip edilmediği

sayılar? Mümkündür ve birçok durumda, özellikle ikili ise çok uygundur

numara ondalık sisteme çevrilir. Örneğin, eğer

A \u003d 0, b \u003d 1, c \u003d 1, D. = 0,

0 * 2 3 +1 * 2 2 +1 * 2 1 +0 * 2 0 = 4+2 = 6

yani. Belirtilen SET, ondalık sistemde 6 numaralı numaraya sahiptir.

Argümanların değerlerini bulmak için ondalık sayı gerekirse,

ters sıra giriyoruz: Birincisi, ondalık sayı, ikili olarak çevrilir, daha sonra olanlar sola kadar sıfır okurlar, böylece toplam boşalma sayısının, değerleri buldukları argümanların sayısına eşittir. argümanların.

Örneğin, A bağımsız değişkenlerinin değerlerini bulmak gerekir, İn, s, d, e, f23 numaralı miktar. 23 numarayı yöntemle ikili sisteme çeviriyoruz.

ikiye bölünme:

Sonuç olarak, 23 10 \u003d 10111 2 elde ediyoruz. Bu, beş basamaklı sayıdır ve toplam

bu nedenle, altı argümanlar, solda bir sıfır yazmak gerekir:

23 10 \u003d 010111 2. Buradan buluyoruz:

A \u003d 0, b \u003d 1, c \u003d 0, d \u003d 1, e \u003d 1, f \u003d 1.

Numara biliniyorsa kaç tane var? p argümanlar? Açıkçası, N-dağıtır İkili sayıların olduğu kadar, yani 2 n

Ders 6.

Boğa işlevini ayarla

Bir yol zaten biliyoruz. Bu analitik, yani ikili değişkenler ve mantıksal işlemler kullanılarak matematiksel bir ifade şeklindedir. Ona ek olarak, en önemlisi tablo olan başka yollar da var. Tablo, tüm olası argüman değerlerinin tüm kümelerini listeler ve her bir arama için fonksiyonun değerini gösterir. Böyle bir tablo eşleşen tablo (gerçek) denir.

İşlev örneğinde

bunun için uygunluk tablosu nasıl inşa edileceğini öğrenin.

İşlev üç argümana bağlıdır A, B, S. Bu nedenle masada

f işlevinin değerleri için A, B, C ve bir sütun için üç sütun sağlıyoruz. Sütunun solunda, ancak başka bir sütunu yerleştirmek için kullanışlıdır. İçinde, üç bit ikili sayılar olarak kabul edilirlerse, ayarlara karşılık gelen ondalık sayıları kaydedeceğiz. Bu ondalık

sütun, tablo ile çalışma kolaylığı için girilir, bu nedenle prensip olarak,

İhmal edilebilir.

Masayı doldur. Kaydedilen LLC sayısına sahip hatta:

A \u003d b \u003d c \u003d0.

Bu set üzerindeki işlevin değerini belirleyin:

F sütununda, satırdaki sıfırı 000 kümesi ile yazın.

Sonraki Set: 001, t. e. a \u003d b \u003d 0, c \u003d 1. İşlevi bulun

bu sette:

001 setinde, fonksiyon 1, bu nedenle, ipteki f sütununda

001 numarası bir tarafından yazılmıştır.

Benzer şekilde, diğer tüm setlerdeki fonksiyonların değerlerini hesaplar ve

tüm tabloyu doldurun.

İlişkilendirme

x 1 (x 2 x 3) \u003d (x 1 x 2) x 3;

x 1 ú (x 2 ú x 3) \u003d (x 1 ú x 2) ú x 3.

Alışkanlık

x 1 x 2 \u003d x 2 x 1

x 1 ú x 2 \u003d x 2 ú x 1

Bağlantılı ilişkinin dağılımı dağılımı

x 1 (x 2 ú x 3) \u003d x 1 x 2 ú x 1 x 3.

Bağlantılı olarak ayrılma dağılımı

x 1 ú (x 2 × x 3) \u003d (x 1 ú) 2) × (x 1 ú). *

İDMPotans (Tautoloji)

İki kez hayır

Özellikler Sabit

x & 1 \u003d x; (Evrensel Set Yasaları)

x & 0 \u003d 0; (sıfır set yasaları)

Kurallar (Yasalar) de Morgana

Çelişki yasası (isteğe bağlı)

Üçüncü istisna yasası (isteğe bağlı)

Bütün bu formüllerin önemsiz kanıtları. Seçeneklerden biri, sol ve sağ kısım ve karşılaştırmaları olan hakikat tablolarının yapımıdır.

Yapıştırma Kuralları

İlköğretim birleşme için yapıştırma kuralı, dağıtım hukukundan, tamamlayıcı hukukun yasası ve evrensel set hukuku: İki bitişik bağlantının ayrılması, sosyal birleşimin toplam parçası olan temel birleşme ile değiştirilebilir. .

İlköğretim toplamı için yapıştırma kuralı, ikinci türün dağıtım hukukundan, tamamlayıcılık yasası ve sıfır set yasası: İki bitişik ayrışkanın birleşimi, teknik bozukluğun toplam parçası olan bir temel ayrılma ile değiştirilebilir. .

Emilim kuralı

İki temel işin toplamı için emilim kuralı, evrensel setin ilk türünün ve yasalarının dağıtım hukukundan takip eder: birinin diğerinin ayrılmaz bir parçası olduğu iki temel birleşimin ayrılması, işlenenlerin sayısına sahip bir birleşme ile değiştirilebilir. .

İlköğretim toplamlarının çalışmasında emilim kuralı, ikinci türün dağıtım kanunu ve sıfır set yasalarından aşağıdakileri takip eder: birinin diğerinin ayrılmaz bir parçası olan iki ilköğretim ayrılmanın birleşimi, daha az sayıda işlenen ile temel ayrılma ile değiştirilebilir.

Dağıtım kuralı

Bu kural, ters yapıştırma etkisini belirler.

İlköğretim çalışmalarının, daha büyük birinci sıradaki temel çalışmaların mantıksal miktarına (R \u003d N, yani altında, aşağıdaki kabul edileceği gibi), evrensel setin yasalarından izler, Birinci dereceden dağıtım hukuku ve üç aşamada üretilir:

Ünitenin N-rütbesi bileşenlerinin olduğu bir fabrika N-R birimleri olarak tanıtılan rütbenin ortaya çıkan ilköğretim ürününde;

Her birim, değişkenin ilk temel ürününde ve inkar edilmesinde mevcut olmayanların mantıklı bir toplamı ile değiştirilir: x i v. `x I. = 1;

Tüm parantezlerin, ilk türün dağıtım yasasına dayanarak, rütbenin ilk temel ürününün birimin mantıksal toplamı 2 N-R bileşeni olarak dağıtılmasına yol açar.

İlköğretim ürününün açıklama kuralı, mantık cebirinin (FAL) işlevlerini en aza indirmek için kullanılır.

İlkokul rütbesinin, N (sıfır bileşeninin) temel miktarının çalışmasına ilişkin olarak dağıtımın kuralı, sıfır set (6) ve ikincil tür dağıtım kanunlarını (14) ve üç aşamada üretilen yasalarını takip eder:

Dağıtılabilir rütbe rağında, N-R sıfırları terimler olarak enjekte edilir;

Her sıfır, başlangıç \u200b\u200bmiktarında ve inkarında mevcut olmayan, bazılarının mantıksal bir ürünü olarak temsil edilir: x I.·` x I. = 0;

Elde edilen ifade, ikinci tip dağıtım kanununun (14) temelinde, ilk rütbenin ilk miktarının, sıfırın 2 N-R bileşeninin mantıksal bir ürününe dönüştürülmesi şekilde dönüştürülür.

16. Tam sistemin bağlantısı. Komple sistemlerin örnekleri (ispatlı)

Tanım. Mantıkun Cebir A'nın fonksiyonları kümesi, mantık cebirinin herhangi bir işlevi A'nın formülü ile ifade edilebiliyorsa, tam sistem (P2 cinsinden) olarak adlandırılır.

Fonksiyon sistemi a \u003d ( F 1, F 1, ..., F m ), tamamlanan, denilen esas.

Asgari temeli, en az bir fonksiyonun çıkarılmasının böyle bir temel olarak adlandırılır. f 1. Bu temel oluşturma fonksiyon sistemini çevirir (F 1, F 1, ..., F M) Eksik.

Teorem. Sistem A \u003d (∨, &,) tamamlandı.

Kanıt. Cebir mantığının fonksiyonunun aynı sıfırdan farklı olması durumunda, F, yalnızca ayrılma, bağlantılı ve inkar eden mükemmel bir ayrık normal form formunda ifade edilir. Eğer f ≡ 0, daha sonra f \u003d x & x ise. Teoremi kanıtlandı.

Lemma. A sistemi tamamlandıysa ve sistemin A'nın herhangi bir işlevi, diğer B'nin diğer bir sistemindeki formül tarafından ifade edilebilir, daha sonra B'nin tam bir sistemdir.

Kanıt. Mantıkun Cebir F (X 1, ..., XN) ve iki fonksiyon sisteminin keyfi bir fonksiyonunu düşünün: a \u003d (G 1, G 2, ...) ve b \u003d (H 1, H 2,. .). Sistem A'nın dolu olması nedeniyle, F fonksiyonu yukarıdaki bir formül olarak ifade edilebilir:

f (x 1, ..., x n) \u003d ℑ

nerede g i \u003d ℜ ben

yani, F işlevi olarak temsil edilir.

f (x 1, ..., x n) \u003d ℑ [ℜ1, ℜ2, ...]

başka bir deyişle, B'nin formülü ile temsil edilebilir. Böylece, mantık cebirinin tüm işlevleri, B sisteminin de dolu olduğunu elde ediyoruz. Lemma kanıtlandı.

Teorem. Aşağıdaki sistemler p 2'de tamamlanmıştır:

4) (& ⊕, 1) zhegalkin'in temeli.

Kanıt.

1) A \u003d (& v,) sistemin tam olduğu bilinen (teorem 3). Sistemin B \u003d (V,. Gerçekten de, De Morgana Hukuku'ndan (X & Y) \u003d (x ∨ y) olduğunu gösteriyoruz x & y \u003d (x ∨ y), yani, birlikte Ayrılma ve inkar yoluyla ve sistemin A işlevlerinin tüm fonksiyonları B, B'nin B'deki formüllerle ifade edilir. Lemma'ya göre, B doludur.

2) Madde 1'e benzer: (x ∨ y) \u003d x & y ⇔ x ∨ y \u003d (x & y) ve Lemma 2'den, istem 2'nin gerçek ifadesini takip eder.

3) x | y \u003d (x & y), x | x \u003d x; x & y \u003d (x | y) \u003d (x | y) | (x | Y) ve Lemma 2'ye göre, sistem dolu.

4) x \u003d x ⊕1 ve Lemma 2'ye göre, sistem dolu.

Teoremi kanıtlandı.

17. ALGEBRA ZHEGALKIN. Operasyonların ve dolgunlukların özellikleri

Zhegalkin S4 \u003d (⊕, & 1) olarak belirtilen çok sayıda Boolean işlevi cebir Zhegalkina.

Temel özellikler.

1. alışkanlık

h1⊕H2 \u003d H2⊕H1 H1 & H2 \u003d H2 & H1

2. İlişkilendirme

h1⊕ (H2⊕H3) \u003d (H1⊕H2) ⊕H3 H1 ve (H2 ve H3) \u003d (H1 & H2) & H3

3. dağıtım

h1 & (H2⊕H3) \u003d (H1 & H2) ⊕ (H1 ve H3)

4. Özellikler Sabit

5. H⊕H \u003d 0 H & H \u003d H
Beyan. Operasyon yoluyla, Zhegalkin Cebir, diğer tüm Boolean fonksiyonları tarafından ifade edilebilir:

x → y \u003d 1⊕x⊕xy

x ↓ y \u003d 1⊕x⊕y⊕xy

18. Zhegalkina Polina. İnşaat yöntemleri. Misal.

Polinomu Zhegalkina (Polinom Modülü 2) n. X 1, x 2 ... xn değişkenleri, formun ifadesi denir:

c 0 ⊕C 1 x 1 ⊕C 2 x 2 ⊕ ... ⊕c n x n ⊕c 12 x 1 x 2 ⊕ ... ⊕c 12 ... n x 1 x 2 ... x n,

kalıcı C K değerleri 0 alabilir. 1 olsun.

Polinomual zhegalkina bireysel değişkenlerin eserlerini içermiyorsa, doğrusal (doğrusal fonksiyon) denir.

Örneğin, f \u003d x⊕yz⊕xyz ve f 1 \u003d 1⊕x⊕y⊕z - polinomlar ve ikincisi doğrusal bir fonksiyondur.

Teorem. Her Boolean işlevi, bir zhegalkin polinomu olarak temsil edilir.

Belirtilen fonksiyondan zhegalkin polinomlarının yapımı için ana yöntemleri sunuyoruz.

1. Belirsiz katsayıların yöntemi. P (x 1, x 2 ... x n), istenen fonksiyonu F (x 1, x 2 ... x n) gerçekleştiren istenen Zhegalkin polinomu olsun. Formda yazıyoruz

P \u003d C 0 ⊕C 1 x 1 ⊕C 2 x 2 ⊕ ... ⊕C n x n ⊕c 12 x 1 x 2 ⊕ ... ⊕c 12 ... n x 1 x 2 ... x n

C katsayılarını bulun. Bunu yapmak için, Hakikat tablosunun her satırından x 1, x 2 ... x n değerlerini tutarlı bir şekilde verin. Sonuç olarak, bilinmeyen tarafından 2 N ile 2 N denklem sistemi elde ediyoruz, tek bir çözüme sahip. Karar verdikten sonra, polinom p (x 1, x 2 ... x n) katsayılarını buluruz.

2. Formüllerin ligament kümesi (, &) üzerindeki dönüşümüne dayanan yöntem. Bazı formül inşa etmek F. F (x 1, x 2 ... x n) işlevini uygulayan ligaments (, &) kümeleri üzerinde. Sonra A⊕1'de A'nın her yerindeki her yerini değiştirin, parantezleri dağıtım yasasını kullanarak ifşa edin (bkz. Özellik 3) ve ardından Özellikler 4 ve 5'i uygulayın.

Misal. Polynomial Zhegalkin Fonksiyonları F (X, Y) \u003d X → Y

Karar.
1. (belirsiz katsayıların yöntemi). İstenilen polinomini formda yazıyoruz:

P \u003d C 0 ⊕C 1 x⊕C 2 Y⊕C 12 XY

Etkilemenin gerçeği tablosunu kullanarak, bunu alıyoruz

f (0,0) \u003d P (0,0) \u003d C 0 \u003d 1

f (0,1) \u003d P (0,1) \u003d C 0 ⊕C 2 \u003d 1

f (1.0) \u003d P (1.0) \u003d C 0 ⊕C 1 \u003d 0

f (1,1) \u003d P (1,1) \u003d C 0 ⊕C 1 ⊕C 2 ⊕C 12 \u003d 1

Sürekli olarak bulduğumuz yerde, C 0 \u003d 1, C1 \u003d 1, C 2 \u003d 0, C 12 \u003d 1

Sonuç olarak: x → y \u003d 1⊕x⊕xy.

2. (formülleri dönüştürme yöntemi.). Biz var: x → y \u003d xvy \u003d (xy) \u003d (x (y⊕1)) ⊕1 \u003d 1⊕x⊕xy
Zhegalkin'nin cebirinin (diğer cebirlere kıyasla) avantajının, Boolean fonksiyonlarının dönüşümünün oldukça basit olduğunu sağlayan mantığın aritmetiğidir. Boolean cebirine kıyasla dezavantajı, formüllerin hacimlidir.

Benzer bilgiler.

Formüller ve mantık yasaları

Adanmış tanıtım dergisinde matematiksel mantığın temelleriMatematiğin bu bölümünün temel kavramlarıyla tanıştık ve şimdi konu doğal bir devam ediyor. Yeni teorik ya da aksine, pratik görevler teorik materyal bile bile beklenmesi bekleniyor ve bu nedenle bu sayfayı arama motorundan girdiyseniz ve / veya malzemede kötü yönlendirilmişse, lütfen yukarıdaki bağlantıyı gidin. ve önceki makaleden başlayın. Ayrıca, uygulama için 5'e ihtiyacımız olacak hakikat tadı mantıksal İşlemlerben olduğumu tavsiye ederim yeniden yazmak.

Hatırlamayın, yazdırmayın, yani, bir kez daha kağıda yansıtmak ve kişisel olarak yeniden yazmak için bir kez daha gözlerimizden önce olacaklar:

- Tablo değil;
- Tablo ve;
- Tablo veya;
- Etkileme tablosu;
- Eşdeğerlik tablosu.

Bu çok önemli. Prensip olarak devam etmek için rahat olurlar "Tablo 1", "Tablo 2", vb.Ancak bu yaklaşımın kusurunu defalarca vurguladım - söyledikleri gibi, bir kaynakta tablo birinci ve diğerlerinde - yüz ilk olacaktır. Bu nedenle, "doğal" isimleri kullanacağız. Devam ediyoruz:

Aslında, mantıksal formül kavramı ile zaten tanıdık. Standart vereceğim, ama pretty witty tanım: formüller Cebirlerin ifadesi denir:

1) Herhangi bir temel (basit) ifadeler;

2) Her iki formül ise, formüller de formun ifadeleridir.
.

Başka bir formül yok.

Özellikle, formül mantıksal çarpma gibi herhangi bir mantıksal işlemdir. İkinci noktaya dikkat edin - izin verir Özyineleme Keyfi uzun bir formül nasıl "oluşturulur". Gibi - Formüller, sonra - ayrıca formül; Her ikisi de - formüller, sonra - ayrıca formül vb. Herhangi bir temel ifade (yine tanımına göre) Formülü art arda girebilir.

Formül değil Örneğin, bir kayıt - ve burada "cebirsel çöp" ile görünen analoji, net olmayan - sayıların katlanması veya çarpılması gerekip gerekmediği.

Mantıksal formül olarak görülebilir mantıksal fonksiyon. Aynı bağlantının işlevsel bir formunda yazıyoruz:

İlkel ifadeler ve bu durumda, klasik mantığın 2 değer alabileceği argümanların (bağımsız değişkenler) rolünü oynar: doğru veya yanlış. Kolaylık için yanında bazen basit ifadeler arayacağım değişkenler.

Mantıksal formülü (işlev) tanımlayan tablo, zaten dile getirildiği gibi denir, başlık başlığı. Lütfen - tanıdık resim:

Bir doğruluk tablosu oluşturma ilkesi: "Girişte" listelemelisiniz tüm olası kombinasyonlar Temel ifadeler (argümanlar) alabilen gerçekler ve yalanlar. Bu durumda, formül iki ifade içerir ve bu kombinasyonların dördünün dört olduğunu bulmak kolaydır. "Çıkışta", tüm formülün (işlevinin) uygun mantıksal değerlerini elde ediyoruz.

Burada "çıktı" çıktı "bir adımda" çıktığını, ancak genel olarak, mantıksal formül daha karmaşık olduğunu söylemeliyim. Ve böyle "zor durumlarda" gözlenmelidir mantıksal işlemleri gerçekleştirme prosedürü:

- her şeyden önce inkarlar;
- ikinci sırada - birleşimi;
- sonra - ayrılma;
- sonra ima etmek;
- ve nihayet, en düşük öncelik eşdeğeri var.

Örneğin, kayıt, ilk önce mantıksal çarpma ve ardından mantıksal ekleme yapmanız gerektiğini ima eder:. Tıpkı "normal" cebirinde olduğu gibi - "İlk önce çoğalırız ve sonra katlandık."

Prosedür her zamanki yöntemle değiştirilebilir - parantezler:
- Burada, her şeyden önce, ayrılma yapılır ve sadece "güçlü" işlem.

Muhtemelen herkes anlar, ama her ateş için: ve bu İki farklı Formüller! (hem resmi hem de anlamlı bir planda)

Formül için bir doğruluk tablosu yapın. Bu formül iki temel ifadeyi ve "Girişte", birimlerin ve sıfırların olası tüm kombinasyonlarını listelememiz gerekir. Karışıklık ve tutarsızlıklardan kaçınmak için kombinasyonları listeler kesinlikle bu sırayla (Aslında en başından itibaren fiili kullanıyorum):

Formül iki mantıksal işlem içerir ve önceliğine göre, her şeyden önce gerçekleştirilmelidir. olumsuzluk İfadeler. "PE" sütununu inkar ediyoruz - birimler sıfırlara ve sıfırlara dönüştürüyoruz - birimlerde:

İkinci adımda, sütunlara bakıyoruz ve onlara başvuruyoruz. operasyon veya. Biraz daha yakın, ayrılmanın izin verilebileceğini söyleyeceğim (ve aynı şeydir)Ve bu nedenle sütunlar her zamanki gibi analiz edilebilir - soldan sağa. Mantıksal bir ekleme yaparken, aşağıdaki uygulamalı argümanı kullanmak uygundur: "Eğer iki sıfır - sıfır koyarsa, en az bir ünite bir tane ise":

Gerçek tablosu inşa edilmiştir. Ve şimdi eski iyi niyetleri hatırlayalım:

... dikkatlice dikkatlice ... Son sütunlara bakıyoruz .... Beyannamede cebire bu tür formüller denir eşdeğer veya özdeş:

(Üç yatay ekran görüntüsü kimlik simgesidir)

Dersin ilk bölümünde, temel mantık operasyonları yoluyla ima etmeyi ifade etmeye söz verdim ve söz beklemeye gelmedi! Keşin edenler, anlamlı anlam ifade eder. (Örneğin, "Yağmur yağarsa, o zaman sokak çiğ") Ve bağımsız olarak eşdeğer ifadeyi analiz eder.

Formüle etmek genel tanım: İki formül denir eşdeğer (aynı)Değişkenlerin bu formüllerinde bulunan herhangi bir değer grubu için aynı değerleri alırlarsa (İlköğretim ifadeleri). Ayrıca bunu söylüyorum "Formüller, doğruluk tabloları çakışıyorsa eşdeğerdir"Ama bu cümleyi gerçekten beğenmedim.

1. Egzersiz

Formül için bir doğruluk tablosu yapın ve size tanıdık kimliğin olduğundan emin olun.

Bir kez daha sorunu çözme problemini tekrarlıyoruz:

1) Formül iki değişken içerdiğinden, daha sonra 4 olası sıfır ve birim kümesi olacaktır. Onları yukarıdaki sıraya yazarız.

2) Sonuçlar "Zayıf" birleşimi, ancak parantez içinde bulunurlar. Aşağıdaki uygulanan argümanı kullanmak uygunken sütunu doldurun: "Sıfır birimden takip ederse, daha sonra sıfır koyun, diğer tüm durumlarda - bir birim". Sonra, ima için sütunları doldurun ve aynı zamanda, dikkat! - sütunlar ve "sağdan sola" analiz edilmelidir!

3) ve son aşamada son sütunu doldurun. Ve burada böyle konuşmak uygundur: "Sütunlar ve iki ünite varsa, daha sonra başka durumlarda bir birim koyun - sıfır".

Ve nihayet, doğruluk tablosu ile çiziyoruz eşdeğer .

Temel Eşdeğerlik Cebirsel İfadeleri

İkisi ile sadece tanıştık, ancak bunlar açıktır, sınırlı değiller. Kimlikler oldukça fazla ve onlardan en önemli ve en ünlüleri listeleyeceğim:

Communtation Commutativity ve Bidonun Kullanılabilirliği

Alışkanlık - Bu bir permütasyondur:

1. sınıf kurallarına aşina: "Çarpanların (terimlerin) permütasyonundan, iş (tutar) değişmez". Ancak bu mülkün tüm belirgin birinci sınıflığıyla, her zaman adil değildir, özellikle de ticari olmayan matris Çarpma (Genel olarak, yeniden düzenlenemezler), fakat vektör sanat vektörel çizimler - Commutative Anti-Commutative (Vektörlerin permütasyonu işaretini değiştirmeyi içerir).

Ve ayrıca, burada matematiksel mantığın formalizmini vurgulamak istiyorum. Yani, örneğin, cümleler "Öğrenci sınavı geçti ve içti" ve "Öğrenci sınavı içti ve geçti" Anlamlı bir bakış açısıyla farklı, ancak resmi gerçek açısından ayırt edilemez. ... bu tür öğrenciler her birimizi ve etik hususlardan, belirli isimleri seslendirmeyeceğiz \u003d)

Mantıksal çarpma ve eklemenin ilişkisi

Veya, eğer "okul" bir kombinasyon özelliği ise:

Dağıtım özellikleri

Lütfen 2. durumda, "parantezlerin açıklanması" hakkında konuşmanın yanlış yapacağı, burada belirli bir anlamda "kurgu" - sonuçta, sonuçta çıkarılabilirler: çünkü Çarpma daha güçlü bir işlemdir.

Ve yine - görünüşte bu görünüşte "Banal" özellikleri, tüm cebirsel sistemlerden uzak ve ayrıca kanıt gerektirir. (En çok yakında konuşacağımız hakkında). Bu arada, ikinci dağıtım hukuku "sıradan" cebirimizde bile haksızlıktır. Ve aslında:

Hukuk İdempoteri

Ne yapmalı, Latince ....

Doğrudan sağlıklı bir ruhun bir tür ilkesi: "Ben ve ben bendenım", "Ben ya da ben - ben de ben de benim" \u003d)

Ve hemen benzer bazı kimlikler:

... hmm, bir şey bile podzavis ... bu yüzden felsefe doktoru yarın uyanabilir \u003d)

Çift reddetme hukuku

Burada, burada zaten Rus diline bir örnek öneriyor - herkes iki parçacıkın "evet" anlamına gelmediğini biliyor. Ve olumsuzluğun duygusal rengini güçlendirmek için genellikle üç "değil" kullanırsınız:
- Küçük kanıtı bile çıktı!

Emilim yasaları

- "Bir erkek var mıydı?" \u003d)

Doğru kimlikte, parantez ihmal edilebilir.

De Morgana

Bunu sıkı bir öğretmen olduğunu varsayalım. (kimin adı biliyorsunuz :)) sınavı koyarsa - Öğrenci ilk soruyu cevapladı ve – Öğrenci 2. soruyu cevapladı. Sonra ifade bunu söylüyor Öğrenci değil Sınavı geçtiifadeye eşdeğer olacak - Öğrenci değil 1. soruyu cevapladı veya 2. soruda.

Yukarıda belirtildiği gibi, eşdeğerlik, doğruluk tablolarını kullanarak standart olarak yürütülen kanıtlara tabidir. Aslında, eşdeğeri, ima ve eşdeğeri ifade eden, ve şimdi bu görevi çözme tekniğini birleştirmenin zamanı geldi.

Kimliği kanıtlıyoruz. Tek bir ifade içerdiğinden, "Girişte" mümkündür, sadece iki seçenek: bir veya sıfır. Sonra tek bir sütunu bağlar ve onlara uygulayın kural I.:

Sonuç olarak, formül, ifadenin gerçeği ile çakışan gerçeği "çıkışta" elde edildi. Kanıt kanıtlandı.

Evet, bu kanıt ilkeldir (ve birisi bunu ve "aptal" diyecek)Ancak matlogic'deki tipik bir öğretmen, onun için ruhu gevşetir. Bu nedenle, bu kadar basit şeyler bile önemsiz olmamalıdır.

Şimdi, örneğin, De Morgana'nın adaletinde ikna edileceksiniz.

İlk önce, sol taraf için bir doğruluk tablosu yapacağız. Ayrılma parantez içinde olduğundan, ilk önce yaptığım her şeyden önce, sonra sütunu inkar ediyorum:

Sonra, sağ taraf için bir doğruluk tablosu yapın. Burada da, her şey şeffaftır - her şeyden önce daha "güçlü" inkarları tutarız, ardından sütunlara uygulanır. kural I.:

Sonuçlar birbirine denk geldi, bu nedenle kimlik kanıtlandı.

Herhangi bir eşitlik olarak temsil edilebilir aynı şekilde gerçek formül . Bu demektir Herhangi bir kaynaklı sıfır ve birimler seti ile "Çıkışta" kesinlikle bir birim ortaya çıkar. Ve bu çok basit bir açıklamadır: doğruluk tabloları ve örtüşdüğünden beri, elbette eşdeğerdirler. Örneğin, sadece kanıtlanmış kimliğin de Morgana'nın sol ve sağ kısmının eşdeğeri olan bağlantılar:

Veya daha kompakt ise:

Görev 2.

Aşağıdaki eşdeğeri kanıtlayın:

b)

Dersin sonunda özet. Tembel değil! Gerçek tabloları yapmak kolay değil, aynı zamanda açıkça Sonuçları formüle eder. Son zamanlarda belirttiğim gibi, basit şeyleri ihmal etmek çok pahalı yapabilir!

Mantık yasalarıyla tanışmaya devam ediyoruz!

Evet, oldukça doğru - biz zaten onlarla çalışıyoruz:

Doğru için , aranan aynı şekilde gerçek formül veya mantık Hukuku.

Eşitlikten aynı gerçek formüle kadar önceden makul geçişin erdeminde, yukarıdaki tüm kimlikler mantık yasalarıdır.

Değeri alan formül Yanlışiçin İçindeki değişkenlerin herhangi bir değeri var, aranan aynı şekilde yanlış formül veya Çelişmek.

Eski Yunanlıların çelişkisinin cormatif örneği:
- Aynı anda hiçbir ifade doğru ve yanlış olabilir.

Prova önemsiz:

"Çıkışta" sadece sıfırlar, bu nedenle, formül gerçekten kimlik yanlıştır.

Bununla birlikte, herhangi bir çelişki de mantık yasasıdır, özellikle de:

Tek bir makalede böyle kapsamlı bir konuyu tartışmak imkansızdır ve bu nedenle sadece birkaç yasa ile sınırlayacağım:

Hariç tutulan üçüncü kanun

- Klasik mantıkta, herhangi bir ifade gerçekten ya da yanlıştır ve üçüncüsü verilmez. "Olmak ya da olmamak" - sorunun ne olduğu.

Bağımsız olarak bir doğruluk işareti yapın ve olduğundan emin olun. aynı şekilde doğru formül.

Konferans Kanunu

Bu yasa, özü tartıştığımızda aktif olarak endişelendi. gerekli durum, hatırlamak: "Sokaktaki yağmur sırasında, o zaman sokakta kuru ise, o zaman yağmur kesinlikle değildi".

Ayrıca bu yasadan da takip ederse düz teorem , mutlaka doğru olacak ve bazen dediği ifadesi olacak karşısında Teorem.

Eğer doğruysa ters teorem, sonra konferans yasası ve teorem nedeniyle, ters ters:

Ve anlamlı örneklerimize geri dönün: ifadeler için - Numara 4'e ayrılmıştır, - sayı 2'ye ayrılır Adil düz ve karşısında teoremler ama yanlış ters ve ters ters Teoremler. Pythagore teoreminin "yetişkin" formülasyonu için, tüm 4 "yönergeler" doğrudur.

Siloglik hukuku

Ayrıca klasik bir tür: "Tüm Oaks - Ağaçlar, Bütün ağaçlar - Bitkiler, bu nedenle, tüm meşe - Bitkiler".

Burada yine, matematiksel mantığın formalizmini not etmek istiyorum: Eğer katı öğretmenimiz belirli bir öğrencinin bir meşe olduğunu düşünüyorsa, o zaman resmi bir bakış açısıyla, bu öğrenci kesinlikle bir bitkidir \u003d) ... olsa da düşünüyorsun, sonra belki de gayrı resmi olarak \u003d)

Formül için bir doğruluk tablosu yapın. Mantıksal işlemlerin önceliğine uygun olarak, aşağıdaki algoritmaya uyun:

1) Etkileri gerçekleştirin ve. Genel olarak konuşursak, 3RD imalatını hemen yerine getirebilirsiniz, ancak bununla daha uygundur. (Ve izin verilebilir!) biraz sonra sıralama;

2) Sütunlara Uygula kural I.;

3) Şimdi yaptık;

4) ve son adımda, sütunların çıkarını kullanıyoruz. ve.

Endeks ve orta parmak işlemini kontrol etmekten çekinmeyin :))


Son sütundan, her şey yorum yapmadan açık olduğunu düşünüyorum:
Kanıtlaması gerektiği gibi.

Görev 3.

Mantık yasasının aşağıdaki formül olacağını öğrenin:

Dersin sonunda özet. Evet, ve neredeyse unuttum - ilk sıfır setlerini ve birimlerin ilk setlerini, slogizma yasasının ispatındaki tam olarak aynı sırayla ele alalım. Elbette satırlar, yeniden düzenlemek mümkündür, ancak kararımla büyük ölçüde birikecektir.

Mantıksal formüllerin dönüşümü

"Mantıksal" randevusuna ek olarak, eşdeğerlik formülleri dönüştürmek ve basitleştirmek için yaygın olarak kullanılır. Kabaca konuşursak, kimliğin bir kısmı diğerine değiştirilebilir. Öyleyse, örneğin, mantıksal formülde bir fragmanla tanıştıysanız, o zaman IDEMPotans Kanunu'na göre, basit yazmak için mümkündür (ve gerekli). Görürseniz, emme kanunundan önce kaydı basitleştirin. Vb.

Buna ek olarak, bir başka önemli şey var: Kimlikler sadece temel ifadeler için değil, keyfi formüller için de geçerlidir. Örneğin:

nerede - herhangi bir (keyfi karmaşık) Formüller.

Örneğin, karmaşık sonuçları dönüştürürüz (1. kimlik):

Daha sonra, "Kompleks" hukuku de Morgana, operasyonların önceliğine göre, bu yasalar nerede? :

Parantez çıkarılabilir, çünkü İçeride daha "güçlü" birleşimi var:

Peki ve geçişlilik ile her şey basittir - hiçbir şey belirlemek gerekli değildir ... Silogizmin Yasası'nın ruhuna girdiğim bir şey :))

Böylece, yasa yeniden yazılabilir ve daha karmaşık formda olabilir:

"Meşe, ağaç, bir bitki" ile yüksek sesle mantıksal zincir söyleyelim ve kanunun anlamlı anlamının, etkileri permütasyonundan değişmediğini anlayacaksınız. İfadenin orijinal olmasıdır.

Bir egzersiz olarak, katı bir formül.

Nereden başlayacak? Her şeyden önce, eylem için prosedürle ilgilen: burada olumsuzluk, "hafifçe zayıf" birleşim ifadesiyle "bağlanmış" bir bütün brakete uygulanır. Temel olarak, iki çarpmanızın mantıklı bir ürünümüz var :. Kalan iki işlemin, ima, daha düşük bir önceliğe sahiptir ve bu nedenle tüm formül aşağıdaki yapıya sahiptir :.

Kural olarak, ilk adımda (adımlar) eşdeğerlikten ve sonuçlardan kurtulun (Eğer öylelerse) ve formülü üç temel mantıksal işlemi azaltın. Burada ne diyorsun .... Mantıklı.

(1) Kimlik kullanıyoruz . Ve bizim durumumuz.

Ardından genellikle parantez ile "sökme" nü izler. İlk olarak, tüm çözüm, o zaman yorumlar. "Petrol yağı" olmamak için, "sıradan" eşitlik simgelerini kullanacağım:

(2) De Morgana Hukukunu dış parantezlere uygulayın, nerede.

Setteki değerlendirilen faaliyetler, cebir sayısının tanınmış temel yasalarına benzeyen bazı yasalara tabidir. Bu ismi tanımlar cebir SetiCebir ve mantık arasında bir benzetme fikrini belirleyen İngilizce Matematik John Bul ile ilişkilendirilen süt cebir setleri olarak adlandırılır.

Keyfi setleri A, B ve C. Fuarı Aşağıdaki Kimlikler (Tablo 3.1):

Tablo 3.1

1. Kimlik Yasası
2. Ortak Cemaat	2 '. Taahhüt Kavşağı
3. İlişkisel Dernek	3 '. İlişkisel kesişme
4. Derneğin kesişme noktasına göre dağılımı	dört '. Birliğe İlişkin Kavşak Dağılımı
5. Boş eylem yasaları ve çok yönlü çoklu (Yasa üçüncü hariç tutuldu)	beş'. Boş eylem yasaları ve çok yönlü çoklu (Hukuk çelişkisi)
6. Kombinasyon IDMPNotasyon Kanunu	6 '. Hukuk Yasası Uygulama
7. de Morgana Hukuku	7 '. De Morgana
8. Eliminasyonun Yasası (Emilim)	sekiz'. Eliminasyon Kanunu (Absorpsiyon)
9. Yapıştırma Yasası	dokuz'. Yapıştırma yasası
10. Perestsky Hukuku	10 '. Perestsky Hukuku
11. İnvetim Kanunu (Çift Takviye)

Kavşak () ve ilişkilendirme () operasyonları ile ilgili cebir setlerinin yasaları, dualite ilkesine tabidir: Herhangi bir yasada tüm kesişme işaretleri birleşme işaretlerini ve kesişme işaretlerinin tüm belirtilerini değiştirirse - Kavşak işaretleri, evrensel işaret (U) boş set (Ø) işaretini değiştirin (Ø) ve boş bir işaret evrensel bir işarettir, o zaman tekrar sadık bir kimlik alacağız. Örneğin (bu prensibin sayesinde), takiplerden vb.

3.1. Euler-Venna çizelgeleri kullanarak kimliklerin gerçeğini kontrol etme

Cebir setlerinin tüm yasaları, Euler-Venna çizelgeleri kullanılarak açıkça mevcut olabilir ve kanıtlanabilir. Bunun için ihtiyacınız var:

Uygun diyagramı çizin ve tüm setleri eşitliğin sol kısmında gölgeleyin.

Başka bir diyagram çizin ve eşitliğin doğru kısmı için de aynısını yapın.

Bu kimlik gerçekten ve sadece aynı alan her iki diyagramda da gölgelendiğinde.

Not 3.1.İki kesişen daire, tüm evrensel belirlemeyi dört alana bölün (bkz. Şekil 3,1)

Not 3.2. Üç kesişen daireler, tüm evrensel seti sekiz bölgeye bölün (bkz. Şekil 3,2):

Not 3.2. Çeşitli örneklerin kayıt koşulları, notasyon genellikle kullanılır:

 - dan ... takip eder ...;

 - Sonra ve sadece ne zaman ....

Görev 3.1. . Cebir setlerinin ifadelerini basitleştirin:

Karar.

Bir görev 3 .2 . Kimlikleri kanıtlamak:

(Av) \\ b \u003d a \\ in;

A (vс) \u003d a \\ (a \\ c)  (a \\ s).

Karar.

Görev 3.3. . Aşağıdaki oranları iki şekilde kanıtlayın: diyagramların yardımı ile ve kümelerin eşitliğini belirleyerek.

Karar.

2. Set eşitliğini belirleyerek kanıt.

Tanım olarak, ilişkiler eşzamanlı olarak memnun olursa, X ve Y setleri eşittir: xy ve yx.

İlk önce bunu gösteriyoruz
. İzin vermek h. - Setin keyfi unsuru
, yani h.
. Bu demektir h.U I. h.
. Buradan bunu takip ediyor h.A veya h.. Eğer bir h., sonra h. ve bu nedenle
. Eğer h.V, T.
ve bu nedenle
. Böylece, setin her bir elemanı.
. Ayrıca çoklu bir dizi var
Yani

Şimdi bunun tersini kanıtlayacağız, yani
. İzin vermek
. Eğer bir h., T. h.U I. h.A, bu demektir ki h.v. Dolayısıyla bunu takip ediyor
. Eğer
T. h.U I. h.. Anlamı h.v, bu
. Buradan, setin her unsurunun olduğunu takip eder.
aynı zamanda birden fazla dizidir
, yani
.

Anlamı
Kanıtlaması gerektiği gibi.

A (BC) \u003d (ab)  (AC);

1. Bir diyagramın yardımı ile kanıt:

İzin vermek h. (vС). Sonra h.A I. h.Вс Eğer bir h.V, T. h.v, bahsedilenlere aykırı olmayan ve bu nedenle h. (AV)  (АС). Eğer h.С,. h.ас. Dolayısıyla h. (ab)  (AC). Böylece, A (BC)  (ab)  (AC) olduğu kanıtlanmıştır.

Şimdi izin vermek h. (ab)  (AC). Eğer bir h.Av, T. h.A I. h.. Dolayısıyla bunu takip ediyor h.A I. h.вс, bu h. (vС). Eğer h.аС, için. h.A I. h.c. Buradan bunu takip ediyor h.A I. h.вс, bu h. (vС). Böylece, (ab)  (ac)  A (BC). Sonuç olarak, A (BC) \u003d (ab)  (AC). Q.e.d.

Yeterlilik kanıtı durumunda, AV \u003d 'yu aldık. Açıkçası, C, bu yüzden oranı kanıtlandı. Kanıt olarak, en genel durum göz önünde bulunduruldu. Ancak, diyagramlar inşa ederken hala bazı seçenekler var. Örneğin, eşitlik durumu av \u003d c veya
, boş set vb. Açıkçası, dikkate almak için mümkün olan tüm seçenekler zordur. Bu nedenle, diyagramların yardımıyla ilişkilerin kanıtı her zaman doğru olmadığına inanılmaktadır.

2. Set eşitliğini belirleyerek kanıt.

Gereklilik. Av ve eleman olsun h.A. Bu durumda, A set a'nın elemanının da kümenin elemanı olacağını gösteriyoruz.
.

İki vakayı düşünün: h.v veya
.

Eğer bir h.V, T. h.авс, bu h.C ve bunun sonucunda,
.

Eğer
, ben.
. İhtiyaç kanıtlandı.

Şimdi izin vermek
ve h.v. Öğenin olduğunu gösteriyoruz h.bir SET C'nin bir unsuru da olacak.

Eğer bir h.v, sonra h.A I. h.. Gibi
Yani h.c. Yeterlilik kanıtlandı.

1. Bir diyagramın yardımı ile kanıt:

2. Set eşitliğini belirleyerek kanıt.

Av Öğeyi düşünün h.v (veya
). Benzer şekilde: h.A (veya h.ā). Yani, setin her unsuru set'in bir unsuru da var. Ve bu durumda olabilir
. Q.e.d.

Görev 3.4. Sembolik olarak belirtilen alanları ifade edin ve elde edilen ifadeleri basitleştirin.

Karar.

İstenilen alan iki izole parçadan oluşur. Koşullu olarak onları üst ve alt diyelim. Gösterdikleri set, böyle tanımlanabilir:

M \u003d ( x. x.A I. h.B i. h.С veya h.С I. h.A I. h.V).

Operasyonların tanımlanmasından setler, biz:

M \u003d ((av) \\ c)  (C \\ a \\ b).

Bu ifadeyi temel operasyonların yardımıyla yazıyoruz - eklemeler, dernek ve kavşak:

Bu ifadeyi basitleştirmek imkansızdır, çünkü her sembolün bir girişi var. Bu, bu formülün en basit görünümüdür.

Bu alan, a \\ b \\ c ve avс set birliği olarak görülebilir. Tanım ile m \u003d ( x. x.A I. x.B I. h.С veya h.A I. h.B i. h.С). Basitleştiriyoruz:

Öz çözümler için görevler.

1. Basitleştirmek:

2. Diyagramların yardımıyla, kanunlar cebir setleri ve set kümelerinin tanımları:

(Av) \\ b \u003d a \\ in;

A (vс) \u003d a \\ (a \\ c)  (a \\ s);

AV \u003d av  a \u003d b;

A \\ b \u003d   av \u003d A.

3. Herhangi bir eşitlik ile tatmin edici birçok x olup olmadığını öğrenmek için:

Ah \u003d a; (Cevap );