Sayısal sıralar: tanımlar, özellikleri, yakınsama işaretleri, örnekler, çözümler. Bir dizi çevrenin yakınsama Neden 1 N bir sayı ayrılıyor?
Bir sayının yakınsamasını birkaç şekilde kontrol edebilirsiniz. İlk önce, satırın toplamını bulabilirsiniz. Sonuç olarak, sonlu bir sayı alırsak, o zaman böyle bir rakam yakın. Örneğin,
sonra bir seri birleşir. Bir sayının miktarını bulamazsak, dizinin yakınsamasını doğrulamak için diğer yöntemler kullanılmalıdır.
Bu yöntemlerden biri dalamber
burada ve buna göre, nth ve (n + 1), dizinin (n + 1) üyeleri ve yakınsama D değeri ile belirlenir: D< 1 - ряд сходится, если D >
Örnek olarak, Dalamber'in bir işareti kullanarak bir sayının yakınsamasını araştırıyoruz. İlk önce, ifadeleri yazın ve. Şimdi uygun sınırı buluyoruz:
Dalamber'in işaretine göre, seri birleşir.
Serinin yakınsamasını kontrol etmenizi sağlayan başka bir yöntem cauchy radikal işaretibu şöyle yazılmıştır:
İşte bir dizinin bir NTH üyesidir ve Dalamber'in bir işareti durumunda olduğu gibi yakınsama D değeri ile belirlenir: D< 1 - ряд сходится, если D > 1 - sapma. D \u003d 1 - Bu özellik bir cevap vermez ve ek araştırmalar yapılmalıdır.
Örnek olarak, bir serinin yakınsaklığını bir Cauchy'nin radikal bir işareti kullanarak araştırıyoruz. Önce ifadeyi yazın. Şimdi uygun sınırı buluyoruz:
Başlık \u003d "15625/64\u003e 1"\u003e, Cauchy'nin radikal işareti uyarınca, bir sıra birbirinden ayrılır.
Listelenenler ile birlikte, Cauchy'nin ayrılmaz bir işareti, Raabe'nin bir işareti, vb. Gibi satırların başka bir yakınsama belirtileri var.
Wolfram Alpha sistemine dayanan çevrimiçi hesap makinemiz, satırın yakınsamasını test etmenizi sağlar. Aynı zamanda, hesap makinesi, satırın toplamı olarak belirli bir numara verirse, seri birleşir. Aksi takdirde, "Serinin yakınsamanının testi" öğesine dikkat etmek gerekir. "Seri Converges" ifadesi varsa, seri birleşir. İfade varsa "seri ayrılır" ise, bir sıra birbirinden ayrılır.
Aşağıda, satır testinin nokta testinin tüm olası değerlerinin transferidir:
| İngilizce metin | Rusça metin |
|---|---|
| Harmonik Serisi Testi tarafından, seri ayrılır. | Çalışma altındaki seriyi harmonik bir tarafla karşılaştırırken, başlangıç \u200b\u200baralığı ayrılır. |
| Oranı testi sonuçsuzdur. | Dalamber'in işareti, dizinin yakınsama hakkında bir cevap veremez. |
| Kök testi yetersizdir. | Cauchi'nin radikal işareti, dizinin yakınsama hakkında bir cevap veremez. |
| Karşılaştırma testi ile seri birleşir. | Karşılaştırmanın belirtisinde, seri yakınlar |
| Oran testi ile seri birleşir. | Dalamber'in belirtisinde, seri yakınlar |
| Sınır testi ile seri ayrılır. | Başlık \u003d "(! Lang: N-\u003e OO'daki Serinin N-Bous elemanının sınırı) sıfıra eşit değil veya mevcut değil"> , или указанный предел не существует, сделан вывод о том, что ряд расходится. !} |
Sayı sayısının toplamını bulun. Bulamıyorsa, sistem bir sayının toplamını belirli bir doğrulukla hesaplar.
Satırın yakınsama
Bu hesap makinesi, bir dizinin birleşip birleşip birleştirilip göstermediğini de belirleyebilir - hangi yakınsama belirtileri tetiklenir ve bu değildir.
Ayrıca, güç satırlarının yakınsamanının nasıl belirleneceğini de biliyor.
Bir dizinin (veya ayrışmanın) yakınsamanının hızını görebileceğiniz bir numaranın grafiği de oluşturulur.
İfadeler ve İşlevler Girme Kuralları
İfadeler işlevlerden oluşabilir (atamalar alfabetik sırayla verilir): mutlak (x) Mutlak değer x.
(Modül x. veya | X |)
arccos (x) Fonksiyonu - arkkosinus x. arccosh (x) Arkkosinus hiperbolik ot x. arcsin (x) Arksinus OT x. arcsinh (x) Arksinus Hiperbolic OT x. arctg (x) Fonksiyonu - arctangent x. arctgh (x) Arctangent Hiperbolic OT x. e. e. Yaklaşık 2.7 olan sayı exp (x) Fonksiyon - Katılımcı x. (ben. e.^x.)
günlük (x) Veya. ln (x) Doğal Logaritma OT. x.
(Elde etmek üzere log7 (x), Günlük (x) / log (7) (veya örneğin için) girmeniz gerekir. log10 (x)\u003d log (x) / log (10)) pi Sayı, yaklaşık 3.14'e eşit olan "pi" dir. günah (x) İşlev - Sinüs x. cos (x) İşlev - Kosinüs x. sinh (x) Fonksiyonu - sinüs hiperbolik x. cOSH (X) Fonksiyonu - kosinüs hiperbolik x. sqrt (x) Fonksiyonu - kare kökü x. sqr (x) veya x ^ 2. Fonksiyon - Kare x. tg (x) Fonksiyonu - teğet x. tGH (X) Fonksiyonu - teğet hiperbolik x. tCMB (x) Fonksiyon - kübik kökü x.
İfadelerde aşağıdaki işlemler uygulanabilir: Gerçek sayılar Formda girin 7.5
, değil 7,5
2 KERE. - Çarpma işlemi 3 / x. - bölünme x ^ 3. - Kuruluş x + 7. - İlave x - 6. - Çıkarma
Diğer fonksiyonlar: zemin (x) İşlev - Yuvarlama x. Daha küçük bir tarafta (örnek kat (4.5) \u003d\u003d 4.0) tavan (x) İşlev - Yuvarlama x. En fazla (örnek tavan (4.5) \u003d\u003d 5.0) İşareti (x) İşlev - İmza x. erf (x) Hata işlevi (veya olasılık integrali) laplace (x) Laplas fonksiyonu
Harmonik satır - Sonsuz sayıda üyeden oluşan miktar, doğal aralığın ardışık sayılarını tersine çevirir:
Σ k \u003d 1 ∞ 1 k \u003d 1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 + ⋯ + 1 K + ⋯ (\\ DisplayStyle \\ Sum _ (K \u003d 1) ^ (\\ Mathcal (\\ Infty)) (\\ Frac (1) ) (k)) \u003d 1 + (\\ frac (1) (2)) + (\\ frac (1) (3)) + (\\ frac (1) (4)) + \\ cdots + (\\ frac (1) (k)) + \\ CDOTS).Ansiklopedik Youtube.
1 / 5
✪ Sayısal satırlar. Temel Kavramlar - Bezbotvy
✪ Harmonik serilerin yer değiştirmesinin kanıtı
✪ Sayısal satırlar-9. Dirichlet'in yakınsama ve farkı
✪ Danışma №1. Mat. Analiz. Trigonometrik sistemde Fourier satır. En basit özellikler
✪ Satırlar. Genel bakış
Altyazı
Serinin ilk N üyelerinin toplamı
Satırın ayrı üyeleri sıfıra sahiptir, ancak miktarı ayrılır. Harmonik satırın Kısmi toplamının N-Bunları, N-başarılı bir harmonik numara olarak adlandırılır:
SN \u003d Σ k \u003d 1 n 1 k \u003d 1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 + ⋯ + 1 N (\\ DisplayStyle S_ (n) \u003d \\ sum _ (k \u003d 1) ^ (n) (\\ frac (1) ) (k)) \u003d 1 + (\\ frac (1) (2)) + (\\ frac (1) (3)) + (\\ frac (1) (4)) + \\ cdots + (\\ frac (1) (n)))Bazı kısmi toplamlar
| S1 \u003d 1 S2 \u003d 3 2 \u003d 1, 5 S3 \u003d 11 6 ≈ 1,833 s 4 \u003d 25 12 ≈ 2,083 s 5 \u003d 137 60 ≈ 2,283 (\\ DisplayStyle (\\ BACE (MATRIX) S_ (1) & \u003d & 1 \\\\\\\\ S_ (2) & \u003d & (\\ frac (3) (2)) & \u003d & 1 (,) 5 \\\\\\\\ S_ (3) & \u003d & (\\ frac (11) (6) ) & \\ Yaklaşık ve 1 (,) 833 \\\\\\\\ S_ (4) & \u003d & (\\ frac (25) (12)) \\ yaklaşık ve 2 (,) 083 \\\\\\\\\\ S_ (5) & \u003d & (\\ Frac (137) (60)) & \\ yaklaşık ve 2 (,) 283 \\ end (matris))) | S 6 \u003d 49 20 \u003d 2, 45 S 7 \u003d 363 140 ≈ 2.593 S 8 \u003d 761 280 ≈ 2.718 S 10 3 ≈ 7.484 s 10 6 ≈ 14,393 (\\ DisplayStyle (\\ BACE (MATRIX) S_ (6) & \u003d & ( \\ Frac (49) (20)) & \u003d ve 2 (,) 45 \\\\\\\\ S_ (7) & \u003d & (\\ frac (363) (140)) \\ yaklaşık ve 2 (,) 593 \\\\\\\\ S_ (8) & \u003d & (\\ frac (761) (280)) & \\ yaklaşık ve 2 (,) 718 \\\\\\\\ S_ (10 ^ (3)) \\ yaklaşık ve 7 (,) 484 \\\\\\\\ S_ (10 ^ (6)) ve \\ yaklaşık ve 14 (,) 393 \\ end (matris))) |
Formül Euler
Değeri ile ε n → 0 (\\ displayStyle \\ varepsilon _ (n) \\ raularrow 0), bu nedenle, büyük için N (\\ displaystyle n):
S n ≈ ln \u2061 (n) + Γ (\\ DisplayStyle S_ (n) \\ Yaklaşık \\ ln (n) + \\ gama) - İlk miktar için Euler Formula N (\\ displaystyle n) Harmonik Serilerin üyeleri.| N (\\ displaystyle n) | Sn \u003d σ k \u003d 1 n 1 k (\\ displayStyle s_ (n) \u003d \\ sum _ (k \u003d 1) ^ (n) (\\ frac (1) (k))) | Ln \u2061 (n) + Γ (\\ DisplayStyle \\ ln (n) + \\ gamma) | ε n (\\ displaystyle \\ varepsilon _ (n)), (%) |
| 10 | 2,93 | 2,88 | 1,7 |
| 25 | 3,82 | 3,80 | 0,5 |
Harmonik serilerin kısmi toplamı için daha doğru asimptotik formül:
SN ≍ LN \u2061 (N) + Γ + 1 2 N - 1 12 N2 + 1 120 N 4 - 1 252 N 6 ⋯ \u003d LN \u2061 (N) + Γ + 1 2 N - Σ K \u003d 1 ∞ B2 K 2 KN2 K (\\ DisplayStyle S_ (n) \\ AsyMP \\ LN (n) + \\ Gamma + (\\ Frac (1) (2n)) - (\\ Frac (1) (12n ^ (2)) + (\\ Frac (1) (120n ^ (4))) - (\\ frac (1) (252n ^ (6))) \\ DOTS \u003d \\ LN (N) + \\ GAMMA + (\\ FRAC (1) (2N)) - \\ Sum _ (k \u003d 1) ^ (\\ infty) (\\ frac (b_ (2k)) (2k \\, n ^ (2k))))nerede B2 K (\\ DisplayStyle B_ (2K)) - Bernoulli sayıları.Bununla birlikte, bu seri bölünmüştür, ancak bunun için hesaplamaların hatası, ilk boşaltılan üyenin yarısını geçmez.
Kısmi toplamların teorik sayısal özellikleri
∀ N\u003e 1 sn ∉ n (\\ displayStyle \\ forall n\u003e 1 \\; \\; \\; \\; s_ (n) \\ nOTIN \\ Mathbb (n))
Yol ayrışması
S n → ∞ (\\ DisplayStyle S_ (n) \\ raularrow \\ Infty) için N → ∞ (\\ DisplayStyle n \\ rawerRrow \\ Infty)
Harmonik satır sapmaları Çok yavaş (kısmi miktarın 100'ü aşması için, seri'nin yaklaşık 10,43 elemanı gereklidir).
Harmonik serilerin farkı, yakınındaki teleskopik ile karşılaştırılarak gösterilebilir:
Vn \u003d ln \u2061 (n + 1) - ln \u2061 n \u003d ln \u2061 (1 + 1 n) ~ + ∞ 1 n (\\ DisplayStyle v_ (n) \u003d \\ ln (n + 1) - \\ ln n \u003d \\ ln \\ Sol (1 + (\\ frac (1) (n)) \\ sağ) (\\ underet (+ \\ infty) (\\ sim)) (\\ frac (1) (n))),kısmi toplamı açıkça eşittir:
Σ i \u003d 1 n - 1 v i \u003d ln \u2061 n ~ sn (\\ displayStyle \\ sum _ (i \u003d 1) ^ (n-1) v_ (i) \u003d \\ ln n \\ sim s_ (n)).Kanıtı
Ayrışma kanıtı, aşağıdaki gibi gruplandırma koşulları ile yapılabilir:
Σ K \u003d 1 ∞ 1 K \u003d 1 + [1 2] + [1 3 + 1 4] + [1 5 + 1 6 + 1 7 + 1 8] + [1 9 + ⋯] + ⋯\u003e 1 + [1 2] + [1 4 + 1 4] + [1 8 + 1 8 + 1 8 + 1 8] + [1 16 + ⋯] + ⋯ \u003d 1 + 1 2 + 1 2 + 1 2 + 1 2 + ⋯. (\\ DisplayStyle (\\ başlar (hizalanmış) \\ Sum _ (k \u003d 1) ^ (\\ infty) (\\ frac (1) (k)) & () \u003d 1+ \\ sol [(\\ frac (1) (2) ) \\ Sağ] + \\ sol [(\\ frac (1) (3)) + (\\ frac (1) (4)) \\ sağ] + \\ sol [(\\ frac (1) (5)) + (\\ frac (1) (6)) + (\\ frac (1) (7)) + (\\ frac (1) (8)) \\ sağ] + \\ sol [(\\ frac (1) (9)) + \\ CDOTS \\ Sağ] + \\ CDOTS \\\\ & ()\u003e 1+ \\ sol [(\\ frac (1) (2)) \\ sağ] + \\ sol [(\\ frac (1) (4)) + (\\ frac (1) (4) \\ sağ] + \\ sol [(\\ frac (1) (8)) + (\\ frac (1) (8)) + (\\ frac (1) (8)) + (\\ frac (1) (8)) \\ sağ] + \\ sol [(\\ frac (1) (16)) + \\ CDOTS \\ sağ] + \\ CDOTS \\\\ & () \u003d 1+ \\ (\\ frac (1) (2)) \\ \\ \\ + \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ frac (2)) \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ qquad \\ Quad (\\ frac (1) (2)) \\ Qquad \\ \\ \\ \\ \\ + \\ \\ \\ \\ \\ (\\ frac (1) ) (2)) \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ cdots. \\ Ucu (hizalı))))Son satır açıkça ayrıldı. Bu kanıtı ortaçağ bilimcisi nicholas Ohole'ya aittir (yaklaşık 1350).
Alternatif ayrışma kanıtı
okuyucuyu bu kanıtların hatalarından emin olmak için sunuyoruz.
Arasındaki fark N (\\ displaystyle n)-m harmonik sayı ve doğal logaritma N (\\ displaystyle n) Kalıcı Euler - Musteroni'ye birleşir.
Çeşitli harmonik sayılar arasındaki fark asla bir tamsayı eşit değildir ve harmonik sayı yok H 1 \u003d 1 (\\ DisplayStyle H_ (1) \u003d 1)tamsayı değil.
İlgili Sıralar
Bir dizi Dirichle
Uyumsuz taraf (veya Dirichle yakın) bir numarayı ara
Σ k \u003d 1 ∞ 1 k α \u003d 1 + 1 2 α + 1 3 α + 1 4 α + ⋯ + 1 k α + ⋯ (\\ DisplayStyle \\ Sum _ (k \u003d 1) ^ (\\ infty) (\\ frac ( 1) (K ^ (\\ ALPA))) \u003d 1 + (\\ Frac (1) (2 ^ (\\ alfa))) + (\\ frac (1) (3 ^ (\\ alfa)) + (\\ frac ( 1) (4 ^ (\\ alfa))) + \\ CDOTS + (\\ Frac (1) (K ^ (\\ alpha))) + \\ CDOTS).Genelleştirilmiş harmonik sıra birbirinden ayrılır α ⩽ 1 (\\ DisplayStyle \\ alpha \\ leqslant 1) ve yakınsama α\u003e 1 (\\ DisplayStyle \\ alfa\u003e 1) .
Genelleştirilmiş harmonik sipariş serisinin toplamı α (\\ DisplayStyle \\ alfa) Riemann ZETA fonksiyonunun değerine eşit:
Σ k \u003d 1 ∞ 1 k α \u003d ζ (α) (\\ displayStyle \\ sum _ (k \u003d 1) ^ (\\ infty) (\\ frac (1) (k ^ (\\ alfa)) \u003d \\ zeta (\\ alfa ))Bunun için bu değer bile PI sayısında açıkça ifade edilir, örneğin, ζ (2) \u003d π 2 6 (\\ DisplayStyle \\ Zeta (2) \u003d (\\ frac (\\ pi ^ (2)) (6))))ve zaten α \u003d 3 için değeri analitik olarak bilinmemektedir.
Harmonik Serilerin yer değiştirmesinin bir başka gösterimi oranı olabilir ζ (1 + 1 n) ~ n (\\ DisplayStyle \\ ZETA (1 + (\\ frac (1) (n)) \\ sim n). Bu nedenle, böyle bir serinin 1 olasılıkına sahip olduğu ve satırın toplamı ilginç özelliklere sahip rastgele bir değerdir. Örneğin, +2 veya -2 noktalarda hesaplanan olasılık yoğunluğu fonksiyonu:
0,124 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 7 642 …,⅛'dan 10-42'den daha az ayırt edilmesi.
"Omnounce" Harmonik Serisi
Bir dizi Kempner (Eng.)Harmonik satırını, yalnızca terimlerin kaldığı, payları Şekil 9'u içermeyen, kalan miktarın sayı için olduğu ortaya çıktığını ortaya çıkarırsak<80 . Более того, доказано, что если оставить слагаемые, не содержащие любой заранее выбранной последовательности цифр, то полученный ряд будет сходиться. Однако из этого будет ошибочно заключать о сходимости исходного гармонического ряда, так как с ростом разрядов в числе N (\\ displaystyle n), "inceltilmiş" satırın toplamı için daha az terim alınır. Yani, sonuçta, harmonik serilerin toplamını oluşturan elemanların ezici çoğunluğunu attı, böylece üstüne sınırlayıcı geometrik ilerlemeyi aşmamak.
Cevap: Bir satır birbirinden ayrılır.
Örnek numara 3.
$ \\ Sum \\ limits_ (n \u003d 1) ^ (\\ infty) \\ frac (2) ((2n + 1) (2n + 3) $ 'nın toplamını bulun.
Toplamın alt sınırı 1 olduğundan, satırın toplam üyesi, miktarın toplamı altında kaydedilir: $ U_N \u003d \\ Frac (2) ((2n + 1) (2n + 3)) $. Bir N-MU Kısmi Toplamı, yani Belirtilen sayısal serilerin ilk $ n $ üyelerini özetliyoruz:
$$ S_N \u003d U_1 + U_2 + U_3 + U_4 + \\ LDOTS + U_N \u003d \\ FRACT (2) (3 \\ CDOT 5) + \\ Frac (2) (5 \\ CDOT 7) + \\ Frac (2) (7 \\ CDOT) 9) + \\ Frac (2) (9 \\ CDOT 11) + \\ LDOTS + \\ FRAC (2) ((2N + 1) (2N + 3)). $$.
Neden tam olarak $ \\ FRAC (2) (3 \\ CDOT 5) $ yazarım ve $ \\ Frac (2) (15) $ değil, daha fazla anlatımdan net olacak. Bununla birlikte, bir kısmi miktarın Iota'da kaydedilmesi bizi hedefe daha yakın getirmedi. $ \\ LIM_ (n \\ to \\ infty) s_n $ bulmalıyız, ancak sadece yazırsak:
$$ \\ LIM_ (n \\ to \\ infty) s_n \u003d \\ Lim_ (n \\ to \\ infty) \\ sol (\\ frac (2) (3 \\ cdot 5) + \\ frac (2) (5 \\ cdot 7) + \\ FRAC (2) (7 \\ CDOT 9) + \\ FRAC (2) (9 \\ CDOT 11) + \\ LDOTS + \\ FRAC (2) ((2N + 1) (2N + 3)) \\ sağ), $$
sonra bu giriş tamamen doğrudur, hiçbir şey bize esasen vermez. Bir sınır bulmak için, kısmi miktarın ifadesi basitleştirilmelidir.
Bunun için, \\ frac (2) (2n + 1) ((2n + 1) (2n + 3)) $ 'ı, temel fraksiyonlarda, \\ Frac (2) (2n + 1) (2n + 3)) $' ın ayrışmasından oluşan standart bir dönüşüm vardır. İlkokuldaki rasyonel fraksiyonların ayrışma konusu, ayrı bir konuya ayrılmıştır (örneğin, bu sayfadaki örneğin, örnek numarası 3). Temel kesir başına $ \\ frac (2) (2n + 1) (2n + 3)) $ 'nın kesirini çevreleyen, bizde olacaktırız:
$$ \\ frac (2) ((2n + 1) (2n + 3)) \u003d \\ frac (a) (2n + 1) + \\ frac (b) (2n + 3) \u003d \\ frac (A \\ CDOT (2N) +3) + B \\ CDOT (2N + 1)) ((2N + 1) (2N + 3)). $$.
Elde edilen eşitliklerin sol ve sağ kısımlarında sprumeren'i eşitliyoruz:
$$ 2 \u003d A \\ CDOT (2N + 3) + B \\ CDOT (2N + 1). $$.
$ Ve $ B $ değerinin değerlerini bulmak için iki yol vardır. Parantezleri ifşa edebilir ve bileşenleri yeniden toplayabilirsiniz ve $ N $ yerine belirli bir uygun değerleri değiştirebilirsiniz. Bu örnekte bir çeşitlilik için, ilk önce gidelim ve aşağıdaki gibi, $ n $ 'ın özel değerlerini değiştireceğiz. Braketleri ve yeniden düzenleme terimlerini ortaya çıkarıyoruz:
$$ 2 \u003d 2AN + 3A + 2BN + B; \\\\ 2 \u003d (2a + 2b) N + 3A + B. $$.
$ N $ 'ın önündeki eşitliğin sol tarafında sıfıra mal olur. İsterseniz, netlik için eşitliğin sol kısmı 0 \\ CDOT N + $ 2 olarak temsil edilebilir. $ N $ 'ın önündeki eşitliğin sol kısmı sıfır olduğundan ve özkaynakların sağ tarafında $ n $' dan önce 2a + 2b $ maliyeti, ilk denklemimiz var: $ 2A + 2B \u003d 0 $. Hemen bu denklemin her iki bölümünü de 2'ye bölün, bundan sonra A + B \u003d 0 $ aldı.
Eşitliğin sol kısmında, serbest eleman 2'dir ve eşitliğin sağ kısmında, serbest eleman, 3a + b $ 'a eşittir, o zaman 3A + B \u003d 2 $. Yani bir sistemimiz var:
$$ \\ sol \\ (\\ başlar (hizalanmış) & a + b \u003d 0; \\\\ ve 3a + b \u003d 2. \\ ucu (hizalanmış) \\ sağ. $$
Kanıt matematiksel indüksiyonla gerçekleştirilecektir. İlk adımda, önceki eşitliğin $ S_N \u003d \\ Frac (1) (3) - \\ frac (1) (2n + 3) $ n \u003d 1 $ 'a sahip olup olmadığını kontrol etmek gerekir. $ S_1 \u003d U_1 \u003d \\ Frac (2) (15) $ 'ı biliyoruz, ancak $ \\ frac (1) (3) - \\ Frac (1) (2n + 3) $ değerinin (2) ekspresyonunu (2) biliyoruz. ) (15) $, eğer $ N \u003d 1 $ yerine takas edersek? Kontrol:
$$ \\ Frac (1) (3) - \\ Frac (1) (2n + 3) \u003d \\ Frac (1) (3) - \\ Frac (1) (2 \\ CDOT 1 + 3) \u003d \\ Frac (1) (3) - \\ frac (1) (5) \u003d \\ frac (5-3) (15) \u003d \\ frac (2) (15). $$.
Böylece, $ n \u003d 1 $, eşitlik $ s_n \u003d \\ frac (1) (3) - \\ frac (1) (2n + 3) $ yapılır. Bu, matematiksel indüksiyon yönteminin ilk adımıdır.
Diyelim ki $ n \u003d k $ 'de, eşitlik gerçekleştirildiğinde, yani $ S_K \u003d \\ frac (1) (3) - \\ frac (1) (2k + 3) $. Bu eşitliğin $ n \u003d K + $ 1'de gerçekleştirileceğini kanıtlıyoruz. Bunu yapmak için $ S_ (K + 1) $:
$$ S_ (K + 1) \u003d S_K + U_ (K + 1). $$.
$ U_n \u003d \\ frac (1) (2n + 1) - \\ frac (1) (2n + 3) $, sonra $ U_ (K + 1) \u003d \\ Frac (1) (2 (k + 1) + 1 ) - \\ frac (1) (2 (2 (k + 1) +3) \u003d \\ frac (1) (2k + 3) - \\ frac (1) (2 (k + 1) +3) $. Yukarıdaki varsayımına göre $ S_K \u003d \\ Frac (1) (3) - \\ frac (1) (2k + 3) $, bu nedenle, formül $ S_ (K + 1) \u003d S_K + U_ (K + 1) $ formu alacak:
$$ S_ (K + 1) \u003d S_K + U_ (K + 1) \u003d \\ Frac (1) (3) - \\ Frac (1) (2k + 3) + \\ Frac (1) (2k + 3) - \\ Frac (1) (2 (2 (k + 1) +3) \u003d \\ frac (1) (3) - \\ frac (1) (2 (2 (k + 1) +3). $$.
Sonuç: Formül $ S_N \u003d \\ Frac (1) (3) - \\ Frac (1) (2n + 3) $ $ n \u003d k + $ 1'de doğrudur. Sonuç olarak, matematiksel indüksiyon yöntemine göre, formül $ s_n \u003d \\ frac (1) (3) - \\ frac (1) (2n + 3) $, $ n \\ inn $ için geçerlidir. Eşitlik kanıtlanmıştır.
Yüksek matematiğin standart seyrinde, genellikle herhangi bir kanıt gerektirmeden, azalan terimlerin "düzeltmesi" nden memnundurlar. Böylece, N-TH Kısmi Miktar için bir ifade aldık: $ S_N \u003d \\ Frac (1) (3) - \\ frac (1) (2n + 3) $. $ \\ Lim_ (n \\ infty) s_n $ bul:
Sonuç: Belirtilen seri, $ S \u003d \\ Frac (1) (3) $ 'nın toplamını birleştirir.
Kısmi miktar için formülü basitleştirmenin ikinci yolu.
Dürüst olmak gerekirse, kendimi bu yöntemi tercih ederim :) Kısaltılmış versiyonda kısmi bir miktar yazalım:
$$ s_n \u003d \\ \\ sum \\ limits_ (k \u003d 1) ^ (n) u_k \u003d \\ sum \\ limits_ (k \u003d 1) ^ (n) \\ frac (2) ((2k + 1) (2k + 3)). $$.
Biz daha önce $ U_K \u003d \\ frac (1) (2k + 1) - \\ frac (1) (2k + 3) $, böylece:
$$ s_n \u003d \\ \\ sum \\ limits_ (K \u003d 1) ^ (n) \\ frac (2) ((2) ((2k + 1) (2k + 3)) \u003d \\ sum \\ limits_ (k \u003d 1) ^ (n) \\ Sol (\\ Frac (1) (2k + 1) - \\ Frac (1) (2k + 3) \\ sağda). $$.
$ S_N $ miktarı nihai bir terim var, bu yüzden memnun olduğumuz gibi yeniden düzenleyebiliriz. Type $ \\ Frac (1) (2k + 1) $ (2K + 1) Tipi terimlerini ilk kat etmek istiyorum ve daha sonra $ \\ Frac (1) (2k + 3) $ 'ın terimine geç. Bu, kısmi miktarın bu formda hayal edileceği anlamına gelir:
$$ S_N \u003d \\ Frac (1) (3) - \\ Frac (1) (5) + \\ Frac (1) (5) - \\ Frac (1) (7) + \\ Frac (1) (7) - \\ Frac (1) (9) + \\ Frac (1) (9) - \\ Frac (1) (11) + \\ LDOTS + \\ FRAC (1) (2N + 1) - \\ Frac (1) (2N + 3) \u003d \\\\ \u003d \\ frac (1) (3) + \\ frac (1) (5) + \\ frac (1) (7) + \\ frac (1) (9) + \\ ldots + \\ frac (1) (2n + 1) - \\ Sol (\\ Frac (1) (5) + \\ Frac (1) (7) + \\ Frac (1) (9) + \\ LDOTS + \\ Frac (1) (2n + 3) \\ sağ) . $$.
Tabii ki, konuşlandırılmış kayıt son derece rahatsız edicidir, bu nedenle yukarıda sunulan eşitlik daha kompakt verilebilir:
$$ s_n \u003d \\ sum \\ limits_ (k \u003d 1) ^ (n) \\ sol (\\ frac (1) (2k + 1) - \\ frac (1) (2k + 3) \\ sağ) \u003d \\ Sum \\ limits_ ( K \u003d 1) ^ (n) \\ Frac (1) (2k + 1) - \\ Sum \\ limits_ (K \u003d 1) ^ (n) \\ Frac (1) (2k + 3). $$.
Şimdi \\ frac (1) (2k + 1) $ ve $ \\ Frac (1) (2k + 3) $ bir görünüm için ifadeleri dönüştürüyoruz. Sanırım daha büyük bir kesir biçimine yol açmak için rahat (en küçüğü mümkün olmasına rağmen, bu bir tat meselesidir). $ \\ Frac (1) (2k + 1)\u003e \\ frac (1) (2k + 3) $ (daha fazla payda, küçültücü, daha küçük kesir), o zaman biz $ \\ frac (1) (2k + 3) kullanacağız. ) $ type $ \\ frac (1) (2k + 1) $.
DENOMOTER DENUTOR $ \\ FRAC (1) (1) (1) (1) (2K + 3) $ Bu formda bulunacağım:
$$ \\ Frac (1) (2k + 3) \u003d \\ frac (1) (2k + 2 + 1) \u003d \\ frac (1) (2 (2 (k + 1) +1). $$.
Ve $ \\ sum \\ limits_ (k \u003d 1) ^ (n) \\ frac (1) (2k + 3) $ miktarı şimdi şu şekilde yazılabilir:
$$ \\ sum \\ limits_ (k \u003d 1) ^ (n) \\ frac (1) (2k + 3) \u003d \\ sum \\ limits_ (k \u003d 1) ^ (n) \\ Frac (1) (2 (K + 1) ) +1) \u003d \\ \\ sum \\ limits_ (k \u003d 2) ^ (n + 1) \\ Frac (1) (2k + 1). $$.
Eşitlik $ \\ sum \\ limits_ (k \u003d 1) ^ (n) \\ frac (1) (2k + 3) \u003d \\ sum \\ limits_ (K \u003d 2) ^ (n + 1) \\ frac (1) (1) ( 2k + 1) $ sorulara neden olmaz, sonra daha ileri gidelim. Sorularınız varsa, bir notu dağıtmanızı rica ediyorum.
Dönüştürülmüş miktarı nasıl aldık? Gösteri \\ gizlemek
Biz bir dizi \\ sum \\ limits_ (K \u003d 1) ^ (n) \\ frac (1) (2k + 3) \u003d \\ sum \\ limits_ (k \u003d 1) \\ \\ (n) \\ frac (1) (2) (2) vardı. (2 K + 1) +1) $. Örneğin, K + 1 $ 'ı K + 1 $ yerine yeni bir değişken getirelim. Öyleyse, $ t \u003d k + 1 dolar.
Eski değişken $ K $ nasıl değişti? Ve 1 ila $ n $ olarak değişti. Yeni değişkenlerin $ değerinin nasıl değişeceğini öğrenelim. $ K \u003d 1 $, sonra $ t \u003d 1 + 1 \u003d 2 $. $ K \u003d n $, o zaman $ t \u003d n + 1 $. Öyleyse, \\ sum \\ limits_ (k \u003d 1) \\ '^ (n) \\ frac (1) (2 (k + 1) +1) $' ı şimdi şu şuydu: $ \\ sum \\ limits_ (t \u003d 2) ^ ( n +1) \\ frac (1) (2T + 1) $.
$$ \\ sum \\ limits_ (k \u003d 1) ^ (n) \\ frac (1) (2 (k + 1) +1) \u003d \\ Sum \\ limits_ (t \u003d 2) ^ (n + 1) \\ frac (1 ) (2T + 1). $$.
$ \\ Sum \\ limits_ (t \u003d 2) ^ (n + 1) \\ frac (1) (2T + 1) $ tutarına sahibiz. Soru: Bu toplamda nasıl kullanılacağına eşit değil mi? :) tramvay $ K $ $ T $ yerine $ K $ kaydetme, aşağıdakileri alırız:
$$ \\ sum \\ limits_ (t \u003d 2) ^ (n + 1) \\ frac (1) (2t + 1) \u003d \\ sum \\ limits_ (k \u003d 2) ^ (n + 1) \\ frac (1) (2k) +1). $$.
Böylece $ \\ sum \\ limits_ (k \u003d 1) ^ (n) \\ frac (1) (2 (k + 1) +1) \u003d \\ Sum \\ limits_ (k \u003d 2) ^ (n +) eşitliğini ortaya çıkarır. 1) \\ frac (1) (2k + 1) $.
Böylece, kısmi bir miktar aşağıdaki gibi gösterilebilir:
$$ s_n \u003d \\ \\ sum \\ limits_ (k \u003d 1) ^ (n) \\ frac (1) (2k + 1) - \\ sum \\ limits_ (k \u003d 1) ^ (n) \\ frac (1) (2k + 3 ) \u003d \\ Sum \\ limits_ (k \u003d 1) ^ (n) \\ Frac (1) (2k + 1) - \\ sum \\ limits_ (k \u003d 2) ^ (n + 1) \\ Frac (1) (2k + 1 ). $$.
$ \\ Sum \\ limits_ (k \u003d 1) ^ (n) \\ frac (1) (2k + 1) $ ve $ \\ Sum \\ Limits_ (K \u003d 2) ^ (n + 1) \\ fr (n + 1) miktarının ( 1) (2K + 1) $ sadece özet içinde farklıdır. Bu sınırları aynı hale getirelim. İlk elemanı \\ sum \\ limits_ (k \u003d 1) miktarından "alarak" ^ (n) \\ frac (1) (2k + 1) $ olacaktır:
$$ \\ sum \\ limits_ (k \u003d 1) ^ (n) \\ frac (1) (2k + 1) \u003d \\ frac (1) (2 \\ CDOT 1 + 1) + \\ Sum \\ limits_ (k \u003d 2) ^ (n) \\ frac (1) (2k + 1) \u003d \\ \\ frac (1) (3) + \\ sum \\ limits_ (k \u003d 2) ^ (n) \\ frac (1) (2k + 1). $$.
Son öğeyi $ '\\ Sum \\ limits_ (k \u003d 2) miktarından alarak ^ (n + 1) \\ frac (1) (2k + 1) $, biz:
$$ \\ sum \\ limits_ (k \u003d 2) ^ (n + 1) \\ frac (1) (2k + 1) \u003d \\ sum \\ limits_ (k \u003d 2) ^ (n) \\ Frac (1) (2k + 1 ) + \\ Frac (1) (2 (n + 1) +1) \u003d \\ sum \\ limits_ (k \u003d 2) ^ (n) \\ frac (1) (2k + 1) + \\ frac (1) (2n + 3). $$
Sonra kısmi miktarın ifadesi formu alır:
$$ s_n \u003d \\ sum \\ limits_ (k \u003d 1) ^ (n) \\ frac (1) (2k + 1) - \\ sum \\ limits_ (k \u003d 2) ^ (n + 1) \\ frac (1) (2k +1) \u003d \\ frac (1) (3) + \\ sum \\ limits_ (k \u003d 2) ^ (n) \\ frac (1) (2k + 1) - \\ sol (\\ sum \\ limits_ (k \u003d 2) ^ (n) \\ frac (1) (2k + 1) + \\ frac (1) (2n + 3) \\ sağ) \u003d \\\\ \u003d \\ frac (1) (3) + \\ sum \\ limits_ (k \u003d 2) ^ (n) \\ frac (1) (2k + 1) - \\ sum \\ limits_ (k \u003d 2) ^ (n) \\ Frac (1) (2k + 1) - \\ Frac (1) (2n + 3) \u003d \\ Frac (1) (3) - \\ Frac (1) (2N + 3). $$.
Tüm açıklamaları özlüyorsanız, Kısaltılmış Formülü'yı N-TH Kısmi Tutar için bulma süreci bu tür alacaktır:
$$ S_N \u003d \\ sum \\ limits_ (k \u003d 1) ^ (n) u_k \u003d \\ sum \\ limits_ (k \u003d 1) ^ (n) \\ frac (2) ((2k + 1) (2k + 3)) \u003d \\ Sum \\ limits_ (k \u003d 1) ^ (n) \\ sol (\\ frac (1) (2k + 1) - \\ frac (1) (2k + 3) \\ sağ) \u003d \\\\ \u003d \\ \\ sum \\ limits_ (k \u003d 1) ^ (n) \\ frac (1) (2k + 1) - \\ sum \\ limits_ (k \u003d 1) ^ (n) \\ Frac (1) (2k + 3) \u003d \\ Frac (1) (3) + \\ Sum \\ limits_ (k \u003d 2) ^ (n) \\ frac (1) (2k + 1) - \\ sol (\\ sum \\ limits_ (k \u003d 2) ^ (n) \\ Frac (1) (2k + 1 ) + \\ Frac (1) (2n + 3) \\ sağ) \u003d \\ frac (1) (3) - \\ frac (1) (2n + 3). $$.
Size $ \\ frac (1) (2k + 3) $ 'a tip $ \\ frac (1) (2k + 1) $' a kadar geçtiğimizi hatırlatayım. Tabii ki, aksine devam edebilirsiniz. $ \\ Frac (1) (2k + 1) $ 'in fraksiyonunu $ \\ Frac (1) (2k + 3) $' daki fraksiyonunu sunun. Kısmi tutarın son ifadesi değişmeyecektir. Bu durumda kısmi bir miktar bulma süreci not altında saklanacağım.
Başka bir kesirin aklını verirseniz $ s_n $ nasıl bulunur? Gösteri \\ gizlemek
$$ s_n \u003d \\ \\ sum \\ limits_ (k \u003d 1) ^ (n) \\ frac (1) (2k + 1) - \\ sum \\ limits_ (k \u003d 1) ^ (n) \\ frac (1) (2k + 3 ) \u003d \\ Sum \\ limits_ (k \u003d 0) ^ (n - 1) \\ frac (1) (2k + 3) - \\ sum \\ limits_ (k \u003d 1) ^ (n) \\ Frac (1) (2k + 3 ) \u003d \\\\ \u003d \\ frac (1) (3) + \\ sum \\ limits_ (k \u003d 1) ^ (n - 1) \\ Frac (1) (2k + 3) - \\ sol (\\ sum \\ limits_ (k \u003d 1) ^ (n - 1) \\ Frac (1) (2K + 3) + \\ Frac (1) (2N + 3) \\ sağ) \u003d \\ Frac (1) (3) - \\ Frac (1) (2n + 3). $$.
Öyleyse, $ s_n \u003d \\ frac (1) (3) - \\ frac (1) (2n + 3) $. $ \\ LIM_ (n \\ infty) s_n $ limitini buluruz:
$$ \\ LIM_ (n \\ to \\ infty) s_n \u003d \\ Lim_ (n \\ to \\ infty) \\ sol (\\ frac (1) (3) - \\ frac (1) (2n + 3) \\ sağ) \u003d \\ frac (1) (3) -0 \u003d \\ frac (1) (3). $$.
Belirtilen seri birleşir ve $ S \u003d \\ Frac (1) (3) $ 'ın toplamı.
Cevap: $ S \u003d \\ frac (1) (3) $.
Numaranın miktarını bulma konusunun devamı, ikinci ve üçüncü bölümlerde dikkate alınacaktır.
Bu makale, egzersizlerin ve görevlerin analizi sırasında faydalı olabilecek yapılandırılmış ve ayrıntılı bir bilgidir. Sayısal satırların konusunu göz önünde bulunduracağız.
Bu makale, temel tanımlar ve kavramlarla başlar. Daha sonra, standart seçenekleriz ve temel formülleri inceliyoruz. Malzemeyi güvence altına almak için, makale ana örnekler ve görevleri sunar.
Temel Tezler
Başlamak için, sistemi hayal edin: 1, A 2. . . , bir n,. . . , burada bir k ∈ r, k \u003d 1, 2. . . .
Örneğin, bu sayıları şu numaraları alırız: 6, 3, - 3 2, 3 4, 3 8, - 3 16,. . . .
Tanım 1.
Sayısal satır, Σ A K K \u003d 1 ∞ \u003d A 1 + A 2 + 'nın toplamıdır. . . + A n +. . . .
Tanımı daha iyi anlamak için, bu durumu Q \u003d - 0 olarak düşünün. 5: 8 - 4 + 2 - 1 + 1 2 - 1 4 +. . . \u003d Σ k \u003d 1 ∞ (- 16) · - 1 2 k.
Tanım 2.
bir K yaygındır veya k - Bir sayının üyesi.
Bu şekilde görünüyor - 16 · 1 2 K.
Tanım 3.
Satırın kısmi toplamı Kabaca bu şekilde görünüyor S n \u003d A 1 + A 2 +. . . + A n N. - aşk numarası. S n HAYIR. bir sayının toplamı.
Örneğin, σ k \u003d 1 ∞ (- 16) · - 1 2 K S 4 \u003d 8 - 4 + 2 - 1 \u003d 5'dir.
S1, s 2,. . . , S n,. . . Sayısal satırın sonsuz bir sırasını oluşturan.
Satır için N-sahip Miktar, S N \u003d A 1 · (1 - q N) 1 - q \u003d 8 · 1 - - 1 2 N 1 - - 1 2 \u003d 16 3 · 1 - - 1 2 N. Aşağıdaki kısmi miktar dizisini kullanın: 8, 4, 6, 5,. . . , 16 3 · 1 - - 1 2 N,. . . .
Tanım 4.
Bir seri σ k \u003d 1 ∞ bir k yakınsak Sonra sıra son limiti olduğunda S \u003d LIM S N N → + ∞. Sınır veya sonsuz dizisi yoksa, σ k \u003d 1 ∞ A k arası denir Çizilmiş.
Tanım 5.
Yakınsak satırın toplamı Σ k \u003d 1 ∞ A k, σ k \u003d 1 ∞ A k \u003d lim sn n → + ∞ \u003d s dizisinin sınırıdır.
Bu örnekte, LIM NN → + ∞ \u003d LIM 16 3 T → + ∞ · 1 - 1 2 n \u003d 16 3 · LIM N → + ∞ 1 - - 1 2 N \u003d 16 3, bir sayı Σ k \u003d 1 ∞ (- 16) · - 1 2 K bağlantısı. Miktar 16 3: Σ K \u003d 1 ∞ (- 16) · - 1 2 K \u003d 16 3.
Örnek 1.
Örnek olarak, farklı serilerin bir birimden daha büyük bir birimden daha büyük bir geometrik ilerlemenin toplamı verilebilir: 1 + 2 + 4 + 8 +. . . + 2 N - 1 +. . . \u003d Σ k \u003d 1 ∞ 2 K - 1.
n-Kısmi tutarı olan, n \u003d a 1 · (1 - qn) 1 - q \u003d 1 · (1 - 2 N) 1 - 2 \u003d 2 N - 1 ifadesiyle belirlenir ve kısmi toplamların sınırı sonsuzdur : LIM N → + ∞ S N \u003d LIM N → + ∞ (2 N - 1) \u003d + ∞.
Farklı bir sayısal serinin bir başka örneği, σ k \u003d 1 ∞ 5 \u003d 5 + 5 + formunun toplamıdır. . . . Bu durumda, N-Way kısmi miktar SN \u003d 5 N olarak hesaplanabilir. Kısmi toplamların sınırı, LIM N → + ∞ S N \u003d LIM N → + ∞ 5 N \u003d + ∞ ile sonsuzdur.
Tanım 6.
Bu türlerin toplamı Σ K \u003d 1 ∞ \u003d 1 + 1 2 + 1 3 + olarak. . . + 1 N +. . . - bu harmonik sayısal satır.
Tanım 7.
Σ k \u003d 1 ∞ 1 k s \u003d 1 + 1 2 s + 1 3 s + toplamı. . . + 1 n s +. . . nerede S. - Aktif sayı, uyumlu sayısal olarak genelleştirilir.
Yukarıda tartışılan tanımlar çoğu örneği ve görevi çözmenize yardımcı olacaktır.
Tanımlar eklemek için, belirli denklemlerin kanıtlanması gerekir.
- Σ k \u003d 1 ∞ 1 K - Konsinye.
Yöntemle tam tersinden hareket ediyoruz. Birleşirse, limit sınırlıdır. Denklemi LIM N → + ∞ S N \u003d S ve LIM N → + ∞ S 2 N \u003d s olarak yazabilirsiniz. Bazı eylemlerden sonra, eşitliği elde ediyoruz L i m n → + ∞ (s2 n - sn) \u003d 0.
Aksine
S 2 N - S N \u003d 1 + 1 2 + 1 3 +. . . + 1 N + 1 N + 1 + 1 N + 2 +. . . + 1 2 N - - 1 + 1 2 + 1 3 +. . . + 1 N \u003d 1 N + 1 + 1 N + 2 +. . . + 1 2 n
Aşağıdaki eşitsizlikler 1 N + 1\u003e 1 2 N, 1 N + 1\u003e 1 2 N,. . . , 1 2 N - 1\u003e 1 2 N. Bunu S2 N - SN \u003d 1 N + 1 + 1 N + 2 + elde ediyoruz. . . + 1 2 N\u003e 1 2 N + 1 2 N +. . . + 1 2 n \u003d n2 n \u003d 1 2. S2 N - SN\u003e 1 2 ifadesi, LIM N → + ∞ (S2 N - S N) \u003d 0 elde edilmediğini gösterir. Satır gönderildi.
- b 1 + B 1 Q + B 1 Q2 +. . . + B 1 Q N +. . . \u003d Σ k \u003d 1 ∞ B 1 Q K - 1
Q sayısının sırasının toplamının, Q olduğunda birleştiğini onaylamak gerekir.< 1 , и расходится при q ≥ 1 .
Yukarıdaki tanımlara göre, miktar n. Üyeler, S n \u003d B 1 formülüne göre belirlenir (Q N - 1) Q - 1.
Eğer S.< 1 верно
lIM N → + ∞ S N \u003d LIM N → + ∞ B 1 · QN - 1 q - 1 \u003d B 1 · LIM N → + ∞ QNQ - 1 - LIM N → + ∞ 1 Q - 1 \u003d B 1 · 0 - 1 q - 1 \u003d B 1 q - 1
Sayısal serilerin birleştiğini kanıtladık.
Q \u003d 1 B 1 + B 1 + B1 + 'da. . . Σ k \u003d 1 ∞ B 1. Tutarlar, S n \u003d b 1 · n formülünü kullanarak bulunabilir, limit, LIM N → + ∞ S N \u003d LIM N → + ∞ B 1 · n \u003d ∞ ile sonsuzdur. Sunulan versiyonda, bir sayı ayrıldı.
Eğer bir Q \u003d - 1, sonra satır B 1 - B 1 + B1'e benziyor. . . \u003d Σ k \u003d 1 ∞ B1 (- 1) K + 1. Kısmi toplamlar t n \u003d B1 gibi görünüyor N.ve ve sn \u003d 0 için bile N.. Bu durumu düşünen, limitin olmadığından ve sayının farklı olduğundan emin olacağız.
Q\u003e 1, LIM N → + ∞ S N \u003d LIM N → + ∞ B 1 · (QN - 1) q - 1 \u003d B 1 · LIM N → + ∞ QNQ - 1 - LIM N → + ∞ 1 S - 1 \u003d B 1 · ∞ - 1 q - 1 \u003d ∞
Sayısal sıranın ayrıldığını kanıtladık.
- Bir seri σ k \u003d 1 ∞ 1 k S birleşirse S\u003e 1. Ve s ≤ 1 ise ayrılır.
İçin S \u003d 1. Biz σ k \u003d 1 ∞ 1 k elde ederiz, satır ayrılır.
S.'de< 1 получаем 1 k s ≥ 1 k для k,doğal sayı. Seri farklı olduğundan σ k \u003d 1 ∞ 1 k, sonra limit değil. Bunu takiben, σ k \u003d 1 ∞ 1 k s dizisi sınırsızdır. Seçilen satırın ne zaman ayrıldığı sonucuna vardık. S.< 1 .
Σ K \u003d 1 ∞ 1 K S serisinin ne zaman birleştiğine dair kanıt sağlamak gereklidir. S\u003e 1..
Hayal edin S2 N - 1 - S N - 1:
S2 N - 1 - S N - 1 \u003d 1 + 1 2 S + 1 3 S +. . . + 1 (n - 1) s + 1 n s + 1 (n + 1) S +. . . + 1 (2 N - 1) S - - 1 + 1 2 S + 1 3 S +. . . + 1 (n - 1) s \u003d 1 n s + 1 (n + 1) S +. . . + 1 (2 N - 1) s
Diyelim ki 1 (n + 1) s< 1 n s , 1 (n + 2) s < 1 n s , . . . , 1 (2 n - 1) s < 1 n s , тогда S 2 n - 1 - S n - 1 = 1 n s + 1 (n + 1) s + . . . + 1 (2 n - 1) s < < 1 n s + 1 n s + . . . + 1 n s = n n s = 1 n s - 1
Doğal ve hatta n \u003d 2: S2 N - 1 \u003d 1 2 S + 1 3 S'lik sayılar olan sayılar için bir denklemi temsil eder.< 1 2 s - 1 n = 4: S 2 n - 1 - S n - 1 = S 7 - S 3 = 1 4 s + 1 5 s + 1 6 s + 1 7 s < 1 4 s - 1 = 1 2 s - 1 2 n = 8: S 2 n - 1 - S n - 1 = S 15 - S 7 = 1 8 s + 1 9 s + . . . + 1 15 s < 1 8 s - 1 = 1 2 s - 1 3 . . .
Alıyoruz:
Σ K \u003d 1 ∞ 1 K S \u003d 1 + 1 2 S + 1 3 S + 1 4 S +. . . + 1 7 S + 1 8 S +. . . + 1 15 s +. . . \u003d \u003d 1 + S 3 - S 1 + S 7 - S3 + S 15 + S 7 +. . .< < 1 + 1 2 s - 1 + 1 2 s - 1 2 + 1 2 s - 1 3 + . . .
İfade 1 + 1 2 S - 1 + 1 2 S - 1 2 + 1 2 S - 1 3 +. . . - Bu geometrik ilerlemenin toplamı Q \u003d 1 2 s - 1. İlk verilere göre S\u003e 1., sonra 0.< q < 1 . Получаем, ∑ k = 1 ∞ < 1 + 1 2 s - 1 + 1 2 s - 1 2 + 1 2 s - 1 3 + . . . = 1 1 - q = 1 1 - 1 2 s - 1 . Последовательность ряда при S\u003e 1. 1 1 - 1 2 s - 1'den yukarıdan artar ve sınırlandırır. Bir limit ve bir sayı bir yakınlık σ k \u003d 1 ∞ 1 k s olduğunu hayal edin.
Tanım 8.
Çubuklar Σ k \u003d 1 ∞ A k etkinlikte hizalamaÜyeleri\u003e 0 A K\u003e 0, K \u003d 1, 2,. . . .
Çubuklar σ k \u003d 1 ∞ b k HizalamaSayıların belirtileri farklı ise. Bu örnek Σ K \u003d 1 ∞ BK \u003d Σ K \u003d 1 ∞ (- 1) K · AK veya Σ K \u003d 1 ∞ BK \u003d Σ K \u003d 1 ∞ (- 1) K + 1 · AK, nerede AK\u003e olarak gösterilmektedir. 0, k \u003d 1, 2,. . . .
Çubuklar σ k \u003d 1 ∞ b k İşaretÇok sayıda sayıya sahip olduğundan, olumsuz ve olumlu.
Satırın ikinci versiyonu üçüncü bir seçenek durumda.
Her durum için sırasıyla örnekler veriyoruz:
6 + 3 + 3 2 + 3 4 + 3 8 + 3 16 + . . . 6 - 3 + 3 2 - 3 4 + 3 8 - 3 16 + . . . 6 + 3 - 3 2 + 3 4 + 3 8 - 3 16 + . . .
Üçüncü versiyon için, mutlak ve koşullu yakınsama da belirlenebilir.
Tanım 9.
Alternatif Seri Σ K \u003d 1 ∞ B K, σ k \u003d 1 ∞ b k'nin da yakınsak olarak kabul edildiği durumlarda kesinlikle birleşir.
Birkaç karakteristik seçeneği ayrıntılı olarak analiz edeceğiz.
Örnek 2.
Satırlar 6 - 3 + 3 2 - 3 4 + 3 8 - 3 16 + ise. . . ve 6 + 3 - 3 2 + 3 4 + 3 8 - 3 16 +. . . Convering olarak tanımlandı, 6 + 3 + 3 2 + 3 4 + 3 8 + 3 16 + 'nu varsaymak doğrudur. . .
Tanım 10.
Alternatif Serisi Σ K \u003d 1 ∞ B K, Σ K \u003d 1 ∞ B gönderilirse koşulsal olarak yakınsak olarak kabul edilir ve σ k \u003d 1 ∞ B K aralığı, yakınlaştırılıyor.
Örnek 3.
Ayrıntılı olarak Σ K \u003d 1 ∞ (- 1) k + 1 k \u003d 1 - 1 2 + 1 3 - 1 4 + varyantını analiz ediyoruz. . . . Bir seri σ k \u003d 1 ∞ (- 1) k + 1 k \u003d σ k \u003d 1 ∞ 1 k \u003d σ k \u003d 1 ∞ 1 k, mutlak değerlerden oluşur, dikkate alınarak tanımlanır. Bu seçeneğin belirlenmesi kolay olduğu için, bu seçeneğin yakınlaştırılması kabul edilir. Bu örnekten, Σ K \u003d 1 ∞ (- 1) K + 1 K \u003d 1 - 1 2 + 1 3 - 1 4 + dizisinin olduğunu öğreniyoruz. . . Koşullu olarak yakınsak olarak kabul edilecektir.
Converging serisinin özellikleri
Bazı durumlar için özellikleri analiz ediyoruz
- Σ k \u003d 1 ∞ A K birleştirilecekse, σ k \u003d m + 1 ∞ bir K serisi de Convergent olarak kabul edilir. Bir satır olmadan not edilebilir M. Üyelerin de yakınsak olarak kabul edilir. Σ K \u003d M + 1 ∞ A K K \u003d M + 1'e eklememiz durumunda, sonuçta ortaya çıkan sonuç da yakınlaşır.
- Σ k \u003d 1 ∞ A k birleşir ve Sum \u003d S., sonra bir dizi σ k \u003d 1 ∞ A · A k, σ k \u003d 1 ∞ A · A k \u003d a · s, nerede A. -Constant.
- Eğer σ k \u003d 1 ∞ A k ve σ k \u003d 1 ∞ b k yakınsak, miktarlar A. ve B.ayrıca, sonra σ k \u003d 1 ∞ A k + b ve σ k \u003d 1 ∞ A k - B K da birleşir. Miktarlar eşit olacak A + B. ve A - B. sırasıyla.
Serinin birleştiğini belirleyin Σ K \u003d 1 ∞ 2 3 K · K3.
Σ k \u003d 1 ∞ 2 3 k · k3 \u003d σ k \u003d 1 ∞ 2 3 · 1 K 4 3 ekspresyonunu değiştirin. Σ k \u003d 1 ∞ 1 K 4 3'ü bir araya getirici olarak kabul edilir, çünkü σ k \u003d 1 ∞ 1 k S serisi ne zaman birleşir. S\u003e 1.. İkinci özelliğe göre, σ k \u003d 1 ∞ 2 3 · 1 K 4 3.
Örnek 5.
Σ N \u003d 1 ∞ 3 + N N 5 2'nin birleştiğini belirleyin.
Orijinal seçeneğini Σ N \u003d 1 ∞ 3 + N 5 2 \u003d Σ N \u003d 1 ∞ 3 N5 2 + N N 2 \u003d Σ N \u003d 1 ∞ 3 N 5 2 + Σ N \u003d 1 ∞ 1 N 2 dönüştürürüz.
Toplamı Σ N \u003d 1 ∞ 3 N 5 2 ve Σ N \u003d 1 ∞ 1 N 2 elde ediyoruz. Her seri, mülke göre yakınsak olarak kabul edilir. Öyleyse, sıralar aynı fikirde olduğu gibi, ilk sürümü de.
Örnek 6.
Seri 1'in 6 + 1 2 - 2 + 1 4 - 2 3 + 1 8 - 2 9 + olup olmadığını hesaplayın. . . ve tutarı hesaplayın.
Orijinal seçeneği belirtin:
1 - 6 + 1 2 - 2 + 1 4 - 2 3 + 1 8 - 2 9 +. . . \u003d 1 + 1 2 + 1 4 + 1 8 +. . . - 2 · 3 + 1 + 1 3 + 1 9 +. . . \u003d \u003d Σ k \u003d 1 ∞ 1 2 K - 1 - 2 · Σ k \u003d 1 ∞ 1 3 K - 2
Her seri, sayısal dizinin üyelerinden biri olduğu için birleşir. Üçüncü mülke göre, ilk sürümün de birleştiğini hesaplayabiliriz. Miktarı hesaplıyoruz: σ k \u003d 1 ∞ 1 2 K - 1 \u003d 1 satırının birinci terimi ve denominator \u003d 0. 5, ardından, σ k \u003d 1 ∞ 1 2 K - 1 \u003d 1 1 - 0. 5 \u003d 2. İlk terim σ k \u003d 1 ∞ 1 3 K - 2 \u003d 3 ve azalan sayısal dizinin paylaştırıcısı \u003d 1 3. Biz elde ettik: σ k \u003d 1 ∞ 1 3 K - 2 \u003d 3 1 - 1 3 \u003d 9 2.
Tutarı 1 - 6 + 1 2 - 2 + 1 4 - 2 3 + 1 8 - 2 9 + 'ı belirlemek için yukarıda elde edilen ifadeleri kullanın. . . \u003d Σ k \u003d 1 ∞ 1 2 K - 1 - 2 · Σ k \u003d 1 ∞ 1 3 K - 2 \u003d 2 - 2 · 9 2 \u003d - 7
Belirleme için gerekli şart, bir dizi yakınsaktır.
Tanım 11.Eğer σ k \u003d 1 ∞ bir K, Convergent, sonra limitse k-mo Üye \u003d 0: LIM K → + ∞ A k \u003d 0.
Herhangi bir seçeneği kontrol edersek, vazgeçilmez durumu unutmamalısınız. Eğer idam edilmezse, sıra ayrılır. LIM K → + ∞ A k ≠ 0 ise, satır gönderilir.
Durumun önemli olduğu, ancak yeterli olmadığı açıklığa kavuşturulmalıdır. Eşitlik LIM K → + ∞ A K \u003d 0 gerçekleştirilirse, bu, σ k \u003d 1 ∞ a k yakınsak olmasını sağlamaz.
Bir örnek verelim. Harmonik serisi Σ K \u003d 1 ∞ 1 K için, durum LIM K → + ∞ 1 k \u003d 0 ile gerçekleştirilir, ancak satır hala yönlendirilir.
Örnek 7.
Σ n \u003d 1 ∞ n2 1 + n'nin yakınsamasını belirleyin.
Durumun uygulanmasına ilişkin ilk ifadeyi kontrol edin LIM N → + ∞ N 2 1 + N \u003d LIM N → + ∞ N2 N 2 1 N2 + 1 N \u003d LIM N → + ∞ 1 1 N2 + 1 N \u003d 1 + 0 + 0 \u003d + ∞ ≠ 0
Sınırlamak Yok Üye 0'a eşit değildir. Bu serinin birbirinden ayrıldığını kanıtladık.
Hizalama serisinin yakınsama nasıl belirlenir.
Belirtilen işaretleri sürekli kullanırsanız, sınırları sürekli olarak hesaplamanız gerekir. Bu bölüm, örnekler ve görevleri çözerken zorluklardan kaçınmaya yardımcı olacaktır. Hizalama serisinin yakınsamasını belirlemek için belirli bir durum vardır.
Hizalamanın yakınsama için, σ k \u003d 1 ∞ A k, A k\u003e 0 ∀ k \u003d 1, 2, 3,. . . Sınırlı miktarların sınırlı sırasını belirlemek gerekir.
Satırları nasıl karşılaştırılır
Çeşitli satırları karşılaştıran birkaç işaret vardır. Bir numarayı karşılaştırırız, yakınsaması, bu kapanışın, yakınsaması bilinen bir şekilde belirlenmesi önerilir.
İlk özellik
Σ k \u003d 1 ∞ A k ve σ k \u003d 1 ∞ B K - satırları hizalama. Eşitsizlik A k ≤ b k için geçerlidir k \u003d 1, 2, 3, ... Bundan itibaren Σ K \u003d 1 ∞ B k sırasındaki σ k \u003d 1 ∞ A k elde edebileceğini takip eder. Σ k \u003d 1 ∞ A k'dine maruz kaldığından, σ k \u003d 1 ∞ B K aralığı dikkate alınarak tanımlanabilir.
Bu kural sürekli denklemleri çözmek için kullanılır ve yakınsamanın belirlenmesine yardımcı olacak ciddi bir argümandır. Karşılaştırma için uygun örneği seçmek için zorluklar her durumdan uzak bulunabilir. Sık sık, sayı göstergenin hangi prensibine göre seçilir. k-mo Bir üye, numeratörün ve paydayı derecesinin göstergelerinin çıkarılması sonucuna eşit olacaktır. k-mo Bir dizi üyesi. Bir K \u003d K2 + 3 4 K2 + 5'in, farkın eşit olacağını varsayalım. 2 – 3 = - 1 . Bu durumda, karşılaştırma için bir sayının gerekli olduğu tespit edilebilir. k - Bir üye B K \u003d K - 1 \u003d 1 K, bu da uyumludur.
Elde edilen malzemeyi sabitlemek için, bir çift tipik seçeneği ayrıntılı olarak düşünün.
Örnek 8.
Σ K \u003d 1 ∞ 1 K - 1 2'nin neyin olduğunu belirleyin.
Limit \u003d 0 LIM K → + ∞ 1 K - 1 2 \u003d 0 olduğundan, gerekli durumu yaptık. Eşitsizlik 1 k adil olacak< 1 k - 1 2 для k,bu doğaldır. Yukarıdaki paragraflardan, harmonik serilerinin Σ K \u003d 1 ∞ 1 K gönderildiğini öğrendik. İlk karaktere göre, ilk sürümün farklı olduğu kanıtlanabilir.
Örnek 9.
Belirlemek, bir dizi yakınsak veya farklı σ k \u003d 1 ∞ 1 K3 + 3 K - 1'dir.
Bu örnekte, LIM K → + ∞ 1 K3 + 3 K - 1 \u003d 0 olduğundan gerekli bir durum yapılır. Eşitsizlik biçiminde 1 K3 + 3 K - 1 tanıtımı< 1 k 3 для любого значения K.. Bir seri σ k \u003d 1 ∞ 1 K3, harmonik serisi Σ K \u003d 1 ∞ 1 k S, ne zaman birleştirir. S\u003e 1.. İlk işarete göre, sayısal serilerin yakınsak olduğu sonucuna varabiliriz.
Örnek 10.
Belirlemek, bir sayı σ k \u003d 3 ∞ 1 k ln (ln k) nedir? LIM K → + ∞ 1 K LN (LN K) \u003d 1 + ∞ + ∞ \u003d 0.
Bu düzenlemede, istenen durumun uygulanmasını işaretleyebilirsiniz. Karşılaştırma için bir satır tanımlıyoruz. Örneğin, σ k \u003d 1 ∞ 1 k s. Derece neyin eşit olduğunu belirlemek için, sırayı listeleyeceğiz (LN (LN K)), K \u003d 3, 4, 5. . . . LN (LN3), LN (LN 4), LN (LN 5) dizisinin üyeleri. . . Süresiz olarak artmaktadır. Denklemi analiz ettikten sonra, N \u003d 1619'u bir değer olarak alarak, daha sonra sıra\u003e 2'nin üyeleri olarak belirtilebilir. Bu sıra için, eşitsizlik 1 k ln (ln k) doğru olacak< 1 k 2 . Ряд ∑ k = N ∞ 1 k 2 сходится согласно первому признаку, так как ряд ∑ k = 1 ∞ 1 k 2 тоже сходящийся. Отметим, что согласно первому признаку ряд ∑ k = N ∞ 1 k ln (ln k) сходящийся. Можно сделать вывод, что ряд ∑ k = 3 ∞ 1 k ln (ln k) также сходящийся.
İkinci işaret
Diyelim ki, σ k \u003d 1 ∞ A k ve σ k \u003d 1 ∞ B K sayısal satırları hizalıyor.
LIM K → + ∞ A K B K ≠ ∞ ise, Σ K \u003d 1 ∞ B K arası dönüştürür ve σ k \u003d 1 ∞ A k de birleşir.
LIM K → + ∞ A K B K ≠ 0, Σ K \u003d 1 ∞ B K serisi birbirinden çıkarıldığından, ardından σ k \u003d 1 ∞ A k yönlendirilir.
LIM K → + ∞ A K B K ≠ ∞ ve LIM K → + ∞ A k B ≠ 0, sonra satırın yakınsama veya sapması, diğerinin yakınsama veya ayrışması anlamına gelir.
İkinci özelliği kullanarak Σ K \u003d 1 ∞ 1 K3 + 3 K - 1 olarak düşünün. Karşılaştırma için Σ k \u003d 1 ∞ B k, σ k \u003d 1 ∞ 1 k3 satırını alırız. Sınırı tanımlarız: LIM K → + ∞ A k B 3 + 3 K → 1 K 3 \u003d LIM K → + ∞ K3 K 3 + 3 K - 1 \u003d 1
İkinci özelliğe göre, bir dizi σ k \u003d 1 ∞ 1 K3, ilk seçeneğin aynı zamanda birleştiği belirlenebilir.
Örnek 11.
Bir seri σ n \u003d 1 ∞ k2 + 3 4 K3 + 5 olduğunu belirleyin.
Gerekli koşulu analiz ediyoruz LIM K → ∞ K2 + 3 4 K3 + 5 \u003d 0, bu düzenlemede gerçekleştirilir. İkinci özelliğe göre, bir sayı σ k \u003d 1 ∞ 1 k alırız. Bir sınır arıyoruz: LIM K → + ∞ K2 + 3 4 K3 + 5 1 K \u003d LIM K → + ∞ K 3 + 3 K 4 K 3 + 5 \u003d 1 4
Yukarıdaki tezlere göre, tutarlı satır, orijinal serisinin sapmasını gerektirir.
Üçüncü işareti
Karşılaştırmanın üçüncü belirtisini düşünün.
Diyelim ki, σ k \u003d 1 ∞ A k ve _ σ k \u003d 1 ∞ B K, hizalanan sayısal satırlardır. Koşul belirli bir sayı için bir K + 1 K ≤ B K + 1 B K, daha sonra Σ K \u003d 1 ∞ B K'nin yakınsama, σ k \u003d 1 ∞ A k dizisinin de birleşmesi anlamına gelir. Bir dizi σ k \u003d 1 ∞'ten oluşan, σ k \u003d 1 ∞ b k arasındaki farkı gerektirir.
Dalamber
Σ k \u003d 1 ∞ A K'nin bir işaret kaplama sayısal serisi olduğunu hayal edin. LIM K → + ∞ A K + 1 A K ise< 1 , то ряд является сходящимся, если lim k → + ∞ a k + 1 a k > 1, sonra farklı.
Not 1.
Sınır sonsuz ise, Dalamber'in işareti geçerlidir.
LIM K → + ∞ A k + 1 A k \u003d - ∞ ise, Seri, LIM K → ∞ A K + 1 A k \u003d + ∞, daha sonra birbirinden ayrılıyorsa, seri birleşiyor.
LIM K → + ∞ A K + 1 A K \u003d 1 ise, DALAMBER'in işareti yardımcı olmaz ve daha fazla çalışma harcaması gerekir.
Örnek 12.
Belirleme, DALABBER'in temelinde bir dizi yakınlaştırıcı veya farklı σ k \u003d 1 ∞ 2 K + 1 2 K'dır.
Yakınsama için gerekli durumun yapılıp yapılmadığını kontrol etmek gerekir. Lopital kuralını kullanarak limiti hesaplıyoruz: LIM K → + ∞ 2 K + 1 2 K \u003d ∞ ∞ \u003d LIM K → + ∞ 2 K + 1 "2 K" \u003d LIM K → + ∞ 2 2 K · LN 2 \u003d 2 + ∞ · ln 2 \u003d 0
Durumun yapıldığını görebiliriz. Dalamber'in işaretini kullanıyoruz: LIM K → + ∞ \u003d LIM K → + ∞ 2 (K + 1) + 1 2 K + 1 2 K + 1 2 K \u003d 1 2 LIM K → + ∞ 2 K + 3 2 K + 1 \u003d 12< 1
Bir numara yakınsak.
Örnek 13.
Belirlemek, bir dizi farklı σ k \u003d 1 ∞ k k k k k k k .
Serinin boyutunu belirlemek için Dalamber'in işaretini kullanıyoruz: LIM K → + ∞ A K + 1 A K \u003d LIM K → + ∞ (K + 1) K + 1 (K + 1)! K K K! \u003d LIM K → + ∞ (K + 1) K + 1 · K! K K · (K + 1)! \u003d LIM K → + ∞ (K + 1) K + 1 KK · (K + 1) \u003d \u003d LIM K → + ∞ (K + 1) KKK \u003d LIM K → + ∞ K + 1 KK \u003d LIM K → + ∞ 1 + 1 KK \u003d E\u003e 1
Sonuç olarak, satır farklıdır.
Cauchy radikal işareti
Diyelim ki, σ k \u003d 1 ∞ a k, pozitif bir seridir. LIM K → + ∞ A k K ise< 1 , то ряд является сходящимся, если lim k → + ∞ a k k > 1, sonra farklı.
Not 2.
LIM K → + ∞ A k K \u003d 1 ise, bu özellik herhangi bir bilgi sağlamaz - ek analiz gereklidir.
Bu özellik belirlemek kolay olan örneklerde kullanılabilir. Bir sayısal serisinin bir üyesi önemli bir ifade olduğunda, durum karakteristik olacaktır.
Elde edilen bilgileri güvence altına almak için birkaç karakteristik örneği düşünün.
Örnek 14.
İmzanın Convergent üzerindeki Σ K \u003d 1 ∞ 1 (2 K + 1) K olup olmadığını belirleyin.
Gerekli durumun yapıldığı kabul edilir, çünkü LIM K → + ∞ 1 (2 K + 1) K \u003d 1 + ∞ + ∞ \u003d 0.
Yukarıda ele alınan işarete göre, LIM K → + ∞ A k K K \u003d LIM K → + ∞ 1 (2 K + 1) K K K K K K K \u003d + ∞ 1 2 K + 1 \u003d 0 elde ediyoruz.< 1 . Данный ряд является сходимым.
Örnek 15.
Sayısal serisi Σ K \u003d 1 ∞ 1 3 K · 1 + 1 k K 2 Converge.
Önceki paragraf LIM K → + ∞ 1 3 K · 1 + 1 K 2 K \u003d 1 3 · LIM K → + ∞ 1 + 1 K \u003d E 3'ü kullanıyoruz.< 1 , следовательно, числовой ряд сходится.
İntegral işareti cauchy
Diyelim ki, σ k \u003d 1 ∞ A k, bir işaret beklemedir. Sürekli argümanın işlevini belirlemek gerekir. y \u003d f (x)n \u003d f (n) ile çakışır. Eğer bir y \u003d f (x)daha sıfır, kesintiye uğramış ve [a; + ∞), burada bir ≥ 1
Hareketsiz integral ∫ A + ∞ f (x) D X'nin yakınlaştırılması durumunda, söz konusu seri de birleşir. Eğer farklılaşırsa, örnek örneğinde, satır da ayrılır.
İşlevdeki düşüşü kontrol ederken, önceki derslerde ele alınan materyal kullanılabilir.
Örnek 16.
Convergence için Σ K \u003d 2 ∞ 1 K · LN K örneğini göz önünde bulundurun.
Satırın yakınsamanının durumu, LIM K → + ∞ 1 K · LN K \u003d 1 + ∞ \u003d 0 olduğundan, yapıldığı kabul edilir. Y \u003d 1 x · ln x olarak düşünün. Sıfırdan büyük, kesilmez ve [2; + ∞). İlk iki noktaya bilindiği bilinmektedir, ancak üçüncüsü daha ayrıntılı olarak durdurulmalıdır. Bir türev bulun: Y "\u003d 1 x · ln x" \u003d x · ln x + x · ln x 2 \u003d ln x + x · 1 xx · ln x 2 \u003d - ln x + 1 x · ln x 2. [2; + ∞) sıfırdan az. Bu, fonksiyonun inen tezi kanıtlar.
Aslında, Y \u003d 1 x · ln x, yukarıda düşündüğümüz ilkenin belirtilerine karşılık gelir. Kullanıyoruz: ∫ 2 + ∞ DXX · LN X \u003d LIM A → + ∞ ∫ 2 A D (LN X) LN X \u003d LIM A → + ∞ Ln (LN X) 2 A \u003d \u003d LIM A → + ∞ (LN) (ln a) - ln (ln 2)) \u003d ln (ln (+ ∞)) - ln (ln 2) \u003d + ∞
Elde edilen sonuçlara göre, ilk örnek bölünmüştür, çünkü değişmez integral farklı olduğundan.
Örnek 17.
Σ k \u003d 1 ∞ 1 (10 K - 9) (LN (5 K + 8)) 3'in yakınsamasını kanıtlayın.
LIM K → + ∞ 1 (10 K - 9) (LN (5 K + 8)) 3 \u003d 1 + ∞ \u003d 0, sonra durumun yapıldığı kabul edilir.
K \u003d 4 ile başlayarak, doğru ifade 1 (10 K - 9) (LN (5 K + 8)) 3< 1 (5 k + 8) (ln (5 k + 8)) 3 .
Σ K \u003d 4 ∞ 1 (5 K + 8) (LN (5 K + 8)) (LN (5 K + 8)) (LN (5 K + 8)) (LN (5 K + 8)) 3 ise, daha sonra, karşılaştırma prensiplerinden birine göre, bir sayı σ k \u003d 4 ∞ 1 ( 10 K - 9) (LN (5 K + 8)) 3 de yakınsak olarak kabul edilecektir. Böylece, ilk ifadenin de birleştiğini belirleyebileceğiz.
Σ K \u003d 4 ∞ 1 (5 K + 8) (LN (5 K + 8)) 3'ü açarız.
Y \u003d 1 5 x + 8 (LN (5 x + 8)) (5 \u200b\u200bx + 8)) fonksiyonunun sıfırdan büyük olduğu için, kesilmez ve [4; + ∞). Önceki paragrafta açıklanan özelliği kullanıyoruz:
∫ 4 + ∞ DX (5 x + 8) (LN (5 x + 8)) 3 \u003d LIM A → + ∞ ∫ 4 A DX (5 x + 8) (LN (5 x + 8)) 3 \u003d 1 5 · LIM A → + ∞ ∫ 4 AD (LN (5 x + 8)) 3 \u003d - 1 10 · LIM A → + ∞ 1 (LN (5 x + 8)) 2 | 4 a \u003d \u003d - 1 10 · LIM A → + ∞ 1 (LN (5 · A + 8)) 2 - 1 (LN (5 · 4 + 8)) 2 \u003d - 1 10 · 1 + ∞ - 1 (LN 28 ) 2 \u003d 1 10 · ln 28 2
Elde edilen yakınsak serilerde, ∫ 4 + ∞ DX (5 x + 8) (LN (5 x + 8)) 3, σ k \u003d 4 ∞ 1 (5 K + 8) (LN (5 K) olduğu tespit edilebilir. + 8)) 3 ayrıca de birleşir.
Raabe işareti
Diyelim ki, σ k \u003d 1 ∞ A k, pozitif bir sayısal seridir.
LIM K → + ∞ K · A k A K + 1< 1 , то ряд расходится, если lim k → + ∞ k · a k a k + 1 - 1 > 1, yakınlar.
Bu belirleme yöntemi Yukarıda açıklanan teknik görünür sonuçlar vermezse kullanılabilir.
Mutlak yakınsama araştırması
Çalışma için σ k \u003d 1 ∞ b k alırız. Hizalayıcı Σ k \u003d 1 ∞ b k kullanın. Yukarıda açıkladığımız uygun işaretlerden herhangi birini kullanabiliriz. Eğer σ k \u003d 1 ∞ B K dizisi birleşirse, ilk aralık kesinlikle yakınsaktır.
Örnek 18.
Σ K \u003d 1 ∞ (- 1) K3 K 3 + 2 K - 1 serisini keşfedin Σ K \u003d 1 ∞ (- 1) K3 K3 + 2 K - 1 \u003d Σ K \u003d 1 ∞ 1 3 K3 + 2 K - 1.
Durum, LIM K → + ∞ 1 3 K3 + 2 K - 1 \u003d 1 + ∞ \u003d 0 ile yapılır. Σ K \u003d 1 ∞ 1 K 3 2 kullanın ve ikinci özelliği kullanıyoruz: LIM K → + ∞ 1 3 K3 + 2 K - 1 1 K 3 2 \u003d 1 3.
Bir seri σ k \u003d 1 ∞ (- 1) k3 K3 + 2 K - 1 birleşir. Kaynak satır da kesinlikle hareket ediyor.
Alternatif rütbelerin ayrılması
Bir seri Σ K \u003d 1 ∞ B K gönderilirse, karşılık gelen alternatif aralık Σ k \u003d 1 ∞ B K ya konsinye veya koşulsal olarak hareket ediyor.
Dalamber'in sadece bir işareti ve Cauchy'nin radikal işareti, σ k \u003d 1 ∞ b k modüllerinin farkı boyunca σ k \u003d 1 ∞ b k arasındaki sonuçları çizmeye yardımcı olacaktır. Σ K \u003d 1 ∞ B K Seri de, Gerekli yakınsama koşulları yerine getirilmediyse, yani LIM K → ∞ + B K ≠ 0 ise ayrılır.
Örnek 19.
Karışım 1 7, 2 7 2, - 6 7 3, 24 7 4, 120 7 5 - 720 7 6,. . . .
Modül k-mo Bir üye B K \u003d K olarak temsil edilir! 7 k.
Σ K \u003d 1 ∞ B K \u003d Σ K \u003d 1 ∞ K'yı keşfederiz! 7 K Dalamber'e dayanarak yakınsama için: LIM K → + ∞ B K + 1 B K \u003d LIM K → + ∞ (K + 1)! 7 K + 1 K! 7 K \u003d 1 7 · LIM K → + ∞ (K + 1) \u003d + ∞.
Σ K \u003d 1 ∞ B K \u003d Σ k \u003d 1 ∞ K! 7 k, orijinal seçeneği ile aynı şekilde ayrılır.
Örnek 20.
Σ k \u003d 1 ∞ (- 1) k · k2 + 1 ln (K + 1) Convergent.
Gerekli durumda düşünün LIM K → + ∞ BK \u003d LIM K → + ∞ K2 + 1 LN (K + 1) \u003d ∞ ∞ \u003d LIM K → + ∞ \u003d K2 + 1 "(LN (K + 1)) "\u003d \u003d LIM K → + ∞ 2 K 1 K + 1 \u003d LIM K → + ∞ 2 K (K + 1) \u003d + ∞. Durum yerine getirilmedi, dolayısıyla Σ K \u003d 1 ∞ (- 1) k · K2 + 1 ln (K + 1) satırı gönderilir. Sınır lopital kuralı tarafından hesaplandı.
Koşullu yakınsama için işaretler
İmzala leibnitsa
Tanım 12.Alkalin satırının üyeleri B 1\u003e B2\u003e B 3\u003e azalırsa. . . \u003e. . . Ve modülün sınırı \u003d 0 K → + ∞ için, daha sonra Σ K \u003d 1 ∞ B K aralığı birleştirir.
Örnek 17.
Convergence için Σ K \u003d 1 ∞ (- 1) K2 K + 1 5 K (K + 1) göz önünde bulundurun.
Seri, Σ K \u003d 1 ∞ (- 1) K2 K + 1 5 K (K + 1) \u003d Σ K \u003d 1 ∞ 2 K + 1 5 K (K + 1) olarak temsil edilir. Gerekli durum, LIM K → + ∞ \u003d 2 K + 1 5 K (K + 1) \u003d 0 ile yapılır. İkinci Karşılaştırma LIM'in ikinci işareti üzerine Σ K \u003d 1 ∞ 1 K göz önünde bulundurun → + ∞ 2 K + 1 5 K (K + 1) 1 K \u003d LIM K → + ∞ 2 K + 1 5 (K + 1) \u003d 2 5
Bunu Σ K \u003d 1 ∞ (- 1) K2 K + 1 5 K (K + 1) \u003d Σ K \u003d 1 ∞ 2 K + 1 5 K (K + 1) farklılaşıyor. Bir seri σ k \u003d 1 ∞ (- 1) K2 K + 1 5 K (K + 1) Leibitus temelinde birleşir: Sıra 2 · 1 + 1 5 · 1 · 1 1 + 1 \u003d 3 10, 2 · 2 + 1 5 · 2 · (2 \u200b\u200b+ 1) \u003d 5 30, 2 · 3 + 1 5 · 3 · 3 + 1,. . . LIM K → + ∞ \u003d 2 K + 1 5 K (K + 1) \u003d 0.
Satır geleneksel olarak birleşir.
Abel-Dirichlet'in belirtisi
Tanım 13.Σ k \u003d 1 + ∞ u k · v K (U K) arttırmazsa ve σ k \u003d 1 + ∞ V K dizisi sınırlıdır.
Örnek 17.
Keşfet 1 - 3 2 + 2 3 + 1 4 - 3 5 + 1 3 + 1 7 - 3 8 + 2 9 +. . . Yakınsama için.
Hayal etmek
1 - 3 2 + 2 3 + 1 4 - 3 5 + 1 3 + 1 7 - 3 8 + 2 9 +. . . \u003d 1 · 1 + 1 2 · (- 3) + 1 3 · 2 + 1 4 · 1 + 1 5 · (- 3) + 1 6 · \u003d Σ k \u003d 1 ∞ u K · v K
nerede (u k) \u003d 1, 1 2, 1 3,. . . - Çalışmıyor ve dizisi (V K) \u003d 1, - 3, 2, 1, - 3, 2,. . . SINIRLI (S K) \u003d 1, - 2, 0, 1, - 2, 0,. . . . Bir sayı yakınlar.
Metinde bir hata görürseniz, lütfen seçin ve Ctrl + Enter tuşuna basın.
Yükleniyor...