Katı geometri dersi için okul müfredatında, üç boyutlu figürlerin çalışması genellikle basit bir geometrik gövdeyle başlar - bir prizma çokyüzlü. Tabanlarının rolü, paralel düzlemlerde uzanan 2 eşit çokgen tarafından gerçekleştirilir. Özel bir durum, düzenli bir dörtgen prizmadır. Tabanları, paralelkenar (veya prizma eğimli değilse dikdörtgenler) şeklinde kenarları dik olan 2 özdeş düzenli dörtgendir.

prizma neye benziyor

Düzenli bir dörtgen prizma, tabanlarında 2 kare bulunan bir altıgendir ve yan yüzler dikdörtgenlerle temsil edilir. Bu geometrik şekil için başka bir isim düz paralelyüzdür.

Dörtgen bir prizmayı gösteren şekil aşağıda gösterilmiştir.

Resimde de görebilirsiniz geometrik bir cismi oluşturan en önemli unsurlar. Bunlara genellikle şu şekilde atıfta bulunulur:

Bazen geometrideki problemlerde bir bölüm kavramını bulabilirsiniz. Tanım şu şekilde olacaktır: kesit, hacimsel bir cismin kesme düzlemine ait olan tüm noktalarıdır. Kesit diktir (şeklin kenarlarını 90 derecelik bir açıyla keser). Dikdörtgen prizma için, 2 kenardan ve tabanın köşegenlerinden geçen bir diyagonal bölüm de dikkate alınır (oluşturulabilecek maksimum bölüm sayısı 2'dir).

Kesit, kesme düzlemi tabanlara veya yan yüzlere paralel olmayacak şekilde çizilirse, sonuç kesik bir prizma olur.

İndirgenmiş prizmatik elemanları bulmak için çeşitli oranlar ve formüller kullanılır. Bazıları planimetri sürecinden bilinmektedir (örneğin, bir prizmanın tabanının alanını bulmak için, bir karenin alanı için formülü hatırlamak yeterlidir).

Yüzey alanı ve hacim

Formülü kullanarak bir prizmanın hacmini belirlemek için, taban ve yükseklik alanını bilmeniz gerekir:

V = Yaylı h

Düzgün dört yüzlü bir prizmanın tabanı, kenarları olan bir kare olduğundan a, Formülü daha ayrıntılı bir biçimde yazabilirsiniz:

V = a² h

Bir küpten bahsediyorsak - eşit uzunluk, genişlik ve yüksekliğe sahip düzenli bir prizma, hacim aşağıdaki gibi hesaplanır:

Bir prizmanın yan yüzey alanını nasıl bulacağınızı anlamak için, onun süpürmesini hayal etmeniz gerekir.

Yan yüzeyin 4 eşit dikdörtgenden oluştuğu çizimden görülebilir. Alanı, tabanın çevresi ile şeklin yüksekliğinin çarpımı olarak hesaplanır:

Yan = Konum h

Bir karenin çevresi olduğundan P = 4a, formül şu şekli alır:

Yan = 4a sa

Küp için:

Kenar = 4a²

Bir prizmanın toplam yüzey alanını hesaplamak için yan alana 2 taban alanı ekleyin:

Sfull = Yan + 2Sbase

Dörtgen bir düzenli prizmaya uygulandığında, formül şu şekildedir:

Dolu = 4a h + 2a²

Bir küpün yüzey alanı için:

Dolu = 6a²

Hacmi veya yüzey alanını bilerek, geometrik bir gövdenin tek tek öğelerini hesaplayabilirsiniz.

Prizma elemanlarını bulma

Çoğu zaman, hacmin verildiği veya yan yüzey alanının değerinin bilindiği, tabanın kenarının uzunluğunun veya yüksekliğinin belirlenmesinin gerekli olduğu sorunlar vardır. Bu gibi durumlarda, formüller türetilebilir:

• taban yan uzunluğu: a = Yan / 4h = √(V / h);
• yükseklik veya yan kaburga uzunluğu: h = Yan / 4a = V / a²;
• taban alanı: Sprim = V / s;
• yan yüz alanı: Yan gr = Yan / 4.

Bir köşegen kesitin ne kadar alana sahip olduğunu belirlemek için köşegenin uzunluğunu ve şeklin yüksekliğini bilmeniz gerekir. bir kare için d = a√2.Öyleyse:

Sdiag = ah√2

Prizmanın köşegenini hesaplamak için aşağıdaki formül kullanılır:

ödül = √(2a² + h²)

Yukarıdaki oranların nasıl uygulanacağını anlamak için birkaç basit görevi uygulayabilir ve çözebilirsiniz.

Çözümlü problem örnekleri

İşte matematikte devlet final sınavlarında görünen görevlerden bazıları.

1. Egzersiz.

Kum, düzenli bir dörtgen prizma şeklindeki bir kutuya dökülür. Seviyesinin yüksekliği 10 cm'dir.Aynı şekle sahip, ancak taban uzunluğu 2 kat daha uzun olan bir kaba taşırsanız kum seviyesi ne olur?

Aşağıdaki gibi tartışılmalıdır. Birinci ve ikinci kaplardaki kum miktarı değişmedi, yani içindeki hacmi aynı. Tabanın uzunluğunu şu şekilde tanımlayabilirsiniz: a. Bu durumda, ilk kutu için maddenin hacmi şöyle olacaktır:

V₁ = ha² = 10a²

İkinci kutu için tabanın uzunluğu 2a, ancak kum seviyesinin yüksekliği bilinmiyor:

V₂ = h(2a)² = 4ha²

kadarıyla V₁ = V₂, ifadeler eşitlenebilir:

10a² = 4ha²

Denklemin her iki tarafını da a² azalttıktan sonra şunu elde ederiz:

Sonuç olarak, yeni kum seviyesi h = 10 / 4 = 2.5 santimetre.

Görev 2.

ABCDA₁B₁C₁D₁ düzgün bir prizmadır. BD = AB₁ = 6√2 olduğu bilinmektedir. Vücudun toplam yüzey alanını bulun.

Hangi öğelerin bilindiğini anlamayı kolaylaştırmak için bir şekil çizebilirsiniz.

Düzgün bir prizmadan bahsettiğimize göre, tabanın köşegeni 6√2 olan bir kare olduğu sonucuna varabiliriz. Yan yüzün köşegeni aynı değere sahiptir, bu nedenle yan yüz de tabana eşit bir kare şeklindedir. Her üç boyutun da - uzunluk, genişlik ve yükseklik - eşit olduğu ortaya çıktı. ABCDA₁B₁C₁D₁'nin bir küp olduğu sonucuna varabiliriz.

Herhangi bir kenarın uzunluğu bilinen köşegen aracılığıyla belirlenir:

a = d / √2 = 6√2 / √2 = 6

Toplam yüzey alanı, küp formülüyle bulunur:

Tam = 6a² = 6 6² = 216

Görev 3.

Oda yenileniyor. Zemininin 9 m² alana sahip kare şeklinde olduğu bilinmektedir. Odanın yüksekliği 2,5 m'dir 1 m² 50 rubleye mal olursa bir odayı duvar kağıdı yapmanın en düşük maliyeti nedir?

Taban ve tavan kareler yani düzgün dörtgenler olduğundan ve duvarları yatay yüzeylere dik olduğundan, bunun düzgün bir prizma olduğu sonucuna varabiliriz. Yan yüzeyinin alanını belirlemek gerekir.

Odanın uzunluğu a = √9 = 3 m.

Meydan duvar kağıdı ile kaplanacak Yan = 4 3 2.5 = 30 m².

Bu oda için en düşük duvar kağıdı maliyeti 50 30 = 1500 ruble.

Böylece, bir dikdörtgen prizma için problemleri çözmek için, bir kare ve bir dikdörtgenin alanını ve çevresini hesaplayabilmek, ayrıca hacim ve yüzey alanını bulmak için formülleri bilmek yeterlidir.

Bir küpün alanı nasıl bulunur

Bu video eğitiminin yardımıyla herkes bağımsız olarak “Çokyüzlü kavramı” konusunu öğrenebilecek. Prizma. Prizma yüzey alanı. Ders sırasında öğretmen çokyüzlü ve prizmalar gibi geometrik şekillerin ne olduğundan bahsedecek, uygun tanımları verecek ve özlerini belirli örneklerle açıklayacaktır.

Bu dersin yardımıyla herkes bağımsız olarak “Çokyüzlü kavramı” konusunu öğrenebilecek. Prizma. Prizma yüzey alanı.

Tanım. Çokgenlerden oluşan ve belirli bir geometrik gövdeyi sınırlayan bir yüzeye çokyüzlü yüzey veya çokyüzlü denir.

Aşağıdaki çokyüzlü örneklerini göz önünde bulundurun:

1. Dörtyüzlü ABCD dört üçgenden oluşan bir yüzeydir: ABC, adb, bdc ve ADC(Şek. 1).

Pirinç. 1

2. Paralel borulu ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 altı paralelkenardan oluşan bir yüzeydir (Şekil 2).

Pirinç. 2

Bir çokyüzlülüğün ana unsurları yüzler, kenarlar, köşelerdir.

Yüzler, çokyüzlüleri oluşturan çokgenlerdir.

Kenarlar yüzlerin kenarlarıdır.

Köşeler kenarların uçlarıdır.

Bir tetrahedron düşünün ABCD(Şek. 1). Ana unsurlarını belirtelim.

yönler: üçgenler ABC, ADB, BDC, ADC.

pirzola: AB, AC, BC, DC, AD, BD.

zirveler: A, B, C, D.

Bir kutu düşünün ABCDA 1 B 1 C 1 D 1(İncir. 2).

yönler: paralelkenarlar AA 1 D 1 D, D 1 DCC 1, BB 1 C 1 C, AA 1 B 1 B, ABCD, A 1 B 1 C 1 D 1 .

pirzola: AA 1 , BB 1 , SS 1 , DD 1 , AD, A 1 D 1 , B 1 C 1 , BC, AB, A 1 B 1 , D 1 C 1 , DC.

zirveler: A, B, C, D, A 1 ,B 1 ,C 1 ,D 1 .

Çokyüzlülerin önemli bir özel durumu prizmadır.

ABSA 1'DE 1 İLE 1(Şekil 3).

Pirinç. 3

eşit üçgenler ABC ve A 1 B 1 C 1α ve β paralel düzlemlerinde bulunur, böylece kenarlar AA 1 , BB 1 , SS 1 paraleldir.

yani ABSA 1'DE 1 İLE 1- üçgen prizma, eğer:

1) Üçgenler ABC ve A 1 B 1 C 1 eşittir.

2) üçgenler ABC ve A 1 B 1 C 1 paralel düzlemlerde bulunan α ve β: ABC║A 1 B 1 C (α ║ β).

3) kaburga AA 1 , BB 1 , SS 1 paraleldir.

ABC ve A 1 B 1 C 1- prizmanın tabanı.

AA 1 , BB 1 , SS 1- prizmanın yan kaburgaları.

Eğer keyfi bir noktadan H1 bir düzlem (örneğin, β) dikeyi düşürür HH 1α düzlemine, o zaman bu dikeye prizmanın yüksekliği denir.

Tanım. Yan kenarlar tabanlara dik ise, prizmaya düz, aksi halde eğik denir.

Üçgen bir prizma düşünün ABSA 1'DE 1 İLE 1(Şek. 4). Bu prizma düzdür. Yani yan kenarları tabanlara diktir.

Örneğin, kaburga AA1 düzleme dik ABC. Köşe AA1 bu prizmanın yüksekliğidir.

Pirinç. 4

yan yüz dikkat edin AA 1V 1V tabanlara dik ABC ve A 1 B 1 C 1 dikeyden geçtiği için AA1 temellere.

Şimdi eğimli bir prizma düşünün ABSA 1'DE 1 İLE 1(Şek. 5). Burada yan kenar, taban düzlemine dik değildir. noktadan düşersek 1 dik 1 Hüzerinde ABC, o zaman bu dik prizmanın yüksekliği olacaktır. Segmenti not edin BİR segmentin projeksiyonudur AA1 uçağa ABC.

Sonra çizgi arasındaki açı AA1 ve uçak ABCçizgi arasındaki açıdır AA1 ve onun BİR bir düzleme izdüşüm, yani açı 1 AH.

Pirinç. 5

Dörtgen bir prizma düşünün ABCDA 1 B 1 C 1 D 1(Şek. 6). Bakalım nasıl sonuçlanacak.

1) dörtgen ABCD bir dörtgene eşit A 1 B 1 C 1 D 1: ABCD = A 1 B 1 C 1 D 1.

2) Dörtgenler ABCD ve A 1 B 1 C 1 D 1 ABC║A 1 B 1 C (α ║ β).

3) Dörtgenler ABCD ve A 1 B 1 C 1 D 1 yan nervürler paralel olacak şekilde düzenlenmiştir, yani: AA 1 ║BB 1 ║SS 1 ║DD 1.

Tanım. Bir prizmanın köşegeni, aynı yüze ait olmayan bir prizmanın iki köşesini birleştiren bir segmenttir.

Örneğin, klima 1- dörtgen prizmanın köşegeni ABCDA 1 B 1 C 1 D 1.

Tanım. yan kenar ise AA1 taban düzlemine dik, o zaman böyle bir prizmaya düz çizgi denir.

Pirinç. 6

Dörtgen prizmanın özel bir durumu, bilinen paralel yüzlüdür. paralel borulu ABCDA 1 B 1 C 1 D 1Şek. 7.

Nasıl çalıştığını görelim:

1) Tabanlarda eşit rakamlar bulunur. Bu durumda - eşit paralelkenarlar ABCD ve A 1 B 1 C 1 D 1: ABCD = A 1 B 1 C 1 D 1.

2) paralelkenarlar ABCD ve A 1 B 1 C 1 D 1α ve β paralel düzlemlerinde uzanır: ABC║A 1 B 1 C 1 (α ║ β).

3) Paralelkenarlar ABCD ve A 1 B 1 C 1 D 1 yan nervürler birbirine paralel olacak şekilde düzenlenmiştir: AA 1 ║BB 1 ║SS 1 ║DD 1.

Pirinç. 7

bir noktadan 1 dikeyi bırak BİR uçağa ABC. Çizgi segmenti 1 H yüksekliktir.

Altıgen bir prizmanın nasıl düzenlendiğini düşünün (Şek. 8).

1) Tabanda eşit altıgenler bulunur ABCDEF ve A 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1: ABCDEF= A 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1.

2) Altıgen düzlemleri ABCDEF ve A 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 paralel, yani tabanlar paralel düzlemlerde bulunur: ABC║A 1 B 1 C (α ║ β).

3) Altıgenler ABCDEF ve A 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 tüm yan kenarlar birbirine paralel olacak şekilde düzenlenmiştir: AA 1 ║BB 1 …║FF 1.

Pirinç. sekiz

Tanım. Herhangi bir yan kenar taban düzlemine dik ise, böyle bir altıgen prizmaya düz çizgi denir.

Tanım. Tabanları düzgün çokgenler ise bir dik prizmaya düzenli denir.

Düzenli bir üçgen prizma düşünün ABSA 1'DE 1 İLE 1.

Pirinç. dokuz

üçgen prizma ABSA 1'DE 1 İLE 1- doğru, bu, tabanlarda düzgün üçgenlerin olduğu, yani bu üçgenlerin tüm kenarlarının eşit olduğu anlamına gelir. Ayrıca bu prizma düzdür. Bu, yan kenarın taban düzlemine dik olduğu anlamına gelir. Bu da tüm yan yüzlerin eşit dikdörtgenler olduğu anlamına gelir.

Yani üçgen prizma ise ABSA 1'DE 1 İLE 1 doğruysa:

1) Yan kenar, taban düzlemine diktir, yani yüksekliktir: AA1 ⊥ ABC.

2) Taban düzgün bir üçgendir: ∆ ABC- Sağ.

Tanım. Bir prizmanın toplam yüzey alanı, tüm yüzlerinin alanlarının toplamıdır. belirtilen S dolu.

Tanım. Yan yüzeyin alanı, tüm yan yüzlerin alanlarının toplamıdır. belirtilen S tarafı.

Prizmanın iki tabanı vardır. O zaman prizmanın toplam yüzey alanı:

S dolu \u003d S tarafı + 2S ana.

Düz bir prizmanın yan yüzeyinin alanı, tabanın çevresinin ürününe ve prizmanın yüksekliğine eşittir.

İspat üçgen prizma örneği üzerinde yapılacaktır.

verilen: ABSA 1'DE 1 İLE 1- doğrudan prizma, yani AA1 ⊥ ABC.

AA 1 = h.

İspat et: S tarafı \u003d R ana ∙ h.

Pirinç. on

Kanıt.

üçgen prizma ABSA 1'DE 1 İLE 1- düz yani AA 1 B 1 B, AA 1 C 1 C, BB 1 C 1 C - dikdörtgenler.

Dikdörtgenlerin alanlarının toplamı olarak yan yüzeyin alanını bulun AA 1 B 1 B, AA 1 C 1 C, BB 1 C 1 C:

S tarafı \u003d AB ∙ h + BC ∙ h + CA ∙ h \u003d (AB + BC + CA) ∙ h \u003d P ana ∙ h.

alırız S tarafı \u003d R ana ∙ h, Q.E.D.

Çokyüzlüler, prizma, çeşitleri ile tanıştık. Teoremi bir prizmanın yan yüzeyinde kanıtladık. Bir sonraki derste, bir prizma üzerindeki problemleri çözeceğiz.

1. Geometri. 10-11. Sınıf: eğitim kurumlarının öğrencileri için bir ders kitabı (temel ve profil seviyeleri) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5. baskı, düzeltilmiş ve eklenmiş - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 s. : hasta.
2. Geometri. 10-11. Sınıf: Genel eğitim kurumları için ders kitabı / Sharygin I. F. - M.: Bustard, 1999. - 208 s.: hasta.
3. Geometri. 10. Sınıf: Derinlemesine ve özel matematik çalışmasına sahip genel eğitim kurumları için ders kitabı / E. V. Potoskuev, L.I. Zvalich. - 6. baskı, klişe. - M. : Bustard, 008. - 233 s. :hasta.

1. sınıf().
2. Shkolo.ru ().
3. Eski okul ().
4. wikihow().

1. Bir prizmanın sahip olabileceği minimum yüz sayısı nedir? Böyle bir prizmanın kaç köşesi, kenarı vardır?
2. Tam olarak 100 kenarı olan bir prizma var mı?
3. Yan nervür, taban düzlemine 60°'lik bir açıyla eğimlidir. Yan kenarı 6 cm ise prizmanın yüksekliğini bulunuz.
4. Dik üçgen prizmada tüm kenarlar eşittir. Yan yüzey alanı 27 cm 2 dir. Prizmanın toplam yüzey alanını bulun.

Farklı prizmalar birbirinden farklıdır. Aynı zamanda, çok ortak noktaları var. Bir prizmanın tabanının alanını bulmak için neye benzediğini bulmanız gerekir.

genel teori

Bir prizma, kenarları paralelkenar şeklinde olan herhangi bir çokyüzlüdür. Ayrıca, herhangi bir polihedron tabanında olabilir - bir üçgenden bir n-gon'a. Ayrıca prizmanın tabanları her zaman birbirine eşittir. Yan yüzler için geçerli olmayan şey - boyut olarak önemli ölçüde değişebilir.

Problemleri çözerken, karşılaşılan sadece prizmanın tabanının alanı değildir. Yan yüzeyi, yani taban olmayan tüm yüzleri bilmek gerekebilir. Tam yüzey, prizmayı oluşturan tüm yüzlerin birleşimi olacaktır.

Bazen görevlerde yükseklikler görünür. Bazlara diktir. Bir polihedronun köşegeni, aynı yüze ait olmayan herhangi iki köşeyi çiftler halinde birleştiren bir segmenttir.

Düz veya eğimli bir prizmanın taban alanının, bunlar ile yan yüzler arasındaki açıya bağlı olmadığına dikkat edilmelidir. Alt ve üst yüzleri aynı ise alanları eşit olacaktır.

üçgen prizma

Tabanda üç köşeli bir figür, yani bir üçgen var. Farklı olduğu bilinmektedir. O zaman, alanının bacakların ürününün yarısı tarafından belirlendiğini hatırlamak yeterlidir.

Matematiksel gösterim şuna benzer: S = ½ av.

Tabanın alanını genel bir biçimde bulmak için formüller yararlıdır: Heron ve kenarın yarısının kendisine çizilen yüksekliğe alındığı.

İlk formül şu şekilde yazılmalıdır: S \u003d √ (p (p-a) (p-in) (p-c)). Bu girdi bir yarı çevre (p) içerir, yani üç kenarın toplamı ikiye bölünür.

İkinci: S = ½ n a * a.

Düzenli olan üçgen prizmanın tabanının alanını bilmek istiyorsanız, üçgen eşkenar olur. Kendi formülü vardır: S = ¼ a 2 * √3.

dörtgen prizma

Tabanı bilinen dörtgenlerden herhangi biridir. Bir dikdörtgen veya kare, paralel yüzlü veya eşkenar dörtgen olabilir. Her durumda, prizmanın tabanının alanını hesaplamak için kendi formülünüze ihtiyacınız olacak.

Taban bir dikdörtgen ise, alanı şu şekilde belirlenir: S = av, burada a, b dikdörtgenin kenarlarıdır.

Dörtgen prizma söz konusu olduğunda, düzgün bir prizmanın taban alanı, kare formülü kullanılarak hesaplanır. Çünkü tabanda yatan odur. S \u003d 2.

Tabanın paralel uçlu olması durumunda, aşağıdaki eşitlik gerekli olacaktır: S \u003d a * n a. Paralel borunun bir tarafı ve açılardan birinin verildiği olur. Ardından, yüksekliği hesaplamak için ek bir formül kullanmanız gerekecektir: na \u003d b * sin A. Ayrıca, A açısı "b" tarafına bitişiktir ve yükseklik na bu açının karşısındadır.

Prizmanın tabanında bir eşkenar dörtgen yatıyorsa, alanını bir paralelkenarla (özel bir durum olduğu için) belirlemek için aynı formüle ihtiyaç duyulacaktır. Ama bunu da kullanabilirsiniz: S = ½ d 1 d 2. Burada d 1 ve d 2 eşkenar dörtgenin iki köşegenidir.

Düzenli beşgen prizma

Bu durum, çokgeni, alanları daha kolay bulunan üçgenlere bölmeyi içerir. Her ne kadar rakamlar farklı sayıda köşe ile olabilir.

Prizmanın tabanı düzgün beşgen olduğundan, beş eşkenar üçgene bölünebilir. O zaman prizmanın tabanının alanı, böyle bir üçgenin alanına eşittir (formül yukarıda görülebilir), beş ile çarpılır.

Düzenli altıgen prizma

Beşgen prizma için açıklanan ilkeye göre, taban altıgenini 6 eşkenar üçgene bölmek mümkündür. Böyle bir prizmanın taban alanı formülü bir öncekine benzer. Sadece içinde altı ile çarpılmalıdır.

Formül şöyle görünecektir: S = 3/2 ve 2 * √3.

Görevler

1. Düzenli bir düz çizgi verilmiştir.Köşegeni 22 cm, polihedronun yüksekliği 14 cm'dir.Prizmanın tabanının alanını ve tüm yüzeyi hesaplayın.

Karar. Prizmanın tabanı karedir, ancak kenarı bilinmemektedir. Değerini, prizmanın köşegeni (d) ve yüksekliği (n) ile ilgili olan karenin (x) köşegeninden bulabilirsiniz. x 2 \u003d d 2 - n 2. Öte yandan, bu "x" parçası, bacakları karenin kenarına eşit olan bir üçgende hipotenüstür. Yani, x 2 \u003d a 2 + a 2. Böylece, 2 \u003d (d 2 - n 2) / 2 olduğu ortaya çıktı.

22 sayısını d yerine değiştirin ve “n” değerini - 14 değeriyle değiştirin, karenin kenarının 12 cm olduğu ortaya çıktı, şimdi taban alanını bulmak kolay: 12 * 12 \u003d 144 cm 2 .

Tüm yüzeyin alanını bulmak için, taban alanının değerini iki katına çıkarmanız ve kenarı dört katına çıkarmanız gerekir. İkincisi, bir dikdörtgen formülü ile bulmak kolaydır: çokyüzlülüğün yüksekliğini ve tabanın kenarını çarpın. Yani 14 ve 12, bu sayı 168 cm2'ye eşit olacaktır. Prizmanın toplam yüzey alanı 960 cm 2 olarak bulunmuştur.

Cevap. Prizmanın taban alanı 144 cm2'dir. Tüm yüzey - 960 cm 2 .

2. Dana Tabanda 6 cm kenarlı bir üçgen bulunur Bu durumda, yan yüzün köşegeni 10 cm'dir Alanları hesaplayın: taban ve yan yüzey.

Karar. Prizma düzgün olduğundan tabanı eşkenar üçgendir. Bu nedenle, alanı 6 kare çarpı ¼ ve 3'ün kareköküne eşit olur. Basit bir hesaplama şu sonuca yol açar: 9√3 cm 2. Bu, prizmanın bir tabanının alanıdır.

Tüm yan yüzler aynı ve kenarları 6 ve 10 cm olan dikdörtgenlerdir Alanlarını hesaplamak için bu sayıları çarpmak yeterlidir. Sonra bunları üçle çarpın, çünkü prizmanın tam olarak çok fazla yan yüzü vardır. Daha sonra yan yüzey alanı 180 cm 2 sarılır.

Cevap. Alanlar: taban - 9√3 cm 2, prizmanın yan yüzeyi - 180 cm 2.

Tanım.

Bu, tabanları iki eşit kare ve yan yüzleri eşit dikdörtgen olan bir altıgendir.

yan kaburga iki bitişik yan yüzün ortak tarafı

Prizma Yüksekliği prizmanın tabanlarına dik bir doğru parçası

prizma köşegen- aynı yüze ait olmayan tabanların iki köşesini birleştiren bir segment

çapraz düzlem- prizmanın köşegeninden ve yan kenarlarından geçen bir düzlem

diyagonal bölüm- prizmanın ve köşegen düzlemin kesişim sınırları. Düzenli bir dörtgen prizmanın köşegen bölümü bir dikdörtgendir

Dikey bölüm (ortogonal bölüm)- bu, bir prizmanın ve yan kenarlarına dik olarak çizilen bir düzlemin kesişimidir.

Düzenli bir dörtgen prizmanın elemanları

Şekil, karşılık gelen harflerle işaretlenmiş iki düzenli dörtgen prizmayı göstermektedir:

• ABCD ve A 1 B 1 C 1 D 1 tabanları birbirine eşit ve paraleldir
• Her biri bir dikdörtgen olan AA 1 D 1 D, AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C ve CC 1 D 1 D yan yüzleri
• Yan yüzey - prizmanın tüm yan yüzlerinin alanlarının toplamı
• Toplam yüzey - tüm tabanların ve yan yüzlerin alanlarının toplamı (yan yüzey ve tabanların alanlarının toplamı)
• Yan kirişler AA 1 , BB 1 , CC 1 ve DD 1 .
• Köşegen B 1 D
• Taban köşegen BD
• Çapraz kesit BB 1 D 1 D
• Dik kesit A ​​2 B 2 C 2 D 2 .

Düzenli bir dörtgen prizmanın özellikleri

• Tabanlar iki eşit karedir
• Bazlar birbirine paralel
• Kenarlar dikdörtgendir.
• Yan yüzler birbirine eşittir
• Yan yüzler tabanlara diktir
• Yan kaburgalar birbirine paralel ve eşittir
• Tüm yan nervürlere dik ve tabanlara paralel dikey kesit
• Dikey Kesit Açıları - Sağ
• Düzenli bir dörtgen prizmanın köşegen bölümü bir dikdörtgendir
• Tabanlara paralel dik (ortogonal bölüm)

Düzenli bir dörtgen prizma için formüller

Sorunları çözmek için talimatlar

Konuyla ilgili sorunları çözerken " düzenli dörtgen prizma" ima ediyor ki:

doğru prizma- tabanında düzenli bir çokgen bulunan ve yan kenarları taban düzlemlerine dik olan bir prizma. Yani, tabanında düzenli bir dörtgen prizma bulunur. Meydan. (düzenli bir dörtgen prizmanın özelliklerine bakınız) Not. Bu, geometrideki görevlerle dersin bir parçasıdır (kesit katı geometri - prizma). İşte çözümünde zorluk yaratan görevler. Burada olmayan bir geometri problemini çözmeniz gerekiyorsa - forumda bunun hakkında yazın. Problem çözmede karekök çıkarma eylemini belirtmek için sembol kullanılır.√ .

Görev.

Düzgün dörtgen bir prizmada taban alanı 144 cm2 ve yüksekliği 14 cm'dir.Prizmanın köşegenini ve toplam yüzey alanını bulunuz.

Karar.
Düzenli bir dörtgen bir karedir.
Buna göre, tabanın kenarı eşit olacaktır.

√144 = 12 cm.
Düzgün bir dikdörtgen prizmanın tabanının köşegeni şuna eşit olacaktır:
√(12 2 + 12 2 ) = √288 = 12√2

Düzgün bir prizmanın köşegeni, tabanın köşegeni ve prizmanın yüksekliği ile bir dik üçgen oluşturur. Buna göre, Pisagor teoremine göre, belirli bir düzgün dörtgen prizmanın köşegeni şuna eşit olacaktır:
√((12√2) 2 + 14 2 ) = 22 cm

Cevap: 22 cm

Görev

Köşegeni 5 cm ve yan yüzün köşegeni 4 cm ise düzgün dörtgen prizmanın toplam yüzey alanını bulun.

Karar.
Düzgün bir dörtgen prizmanın tabanı bir kare olduğundan, tabanın kenarı (a ile gösterilir) Pisagor teoremi tarafından bulunur:

A 2 + 2 = 5 2
2a 2 = 25
a = √12.5

Yan yüzün yüksekliği (h ile gösterilir) şuna eşit olacaktır:

H 2 + 12,5 \u003d 4 2
h 2 + 12,5 = 16
h 2 \u003d 3.5
h = √3.5

Toplam yüzey alanı, yan yüzey alanının toplamına ve taban alanının iki katına eşit olacaktır.

S = 2a 2 + 4ah
S = 25 + 4√12.5 * √3.5
S = 25 + 4√43.75
S = 25 + 4√(175/4)
S = 25 + 4√(7*25/4)
S \u003d 25 + 10√7 ≈ 51.46 cm 2.

Cevap: 25 + 10√7 ≈ 51.46 cm 2.

Okul stereometri dersinde, üç uzaysal eksen boyunca sıfır olmayan boyutlara sahip en basit şekillerden biri dörtgen prizmadır. Makalede ne tür bir şekil olduğunu, hangi unsurlardan oluştuğunu ve ayrıca yüzey alanını ve hacmini nasıl hesaplayabileceğinizi düşünün.

Bir prizma kavramı

Geometride, bir prizma, iki özdeş taban ve bu tabanların kenarlarını birbirine bağlayan yan yüzeyler tarafından oluşturulan uzamsal bir şekildir. Her iki bazın da bir vektör tarafından paralel öteleme işlemi kullanılarak birbirine dönüştürüldüğüne dikkat edin. Prizmanın bu görevi, tüm kenarlarının her zaman paralelkenar olduğu gerçeğine yol açar.

Tabanın kenar sayısı üçten başlayarak isteğe bağlı olabilir. Bu sayı sonsuza gittiğinde, tabanı bir daire olduğu için prizma düzgün bir şekilde bir silindire dönüşür ve bağlanan yan paralelkenarlar silindirik bir yüzey oluşturur.

Herhangi bir çokyüzlü gibi, bir prizma, kenarlar (şekli sınırlayan düzlemler), kenarlar (herhangi iki kenarın kesiştiği bölümler) ve köşeler (bir prizma için ikisi yanaldır ve üçüncüsü üç kenarın buluşma noktaları) ile karakterize edilir. baz). Şeklin bu üç elemanının sayıları aşağıdaki ifadeyle birbirine bağlıdır:

Burada P, C ve B sırasıyla kenar, kenar ve köşe sayılarıdır. Bu ifade, Euler teoreminin matematiksel bir gösterimidir.

Yukarıda iki prizmayı gösteren bir resim var. Bunlardan birinin (A) tabanında düzgün bir altıgen bulunur ve yan taraflar tabanlara diktir. Şekil B başka bir prizmayı göstermektedir. Kenarları artık tabanlara dik değildir ve taban düzgün bir beşgendir.

dörtgen?

Yukarıdaki açıklamadan da anlaşılacağı gibi prizmanın tipi öncelikle tabanı oluşturan çokgenin tipine göre belirlenir (her iki taban da aynıdır, yani birinden bahsedebiliriz). Bu çokgen bir paralelkenarsa, dörtgen bir prizma elde ederiz. Yani bunun tüm kenarları paralelkenardır. Dörtgen prizmanın kendi adı vardır - paralel yüzlü.

Paralel yüzün kenar sayısı altıdır ve her bir kenarı buna benzer bir paralele sahiptir. Paralel borunun tabanları iki kenar olduğundan, kalan dördü yanaldır.

Paralel yüzün köşe sayısı sekizdir, prizmanın köşelerinin sadece taban çokgenlerinin köşelerinde oluştuğunu hatırlarsak bunu görmek kolaydır (4x2=8). Euler teoremini uygulayarak kenar sayısını elde ederiz:

P \u003d C + B - 2 \u003d 6 + 8 - 2 \u003d 12

12 kaburgadan sadece 4'ü yanlardan bağımsız olarak oluşturulmuştur. Kalan 8 tanesi şeklin taban düzlemlerinde yer alır.

Paralel yüz türleri

İlk sınıflandırma türü, tabanda bulunan paralelkenarın özelliklerinde yatmaktadır. Şöyle görünebilir:

• açıların 90 o'ya eşit olmadığı sıradan;
• dikdörtgen;
• kare düzgün bir dörtgendir.

İkinci sınıflandırma türü, kenarın tabandan geçtiği açıdır. Burada iki farklı durum mümkündür:

• bu açı düz değil, o zaman prizmaya eğik veya eğik denir;
• açı 90 o, o zaman böyle bir prizma dikdörtgen veya sadece düz.

Üçüncü sınıflandırma türü, prizmanın yüksekliği ile ilgilidir. Prizma dikdörtgen ve tabanı kare veya dikdörtgen ise, buna küboid denir. Tabanda bir kare varsa, prizma dikdörtgendir ve yüksekliği karenin kenar uzunluğuna eşitse, o zaman iyi bilinen küp şeklini elde ederiz.

Prizmanın yüzeyi ve alanı

Prizmanın iki tabanında (paralelkenarlar) ve kenarlarında (dört paralelkenar) bulunan tüm noktaların kümesi şeklin yüzeyini oluşturur. Bu yüzeyin alanı, taban alanı ve yan yüzey için bu değer hesaplanarak hesaplanabilir. Sonra toplamları istenen değeri verecektir. Matematiksel olarak, bu şöyle yazılır:

Burada S o ve S b sırasıyla taban ve yan yüzeyin alanıdır. S o'dan önceki 2 sayısı iki baz olduğu için ortaya çıkar.

Yazılı formülün sadece dörtgen prizmanın alanı için değil, herhangi bir prizma için geçerli olduğunu unutmayın.

Paralelkenar S p alanının aşağıdaki formülle hesaplandığını hatırlamakta fayda var:

Burada a ve h sembolleri sırasıyla kenarlarından birinin uzunluğunu ve bu tarafa çizilen yüksekliği gösterir.

Kare tabanlı dikdörtgen prizmanın alanı

Taban bir karedir. Kesinlik için, tarafını a harfi ile gösteririz. Düzenli bir dörtgen prizmanın alanını hesaplamak için yüksekliğini bilmelisiniz. Bu niceliğin tanımına göre, bir tabandan diğerine bırakılan dikmenin uzunluğuna, yani aralarındaki mesafeye eşittir. h harfi ile gösterelim. Tüm yan yüzler, söz konusu prizma tipinin tabanlarına dik olduğundan, düzgün bir dörtgen prizmanın yüksekliği, yan kenarının uzunluğuna eşit olacaktır.

Bir prizmanın yüzey alanı için genel formülde iki terim vardır. Bu durumda tabanın alanını hesaplamak kolaydır, şuna eşittir:

Yan yüzeyin alanını hesaplamak için aşağıdaki gibi tartışıyoruz: bu yüzey 4 özdeş dikdörtgenden oluşuyor. Ayrıca, her birinin kenarları a ve h'ye eşittir. Bu, S b alanının şuna eşit olacağı anlamına gelir:

4*a çarpımının kare tabanın çevresi olduğuna dikkat edin. Bu ifadeyi rastgele bir taban durumuna genellersek, dikdörtgen prizma için yan yüzey aşağıdaki gibi hesaplanabilir:

Burada P o tabanın çevresidir.

Düzenli bir dörtgen prizmanın alanını hesaplama sorununa dönersek, son formülü yazabiliriz:

S = 2*S o + S b = 2*a 2 + 4*a*h = 2*a*(a+2*h)

Eğik bir paralel borunun alanı

Bunu hesaplamak, dikdörtgen olandan biraz daha zordur. Bu durumda, dörtgen prizmanın tabanının alanı, paralelkenar ile aynı formül kullanılarak hesaplanır. Değişiklikler, yan yüzey alanını belirleme yöntemiyle ilgilidir.

Bunu yapmak için, yukarıdaki paragrafta verilen çevre boyunca aynı formülü kullanın. Sadece şimdi biraz farklı çarpanları olacak. Eğik bir prizma durumunda S b için genel formül:

Burada c şeklin yan kenarının uzunluğudur. P sr değeri dikdörtgen dilimin çevresidir. Bu ortam şu şekilde inşa edilmiştir: Tüm yan yüzleri, hepsine dik olacak şekilde bir düzlemle kesiştirmek gerekir. Ortaya çıkan dikdörtgen istenen dilim olacaktır.

Yukarıdaki şekil bir eğik kutu örneğini göstermektedir. Çapraz taralı bölümü yanlarla dik açı oluşturur. Kesitin çevresi P sr'dir. Dört yükseklikteki yanal paralelkenardan oluşur. Bu dörtgen prizma için yan yüzey alanı yukarıdaki formül kullanılarak hesaplanır.

Bir küboidin köşegen uzunluğu

Paralel borunun köşegeni, onları oluşturan ortak kenarları olmayan iki köşeyi birleştiren bir segmenttir. Herhangi bir dörtgen prizmada sadece dört köşegen vardır. Tabanında dikdörtgen olan bir küboid için tüm köşegenlerin uzunlukları birbirine eşittir.

Aşağıdaki şekil ilgili şekli göstermektedir. Kırmızı segment onun köşegenidir.

D = √(A 2 + B 2 + C 2)

Burada D köşegenin uzunluğudur. Kalan semboller, paralel borunun kenarlarının uzunluklarıdır.

Birçok kişi paralelyüzün köşegenini kenarlarının köşegenleriyle karıştırır. Aşağıda, şeklin kenarlarının köşegenlerinin renkli parçalarla gösterildiği bir şekil verilmiştir.

Her birinin uzunluğu da Pisagor teoremi tarafından belirlenir ve karşılık gelen kenar uzunluklarının karelerinin toplamının kareköküne eşittir.

prizma hacmi

Düzenli dörtgen prizmanın veya diğer prizma türlerinin alanına ek olarak, bazı geometrik problemleri çözmek için hacimlerinin de bilinmesi gerekir. Kesinlikle herhangi bir prizma için bu değer aşağıdaki formülle hesaplanır:

Prizma dikdörtgen ise, tabanın alanını hesaplamak ve şeklin hacmini elde etmek için kenar kenarının uzunluğu ile çarpmak yeterlidir.

Prizma düzgün bir dörtgen ise hacmi şuna eşit olacaktır:

h kenar kenarının uzunluğu a tabanının kenarına eşitse, bu formülün bir küpün hacmi için bir ifadeye dönüştürüldüğünü görmek kolaydır.

Küboid ile ilgili sorun

İncelenen malzemeyi birleştirmek için aşağıdaki problemi çözeceğiz: kenarları 3 cm, 4 cm ve 5 cm olan dikdörtgen bir paralelyüz var, yüzey alanını, köşegen uzunluğunu ve hacmini hesaplamak gerekiyor.

S \u003d 2 * S o + S b \u003d 2 * 12 + 5 * 14 \u003d 24 + 70 \u003d 94 cm 2

Köşegenin uzunluğunu ve şeklin hacmini belirlemek için doğrudan yukarıdaki ifadeleri kullanabilirsiniz:

D \u003d √ (3 2 +4 2 +5 2) \u003d 7.071 cm;

V \u003d 3 * 4 * 5 \u003d 60 cm3.

Eğik paralel yüzlü sorun

Aşağıdaki şekil eğik bir prizmayı göstermektedir. Kenarları eşittir: a=10 cm, b=8 cm, c=12 cm Bu şeklin yüzey alanını bulmak gerekir.

Öncelikle tabanın alanını belirleyelim. Dar açının 50 o olduğu şekilden görülebilir. O zaman alanı:

S o \u003d h * a \u003d günah (50 o) * b * a

Yan yüzey alanını belirlemek için taralı dikdörtgenin çevresini bulun. Bu dikdörtgenin kenarları a*sin(45o) ve b*sin(60o) şeklindedir. O halde bu dikdörtgenin çevresi:

P sr = 2*(a*sin(45o)+b*sin(60o))

Bu paralel borunun toplam yüzey alanı:

S = 2*S o + S b = 2*(sin(50 o)*b*a + a*c*sin(45 o) + b*c*sin(60 o))

Şeklin kenarlarının uzunlukları için sorunun koşulundaki verileri değiştiririz, cevabı alırız:

Bu problemin çözümünden, eğik şekillerin alanlarını belirlemek için trigonometrik fonksiyonların kullanıldığı görülebilir.