Справжня і середня теплоємності. теплоємність

Досвідчені значення теплоємностей при різних температурах представляються у вигляді таблиць, графіків і емпіричних функцій.

Розрізняють справжню і середню теплоємності.

Справжня теплоємність C-це теплоємність для заданої температури.

В інженерних розрахунках часто використовується середнє значення теплоємності в заданому інтервалі температур (t1; t2).

Середня теплоємність позначається двояко:,.

Недолік останнього позначення є незаданность діапазону температур.

Справжня і середня теплоємності пов'язані співвідношенням:

Справжня теплоємність-це межа, до якої прагне середня теплоємність, в заданому діапазоні температур t1 ... t2, при Δt \u003d t2-t1

Як показує досвід, у більшості газів справжні теплоємності зростають з ростом температури. Фізичне пояснення цього зростання полягає в наступному:

Відомо, що температура газу не пов'язана коливальним рухом атомів і молекул, а залежить від кінетичної енергії E k поступального руху частинок. Але в міру зростання температури підводиться до газу теплота все більш і більш перерозподіляється на користь коливального руху, тобто зростання температури при однаковому підводі теплоти в міру зростання температури сповільнюється.

Типова залежність теплоємності від температури:

c \u003d c 0 + at + bt 2 + dt 3 + ... (82)

де c 0, a, b, d - емпіричні коефіцієнти.

c - Справжня теплоємність, тобто значення теплоємності для заданої температури T.

Для теплоємності бітоппроксімірующей крівой- це поліном у вигляді ряду за ступенями t.

Апроксимуюча крива проводиться з використанням спеціальних методів, наприклад, методом найменших квадратів. Суть цього методу в тому, що при його використанні всі точки приблизно рівновіддалені від апроксимуючої кривої.

Для інженерних розрахунків, як правило, обмежуються двома першими доданками в правій частині, тобто вважають залежність теплоємності від температури лінійної c \u003d c 0 + at (83)

Середня теплоємність графічно визначається як середня лінія заштрихованої трапеції, як відомо середня лінія трапеції визначається як полусумма підстав.

Формули застосовуються, якщо відома емпірична залежність.

У тих випадках, коли залежність теплоємності від температури не вдається задовільно апроксимувати до залежності c \u003d c 0 + at, можна скористатися наступною формулою:

Ця формула застосовується в тих випадках, коли залежність c від t істотно нелінійна.

З молекулярно-кінетичної теорії газів відомо

U  \u003d 12,56T, U  - внутрішня енергія одного кіломоля ідеального газу.

Раніше було отримано для ідеального газу:

, ,

З отриманого результату випливає, що теплоємність, отримана з використанням МКТ, від температури не залежить.

Рівняння Майєра: c  p -c  v \u003d R ,

c  p \u003d c  v + R  \u003d 12,56 + 8,31420,93.

Як і попередньому разі по МКТ газів молекулярна ізобарна теплоємність від температури не залежить.

Поняттю ідеального газу в найбільшою мірою відповідають одноатомні гази при малих тисках, на практиці доводиться мати справу з 2-х, 3-х ... атомними газами. Наприклад, повітря, який за обсягом складається з 79% азоту (N 2), 21% кисню (O 2) (в інженерних розрахунках інертні гази не враховуються в силу малості їх змісту).

Можна для оціночних розрахунків користуватися наступною таблицею:

У реальних газів, на відміну від ідеального, теплоємності можуть залежати не тільки від температури, але і від обсягу і тиску системи.

Теплоємність - теплофізичних характеристик, яка визначає здатність тел віддавати або сприймати теплоту, щоб змінювати температуру тіла. Відношення кількості теплоти, підведеної (або відведеної) в даному процесі, до зміни температури називається теплоємністю тіла (системи тіл): C \u003d dQ / dT, де - елементарна кількість теплоти; - елементарне зміна температури.

Теплоємність чисельно дорівнює кількості теплоти, яку необхідно підвести до системи, щоб при заданих умовах підвищити її температуру на 1 градус. Одиницею теплоємності буде Дж / К.

Залежно від кількісної одиниці тіла, до якого підводиться теплота в термодинаміки, розрізняють масову, об'ємну і мольну теплоємності.

Масова теплоємність - це теплоємність, віднесена до одиниці маси робочого тіла, c \u003d C / m

Одиницею виміру масової теплоємності є Дж / (кг × К). Масову теплоємність називають також питомою теплоємністю.

Об'ємна теплоємність - теплоємність, віднесена до одиниці об'єму робочого тіла, де і - обсяг і щільність тіла при нормальних фізичних умовах. C '\u003d c / V \u003d \u200b\u200bc p. Об'ємна теплоємність вимірюється в Дж / (м 3 × К).

Мольная теплоємність - теплоємність, віднесена до кількості робочого тіла (газу) в молях, C m \u003d C / n, де n - кількість газу в молях.

Мольную теплоємність вимірюють у Дж / (моль × К).

Масова і мольна теплоємності пов'язані наступним співвідношенням:

Об'ємна теплоємність газів виражається через мольну як

Де м 3 / моль - молярний об'єм газу при нормальних умовах.

Рівняння Майєра: З р - З v \u003d R.

З огляду на, що теплоємність непостійна, а залежить від температури та інших термічних параметрів, розрізняють справжню і середню теплоємності. Зокрема, якщо хочуть підкреслити залежність теплоємності робочого тіла від температури, то записують її як C (t), а питому - як c (t). Зазвичай під істинної теплоємністю розуміють відношення елементарного кількості теплоти, яке повідомляється термодинамічної системи в будь-якому процесі до нескінченно малому приросту температури цієї системи, викликаного повідомленої теплотою. Будемо вважати C (t) істинної теплоємністю термодинамічної системи при температурі системи рівній t 1, а c (t) - істинної питомою теплоємністю робочого тіла при його температурі рівній t 2. Тоді середню питому теплоємність робочого тіла при зміні його температури від t 1 до t 2 можна визначити як

Зазвичай в таблицях наводяться середні значення теплоємності c ср для різних інтервалів температур, що починаються з t 1 \u003d 0 0 C. Тому у всіх випадках, коли термодинамічний процес проходить в інтервалі температур від t 1 до t 2, в якому t 1 ≠ 0, кількість питомої теплоти q процесу визначається з використанням табличних значень середніх теплоємностей c ср наступним чином.

величина, якщо її визначати на різних ділянках AB, AC, AD процесу AB, то Це показує, що на окремих ділянках процесу, на яких температура змінюється на 1 о С, витрачаються різні кількості теплоти. Тому наведена вище формула не визначає дійсний питома витрата теплоти, а показує лише, скільки теплоти в середньому в процесі AB повідомляється при нагріванні газу на 1 о С.

Середня теплоємність - відношення теплоти, що повідомляється газу, до зміни його температури за умови, що різниця температур є кінцевою величиною. під істинної теплоємністю газу розуміють межа, до якої прагне середня теплоємність при прагненні ΔT до нуля. Так, якщо в процесі Aa середня теплоємність то справжня теплоємність при початковому стані A:

отже, істинної теплоємністю називається відношення теплоти, що повідомляється газу в процесі, до зміни його температури за умови, що різниця температур зникаюче мала.

Загальні формули теплоти. З наведених вище формул випливає, що теплоту, яка надається газу в довільному процесі, можна визначити за формулою:

або для довільної кількості газу

де - середня теплоємність газу в даному процесі при ізмене6ніі його температури від T 1 до T 2. Теплоту можна визначити також за формулами:

де c - справжня теплоємність газу.

Формули середньої та дійсної теплоємності. Теплоємність реальних газів залежить від тиску і температури. Залежністю від тиску часто нехтують. Залежність від температури значна і на підставі експериментальних даних виражається рівнянням виду де a, b, d - числові коефіцієнти, що залежать від природи газу і характеру процесу.

Питомі теплоємності:

Теплоємність, віднесена до 1 кг газу, називається ваговій теплоємністю -. Теплоємність, віднесена до 1 м 3 газу, називається об'ємної теплоємністю - 3. Теплоємність, віднесена до 1 молю газу, називається мольной теплоємністю – .

Нехай для нагрівання 1 кг газу на 1 о С необхідно джоулів тепла. Оскільки в молі міститься кілограм газу, то для нагрівання 1 моля на 1 о С необхідно в раз більше тепла, тобто

Тепер для нагрівання 1 м 3 газу на 1 о С необхідно джоулів тепла. Оскільки в молі при нормальних умовах міститься 22,4 м 3 газу, то для нагрівання 1 моля на 1 про необхідно в 22,4 рази більше, тепла:

Порівнюючи формули (а) і (б), знайдемо залежність між ваговій та об'ємна теплоємність:

Залежність теплоємності від характеру процесу. Розглянемо два процеси підведення тепла до газу:

а) Тепло підводиться до 1 кг газу, укладеним в циліндр з нерухомим поршнем (рис.5). Тепло, повідомлене газу, дорівнюватиме , Де - теплоємність газу при; і - початкова і кінцева температури газу. При різниці температур отримаємо, що. Очевидно, що все тепло в цьому випадку піде на збільшення внутрішньої енергії газу.

Мал. 5. Рис. 6.

б) Тепло підводиться до 1 кг газу, укладеним в циліндр з рухомим поршнем (рис.6) і, в цьому випадку, буде дорівнювати , Де - теплоємність газу при; і - початкова і кінцева температури газу при. При отримаємо, що. В цьому випадку підведений до газу тепло пішло на на збільшення внутрішньої енергії газу (як і в першому випадку), а також на вчинення роботи при русі поршня. Отже, для підвищення температури 1 кг газу на 1 о С в другому випадку необхідно більше теплоти, ніж в першому, тобто .

Розглядаючи інші процеси, можна встановити, що теплоємність може приймати самі різні числові значення, тому що кількість теплоти, що повідомляється газу, залежить від характеру процесу.

Зв'язок між і , коефіцієнт . При нагріванні 1 кг газу на 1 о С при підводиться Дж тепла. Частина його, що дорівнює, йде на збільшення внутрішньої енергії, а частина - на здійснення роботи розширення. Позначимо цю роботу через. Оскільки теплота, витрачена на нагрівання газу і здійснення роботи, повинна бути в сумі дорівнює підведений теплоті, то можна записати, що

Це кількість теплоти, яку необхідно повідомити системі для збільшення її температури на 1 ( До) При відсутності корисної роботи і сталості відповідних параметрів.

Якщо в якості системи ми беремо індивідуальна речовина, то загальна теплоємність системи дорівнює теплоємності 1 моль речовини () помножене на число моль ().

Теплоємність може бути питома і молярна.

Питома теплоємність- це кількість теплоти, необхідне для нагрівання одиниці маси речовини на 1 град (Інтенсивна величина).

молярна теплоємність- це кількість теплоти, необхідне для нагрівання одного моль речовини на 1 град.

Розрізняють справжню і середню теплоємність.

У техніці зазвичай використовують поняття середньої теплоємності.

Середня- це теплоємність для певного інтервалу температур.

Якщо системі, яка містить кількість речовини або масою, повідомили кількість теплоти, а температура системи підвищилася від до, то можна розрахувати середню питому або молярна теплоємність:

Справжня молярна теплоємність - це відношення нескінченно малої кількості теплоти, повідомленої 1 моль речовини при певній температурі, до приросту температури, яке при цьому спостерігається.

Відповідно до рівняння (19), теплоємність, як і теплота, не є функцією стану. При постійному тиску або обсязі, відповідно до рівнянь (11) і (12), теплота, а, отже, і теплоємність набувають властивостей функції стану, тобто стають характеристичними функціями системи. Таким чином, отримуємо ізохорно і ізобарну теплоємності.

ізохорно теплоємність - кількість теплоти, яку необхідно повідомити системі, щоб підвищити температуру на 1, якщо процес відбувається при.

ізобарна теплоємність - кількість теплоти, яку необхідно повідомити системі, щоб підвищити температуру на 1 при.

Теплоємність залежить не тільки від температури, але і від обсягу системи, оскільки між частинками існують сили взаємодії, які змінюються при зміні відстані між ними, тому в рівняннях (20) і (21) використовують приватні похідні.

Ентальпія ідеального газу, як і його внутрішня енергія, є функцією лише температури:

а відповідно до рівняння Менделєєва-Клапейрона, тоді

Тому для ідеального газу в рівняннях (20), (21) приватні похідні можна замінити на повні диференціали:

З спільного вирішення рівнянь (23) і (24) з урахуванням (22), отримаємо рівняння взаємозв'язку між і для ідеального газу.

Розділивши змінні в рівняннях (23) і (24), можна розрахувати зміна внутрішньої енергії та ентальпії при нагріванні 1 моль ідеального газу від температури до

Якщо в зазначеному інтервалі температур теплоємність можна вважати постійної, то в результаті інтегрування отримуємо:

Встановимо взаємозв'язок між середньою і істинної теплоємністю. Зміна ентропії з одного боку виражається рівнянням (27), з іншого -

Прирівнявши праві частини рівнянь і висловивши середню теплоємність, маємо:

Аналогічне вираз можна отримати для середньої ізохорно теплоємності.

Теплоємність більшості твердих, рідких і газоподібних речовин підвищується з ростом температури. Залежність теплоємності твердих, рідких і газоподібних речовин від температури виражається емпіричним рівнянням виду:

де а, b, c і - емпіричні коефіцієнти, обчислені на основі експериментальних даних про, причому коефіцієнт відноситься до органічних речовин, а - до неорганічних. Значення коефіцієнтів для різних речовин приведені в довіднику і застосовні тільки для зазначеного інтервалу температур.

Теплоємність ідеального газу не залежить від температури. Згідно молекулярно-кінетичної теорії теплоємність, яка припадає на одну ступінь свободи, дорівнює (ступінь свободи - число незалежних видів руху на які можна розкласти складний рух молекули). Для одноатомної молекули характерно поступальний рух, яке можна розкласти на три складові відповідно до трьох взаємно перпендикулярними напрямками по трьох осях. Тому ізохорно теплоємність одноатомного ідеального газу дорівнює

Тоді ізобарна теплоємність одноатомного ідеального газу згідно (25) визначиться з рівняння

Двоатомних молекули ідеального газу крім трьох ступенів свободи поступального руху мають і 2 ступеня свободи обертального руху. отже.

З огляду на, що теплоємність непостійна, а залежить від температури та інших термічних параметрів, розрізняють справжню і середню теплоємності. Справжня теплоємність виражається рівнянням (2.2) при певних параметрах термодинамічної процесу, тобто в даному стані робочого тіла. Зокрема, якщо хочуть підкреслити залежність теплоємності робочого тіла від температури, то записують її як, а питому - як. Зазвичай під істинної теплоємністю розуміють відношення елементарного кількості теплоти, яке повідомляється термодинамічної системи в будь-якому процесі до нескінченно малому приросту температури цієї системи, викликаного повідомленої теплотою. Будемо счітатьістінной теплоємністю термодинамічної системи при температурі системи рівній, а- істинної питомою теплоємністю робочого тіла при його температурі рівній. Тоді середню питому теплоємність робочого тіла при зміні його температури отдоможно визначити як

Зазвичай в таблицях наводяться середні значення теплоємності для різних інтервалів температур, що починаються з. Тому у всіх випадках, коли термодинамічний процес проходить в інтервалі температур отдо, в якому, кількість питомої теплотипроцесса визначається з використанням табличних значень середніх теплоемкостейследующім чином:

Значення середніх теплоємностей і, знаходять за таблицями.

2.3.Теплоёмкості при постійному об'ємі і тиску

Особливий інтерес представляють середні і справжні теплоємності в процесах при постійному обсязі ( ізохорно теплоємність, Що дорівнює відношенню питомої кількості теплоти в Ізохоричний процесі до зміни температури робочого тіла dT) і при постійному тиску ( ізобарна теплоємність, Що дорівнює відношенню питомої кількості теплоти в изобарном процесі до зміни температури робочого тіла dT).

Для ідеальних газів зв'язок між ізобарно і ізохорно теплоємність і встановлюється відомим рівнянням Майєра.

З рівняння Майера слід, що ізобарна теплоємність більше ізохорно на значення питомої характеристичної постійної ідеального газу. Це пояснюється тим, що в Ізохоричний процесі () зовнішня робота не виконується і теплота витрачається тільки на зміну внутрішньої енергії робочого тіла, тоді як в изобарном процесі () теплота витрачається не тільки на зміну внутрішньої енергії робочого тіла, що залежить від його температури, але і на вчинення ним зовнішньої роботи.

Для реальних газів, так як при їх розширенні ісовершается робота не тільки проти зовнішніх сил, але і внутрішня робота проти сил взаємодії між молекулами газу, на що додатково витрачається теплота.

У теплотехніки широко застосовується ставлення теплоємностей, яке носить назву коефіцієнта Пуассона (показника адіабати). У табл. 2.1 наведені значеніянекоторих газів, отримані експериментально при температурі 15 ° С.

Теплоємності ізавісят від температури, отже, і показник адіабатидолжен залежати від температури.

Відомо, що з підвищенням температури теплоємність збільшується. Тому з ростом температуриуменьшается, наближаючись до одиниці. Однак завжди залишається більше одиниці. Зазвичай залежність показника адіабати від температури виражається формулою виду

і так як