Ön sanat hazırlama işleminden sonra, 3-4-5 fonksiyonların eki ile örnekler daha az korkunç olacaktır. Belki de bir sonraki iki örnek, biraz karmaşık görünecek, ancak eğer onları (birisi ve soyma) anlıyorlarsa, daha sonra farklı hesaplarda hemen hemen her şey bir çocuk şakası gibi görünecek.

Örnek 2.

Türev İşlev Bulun

Belirtildiği gibi, bir türev kompleks fonksiyonu bulurken, her şeyden önce, gereklidir. sağYatırımları anlamak. Şüphe olan durumlarda, faydalı bir resepsiyonu hatırlatırım: "X", örneğin, bu değerin "korkunç ifade" bölümündeki bu değeri yerine getirmek için "X", örneğin (zihinsel olarak veya bir taslağı) deneysel anlamını alıyoruz.

1) İlk olarak, ifadeyi hesaplamamız gerekir, bu, miktarın en derin yatırım olduğu anlamına gelir.

2) O zaman logaritmayı hesaplamak gerekir:

4) Sonra küp içine inşa etmek için kosinüs:

5) Beşinci adımda, fark:

6) Ve nihayet, en dış fonksiyon kareköküdür:

Farklılaşma Formülü Karmaşık Fonksiyonu Ters sırayla, harici fonksiyondan, en içkeye uygulanır. Karar veriyoruz:

Hatalar olmadan görünüyor:

1) Karekökü türevini alın.

2) Kural kullanarak farkın türevini alın

3) Troika türevi sıfırdır. İkinci dönemde, dereceye (Küba) bir türev alırız.

4) Kosinüs türevi alıyoruz.

6) ve nihayet en derin yatırımın türevini alın.

Çok zor görünebilir, ama bu en acımasız örnek değil. Örneğin, KUZNETSOV koleksiyonu ve demonte türevinin güzelliğini ve sadeliğini takdir edeceksiniz. Kontrol etmek için sınava vermek için benzer bir şey vermeyi sevdiğimi fark ettim, bir öğrencinin karmaşık bir fonksiyonun türevini nasıl bulacağını ya da anlamadıklarını anlar.

Aşağıdaki örnek bağımsız bir çözüm içindir.

Örnek 3.

Türev İşlev Bulun

İpucu: İlk önce doğrusallık kuralları ve işin bir türevini uygulayın

Dersin sonunda tam çözüm ve cevap.

Daha kompakt ve güzel bir şeye geçmenin zamanı geldi.
Örnek iki, ancak üç işlev bir ürün verildiğinde durum nadir değildir. Üç çarptın işinden bir türev nasıl bulabilirsiniz?

Örnek 4.

Türev İşlev Bulun

İlk önce, bakın ve üç fonksiyonun çalışmalarını iki fonksiyonun çalışmalarına dönüştürmek imkansız mı? Örneğin, işte iki polinomiysek, parantez ortaya çıkarmak mümkün olacaktır. Ancak bu örnekte, tüm fonksiyonlar farklıdır: derece, katılımcı ve logaritma.

Bu gibi durumlarda gereklidir sırakural farklılaşma üretimini uygulayın iki defa

Odak, "Y" için iki fonksiyonun ürününü gösteririz:, ve "ve" için - logaritma :. Bu neden yapılabilir? Ve yok - Bu iki çarpmanızın bir eseri değildir ve kural işe yaramaz mı?! Karmaşık bir şey yok:

Şimdi kuralı uygulamak için ikinci kez kalır Brakete:

Hala parantezlerin arkasında bir şeyler oynayabilir ve alabilirsiniz, ancak bu durumda cevap bu formda ayrılmak daha iyidir - kontrol etmek daha kolay olacaktır.

Dikkat edilen örnek ikinci yolda çözülebilir:

Her iki çözüm de kesinlikle eşittir.

Örnek 5.

Türev İşlev Bulun

Bu, bağımsız bir çözüm için bir örnektir, örnekte ilk şekilde çözülür.

Kesirlerle benzer örnekleri düşünün.

Örnek 6.

Türev İşlev Bulun

Burada birkaç yoldan gidebilirsiniz:

Ya da öyle:

Ancak, ilk önce özel bir farklılaşma kuralı kullanırsa çözüm daha kompakt yazılacaktır. , Tüm numarayı kabul etmek:

Prensip olarak, bir örnek çözülür ve bu formda bırakırsanız, bir hata olmaz. Ancak zaman varlığında, taslağı kontrol etmenin her zaman tavsiye edilir ve cevabı basitleştirmek mümkün mü?

Numaranın ifadesini genel paydaya sunarız ve üç katlıdır.:

Ek basitleştirme eksi, türevin zaten kurulduğunda, ancak banal okul dönüşümleri olduğunda, artık bir hataya izin verme riski olduğudur. Öte yandan, öğretmenler genellikle görevi hatırlıyor ve "akla getirmeyi" istedi.

Kendi kendine çözümler için daha basit örnek:

Örnek 7.

Türev İşlev Bulun

Türevin resepsiyonlarını öğrenmeye devam ediyoruz ve şimdi "korkutucu" logaritmumu farklılaşma için önerildiğinde tipik bir davayı düşüneceğiz.

Karmaşık türevler. Logaritmik türev.
Kademeli olarak gösterge fonksiyonunun türevi

Farklılaşma tekniğinizi arttırmaya devam ediyoruz. Bu derste, tamamlanmış materyali pekiştireceğiz, daha karmaşık türevleri göz önünde bulunduracağız ve ayrıca bir logaritmik türevi olan bir türev bulma yeni teknikleri ve püf noktaları ile tanışırız.

Düşük hazırlık seviyesine sahip olan okuyucuların makaleye başvurması gerektiği Türev Nasıl Bulunur? Çözüm örnekleriBecerilerinizi neredeyse sıfırdan yükseltir. Daha sonra sayfayı dikkatlice öğrenmelisin Türev Kompleksi Fonksiyonu, anlama ve ara her şey Benim tarafımdan verilen örnekler. Bu derse mantıksal olarak üst üste üçüncü ve gelişiminden sonra oldukça karmaşık fonksiyonları güvenle ayırt edeceksiniz. "Başka nerede?" Konumuna uymak gereklidir. Evet ve çok yeter! ", Kararın tüm örnekleri ve kabulleri gerçek kontrol çalışmalarından alındığından ve genellikle pratikte bulunur.

Tekrarla başlayalım. Derste Türev Kompleksi Fonksiyonudetaylı yorumlara sahip bir dizi örnek gözden geçirdik. Diferansiyel hesap ve diğer matematiksel analiz bölümlerinin incelenmesi sırasında, çok sık farklılaşmak için gereklidir ve örnekleri çok ayrıntılı olarak boyamak her zaman uygun değildir (ve her zaman gerekli değildir). Bu nedenle, türevlerin sözlü kuruluşunda pratik yapıyoruz. Bunun için en uygun "adaylar", örneğin, en basit karmaşık fonksiyonların türevleridir:

Karmaşık bir fonksiyonun farklılaşması kuralına göre :

Gelecekte Matan'ın diğer konularını incelerken, böyle ayrıntılı bir giriş en sık gerekli değildir, öğrencinin otopilot makinesinde benzer türevleri bulabileceği varsayılmaktadır. Saat 3'te gecenin 3'te bir telefon görüşmesi olduğunu ve hoş bir sesin olduğunu düşünün: "İki X'in teğet türevi nedir?". Neredeyse anlık ve kibar cevap takip edilmelidir. .

İlk örnek, bağımsız bir çözüm için derhal amaçlanacaktır.

Örnek 1.

Aşağıdaki türevleri oral olarak, bir eylemde bulun, örneğin: Sadece kullanmanız gereken görevi gerçekleştirmek için İlköğretim fonksiyonlarının türevleri tablosu (Henüz hatırlamadıysa). Eğer zorsa, dersi yeniden okumayı öneririm Türev Kompleksi Fonksiyonu.

, , ,
, , ,
, , ,

, , ,

, , ,

, , ,

, ,

Dersin sonunda cevaplar

Kompleks türevleri

Ön sanat hazırlama işleminden sonra, 3-4-5 fonksiyonların eki ile örnekler daha az korkunç olacaktır. Belki de bir sonraki iki örnek, biraz karmaşık görünecek, ancak eğer onları (birisi ve soyma) anlıyorlarsa, daha sonra farklı hesaplarda hemen hemen her şey bir çocuk şakası gibi görünecek.

Örnek 2.

Türev İşlev Bulun

Belirtildiği gibi, bir türev kompleks fonksiyonu bulurken, her şeyden önce, gereklidir. sağYatırımları anlamak. Şüphe olan durumlarda, faydalı bir resepsiyonu hatırlatırım: "X", örneğin, bu değerin "korkunç ifade" bölümündeki bu değeri yerine getirmek için "X", örneğin (zihinsel olarak veya bir taslağı) deneysel anlamını alıyoruz.

1) İlk olarak, ifadeyi hesaplamamız gerekir, bu, miktarın en derin yatırım olduğu anlamına gelir.

2) O zaman logaritmayı hesaplamak gerekir:

4) Sonra küp içine inşa etmek için kosinüs:

5) Beşinci adımda, fark:

6) Ve nihayet, en dış fonksiyon kareköküdür:

Farklılaşma Formülü Karmaşık Fonksiyonu Ters sırayla, harici fonksiyondan, en içkeye uygulanır. Karar veriyoruz:

Hata yok gibi görünüyor ....

(1) kare bir kökten bir türev alın.

(2) Kural kullanarak farkın türevini alın

(3) Troika türevi sıfırdır. İkinci dönemde, dereceye (Küba) bir türev alırız.

(4) Kosinüs türevi alın.

(5) Logaritma türevini alın.

(6) Ve nihayet, en derin yatırımın türevini alıyoruz.

Çok zor görünebilir, ama bu en acımasız örnek değil. Örneğin, KUZNETSOV koleksiyonu ve demonte türevinin güzelliğini ve sadeliğini takdir edeceksiniz. Kontrol etmek için sınava vermek için benzer bir şey vermeyi sevdiğimi fark ettim, bir öğrencinin karmaşık bir fonksiyonun türevini nasıl bulacağını ya da anlamadıklarını anlar.

Aşağıdaki örnek bağımsız bir çözüm içindir.

Örnek 3.

Türev İşlev Bulun

İpucu: İlk önce doğrusallık kuralları ve işin bir türevini uygulayın

Dersin sonunda tam çözüm ve cevap.

Daha kompakt ve güzel bir şeye geçmenin zamanı geldi.
Örnek iki, ancak üç işlev bir ürün verildiğinde durum nadir değildir. Üç çarptın işinden bir türev nasıl bulabilirsiniz?

Örnek 4.

Türev İşlev Bulun

İlk önce, bakın ve üç fonksiyonun çalışmalarını iki fonksiyonun çalışmalarına dönüştürmek imkansız mı? Örneğin, işte iki polinomiysek, parantez ortaya çıkarmak mümkün olacaktır. Ancak bu örnekte, tüm fonksiyonlar farklıdır: derece, katılımcı ve logaritma.

Bu gibi durumlarda gereklidir sırakural farklılaşma üretimini uygulayın iki defa

Odak, "Y" için iki fonksiyonun ürününü gösteririz:, ve "ve" için - logaritma :. Bu neden yapılabilir? Ve yok - Bu iki çarpmanızın bir eseri değildir ve kural işe yaramaz mı?! Karmaşık bir şey yok:

Şimdi kuralı uygulamak için ikinci kez kalır Brakete:

Hala parantezlerin arkasında bir şeyler oynayabilir ve alabilirsiniz, ancak bu durumda cevap bu formda ayrılmak daha iyidir - kontrol etmek daha kolay olacaktır.

Dikkat edilen örnek ikinci yolda çözülebilir:

Her iki çözüm de kesinlikle eşittir.

Örnek 5.

Türev İşlev Bulun

Bu, bağımsız bir çözüm için bir örnektir, örnekte ilk şekilde çözülür.

Kesirlerle benzer örnekleri düşünün.

Örnek 6.

Türev İşlev Bulun

Burada birkaç yoldan gidebilirsiniz:

Ya da öyle:

Ancak, ilk önce özel bir farklılaşma kuralı kullanırsa çözüm daha kompakt yazılacaktır. , Tüm numarayı kabul etmek:

Prensip olarak, bir örnek çözülür ve bu formda bırakırsanız, bir hata olmaz. Ancak zaman varlığında, taslağı kontrol etmenin her zaman tavsiye edilir ve cevabı basitleştirmek mümkün mü? Sayısalın ifadesini genel paydaya veririz ve Üç katlı kesirlerden kurtulun:

Ek basitleştirme eksi, türevin zaten kurulduğunda, ancak banal okul dönüşümleri olduğunda, artık bir hataya izin verme riski olduğudur. Öte yandan, öğretmenler genellikle görevi hatırlıyor ve "akla getirmeyi" istedi.

Kendi kendine çözümler için daha basit örnek:

Örnek 7.

Türev İşlev Bulun

Türevin resepsiyonlarını öğrenmeye devam ediyoruz ve şimdi "korkutucu" logaritmumu farklılaşma için önerildiğinde tipik bir davayı düşüneceğiz.

Örnek 8.

Türev İşlev Bulun

Burada, karmaşık bir fonksiyonun farklılaşma kuralını kullanarak uzun gidebilirsiniz:

Ancak ilk adım hemen bir umutsuzluğa dönüşüyor - fraksiyonel dereceden hoşlanmamış bir türev ve sonra da kesirden.

bu nedenle önce "Zor" logaritm'den bir türev nasıl alınır, ünlü okul özellikleri kullanılarak önceden basitleştirilir:

! Elinizde bir not defteri varsa, bu formülleri orada yeniden yazın. Defter yoksa, onları broşürde yeniden çizin, çünkü dersin kalan örnekleri bu formüllerin etrafında dönecektir.

Kararın kendisi böyle bir şey çıkarılabilir:

İşlevi dönüştürüyoruz:

Bir türev bulun:

İşlevin ön dönüşümü, çözümü önemli ölçüde basitleştirmiştir. Böylece, farklılaşma için benzer bir logaritma önerildiğinde, her zaman "yok edilmesi" tavsiye edilir.

Ve şimdi bağımsız bir çözüm için bir çift basit örnekler:

Örnek 9.

Türev İşlev Bulun

Örnek 10.

Türev İşlev Bulun

Dersin sonundaki tüm dönüşümler ve cevaplar.

Logaritmik türev

Bir logaritmin türevi böyle tatlı müzik ise, soru ortaya çıkıyor ve bazı durumlarda logaritmayı organize etmenin imkansız olup olmadığı? Yapabilmek! Ve hatta ihtiyacım var.

Örnek 11.

Türev İşlev Bulun

İlgili örnekler Son zamanlarda düşündük. Ne yapalım? Oranın farklılaşma kuralını ve ardından ürünün türetme kuralını tutarlı bir şekilde uygulamak mümkündür. Yöntemin dezavantajı, hep birlikte başa çıkmak istemiyorum, büyük bir üç katlı çekimdir.

Ancak teoride ve pratikte logaritmik bir türev kadar harika bir şey var. Logaritmalar yapay olarak düzenlenebilir, her iki parçada "onları" gezinmek ":

Not : Çünkü İşlev negatif değerler alabilir, daha sonra genel olarak konuşurken, modülleri kullanmanız gerekir: farklılaşmanın bir sonucu olarak kaybolacak. Ancak, mevcut dekorasyona izin verilir, varsayılan olarak varsayılan olarak dikkate alınır. karmaşık değerler. Fakat eğer tüm titizlikle varsa, o zaman ve başka bir durumda bir rezervasyon yapmalı.

Şimdi sağ tarafın logaritmasını "sökün" (gözlerinizden önce formül?). Bu süreci çok ayrıntılı sip yapacağım:

Aslında farklılaşmaya devam et.
Her iki parçayı barkodun altına sonlandırıyoruz:

Sağ tarafın türevi oldukça basittir, bunun üzerine yorum yapmayacağım, çünkü bu metni okursanız, onunla başa çıkmayı başarmanız gerekir.

Sol tarafta nasıl olacağı?

ABD'nin sol kısmında karmaşık fonksiyon. Soruyu öngörüyorum: "Neden, logaritma altında bir Bukova" igarek "var mı?".

Gerçek şu ki, bu "oyunun bir bucch" - Kendi içinde bir fonksiyondur (Çok net değilse, dolaylı olarak belirtilen fonksiyondan türetilen makaleye bakın). Bu nedenle, logaritma harici bir fonksiyondur ve "Igrek" dahili bir işlevdir. Ve karmaşık bir fonksiyonun farklılaşma kuralını kullanıyoruz :

Sol tarafta, sihirli bir değnek olarak, türev "Drew" "boyandı" idi. Ayrıca, oranın kuralına göre, sol tarafın payından "igarek" atıyoruz: sağ tarafın tepesine

Ve şimdi bu kadar "igrek" fonksiyonlarını farklılaştığımızın ne olduğunu hatırlıyorum? Duruma bakıyoruz:

Son cevap:

Örnek 12.

Türev İşlev Bulun

Bu, bağımsız bir çözüm için bir örnektir. Dersin sonunda bu tür bir örneğin örnek tasarımı.

Bir logaritmik türevinin yardımıyla, 4-7 sayılı örneklerin herhangi biri çözülebilir, başka bir şey daha kolay olması ve belki bir logaritmik türevinin kullanımı da beraberinde değil.

Kademeli olarak gösterge fonksiyonunun türevi

Bu işlevi henüz düşünmedik. Kademeli gösterge işlevi, bir fonksiyondur. ve Derece ve Vakıf "x". Herhangi bir ders kitabında veya herhangi bir derste verilecek klasik bir örnek:

Kademeli bir gösterge işlevinden bir türev nasıl bulabilirsiniz?

Logaritmik türevi - resepsiyon tarafından düşünülmesi gerekir. Her iki parçaya logaritmaları yerleştirme:

Kural olarak, logaritmun sağ kısmında bir derece yapılır:

Sonuç olarak, sağ tarafta, standart formülle farklılaşacak olan iki fonksiyonun bir ürünümüz vardı. .

Bir türev buluruz, bunun için her iki parçayı dokunuşlar için sonuçlandırıyoruz:

Sonraki adımlar kolaydır:

En sonunda:

Bazı dönüşüm tamamen açık değilse, lütfen Örnek No. 11'in açıklamalarını dikkatlice okuyun.

Pratik görevlerde, kademeli olarak gösterge işlevi her zaman düşünülen ders örneğinden daha zor olacaktır.

Örnek 13.

Türev İşlev Bulun

Logaritmik türevini kullanın.

Sağ kısımda, "IKSA" ve "Logarithm Logarithm" için (bir logaritma için) "İKSA" ve "Logarithm Logarithm" için bir sabit ve iki faktörün çalışmalarına sahibiz. Bir sabiti ayırırken, hatırladığımız gibi, türev işaretini hemen bacaklara müdahale etmemesi için dışarı çıkarmak daha iyidir; Ve elbette, tanıdık bir kural uyguluyoruz :

Bu derste bulmayı öğreneceğiz türev Kompleksi Fonksiyonu. Ders, sınıfların mantıklı bir devamıdır. Türev Nasıl Bulunur?En basit türevleri söküyoruz ve ayrıca farklılaşma kuralları ve türev bulma teknik teknikleri ile tanıştık. Böylece, eğer fonksiyonların türevleriyle çok net değilseniz, tamamen net olmayacaksınız, sonra önce yukarıdaki dersi okuyun. Lütfen ciddi bir şekilde ayarlayın - malzeme basit değil, ancak hala basit ve erişilebilir ayarlamaya çalışıyorum.

Uygulamada, karmaşık bir fonksiyonun bir türevi çok sık karşılaşması gerekir, hatta her zaman türevleri bulmak için her zaman görev yaptığınızda söylerdim.

Karmaşık bir fonksiyonun farklılaşması için bir kural (No. 5) için masaya bakıyoruz:

Anlıyoruz. Her şeyden önce, kayıtlara dikkat edin. Burada iki fonksiyonumuz var - ve ayrıca mecazi olarak konuşan işlev, fonksiyona yatırılır. Bu türün işlevi (bir fonksiyon diğerine gömülürse) ve karmaşık bir işlev denir.

İşlevi arayacağım dış fonksiyonve işlevi - Dahili (veya iç içe) işlev.

K! Bu tanımlar teorik değildir ve görevlerin piston tasarımında görünmemelidir. "Harici fonksiyon", "dahili" işlevi yalnızca malzemeyi anlamanız için daha kolay hale getirmek için gayrı resmi ifadeler kullanıyorum.

Durumu netleştirmek için aşağıdakileri göz önünde bulundurun:

Örnek 1.

Türev İşlev Bulun

Sinüs altında, sadece "x" harfi değiliz, ancak bir tamsayı ifadesi değiliz, bu nedenle hemen masada bir türev bulmak mümkün olmayacak. Ayrıca, burada ilk dört kuralları uygulamanın imkansız olduğunu fark ediyoruz, bir fark var gibi görünüyor, ancak gerçek şu ki, sinüsün "parçalara ayrılma" olmadığıdır:

Bu örnekte, açıklamalarımdan, fonksiyonun karmaşık bir fonksiyon olduğu ve polinomun bir dahili fonksiyondur (ek) ve bir dış fonksiyon olduğundan sezgiseldir.

İlk adımBir türev kompleks fonksiyonu bulurken gerçekleştirmek için hangi işlevin dahili olduğunu ve dışın ne olduğunu çöz.

Basit örneklerde, bir polinomun sinüs altında yatırım yapıldığı görülmektedir. Ama ne olursa her şey açık değilse? Tam olarak hangi işlevin dış olduğunu belirler ve iç nedir? Bunu yapmak için, zihinsel olarak veya taslakta yapılabilen bir sonraki resepsiyonu kullanmayı öneriyorum.

Hesap makinesindeki bir ifade değerinin değerini hesaplamamız gerektiğini düşünün (bir birim yerine herhangi bir sayı olabilir).

İlk önce ne hesaplıyoruz? Her şeyden önce Aşağıdakileri yapmanız gerekecektir:, bu nedenle, polinom ve dahili fonksiyon olacaktır:

İkinci olarak Bulmak gerekli olacak, bu yüzden sinüs - harici bir işlev olacak:

Biz sonra Buldum İç ve dış fonksiyonlarla, karmaşık bir fonksiyonun farklılaşma kuralını uygulama zamanıdır.

Çözmeye başlıyoruz. Dersden Türev Nasıl Bulunur? Herhangi bir türevin çözümünün dekorasyonunun her zaman başladığını hatırlıyoruz - parantez içindeki bir ifadeyi sonlandırır ve barkodun üstündeki sağa koyarız:

İlk Dış fonksiyon türevini (sinüs) bulduk, türev ilköğretim fonksiyonlarının tablosuna bakıyoruz ve bunu fark ettik. Tüm tablo formülleri uygulanabilir ve durumunda, eğer "x" karmaşık bir ifade ile değiştirilirse, bu durumda:

Dahili fonksiyonun değişmedi, ona dokunmuyoruz.

Peki, bu oldukça açık

Piston tasarımındaki formülün uygulanmasının sonucu şuna benzer:

Kalıcı bir çarpan genellikle ifadelere dayanır:

Herhangi bir yanlış anlama kalırsa, kağıda kararını tekrar yazın ve açıklamaları tekrar okuyun.

Örnek 2.

Türev İşlev Bulun

Örnek 3.

Türev İşlev Bulun

Her zaman olduğu gibi, yazın:

Nerede harici bir fonksiyonumuz olduğumuzu ve nerede olduğumuzu anlıyoruz. Bunu yapmak için, ifadenin değerini hesaplamak için deneyin (zihinsel olarak veya bir taslağı). İlk önce ne yapılması gerekiyor? Her şeyden önce, tabanın eşit olduğunu saymak gerekir:, polinomun dahili işlev olduğu anlamına gelir:

Ve, ancak daha sonra egzersiz, güç fonksiyonu harici bir fonksiyondur:

Formülüne göre, bu durumda, bu durumda, dış fonksiyondan bir türev bulmanız gerekir. Tablodaki gerekli formülü istedik:. Tekrar tekrarlıyoruz: herhangi bir tablo formülü sadece "x" için değil, aynı zamanda karmaşık ifade için de geçerlidir.. Böylece, karmaşık bir fonksiyonun farklılaşma işleminin uygulanmasının sonucu aşağıdaki gibidir:

Tekrar bir dış fonksiyonun türevini aldığımızda, dahili fonksiyon bizimle değişmeyeceğini vurguladım:

Şimdi, dahili fonksiyondan tamamen basit bir türev ve sonuçta bir küçük "tarama" bulmak için kalır:

Örnek 4.

Türev İşlev Bulun

Bu, bağımsız bir karar için bir örnektir (dersin sonunda cevap).

Türev karmaşık fonksiyonunun anlaşılmasını sağlamak için, yorum yapmadan bir örnek vereceğim, kendiniz çözmeye, boyayın, dışın nerede ve iç fonksiyon nerede olduğunu, neden işler bu şekilde çözüldü?

Örnek 5.

a) türev fonksiyon bul

b) türev fonksiyon bul

Örnek 6.

Türev İşlev Bulun

Burada bir kökü var ve kökü kayıtsızlaştırmak için bir derece şeklinde temsil edilmelidir. Böylece, önce işlevi uygun formda verin:

İşlevin analizi, üç terimin toplamının bir dahili işlev olduğu ve harici fonksiyonun harici fonksiyon olduğu sonucuna vardık. Karmaşık bir fonksiyonun farklılaşma kuralını uygulayın:

Derece, bir radikal (kök) ve dahili fonksiyonun türevi formunu temsil eder, basit bir farklılaşma tutarını kullanın:

Hazır. İfadeyi genel paydaya da koyabilir ve parantez içindeki bir fraksiyonla yazabilirsiniz. Tabii ki güzel, ancak hacimli uzun türevler elde edildiğinde - bunu yapmamak daha iyidir (gereksiz bir hataya izin vermek için kafam karışması kolaydır ve öğretmen uygun bir şekilde kontrol edecektir).

Örnek 7.

Türev İşlev Bulun

Bu, bağımsız bir karar için bir örnektir (dersin sonunda cevap).

Bazen karmaşık bir işlevin farklılaşması için prosedür yerine, oranın farklılaşma kuralını kullanabileceğinizi not etmek ilginçtir. , Ama böyle bir çözüm, sapkınlık eğlencesi gibi görünecek. İşte karakteristik bir örnek:

Örnek 8.

Türev İşlev Bulun

İşte oransı farklılaşma kuralını kullanabilirsiniz Ancak, karmaşık bir fonksiyonun farklılaşma kuralıyla bir türev bulmak çok daha karlı:

Farklılaşma işlevini hazırlıyoruz - türevin işareti başına eksi alıyoruz ve kosinüs sayısına yükseltiyoruz:

Kosinüs bir dahili işlevdir, harici fonksiyon harici bir işlevdir.
Kuralımızı kullanıyoruz:

Dahili fonksiyonun türevini buluyoruz, kosinüs geri çekiliyor:

Hazır. İncelenen örnekte, işaretlerle karıştırılmaması önemlidir. Bu arada, kuralı kullanarak çözmeye çalışın. Cevaplar eşleşmelidir.

Örnek 9.

Türev İşlev Bulun

Bu, bağımsız bir karar için bir örnektir (dersin sonunda cevap).

Şimdiye kadar, sadece bir yatırımın karmaşık fonksiyonumuzda olduğunda vakaları düşündük. Pratik görevlerde, genellikle Matryoshki, bir diğerine, bir kez 3, hatta 4-5 fonksiyonu yerleştirildiyse, türevleri karşılamak mümkündür.

Örnek 10.

Türev İşlev Bulun

Bu işlevin yatırımlarını anlıyoruz. Deneysel değeri kullanarak ifadeyi hesaplamaya çalışıyoruz. Hesap makinesine nasıl inanırsak?

İlk önce bulmanız gerekir, bu, Arksinus en derin yatırımdır:

Sonra bu Arxinus birimleri kareye yerleştirilmelidir:

Ve nihayet, yedi bir dereceye kadar dikilir:

Yani, bu örnekte, üç farklı fonksiyonumuz ve iki eki varken, iç fonksiyon Arxinus'dır ve harici işlevin kendisi bir gösterge işlevidir.

Karar vermeye başlıyoruz

Kurallara göre, önce dış fonksiyondan bir türev almanız gerekir. Türevler tablosuna bakıyoruz ve gösterge işlevinin bir türevini buluyoruz: "X" yerine tek fark, bu formülün geçerliliğini iptal etmeyen zor bir ifademiz var. Böylece, karmaşık bir fonksiyonun farklılaşma işleminin uygulanmasının sonucu aşağıdaki gibidir:

İnme altında tekrar karmaşık bir işlevimiz var! Ama bu daha kolay. Dahili fonksiyonun ARXINUS olduğundan emin olmak kolaydır, dış fonksiyonun bir derece olduğu. Karmaşık bir fonksiyonun farklılaşmasına göre, önce bir türev almanız gerekir.

Eğer bir g.(x.) BEN. f.(u) - Sırasıyla tartışmalarının diferansiyel fonksiyonları x. ve u= g.(x.), sonra karmaşık fonksiyon da noktada farklılaşmıştır. x.ve formül tarafından bulunur

Türevlere yapılan işleri çözmede tipik bir hata - karmaşık fonksiyonlardaki basit fonksiyonların farklılaşma kurallarının otomatik olarak aktarılması. Bu hatadan kaçınmayı öğreneceğiz.

Örnek 2.Türev İşlev Bulun

Yanlış karar: Her bir terimin doğal logaritmasını parantez içine alın ve türev miktarını arayın:

Doğru çözüm: Yine, "Apple" nın nerede olduğunu ve nerede "kıyılmış" olduğunu tanımlıyoruz. Burada, parantez içindeki ifadeden doğal logaritm, ara argümanın işlevi olan bir "elma" dir. uve parantez içindeki ifade "kıyılmış", yani ara argümandır. u Bağımsız bir değişkende x..

Daha sonra (formül 14'ü türev tablosundan uygulamak)

Birçok gerçek görevde, logaritma ile ifade biraz daha karmaşıktır, bu yüzden bir ders var

Örnek 3.Türev İşlev Bulun

Yanlış karar:

Doğru çözüm. Bir kez daha "Apple" nın nerede olduğunu ve nerede "kıyılmış" olduğunu tanımlıyoruz. Burada parantez içindeki ekspresyondan kosinüs (türevler tablosundaki formül 7) "Apple", yalnızca onu etkileyen mod 1'de hazırlanır ve parantez içindeki ekspresyon (türevlerde 3 numara - 3 numara) Tablo) "kıyılmış", sadece üzerine etki eden 2 modda hazırlanır. Ve her zaman olduğu gibi, iki türevi işin işaretiyle bağlarız. Sonuç:

Karmaşık bir logaritmik fonksiyonun türevi, testte sık görülen bir görevdir, bu nedenle "türev logaritmik işlevi" dersini ziyaret etmenizi şiddetle tavsiye ediyoruz.

İlk örnekler, bağımsız bir değişken için bir ara argümanın basit bir işlev olduğu karmaşık fonksiyonlardaydı. Ancak pratik görevlerde, ara argümanın veya kendisinin karmaşık bir işlev olduğu veya böyle bir işlevi içerdiği, karmaşık bir fonksiyonun bir türevini bulmak genellikle gereklidir. Bu gibi durumlarda ne yapmalı? Tablolar ve farklılaşma kuralları üzerine bu tür fonksiyonların türevlerini bulun. Ara argümanın türevi bulunduğunda, sadece formülün istenen yeriyle ikame edilir. Aşağıda, yapıldığı gibi iki örnek var.

Ek olarak, aşağıdakileri bilmek faydalıdır. Karmaşık fonksiyon üç fonksiyon zinciri olarak gösterilebilirse

bu fonksiyonların her birinin türevlerinin bir ürünü olarak bulunmalıdır:

Ödevinizin çoğunu çözmek için, faydaları yeni pencerelerde açmanız gerekebilir. Derece ve kökleri olan eylemler ve Kesirlerle yapılan eylemler .

Örnek 4.Türev İşlev Bulun

Karmaşık bir fonksiyonun farklılaşma kuralını uygulayın, sonuçta ortaya çıkan türevlerin bağımsız bir değişken için ara argüman olduğunu unutmayın. x. değişmez:

Çalışmanın ikinci fabrikasını hazırlıyoruz ve miktarın farklılaşma kuralını uyguluyoruz:

İkinci terim kökdür, bu nedenle

Böylece, terimlerden birinin karmaşık bir işlevi içerdiği bir ara argümanın, karmaşık bir fonksiyonun yapılması ve bir dereceye dönüştürülmesi gerçeği - bağımsız bir değişken için bir orta argüman yapılması gerçeği elde edildi. x..

Bu nedenle, karmaşık bir fonksiyonun farklılaşma kuralını tekrar uygulayın:

Birinci faktörün derecesi kök içine dönüştürülür ve ikinci faktörün farklılaşması, sabit türevinin sıfır olduğunu unutmayın:

Şimdi, türev fonksiyonunun sorununun gerektirdiği sorunu hesaplamak için gereken ara argümanın türevini bulabiliriz. y.:

Örnek 5.Türev İşlev Bulun

İlk önce, miktarın farklılaşma miktarını kullanın:

İki karmaşık fonksiyonun türevlerinin miktarını aldı. Birincisini bul:

Burada, sinüsün bir dereceye kadar yapımı karmaşık bir fonksiyondur ve sinüsün kendisi bağımsız bir değişken için ara argümandır. x.. Bu nedenle, karmaşık bir fonksiyonun farklılaşmasının kuralını kullanıyoruz. parantez için bir çarpanı sağlam :

Şimdi ikinci terimi oluşturan türetilmiş fonksiyondan buluyoruz y.:

İşte bir kosinin bir dereceye kadar yapımı - karmaşık bir fonksiyon f.ve kosininin kendisi bağımsız bir değişken için ara argümandır. x.. Kompleksin farklılaşma kuralını kullanacağız:

Sonuç istenen türevdir:

Bazı karmaşık fonksiyonların türevleri tablosu

Karmaşık fonksiyonların farklılaşma kuralına dayanan karmaşık fonksiyonlar için, basit bir fonksiyonun türevinin formülü başka bir tür alır.

1. Türev kompleksi güç fonksiyonu, nerede u x.
2. İfadeden Türev Kök
3. Türev Gösterge Fonksiyonu
4. Bir gösterge işlevinin özel durumu
5. Keyfi bir pozitif tabanla türev logaritmik fonksiyon fakat
6. Türev karmaşık logaritmik fonksiyon, nerede u - Diferansiyel argüman fonksiyonu x.
7. Sinüs türevi
8. kosinüs türevi
9. Teğet türevi
10. Kotangens'in türevi
11. Arksinus Türevi
12. Arkkosinus Türevi
13. Arctangen türevi
14. Arkkotanangence'in türevi

Bir türev bulma işlemi farklılaşma denir.

Türevlerini en basitten (ve çok basit olmayan) bulma sorunlarının çözülmesi sonucu, türevini bir argümana karşı tutumun bir sınırı olarak belirlemek için türevlerini belirlemek için bir türev tablosu ve tam olarak tanımlanmış farklılaşma kuralları ortaya çıkmıştır. Isaac Newton (1643-1727) ve Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716), Türevlerin Bulguları Alanı için ilk önce idi.

Bu nedenle, zamanımızda, herhangi bir fonksiyonun türevini bulmak için, işlevin artırılmasının artışının artışının artışının oranı oranının hesaplanması gerekli değildir ve yalnızca türevler ve farklılaşma kuralları tablosunu kullanmanız gerekir. . Türevini bulmak için, aşağıdaki algoritma uygundur.

Türevini bulmak için, inme belirtisi altında ifade için gereklidir. basit fonksiyonların bileşenlerini sökünüz ve hangi eylemleri belirlemek (İş, miktar, özel) Bu işlevler ilişkilidir. Daha sonra, temel fonksiyonların türevleri türevler tablosunda bulunur ve farklılaşma kurallarında türevler, miktarlar ve özel formüller. Türev ve farklılaşma kuralları tablosu ilk iki örnekten sonra verilmiştir.

Örnek 1. Türev İşlev Bulun

Karar. Farklılaşma kurallarından, işlev fonksiyonunun türevinin türevlerin miktarı olduğunu öğreniyoruz, yani.

Türevler tablosundan, "ICCA" nın türevinin birine eşit olduğunu ve sinüs türevinin kosinüs olduğunu öğreniyoruz. Bu değerleri türevlerin miktarında değiştiriyoruz ve görev türevinin gerekli durumunu buluruz:

Örnek 2. Türev İşlev Bulun

Karar. Sabit bir faktörle ikinci termin bir türev işareti ile ulaşılabileceği bir türev toplam olarak farklılaştırmak:

Henüz sorular varsa, alındığı yerden, tablo türevlerine ve en basit farklılaşma kurallarına aşina olduktan sonra genellikle açıklığa kavuşturuyorlar. Şu an onlara gidiyoruz.

Türetilmiş basit fonksiyonlar tablosu

1. Türev sabiti (sayılar). İşlevin ifadesinde olan herhangi bir sayı (1, 2, 5, 200 ...). Her zaman sıfıra eşittir. Çok sık gerekli olduğu için hatırlanması çok önemlidir.
2. Bağımsız bir değişkenin türevi. En sık "iksa". Her zaman birine eşit. Uzun zamandır hatırlamak da önemlidir.
3. Dereceli derece. Görevleri çözme derecesi, yanlış kökleri dönüştürmeniz gerekir.
4. -1 derecesine göre değişken türev
5. Kare Kök Türev
6. Sinüs türevi
7. kosinüs türevi
8. Türev Teğet
9. Kotangenlerin türevi
10. Arksinus Türevi
11. Arckosinus Türevi
12. Arctangen türevi
13. Arkkotangen türevi
14. Doğal logaritma türevi
15. Türev Logaritmik Fonksiyon
16. Sergi türevi
17. Türev Gösterge Fonksiyonu

Farklılaşma kuralları

1. Türev Tutar veya Fark
2. Türev İş
2a. İfadenin türevi, sürekli çarpan ile çarpılır
3. Özel Türev
4. Türev Kompleks Fonksiyonu

Kural 1. İşlevlerse

bir noktada farklı olarak, aynı noktada aynı noktada farklılaşır ve işlevler

ve

şunlar. Cebirik fonksiyonun türevi, bu fonksiyonların cebirsel miktarına eşittir.

Corollary. İki farklı fonksiyon kalıcı bir terimde farklılık gösterirse, türevleri eşittir.

Kural 2.İşlevlerse

bir noktada, bir noktada, sonra aynı noktada farklı şekilde ve çalışmaları

ve

şunlar. İki fonksiyonun türevi, farklı türevlerdeki bu fonksiyonların her birinin eserlerinin miktarına eşittir.

Corollary 1. Kalıcı çarpan türev işareti için yapılabilir:

Corollary 2. Birkaç farklı fonksiyonun çalışmalarının türevi, faktörlerin her birinin türevi ürünlerinin miktarına eşittir.

Örneğin, üç çarpma için:

Kural 3.İşlevlerse

bir noktada diferansiyel ve , sonra bu noktada farklı ve onların özelu / v ve

şunlar. Özel iki fonksiyonun türevi, numseratörün sayısının, sayısalın türevindeki ürünlerindeki fark olan fraksiyona eşittir ve payderinin türevindeki sayısal ve payderinin önceki sayısının karesidir. .

Diğer sayfalarda ne aranacak

İşin bir türevini bulurken ve gerçek görevlerde özel olarak, çeşitli farklılaşma kuralları her zaman uygulanabilir, bu türevler için daha fazla örnek - makalede"Türev Çalışması ve Özel İşlevler".

Yorum Yap.Miktardaki terim olarak ve sürekli bir çarpan olarak bir sabit (yani, yani) ile karıştırılmamalıdır! Temel durumunda, türevi sıfırdır ve sürekli bir çarpan durumunda, türevlerin belirtisi için sunulur. Bu, türevlerin ilk aşamasında bulunan tipik bir hatadır, ancak birkaç bir-iki aşamalı örnekler zaten çözüldüğü gibi, bu hatanın ortalama öğrencisi yapmaz.

Ve eğer, işin veya özel farklılaşmasıyla, bir terimin ortaya çıktığını u"v. , hangi u - Örneğin, 2 veya 5, yani bir sabit, yani bu sayının türevi sıfır olacaktır ve bu nedenle, tüm terim sıfır olacaktır (böyle bir durum Örnek 10'da sökülür).

Başka bir sık \u200b\u200bhata, basit bir fonksiyonun bir türevi olarak bir türev kompleks fonksiyonunun mekanik bir çözeltisidir. bu nedenle türev Kompleksi Fonksiyonu Özel ayrı makale. Ancak önce basit fonksiyonların türevlerini bulmayı öğreneceğiz.

Bu derste, ifadelerin dönüşümleri olmadan yapmayın. Bunu yapmak için, yeni pencerelerdeki avantajları açmanız gerekebilir. Derece ve kökleri olan eylemler ve Kesirlerle yapılan eylemler .

Dereceler ve kökleri olan türevlerin çözümlerini arıyorsanız, yani işlev bir tür gibi olduğunda , "Derece ve kökleri olan fraksiyonların türevi" işgalini takip edin.

Gibi bir görevin varsa Öyleyse, "basit trigonometrik fonksiyonların türevleri "desiniz.

Adım Adım Örnekler - Bir Türev Nasıl Bulunur?

Örnek 3. Türev İşlev Bulun

Karar. İşlevin ifadesinin bir kısmını belirliyoruz: Tüm ifade, işyeri temsil eder ve faktörleri, terimlerden birinin kalıcı bir çarpanı içerdiği ikincisinde toplamdır. Ürünün bir türevini kullanıyoruz: İki fonksiyon çalışmasının bir türevi, farklı türevdeki bu fonksiyonların her birinin eserlerine eşittir:

Sonra, farklılaşma tutarını uygulayın: cebirsel fonksiyonun türevi, bu fonksiyonların cebirsel miktarına eşittir. Bizim durumumuzda, her toplam eksi işareti olan ikinci dönemdir. Her bir toplamda, görüyoruz ve bağımsız bir değişken, türevi birine eşit olan ve türevi olan sabit (sayı), ki bu sıfırdır. Dolayısıyla, "x" birine dönüyoruz ve eksi 5 - sıfırda. İkinci ifadede "X" 2 ile çarpılır, bu nedenle ikisi "IKSA" türevi ile aynı birim tarafından çarpılır. Türevlerin aşağıdaki değerlerini elde ediyoruz:

Bulunan türevleri iş miktarında değiştiriyoruz ve tüm fonksiyonun türevinin sorunu için gerekli durumu elde ediyoruz:

Ve çözümü türev problemin üzerinde kontrol edebilirsiniz.

Örnek 4. Türev İşlev Bulun

Karar. Özel bir türev bulmamız gerekiyor. Özelliğin farklılaşması için formülün kullanılması: Özel iki fonksiyonun türevi, numseratörün sayısının, sayısalatın türevi üzerindeki ürünlerin ürünlerinin farkı olan fraksiyona eşittir. Payıncı, önceki sayısının karesidir. Alıyoruz:

Örnek 2'deki Numertel'deki faktörlerin bir türevini bulduk. Sayıdaki ikinci fabrika içindeki ikinci fabrika olan işin bir eksi işareti ile alındığını bile unutmayacağım:

Örneğin, köklerin ve derecelerin katı ırklarının, örneğin,, örneğin, , sonra mesleğe hoş geldiniz "Derece ve kökleri olan fraksiyonların türevi" .

Sinüs, kosinüs, teğet ve diğer trigonometrik fonksiyonların türevleri hakkında daha fazla bilgi edinmeniz gerekirse, yani işlev böyle görünüyor O zaman derste "Basit trigonometrik fonksiyonların türevleri" .

Örnek 5. Türev İşlev Bulun

Karar. Bu özellikte, türevlerin tablosunu okuduğumuz türevi olan bağımsız bir değişkenin kare kökü olan işleri görüyoruz. Ürünün türetilmesine ve kare kök türevinin tablo değerine göre, biz alırız:

Türev üzerindeki sorunun çözümünü kontrol edin. hesap makinesi türevleri çevrimiçi .

Örnek 6. Türev İşlev Bulun

Karar. Bu özellikte, bağımsız bir değişkenden bir kare kök olan özel görüyoruz. Örnek 4'te tekrarladığımız ve uygulandığımız özelliğin farklılaşma kuralına göre, karekökü türevinin tabletlenebilir değerini elde ediyoruz:

Numarator'daki fraksiyondan kurtulmak için sayısal ve paydayı açın.