Günah balta türevi. Sinüs Türevi: (Sin X) '

İlk formülün kendisi türetildiğinde, türevlerin tanımından bu noktada ilerleyeceğiz. Nerede x. - Herhangi bir geçerli numara, yani, x. - İşlevin belirlenmesi işlevinden herhangi bir sayı. Artış fonksiyonunun ilişkisinin sınırını argümanın artışına yazıyoruz:

Limit belirtisi altında, sıfıra bölmek için tek bir sıfır olmayan bir ifadeyi ortaya koyduğundan, sayısal olarak sıfır olmayan küçük bir değer olmadığı belirtilmelidir. Başka bir deyişle, sabit bir fonksiyonun artışı her zaman sıfırdır.

Böylece, türev Kalıcı İşlevtanım alanında sıfıra eşit.

Güç fonksiyonunun türevi.

Güç fonksiyonunun türevinin formülü formu vardır. derecenin göstergesi nerede p. - Herhangi bir geçerli numara.

İlk önce doğal göstergenin formülünü kanıtladık, bunun için p \u003d 1, 2, 3, ...

Türev tanımını kullanacağız. Güç fonksiyonunun artışının artışının argümanın artmasına oranının sınırını yazıyoruz:

Numarator'daki ifadeyi basitleştirmek için, Newton Binoma formülüne dönüyoruz:

Dolayısıyla

Bu, doğal gösterge için güç fonksiyonunun türevinin formülünü kanıtladı.

Türev gösterge işlevi.

Türev formülünün türevi, tanımına dayanır:

Belirsizliğe geldi. Açıklaması için, yeni bir değişken ve ile birlikte veriyoruz. Sonra. Son geçişte, geçiş formülünü logaritmanın yeni tabanına kullandık.

İlk sınıra bir yer değiştirme yapın:

İkinci harika sınırı hatırlarsak, gösterge işlevinin türevinin formülüne geleceğiz:

Türev logaritmik fonksiyonu.

Herkes için türev logaritmik fonksiyonunun formülünü kanıtlıyoruz. x. Tanım alanından ve tüm izin verilen baz değerlerinden a. Logaritma. Tanım olarak, biz var:

Zarar gördüğünüz gibi, dönüşümün logaritmun özellikleri kullanılarak gerçekleştirildiği için yapıldığını. Eşitlik olağanüstü ikinci olağanüstü limit nedeniyle.

Türetilmiş trigonometrik fonksiyonlar.

Türev trigonometrik fonksiyonların formüllerini görüntülemek için, bazı formül trigonometrisini ve ilk harika limiti hatırlamamız gerekecektir.

Sinüs fonksiyonunun türevinin tanımı gereği .

Sinüs farkı formülünü kullanıyoruz:

İlk harika sınırla temas kurmak istiyor:

Böylece, türev fonksiyonu günah X. var cOS X..

Kesinlikle benzer şekilde kosinüs türevinin formülünü kanıtladı.

Sonuç olarak, türetilmiş fonksiyon cOS X. var -Sin X..

Tezgah ve Kotangens için türev tablolarının formüllerinin çıktısı, kanıtlanmış farklılaşma kuralları (fraksiyonun türevi) kullanılacaktır.

Hiperbolik fonksiyonların türevleri.

Türev tablosundan farklılaşma kuralları ve türev gösterge işlevinin formülü, hiperbolik sinüs, kosinüs, teğet ve felsefe türevlerinin formülünü türetmemize izin verir.

Türetilmiş ters fonksiyon.

Maruz kalırken karıştırılmaması için, farklılaşmanın yapıldığı fonksiyonun argümanı, yani türetilmiştir. f (x) tarafından x..

Şimdi formüle geri bildirimin bir türev bulma kuralı.

Fonksiyonlar y \u003d f (x) ve x \u003d g (y) Karşılıklı ters, aralıklarla ve buna göre belirlenir. Noktada sıfırdan sonlu farklı bir türev fonksiyon varsa f (x), sonra noktada, geri bildirimin sonlu bir türevi var. g (y), ve . Başka bir kayıtta .

Herhangi biri için bu kuralı yeniden düzenleyebilirsiniz. x. Boşluktan sonra .

Bu formüllerin geçerliliğini kontrol edelim.

Doğal bir logaritma için ters bir fonksiyon bul (İşte y. - İşlev ve x.- argüman). Bu denklem göreceli olarak x., buraya gel (burada) x. - İşlev ve y. - argümanı). Yani, ve karşılıklı olarak ters fonksiyonlar.

Tablo türevlerinden bunu görüyoruz ve .

Türev geribildirimi bulmak için formüllerin bizi aynı sonuçlara yol açtığını düzeltin:

Gördüğünüz gibi, türevler tablosunda olduğu gibi aynı sonuçları elde ettiler.

Şimdi, türevlerin formüllerini tersi trigonometrik fonksiyonları kanıtlamak için bilgimiz var.

Arksinus türevi ile başlayalım.

. Sonra türev formüle göre, biz

Dönüştürülmeye devam ediyor.

Arksinus değerlerinin alanı aralık olduğundan T. (Ana temel fonksiyonlara, özelliklere ve grafiklere bakınız). Bu nedenle, ama düşünmeyin.

Dolayısıyla . Arksinus'un türevinin belirlenmesi alanı boşluktur (-1; 1) .

Arkkosinus için her şey kesinlikle benzer şekilde yapılır:

Arctangent'in bir türevi bulun.

Ters işlev için .

Elde edilen ifadeyi basitleştirmek için Arkkosinus aracılığıyla arctanens ifade eder.

İzin vermek aRCTGX \u003d Z., sonra

Dolayısıyla

Arkkothanangence'in türevi benzerdir:

Türev

Matematiksel fonksiyonun türevinin (farklılaşma) hesaplanması, en yüksek matematiği çözerken çok sık bir görevdir. Basit (temel) matematiksel işlevler için, bu oldukça basit bir konudur, çünkü temel fonksiyonlar için türev tabloları hazırlanır ve kolayca erişilebilir. Bununla birlikte, bir türev karmaşık matematik fonksiyonunun bulguları önemsiz bir iş değildir ve genellikle önemli çaba ve zaman maliyetleri gerektirir.

Bir türev bul

Çevrimiçi hizmetimiz, anlamsız uzun hesaplamadan kurtulmanızı sağlar ve bir türev bul Bir an için. Ve sitemizde bulunan hizmetimizi kullanma www.syt.hesaplayabilirsiniz Çevrimiçi türev hem temel fonksiyondan hem de çok karmaşıktan, analitik biçimde çözülmemektedir. Sitemizin diğerleriyle karşılaştırıldığında ana avantajları şunlardır: 1) Türevini hesaplamak için matematiksel bir fonksiyona girme yöntemi için katı gereklilikler yoktur (örneğin, Xinus işlevini girerken, günah x veya günah olarak girebilirsiniz ( x) veya günah [x] ve t. d.); 2) Türev Çevrimiçi Hesaplama Anında Modda Olur İnternet üzerinden Ve kesinlikle bedava; 3) İşlevin bir türev bulmanıza izin veriyoruz herhangi bir sıradan, türevin sırasını değiştirmek çok kolay ve anlaşılır; 4) Neredeyse herhangi bir matematik işlevinden bir türev bulmanıza izin veririz, hatta diğer hizmetleri çözmek için çok zor, erişilemez. Yanıt her zaman doğrudur ve hatalar içeremez.

Sunucumuzun kullanımı size izin verecektir 1) Sizin için çevrimiçi bir türev hesaplamak, bir hata veya yazım hatası yapabileceğiniz uzun ve sıkıcı bir hesaplamadan tasarruf etmeniz; 2) Matematiksel fonksiyonun türevini kendiniz hesaplarsanız, size hizmetimizin hesaplanmasıyla sonuçları karşılaştırma yeteneğini sunarız ve çözümün LOYNACE olduğunu veya kırık hatayı bulduğundan emin olabiliriz; 3) İstenilen işlevi bulmak için genellikle gerekli olduğu farklı fonksiyonların tablolarını kullanmak yerine hizmetimizi kullanın.

İhtiyacınız olan tek şey gerekli bir türev bul - Hizmetimiz tarafından kullanılır.

Konuyu incelirken rahatlık ve görünürlük için konsolide bir tablo veriyoruz.

Belirtilen tablonun formüllerinin nasıl elde edildiğini veya başka bir deyişle nasıl elde edildiğini analiz ediyoruz, her bir işlev için türev formüllerin çıktısını kanıtlıyoruz.

Türev sabiti

Bu formülü türetmek için, temeldeki türev fonksiyonun tanımını temel alın. X 0 \u003d x kullanarak, nerede X. Herhangi bir gerçek sayının anlamını veya başka bir deyişle, X. F (x) \u003d c işlevini belirleme işlevinden herhangi bir sayıda. Fonksiyonun işlevinin ilişkisinin sınırının bir kaydını, Δ X → 0'daki argümanın artışına göre yapacağız:

lIM Δ X → 0 Δ F (x) Δ x \u003d LIM Δ X → 0 C - C Δ x \u003d LIM Δ X → 0 0 Δ x \u003d 0

0 Δ x ifadesinin sınıra girdiğini unutmayın. Sayısal, sıfır olmayan küçük bir değer içermemesi nedeniyle, "sıfıra bölünmesi sıfıra sıfır" belirsizliğini yemez. Başka bir deyişle, sabit bir fonksiyonun artışı her zaman sıfırdır.

Böylece, f (x) \u003d c sabit fonksiyonunun türevi tüm tanım alanında sıfırdır.

Örnek 1.

Kalıcı fonksiyonlar verilmiştir:

f 1 (x) \u003d 3, f 2 (x) \u003d a, a ∈ r, f 3 (x) \u003d 4. 13 7 22, F 4 (x) \u003d 0, F 5 (x) \u003d - 8 7

Karar

Belirtilen koşulları açıklıyoruz. İlk fonksiyonda, doğal bir numara 3'ün bir türevini görüyoruz. Aşağıdaki örnekte, bir türev almak gerekir. fakatnerede fakat - Herhangi bir geçerli numara. Üçüncü örnek, bize irrasyonel sayı 4'ün bir türevini belirler. 13 7 22, Dördüncü - Sıfır Türev (Sıfır - Tamsayı). Son olarak, beşinci durumda, rasyonel fraksiyon türevimiz var - 8 7.

Cevap: Türev özellikler geçerli olan herhangi bir şekilde sıfırdır X. (tanım alanında)

f 1 "(x) \u003d (3)" \u003d 0, f 2 "(x) \u003d (a)" \u003d 0, a ∈ r, f 3 "(x) \u003d 4. 13 7 22" \u003d 0, f 4 "(x) \u003d 0" \u003d 0, f 5 "(x) \u003d - 8 7" \u003d 0

Güç fonksiyonunun türevi

Güç fonksiyonuna ve türevinin formülüne dönüşür, bir görünüme sahip: (x p) "\u003d p · x p - 1, derecenin göstergesi P. gerçek bir sayıdır.

Kanıt 2.

Derecenin göstergesi - doğal sayı: formülün kanıtı sunuyoruz: P \u003d 1, 2, 3, ...

Türev tanımına güveniyoruz. Güç işlevinin artışının artışının argümanın artmasına oranının sınırını kaydedeceğiz:

(x p) "\u003d LIM Δ x → 0 \u003d δ (x p) Δ x \u003d LIM Δ x → 0 (x + δ x) p - x p δ x

Sayısaldaki ifadeyi basitleştirmek için Newton Binoma Formula'yı kullanıyoruz:

(x + δ x) p - x p \u003d c p 0 + x p + c p 1 · x p - 1 · δ x + c p 2 · x p - 2 (δ x) 2 +. . . + + C pp - 1 · x · (δ x) p - 1 + c pp · (δ x) p - xp \u003d c p 1 · xp - 1 · δ x + c p 2 · xp - 2 (δ x) 2 +. . . + C p p - 1 · x · (δ x) p - 1 + C p · (δ x) p

Böylece:

(xp) "\u003d LIM Δ X → 0 Δ (XP) Δ X \u003d LIM Δ x → 0 (x + δ x) p - xp δ x \u003d \u003d LIM Δ x → 0 (C p 1 · xp - 1 · δ X + CP 2 · XP - 2 · (δ x) 2 + ... + C pp - 1 · x · (δ x) P - 1 + C pp · (δ x) p) Δ x \u003d \u003d LIM Δ x → 0 (C p 1 · xp - 1 + c p 2 · xp - 2 · Δ x + ... + C pp - 1 · x · (δ x) P - 2 + C pp · (δ x) p - 1) \u003d \u003d CP 1 · XP - 1 + 0 + 0 + ... + 0 \u003d P!1! · (P - 1)! · XP - 1 \u003d P · XP - 1

Bu nedenle, derecenin göstergesi doğal bir sayı olduğunda, güç fonksiyonunun türevinin formülünü kanıtladık.

Kanıt 3.

Durum için kanıt getirmek P -sıfırdan farklı olan herhangi bir geçerli sayı, logaritmik türevini kullanın (burada logaritmik fonksiyonun türevinden farkın farkına varılmalıdır). Daha eksiksiz bir anlayışa sahip olmak, logaritmik fonksiyonun türevini incelemek ve örtük olarak belirtilen bir fonksiyonun türevini ve karmaşık bir fonksiyonun türevini daha da anlamak arzu edilir.

İki vakayı düşünün: ne zaman X. Pozitif ve ne zaman X. Olumsuz.

Böylece, x\u003e 0. Sonra: x p\u003e 0. Logaritma Eşitliği Y \u003d X P E'ya dayanarak ve logaritma özelliğini uygular:

y \u003d x p ln y \u003d ln x p ln y \u003d p · ln x

Bu aşamada, dolaylı olarak belirtilen bir işlev elde edildi. Türevini belirler:

(ln y) "\u003d (p · ln x) 1 y · y" \u003d p · 1 x ⇒ y "\u003d p · y x \u003d p · x p x \u003d p · x p - 1

Şimdi davayı ne zaman görüyoruz x -negatif bir sayı.

Bir gösterge varsa P. Bir çift numara var, sonra güç fonksiyonu belirlenir ve x< 0 , причем является четной: y (x) = - y ((- x) p) " = - p · (- x) p - 1 · (- x) " = = p · (- x) p - 1 = p · x p - 1

Sonra x p.< 0 и возможно составить доказательство, используя логарифмическую производную.

Eğer bir P. Tek bir sayı var, sonra güç fonksiyonu belirlenir ve x< 0 , причем является нечетной: y (x) = - y (- x) = - (- x) p . Тогда x p < 0 , а значит логарифмическую производную задействовать нельзя. В такой ситуации возможно взять за основу доказательства правила дифференцирования и правило нахождения производной сложной функции:

y "(x) \u003d (- (- x) p)" \u003d - ((- x) p) "\u003d - p · (- x) p - 1 · (- x)" \u003d \u003d p · (- x) P - 1 \u003d P · XP - 1

Son geçiş olması nedeniyle mümkündür. P. - Tek sayı, sonra P - 1. hatta numara veya sıfır (p \u003d 1'de), bu nedenle negatif ile X. Gerçek eşitliktir (x) p - 1 \u003d x p - 1.

Böylece, güç fonksiyonunun türevinin herhangi bir geçerli p'unda olduğunu kanıtladık.

Örnek 2.

Dana işlevleri:

f 1 (x) \u003d 1 x 2 3, f 2 (x) \u003d x 2 - 1 4, f 3 (x) \u003d 1 x log 7 12

Türevlerini belirler.

Karar

Belirtilen fonksiyonların bazıları, derecenin özelliklerine dayanarak bir tablo formuna dönüştürür ve ardından formülü kullanın:

f 1 (x) \u003d 1 x 2 3 \u003d x - 2 3 ⇒ f 1 "(x) \u003d - 2 3 · x - 2 3 - 1 \u003d - 2 3 · x - 5 3 f 2" (x) \u003d x 2 - 1 4 \u003d 2 - 1 4 · x 2 - 1 4 - 1 \u003d 2 - 1 4 · x 2 - 5 4 f 3 (x) \u003d 1 x log 7 12 \u003d x - LOG 7 12 ⇒ F 3 "( x) \u003d - LOG 7 12 · X - LOG 7 12 - 1 \u003d - LOG 7 12 · X - LOG 7 12 - LOG 7 7 \u003d - LOG 7 12 · X - Günlük 7 84

Türev Gösterge Fonksiyonu

Türev formülünü bir temel olarak alarak elde ediyoruz:

(AX) "\u003d LIM Δ X → 0 AX + Δ X - AX Δ X \u003d LIM Δ X Δ X \u003d LIM Δ X → 0 BAŞI (a δ x - 1) Δ x \u003d AX · LIM Δ X → 0 A Δ X - 1 Δ x \u003d 0 0.

Belirsizlik aldık. Açıklamak için, yeni değişken Z \u003d a δ x - 1 (z → 0 δ x → 0) yazın. Bu durumda, δ x \u003d z + 1 ⇒ δ x \u003d log a (z + 1) \u003d ln (z + 1) ln a. İkinci geçiş için, logaritmun yeni bir tabanına geçiş formülü kullanılır.

İlk sınıra ikame uygulamak:

(AX) "\u003d AX · LIM Δ X → 0 A Δ X - 1 Δ X \u003d AX · LN A · LIM Δ X → 0 1 1 Z · LN (Z + 1) \u003d \u003d AX · LN A · LIM Δ X → 0 1 LN (Z + 1) 1 Z \u003d AX · LN A · 1 LN LIM Δ X → 0 (Z + 1) 1 z

İkinci harika sınırı hatırlayın ve daha sonra türev fonksiyonun bir türev formülü elde ediyoruz:

(a x) "\u003d a x · ln a · 1 ln lim z → 0 (z + 1) 1 z \u003d a x · ln a · 1 ln e \u003d a x · ln a

Örnek 3.

Dame gösterge işlevleri:

f 1 (x) \u003d 2 3 x, f2 (x) \u003d 5 3 x, f 3 (x) \u003d 1 (e) x

Türevlerini bulmak gereklidir.

Karar

Gösterge işlevinin türevinin formülünü ve logaritmun özelliklerini kullanıyoruz:

f 1 "(x) \u003d 2 3 x" \u003d 2 3 x · LN 2 3 \u003d 2 3 x · (ln2 - ln 3) f 2 "(x) \u003d 5 3 x" \u003d 5 3 x · LN 5 1 3 \u003d 1 3 · 5 3 x · LN 5 f 3 "(x) \u003d 1 (e) x" \u003d 1 ex "\u003d 1 EX · LN 1 E \u003d 1 EX · LN E - 1 \u003d - 1 EX

Türev Logaritmik Fonksiyon

Herhangi biri için logaritmik fonksiyon için formülün kanıtı sunuyoruz. X. Tanım alanında ve taban ve logaritmun izin verilen herhangi bir değerleri. Türev tanımına dayanarak, biz alırız:

(LOG AX) "\u003d LIM Δ x → 0 Günlük A (x + δ x) - Günlük AX Δ X \u003d LIM Δ X → 0 Günlük AX + Δ XX Δ X \u003d \u003d LIM Δ X Δ x \u003d 1 Δ x · Günlük A 1 + Δ XX \u003d LIM Δ X → 0 LOG A 1 + Δ XX 1 Δ X \u003d \u003d LIM Δ X → 0 LOG A 1 + Δ XX 1 Δ X · XX \u003d LIM Δ x → 0 1 x · Günlük A 1 + Δ XXX Δ x \u003d \u003d 1 x · Bir LIM Δ X → 0 1 + Δ XXX Δ x \u003d 1 x · Günlük ae \u003d 1 x · ln a \u003d 1 x · ln a

Belirtilen denklem zincirinden, dönüşümün logaritma özelliklerine dayandığı görülebilir. Eşitlik LIM Δ X → 0 1 + Δ x x x Δ x \u003d e ikinci harika sınıra göre doğrudur.

Örnek 4.

Logaritmik fonksiyonlar ayarlandı:

f 1 (x) \u003d log 3 x, f 2 (x) \u003d ln x

Türevlerini hesaplamak gerekir.

Karar

Türetilmiş formülü uygulayın:

f 1 "(x) \u003d (log ln 3 x)" \u003d 1 x · ln (ln 3); F 2 "(x) \u003d (ln x)" \u003d 1 x · ln e \u003d 1 x

Böylece, doğal logaritmin türevi, birim bölünmüş birimdir. X..

Türetilmiş trigonometrik fonksiyonlar

Bazı trigonometrik formüller ve türev trigonometrik fonksiyonun formülünü elde etmek için ilk harika sınırı kullanıyoruz.

Sinüs fonksiyonunun türevinin tanımına göre, biz alırız:

(SIN X) "\u003d LIM Δ x → 0 günah (x + δ x) - günah x δ x

Sinüs farkı formülü aşağıdaki işlemleri yapmamıza izin verecektir:

(SIN X) "\u003d LIM Δ X → 0 günah (x + δ x) - SIN X Δ x \u003d \u003d LIM Δ X → 0 2 · SIN X + Δ X - X 2 · COS X + Δ X + X 2 Δ X \u003d \u003d LIM Δ X → 0 SIN Δ x 2 · COS X + Δ X 2 Δ x 2 \u003d \u003d COS X + 0 2 · LIM Δ X → 0 SIN Δ x 2 Δ x 2

Son olarak, ilk harika limiti kullanıyoruz:

sIN "X \u003d COS X + 0 2 · LIM Δ X → 0 SIN Δ x 2 Δ x 2 \u003d COS X

Bu yüzden türetilmiş fonksiyon Günah X. olacak COS X..

Ayrıca kosinüs türevinin formülünü kanıtlayalım:

cOS "X \u003d LIM Δ X → 0 COS (X + Δ X) - COS X Δ X \u003d \u003d LIM Δ X → 0 - 2 · günah x + δ x - x 2 · günah x + δ x + x 2 δ x \u003d \u003d - LIM Δ X → 0 SIN Δ x 2 · SIN X + Δ X 2 Δ x 2 \u003d \u003d - SIN X + 0 2 · LIM Δ X → 0 SIN Δ x 2 Δ x 2 \u003d - günah x

Şunlar. Cos x türevi olacak - Günah X..

Teğet ve Kotangen türevlerinin formülleri farklılaşma kuralları temelinde çekilir:

tG "X \u003d SIN X COS X" \u003d SIN "X · COS X - SIN X · COS" x COS 2 X \u003d COS X · COS X - SIN X · (- SIN X) COS 2 X \u003d SIN 2 X + COS 2 x cos 2 x \u003d 1 cos 2 xctg "x \u003d cos x sin x" \u003d cos "x · günah x - cos x · günah" x sin 2 x \u003d - günah x · günah x - cos x · çünkü x sin 2 X \u003d - SIN 2 X + COS 2 X SIN 2 X \u003d - 1 SIN 2 X

Ters trigonometrik fonksiyonların türevleri

Ters fonksiyonların türev konusundaki bölüm, Arksinus, Arkkosinus, Arctanens ve Arkotanens türevlerinin formüllerinin kanıtı hakkında kapsamlı bilgi sağlar, bu yüzden burada malzemeyi çoğaltmayacağız.

Hiperbolik fonksiyonların türevleri

Hiperbolik sinüs, kosinüs, teğet ve avantajların türevlerinin formüllerinin türetilmesi, farklılaşma sayısı ve gösterge işlevinin türevinin formülü kullanılarak gerçekleştirilecektir:

sH "X \u003d EX - E - X 2" \u003d 1 2 EX "- E - X" \u003d \u003d 1 2 EX - E - X \u003d EX + E - X 2 \u003d CHXCH "X \u003d EX + E - X 2" \u003d 1 2 EX "+ E - X" \u003d 1 2 EX + - E - X \u003d EX - E - X 2 \u003d Shxth "x \u003d shxchx" \u003d SH "X · CHX - SHX · CH" XCH 2 x \u003d CH2 x - SH 2 XCH 2 x \u003d 1 CH2 XCTH "X \u003d CHXSHX" \u003d CH "X · SHX - CHX · SH" XSH 2 X \u003d SH 2 X - CH2 XSH 2 X \u003d - 1 SH 2 X

Metinde bir hata görürseniz, lütfen seçin ve Ctrl + Enter tuşuna basın.

Sinüs türevi - günahın (X) formülünün ispatı ve çıkışı sunulmuştur. Sin 2x, sinüs'ten bir kare ve küpten türevlerin hesaplanması örnekleri. N-th emrinin sinüs türevi için formülün çıktısı.

Ayrıca bakınız: Sinüs ve kosinüs - özellikleri, grafikler, formüller

X'in sinüs X'ten gelen değişkenin türevi, Cosine X'e eşittir:
(Sin X) '\u003d COS X.

Kanıt

Sinüs türevinin formülünü türetmek için, türevinin tanımını kullanacağız:
.

Bu sınırı bulmak için, bir ifadeyi iyi bilinen yasalara, özelliklere ve kurallara azaltacak şekilde dönüştürmemiz gerekir. Bunu yapmak için dört özellik bilmemiz gerekir.
1) Değer vermek İlk harika limit :
(1) ;
2) Kosinüs fonksiyonunun devamlılığı :
(2) ;
3) Trigonometrik formüller . Aşağıdaki formüle ihtiyacımız olacak:
(3) ;
4) Sınır fonksiyonunun aritmetik özellikleri:
Eğer ve sonra
(4) .

Bu kuralları sınırımıza uygulayın. İlk önce cebirsel bir ifadeyi dönüştürüyoruz
.
Bunu yapmak için formülü uygulayın
(3) .
Bizim durumumuzda
; . Sonra
;
;
;
.

Şimdi bir değiştirme yapın. İle ,. İlk harika sınırı uygulayın (1):
.

Aynı yer değiştireceğiz ve sürekliliğin özelliğini kullanacağız (2):
.

Yukarıda hesaplanan sınırlar var olduğundan, mülkü uyguluyoruz (4):

.

Sinüs türevinin formülü kanıtlanmıştır.

Örnek

Sinüs içeren fonksiyonlardan türev bulma basit örneklerini düşünün. Aşağıdaki işlevlerden türevleri bulacağız:
y \u003d sin 2x; y \u003d. sIN 2 X. ve y \u003d sIN 3 X..

Örnek 1.

Bir türev bul sIN 2X..

İlk önce en basit bölümden bir türev buluruz:
(2x) '\u003d 2 (x)' \u003d 2 · 1 \u003d 2.
Uygulamak.
.
Buraya .

(Sin 2x) '\u003d 2 cos 2x.

Örnek 2.

Sinüs türevini bir karede bulun:
y \u003d. sIN 2 X..

Orijinal işlevi daha anlaşılır bir biçimde yeniden yazarım:
.
En basit kısımdan bir türev bulun:
.
Türev karmaşık fonksiyonunun formülünü uygulayın.

.
Buraya .

Trigonometri formüllerinden birini uygulayabilirsiniz. Sonra
.

Örnek 3.

Küba'da sinüs türevi bul:
y \u003d. sIN 3 X..

Yüksek Siparişlerin Türevleri

Türevinin günah X. İlk sipariş aşağıdaki gibi sinüs aracılığıyla ifade edilebilir:
.

Kullanarak ikinci bir sipariş türevini bulun formül Türev Kompleksi Fonksiyonu :

.
Buraya .

Şimdi bu farklılaşmayı fark edebiliriz günah X. tartışmasında bir artışa yol açar. Daha sonra N-th siparişinin türevi şeklidir:
(5) .

Matematiksel indüksiyon yöntemini uygulayarak kanıtlıyoruz.

Ne zaman, formül (5) ne zaman geçerli olduğunu kontrol ettik.

Formül (5) bir anlam için geçerli olduğunu varsayalım. Bunu, formülün (5) için yapıldığını takip ediyoruz.

Formül (5) şunlarla içtik:
.
Karmaşık bir fonksiyonun farklılaşma kuralını uygulamak, bu denklemi ayırt etmek:

.
Buraya .
Böylece, bulduk:
.
Eğer değiştirirsek, bu formül formu (5) alacaktır.

Formül kanıtlandı.