Normal olarak dağıtılmış rastgele değişkenin yoğunluğunun işlevi. Normal dağılım ve parametreleri

Normal olarak dağıtılmış rastgele değerlerle ilişkili birçok zorlukta, rastgele varyans olasılığını, parametrelerle olan normal yasalara, siteye, siteye göre belirlemek gerekir. Bu olasılığı hesaplamak için genel formülü kullanıyoruz

nerede - boyut dağılımının boyutu.

Parametrelerle normal bir yasaya göre dağıtılan rastgele bir değişkenin dağıtımının işlevini bulun. Dağıtım yoğunluğu değeri:

Buradan dağıtım fonksiyonunu buluruz

. (6.3.3)

Değişkeni değiştirerek integral (6.3.3) yapacağız.

ve aklımıza veriyoruz:

(6.3.4)

İntegral (6.3.4), temel fonksiyonlarla ifade edilmez, ancak tablonun derlendiği bir ifadeden veya (sözde olasılık integrali) belirli bir integrali ifade eden özel bir fonksiyonla hesaplanabilir. Örneğin, bu tür fonksiyonların birçok çeşitleri vardır:

;

vb. Bu fonksiyonlardan hangisi kullanır - bir tat meselesi. Böyle bir işlevi seçeceğiz.

. (6.3.5)

Bu fonksiyonun, parametrelerle birlikte normal bir dağıtılmış rastgele değişken için bir dağıtım fonksiyonundan başka bir şey olmadığını görmek zor değildir.

Fonksiyonu normal dağıtım fonksiyonu ile çağırmayı kabul ediyoruz. Ek (Tablo 1) Tablo değerleri tablolarını gösterir.

Değerlerin dağıtım fonksiyonunu (6.3.3) parametrelerle ve normal dağıtım fonksiyonu boyunca ifade eder. Açıkça

Şimdi daha önce siteye gelen rastgele varyans olasılığını buluyoruz. Formüle göre (6.3.1)

Böylece, normal bir yasaya göre, parametrelerle en basit normal yasaya karşılık gelen standart dağıtım fonksiyonu yoluyla, normal bir yasaya göre dağıtılan rastgele bir değişkenin, 0.1 parametreleri ile ilgili en basit normal yasaya karşılık gelen standart dağıtım işlevi ile ifade ettik. Formül (6.3.7) içindeki işlev argümanlarının çok basit bir anlamı olduğuna dikkat edin: Sitenin sağ ucundan dispersiyon merkezine bir mesafe vardır, orta derecede ikinci dereceden sapmalarda ifade edilir; - Sitenin sol ucu için aynı mesafe ve bu mesafe, eğer bitişin dağılma merkezinin sağ tarafında bulunursa ve solda ise negatif varsa pozitif olarak kabul edilir.

Herhangi bir dağıtım işlevi gibi, fonksiyonun özellikleri vardır:

3. - Funcduating işlevi.

Ek olarak, normal dağılımın simetrisinden, koordinatın başlangıcına göre parametrelerle, bunu takip eder.

Bu özelliği kullanarak, aslında, fonksiyonun tablolarını yalnızca argümanın pozitif değerleriyle sınırlandırmak mümkün olacaktır, ancak aşırı çalışmayı (birden çıkarma), uygulamanın Tablo 1'teki (birinden çıkarma), değerler Hem olumlu hem de olumsuz argümanlar için geçerlidir.

Uygulamada, bölgeye normal olarak dağıtılmış bir rastgele değişkene girme olasılığını hesaplama görevi, saçılma merkezine göre genellikle simetriktir. Böyle bir uzunluğu düşünün (Şekil 6.3.1). Bu bölüme bu bölümü formül (6.3.7) ile girmelerini hesaplıyoruz:

Fonksiyonun (6.3.8) özelliği (6.3.8) göz önüne alındığında, formülün (6.3.9) daha kompakt görünüşün sol kısmını verdikten sonra, normal yasaya göre, simetrik olan rastgele bir değişkenin olasılığı için bir formül elde ediyoruz. Saçılma Merkezine Göre:

. (6.3.10)

Aşağıdaki göreve izin verin. Ardışık uzunluktaki parçaların dağılımının merkezinden erteliyoruz (Şekil 6.3.2) ve her birinde gelen rastgele varyans olasılığını hesaplıyoruz. Normal kanunun eğrisi simetrik olduğundan, bu tür segmentleri sadece bir şekilde ertelemek yeterlidir.

Formül (6.3.7) ile buluruz:

(6.3.11)

Bu verilerden görülebileceği gibi, aşağıdaki segmentlerin (Beşinci, altıncı vb.) 0,001 doğruluğu olan her birine girme olasılıkları sıfırdır.

Segmentlere 0.01'e (% 1'e kadar) alma olasılıklarını çevreleyen, hatırlaması kolay üç sayı alacağız:

0,34; 0,14; 0,02.

Bu üç değerin toplamı 0,5'dir. Bu, normal bir dağıtılmış rastgele değişkenin, tüm dağılımın (bir yüzde doğruluğuna sahip) sitede istiflendiği anlamına gelir.

Bu, ortalama ikinci dereceden sapma ve rastgele bir değişkenin matematiksel beklentisini bilerek, geçici olarak olası değerlerinin aralığını geçici olarak gösterir. Rastgele varyansın olası değerlerinin çeşitliliğini tahmin etme yöntemi, "üç Sigma kuralı" adlı matematiksel istatistiklerde bilinmektedir. Üç Sigma kuralından, rasgele bir değişkenin ortalama ikinci dereceden sapmasını belirlemek için tahmini yöntemi de takip eder: ortalamadan pratik olarak mümkün olan maksimum sapmayı alın ve üçüne bölün. Tabii ki, bu kaba alım sadece belirleme için başka, daha doğru yöntemler yoksa önerilebilir.

Örnek 1. Normal yasaya göre dağıtılan rastgele bir değişken, belirli bir mesafenin bir ölçüm hatasıdır. Ölçümde, aşırı tahminlere 1.2 (m), sistematik bir hataya izin verilir; Ölçüm hatasının ortalama ikinci dereceden sapması 0,8 (m). Ölçülen değerin gerçek olandan sapmanın, 1,6 (m) 'nin mutlak değerini aşmayacağı olasılığını bulun.

Karar. Ölçüm hatası, parametrelerle normal yasaya bağlı olarak rastgele bir değer vardır. Bu büyüklük olasılığını daha önce siteye bulmanız gerekir. Formül (6.3.7) ile:

İşlev tablolarını kullanarak (uygulama, Tablo 1), bulacağız:

; ,

Örnek 2. Önceki örnekte olduğu gibi aynı olasılık bulun, ancak sistematik bir hata olmaması şartıyla.

Karar. Formül (6.3.10) 'de, inanıyoruz:

Örnek 3. Bir tip şeridi (otoyol) olan bir amaç için, genişliği 20 m olan, çevre yoluna dik yönde çekim yapın. Amaçlayan otoyolun orta çizgisinde gerçekleştirilir. Çekim yönünde ortalama ikinci dereceden sapma m'ye eşittir. Ateşleme yönünde sistematik bir hata var: bir hafta 3 m. Otoyolun bir atışta girme olasılığını bulun.

Olasılık teorisinde, yeterince çok sayıda farklı dağıtım yasası göz önünde bulundurulur. Kontrol kartlarının yapımı ile ilgili sorunları çözmek için, yalnızca bazıları ilgi çekicidir. Onların en önemlisi normal dağıtım hukukukullanılan kontrol kartlarını oluşturmak için kullanılır nicel işaret. Sürekli rasgele bir değişkenle uğraştığımızda. Normal dağıtım hukuku diğer yasalar arasında özel bir pozisyon kaplar. Bunun nedeni, öncelikle en sık pratikte bulunan ve ikincisi, diğer dağıtım yasalarının çok yaygın tipik koşullarla yaklaştığı marjinal bir hukuk olduğu gerçeğinden kaynaklanmaktadır. İkinci duruma gelince, olasılıklar teorisinde, yeterince çok sayıda bağımsız (veya zayıf bağımlı) rastgele değişkenlerin toplamının, dağıtım yasalarının ne kadar olduğuna (bazı katı olmayan kısıtlamalara tabi) olduğu kanıtlanmıştır. ), yaklaşık normal yasalara uyuyor ve bu daha doğru bir şekilde, rastgele değişkenlerin sayısı daha da arttırılır. Ölçüm hataları gibi rastgele değişkenlerin pratiğinde karşılaşılan çoğu insan, her biri bağımsız, her biri tek bir nedenden ötürü etkisinden oluşan çok sayıda nispeten küçük terimlerin - temel hataların toplamı olarak sunulabilir. geri kalan. Normal kanun, rastgele bir değişkenin olduğu durumlarda ortaya çıkıyor H. Çok sayıda farklı faktörün sonucudur. Her faktör aylık olarak büyüklükle H. Hafifçe etkiler ve hangisinin gerisini daha büyük bir dereceye kadar olduğunu belirleyemezsiniz.

Normal dağılım(laplace Gauss dağılımı) - Sürekli rasgele değişkenin olasılıklarının dağılımı H. öyle ki olasılık dağılımının yoğunluğu - ¥<х< + ¥ принимает действительное значение:

Ejr (3)

Yani, normal dağılım, M'nin matematiksel bir beklenti olduğu iki parametre M ve S ile karakterize edilir; Normal dağılımın standart sapması.

S. 2 - Bu normal dağılımın dağılmasıdır.

Matematiksel beklenti m, dağıtım merkezinin konumunu karakterize eder ve standart sapma S (SBE) bir dispersiyon özelliğidir (Şekil 3).

f (x) f (x)

Şekil 3 - Normal dağılım yoğunluğunun işlevleri:

a) Farklı matematiksel beklentiler M; b) farklı kayak s.

Böylece, değer μ dağıtım eğrisinin abscissa ekseni üzerindeki konumu ile belirlenir. Boyut μ - Rastgele değişkenin boyutsallığıyla aynı X.. Matematiksel beklentinin büyümesiyle, fonksiyonun çetesi sağa paralel olarak değişir. Dispersiyonun azaltılması ile 2 Dağıtım fonksiyonu daha serin hale gelirken, yoğunluk giderek m etrafında konsantre edilir.

Σ değeri, dağılım eğrisinin şeklini tanımlar. Dağıtım eğrisi altındaki alan her zaman birine eşit kalmalıdır, daha sonra Σ'teki bir artışla, dağılım eğrisi daha da düzleşir. İncirde. 3.1 farklı σ: σ1 \u003d 0.5'te üç eğri gösterir; σ2 \u003d 1.0; Σ3 \u003d 2.0.

Şekil 3.1 - Normal dağılım yoğunluğunun fonksiyonlarıfarklı kayak s.

Dağıtım fonksiyonu (integral işlev) forma sahiptir (Şekil 4):

(4)

Şekil 4 - İntegral (A) ve normal dağılımın diferansiyel (B) işlevi

Normal olarak dağıtılmış bir rastgele değişkenin doğrusal dönüşümü için özellikle önemlidir. H.Bundan sonra rastgele bir değişken elde edilir Z. Matematiksel beklentisiyle 0 ve dispersiyon 1. Böyle bir dönüşüm rasyon olarak adlandırılır:

Her rasgele değişken için yapılabilir. Rasyoning, normal dağılımın tüm olası çeşitlerinin bir olayı azaltmasına izin verir: m \u003d 0, s \u003d 1.

M \u003d 0 ile normal dağılım, s \u003d 1 denilen normal normal dağılım (standartlaştırılmış).

Standart normal dağılım (Laplas-Gauss veya normalleştirilmiş normal dağılımın standart dağılımı) standartlaştırılmış normal rasgele değişken olasılığının dağılımıdır. Z., dağıtım yoğunluğu şudur:

ne zaman - ¥<z.< + ¥

İşlev Değerleri F (z) Formül tarafından belirlenir:

(7)

İşlev Değerleri F (z) ve yoğunluk f (z) Normalleştirilmiş normal dağılım hesaplanır ve tablolara (tablo halinde) azaltılır. Sadece olumlu değerler için yapılan masa z.yani:

F (–z) \u003d 1–F (z) (8)

Bu tabloları kullanarak, yalnızca belirtilen için normalleştirilmiş normal dağılımın fonksiyonunun ve yoğunluğunun değerlerini tanımlayabilirsiniz. z., aynı zamanda genel normal dağılımın işlevinin değerleri:

; (9)

. 10)

Normal olarak dağıtılmış rastgele değerlerle ilişkili birçok zorlukta, rastgele değişken olasılığını belirlemek gerekir. H., M ve S parametreleri ile normal hukuka, belirli bir alana tabidir. Böyle bir bölüm, örneğin, tolerans alanı, parametreye en üst değerden olabilir. U Nizhny L..

Aralığa girme olasılığı h. 1 olmak h. 2, formül tarafından belirlenebilir:

Böylece rastgele varyans olasılığı (parametre değeri) H. Tolerans alanında formül tarafından belirlenir

Rastgele bir değişkenin olasılığını bulabilirsiniz H. Μ içinde olduğu ortaya çıkıyor K.s. . İçin elde edilen değerler k. \u003d 1.2 ve 3 aşağıdakilerdir (ayrıca Şekil 5'e de bakın):

Böylece, tüm olası tüm değerlerin% 99,73'ü bulunduğu üç parçalı bölümün dışında herhangi bir değer görünürse ve böyle bir olayın olasılığı çok küçük (1: 270), dikkate alınan değerin döndüğü düşünülmelidir. Çok küçük ya da çok büyük olmak için. Kazara varyasyonları nedeniyle değil, ancak işlemin kendisindeki temel girişim nedeniyle, dağılımın doğasında değişiklik yapabilme.

Üç taraflı sınırların içinde yatan arsa da denir İstatistiksel tolerans alanı uygun makine veya işlem.

Dosya örneği

Normal dağılımı düşünün. Bir fonksiyon kullanarak Ms excel Norm.rafp () Dağıtım fonksiyonunun ve olasılık yoğunluğunun grafiklerini oluştururuz. Normal bir yasaya göre dağıtılan bir dizi rastgele sayı oluşturalım, dağıtım, ortalama ve standart sapma parametrelerini değerlendireceğiz. .

Normal dağılım (Gauss dağılımı da denir), uygulama kontrol sistemi uygulamalarında teoride en önemli olanıdır. Anlamın önemi Normal dağılım (Eng. Normal Dağıtım) Birçok bilim alanında olasılık teorisinden takip eder.

Tanım : Rastgele değer X. tarafından dağıtıldı Normal hukuk Varsa:

Normal dağılım İki parametreye bağlıdır: μ (MJ) - ve σ ( Sigma) - (standart sapma). Parametresi, merkezin konumunu belirler. olasılık yoğunluğu Normal dağılım ve σ - merkeze göre dağılım (orta).

Not : Μ ve Σ parametrelerinin etkisi üzerine dağıtım formundaki makalede ve Parametrelerin sayfa etkisi üzerindeki örnek dosyası Eğri şeklini değiştirmek için Vapil yapabilirsiniz.

MS Excel'de Normal Dağılım

MS Excel'de, 2010'dan başlayarak Normal dağılım Bir norm norm vardır. ARP (), İngilizce İsim - Norm.dist (), hesaplamanızı sağlar olasılık yoğunluğu (yukarıdaki formüle bakınız) ve İntegral dağıtım fonksiyonu (rastgele değerin x, tarafından dağıtıldığı olasılığı Normal hukuk X'den küçük veya ona eşit bir değer alacaktır). İkinci durumdaki hesaplamalar aşağıdaki formüle göre yapılır:

Yukarıdaki dağılımın atama vardır N. (μ; σ). Ayrıca belirlemeyi sık sık kullanın N. (μ; σ 2).

Not : MS Excel 2010'a Excel'de, yalnızca dağıtım fonksiyonunu ve olasılık yoğunluğunu hesaplamanızı sağlayan yalnızca bir NORMSP () işlevi vardı. Normrasp () uyumluluk için MS Excel 2010'da kaldı.

Standart normal dağılım

Standart normal dağılım aranan normal dağılım C μ \u003d 0 ve σ \u003d 1. Yukarıdaki dağılımın atama vardır N. (0;1).

Not : Literatürde, tarafından dağıtılan rastgele bir değişken için Standart normal hukuk Z özel atama sabittir.

Kimse normal dağılım değişken bir değiştirme ile standarda dönüştürülebilir Z. =( X. -μ)/σ . Bu dönüşüm işlemi denir Standardizasyon .

Not : MS Excel, yukarıdaki dönüşümü gerçekleştiren bir normalizasyon () işlevine sahiptir (). MS Excel'de bu dönüşüm bir nedenden dolayı denir olmasına rağmen Normalleşme . Formüller \u003d (x-μ) / Σ ve \u003d Normalizasyon (x; μ; σ) Aynı sonucu iade edin.

MS Excel 2010'da Özel normların özel bir fonksiyonu vardır. Str.SP () ve NormStrap () modası geçmiş versiyonu benzer hesaplamalar gerçekleştirir.

Standartlaşma sürecinin MS Excel'de nasıl uygulandığını göstereceğiz. Normal dağılım N. (1,5; 2).

Bunu yapmak için, rastgele bir değişkenin dağıtıldığı olasılığını hesaplıyoruz. Normal hukuk N (1.5; 2) , daha az veya eşittir 2.5. Formül şöyle görünüyor: \u003d Normlar. Rasp (2.5; 1.5; 2; Gerçek) \u003d 0.691462. Değişkeni değiştirerek Z. =(2,5-1,5)/2=0,5 , Hesaplamak için formülü yazın Standart normal dağılım: \u003d Norm.st.rasp (0.5; gerçek) =0,691462.

Doğal olarak, her iki formül de aynı sonuçları verir (bkz. Dosya Örneği Yaprak Örneği).

Bunu not et standardizasyon sadece C. (Argüman integral gerçeğe eşit), değil olasılık yoğunluğu .

Not : Literatürde, dağıtılan rastgele bir değişkenin olasılığını hesaplayan bir fonksiyon için Standart normal hukuk Özel atama F (z). MS Excel'de, bu özellik formül tarafından hesaplanır. \u003d Norm.st.sp (z; gerçek) . Hesaplamalar formül tarafından yapılır.

İşlevin paritesi nedeniyle F (x), yani F (x) \u003d F (ler), fonksiyon dağılımları Standart normal dağılım F (-x) \u003d 1-F (x) özelliğine sahiptir.

Ters fonksiyonlar

İşlev Norm.st.sp (x; gerçek) R, rasgele değerin x değerinden daha az bir değere sahip olacağı olasılığını hesaplar. Ancak, ters bir hesaplama yapmak genellikle gereklidir: olasılık P'yi bilmek, X değerini hesaplamak için gereklidir. X'in hesaplanan değeri denir Standart Normal dağılım .

MS Excel'de hesaplamak için Çeyreklik Norms.stro.ob () ve normların işlevini kullanarak.

İşlevler Grafik

Örnek dosyası içerir Dağıtım yoğunluğu grafikleri Olasılık I. İntegral dağıtım fonksiyonu .

Bildiğiniz gibi, agrega'dan seçilen değerlerin yaklaşık% 68'ini normal dağılım μ'den 1 standart sapma (Σ) içerisinde (orta veya matematiksel beklenti); Yaklaşık% 95 - 2 σ içinde ve 3 σ içinde zaten değerlerin% 99'u var. Emin olun Standart normal dağılım Bir formül yazabilirsiniz:

= Norm.st.sprasp (1; gerçek) -Norm.st.rasp (-1; gerçek)

bu,% 68.2689 değeri iade edecek - bu standart sapmanın +/- 1 içindeki değerlerin yüzdesidir. Orta (santimetre. Örnek dosyadaki grafik grafiği).

İşlevin paritesi nedeniyle Standart normal yoğunluk Dağılımlar: F. ( X.)= F. (s) işlev Standart normal dağılım F (-x) \u003d 1-F (x) özelliğine sahiptir. Bu nedenle, yukarıdaki formül basitleştirilebilir:

= 2 * norm.st.rasp (1; gerçek) -1

Keyfi için Normal dağılımın işlevleri N (μ; σ) benzer hesaplamalar formül tarafından yapılmalıdır:

2 * norms.rsp (μ + 1 * σ; μ; σ; gerçek) -1

Olasılıkların yukarıdaki hesaplamaları için gereklidir.

Not : Yazma kolaylığı için, örnek dosyadaki formüller dağıtım parametreleri için oluşturulur: μ ve σ.

Rastgele sayılar oluşumu

Farklı μ ve σ ile 3 dizi 100 sayı oluşturalım. Bunu pencerede yapmak için Nesil rastgele sayılar Her parametre çifti için aşağıdaki değerleri ayarlayın:

Not : Seçeneği ayarlarsan Rastgele dispersiyon ( Rastgele tohum) Belirli bir rastgele oluşturulan sayı kümesini seçebilirsiniz. Örneğin, bu seçeneği 25'e ayarlayarak, farklı bilgisayarlarda aynı rasgele sayı kümelerini oluşturabilirsiniz (tabii ki, diğer dağıtım parametreleri eşleşmiyorsa). Seçenek değeri, tüm değerleri 1 ila 32 767 arasında alabilir. Seçenekler adı Rastgele dispersiyon karıştırabilir. Tercüme etmek daha iyi olurdu Rastgele sayılarla numarayı ayarla .

Sonuç olarak, örneğin, örneğin yapıldığı dağıtımın parametrelerini değerlendirebileceğiniz 3 sütun var olacağız: μ ve σ . Μ için tahminin, Srnavov ()) ve σ için - Standart STANDOT CLONE () işlevini kullanarak, bkz.

Not : Tarafından dağıtılan bir dizi numara oluşturmak için Normal hukuk , formülü kullanabilirsiniz \u003d Normlar. PROF (yapışkan (); μ; σ) . Yapışkan fonksiyonu (), sadece olasılık değişim aralığına karşılık gelen 0 ila 1'den 1'ten oluşur (bkz. Dosya Örneği Yaprak Üretimi).

Görevler

Görev 1. . Şirket, ortalama 41 MPa'nın ve 2 MPa'lık standart bir sapma ile naylon iplikler üretmektedir. Tüketici, en az 36 MPa'nın dayanıklılığı olan iş parçacığı elde etmek istiyor. Şirket tarafından tüketici için yapılan otobüslerin gerekliliklere uyacağına veya bunları aşacağı olasılığını hesaplayın. Çözelti1 : = 1-normlar. Koleksiyonlar (36; 41; 2; gerçek)

Görev2. . Kurumsal, ortalama dış çapı 20.20 mm olan ve standart sapma 0.25 mm'dir. Teknik şartlara göre, borular çapın 20.00 +/- 0,40 mm aralığındaysa uygun olarak kabul edilir. Üretilmiş boruların oranı ne yapar? Çözelti2 : = Norm.rasp (20.00 + 0.40; 20.20; 0.25; gerçek) - NORMS.RSP (20.00-0.40; 20.20; 0.25) Aşağıdaki şekil, çap değerlerinin alanı, özelliklerin özelliklerini yerine getirir.

Çözelti içinde verildi Dosya Örneği Teslim Görevleri .

Görev3. . Kurumsal, ortalama dış çapı 20.20 mm olan ve standart sapma 0.25 mm'dir. Dış çap belirli bir değeri geçmemelidir (alt sınırın önemli olmadığı varsayılmaktadır). Teknik şartnamelerde hangi üst sınırı yüklenmelidir, böylece üretilen tüm ürünlerin% 97.5'i ile eşleşir mi? Çözüm3. : = Norm. Üretim (0.975; 20.20; 0.25) \u003d 20,6899 veya \u003d Norm.st.ob (0,975) * 0.25 + 20,2 ("Atama", yukarıya bakın)

Görev 4. . Parametreleri Bulma Normal dağılım 2 (veya) değerlerine göre. Diyelim ki, rastgele bir değerin normal bir dağılıma sahip olduğu bilinmektedir, ancak parametreleri bilinmemektedir, ancak sadece 2. yüzdelik (örneğin, 0.5- yüzdelik . Ortanca ve 0,95 yüzdelik). Çünkü Bilinen, sonra biliyoruz, yani. μ. Kullanmanız gerekenleri bulmak için. Çözelti B. Dosya Örneği Teslim Görevleri .

Not : Excel'deki MS Excel 2010'a kadar normlara eşdeğer olan Normlar () ve Normster () () () () ve normlar vardı. İletişim () ve normlar. Normobra () ve Normsman () MS Excel 2010'da ve sadece uyumluluk için yukarıda kalır.

Normalde dağıtılmış rastgele değişkenlerin doğrusal kombinasyonları

Normalde dağıtılmış rastgele değişkenlerin doğrusal bir kombinasyonunun bilinmesidir. X. ( BEN.) μ parametreleri ile. ( BEN.) ve σ. ( BEN.) Aynı zamanda normal olarak dağıtılır. Örneğin, y \u003d x (1) + x (2) değeri y \u003d x (1) + x (2), daha sonra Y parametreleri ile bir dağılıma sahip olur. (1) + μ (2) ve Kök (Σ (1) ^ 2 + Σ (2) ^ 2). MS Excel'in olduğundan emin olun.

Tanım. Normalolasılık yoğunluğu ile tanımlanan sürekli rasgele değişkenin olasılıklarının dağılımı olarak adlandırılır.

Normal dağıtım hukuku da denir hukuk gaussa.

Normal dağıtım hukuku, olasılık teorisinde merkezi bir yer kaplar. Bunun nedeni, bu yasanın, rastgele bir değerin çok sayıda farklı faktörün sonucu olduğu tüm durumlarda tezahür ettiği gerçeğinden kaynaklanmaktadır. Diğer tüm dağıtım yasaları normal yasalara yaklaşmaktadır.

Parametrelerin ve dağıtım yoğunluğunun sırasıyla matematiksel beklenti ve rastgele değişkenin ortalama ikinci dereceden sapması olduğunu kolayca gösterilebilir.

Dağıtım fonksiyonunu bulun F (x).

Normal dağılımın yoğunluğunun bir grafiği denir normal eğriveya eğri gaussa.

Normal eğri aşağıdaki özelliklere sahiptir:

1) İşlev, tüm sayısal eksende belirlenir.

2) hiç h. Dağıtım fonksiyonu yalnızca pozitif değerler alır.

3) Eksen OH, olasılık yoğunluğu grafiğinin yatay asimptota'dır, çünkü argümanın mutlak değerinde sınırsız artışla h.İşlevin değeri sıfır için çalışıyor.

4) Extremum işlevini buluruz.

Çünkü için y '\u003e 0 için x.< m ve y '< 0 için x\u003e M. Sonra noktada x \u003d T. İşlevin maksimum eşittir.

5) İşlev doğrudan hakkında simetriktir x \u003d A.Çünkü fark

(x - A.) Kare içindeki dağıtım yoğunluğu fonksiyonuna dahil edilmiştir.

6) Grafiğin enfeksiyon noktalarını bulmak için, yoğunluk fonksiyonunun ikinci türevini buluruz.

İçin x \u003d M. + S I. x \u003d M. - S İkinci Türev, sıfırdır ve bu noktaları geçerken işaretini değiştirir, yani Bu noktalarda, fonksiyonun bir çekim vardır.

Bu noktalarda, işlev değeri eşittir.

Dağıtım yoğunluğu fonksiyonunun bir grafiğini inşa ediyoruz.

Grafikler inşa edildi t. \u003d 0 ve ortalama ikinci dereceden sapmanın olası değerleri S \u003d 1, S \u003d 2 ve S \u003d 7. görülebileceği gibi, ortalama ikinci dereceden sapmanın değerinde bir artışla, grafik daha nazik olur ve Maksimum değer azalır.

Eğer bir fakat \u003e 0, sonra program olumlu yönde kayarsa fakat < 0 – в отрицательном.

İçin fakat \u003d 0 ve s \u003d 1 eğri denilen normalı. Normalize edilmiş eğrinin denklemi:

Kısalık için, n (m, s), yani kanunun ortakları olduğu söylenir. X ~ n (m, s). M ve S parametreleri, dağılımın temel özellikleriyle çakışıyor: M \u003d m x, s \u003d s x \u003d. SV X ~ N (0, 1) ise, o zaman denir standartlaştırılmış normal büyüklük. FR standardize normal büyüklük denilen laplas fonksiyonu ve olarak belirtildi F (x). Bununla birlikte, N (M, S) normal dağılım için aralık olasılıklarını hesaplamak mümkündür:

P (x 1 £ x< x 2) = Ф - Ф .

Görevleri normal bir dağılıma çözerken, Laplace işlevinin tablo değerlerini kullanmak genellikle gereklidir. Laplace işlevi geçerli olduğundan F (s) = 1 - F (x)Sonra fonksiyonun masa değerlerine sahip olmak yeterlidir. F (x) Sadece argümanın olumlu değerleri için.

Matematiksel beklentiye göre bir simetrik girme olasılığı için, formülün aralığı: P (| x - m x |< e) = 2×F (e / s) - 1.

Normal dağılımın merkezi anları tekrarlayan oranı karşılamaktadır: M N +2 \u003d (n + 1) s 2 mn, n \u003d 1, 2, .... Tek siparişin tüm merkezi anlarının sıfır olduğunu (m1 \u003d 0'dan beri) takip eder.

Normal bir yasaya göre belirli bir araya göre dağıtılan rastgele bir değişken olasılığını bulun.

İfade etmek

Çünkü İntegral, temel fonksiyonlarla ifade edilmez, fonksiyonun dikkate alınması halinde girilir.

,

hangi denilen laplas fonksiyonuveya İntegral olasılıklar.

Bu fonksiyonun değerleri farklı değerlerde h. Göz önünde bulundurulur ve özel masalarda verilir.

Laplace işlevinin grafiği aşağıda gösterilmiştir.

Laplace aşağıdaki özelliklere sahiptir:

2) f (- h.) \u003d - f ( h.);

Laplace işlevi de denir hata işlevi ve ERF'yi belirtir. x..

Kullanımda normalılaplace işlevi ile ilişkilendirilen Laplace özelliği, orana göre:

Laplasların normize fonksiyonunun grafiği aşağıda gösterilmiştir.

Normal dağıtım kanunu göz önüne alındığında, bilinen önemli bir özel olay tahsis edilir. kural Üç Sigm.

Matematiksel beklentisinden normal olarak dağıtılmış bir rastgele değişkenin sapma olasılığının, belirli bir değerden daha az olduğundan daha azdır.

D \u003d 3S alırsanız, tabloları kullanarak Laplace işlevi değerlerini kullanıyoruz:

Şunlar. Rastgele bir değerin, matematiksel beklentisinden üç katlı ortalama ikinci dereceden sapma değerinden daha büyük bir değerle sapma olasılığı neredeyse sıfıra eşittir.

Bu kural denir Üç Sigm Kural.

Pratik yapmayın, herhangi bir rasgele değişken için, üç SIGM kuralı gerçekleştirildiğinde, bu rasgele değerin normal bir dağılıma sahip olduğuna inanılmaktadır.

Misal. Tren 100 vagondan oluşur. Her arabanın kütlesi - Matematiksel beklentisiyle normal bir yasaya göre dağıtılan rastgele bir değişken fakat \u003d 65 ton ve ortalama ikinci dereceden sapma S \u003d 0.9 T. Lokomotif, 6600 tondan fazla olmayan bir kütleyi taşıyabilir, aksi takdirde ikinci lokomotifi eğitmek gerekir. İkinci lokomotifin gerekli olmadığı olasılığını bulun.

Kompozisyon kütlesinin beklenenden sapması (100 × 65 \u003d 6500), 6600 - 6500 \u003d 100 tondan geçmemesi durumunda ikinci lokomotif gerekmez.

Çünkü Her bir eğerinin kütlesi normal bir dağılıma sahiptir, daha sonra tüm kompozisyonun kütlesi normal olarak dağıtılacaktır.

Alıyoruz:

Misal. Normalde dağıtılmış rastgele değişkenlik X parametreleri tarafından belirlenir - a \u003d 2 -matematiksel beklenti ve s \u003d 1 - ortalama ikinci dereceden sapma. Bir olasılık yoğunluğu yazması ve programını oluşturması, aralıktan bir değer alıp almayacağı olasılığını bulması gerekmektedir (1; 3), X'in Matematiksel beklentisinden (modül tarafından) 2'den fazla.

Dağıtım yoğunluğu:

Bir program oluşturun:

Aralığa gelen rastgele varyans olasılığını bulun (1; 3).

Rasgele bir değişkenin sapma olasılığını, matematiksel beklentisinden 2'den büyük olmayan bir değerle buluyoruz.

Aynı sonuç, Laplace'nin normalleştirilmiş işlevi kullanılarak elde edilebilir.

Anlatım 8 Büyük sayıların yasası(Bölüm 2)

Ders planı

Merkez limit teoremi (bağımsız eşit dağılmış rastgele değişkenler için genel formülasyon ve özel formülasyon).

Chebyshev eşitsizliği.

Chebyshev formundaki büyük sayıların yasası.

Olay sıklığı kavramı.

Olasılıkın istatistiksel anlayışı.

Bernoulli formundaki büyük sayıların yasası.

İstatistiksel kalıpların incelenmesi, belirli koşullarda, çok sayıda rastgele değişkenin toplam davranışının neredeyse rastgele karakteri kaybettiğini ve doğal hale geldiğini belirlemeyi mümkün kıldı (başka bir deyişle, bazı orta davranışlardan rastgele sapmalar karşılıklı olarak geri ödenir). Özellikle, eğer bireysel terimlerin miktarı üzerindeki etkisi eşit derecede küçükse, miktarın miktarının miktarı normaldir. Bu ifadenin matematiksel formülasyonu, denilen bir teorem grubunda verilmiştir. büyük sayıların yasası.

Büyük sayıların yasası - Genel olarak, rastgele faktörlerin ortak etkisinin, sonuçtan neredeyse bağımsız olan sonuçta bazı çok genel koşullara yol açtığı durumlarda. Bu prensibin eyleminin ilk örneği, test sayısındaki bir artışta (örneğin, herhangi bir katılımcının kalitesinin oluşumunun sıklığını kullanırken, genellikle pratikte kullanılır) olasılığı olan rastgele bir olayın oluşumunun ortaya konmasıdır. Örnek, ilgili olasılıkın seçici bir değerlendirmesi olarak).

Öz büyük sayıların yasası Çok sayıda bağımsız deney ile, bazı olayların görünümünün sıklığı olasılığına yakındır.

Merkezi limit teoremi (CPT) (Lyapunov A.M.'nin ifadesinde. Eşit olarak dağıtılmış SV için). Eğer ikili bağımsız SV x 1, x 2, ..., xn, ... sonlu sayısal özelliklere sahip aynı dağıtım kanunu, M \u003d M ve D \u003d S2, daha sonra N ® ¥ ile SV dağıtım yasasıdır. Sınırsız Normal Yasaya N (N × M,).

Corollary. Teorem durumunda , sonra N ® ¥, CV Y'nin dağıtım yasası, N (M, S /) normal yasalarına yaklaşan sınırsızdır.

Moavrow Laplace Teoremi.SV K, Bernoulli şemasına göre n testlerinde "başarı" sayısıdır. Daha sonra, N ® ¥ ve bir testte "başarı" olasılığının sabit değerinde, CV K'nin dağılımı yasası, normal yasalara (N × P,) yaklaşan sınırsızdır.

Corollary. Eğer, Teorem'in durumunda, C / N yerine, Bernoulli şemasına göre N testlerinde "başarı" sıklığı, N ® ¥ ve sabit değeri olan işlem hukuku, normal yasalara yaklaşan sınırsızdır (P,).

Yorum Yap. SV K, Bernoulli şemasına göre n testlerinde "başarı" sayısıdır. Böyle bir binomin yasasının dağılımı yasası. Ardından, N ® ¥, Binomin Yasası'nın iki sınırı dağılımına sahiptir:

n dağılım Poisson (N ® ¥ ve l \u003d n × p \u003d const için);

n dağılım Gaussa N (n × p,) (n ® ¥ ve p \u003d const).

Misal. Bir testte "başarı" olasılığı sadece p \u003d 0.8'dir. Testleri en az 0,9 olasılıkla test edilmesine ne kadar test edersiniz, Bernoulli şemasına göre yapılan testlerde gözlenen "başarı" nın gözlemlenen sıklığının, E \u003d 0.01?

Karar. Karşılaştırma için sorunu iki şekilde çözeceğiz.

Diğer dağıtım türlerine kıyasla. Bu dağılımın temel özelliği, diğer tüm dağıtım yasalarının bu yasaların bu yasalar için test sayısının sonsuz tekrarı ile çaba göstermesidir. Bu dağıtım nasıl geçiyor?

Manuel bir dinamometre alarak, şehrinizin genç bir yerde bulunduğunu hayal edin. Ve geçen herkes, gücünüzü ölçmeyi, dinamometreyi sağa veya sol elle sıkıştırmayı önerirsiniz. Dinamometre okumaları düzgünce engellenir. Bir süre sonra, yeterince çok sayıda testte, dinamometre tanıklığını apsis eksenine koyarsınız ve "sıkılmış" insanların miktarını ifade eder. Elde edilen noktalar düzgün çizgiye katıldı. Sonuç, Şekil 9.8'de gösterilen eğridir. Bu eğrinin görünümü, deneyim zamanını artırarak özellikle değişmeyecektir. Dahası, bir süre sonra, yeni değerler sadece şeklini değiştirmeden eğri belirler.

İncir. 9.8.

Şimdi atletik salonda dinamometremizle hareket edeceğiz ve deneyi tekrarlayacağız. Şimdi maksimum eğri sağa kaydırılır, sol uç biraz sıkılırken, sağ ucu daha keskin olacaktır (Şekil 9.9).

İncir. 9.9.

İkinci dağılımın maksimum frekansının (NOT B), ilk dağılımın maksimum frekansından daha düşük olacağını unutmayın (Nokta A). Bu, atletizm salonunu ziyaret eden toplam insan sayısının, ilk vadede deneyciye yakın geçtiği kişi sayısından daha az olacağı gerçeğinden daha az olacaktır (şehir merkezinde yeterince insan bir yerde). Atletik salonlar genel arka plana kıyasla fiziksel olarak daha güçlü insanlara katıldığı için sağa kaydırılan maksimum.

Ve nihayet, okul, anaokulları ve hemşirelik evlerini aynı amaçla ziyaret edin: ziyaretçilerin ellerini bu yerlere belirlemek. Ve yine de dağılım eğrisi benzer bir forma sahip olacaktır, ancak şimdi, açıkçası, sol sonu daha dik olacak ve sağ daha sıkılır. Ve hem ikinci durumda, maksimum (nokta C), A noktasından daha düşük olacaktır (Şekil 9.10).

İncir. 9.10.

Bu, normal dağılımın harika bir özelliğidir - olasılık dağılım yoğunluğu eğrisinin formunu korumak için (Şekil 8 - 10), MOAVR tarafından 1733'te fark edildi ve tarif edildi ve daha sonra Gauss tarafından araştırıldı.

Bilimsel araştırmalarda, teknikte, kitlesel fenomenlerde veya deneylerde, sürekli deneyim koşullarında tekrar tekrar tekrarlanan rastgele değerler söz konusu olduğunda, test sonuçlarının normal dağılım eğrisinin yasalarına tabi rasgele saçılma yaşadığı söylenir.

(21)

En yaygın olay nerede. Kural olarak, parametre yerine formül (21) 'de. Dahası, bunun uzunluğu bir deneysel serisidir, parametre daha az matematiksel beklentisinden farklı olacaktır. Eğrinin altındaki alan (Şekil 9.11) eşit bir ünitededir. Abscissa ekseni aralığını karşılayan alan, bu aralıkta rastgele bir sonuç olasılığına göre sayısal olarak eşittir.

İncir. 9.11.

Normal dağılımın işlevi formu vardır.

(22)

Normal eğrinin (şek. 9.11), eksene OH'de doğrudan ve asimptotik olarak yaklaşma konusunda simetrik olduğuna dikkat edin.

Normal yasa için matematiksel beklentiyi hesaplayın

(23)

Normal dağılımın özellikleri

Bu en önemli dağıtımın temel özelliklerini göz önünde bulundurun.

Mülk 1.. Tüm abscissa ekseni üzerinde belirleme normal dağılımının (21) yoğunluğunun işlevi.

Mülk 2.. Normal dağılımın yoğunluğunun (21) işlevi, tanım alanından () herhangi biri için sıfırdan büyüktür.

Mülk 3.. Sonsuz bir artışla (azalma), dağıtım fonksiyonu (21) sıfıra eğilimindedir .

Emlak 4.. Belirtilen dağıtım işlevi (21) ile, en büyük değere eşittir

(24)

Mülk 5.. İşlev grafiği (Şek. 9.11) doğrudan hakkında simetriktir.

Mülk 6.. Fonksiyon grafiği (Şekil 9.11) iki enfeksiyon noktasına sahiptir, nispeten düzdür:

(25)

Mülk 7.. Tüm garip merkezi anlar sıfırdır. Özellik 7'nin kullanıldığını, işlevin asimetrisinin formül tarafından belirlendiğini unutmayın. Eğer, çalışılan dağılımın simetrik olarak nispeten düz olduğu sonucuna varılır. Eğer bir satırın sağa kaydırıldığını söylüyorlar (grafiğin daha yaygın sağ dalı veya sıkıldığını). Öyleyse, satırın sola kaydırıldığına inanılmaktadır (daha yaygın sol grafikler Şekil 9.12).

İncir. 9.12.

Mülk 8.. Dağılımın fazlası 3'tür. Genellikle pratikte hesaplanır ve bu değerin sıfıra kadar hesaplanır, grafiğin "sıkıştırma" veya "bulanıklığı" belirlenir (Şek. 9.13). Ve bununla ilişkili olduğu için, sonuçta veri sıklığının saçılma derecesini karakterize eder. Aynı zamanda belirler