Çünkü günah eşittir. Temel trigonometrik formüller ve kimlikler Sin, COS, TG, CTG

Trigonometrik formüller, biri bir dereceye kadar azaltma formülünün kullanımı olan bir dizi özelliğe sahiptir. Kapsamın azaltılmasıyla ifadelerin basitleştirilmesine katkıda bulunurlar.

Tanım 1.

Formüller, sinüs ve kosinüs derecesinin birinci dereceden ve birinci dereceden, birden fazla köşesinde, sinüs ve kosinik derecesinin ifadesi temelinde faaliyet göstermektedir. Basitleştirildiğinde, formül hesaplamalar için uygun hale gelir ve α'dan N ila N α'dan açının çarpılması artar.

Derece azaltma formülleri, kanıtları

Aşağıda günah ve COS açısı için 2 ila 4 arasında bir formüllerin düşürülmesi tablosudur. Onlarla tanıştıktan sonra, genel formülü tüm dereceler için belirledik.

sIN 2 α \u003d 1 - COS 2 α 2 COS 2 α \u003d 1 + COS 2 α 2 Sin 3 \u003d 3 · Sin α - Sin 3 α 4 Sin 4 \u003d 3 - 4 · COS 2 α + COS 4 α 8 COS 4 α \u003d 3 + 4 · COS 2 α + cos 4 α 8

Bu formüller dereceyi azaltmak için tasarlanmıştır.

Kosinüs ve Sinüs'teki çift açılı bir formül vardır, bunların Derece Formülleri COS 2 α \u003d 1 - 2 - SIN 2 α ve COS 2 α \u003d 2 · COS 2 α - 1. Eşitlik, SIN 2 α \u003d 1 - COS 2 α2 ve COS 2 α \u003d 1 + COS 2 α 2 olarak sağlanan sinüs ve kosinüs karesine göre çözülür.

Trigonometrik fonksiyon derecelerini düşürmek için formüller, Sinüs formülleri ve yarım açılı kosinüsün formülleri ile yankı .

Üçlü açının formülü Günah 3 α \u003d 3 · günah α - 4 · günah 3 α ve cos 3 α \u003d - 3 · COS α + 4 · COS 3 α kullanılır.

Küba'da sinüs ve kosinüslere göre eşitliği çözerseniz, sinüs ve kosinüs için derecelerde azalmayı elde ederiz:

sIN 3 α \u003d 3 - 4 · COS 2 α + cos 4 α 8 ve COS 3 α \u003d 3 · COS α + cos 3 α 4.

Dördüncü derecede trigonometrik fonksiyonların formülleri şöyle görünmektedir: SIN 4 α \u003d 3 - 4 · COS 2 α + COS 4 α 8 ve COS 4 α \u003d 3 + 4 · COS 2 α + COS 4 α 8.

Bu ifadelerin derecelerini düşürmek için, 2 aşamada hareket edebilir, yani iki kez azalabilir, sonra şöyle görünür:

sIN 4 α \u003d (SIN 2 α) 2 \u003d (1 - COS 2 α 2) 2 \u003d 1 - 2 · COS 2 α + COS 2 2 α 4 \u003d 1 - 2 · COS 2 α + 1 + COS 4 α 2 4 \u003d 3 - 4 · COS 2 α + cos 4 α 8; Cos 4 α \u003d (cos 2 α) 2 \u003d (1 + cos 2 α 2) 2 \u003d 1 + 2 · COS 2 α + cos 2 2 α 4 \u003d \u003d 1 + 2 · COS 2 α + 1 + COS 4 α 2 4 \u003d 3 + 4 · COS 2 α + cos 4 α 8

Ana trigonometrik fonksiyonlar arasındaki oranlar - sinüs, kosinüs, teğet ve fatansent - ayarlanır trigonometrik formüller. Ve trigonometrik fonksiyonlar arasında birçok bağlantı olduğundan, trigonometrik formüllerin bolluğu bu şekilde açıklanmaktadır. Bazı formüller aynı açının trigonometrik fonksiyonlarını birbirine bağlar, diğerleri - çoklu açının işlevleri, üçüncüsü - dördüncü, dördüncü - tüm fonksiyonları yarım açılı teğetten vb.

Bu yazıda, trigonometri problemlerinin ezici çoğunluğunu çözmek için yeterli olan tüm ana trigonometrik formülleri listeliyoruz. Ezberleme ve kullanım kolaylığı için, bilerek gruplayacağız ve masaya gireceğiz.

Gezinme sayfası.

Temel trigonometrik kimlikler

Temel trigonometrik kimlikler Bir köşenin sinüs, kosinüs, teğet ve katılımcı arasındaki ilişkiyi ayarlayın. Sinüs, kosinüs, teğet ve felaketi ve ayrıca tek bir dairenin kavramları ile akıyorlar. Bir trigonometrik işlevi başka bir şekilde ifade etmenizi sağlar.

Bu trigonometri formüllerinin ayrıntılı bir açıklaması, sonuçları ve uygulama örnekleri makaleye bakın.

Oyuncuların formülleri

Oyuncuların formülleri Sinüs, kosinüs, teğet ve fatansentin özelliklerinden takip edin, yani trigonometrik fonksiyonların frekansının, simetri özelliğinin yanı sıra açı için Shift özelliğinin özelliklerini yansıtırlar. Bu trigonometrik formüller, sıfırdan 90 dereceye kadar değişen açılarla çalışmaya geçmek için keyfi açılarla çalışmanıza izin verir.

Bu formüllerin gerekçesi, Mnemonic Kuralı'nın ezberlemeleri ve başvuru örnekleri için makalede araştırılabilir.

Formül ilavesi

Trigonometrik formüller ekleme İki açının toplamının veya farkının trigonometrik fonksiyonları olarak, bu açıların trigonometrik fonksiyonlarıyla ifade edilir. Bu formüller, trigonometrik formüllerin ardından sonuç için bir üs olarak görev yapar.

Formüller çift, üçlü, vb. Açı

Formüller çift, üçlü, vb. Açı (aynı zamanda birden fazla köşe formülü olarak da adlandırılır), çift, üçlü, vb. Trigonometrik fonksiyonlar nasıl? Açılar (), tek açının trigonometrik fonksiyonlarıyla ifade edilir. Sonuçları ekleme formüllerine dayanmaktadır.

Daha ayrıntılı bilgi, çift, üçlü, vb. Formülü makalesinde toplanır. köşe.

Yarım açı formülleri

Yarım açı formülleri Yarım açının trigonometrik fonksiyonları olarak, bir bütün açıdan bir Kosineus yoluyla ifade edilir. Bu trigonometrik formüller, çift açının formüllerinden takip eder.

Sonuçları ve başvuru örnekleri makalede görülebilir.

Derece Azaltma Formülleri

Trigonometrik derece azaltma formülleri Birinci derecede, birinci derecede, birden fazla köşede, doğal derecede trigonometrik fonksiyonların doğal derecelerinden geçişi tanıtmak için çağrılır. Başka bir deyişle, trigonometrik fonksiyon derecelerini ilk olarak azaltmaya izin verir.

TRIGONOMETRIC FONKSİYONLARININ ÖZELLİKLERİ VE FARKULLARI

asıl hedef tRIGONOMETRIC FONKSİYONLARININ ÖZELLİKLERİ VE FARKULLARI Trigonometrik ifadeleri basitleştirirken, işlevlerin ürününe geçmektir. Bu formüller ayrıca, trigonometrik denklemlerin çözülmesinde, sinüs ve kosinüsün toplamını ve farkını belirlememize izin verirken yaygın olarak kullanılmaktadır.

Sinüslerin formülleri, kosinüs ve sinüs üzerinde kosinüs

Trigonometrik fonksiyonların ürününden miktar veya farkla geçişi, kosinüs üzerinde sinüslerin, kosinüs ve sinüs eserlerinin formülleri ile gerçekleştirilir.

Evrensel Trigonometrik Değiştirme

Trigonometrik fonksiyonları eksprese eden formüller tarafından tamamlanan temel formüllere genel bakış, yarım açılı teğetten oluşur. Böyle bir yedek seçildi evrensel Trigonometrik Değiştirme. Kolaylığı, tüm trigonometrik fonksiyonların, kökleri olmadan yarım açılı teğet rasyonel olarak ifade edilmesidir.

Bibliyografya.

Cebir: Çalışmalar. 9 cl için. ortamlar Shk. / U. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorov; Ed. S. A. TELIKOVSKY. - M.: Eğitim, 1990.- 272 c .: IL- ISBN 5-09-002727-7
BASHMAKOV M. I. Cebir ve Başlat Analizi: Çalışmalar. 10-11 cl için. ortamlar shk. - 3. ed. - M.: Aydınlanma, 1993. - 351 C .: Il. - ISBN 5-09-004617-4.
Cebir ve başlangıç \u200b\u200banalizi: Çalışmalar. 10-11 cl için. Genel Eğitim. Kurumlar / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn, vb.; Ed. A. N. Kolmogorova.- 14th. - m.: Aydınlanma, 2004.- 384 c .: IL.- ISBN 5-09-013651-3.
Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematik (teknik okullardaki başvuru sahipleri için avantaj): Çalışmalar. yarar. - m.; Daha yüksek. SHK., 1984.-351 p., Il.

Cleverstudents tarafından telif hakkı.

Tüm hakları Saklıdır.
Gurbets Telif Hakkı Kanunu. İç malzeme ve dış tasarım da dahil olmak üzere sitenin hiçbir kısmı, telif hakkı sahibinin önceden yazılı izni olmadan herhangi bir biçimde veya kullanımda çoğaltılamaz.

Trigonometri ana formülleri, ana trigonometrik fonksiyonlar arasında ilişkiler kuran formüllerdir. Sinüs, kosinüs, teğet ve katangenler birçok oranla birbirine bağlanır. Aşağıda ana trigonometrik formülleri veriyoruz ve kolaylık sağlamak için onları amaçlarına yönelttiler. Bu formülleri kullanarak, standart trigonometri kursundan neredeyse her görevi çözebilirsiniz. Hemen, aşağıda sadece formüllerin kendileri olduğunu ve bunların ayrı makalelerin ayrıldığı sonucunu değil.

Trigonometri ana kimlikleri

Trigonometrik kimlikler, bir köşenin sinüs, kosinüs, teğet ve katılımcı arasındaki ilişkiyi bir başkasını ifade etmenizi sağlar.

Trigonometrik kimlikler

sIN 2 A + COS 2 A \u003d 1 TG α \u003d SIN Α COS α, CTG α \u003d COS α SIN Α TG α · CTG α \u003d 1 TG 2 α + 1 \u003d 1 COS 2 α, CTG 2 α + 1 \u003d 1 günah 2 α.

Bu kimlikler, tek bir daire, sinüs (günah), kosinüs (cos), teğet (TG) ve kotanjent (CTG) tanımlarından doğrudan ölçülür.

Oyuncuların formülleri

Açıklama formülleri, 0 ila 90 derece arasında değişen açılarla çalışmak için keyfi ve keyfi olarak çalışmalardan keyfi ile hareket etmenizi sağlar.

Oyuncuların formülleri

günah α + 2 π z \u003d günah α, cos α + 2 π z \u003d cos α tg α + 2 π z \u003d tg α, ctg α + 2 π z \u003d ctg α günah - α + 2 π z \u003d - günah α, COS - α + 2 π Z \u003d COS Α TG - α + 2 π Z \u003d - TG α, CTG - α + 2 π Z \u003d - CTG Α SIN π 2 + α + 2 π Z \u003d COS α, COS π 2 + α + 2 π z \u003d - Günah α tg π 2 + α + 2 π z \u003d - CTG α, CTG π 2 + α + 2 π Z \u003d - tg α günah π 2 - α + 2 π z \u003d cos α, çünkü π 2 - α + 2 π z \u003d Sin α tg π 2 - α + 2 π z \u003d ctg α, ctg π 2 - α + 2 π z \u003d tg α günah π + α + 2 π z \u003d - günah α, çünkü π + α + 2 π z \u003d - COS α TG π + α + 2 π Z \u003d TG α, CTG π + α + 2 π Z \u003d CTG α SIN π - α + 2 π Z \u003d SIN α, COS π - α + 2 π Z \u003d - COS α TG π - α + 2 π Z \u003d - TG α, CTG π - α + 2 π Z \u003d - CTG α SIN 3 π 2 + α + 2 π Z \u003d - COS α, COS 3 π 2 + α + 2 π z \u003d günah α tg 3 π 2 + α + 2 π z \u003d - CTG α, CTG 3 π 2 + α + 2 π Z \u003d - TG α Sin 3 π 2 - α + 2 π z \u003d - COS α, COS 3 π 2 - α + 2 π Z \u003d - SIN α TG 3 π 2 - α + 2 π Z \u003d CTG α, CTG 3 π 2 - α + 2 π Z \u003d TG α

Elde edilen formüller, trigonometrik fonksiyonların sıklığının bir sonucudur.

Trigonometrik formüller ekleme

Trigonometride ilave formülleri, bu açıların trigonometrik fonksiyonlarıyla açıların toplamının veya farkının trigonometrik fonksiyonunu ifade etmenizi sağlar.

Trigonometrik formüller ekleme

sin a α ± β \u003d Sin α · cos β ± cos a · günah β cos α + β \u003d cos α · cos β - sin α · sin α · cos α - β \u003d cos α · cos β + sin α · günah β tg α ± β \u003d tg α ± tg β 1 ± tg a · tg β ctg α ± β \u003d - 1 ± ctg a · ctg β ctg α ± ctg β

Ekleme formüllerine dayanarak, birden fazla köşenin trigonometrik formülleri türetilir.

Çoklu Köşe Formülleri: Çift, Üçlü, vb.

Çift ve Üçlü Açı Formülleri

sin 2 α \u003d 2 · günah α · cos α cos 2 α \u003d cos 2 α - sin 2 α, cos 2 α \u003d 1 - 2 sin 2 α, cos 2 α \u003d 2 cos 2 α - 1 tg 2 α \u003d 2 · TG 2 ile TG α 1 - TG 2 α TG 2 α \u003d TG2 α - 1 2 · C TG α Gün Sin 3 α \u003d 3 Sin α · COS 2 α - Sin 3 α, Sin 3 α \u003d 3 Sin α - 4 Sin 3 α cos 3 α \u003d cos 3 α - 3 sin 2 α · cos α, cos 3 α \u003d - 3 cos α + 4 cos 3 α tg 3 α \u003d 3 tg α - tg 3 α 1 - 3 tg 2 α ctg 3 α \u003d CTG 3 α - 3 CTG α 3 CTG 2 α - 1

Yarım açı formülleri

Trigonometride yarım açının formülleri, çift açının formüllerinin bir sonucudur ve yarım açının ana fonksiyonları ile tüm açının kosinüsünün arasındaki oranları ifade eder.

Yarım açı formülleri

sIN 2 α 2 \u003d 1 - COS α 2 COS 2 α 2 \u003d 1 + COS α 2 T G 2 α 2 \u003d 1 - COS Α 1 + COS α C T G 2 α 2 \u003d 1 + COS α 1 - COS α

Derece Azaltma Formülleri

sIN 2 α \u003d 1 - COS 2 α 2 COS 2 α \u003d 1 + COS 2 α 2 Sin 3 α \u003d 3 Sin α - Sin 3 α4 COS 3 α \u003d 3 COS α + COS 3 α 4 Sin 4 α \u003d 3 - 4 COS 2 α + COS 4 α 8 COS 4 α \u003d 3 + 4 COS 2 α + COS 4 α 8

Genellikle, hantal derecelerle hareket hesaplarken uygunsuzdur. Derece azaltma formülleri, birincisine keyfi olarak büyük olan trigonometrik fonksiyon derecesini azaltmaya izin verir. Genel görüşlerini sunuyoruz:

Bir derece azaltma formülünün genel görünümü

sIN N α \u003d C N 2 N2 N + 1 2 N - 1 Σ K \u003d 0 N 2 - 1 (- 1) N 2 - K · C KN · COS ((n - 2 k) α) cos n α \u003d C N 2 N2 N + 1 2 N - 1 Σ K K \u003d 0 N 2 - 1 C KN · COS ((N - 2 K) α)

garip N.

sIN N α \u003d 1 2 N - 1 Σ K \u003d 0 N - 1 2 (- 1) N - 1 2 - K KN · Günah ((N - 2 K) α) COS N α \u003d 1 2 N - 1 Σ k \u003d 0 n - 1 2 c kn · cos ((n - 2 k) α)

Trigonometrik fonksiyonların toplamı ve farkı

Trigonometrik fonksiyonların farkı ve toplamı bir ürün olarak gösterilebilir. Sinüs ve kosinüs farkındaki farkın ayrışması, trigonometrik denklemleri çözmede uygulanması ve ifadeleri basitleştirmesi için çok uygundur.

Trigonometrik fonksiyonların toplamı ve farkı

sin α + sin β \u003d 2 Sin α + β 2 · COS α - β 2 Sin α - SIN β \u003d 2 SIN α - β 2 · COS α + β 2 COS α + COS β \u003d 2 COS α + β 2 · COS α - β 2 cos α - cos β \u003d - 2 günah α + β 2 · günah α - β 2, cos α - cos β \u003d 2 günah α + β 2 · günah β - α 2

Trigonometrik fonksiyonların çalışması

Eğer fonksiyonların toplamı ve farkı formülleri, ürüne gitmenize izin verirse, trigonometrik fonksiyonların ürünü için formüller, üründen miktara doğru bir geri dönüşü gerçekleştirir. Sinüs, kosinüs ve sinüs çalışmalarının formülleri göz önünde bulundurulur.

Trigonometrik fonksiyonların eserleri için formüller

sIN α · SIN β \u003d 1 2 · (COS (α - β) - COS (α + β)) COS α · COS β \u003d 1 2 · (COS (a - β) + COS (α + β)) SIN α · Cos β \u003d 1 2 · (günah (α - β) + günah (α + β))

Evrensel Trigonometrik Değiştirme

Tüm ana trigonometrik fonksiyonlar sinüs, kosinüs, teğet ve felsefedir, yarı köşeli bir teğetten dile getirilebilir.

Evrensel Trigonometrik Değiştirme

sIN α \u003d 2 TG α 2 1 + TG 2 α 2 COS α \u003d 1 - TG 2 α 2 1 + TG 2 α 2 TG α \u003d 2 TG α 2 1 - TG 2 α 2 CTG α \u003d 1 - TG 2 α 2 2 tg α 2

Metinde bir hata görürseniz, lütfen seçin ve Ctrl + Enter tuşuna basın.

Eğer basitçe söylersek, bunlar özel bir tarif ile suda pişirilmiş sebzelerdir. İki kaynak bileşen (sebze salatası ve su) ve bitmiş sonuç - Borsch olarak düşüneceğim. Geometrik olarak, bu, bir tarafın bir salata olduğunu belirten bir dikdörtgen olarak gösterilebilir, ikinci tarafın suyu belirtir. Bu iki tarafın toplamı Borsch'i belirtir. Böyle bir "patlamanın" dikdörtgeninin köşegen ve alanı tamamen matematiksel kavramlardır ve hiçbir zaman tekne Borsch'in tariflerinde kullanılmaz.

Salata ve su matematiği açısından Borsch'a nasıl dönüşür? İki segmentin toplamı trigonometriye nasıl dönüştürülebilir? Bunu anlamak için, doğrusal açısal fonksiyonlara ihtiyacımız var.

Matematik ders kitaplarında, doğrusal açısal fonksiyonlar hakkında hiçbir şey bulamazsınız. Ama onlarsız matematikçi olamaz. Matematik yasaları, ayrıca doğanın yasaları, varlıklarını bilmemiz veya olmasın bağımsız olarak çalışmak.

Doğrusal açısal fonksiyonlar ekleme yasalarıdır. Cebirin geometriye nasıl döndüğünü görün ve geometri trigonometriye dönüşür.

Doğrusal açısal fonksiyonlar olmadan yapmak mümkün mü? Matematik hala onlarsız olduğu için mümkündür. Matematikçilerin numarası, bize her zaman bize sadece kendilerinin karar verebilecekleri zorluklardan bahsetmeleri ve bu görevleri asla karar vereceklerini bilmediklerini asla söylemeleridir. Görmek. Ekleme ve bir terimin sonucunu bilseysek, başka bir ücretsiz, çıkarma işlemini kullanıyoruz. Her şey. Diğer görevleri bilmiyoruz ve nasıl çözüleceğini bilmiyoruz. Sadece ilave sonucu bilinen ve her iki terimin de bilinmemesi durumunda ne yapmalı? Bu durumda, ekleme sonucu doğrusal açısal fonksiyonlarla iki terime ayrıştırılmalıdır. Sonra zaten bir terimin nasıl olabileceğini ve doğrusal açısal fonksiyonların nasıl olacağını gösterebiliriz, böylece eklemenin sonucu tam olarak ihtiyacımız olan şeydi. Bu tür terimler çiftleri sonsuz bir set olabilir. Günlük yaşamda, miktarın ayrışmadan uyandık, yeterince çıkarımımız var. Ancak, doğa yasalarının bilimsel araştırmasında, bileşenlerdeki miktarın ayrışması çok faydalı olabilir.

Matematiğin konuşmayı sevmediği bir başka ekleme yasası, bileşenlerin aynı ölçüm birimlerine sahip olmasını gerektirir. Marul, su ve borschor için bir ölçüm, hacim, maliyet veya ölçüm birimi olabilir.

Şekil, matematiksel için iki düzeyde farklılık göstermektedir. İlk seviye, belirtilen sayıların alanındaki farklılıklardır. a., b., c.. Bu matematiğin nişanlandığı şeydir. İkinci seviye, köşeli parantez içinde gösterilen ve harfle gösterilen ölçüm birimleri alanındaki farklılıklardır. U. Fizik buna bağlı. Üçüncü seviyeyi anlayabiliriz - tarif edilen nesneler alanındaki farklılıklar. Farklı nesneler aynı sayıda aynı ölçüm birimine sahip olabilir. Önemli olduğu sürece, Borscht'un trigonometrisi örneğini görebiliriz. Farklı nesnelerin ölçüm birimlerinin aynı tanımlanmasına daha düşük dizinler eklersek, hangi matematiksel değerin belirli bir nesneyi ve zaman içinde nasıl değiştiğini veya eylemlerimizle bağlantılı olarak nasıl değiştiğini doğru bir şekilde söyleyebiliriz. Mektup W. Su, mektup bakacağım S. Salata ve mektup bırak B. - Borsch. Borscht için lineer açısal fonksiyonlar nasıl görünüyor.

Suyun bir kısmını ve salatanın bir kısmını alırsak, birlikte Borscht'un bir kısmına dönüşecekler. Burada, sizi Borscht'tan biraz rahatsız ediyor ve uzak çocukluğunu hatırlıyorum. Bunnies ve katipleri birlikte katlamak öğrettiğimizi hatırladın mı? Hayvanların ne kadar başarılı olacağını bulmak gerekiyordu. Bize ne yapmamı öğretti? Numaralardan ölçüm birimlerini yırtmak ve sayılar eklemek öğretildi. Evet, herhangi bir sayı herhangi bir sayı ile katlanabilir. Bu, modern matematiğin yazılımlarına doğrudan bir yoldur - biz neyi net değil, bunun nedeni, bunun nedeni gerçeği nasıl ifade ettiğini, çünkü üç düzeyde matematik farklılıkları nedeniyle gerçeği nasıl ifade ettiğini açıkça anlamıyor. Bir ölçüm birimlerinden başkalarına geçmeyi öğrenmek daha doğru olacaktır.

Ve tavşanlar ve clarops ve hayvanlar parçalar halinde hesaplanabilir. Farklı nesneler için ortak bir ölçüm birimi, bunları birbirine katlamamızı sağlar. Bu bir çocuk görevidir. Yetişkinler için benzer bir göreve bakalım. Bunnies ve parayı katlarsan ne olur? Burada iki çözüm sunabilirsiniz.

İlk seçenek. Tavşanların piyasa değerini tanımlar ve para miktarıyla katlanırız. Servetimizin toplam maliyetini nakit eşdeğeri aldık.

İkinci seçenek. Bunnies sayısını mevcut nakit faturaları sayısıyla ekleyebilirsiniz. Hareketli özellik sayısını parçalar halinde alacağız.

Gördüğünüz gibi, aynı düzenleme kanunu farklı sonuçlar elde etmenizi sağlar. Hepsi tam olarak ne bilmek istediğimize bağlı.

Ancak boorlarımıza geri dönün. Şimdi, doğrusal açısal fonksiyon açısının farklı değerlerinde ne olacağını görebiliriz.

Açı sıfırdır. Salatası var, ama su yok. Borsch'i pişiremiyoruz. Kurulların miktarı da sıfırdır. Bu, sıfır borschor'un sıfır su olduğu anlamına gelmez. Sıfır sıfır sıfır salata (düz açı) olabilir.

Şahsen benim için, bu gerçeğin ana matematiksel kanıtıdır. Sıfır eklerken sayıyı değiştirmez. Bunun nedeni, yalnızca bir terim varsa ve ikinci bir terim yoksa, eklenmenin imkansız olmasıdır. Neredeyse tedavi edebilirsiniz, ancak hatırlayabilirsin - sıfır olan tüm matematiksel işlemler matematiğin kendileri ile geldi, bu yüzden Matematikçiler tarafından icat edilen tanımlar: "Sıfırdaki bölünme imkansızdır", "sıfır ile çarpılan herhangi bir sayı sıfır "," bir ördek noktası için sıfır için "ve diğer saçmalıklar. Sıfırın bir sayı olmadığını hatırlamak için bir zamanlardır ve asla bir sorunuz olmayacak, sıfır bir doğal sayıdır ya da değil, çünkü böyle bir soru genellikle herhangi bir anlamdan yoksundur: Numaranın olduğu bir sayı olarak kabul edilebilir. değil. Hangi rengin görünmez renk olduğunu sormak gibidir. Sayıya sıfır ekleyin, boya boyası ile aynıdır. Kuru püskül yıkandı ve "boyadık" diyen herkesle konuşun. Ama biraz dikkat dağıtıcıydım.

Açı sıfırdan büyük, ancak kırk beş dereceden az. Bir sürü marul, ama az su var. Sonuç olarak, kalın bir borsch alıyoruz.

Açı kırk beş derecedir. Eşit miktarlarda su ve salata var. Bu mükemmel bir borsch (ve beni bir aşçı affetti, sadece bir matematik).

Açı kırk beş dereceden fazla, ancak doksan dereceden az. Çok fazla su ve küçük marul var. Sıvı Borsch'u ortaya çıkar.

Dik açı. Bizim suyumuz var. Sadece anılar salatadan kaldı, çünkü açı, bir zamanlar salatadan işaret ettiğimiz çizgiden ölçmeye devam ediyoruz. Borsch'i pişiremiyoruz. Borscht miktarı sıfırdır. Bu durumda, o sırada tutun ve su için))))

Buraya. Böyle bir şey. Burada ve burada uygun olandan daha fazla olacak diğer hikayeleri söyleyebilirim.

İki arkadaşın genel işletmenin kendi hisseleri vardı. Bunlardan birinin cinayetinden sonra, her şey diğerine gitti.

Gezegenimizde matematiğin görünümü.

Matematik dilindeki tüm bu hikayeler, doğrusal açısal fonksiyonlar kullanılarak söylenir. Diğer zamanlar size bu fonksiyonların matematiğin yapısındaki gerçek yerlerini göstereceğim. Bu arada, Borscht'un trigonometrisine geri dönün ve projeksiyonu düşünün.

26 Ekim 2019 Cumartesi

Hakkında ilginç bir video izlendi satır grande Bir eksi bir artı bir eksi bir - numarası seçti . Matematik yalan. Muhakeme sırasında eşitliği doğrulamadılar.

Bu benim argümanlarımı yankılarım.

Bizi matematikçilerle aldatma işaretlerine bakalım. Muhakemenin başlangıcında, matematik, dizinin toplamının, içinde eşit sayıda öğe sayısına bağlı olduğunu söylüyor. Bu objektif olarak belirlenmiş bir gerçektir. Sonra ne olur?

Ünitedeki diğer matematik diziyi düşürür. Bu neden yol açıyor? Bu, sekans elemanlarının sayısındaki bir değişikliğe yol açar - eşit, tuhaf, tuhaf bir değişikliklerde bile miktar bile değişir. Sonuçta, bir sekansa birine eşit bir dizi ekledik. Tüm dış benzerliğe rağmen, dönüşümden önceki dizi dönüşümden sonraki sıraya eşit değildir. Sonsuz sekansı tartışırsak bile, tek sayıda elemanlı sonsuz sekansın, eşit sayıda elemanla bir sonsuz sekansa eşit olmadığını hatırlamak gerekir.

Eşitliği, iki farklı unsur arasında sekanslarla imzalayarak, matematik, sekans toplamının, nesnel olarak belirlenmiş gerçeği çelişen dizideki öğe sayısına bağlı olmadığını iddia eder. Sonsuz dizinin toplamı hakkında daha fazla akıl yürütme yanlıştır, çünkü yanlış eşitliğe dayanırlar.

Bu matematiğin kanıt belirleme parantezi sırasında, matematiksel ifadenin unsurları, yerlere göre yeniden düzenlenir, bir şey eklenir veya kaldırılır, çok dikkatli olun, büyük olasılıkla sizi aldatmaya çalışıyorsunuz. Kart sihirbazları gibi, bir ifadeyle çeşitli manipülasyonlu matematik, bir sonuç olarak yanlış sonucu sürdürme dikkatinizi dikkatinizi dağıtmaktadır. Kart odağı tekrarlayamazsanız, aldatmacanın sırrını tanımıyorsanız, o zaman matematikte her şey çok daha basittir: aldatma hakkında hiçbir şeyden şüphelenmezsiniz, ancak tüm manipülasyonların matematiksel ifadeyle tekrarı, başkalarını ikna etmenizi sağlar Sonucun doğruluğunda, tıpkı iyi olduğunda, sizi ikna etti.

Salondan soru: ve sonsuzluk (sıradaki öğün sayısı olarak), hatta veya garip mi? Eşliğin sahip olmadığı parite nasıl değiştirilebilir?

Matematikçiler için sonsuzluk, popov için cennetin krallığı olarak - hiç kimse orada bulunmadı, ama herkes tam olarak ne kadar düzenlendiğini biliyor))) Katılıyorum, ölümden sonra kesinlikle kayıtsız, hatta ya da tek bir gün çok sayıda olacaksın. Yaşadı, ama ... Hayatınızın başında sadece bir gün ekleyerek, tamamen farklı bir insan elde edeceğiz: soyadı, onun adının adı ve onun patronimi tamamen aynı, sadece doğum tarihi tamamen farklı - o senden bir gün önce doğdu.

Ve şimdi esasen))), pariteye sahip olan son sekansın, sonsuzluğa geçerken bu pariteyi kaybeder. Ardından, sonsuz sekansın sonlu segmenti paritesi kaybetmelidir. Bunu gözlemlemiyoruz. Kesin olarak söyleyememiz, sonsuz bir sıradaki eşit veya tek bir öğe sayısının, paritenin ortadan kaybolduğu anlamına gelmez. Eğer ise parite olmazsa, Shulera'nın manşonundaki gibi, sonsuzlukta bir iz olmadan kaybolmaz. Bu durumda çok iyi bir benzetme var.

Gugukludan saatte oturduğunu asla sormadın, saatin okunun ne yönde döndüğünde? Onun için, ok "saat yönünde" dediğimiz birinin ters yönünde döner. Paradoksal olarak sağlam olmadığı için, ancak dönme yönü yalnızca rotasyonu gözlemlediğimiz tarafa bağlıdır. Ve böylece, dönen bir tekerleğimiz var. Hangi yönde döndürme olduğunu söyleyemeyiz, çünkü her ikisini de bir yandan döndürme düzlemi ve diğerini gözlemleyebiliriz. Sadece rotasyonun olduğu gerçeğine tanık olabiliriz. Sonsuz dizinin paritesi ile tam bir benzetme S..

Şimdi, dönme düzlemi, birinci döner tekerleğin dönme düzlemine paralel olan ikinci döner tekerleği ekleyin. Bu tekerleklerin hangi yöne döndüğünde hala kesin olarak söyleyemiyoruz, ancak kesinlikle söyleyebiliriz, her iki tekerlek de bir yönde veya tam tersine döndürülür. İki sonsuz sekansın karşılaştırılması S. ve 1-S.Ben, matematik yardımıyla, bu dizilerin farklı pariteye sahip olduğunu ve aralarındaki eşitlik belirtisini yaptığını gösterdi - bu bir hata. Şahsen matematiğe inanıyorum, matematikçilere inanmıyorum))) Bu arada, sonsuz dizilerin dönüşümlerinin geometrisi hakkında tam bir anlayış için, kavramı tanıtmak için gereklidir. "Simultaneity". Çizmesi gerekecek.

Çarşamba, 7 Ağustos 2019

Konuşmayı tamamlamak, sonsuz seti düşünmeniz gerekir. "Sonsuzluk" kavramının, matematikçilerin tavşanına bir tekne olarak hareket ettiğini verdi. Sonsuzluktan önce müthiş korku, matematikçileri sağduyulu mahsur ediyor. İşte bir örnek:

Kaynak bulunur. Alpha geçerli bir numarayı belirtir. Yukarıdaki ifadelerdeki eşitlik belirtisi, bir sayı veya sonsuzluk eklemek için sonsuzluğa maruz kalmazsa, hiçbir şey değişmeyecek, aynı sonsuzluğa neden olur. Örnek olarak, sonsuz bir doğal sayı kümesi'ni alınsa, dikkate alınan örnekler bu formda gösterilebilir:

Matematiklerinin görsel kanıtı için birçok farklı yöntem geldi. Şahsen, şamanların dansı gibi tüm bu yöntemlere bakıyorum. Temel olarak, hepsi, sayıların her iki bölümünün meşgul olmadığı ve yeni konukların içlerine yerleştiği gerçeğine veya ziyaretçilerin bir kısmının konuklar için yerini (çok insanca) serbest bırakmak için koridora atıldığı gerçeğine düşürülür. Sarışın hakkında fantastik bir hikaye biçiminde bu tür çözümler hakkındaki görüşümü özetledim. Sebeplerim neye dayanıyor? Sonsuz sayıda ziyaretçi sayısının yeniden yerleştirilmesi sonsuz zamanlar gerektirir. Misafir için ilk odayı serbest bıraktıktan sonra, ziyaretçilerden biri her zaman odanızdan komşu yüzyıla kadar takip edecektir. Tabii ki, zaman faktörü aptalca göz ardı edilebilir, ancak "aptallar" kategorisinden yazılmayacaktır. Her şey yaptığımız şeye bağlıdır: matematiksel teoriler için gerçekliği özelleştirin veya tam tersi.

"Sonsuz Otel" nedir? Sonsuz otel, ne kadar oda meşgul olursa olsun, her zaman herhangi bir sayıda ücretsiz yer olduğu bir oteldir. Sonsuz koridordaki tüm odalarda "ziyaretçiler için" işgal edilirse, misafir numaralarına sahip başka bir sonsuz koridor var. Bu tür koridorlar sonsuz bir set olacaktır. Bu durumda, "Endless Hotel", sonsuz miktarda tanrıların yarattığı sonsuz sayıda evrendeki sonsuz miktarda gezegendeki sonsuz miktarda muhafazadaki sonsuz miktarda bir yerdir. Matematik Banal Hanehalkı Sorunlarından Kaldırılamıyor: Tanrı-Allah-Buddha her zaman sadece bir, otel biridir, koridor sadece birdir. İşte matematikçiler ve otel odalarının sıralı sayılarını süpürmeye çalışıyorlar, bizi "faydalı olmayanları" yapabilmeniz için ikna eden.

Muhalifinizin mantığı, sizi sonsuz bir doğal sayıların örneğinde göstereceğim. İlk önce çok basit bir soruya cevap vermeniz gerekir: Kaç tane doğal sayılar var - bir veya çok? Bu soruya doğru bir cevap yoktur, çünkü sayılar kendileri ile geldi, doğada sayı yok. Evet, doğa mükemmel bir şekilde nasıl sayılacağını biliyor, ancak bunun için bize aşina olmayan diğer matematiksel araçları kullanıyor. Doğa nasıl inanıyor, size başka bir zaman söyleyeceğim. Rakamlar bizimle birlikte geldiğinden, kendimizin kaç tane doğal sayının var olduğuna karar verdik. Bu bilim adamı tarafından gönderildiği gibi her iki seçeneği de düşünün.

Önce seçenek. "Rafta yer alan tek tabanlı doğal sayılar setini" bırakalım. Shellf'den alın, bu çok şey. Her şey, raftaki diğer doğal sayılar sol değil ve hiçbir yere götürmez. Sahip olduğumuz gibi, bu sette bir birim ekleyemiyoruz. Ve eğer gerçekten istiyorsan? Sorun değil. Daha önce alınmış ve rafa getirmiş olanların bir birimini alabiliriz. Bundan sonra, barınaktan bir birim alabilir ve bıraktıklarımıza ekleyebiliriz. Sonuç olarak, yine sonsuz bir doğal sayı seti alıyoruz. Bütün manipülasyonlarımızı şöyle yazın:

Cebirsel atamalardaki eylemleri ve kümeler kümelerinin detaylı bir listesi ile ayarlanan atamalar sisteminde eylemleri kaydettim. Alt Endeks, tek kişinin sahip olduğumuzdaki birçok doğal sayının olduğunu gösterir. Doğal sayıların setinin yalnızca bir birimden çıkarıldıysa ve aynı birimi eklenmesi durumunda değişmeden kalacağı ortaya çıktı.

Seçenek ikinci. Rafımızda birçok farklı sonsuz doğal sayılar var. Neredeyse ayırt etmemelerine rağmen, farklılaşıyorum. Bu setlerden birini alın. Ardından, başka bir doğal sayı kümesinden bir birim alırız ve bizim tarafımızdan alınan bir dizi ekleriz. İki set doğal sayıyı bile katlayabiliriz. Yaptığımız bu:

Alt dizinler "bir" ve "iki", bu elemanların farklı kümelere ait olduğunu göstermektedir. Evet, bir sonsuz kümeye bir birim eklerseniz, sonuç da sonsuz bir settir, ancak ilk set ile aynı olmayacaktır. Bir sonsuz sette bir sonsuz kümeye eklenirse, sonuç, ilk iki setin elemanlarından oluşan yeni bir sonsuz settir.

Doğal sayılar kümesi, hesap için sadece ölçümler için bir cetvel olarak kullanılır. Şimdi cetvel'e bir santimetre eklediğinizi hayal edin. Bu zaten orijinal olana eşit değil, başka bir satır olacak.

Bilgimi kabul edebilir veya kabul etmiyorsunuz, kişisel meseleniz. Fakat eğer matematiksel problemlerle karşılaşırsanız, yanlış akıl yürütme izi boyunca yürüdüğünüzü düşünün, matematikçilerin nazik nesilleri. Sonuçta, matematiğin öncesi sınıflar, her şeyden önce, sürekli bir düşünce klişesi oluşturur ve daha sonra bize (ya da tam tersi) zihinsel yetenekleri ekleyin (ya da tam tersi, bizi navlundan mahrum edin).

pozg.ru.

pazar, 4 Ağustos 2019

Wikipedia'da bu harika metni haberdar edin ve bu harika metni gördüm:

Okuduk: "... Babylon'un matematiğinin zengin teorik temeli, bütüncül bir doğaya sahip değildi ve ortak bir sistem ve kanıtlardan yoksun dağılmış teknikler kümesine düşürüldü."

Vaov! Akıllıyız ve başkalarının eksikliklerini ne kadar iyi görebiliriz. Ve aynı bağlamda modern matematiğe biraz bakıyoruz? Verilen metni hafifçe ifade etmek, şahsen aşağıdakileri yönettim:

Modern matematiğin zengin teorik temeli, bütünsel bir doğadır değildir ve ortak bir sistemden ve kanıt tabanından yoksun dağılmış kesitler kümesine iner.

Sözlerinizi onaylamak için, uzağa yürüyemeyeceğim - dil dışındaki bir dil ve şartlı tanımlamaları vardır ve diğer birçok matematik bölümünün sembolleri vardır. Farklı matematiğin farklı bölümlerinde aynı isimler farklı bir anlamı olabilir. Modern matematiğin en belirgin topakları, bir bütün yayın döngüsünü adamak istiyorum. Yakında görüşürüz.

3 Ağustos 2019 Cumartesi

Setteki kümeleri nasıl bölünür? Bunu yapmak için, seçilen setin elemanlarının bir kısmından bulunan yeni bir ölçü birimi girin. Bir örnek düşünün.

Çok fazla olalım FAKATdört kişiden oluşur. Bu set "insanlar" temelinde oluşturulur. fakatNumaralı alt dizin, bu setteki her kişinin sıra numarasını gösterecektir. Yeni bir ölçüm birimi "Penis" tanıtıyoruz ve mektubunu belirtiriz. b.. Cinsel işaretler tüm insanlarda doğal olduğundan, setin her öğesini çarpın FAKAT Cinsel tabelada b.. Lütfen, şimdi birçok insanımızın birçok "cinsel işaretleri olan insanlar" olduğuna dikkat edin. Bundan sonra, erkekler için genital işaretleri bölebiliriz. bM. ve kadınlar bw Cinsel işaretler. Şimdi matematiksel bir filtre uygulayabiliriz: Bu cinsel işaretlerden birini seçiyoruz, bu da erkek veya dişi olana kayıtsızdır. Eğer insanlarda bulunursa, böyle bir işaret yoksa, birine çarpın - sıfıra çarpın. Ve sonra olağan okul matematiğini uygulayın. Ne olduğunu görmek.

Çarpma, kısaltmalar ve yeniden gruplandırmadan sonra, iki alt gruba girdik: bir erkek alt grubu BM. ve kadınların bir alt kümesi Bw. Uygulamadaki set teorisini kullandıklarında yaklaşık aynı matematikçi nedeni. Ancak bizi bize ayırmazlar, ancak bitmiş sonucu vermezler - "Birçok insan erkek ve bir kadın alt kümesinden oluşur." Doğal olarak, yukarıdaki dönüşümlerde matematiğin ne kadar doğru uygulandığı bir sorunuz olabilir mi? Sizi temin ederim, esasen dönüşümler her şeyi doğru yaptılar, aritmetik, Boolean cebiri ve matematiğin diğer bölümlerinin matematiksel gerekçesini bilmek yeterlidir. Ne olduğunu? Başka birinin zamanı size bunu söyleyeceğim.

Örnekler için, iki seti bir öncül olarak birleştirmek mümkündür, bu iki setin elemanlarında mevcut bir ölçüm birimi oluşturur.

Gördüğünüz gibi, ölçüm ve sıradan matematik birimleri, set teorisini geçmişin kalıntısına dönüştürür. Set teorisinin tamamı doğru olmadığı gerçeğinin bir işareti, matematik setleri teorisi için, kendi dilleri ve kendi tanımları gelmiştir. Matematik bir zamanlar şamanlar olarak kabul edildi. Sadece şamanlar, "Bilgilerini" nasıl uygularlarını nasıl uyguladığını biliyor. Bu "bilgi" bize öğretiyorlar.

Sonuç olarak, size matematiğin nasıl manipüle ettiğini göstermek istiyorum.
Aşillerin kaplumbağadan on kat daha hızlı çalıştığını varsayalım ve binlerce adım mesafedeki arkasında. Aşillerin bu mesafeden geçtiği zaman için, aynı tarafta yüz adım çarpacak. Aşil yüz adımlar attığında, kaplumbağa yaklaşık on basamakta sürünür. Süreç sonsuzluğa devam edecek, Aşiller asla kaplumbağaya yaklaşmayacak.

Bu akıl yürütme, sonraki nesiller için mantıklı bir şok haline geldi. Aristoteles, Diogen, Kant, Hegel, Hilbert ... Hepsi bir şekilde Zenon'un apriyolojisi olarak kabul edildi. Şok çok güçlü olduğu ortaya çıktı " ... Tartışmalar devam ediyor ve şu anda, paradoksların özündeki genel görüşe gelmesi için, bilimsel topluluğa paradoksların özü henüz mümkün olmadı ... Matematiksel bir analiz, set teorisi, yeni fiziksel ve felsefi yaklaşımlar dahil edildi. konunun incelenmesi; Hiçbiri, konunun genel kabul gören bir sorunu olmadı ..."[Wikipedia," Yenon Apriya "]. Herkes engellendiklerini anlar, ancak kimsenin aldatmanın ne olduğunu anlamaz.

Matematik açısından, Aproria'daki Zeno, değerden geçişi açıkça gösterdi. Bu geçiş sabit yerine başvuru anlamına gelir. Anladığım kadarıyla, ölçüm birimlerinin değişkenlerinin kullanımının henüz geliştirilmemiştir ya da Zenon'un eşiğine uygulanmadı. Sıradan mantığımızın kullanımı bizi bir tuzağa götürür. Biz, inertia tarafından, invertöre kalıcı zaman ölçüm birimleri kullanın. Fiziksel bir bakış açısıyla, aşillerin bir kaplumbağa ile doldurulduğu anda tam durduğu zamanın yavaşlaması gibi görünüyor. Zaman durursa, Aşil artık kaplumbağayı geçemez.

Mantığı genellikle çevirirseniz, her şey yer alır. Aşil sürekli bir hızda çalışır. Yolunun sonraki her bir bölümü, öncekinden on kat daha kısa. Buna göre, üstesinden gelmek için harcanan zaman, öncekinden on kat daha az. Bu durumda "sonsuzluk" kavramını uyguluyorsanız, doğru bir şekilde "Aşiller sonsuz şekilde kaplumbağayı hızla yakalayacak" diyecektir.

Bu mantıksal tuzaktan nasıl kaçınılır? Kalıcı zaman ölçüm birimlerinde kalın ve geriye doğru değerlere hareket etmeyin. Zenon dilinde, şöyle görünüyor:

Bu süre boyunca, aşilaların bin adım attığı için, yüzlerce adım kaplumbağayı aynı tarafa kıracaktır. Bir dahaki sefere aralık için, ilke eşit, Aşillerin bin adım atacak ve kaplumbağa yüz adım atacak. Şimdi Aşil, kaplumbağanın önündeki sekiz yüz adım.

Bu yaklaşım, herhangi bir mantıksal paradoklar olmadan gerçeği yeterince tanımlar. Ancak bu, soruna tam bir çözüm değildir. Zenonian Achilles ve Kaplumbağa Agrac'ta, ışık hızının dayanılmazlığı konusunda Einstein'ın beyanına çok benzer. Hala bu sorunu okumak, yeniden düşünmek ve çözmek zorundayız. Ve karar, sonsuz miktarda çok sayıda değil, ölçüm birimlerinde yapılmalıdır.

Başka bir ilginç Yenon Aproria, uçan okları anlatıyor:

Uçan ok hala, çünkü her anın dayandığı ve her zaman dayandığı için her zaman dayanır.

Bu manorda, mantıksal paradoks çok basittir - her an, uçan okun, aslında hareket olduğu farklı alan noktalarında dinlendiğini açıklığa kavuşturmak için yeterlidir. Burada başka bir an nota ihtiyacınız var. Yoldaki arabanın bir fotoğrafına göre, hareketinin gerçeğini ne de ona olan mesafeyi belirlemek imkansızdır. Otomobilin hareketinin gerçeğini belirlemek için, zaman içinde farklı noktalarda bir noktadan yapılmış iki fotoğrafa ihtiyacınız vardır, ancak mesafeyi belirlemek imkansızdır. Arabaya olan mesafeyi belirlemek için, zaman içinde bir noktada farklı alan noktalarından yapılmış iki fotoğraf, ancak hareketin gerçeğini belirlemek imkansızdır (doğal olarak, hesaplamalar için, size yardımcı olmak için trigonometri). Özel dikkat çekmek istediğim şey, zamanla iki noktanın ve uzayda iki noktanın kafası karışmaması gereken farklı şeylerdir, çünkü araştırma için farklı fırsatlar sunarlar.
Örnekte işlemi göstereceğim. "Yastık için kırmızı katı" seçiyoruz - bu bizim "bütün". Aynı zamanda, bu şeylerin bir yayla olduğunu ve bir yay olmadan olduğunu görüyoruz. Bundan sonra, "bütün" nin bir kısmını seçiyoruz ve "bir yayla" çok fazla şey kuruyoruz. Böylece şamanlar yemlerini yapar, set teorilerini gerçeğe bağlar.

Şimdi biraz kirli yapalım. "Yay ile bir parayla sert" alın ve bu "bütün" renk işaretini, kırmızı elemanları sallayın. Çok fazla "kırmızı" aldık. Şimdi soru omurgada: elde edilen "bir yayla" ve "kırmızı" setleri aynı set veya iki farklı settir? Sadece şamanlar cevabı biliyor. Daha kesin olarak, kendileri hiçbir şey bilmiyorlar, ama söyleyecekler.

Bu basit örnek, gerçeklik söz konusu olduğunda set teorisinin tamamen işe yaramaz olduğunu göstermektedir. Sırrı nedir? Bir sürü "yay ile bir parayla kırmızı katı" oluşturduk. Formasyon dört farklı ölçüm biriminde meydana geldi: renk (kırmızı), güç (katı), pürüzlülük (bir çekmede), süslemeler (bir yay ile). Sadece ölçüm birimleri kümesi, matematik dilindeki gerçek nesneleri tanımlamak için yeterince yeterince izin verir.. Bu gibi görünüyor.

Farklı endekslerle "A" harfi, farklı ölçüm birimlerini gösterir. Parantez içinde, "bütün", ön adımda vurgulandığı ölçüm birimleri. Parantezlerin arkasında bir set tarafından oluşturulan bir ölçüm birimi yaptı. İkinci çizgi nihai sonucu gösterir - kümenin elemanı. Gördüğünüz gibi, bir set oluşturmak için ölçüm birimleri kullanırsanız, sonuç eylemlerimizin sırasına bağlı değildir. Ve bu zaten matematik, şamanların dans edilmesini değil. Şamanlar, "belirgin" olarak, "belirgin", çünkü ölçüm birimleri "bilimsel" arsenallerine dahil edilmediğinden, aynı sonucu "sezgisel" olabilir.

Ölçüm birimlerini kullanarak, birini bölmek çok kolaydır veya birkaç seti bir alarmın içine birleştirmesi çok kolaydır. Bu sürecin cebirine daha dikkatli bir şekilde bakalım.

Trigonometrideki formüller çok.

Onları mekanik olarak çok zor, neredeyse imkansız olduğunu unutmayın. Sınıfta, birçok okul çocuğu ve öğrenciler, ders kitaplarının ve dizüstü bilgisayarların, duvarlarda posterlerin, nihayetlerden sonra posterlerin forbaslarındaki baskıların tadını çıkarır. Ve sınavda nasıl olacağı?

Ancak, bu formüllere bir göz atıyorsanız, hepsinin birbirine bağlandıklarını ve belirli bir simetriye sahip olduklarını göreceksiniz. Trigonometrik fonksiyonların tanımlarını ve özelliklerini göz önünde bulundurarak, kalbiyle gerçekten öğrenmeye değer olan minimumları belirlemek için analiz edelim.

Ben grup. Büyük kimlikler

sin 2 α + cos 2 α \u003d 1;

tgα \u003d. ____ Sinα cosα; Ctgα \u003d. ____ Cosa Sinα. ;

tgα · ctgα \u003d 1;

1 + tg 2 α \u003d _____ 1 cos 2 α; 1 + CTG 2 α \u003d _____ 1 Sin 2 α.

Bu grup, en basit ve en popüler formülleri içerir. Çoğu öğrenci onları tanıyor. Ancak hala zorluklar varsa, ilk üç formülü hatırlamak için, zihinsel olarak bir hipotenükleer olan bir dikdörtgen üçgen hayal edin. Daha sonra Kartets, Sinus'u (ters kateşin hipotenusuna oranı) ve cosa'yı belirlemek için sırasıyla, Sina, kosineyi (bitişik kateşin hipotenüs için oranı) belirlemek için sırasıyla eşit olacaktır.

İlk formül, böyle bir üçgen için pisagorlar teoremidir - katetlerin karelerinin toplamı hipotenusun karesine eşittir (1 2 \u003d 1), ikinci ve üçüncüsü teğetin tanımlarıdır (oranı bitişiğin karşısında kategori) ve katangen (bitişik kategorinin tersine oranı).
Kotangenler üzerindeki teğet işleri 1'dir, çünkü bir fraksiyon formunda kaydedilen fraksiyon (formül üçüncü) ters bir teğettir (ikinci formül). Son değerlendirme, bu arada, bir sonraki uzun formülleri Kotanjentli tüm uzun formülleri ezberlemek için gerekli olduğu formüllerden dışlanmasını mümkün kılar. Herhangi bir zor görevde CTGa ile tanışırsanız, sadece bir kesir ile değiştirin ___ 1 tgα. Ve teğet için formülleri kullanın.

Son iki formül ezberlenemez. Daha az yaygındırlar. Ve eğer ihtiyacınız varsa, onları her zaman taslakta geri çekebilirsiniz. Bunu yapmak için, bir fraksiyondan sonra (sırasıyla iki ve üçüncü olan formül (formül) bir teğet veya tanjant veya tanjantasyonun teması yerine takas etmek ve ifadeyi genel paydaya yönlendirmek yeterlidir. Ancak, teğet ve kosinüsün karelerini bağlayan bu tür formüllerin ve Kotangens ve Sinus karelerinin var olduğunu hatırlamak önemlidir. Aksi takdirde, belirli bir görevi çözmek için hangi dönüşümlerin gerekli olduğunu tahmin edemezsiniz.

II GRUBU. Formül ilavesi

günah (α + β) \u003d sinα · cosp + cosα · sinerj;

sIN (α - β) \u003d Sinα · Cosβ - Cosα · Sinβ;

cos (α + β) \u003d cosα · cosβ - sinα · sinerj;

cos (α - β) \u003d cosα · cosp + sinα · sinerj;

tg (α + β) \u003d TGA + TGβ _________ 1 - TGA · TGβ;

tg (α - β) \u003d

Trigonometrik fonksiyonların paritesinin / tuhaflığının doğruluğunu hatırlayın:

günah (-α) \u003d - günah (α); cos (-α) \u003d cos (α); Tg (-α) \u003d - tg (α).

Tüm trigonometrik fonksiyonlardan, yalnızca kosinik bir fonksiyondur ve argüman işaretini (açı) değiştirirken işaretini değiştirmez, kalan fonksiyonlar tekdir. İşlevin doğruluğu, aslında, eksi işaretinin yapılması ve fonksiyon işaretini çıkarabileceği anlamına gelir. Bu nedenle, iki açının farkına sahip bir trigonometrik ifadeyle karşılaşırsanız, onu her zaman olumlu ve olumsuz açıların toplamı olarak anlayabilirsiniz.

Örneğin, günah ( x. - 30º) \u003d günah ( x. + (-30º)).
Daha sonra, iki açının formülünü kullanıyoruz ve işaretlerle uğraşıyoruz:
günah ( x. + (-30º)) \u003d günah x.· COS (-30º) + COS x.· Günah (-30º) \u003d
\u003d Günah x.· COS30º - COS x.· Sin30º.

Böylece, açılar farkını içeren tüm formüller, ilk ezberlemede basitçe atlanabilir. O zaman onları genel olarak, önce taslakta ve daha sonra zihinsel olarak geri yüklemeyi öğrenmelisiniz.

Örneğin, TG (α - β) \u003d tg (α + (-β)) \u003d Tgα + tg (-β) ___________ 1 - tgα · tg (-β) = Tgα - tgβ _________ 1 + tgα · tg.

Bu, bir trigonometri görevini çözmek için hangi dönüşümlerin uygulanması gerektiğini tahmin etmek için daha hızlı yardımcı olacaktır.

Sh grubu. Çoklu argümanların formülleri

sin2α \u003d 2 · Sinα · Cosa;

cos2α \u003d cos 2 α - sin 2 α;

tg2α \u003d. 2Tgα _______ 1 - tg 2 α;

sin3α \u003d 3Sinα - 4Sin 3 α;

cos3α \u003d 4cos 3 α - 3Cosα.

Sinüs ve kosinüs için formülleri kullanma ihtiyacı, teğet için de çok sık meydana gelir. Bu formüller kalp tarafından bilinmelidir. Ayrıca, ezberlemelerinde zorluklar yoktur. İlk olarak, formüller kısa. İkincisi, 2α \u003d α + α'nın bulunduğu gerçeğine dayanarak önceki grubun formülleri ile kolayca kontrol edilirler.
Örneğin:
günah (α + β) \u003d sinα · cosp + cosα · sinerj;
günah (α + α) \u003d sinα · cosα + cosα · sinα;
Sin2α \u003d 2Sinα · Cosa.

Bununla birlikte, bu formülleri daha hızlı öğrendiyseniz, öncekilerden daha hızlı bir şekilde öğrendiyseniz, aykırı olarak hareket edebilirsiniz: Formülü, iki açının toplamı için iki açının toplamı için bir çift açı için.

Örneğin, iki açının toplamının bir kosinüs formülüne ihtiyacınız varsa:
1) İkili Köşe Cosine Formula'yı hatırlayın: cos2. x. \u003d Cos 2. x. - Sin 2. x.;
2) Biz uzun boya: cos ( x. + x.) \u003d Çünkü. x.· Çünkü. x. - GÜNAH x.· GÜNAH x.;
3) Birini değiştirin h. Α, ikinci β üzerinde: cos (α + β) \u003d cosα · cosβ - sina · sinerj.

Sinüs toplamı ve teğet miktarı için formülleri geri yüklemek için benzer şekilde tekrarlayın. EGE gibi sorumlu durumlarda, düşük bilinen birinci çeyrekte düşük formüllerin doğruluğunu kontrol edin: 0º, 30º, 45º, 60º, 90º.

Önceki formülün kontrolü (3 numaralı satırda değiştirilerek elde edilir):
İzin vermek α \u003d 60 °, β \u003d 30 °, α + β \u003d 90 °,
sonra cos (α + β) \u003d cos90 ° \u003d 0, cosα \u003d cos60 ° \u003d 1/2, cosβ \u003d cos30 ° \u003d √3 _ / 2, Sinα \u003d SIN60 ° \u003d √3 _ / 2, sinβ \u003d sin30 ° \u003d 1/2;
Formüldeki değerleri değiştiriyoruz: 0 \u003d (1/2) · ( √3_ /2) − (√3_ / 2) · (1/2);
0 ≡ 0, hatalar tespit edilmez.

Üçlü bir açı için formüller, bence "aracı" için gerekli değildir. Ege'nin sınavlarında nadiren bulunurlar. Daha yüksek olan formüllerden kolayca elde edilirler, çünkü sin3α \u003d günah (2a + α). Ve neden bir nedenden dolayı bu formülleri kalpten öğrenmeleri gerekiyor olan öğrenciler, bazı "simetrilere" dikkat etmenizi ve formülleri kendilerini değil, mnemonik kuralları hatırlamanızı tavsiye ederim. Örneğin, sayıların iki formülde bulunduğu sıra "33433433", vb.

İv grubu. Miktar / fark -

sinα + Sinβ \u003d 2 · günah α + β ____ 2· Çünkü. α - β ____ 2 ;

sinα - Sinβ \u003d 2 · Günah α - β ____ 2· Çünkü. α + β ____ 2 ;

cosα + cosβ \u003d 2 · çünkü α + β ____ 2· Çünkü. α - β ____ 2 ;

cosα - cosβ \u003d -2 · günah α - β ____ 2· GÜNAH α + β ____ 2 ;

tgα + tgβ \u003d günah (α + β) ________ cosα · cosβ ;

tgα - tgβ \u003d günah (α - β) ________ cosα · cosβ .

Sinüs ve teğet fonksiyonlarının doğruluğunu kullanarak: günah (-α) \u003d - günah (α); Tg (-α) \u003d - tg (α),
Toplamları için formülleri azaltmak için iki fonksiyonun farklılıkları için formüller olabilirsiniz. Örneğin,

sIN90º - SIN30º \u003d SIN90º + SIN (-30º) \u003d 2 · günah 90º + (-30º) __________ 2· Çünkü. 90º - (-30º) __________ 2 =

2 · SIN30º · COS60º \u003d 2 · (1/2) · (1/2) \u003d 1/2.

Böylece, sinüs ve teğim farklarının formülleri mutlaka hemen ezberlemeler.
Kosininin toplamı ve farkı ile durum daha karmaşık. Bu formüller değiştirilemez. Ancak yine kosinüsün paritesini kullanarak, aşağıdaki kuralları hatırlayabilirsiniz.

COSa + COSβ miktarı, açıların belirtilerindeki herhangi bir değişiklik için işaretini değiştiremez, bu nedenle ürün de fonksiyonlardan oluşmalıdır, yani. İki kosunik.

Cosa - Cosβ fark işareti, işlevlerin kendilerinin değerlerine bağlıdır, yani çalışma işaretinin açıların korelasyonuna bağlı olması gerektiği anlamına gelir, bu nedenle ürün garip fonksiyonlardan oluşmalıdır, yani. iki sinüs.

Bununla birlikte, bu formül grubu ezberlenmesi en kolay değildir. Keskinleştirmek daha iyi olduğunda, ancak daha fazla kontrol olması durumunda. Verilen bir sınavda formüldeki hataları önlemek için, ilk önce taslağı kaydettiğinizden ve iki şekilde kontrol ediniz. İlk ikameler β \u003d α ve β \u003d -α, daha sonra basit açılar için bilinen fonksiyon değerleri ile. Bunu yapmak için, yukarıdaki örnekte yapıldığı için 90º ve 30º almak en iyisidir, çünkü bu değerlerin yarı diyet ve çökeltisi, yine basit açılar sağlar ve eşitliğin kimlik nasıl olduğunu kolayca görebilirsiniz. doğru seçenek. Veya aksine, yanılıyorsanız yürütülmedi.

Misalformül Cosα - Cosβ \u003d 2 · günah kontrolleri α - β ____ 2· GÜNAH α + β ____ 2 Kosinik farkı için bir hata ile !

1) β \u003d α, sonra cosα - cosα \u003d 2 · günah α - α _____ 2· GÜNAH α + α _____ 2 \u003d 2SIN0 · Sinα \u003d 0 · Sinα \u003d 0. Cosα - Cosα ≡ 0.

2) β \u003d - α, sonra cosα - cos (- a) \u003d 2 · günah α - (-α) _______ 2· GÜNAH α + (-α) _______ 2 \u003d 2Sinα · Sin0 \u003d 0 · Sinα \u003d 0. Cosα - COS (- α) \u003d Cosα - Cosα ≡ 0.

Bu kontroller, formüldeki fonksiyonların doğru kullanıldığını, ancak kimliğin Tip 0 ≡ 0'sını elde ettiği gerçeğinden dolayı, işareti veya bir katsayılı bir hata kaçırılabilir. Üçüncü bir kontrol yapıyoruz.

3) α \u003d 90º, β \u003d 30º, ardından COS90º - COS30º \u003d 2 · günah 90º - 30º ________ 2· GÜNAH 90º + 30º ________ 2 \u003d 2SIN30º · SIN60º \u003d 2 · (1/2) · (√3 _ /2) = √3_ /2.

cOS90 - COS30 \u003d 0 - √3 _ /2 = −√3_ /2 ≠ √3_ /2.

Hata gerçekten işaretteyim ve sadece işten önce işaretinde.

V grubu. İş - miktar / farkında

sinα · Sinβ \u003d 1 _ 2 · (COS (a - β) - COS (α + β));

cosα · cosβ \u003d 1 _ 2 · (Cos (a - β) + cos (α + β));

sinα · cosβ \u003d 1 _ 2 · (Günah (α - β) + günah (α + β)).

Beşinci formül grubunun adı, bu formüllerin önceki gruba göre ters olduğunu göstermektedir. Bu durumda, taslak üzerindeki formülü geri yüklemenin daha kolay olması, tekrar öğrenmekten daha kolaydır, "kafasına yulaf lapası" riskini arttırır. Formülün daha hızlı geri kazanılmasına odaklanmak mantıklı olan tek şey, bunlar aşağıdaki eşitliklerdir (bunları kontrol edin):

α = α + β ____ 2 + α - β ____ 2; β = α + β ____ 2 − α - β ____ 2.

Düşünmek misal: Sin5'i dönüştürmeniz gerekiyor x.· COS3. x. İki trigonometrik fonksiyonun toplamında.
Çalışma Sinüs ve Kosinüs'ü içerdiğinden, daha önce öğrenilen sinüslerin miktarı için önceki gruptan alacağız ve daha önce öğrenildiği ve taslağı üzerine yazıyoruz.

sinα + Sinβ \u003d 2 · günah α + β ____ 2· Çünkü. α - β ____ 2

5 olsun. x. = α + β ____ 2 ve 3. x. = α - β ____ 2 , sonra α \u003d α + β ____ 2 + α - β ____ 2 = 5x. + 3x. = 8x., β = α + β ____ 2 − α - β ____ 2 = 5x. − 3x. = 2x..

Formülde, açıların değerlerini taslağın değerlerini değiştirir, a ve β değişkenleri aracılığıyla, değişken boyunca ifade edilen açıların değerleri üzerinde ifade edilir. x..
Teslim almak sin8. x. + Sin2. x. \u003d 2 · SIN5 x.· COS3. x.

Adaletin her iki kısmını 2 için 2'ye böleriz ve son sola doğru yazıyoruz. sin5 x.· COS3. x. = 1 _ 2 (Sin8. x. + Sin2. x.). Cevap hazır.

Bir egzersiz olarak: Neden 6'nın çalışmasındaki miktarı / farkı dönüştürmek için ders kitabı formülünde neden açıklayın (bir ürünü toplamda veya farkla dönüştürmek için) - sadece 3?

Vi grubu. Derece Azaltma Formülleri

cos 2 α \u003d 1 + cos2α _________ 2;

sin 2 α \u003d 1 - cos2α _________ 2;

cos 3 α \u003d 3COSa + COS3Α ____________ 4;

günah 3 α \u003d 3Sinα - Sin3α ____________ 4.

Bu grubun ilk iki formülü çok gereklidir. Genellikle, tek bir sınavın seviyesi de dahil olmak üzere trigonometrik denklemlerin yanı sıra bir trigonometrik türün temel fonksiyonlarını içeren integrallerin hesaplanmasında kullanılır.

Onları aşağıdaki "Tek Katlı" formda hatırlamak daha kolay olabilir.
2COS 2 α \u003d 1 + cos2α;
2 Sin 2 α \u003d 1 - Cos2α,
Ve her zaman 2'ye veya taslağın içine bölünebilirsiniz.

Sınavlardaki aşağıdaki iki formül (fonksiyon küpleri ile) kullanma ihtiyacı çok daha az yaygındır. Başka bir ortamda, taslağı kullanmak için her zaman zamanınız olacaktır. Aşağıdaki seçenekler mümkündür:
1) Grup III'in son iki formülünü hatırlıyorsanız, Sin 3 α ve COS 3 α'yı basit dönüşümlerle ifade etmek için kullanın.
2) Bu grubun son iki formülünde, ezberlemelerine katkıda bulunan simetri unsurlarını fark ettiyseniz, taslağın üzerindeki formüllerin eskizlerini yazıp ana köşelerin değerleri ile kontrol edin.
3) Bu tür derece azaltma formüllerinin yanı sıra, onlar hakkında hiçbir şey bilmiyorsanız, günah 3 α \u003d sin 2 a · sina ve diğer öğrenilmiş formüllerin gerçeğine dayanarak, problemi aşamalar halinde çözer. Meydan için derecelendirme formülleri ve işin miktarın dönüşümü için formül.

Vii grubu. Yarım argüman

günah. α _ 2. = ± √ 1 - cosα ________ 2;_____

Çünkü. α _ 2. = ± √ 1 + cosα ________ 2;_____

tg. α _ 2. = ± √ 1 - Cosα ________ 1 + cosα._____

Ders kitaplarında ve referans kitaplarında sunuldukları formda bu formül grubunun kalbiyle ezberlemedeki noktayı göremiyorum. Bunu anlarsan α 2α'nın yarısıdır, Bu, dereceyi düşürmek için ilk iki formüle dayanarak, istenen yarım argüman formülünü hızlı bir şekilde türetmek için yeterlidir.

Bu aynı zamanda yarım açılı teğet için de geçerlidir, bunun için sinüs ekspresyonunun kosinüs için karşılık gelen ifadeye bölünmesi ile elde edilen formül.

Sadece bir işaret koymak için karekökü çıkarırken unutmayın ± .

VIII Group. Evrensel Değiştirme

sinα \u003d 2TG (α / 2) _________ 1 + Tg2 (a / 2);

cosα \u003d 1 - TG2 (a / 2) __________ 1 + TG 2 (α / 2);

tgα \u003d. 2TG (α / 2) _________ 1 - TG 2 (α / 2).

Bu formüller, her türden trigonometrik işleri çözmek için son derece faydalı olabilir. "Bir argüman bir fonksiyon" ilkesinin farkına varmanıza izin verir, bu da karmaşık trigonometrik ifadeleri cebire indiren değişkenleri değiştirmenize olanak tanırlar. Bu ikamenin evrensel olarak adlandırılması şaşırtıcı değil.
İlk iki formül öğrenmesi gerekir. Üçüncüsü, birinci ikisini birbirimize TGα Tangent'in tanımı gereği bölünerek elde edilebilir \u003d sinα ___ cosα.

İx grubu. Formülleri talep et.

Bu grup trigonometrik formüllerle başa çıkmak için FIE

X Group. Ana köşeler için değerler.

İlk çeyreğin ana köşeleri için trigonometrik fonksiyonların değerleri verilmiştir.

Öyleyse yap çıktı: Formüller trigonometrisinin bilmesi gerekiyor. Daha büyük daha iyi. Fakat zamanınızı ve çabanızı harcayacakları - formülleri ezberlemek ya da işleri çözme sürecinde toparlanmaları üzerine, herkes bağımsız olarak çözülmelidir.

Trigonometri formüllerini kullanma görevi örneği

Denklemi Çözme sin5 x.· COS3. x. - Sin8. x.· COS6. x. = 0.

İki farklı fonksiyon var () ve COS () ve dört! Farklı argümanlar 5. x., 3x., 8x. ve 6. x.. Ön dönüşümler olmadan, en basit trigonometrik denklem türlerini azaltmak mümkün olmayacaktır. Bu nedenle, ilk önce çalışmaları fonksiyonların miktarları veya farkı üzerindeki değiştirmeye çalıştık.
Yukarıdaki örnekte olduğu gibi yaparız (bkz. Bölüm).

günah (5. x. + 3x.) + günah (5 x. − 3x.) \u003d 2 · sin5 x.· COS3. x.
Sin8. x. + Sin2. x. \u003d 2 · SIN5 x.· COS3. x.

günah (8. x. + 6x.) + günah (8 x. − 6x.) \u003d 2 · SIN8 x.· COS6. x.
SIN14. x. + Sin2. x. \u003d 2 · SIN8 x.· COS6. x.

Çalışmayı bu eşitliklerden ifade etmek, onları denklem için değiştiriyoruz. Alıyoruz:

(Sin8. x. + Sin2. x.) / 2 - (SIN14 x. + Sin2. x.)/2 = 0.

Denklemin her iki bölümünün 2'sini çarptık, parantez ortaya çıkarmak ve böyle üyelere

SIN8. x. + Sin2. x. - SIN14. x. - Sin2. x. = 0;
Sin8. x. - SIN14. x. = 0.

Denklem önemli ölçüde basitleştirdi, ancak bunu çözmek için SIN8 x. \u003d SIN14. x., bu nedenle, 8. x. = 14x. + T, burada t - dönem yanlıştır, çünkü bu sürenin değerini bilmiyoruz. Bu nedenle, eşitliğin sağ kısmında, çarpıcıları herhangi bir ifadede karşılaştırmanın kolay olduğu, 0 değerinde olduğunu kullanıyoruz.
Sin8'i ayrıştırmak için x. - SIN14. x. Çarpanlar için, farktan işe gitmeniz gerekir. Bunu yapmak için, sinüs farkını formülü veya tekrar sinüslerin formülü toplamını ve sinüs fonksiyonunun tuhaflığını kullanabilirsiniz (bölümdeki örneğe bakın).

sin8. x. - SIN14. x. \u003d SIN8. x. + günah (-14) x.) \u003d 2 · günah 8x. + (−14x.) __________ 2 · Çünkü. 8x. − (−14x.) __________ 2 \u003d günah (-3 x.) · COS11 x. \u003d -Sin3 x.· COS11 x..

Yani, Denklem Sin8 x. - SIN14. x. \u003d 0 SIN3 denklemine eşdeğerdir x.· COS11 x. \u003d 0, sırayla, iki basit SIN3 denkleminin birleşimine eşdeğerdir. x. \u003d 0 ve cos11 x. \u003d 0. İkincisini çözme, iki dizi cevap alıyoruz
x. 1 \u003d π. n./3, n.εz.
x. 2 \u003d π / 22 + π k./11, k.εz.

Bir hata algılandıysanız veya metinde tipik olarak, lütfen e-posta adresine bildirin. [E-posta Korumalı] . Çok minnettar olacağım.