Uçaktaki noktanın konumunu belirlemek için, Polar Koordinatları kullanabilirsiniz. [G, (P)nerede g. - Koordinatların başlangıcından itibaren mesafe noktası ve (R - Yarıçapı olan açı - bu noktadanının vektör pozitif eksen yönü ile Oh. Köşenin olumlu yönü (R Saat yönünün tersine yönlendirilir. Kartezyen ve kutupsal koordinatların ilişkisinden yararlanarak: x \u003d g cos cp, y \u003d g günah (p,

entegre bir sayının trigonometrik şeklini elde ediyoruz

z - r (Günah (P + S Günah

nerede g.

Xi + u2, (P - Bulunan entegre bir sayı argümanı

l X. . u

formüller cos (r - -, günah ^ 9 \u003d - ya da gerçeği nedeniyle tg (p --, (P-ARCTG

Değerleri seçerken dikkat edin cf. Son denklemden, işaretleri dikkate almak gerekir. x ve y.

Örnek 47. Trigonometrik formda karmaşık bir sayı yazın 2 \u003d -1 + l / s /.

Karar. Entegre modülü ve argümanı bulacağız:

= yJ 1 + 3 = 2 . Açı cf. İlişkilerden bulmak cOS (R. = -, günah (p \u003d -. Sonra

teslim almak cos (p \u003d - Suuup.

y / S G ~

• - -. Açıkçası, Z \u003d -1 + V3 / /
• 2 için3

İkinci çeyrekte: (R \u003d 120 °

Değiştirme

2nd . COS - H; günah.

formül (1) 'de bulundu 27g l

Yorum Yap. Entegre sayı argümanı tanımlanmadı, ancak terimin doğruluğu ile, çoklu 2p. Sonra sp ^ G. ifade etmek

İçinde sonuçlanan argümanın değeri (P 0. %2 Sonra

A) ^ g = + 2kk.

Ünlü Euler Formula'yı kullanma e, entegre bir sayı kaydının gösterge niteliğinde bir form elde ediyoruz.

Sahip olmak g \u003d g (CO ^ \u200b\u200b(P + і, P (P) \u003d GE,

Karmaşık sayılardaki eylemler

• 1. İki karmaşık sayının toplamı g, \u003d x] + H. / ve g 2 - x 2 + 2 / Formula G'ye göre belirlendi! +2 2 \u003d (x, + ^ 2) + (^ 1 + ^ 2) 'G
• 2. Kompleks sayıların çıkarılması işlemi bir işlem, ters ilave olarak tanımlanır. Karmaşık sayı r \u003d g x - g 2, Eğer bir g 2 + g \u003d g x,

karmaşık sayıların 2 farkıdır ve g 2. Sonra g \u003d (x, - x 2) + (Y, - w. 2) /.

• 3. İki karmaşık sayının üretimi g. \u003d x, + y, -g ve 2 2 \u003d x 2 + U2. 'G formül tarafından belirlenir
• *1*2 =(* + U."0 (x 2 + T 2. -0 \u003d x 1 x 21 2 -1 + x U2 " * + W.1 W.2 " ^ =

\u003d (Xx 2 ~ uu 2) + (x u2 + x 2) - "-

Özellikle, bay. \u003d (X + u-g) (x-y /) \u003d x 2 + 2'de.

Karmaşık sayıların bir gösterge ve trigonometrik formlarda çarpılması için bir formül elde edebilirsiniz. Sahibiz:

• 1^ 2 - G X E 1 \u003d ) G 2 е\u003e \u003d g] g 2 cOS ((P + CP 2) + ISIN
• 4. Karmaşık sayıların bölünmesi bir işlem olarak tanımlanır, geri

Çarpma, yani numara g-- G'yi bölmekten özel denir! g 2'de,

eğer bir g x -1 2 ? 2 . Sonra

H. + Ti _ (*і + 2 ~ 1 U2 ) x 2 + ІU2 (2. + ^ U 2) (2'de 2 ~ 1)

x, x 2 + / y, x 2 - x y 2 - 22'de 2 y x (x x x 2 + y y) + / (x, 2 + x 2 y])

2 2 x 2 + 2'de

1 e.

І (rg

• - 1U e "(1 FG) - I.OSO (((P-SR 1) + і- (R-,)] >2 >2
• 5. Tüm pozitif bir entegre sayı derecesinin yapımı, sayı gösterge niteliğinde veya trigonometrik bir formda kaydedilirse üretmek daha iyidir.

Gerçekten, eğer g \u003d 7 sonra

\u003d (GE,) \u003d g p e t \u003d g " (CO8. pSR + ITT GKR).

Formül g " \u003d G P (COSN (P + N (P) Moorem formülü olarak adlandırılır.

6. Kökün Çıkarılması puskarmaşık bir sayıdan gelen inci bir işlem olarak tanımlanır, yenilenmiştir. p, p-1,2,3, ... yani Kapsamlı sayı \u003d. [G. kök denir puskarmaşık bir numaradan mezun

r Eğer g. = g. . Bu tanımdan itibaren bay. ", fakat g. \u003d l / g. (P-psr x, fakat cp ^ -sr / pBu, numara için kaydedilen Moorem formülünden takip eden \u003d G / * + Ііpp (p).

Yukarıda belirtildiği gibi, entegre sayı argümanı kesin olarak tanımlanmadı, ancak terimin birden fazla 2'sine doğruluğu ile g. bu nedenle \u003d (P + 2PK ve bağlı olarak G sayısının argümanı için İfade etmek (R K. ve B.

dEM formülü hesaplar (R K. \u003d - +. Var olduğu açıktır. p com-

pleksian numaraları p-İ derecesi 2 numaraya eşittir. Bu sayıların bir tane var

ve aynı modül eşit y [g, Ve bu sayıların argümanları için = 0, 1, p - 1. Böylece, trigonometrik formda, ve inci derecesinin kökleri, formül tarafından hesaplanır:

(P + 2kp . . cF + 2KP

, için = 0, 1, 77-1,

. (P + 2KTG

ve bir gösterge formunda - formül tarafından l [g - y [ge p

Örnek 48. Cebirsel formda karmaşık sayılarla ilgili eylemler yapın:

a) (1- / h / 2) 3 (3 + /)

• (1 - / l / 2) 3 (Z + /) \u003d (1 - CL / 2 / + 6/2 - 2 L / 2/3) (3 + /) \u003d
• (1 - ZL / 2 / - 6 + 2L / 2 / DZ + /) \u003d (- 5 - L / 2 / DZ + /) \u003d

15-CL / 2 / -5 / L / 2/2 \u003d -15 - CL / 2 / -5 / + L / 2 \u003d (-15 + L / 2) - (5 + kötü / 2) /;

Örnek 49. R \u003d UZ sayısını değerlendirin - / Beşinci derecede.

Karar. Sayısının kaydının trigonometrik şeklini alıyoruz

R \u003d. L / 3 + 1 \u003d 2, C08 (p --, 5iі7. (R =

• (1 - 2 / x2 + /)
• (Z-,)

O - 2.-X2 + O

• 12+ 4/-9/
• 2 +і - 4/ - 2/ 2 2 - 3/ + 2 4 - 3/ 3 + і
• (H-O "(ZH

S / 2 12-51 + 3 15 - 5 /

• (3-і) 'z + /
• 9 + 1 z_ ±.
• 5 2 1 "

Buradan hakkında- -, fakat r \u003d 2.

Moorov alıyoruz: І -2.

/ ^ _ 7G ,. ? G.

• -Sh-- _Bіp -

• - / -

\u003d - (l / s + g) \u003d -2.

Örnek 50. Tüm Değerleri Bul

Karar, r \u003d 2 ve cf. Denklemden bulmak soya (p \u003d -, zt--.

Bu nokta 1 - / d / s dördüncü çeyrektedir, yani. f \u003d.-. Sonra

• 1 - 2
• ( ( UG L.

Köklerin değerleri eksprese etmekten

V1 - / L / S \u003d L / 2

• - + 2a: / g --- B 2 kK
• 3 . . 3

C08--1- і 81p-

İçin - 0 Biz 2 0 \u003d l / 2 var

Show'daki numarayı temsil eden 2'nin kök değerlerini bulabilirsiniz.

- * k / 3 + 2 cl

İçin için \u003d 1 Başka bir kök değerine sahibiz:

• 7g. 7G _
• --- B27G --- B2; G
• 3. . Z.

7g . . 7G L. -C05- + 181P -6 6

• --N -

cO? - 7g + / 5sh - i "

l / 3__t_

biçimsiz form. Gibi r \u003d.2, A. cf. \u003d, sonra r \u003d 2e 3 ve [G. = u / 2e. 2

Cebirsel formda kaydedilen karmaşık numaralardaki eylemler

Kompleks Numaranın Cebirsel Formu Z \u003d(a., B.). Cebirsel görünüm isimler

z. = a. + bi.

Karmaşık sayılardaki aritmetik işlemler z. 1 \u003d A. 1 + B. 1 bEN.ve z. 2 \u003d A. 2 + B. 2 bEN.Cebirsel formda kaydedildiği gibi gerçekleştirilir.

1. Karmaşık sayıların miktarı (fark)

z. 1 ± Z. 2 = (a. 1 ± A. 2) + (b. 1 ± B. 2)∙ I.,

şunlar. Ekleme (çıkarma), bu tür üyeleri getirerek polinomların eklenmesinin üstünlüğüne göre gerçekleştirilir.

2. Karmaşık sayıların üretimi

z. 1 ∙ Z. 2 = (a. 1 ∙ A. 2 - B. 1 ∙ B. 2) + (a. 1 ∙ B. 2 + A. 2 ∙ B. 1)∙ I.,

şunlar. Çarpma, polinomların çoğalmasının normal çoğalmasına göre yapılır ve bEN. 2 = 1.

3. İki entegre sayının bölünmesi aşağıdaki kurala göre gerçekleştirilir:

, (z. 2 ≠ 0),

şunlar. Bölüm, bölünmeyi ve bölücünün bölücü ile ilişkili sayıyla çarpmasıyla gerçekleştirilir.

Karmaşık sayıların yapımı aşağıdaki gibi belirlenir:

Bunu göstermek kolay

Örnek.

1. Entegre sayıların miktarını bulun z. 1 = 2 – bEN.ve z. 2 = – 4 + 3ben.

z. 1 + Z. 2 = (2 + (–1)∙ I.)+ (–4 + 3bEN.) = (2 + (–4)) + ((–1) + 3) bEN. = –2+2ben.

2. Karmaşık sayıların bir ürününü bulun z. 1 = 2 – 3bEN. ve z. 2 = –4 + 5ben.

= (2 – 3bEN.) ∙ (–4 + 5bEN.) = 2 ∙(–4) + (-4) ∙(–3bEN.)+ 2∙5bEN.– 3ben ∙5ben \u003d.7+22ben.

3. Özel bul z. bölünmeden z. 1 \u003d 3 - 2 z. 2 = 3 – ben.

z \u003d. .

4. Denklemi çözün: x. ve y. Î R..

(2x + Y.) + (x + Y.)ben \u003d.2 + 3ben.

Karmaşık sayıların eşitliği sayesinde, biz var:

dan x \u003d.–1 , y.= 4.

5. Hesaplayın: bEN. 2 , BEN. 3 , BEN. 4 , BEN. 5 , BEN. 6 , BEN. -1 , BEN. -2 .

6. Eğer ise hesaplayın.

.

7. Sayı zıt olarak hesaplayın z.=3-BEN..

Trigonometrik formda karmaşık sayılar

Karmaşık uçak Kartezyen koordinatları olan bir uçak denir ( x, Y.), eğer koordinatlarla her nokta varsa ( a, B.) karmaşık bir numaraya doğrultmak z \u003d a + bi. Bu durumda, abscissa ekseni denir geçerli eksenve koordinat ekseni - hayali. Sonra her entegre sayı a + bi.geometrik olarak uçakta bir nokta olarak gösterilmiştir. A (a, b) veya vektör.

Bu nedenle, noktanın konumu FAKAT (ve bu nedenle, karmaşık bir sayı z.) Vektörün uzunluğunu ayarlayabilirsiniz | | \u003d. r. ve açı j.Eğitimli vektör | | Geçerli bir eksenin olumlu yönü ile. Vektör uzunluğu denir karmaşık sayı modülüve | z | \u003d rve köşe j.aranan karmaşık bir sayının argümanı Ve ifade eder j \u003d arg z.

Açıkçası | z.| ³ 0 ve | z | = 0 Û z \u003d.0.

Şek. 2 görülebilir.

Karmaşık bir sayının argümanı belirsiz olarak belirlenir ve 2'ye kadar pK, K.Î Z..

Şek. 2 Aynı zamanda z \u003d a + bi ve j \u003d arg z,bu

Çünkü. j \u003d.günah. j \u003d., Tg. j \u003d.

Eğer bir zîR.ve z\u003e0, T. Arg z \u003d.0 +2pk.;

eğer bir z îR.ve z.< 0, T. arg z \u003d p +2pk.;

eğer bir z \u003d.0, Arg Z.belirlenmedi.

Argümanın ana değeri 0 segmentinde belirlenir £ Arg Z.£ 2. p,

veya -p.£ arg z £ p.

Örnekler:

1. Entegre sayı modülünü bulun z. 1 = 4 – 3bEN.ve z. 2 = –2–2ben.

2. Koşullar tarafından belirtilen bölgenin karmaşık düzlemini belirleyin:

1) | z | \u003d. 5; 2) | z.| £ 6; 3) | z. – (2+bEN.) | £ 3; 4) 6 £ | z. – bEN.| £ 7.

Çözümler ve Cevaplar:

1) | z.| \u003d 5 û û - RADIUS 5'li daire denklemi ve koordinatların başında ortalanmış.

2) Koordinatların başlangıcında merkezlenmiş bir yarıçaplı 6 daire.

3) Daire yarıçapı 3 Nokta merkezli z 0 = 2 + bEN..

4) RADII 6 ve 7'li daireler tarafından sınırlanan halka z. 0 = bEN..

3. Modül ve argüman numaralarını bulun: 1); 2).

1) ; fakat = 1, b. = Þ ,

Þ j 1 \u003d .

2) z. 2 = –2 – 2bEN.; a \u003d.–2, b \u003d.-2 þ ,

.

Not: Ana argümanı belirlerken, karmaşık düzlemi kullanın.

Böylece: z. 1 = .

2) , r. 2 = 1, j2 \u003d, .

3) , r. 3 \u003d 1, j 3 \u003d .

4) , r. 4 \u003d 1, J 4 \u003d, .

Ders

Karmaşık bir sayının trigonometrik şekli

Plan

1. Karmaşık sayıların 3.gometrik görüntüsü.

2. karmaşık sayıların eğitimi.

3. Trigonometrik formda karmaşık sayıları hedefler.

Karmaşık sayıların geometrik görüntüsü.

a) Entegre sayılar, uçağın noktalarını aşağıdaki kuralda göstermektedir: a. + bi = M. ( a. ; b. ) (Şekil.1).

Resim 1

b) Noktadan başlangıcı olan bir vektörle karmaşık bir sayı gösterilebilirHAKKINDA ve bu noktada son (Şekil 2).

Şekil 2.

Örnek 7. Karmaşık sayıları gösteren noktaları oluşturun:1; - bEN. ; - 1 + bEN. ; 2 – 3 bEN. (Şekil 3).

Figür 3.

Karmaşık sayıların trigonometrik kaydı.

Karmaşık sayız. = a. + bi Yarıçapı ile belirleyebilirsiniz - vektör Koordinatlarla( a. ; b. ) (Şekil 4).

Şekil 4.

Tanım . Uzunluk vektör karmaşık bir sayıyı göstermekz. , bu numaranın modülü denir ve belirtilir veyar. .

Herhangi bir entegre numara içinz. Onun modülür. = | z. | formül tarafından benzersiz olarak belirlenir .

Tanım . Asıl eksenin ve vektörün pozitif yönü arasındaki açının büyüklüğü karmaşık bir numarayı betimlemek, bu entegre sayının argümanı olarak adlandırılır ve belirtilir.FAKAT rg. z. veyaφ .

Karmaşık bir sayının argümanız. = 0 belirlenmedi. Karmaşık bir sayının argümanız. ≠ 0 - Değer çok değerlidir ve vakfın doğruluğu ile belirlenir.2πk (K \u003d 0; - 1; 1; - 2; 2; ...): Arg. z. = arg z. + 2πk neredearg z. - Aralığın ana değeri aralıkta sonuçlandı(-π; π] , yani-π < arg z. ≤ π (Bazen argümanın başlangıç \u200b\u200bdeğeri, boşluğa ait değeri alır .

İçin bu formülr. =1 genellikle Moava formülüne bakın:

(çünkü φ + ben günah φ) n. \u003d cos (nφ) + i günah (nφ), n  n .

Örnek 11. Hesapla(1 + bEN. ) 100 .

Karmaşık bir numara yazıyoruz1 + bEN. trigonometrik biçimde.

a \u003d 1, b \u003d 1 .

cos φ \u003d. , günah φ \u003d , φ = .

(1 + i) 100 = [ (Çünkü. + S günah )] 100 = ( ) 100 (Çünkü. · 100 + S Günah · 100) \u003d \u003d 2 50 (Cos 25π + i günah 25π) \u003d 2 50 (Cos π + i günah π) \u003d - 2 50 .

4) Karmaşık bir rookun karmaşık bir numaradan çıkarılması.

Karmaşık bir numaradan kare kökü çıkarırkena. + bi İki vaktimiz var:

eğer birb. \u003e O. T. ;

3.1. Polar koordinatları

Uçak genellikle uygulanır polar koordinat sistemi . Bir nokta o, çağrılırsa tanımlanır. kutupve direk ışınından giden (bizim için bu eksendir) Öküz) - Kutup ekseni. Konum noktası M iki sayı ile sabitlenir: radius (veya yarıçapı-vektör) ve kutup ekseni ile vektör arasında bir açı.Açı φ denir kutup köşesi; Radyanlarda ölçülür ve polar eksenden saat yönünün tersine sayılır.

Polar koordinat sistemindeki noktanın konumu, sıralı bir sayı çifti (R; φ) ile ayarlanır. Kutup R \u003d 0,a φ tanımlanmadı. Diğer tüm noktalar için r\u003e 0, Bir φ, birden fazla 2π teriminin doğruluğu ile belirlenir. Aynı zamanda, sayı çiftleri (R; φ) ve (R1; φ 1), aynı noktayı karşılaştırır.

Dikdörtgen bir koordinat sistemi için xoy. Noktadaki kartezyen koordinatları, polar koordinatları aracılığıyla kolayca ifade edilir:

3.2. Karmaşık sayının geometrik yorumlanması

Dekaryan uçağında dikdörtgen koordinat sistemini düşünün xoy..

Z \u003d (A, B) herhangi bir entegre numara, düzleme koordinatlarla ( x, Y.), nerede koordinat x \u003d a, yani. Karmaşık sayının gerçek kısmı ve koordinat y \u003d bi - hayali kısım.

Puanı karmaşık sayılar olan uçak - karmaşık bir uçak.

Karmaşık bir sayıdaki şekilde z \u003d (a, b)noktaya karşılık gelir M (x, y).

Görev.Koordinat düzleminde resim karmaşık sayıları:

3.3. Karmaşık bir sayının trigonometrik şekli

Uçaktaki karmaşık bir sayı bir nokta koordinatı vardır. M (x; y). Burada:

Entegre sayı kaydet - karmaşık bir sayının trigonometrik şekli.

R sayısının denir modül entegre sayı z. ve gösterildi. Modül negatif olmayan bir gerçek numaradır. İçin .

Modül sadece ve sadece ne zaman z \u003d 0, yani a \u003d b \u003d 0.

Φ numarası denir argüman Z. ve ifade eder. Z argümanı belirsiz bir şekilde tanımlanır, yani polar koordinat sisteminde polar açısı, yani, birden fazla 2π teriminin doğruluğu ile.

Sonra kabul ediyoruz:, burada φ argümanın en küçük değeridir. Bu açık

.

Konunun daha derin bir çalışmasıyla, bir yardımcı argüman φ * tanıtılır, öyle ki

Örnek 1.. Karmaşık bir numaranın trigonometrik şeklini bulun.

Karar. 1) Modülü düşünüyoruz:;

2) φ arıyoruz: ;

3) Trigonometrik şekil:

Örnek 2.Karmaşık bir numaranın cebirsel formunu bulun .

Burada, trigonometrik fonksiyonların değerlerinin yerini almak ve ifadeyi dönüştürmek için yeterlidir:

Örnek 3.Bir modül ve entegre bir sayı argümanı bulun;

1) ;

2); φ - 4 çeyrekte:

3.4. Trigonometrik formda karmaşık sayılarla yapılan eylemler

· Toplama ve çıkarma Cebirsel formda karmaşık sayılarla gerçekleştirmek daha uygundur:

· Çarpma işlemi - Basit trigonometrik dönüşümlerle, bunu gösterebilirsiniz sayıların modüllerini çarparken çarpılır ve argümanlar katlanır: ;