L. A. Kuznetsova koleksiyonundan sorunlar

Bu ders "İşlev ve İlgili Görevleri Keşfetme" konusunu incelemektedir. Bu ders, türevleri kullanarak fonksiyonların grafiklerinin oluşturulmasını tartışır. Fonksiyon incelenir, grafiği oluşturulur ve bir dizi ilgili problem çözülür.

Tema: türev

Ders: Bir Fonksiyonu Araştırmakve ilgili görevler

Bu işlevi araştırmak, bir grafik oluşturmak, monotonluk, maksimum, minimum aralıklarını bulmak ve bu işlevin bilgisine hangi görevlerin eşlik ettiğini bulmak gerekir.

İlk olarak, türevi olmayan bir fonksiyonun verdiği bilgilerden tam olarak yararlanacağız.

1. Fonksiyonun sabitlik aralıklarını bulun ve fonksiyonun grafiğinin bir taslağını oluşturun:

1) Bul .

2) Fonksiyon kökleri: , buradan

3) Fonksiyonun sabitlik aralıkları (bkz. Şekil 1):

Pirinç. 1. Bir fonksiyonun sabit işaretinin aralıkları.

Artık aralıkta ve grafiğin X ekseninin üstünde, aralıkta - X ekseninin altında olduğunu biliyoruz.

2. Her bir kökün yakınında bir grafik oluşturalım (bkz. Şekil 2).

Pirinç. 2. Kökün yakınındaki fonksiyonun grafiği.

3. Tanım alanının her bir süreksizlik noktasının yakınında fonksiyonun bir grafiğini oluşturalım. Tanımın etki alanı noktada kırılır. Değer, noktaya yakınsa, fonksiyonun değeri olma eğilimindedir (bkz. Şekil 3).

Pirinç. 3. Süreksizlik noktası civarında fonksiyonun grafiği.

4. Grafiğin sonsuz uzak noktaların komşuluğunda nasıl ilerlediğini belirleyelim:

Limitleri kullanarak yazalım

. Çok büyük için fonksiyonun birlikten neredeyse farklı olmaması önemlidir.

Türevini, sabitliğinin aralıklarını bulalım ve bunlar fonksiyon için monotonluk aralıkları olacak, türevin sıfıra eşit olduğu noktaları bulalım ve maksimum noktanın nerede olduğunu, minimum noktanın nerede olduğunu bulalım.

Buradan, . Bu noktalar, tanım alanının iç noktalarıdır. Aralıklardaki türevin işaretinin ne olduğunu ve bu noktalardan hangisinin maksimum nokta ve hangisinin minimum nokta olduğunu bulalım (bkz. Şekil 4).

Pirinç. 4. Türevin sabit işaret aralıkları.

Şek. 4 noktanın minimum nokta olduğu, noktanın maksimum nokta olduğu görülebilir. Noktadaki fonksiyonun değeri . Fonksiyonun noktadaki değeri 4'tür. Şimdi fonksiyonu çizelim (bkz. Şekil 5).

Pirinç. 5. Bir fonksiyonun grafiği.

Böylece inşa fonksiyon grafiği. Onu tarif edelim. Fonksiyonun monoton olarak azaldığı aralıkları yazalım: , - türevin negatif olduğu aralıklardır. Fonksiyon ve aralıklarında monoton olarak artar. - minimum puan, - maksimum puan.

Parametre değerlerine bağlı olarak denklemin kök sayısını bulun.

1. Fonksiyonun grafiğini oluşturun. Bu fonksiyonun grafiği yukarıda oluşturulmuştur (bkz. Şekil 5).

2. Grafiği bir düz çizgi ailesi ile kesin ve cevabı yazın (bkz. Şekil 6).

Pirinç. 6. Düz çizgilerle bir fonksiyonun grafiğinin kesişimi.

1) İçin - bir çözüm.

2) İçin - iki çözüm.

3) İçin - üç çözüm.

4) İçin - iki çözüm.

5) At - üç çözüm.

6) At - iki çözüm.

7) At - bir çözüm.

Böylece önemli problemlerden birini çözdük, yani parametreye bağlı olarak denklemin çözüm sayısını bulma. Örneğin, bir veya iki çözümün veya üç çözümün olacağı farklı özel durumlar olabilir. Bu özel durumların, bu özel durumların tüm cevaplarının genel cevapta yer aldığını unutmayın.

1. Cebir ve analizin başlangıcı, 10. sınıf (iki kısım). Eğitim kurumları için ders kitabı (profil seviyesi), ed. A.G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2009.

2. Cebir ve analizin başlangıcı, 10. sınıf (iki kısım). Eğitim kurumları için görev kitabı (profil seviyesi), ed. A.G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2007.

3. Vilenkin N.Ya., Ivashev-Musatov O.S., Shvartsburd S.I. 10. sınıf için cebir ve matematiksel analiz (derinlemesine matematik çalışması olan okul ve sınıf öğrencileri için ders kitabı) - M.: Eğitim, 1996.

4. Galitsky M.L., Moshkovich M.M., Shvartsburd S.I. Cebir ve matematiksel analiz üzerine derinlemesine bir çalışma.-M.: Eğitim, 1997.

5. Teknik üniversitelere başvuranlar için matematik problemlerinin toplanması (M.I.Skanavi editörlüğünde).-M.: Higherschool, 1992.

6. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Cebirsel eğitmen.-K.: A.S.K., 1997.

7. Zvavich L.I., Shlyapochnik L.Ya., Chinkina Cebiri ve analizin başlangıcı. 8-11 hücreler: Derinlemesine matematik çalışması olan okullar ve sınıflar için bir el kitabı (didaktik materyaller). - M.: Drofa, 2002.

8. Saakyan S.M., Goldman A.M., Denisov D.V. Cebirde Görevler ve Analizin Başlangıcı (genel eğitim kurumlarının 10-11. sınıflarındaki öğrenciler için bir kılavuz).-M .: Eğitim, 2003.

9. Karp A.P. Cebirdeki problemlerin toplanması ve analizin başlangıcı: ders kitabı. 10-11 hücre için ödenek. derin bir çalışmak matematik.-M.: Eğitim, 2006.

10. Glazer G.I. Okulda matematik tarihi. 9-10. Sınıflar (öğretmenler için rehber).-M.: Aydınlanma, 1983

Ek web kaynakları

2. Doğa Bilimleri Portalı ().

evde yap

No. 45.7, 45.10 (Cebir ve analizin başlangıcı, 10. sınıf (iki bölümde). Eğitim kurumları için bir görev kitabı (profil seviyesi) A.G. Mordkovich tarafından düzenlendi. - M.: Mnemozina, 2007.)

Görevde f (x) \u003d x 2 4 x 2 - 1 fonksiyonunun tam bir çalışmasının grafiğinin oluşturulmasıyla birlikte yapılması gerekiyorsa, bu prensibi ayrıntılı olarak ele alacağız.

Bu tür bir problemi çözmek için, temel temel fonksiyonların özelliklerini ve grafiklerini kullanmalısınız. Araştırma algoritması aşağıdaki adımları içerir:

Tanım alanını bulma

Fonksiyonun tanım kümesi üzerinde araştırma yapıldığı için bu adımdan başlamak gerekir.

örnek 1

Verilen örnek, DPV'den hariç tutmak için paydanın sıfırlarını bulmayı içerir.

4 x 2 - 1 = 0 x = ± 1 2 ⇒ x ∈ - ∞ ; - 1 2 ∪ - 1 2 ; 1 2 ∪ 1 2 ; +∞

Sonuç olarak, kökler, logaritmalar vb. elde edebilirsiniz. Daha sonra ODZ, g (x) ≥ 0 eşitsizliğine göre g (x) 4 tipinin çift dereceli kökü için, logaritması için log a g (x) g (x) > 0 eşitsizliğine göre aranabilir.

ODZ sınırlarının araştırılması ve dikey asimptotların bulunması

Bu tür noktalarda tek taraflı limitler sonsuz olduğunda, fonksiyonun sınırları üzerinde dikey asimptotlar vardır.

Örnek 2

Örneğin, x = ± 1 2'ye eşit olan sınır noktalarını düşünün.

Daha sonra tek taraflı limiti bulmak için fonksiyonu incelemek gerekir. O zaman şunu elde ederiz: lim x → - 1 2 - 0 f (x) = lim x → - 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → - 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1 ) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) - 0 = + ∞ lim x → - 1 2 + 0 f (x) = lim x → - 1 2 + 0 x 2 4 x - 1 = = lim x → - 1 2 + 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) (+ 0) = - ∞ lim x → 1 2 - 0 f (x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 0) 2 = - ∞ lim x → 1 2 - 0 f (x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 ( + 0) 2 = + ∞

Bu, tek taraflı limitlerin sonsuz olduğunu gösterir; bu, x = ± 1 2 doğrularının grafiğin dikey asimptotları olduğu anlamına gelir.

Fonksiyonun incelenmesi ve çift veya tek için

y (- x) = y (x) koşulu sağlandığında, fonksiyon çift olarak kabul edilir. Bu, grafiğin O y'ye göre simetrik olarak yerleştirildiğini gösterir. y (- x) = - y (x) koşulu karşılandığında, fonksiyon tek olarak kabul edilir. Bu, simetrinin koordinatların kökenine göre gittiği anlamına gelir. En az bir eşitsizlik başarısız olursa, genel formda bir fonksiyon elde ederiz.

y (- x) = y (x) eşitliğinin sağlanması fonksiyonun çift olduğunu gösterir. İnşa ederken, O y'ye göre simetri olacağını hesaba katmak gerekir.

Eşitsizliği çözmek için sırasıyla f "(x) ≥ 0 ve f" (x) ≤ 0 koşullarıyla artış ve azalma aralıkları kullanılır.

tanım 1

Sabit noktalar türevi sıfıra çeviren noktalardır.

Kritik noktalar fonksiyonun türevinin sıfıra eşit olduğu veya mevcut olmadığı bölgeden iç noktalardır.

Bir karar verirken aşağıdaki noktalar dikkate alınmalıdır:

f "(x) > 0 şeklindeki eşitsizliğin mevcut artış ve azalış aralıkları için kritik noktalar çözüme dahil edilmez;
fonksiyonun sonlu bir türev olmadan tanımlandığı noktalar, artış ve azalış aralıklarına dahil edilmelidir (örneğin, x \u003d 0 noktasının fonksiyonu tanımladığı yerde, y \u003d x 3, türev sonsuz değerine sahiptir bu noktada, y " \u003d 1 3 x 2 3 , y " (0) = 1 0 = ∞ , x = 0 artış aralığına dahil edilir);
Anlaşmazlıklardan kaçınmak için Milli Eğitim Bakanlığı tarafından önerilen matematiksel literatürün kullanılması tavsiye edilir.

Kritik noktaların fonksiyonun tanım kümesini sağlaması durumunda artan ve azalan aralıklara dahil edilmesi.

tanım 2

İçin fonksiyonun artış ve azalma aralıklarını belirlemek için bulmak gerekir.:

türev;
kritik noktalar;
tanım alanını kritik noktaların yardımıyla aralıklara bölmek;
+'nın bir artış ve -'nin bir azalma olduğu aralıkların her birinde türevin işaretini belirleyin.

Örnek 3

f "(x) = x 2" (4 x 2 - 1) - x 2 4 x 2 - 1 "(4 x 2 - 1) 2 = - 2 x (4 x 2 - 1) alanındaki türevi bulun 2.

Karar

Çözmek için ihtiyacınız olan:

durağan noktaları bulun, bu örnekte x = 0 ;
paydanın sıfırlarını bulun, örnek x = ± 1 2'de sıfır değerini alır.

Her aralıktaki türevi belirlemek için sayısal eksendeki noktaları ortaya koyuyoruz. Bunun için aralıktan herhangi bir noktayı alıp bir hesaplama yapmanız yeterlidir. Sonuç pozitifse, grafiğin üzerine + çizeriz, bu fonksiyonda bir artış anlamına gelir ve - onun azalması anlamına gelir.

Örneğin, f "(- 1) \u003d - 2 (- 1) 4 - 1 2 - 1 2 \u003d 2 9\u003e 0, bu, soldaki ilk aralığın + işaretine sahip olduğu anlamına gelir. Sayıyı düşünün astar.

Cevap:

- ∞ aralığında fonksiyonda bir artış var; - 1 2 ve (- 1 2; 0];
[ 0 ; 1 2) ve 1 2; +∞ .

Diyagramda + ve - kullanılarak fonksiyonun pozitifliği ve negatifliği gösterilmiş olup, oklar azalan ve artanları göstermektedir.

Bir fonksiyonun uç noktaları, fonksiyonun tanımlandığı ve türevin işaret değiştirdiği noktalardır.

Örnek 4

x \u003d 0 olduğu bir örnek düşünürsek, içindeki işlevin değeri f (0) \u003d 0 2 4 0 2 - 1 \u003d 0'dır. Türevin işareti + ile - arasında değiştiğinde ve x \u003d 0 noktasından geçtiğinde, koordinatları (0; 0) olan nokta maksimum nokta olarak kabul edilir. İşaret -'den +'ya değiştirildiğinde, minimum puanı alırız.

Dışbükeylik ve içbükeylik, f "" (x) ≥ 0 ve f "" (x) ≤ 0 biçimindeki eşitsizliklerin çözülmesiyle belirlenir. Daha az sıklıkla, içbükeylik yerine şişkinlik ve şişkinlik yerine şişkinlik adını kullanırlar.

tanım 3

İçin içbükeylik ve dışbükeylik boşluklarının belirlenmesi gerekli:

ikinci türevi bulun;
ikinci türevin fonksiyonunun sıfırlarını bulun;
tanım alanını aralıklarla görünen noktalarla kırmak;
boşluğun işaretini belirleyin.

Örnek 5

Tanım alanından ikinci türevi bulun.

Karar

f "" (x) = - 2 x (4 x 2 - 1) 2 " = = (- 2 x) " (4 x 2 - 1) 2 - - 2 x 4 x 2 - 1 2" (4 x 2 - 1) 4 = 24 x 2 + 2 (4 x 2 - 1) 3

Pay ve paydanın sıfırlarını buluyoruz, burada örneğimizi kullanarak paydanın sıfırları x = ± 1 2

Şimdi sayı doğrusuna noktalar koymanız ve her aralıktan ikinci türevin işaretini belirlemeniz gerekiyor. anladık

Cevap:

fonksiyon - 1 2 aralığından dışbükeydir; 12 ;
fonksiyon boşluklardan içbükeydir - ∞ ; - 1 2 ve 1 2 ; +∞ .

tanım 4

dönüm noktası x 0 biçiminde bir noktadır; f(x0) . Fonksiyonun grafiğine teğet olduğunda, x 0'dan geçtiğinde, fonksiyon işaretini tersine değiştirir.

Başka bir deyişle, bu, ikinci türevin geçtiği ve işaret değiştirdiği ve noktalarda kendilerinin sıfıra eşit olduğu veya bulunmadığı bir noktadır. Tüm noktalar, fonksiyonun etki alanı olarak kabul edilir.

Örnekte ikinci türev x = ± 1 2 noktalarından geçerken işaret değiştirdiği için büküm noktası olmadığı görülmüştür. Bunlar da tanım alanına dahil değildir.

Yatay ve eğik asimptotları bulma

Sonsuzda bir fonksiyon tanımlarken, yatay ve eğik asimptotlar aranmalıdır.

tanım 5

eğik asimptotlar y = k x + b denklemi ile verilen çizgiler kullanılarak çizilir, burada k = lim x → ∞ f (x) x ve b = lim x → ∞ f (x) - k x .

k = 0 ve b sonsuza eşit değil için, eğik asimptotun yatay.

Başka bir deyişle asimptotlar, fonksiyonun grafiğinin sonsuzda yaklaştığı doğrulardır. Bu, fonksiyonun grafiğinin hızlı bir şekilde oluşturulmasına katkıda bulunur.

Asimptot yoksa, ancak fonksiyon her iki sonsuzda da tanımlanmışsa, fonksiyonun grafiğinin nasıl davranacağını anlamak için fonksiyonun bu sonsuzluklardaki limitini hesaplamak gerekir.

Örnek 6

Örnek olarak şunu düşünün

k = lim x → ∞ f (x) x = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 x = 0 b = lim x → ∞ (f (x) - k x) = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 = 1 4 ⇒ y = 1 4

yatay asimptottur. İşlevi araştırdıktan sonra, oluşturmaya başlayabilirsiniz.

Ara noktalarda bir fonksiyonun değerini hesaplama

Çizimi en doğru hale getirmek için, ara noktalarda fonksiyonun birkaç değerini bulmanız önerilir.

Örnek 7

Ele aldığımız örnekten, fonksiyonun değerlerini x \u003d - 2, x \u003d - 1, x \u003d - 3 4, x \u003d - 1 4 noktalarında bulmak gerekir. İşlev eşit olduğundan, değerlerin bu noktalardaki değerlerle çakıştığını, yani x \u003d 2, x \u003d 1, x \u003d 3 4, x \u003d 1 4 elde ederiz.

Yazalım ve çözelim:

F (- 2) = f (2) = 2 2 4 2 2 - 1 = 4 15 ≈ 0, 27 f (- 1) - f (1) = 1 2 4 1 2 - 1 = 1 3 ≈ 0 , 33 f - 3 4 = f 3 4 = 3 4 2 4 3 4 2 - 1 = 9 20 = 0 , 45 f - 1 4 = f 1 4 = 1 4 2 4 1 4 2 - 1 = - 1 12 ≈ - 0.08

Fonksiyonun maksimum ve minimumlarını, bükülme noktalarını, ara noktaları belirlemek için asimptotlar oluşturmak gerekir. Uygun atama için, artış, azalma, dışbükeylik, içbükeylik aralıkları sabittir. Aşağıdaki şekli düşünün.

Okları takip ederek asimptotlara yaklaşmanızı sağlayacak işaretli noktalardan grafik çizgileri çizmek gerekir.

Bu, işlevin tam çalışmasını tamamlar. Geometrik dönüşümlerin kullanıldığı bazı temel fonksiyonların inşa edildiği durumlar vardır.

Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.

Reshebnik Kuznetsov.
III Grafikler

Görev 7. Fonksiyonun tam bir incelemesini yapın ve grafiğini oluşturun.

Seçeneklerinizi indirmeye başlamadan önce, 3. seçenek için aşağıdaki örneği izleyerek sorunu çözmeyi deneyin. Seçeneklerden bazıları .rar biçiminde arşivlenmiştir.

7.3 İşlevin tam bir incelemesini yapın ve onu çizin