Bir ikizkenar yamuğun etrafındaki daire nasıl tanımlanır? Yamuğun özelliklerini hatırlayın ve uygulayın

Bir yamuk içine bir daire yazılmışsa, problemin akıl yürütmenin gerçekleştirilebileceği birkaç yolu vardır.

1. Bir daire, ancak ve ancak karşıt kenarlarının uzunluklarının toplamı eşitse bir dörtgene yazılabilir. Şunu takip ediyor Bir yamuk içine bir daire yazılmışsa, tabanlarının toplamı kenarların toplamına eşittir.

AB+CD=AD+BC

2. Bir noktadan çizilen teğet doğru parçaları eşittir. Şunu takip ediyor

3. Bir yamuğun yüksekliği, yazılı dairenin çapının veya iki yarıçapının uzunluğuna eşittir.

MK yamuğun yüksekliğidir, MK=2r, burada r yamuğun içine yazılan dairenin yarıçapıdır.

4. Çemberin merkezi yamuğun açılarının açıortaylarının kesişme noktasıdır.

Temel bir soruna bakalım.

Temas noktası kenarı m ve n uzunluğundaki parçalara (CF=m, FD=n) bölüyorsa, yamuk içine yazılan dairenin yarıçapını bulun.

1) ∠ADC+∠BCD=180° (AD ve BC paralel çizgileri ile CD sekantının iç tek taraflı açılarının toplamı olarak);

2) O noktası yamuğun köşelerinin açıortaylarının kesişme noktası olduğundan, ∠ODF+∠OCF=1/2∙(∠ADC+∠BCD)=90°;

3) Bir üçgenin açılarının toplamı 180° olduğundan, üçgende COD ∠COD=90°;

4) dolayısıyla COD üçgeni dik açılıdır ve OF hipotenüse çizilen yüksekliktir, CF ve FD OC ve OD bacaklarının hipotenüse izdüşümleridir. Hipotenüse çizilen yükseklik bacakların hipotenüse izdüşümleri arasında olduğundan,

Bu nedenle, bir yamuk içine yazılan bir dairenin yarıçapı, yan taraf temas noktasına bölündüğü için bölümlerin uzunlukları cinsinden ifade edilir:

Ve bir yamuğun yüksekliği çapına eşit olduğundan, yamuğun yüksekliği bu bölümlerin uzunlukları cinsinden ifade edilebilir.

Yamuk, bir çift kenarın paralel olduğu bir dörtgenin özel bir durumudur. "Yamuk" terimi, "masa", "masa" anlamına gelen Yunanca τράπεζα kelimesinden gelir. Bu yazımızda yamuk çeşitlerine ve özelliklerine bakacağız. Ek olarak, bunun bireysel elemanlarının nasıl hesaplanacağını da bulacağız. Örneğin, ikizkenar yamuğun köşegeni, merkez çizgisi, alan vb. Malzeme, temel popüler geometri tarzında, yani. kolay erişilebilir bir biçimde sunulmaktadır. .

Genel bilgi

Öncelikle dörtgenin ne olduğunu bulalım. Bu şekil, dört kenar ve dört köşe içeren bir çokgenin özel bir durumudur. Bir dörtgenin bitişik olmayan iki köşesine zıt denir. Aynı şey bitişik olmayan iki taraf için de söylenebilir. Ana dörtgen türleri paralelkenar, dikdörtgen, eşkenar dörtgen, kare, yamuk ve deltoiddir.

O halde yamuklara geri dönelim. Daha önce de söylediğimiz gibi bu şeklin iki paralel tarafı var. Bunlara baz denir. Diğer ikisi (paralel olmayan) yan taraflardır. Sınavların ve çeşitli testlerin materyallerinde, genellikle öğrencinin programda sağlanmayan bilgilere sahip olmasını gerektiren yamuklarla ilgili problemleri bulabilirsiniz. Okul geometrisi dersi öğrencilere açıların ve köşegenlerin özelliklerinin yanı sıra ikizkenar yamuğun orta hattını tanıtır. Ancak bahsi geçen geometrik şeklin buna ek olarak başka özellikleri de vardır. Ama biraz sonra onlar hakkında daha fazla bilgi ...

Yamuk türleri

Bu figürün birçok türü vardır. Bununla birlikte, çoğu zaman ikisini dikkate almak gelenekseldir - ikizkenar ve dikdörtgen.

1. Dikdörtgen bir yamuk, kenarlardan birinin tabanlara dik olduğu bir şekildir. İki açısı her zaman doksan dereceye eşittir.

2. İkizkenar yamuk, kenarları birbirine eşit olan geometrik bir şekildir. Bu, çiftlerde tabanlardaki açıların da eşit olduğu anlamına gelir.

Bir yamuğun özelliklerini incelemek için metodolojinin temel prensipleri

Ana prensip, sözde görev yaklaşımının kullanılmasını içerir. Aslında bu şeklin yeni özelliklerinin geometrinin teorik dersine dahil edilmesine gerek yoktur. Çeşitli sorunları (tercihen sistem sorunlarını) çözme sürecinde keşfedilebilir ve formüle edilebilirler. Aynı zamanda öğretmenin, eğitim süreci boyunca öğrencilere belirli bir anda hangi görevlerin verilmesi gerektiğini bilmesi de çok önemlidir. Ayrıca yamuğun her özelliği, görev sisteminde anahtar bir görev olarak temsil edilebilir.

İkinci prensip, yamuğun “olağanüstü” özelliklerinin incelenmesinin sözde spiral organizasyonudur. Bu, öğrenme sürecinde belirli bir geometrik şeklin bireysel özelliklerine geri dönüş anlamına gelir. Bu, öğrencilerin bunları hatırlamasını kolaylaştırır. Örneğin dört noktanın özelliği. Hem benzerlik çalışırken hem de daha sonra vektörler kullanılarak kanıtlanabilir. Ve bir şeklin yan kenarlarına bitişik üçgenlerin denkliği, sadece aynı düz çizgi üzerinde bulunan kenarlara çizilen eşit yükseklikteki üçgenlerin özelliklerinin uygulanmasıyla değil, aynı zamanda S = 1/2( formülü kullanılarak da kanıtlanabilir. ab*sinα). Ek olarak, yazılı bir yamuk üzerinde veya yazılı bir yamuk üzerinde dik bir üçgen vb. üzerinde çalışabilirsiniz.

Bir okul dersinin içeriğinde geometrik bir figürün "müfredat dışı" özelliklerinin kullanılması, bunları öğretmek için göreve dayalı bir teknolojidir. Diğer konulardan geçerken çalışılan özelliklere sürekli değinmek, öğrencilerin yamuk hakkında daha derin bilgi sahibi olmalarını sağlar ve verilen problemlerin çözümünde başarılı olmalarını sağlar. Öyleyse bu harika figürü incelemeye başlayalım.

İkizkenar yamuğun elemanları ve özellikleri

Daha önce de belirttiğimiz gibi bu geometrik şeklin kenarları eşittir. Aynı zamanda doğru yamuk olarak da bilinir. Neden bu kadar dikkat çekici ve neden böyle bir isim aldı? Bu şeklin özelliği sadece tabanlardaki kenarların ve açıların değil aynı zamanda köşegenlerin de eşit olmasıdır. Ayrıca ikizkenar yamuğun açılarının toplamı 360 derecedir. Ama hepsi bu değil! Bilinen tüm yamuklardan yalnızca ikizkenar olanı daire olarak tanımlanabilir. Bunun nedeni, bu şeklin karşıt açılarının toplamının 180 dereceye eşit olmasıdır ve ancak bu koşulda bir dörtgenin etrafındaki daire tanımlanabilmektedir. Söz konusu geometrik şeklin bir sonraki özelliği, tabanın tepe noktasından karşı tepe noktasının bu tabanı içeren düz çizgiye izdüşümüne kadar olan mesafenin orta çizgiye eşit olmasıdır.

Şimdi ikizkenar yamuğun açılarını nasıl bulacağımızı bulalım. Şeklin kenar ölçülerinin bilinmesi şartıyla bu soruna bir çözüm düşünelim.

Çözüm

Tipik olarak bir dörtgen genellikle A, B, C, D harfleriyle gösterilir; burada BS ve AD tabanlardır. İkizkenar yamukta kenarlar eşittir. Boyutlarının X'e eşit olduğunu ve tabanların boyutlarının Y ve Z'ye eşit (sırasıyla daha küçük ve daha büyük) olduğunu varsayacağız. Hesaplamayı gerçekleştirmek için, B açısından H yüksekliğini çizmek gerekir. Sonuç, AB'nin hipotenüs ve BN ve AN'nin bacaklar olduğu bir ABN dik üçgenidir. AN bacağının boyutunu hesaplıyoruz: büyük tabandan küçük olanı çıkarıyoruz ve sonucu 2'ye bölüyoruz. Bunu bir formül şeklinde yazıyoruz: (Z-Y)/2 = F. Şimdi akutu hesaplamaya geçelim. Üçgenin açısını bulmak için cos fonksiyonunu kullanırız. Şu girdiyi elde ederiz: cos(β) = X/F. Şimdi açıyı hesaplıyoruz: β=arcos (X/F). Ayrıca, bir açıyı bilerek ikinciyi belirleyebiliriz, bunun için temel bir aritmetik işlem gerçekleştiririz: 180 - β. Tüm açılar tanımlanmıştır.

Bu sorunun ikinci bir çözümü var. İlk önce köşeden H yüksekliğine indiriyoruz. BN ayağının değerini hesaplıyoruz. Bir dik üçgende hipotenüsün karesinin dik kenarların karelerinin toplamına eşit olduğunu biliyoruz. Şunu elde ederiz: BN = √(X2-F2). Daha sonra trigonometrik fonksiyon olan tg'yi kullanıyoruz. Sonuç olarak elimizde: β = arktan (BN/F) bulunur. Dar bir açı bulundu. Daha sonra ilk yönteme benzer şekilde tanımlıyoruz.

Bir ikizkenar yamuğun köşegenlerinin özelliği

Öncelikle dört kural yazalım. Bir ikizkenar yamuktaki köşegenler dik ise, o zaman:

Şeklin yüksekliği tabanların toplamının ikiye bölünmesine eşit olacaktır;

Yüksekliği ve orta çizgisi eşittir;

Çemberin merkezi;

Yan taraf teğet noktasına göre H ve M bölümlerine bölünürse, bu bölümlerin çarpımının kareköküne eşittir;

Teğet noktaları, yamuğun tepe noktası ve yazılı dairenin merkezinin oluşturduğu dörtgen, kenarı yarıçapa eşit olan bir karedir;

Bir şeklin alanı tabanların çarpımına ve tabanlar ile yüksekliğin toplamının yarısının çarpımına eşittir.

Benzer yamuklar

Bu konu, bunun özelliklerini incelemek için çok uygundur. Örneğin, köşegenler bir yamuğu dört üçgene böler ve tabanlara bitişik olanlar benzer, yanlara bitişik olanlar ise eşit büyüklüktedir. Bu ifade, yamuğun köşegenleriyle bölündüğü üçgenlerin bir özelliği olarak adlandırılabilir. Bu ifadenin ilk kısmı iki açıdan benzerlik işaretiyle kanıtlanmıştır. İkinci kısmı ispatlamak için aşağıda verilen yöntemi kullanmak daha iyidir.

Teoremin kanıtı

ABSD şeklinin (AD ve BS yamuk tabanlarıdır) VD ve AC köşegenlerine bölündüğünü kabul ediyoruz. Kesişme noktaları O'dur. Dört üçgen elde ederiz: AOS - alt tabanda, BOS - üst tabanda, ABO ve SOD yanlarda. SOD ve BOS üçgenlerinin BO ve OD segmentleri tabanları ise ortak bir yüksekliğe sahiptir. Alanları arasındaki farkın (P), bu segmentler arasındaki farka eşit olduğunu bulduk: PBOS/PSOD = BO/OD = K. Dolayısıyla PSOD = PBOS/K. Benzer şekilde BOS ve AOB üçgenlerinin ortak yüksekliği vardır. CO ve OA segmentlerini temel alıyoruz. PBOS/PAOB = CO/OA = K ve PAOB = PBOS/K elde ederiz. Bundan PSOD = PAOB sonucu çıkar.

Materyali pekiştirmek için öğrencilere aşağıdaki problemi çözerek yamuğun köşegenleriyle bölündüğü ortaya çıkan üçgenlerin alanları arasındaki bağlantıyı bulmaları önerilir. BOS ve AOD üçgenlerinin eşit alanlara sahip olduğu bilinmektedir; yamuğun alanını bulmak gerekir. PSOD = PAOB olduğundan PABSD = PBOS+PAOD+2*PSOD anlamına gelir. BOS ve AOD üçgenlerinin benzerliğinden BO/OD = √(PBOS/PAOD) sonucu çıkar. Bu nedenle, PBOS/PSOD = BO/OD = √(PBOS/PAOD). PSOD = √(PBOS*PAOD) elde ederiz. O zaman PABSD = PBOS+PAOD+2*√(PBOS*PAOD) = (√PBOS+√PAOD)2.

Benzerliğin özellikleri

Bu konuyu geliştirmeye devam ederek yamukların diğer ilginç özelliklerini kanıtlayabiliriz. Böylece benzerlik kullanılarak, bu geometrik şeklin köşegenlerinin tabanlara paralel kesişmesiyle oluşan noktadan geçen bir doğru parçasının özelliği kanıtlanabilir. Bunu yapmak için şu problemi çözelim: O noktasından geçen RK doğru parçasının uzunluğunu bulmamız gerekiyor. AOD ve BOS üçgenlerinin benzerliğinden AO/OS = AD/BS sonucu çıkar. AOP ve ASB üçgenlerinin benzerliğinden AO/AC=RO/BS=AD/(BS+AD) sonucu çıkar. Buradan RO=BS*BP/(BS+BP) sonucunu elde ederiz. Benzer şekilde, DOC ve DBS üçgenlerinin benzerliğinden OK = BS*AD/(BS+AD) sonucu çıkar. Buradan RO=OK ve RK=2*BS*AD/(BS+AD) sonucunu elde ederiz. Tabanlara paralel olan ve iki yan kenarı birbirine bağlayan köşegenlerin kesişme noktasından geçen bir parça, kesişme noktası tarafından ikiye bölünür. Uzunluğu, şeklin tabanlarının harmonik ortalamasıdır.

Dört noktanın özelliği olarak adlandırılan yamuğun aşağıdaki özelliğini düşünün. Köşegenlerin kesişme noktaları (O), kenarların devamının kesişme noktaları (E) ve tabanların orta noktaları (T ve F) her zaman aynı çizgide bulunur. Bu benzerlik yöntemiyle kolayca kanıtlanabilir. Ortaya çıkan BES ve AED üçgenleri benzerdir ve her birinde ET ve EJ medyanları E köşe açısını eşit parçalara böler. Bu nedenle E, T ve F noktaları aynı düz çizgi üzerinde yer alır. Aynı şekilde T, O ve Zh noktaları da aynı düz çizgi üzerinde yer almaktadır.Bütün bunlar BOS ve AOD üçgenlerinin benzerliğinden kaynaklanmaktadır. Buradan dört noktanın (E, T, O ve F) aynı düz çizgi üzerinde olacağı sonucuna varıyoruz.

Benzer yamukları kullanarak öğrencilerden, şekli iki benzer parçaya bölen parçanın (LS) uzunluğunu bulmalarını isteyebilirsiniz. Bu segment tabanlara paralel olmalıdır. Ortaya çıkan yamuklar ALFD ve LBSF benzer olduğundan BS/LF = LF/AD olur. Bundan LF=√(BS*AD) sonucu çıkar. Yamuğu iki benzer parçaya bölen parçanın, şeklin taban uzunluklarının geometrik ortalamasına eşit bir uzunluğa sahip olduğunu buluyoruz.

Aşağıdaki benzerlik özelliğini göz önünde bulundurun. Yamuğu iki eşit parçaya bölen bir parçaya dayanmaktadır. ABSD yamuğunun EH segmenti tarafından iki benzer parçaya bölündüğünü varsayıyoruz. B köşesinden, EN segmenti tarafından B1 ve B2 olmak üzere iki parçaya bölünen bir yükseklik atlanır. Şunu elde ederiz: PABSD/2 = (BS+EN)*B1/2 = (AD+EN)*B2/2 ve PABSD = (BS+AD)*(B1+B2)/2. Daha sonra ilk denklemi (BS+EN)*B1 = (AD+EN)*B2 ve ikinci denklemi (BS+EN)*B1 = (BS+AD)*(B1+B2)/2 olan bir sistem oluşturuyoruz. Bu, B2/B1 = (BS+EN)/(AD+EN) ve BS+EN = ((BS+AD)/2)*(1+B2/B1) anlamına gelir. Yamuğu iki eşit parçaya bölen doğru parçasının uzunluğunun, taban uzunluklarının ortalama kareköküne eşit olduğunu buluyoruz: √((BS2+AD2)/2).

Benzerlik bulguları

Böylece şunu kanıtladık:

1. Bir yamuğun yan kenarlarının orta noktalarını birleştiren doğru parçası AD ve BS'ye paraleldir ve BS ile AD'nin aritmetik ortalamasına (yamuk tabanının uzunluğu) eşittir.

2. AD ve BS'ye paralel köşegenlerin kesişimindeki O noktasından geçen doğru, AD ve BS sayılarının harmonik ortalamasına eşit olacaktır (2*BS*AD/(BS+AD)).

3. Yamuğu benzerlerine bölen parça, BS ve AD tabanlarının geometrik ortalamasının uzunluğuna sahiptir.

4. Bir şekli iki eşit parçaya bölen eleman, AD ve BS sayılarının ortalama karekökünün uzunluğuna sahiptir.

Malzemeyi pekiştirmek ve dikkate alınan bölümler arasındaki bağlantıyı anlamak için öğrencinin bunları belirli bir yamuk için oluşturması gerekir. Orta çizgiyi ve şeklin köşegenlerinin kesişimi olan O noktasından tabanlara paralel geçen doğru parçasını kolaylıkla görüntüleyebilir. Peki üçüncü ve dördüncü nerede bulunacak? Bu cevap öğrenciyi ortalama değerler arasında istenen ilişkiyi keşfetmeye yönlendirecektir.

Bir yamuğun köşegenlerinin orta noktalarını birleştiren doğru parçası

Bu şeklin aşağıdaki özelliğini düşünün. MH doğru parçasının tabanlara paralel olduğunu ve köşegenleri ikiye böldüğünü varsayıyoruz. Kesişme noktalarına Ш ve Ш diyelim, bu segment tabanların farkının yarısına eşit olacaktır. Buna daha detaylı bakalım. MS, ABS üçgeninin orta çizgisidir, BS/2'ye eşittir. MSH ABD üçgeninin orta çizgisidir, AD/2'ye eşittir. Sonra şunu elde ederiz: ShShch = MSh-MSh, dolayısıyla ShShch = AD/2-BS/2 = (AD+VS)/2.

Ağırlık merkezi

Bu elemanın belirli bir geometrik şekil için nasıl belirlendiğine bakalım. Bunu yapmak için tabanları zıt yönlerde uzatmak gerekir. Bu ne anlama geliyor? Alt tabanı üst tabana - herhangi bir yönde, örneğin sağa - eklemeniz gerekir. Ve alttakini üsttekinin uzunluğu kadar sola doğru uzatıyoruz. Sonra onları çapraz olarak bağlarız. Bu parçanın şeklin orta çizgisiyle kesişme noktası yamuğun ağırlık merkezidir.

Yazılı ve çevrelenmiş yamuklar

Bu tür figürlerin özelliklerini sıralayalım:

1. Bir yamuk ancak ikizkenar ise bir daireye yazılabilir.

2. Taban uzunluklarının toplamı, kenar uzunluklarının toplamına eşit olmak koşuluyla, bir daire etrafında bir yamuk tanımlanabilir.

Çemberin sonuçları:

1. Tanımlanan yamuğun yüksekliği her zaman iki yarıçapa eşittir.

2. Tanımlanan yamuğun tarafı dairenin merkezinden dik açıyla görülmektedir.

İlk sonuç açıktır, ancak ikinciyi kanıtlamak için SOD açısının doğru olduğunu tespit etmek gerekir ki bu da aslında zor değildir. Ancak bu özelliğin bilgisi, problemleri çözerken dik üçgeni kullanmanıza izin verecektir.

Şimdi bir daire içine yazılan ikizkenar yamuk için bu sonuçları belirtelim. Yüksekliğin, şeklin tabanlarının geometrik ortalaması olduğunu buluyoruz: H=2R=√(BS*AD). Yamuk problemlerini çözmek için temel tekniği uygularken (iki yükseklik çizme ilkesi), öğrenci aşağıdaki görevi çözmelidir. BT'nin ikizkenar şekli ABSD'nin yüksekliği olduğunu varsayıyoruz. AT ve TD segmentlerini bulmak gerekir. Yukarıda açıklanan formülü kullanarak bunu yapmak zor olmayacaktır.

Şimdi çevrelenmiş yamuğun alanını kullanarak bir dairenin yarıçapını nasıl belirleyeceğimizi bulalım. Yüksekliği B köşesinden AD tabanına indiriyoruz. Daire bir yamuk içine yazılı olduğundan BS+AD = 2AB veya AB = (BS+AD)/2 olur. ABN üçgeninden sinα = BN/AB = 2*BN/(BS+AD)'yi buluruz. PABSD = (BS+BP)*BN/2, BN=2R. PABSD = (BS+BP)*R elde ederiz, bundan R = PABSD/(BS+BP) sonucu çıkar.

Yamuğun orta çizgisine ilişkin tüm formüller

Şimdi bu geometrik şeklin son unsuruna geçme zamanı. Yamuğun (M) orta çizgisinin neye eşit olduğunu bulalım:

1. Tabanlar aracılığıyla: M = (A+B)/2.

2. Yükseklik, taban ve köşeler boyunca:

M = A-H*(ctga+ctgβ)/2;

M = B+N*(ctgα+ctgβ)/2.

3. Yükseklik boyunca, köşegenler ve aralarındaki açı. Örneğin, D1 ve D2 bir yamuğun köşegenleridir; α, β - aralarındaki açılar:

M = D1*D2*sinα/2N = D1*D2*sinβ/2N.

4. Alan ve yükseklik boyunca: M = P/N.

Bir yamuğun çevre yarıçapı nasıl bulunur?

Koşullara bağlı olarak bu farklı şekillerde yapılabilir. Bir yamuk etrafında çevrelenen bir dairenin yarıçapı için hazır bir formül yoktur.

I. Bir yamuk etrafındaki çevrelenmiş dairenin yarıçapı, köşeleri yamuğun köşeleri olan bir üçgenin etrafındaki çevrelenmiş dairenin yarıçapına eşittir

Bir yamuğun çevrel çemberi tüm köşelerinden geçer, bu nedenle köşeleri yamuğun köşeleri olan üçgenlerden herhangi biri için sınırlandırılmıştır.

Genel olarak formüllerden biri kullanılarak bulunabilir.

a üçgenin kenarı, α ise karşısındaki açıdır;

veya formüle göre

burada a, b, c kenarlardır, S üçgenin alanıdır.

Bir ABCD yamuğu için yarıçap, örneğin ABD üçgeni etrafında çevrelenen bir dairenin yarıçapı olarak bulunabilir:

A açısının sinüsü ABF dik üçgeninden bulunabilir:

III. Bir yamuk etrafında çevrelenen bir dairenin yarıçapı, açıortay dikmelerinin kesişme noktasına olan mesafedir.

Çevrel dairenin yarıçapı, dik açıortayların yamuğun kenarlarıyla kesişme noktasıdır. (Farklı bir şekilde mantık yürütebilirsiniz: AOD ikizkenar üçgeninde (AO=OD=R), ON yüksekliği aynı zamanda ortancadır. BOC üçgeni için de aynısı doğrudur.)

Yamuğun yüksekliği biliniyorsa KN=h, AD=a, BC=b tabanları ON=x olarak gösterilebilir.

Çemberin merkezi yamuğun içinde yer alıyorsa, OK=h-x'i ANO ve BKO dik üçgenlerinden ifade edebiliriz.

ve sağ kenarları eşitleyin

Bu denklemleri x için çözerek R'yi bulabilirsiniz.

IV. Bir yamuğun köşegeni kenara dik ise, çevrelenen dairenin merkezi büyük tabanın ortasında yer alır ve yarıçapı büyük tabanın yarısı kadardır.

“Yamuğun ilginç özellikleri” proje çalışması Tamamlayan: 10. sınıf öğrencileri Kudzaeva Ellina Bazzaeva Diana MCOU Ortaokulu s. N.Batako Başkan: Gagieva A.O. 20 Kasım 2015

Çalışmanın amacı: Okul geometri dersinde işlenmeyen yamuğun özelliklerini dikkate almak, ancak Birleşik Devlet Sınavının geometrik problemlerini genişletilmiş C 4 bölümünden çözerken bilmek ve yapabilmek gerekli olabilir tam olarak bu özellikleri uygulayın.

Yamuğun özellikleri: Bir yamuk, tabanlarına paralel a ve b'ye eşit bir çizgi ile iki eşit yamuğa bölünürse. O zaman bu çizginin yan kenarlar arasında kalan kısmı B'ye eşittir.

Bir yamuğun köşegenlerinin kesişme noktasından geçen doğru parçasının özelliği. Köşegenlerin kesişme noktasından geçen tabanlara paralel parça şuna eşittir: a, c

Yamuğun özellikleri: Yamuğun içinde yer alan yamuğun tabanlarına paralel bir doğru parçası köşegenleriyle üç parçaya bölünmüştür. Daha sonra kenarlara bitişik bölümler birbirine eşittir. MP=OK R M O K

İkizkenar yamuğun özellikleri: Bir yamuğun içine bir daire yazılabilirse, dairenin yarıçapı, teğet noktasının kenarı böldüğü bölümlerle ortalama orantılıdır. OS V A D. E O

İkizkenar yamuğun özellikleri: Çevreleyen dairenin merkezi yamuğun tabanında yer alıyorsa köşegeni O A B C D kenarına diktir.

İkizkenar yamuğun özellikleri: Yan tarafı orta çizgisine eşitse bir ikizkenar yamuğun içine bir daire yazılabilir. S V A D h

1) Eğer problem cümlesi dikdörtgen bir yamuğun içine bir dairenin yazıldığını söylüyorsa, aşağıdaki özellikleri kullanabilirsiniz: 1. Yamuğun tabanlarının toplamı kenarlarının toplamına eşittir. 2. Yamuğun tepe noktasından yazılı dairenin teğet noktalarına olan mesafeler eşittir. 3. Dikdörtgen bir yamuğun yüksekliği küçük kenarına ve yazılı dairenin çapına eşittir. 4. Yazılı dairenin merkezi, yamuğun açılarının açıortaylarının kesişme noktasıdır. 5. Teğet noktası, tarafı m ve n parçalarına ayırırsa, yazılı dairenin yarıçapı şuna eşittir:

İçine bir dairenin yazılı olduğu dikdörtgen bir yamuğun özellikleri: 1) Yazılı dairenin merkezi, temas noktaları ve yamuğun tepe noktasından oluşan bir dörtgen - kenarı yarıçapa eşit olan bir kare. (AMOE ve BKOM kenarları r olan karelerdir). 2) Dikdörtgen bir yamuğun içine bir daire yazılmışsa, yamuğun alanı tabanlarının çarpımına eşittir: S=AD*BC

İspat: Bir yamuğun alanı, tabanları ile yüksekliğinin toplamının yarısının çarpımına eşittir: CF=m, FD=n olsun. Köşelerden teğet noktalara olan mesafeler eşit olduğundan yamuğun yüksekliği yazılı dairenin iki yarıçapına eşittir ve

I. Yamuğun yan tarafındaki açıların açıortayları 90° açıyla kesişir. 1)∠ABC+∠BAD=180° (AD∥BC ve sekant AB ile dahili tek taraflı). 2) ∠ABK+∠KAB=(∠ABC+∠BAD):2=90° (ortaylar açıları ikiye böldüğü için). 3) Bir üçgenin açılarının toplamı 180° olduğundan, ABK üçgeninde: ∠ABK+∠KAB+∠AKB=180°, dolayısıyla ∠AKB=180-90=90° elde ederiz. Sonuç: Yamuğun yan tarafındaki açıortayları dik açılarla kesişir. Bu ifade, içine bir dairenin yazılı olduğu bir yamuk üzerindeki problemleri çözerken kullanılır.

I I. Yan tarafa bitişik yamuğun açıortaylarının kesişme noktası yamuğun orta çizgisinde yer alır. ABC açısının açıortayının AD kenarını S noktasında kesmesine izin verin. O zaman ABS üçgeni BS tabanlı ikizkenardır. Bu, onun açıortayının AK'nin de bir medyan olduğu, yani K noktasının BS'nin orta noktası olduğu anlamına gelir. Eğer M ve N yamuğun yan kenarlarının orta noktalarıysa, bu durumda MN yamuğun orta çizgisidir ve MN∥AD olur. M ve K, AB ve BS'nin orta noktaları olduğundan, MK, ABS ve MK∥AS üçgeninin orta çizgisidir. M noktasından buna paralel yalnızca bir doğru çizilebildiğinden, K noktası yamuğun orta çizgisi üzerinde yer alır.

III. Bir yamuğun tabanındaki dar açıların açıortaylarının kesişme noktası başka bir tabana aittir. Bu durumda ABK ve DCK üçgenleri sırasıyla AK ve DK tabanlarına sahip ikizkenar üçgenlerdir. Böylece BC=BK+KC=AB+CD olur. Sonuç: Bir yamuğun dar açılarının açıortayları küçük tabana ait bir noktada kesişiyorsa, küçük taban yamuğun yan kenarlarının toplamına eşittir. Bu durumda ikizkenar yamuk, kendi tarafının iki katı büyüklüğünde daha küçük bir tabana sahiptir.

I V. Yamuğun tabanında geniş açıların açıortaylarının kesişme noktası başka bir tabana aittir. Bu durumda ABF ve DCF üçgenleri sırasıyla BF ve CF tabanlı ikizkenar üçgenlerdir. Dolayısıyla AD=AF+FD=AB+CD. Sonuç: Bir yamuğun geniş açılarının açıortayları büyük tabana ait bir noktada kesişiyorsa, büyük taban yamuğun yan kenarlarının toplamına eşittir. Bu durumda, ikizkenar yamuk, kenarının iki katı kadar daha büyük bir tabana sahiptir.

Kenarları a, b, c, d olan bir ikizkenar yamuk yazılabilir ve etrafına daireler çizilebilirse, o zaman yamuğun alanı

Yamuk dört açılı geometrik bir şekildir. Bir yamuk inşa ederken, karşıt iki tarafın paralel olduğunu, diğer ikisinin ise birbirine göre paralel olmadığını dikkate almak önemlidir. Bu kelime Antik Yunan'dan modern zamanlara geldi ve "masa", "yemek masası" anlamına gelen "trapedzion" gibi geliyordu.

Bu makale bir daire etrafında çevrelenen bir yamuğun özelliklerinden bahsediyor. Bu figürün türlerine ve unsurlarına da bakacağız.

Geometrik şekil yamuğunun elemanları, çeşitleri ve özellikleri

Bu şekildeki paralel kenarlara tabanlar, paralel olmayanlara ise kenarlar denir. Kenarların aynı uzunlukta olması şartıyla yamuk ikizkenar olarak kabul edilir. Kenarları tabana dik ve 90° açı yapan yamuğa dikdörtgen denir.

Görünüşte basit olan bu figürün, kendi özelliklerini vurgulayan, önemli sayıda özelliği vardır:

1. Kenarlara orta çizgi çizerseniz tabanlara paralel olacaktır. Bu segment bazların farkının 1/2'sine eşit olacaktır.
2. Bir yamuğun herhangi bir köşesinden bir açıortay oluştururken eşkenar üçgen oluşur.
3. Bir daire etrafında açıklanan yamuğun özelliklerinden, paralel kenarların toplamının tabanların toplamına eşit olması gerektiği bilinmektedir.
4. Kenarlardan birinin yamuğun tabanı olduğu çapraz bölümler oluştururken ortaya çıkan üçgenler benzer olacaktır.
5. Kenarlardan birinin yanal olduğu çapraz bölümler oluştururken ortaya çıkan üçgenler eşit alana sahip olacaktır.
6. Yan çizgilere devam edersek ve tabanın merkezinden bir parça oluşturursak, oluşan açı 90° olacaktır. Bazları birleştiren segment, farklarının 1/2'sine eşit olacaktır.

Bir daire etrafında çevrelenmiş bir yamuğun özellikleri

Bir daireyi yamuk içine almak yalnızca bir koşulla mümkündür. Bu şart, kenarların toplamının tabanların toplamına eşit olması gerektiğidir. Örneğin yamuk bir AFDM oluştururken AF + DM = FD + AM uygulanabilir. Sadece bu durumda bir daire yamuk içine alınabilir.

Yani, bir daire etrafında açıklanan yamuğun özellikleri hakkında daha fazla bilgi:

1. Bir daire bir yamuk içine alınmışsa, şekli yarıya kadar kesen çizgisinin uzunluğunu bulmak için, kenarların uzunluklarının toplamının 1/2'sini bulmak gerekir.
2. Bir daire etrafında çevrelenmiş bir yamuk inşa ederken, oluşan hipotenüs dairenin yarıçapıyla aynıdır ve yamuğun yüksekliği aynı zamanda dairenin çapıdır.
3. Bir daire etrafında çevrelenen ikizkenar yamuğun bir başka özelliği de, kenarının dairenin merkezinden 90° açıyla hemen görülebilmesidir.

Bir daire içine alınmış bir yamuğun özellikleri hakkında biraz daha

Bir daireye yalnızca ikizkenar yamuk yazılabilir. Bu, inşa edilen AFDM yamuğunun aşağıdaki gereksinimleri karşılayacağı koşulların karşılanmasının gerekli olduğu anlamına gelir: AF + DM = FD + MA.

Ptolemy'nin teoremi, bir daire içine alınmış bir yamukta köşegenlerin çarpımının aynı ve karşıt kenarların çarpımının toplamına eşit olduğunu belirtir. Bu, yamuk AFDM etrafında çevrelenen bir daire oluştururken aşağıdakilerin geçerli olduğu anlamına gelir: AD × FM = AF × DM + FD × AM.

Çoğu zaman okul sınavlarında yamuk ile problem çözmeyi gerektiren problemler vardır. Çok sayıda teoremin ezberlenmesi gerekir, ancak bunları hemen öğrenemezseniz bunun bir önemi yoktur. Ders kitaplarındaki ipuçlarına periyodik olarak başvurmak en iyisidir, böylece bu bilgi çok fazla zorluk çekmeden kafanıza kendiliğinden sığacaktır.