10 прийомів рішення квадратного рівняння. Способи вирішення квадратних рівнянь

У шкільному курсі математики вивчаються формули коренів квадратного рівняння, за допомогою яких можна вирішувати будь-які квадратні рівняння. Однак є й інші способи вирішення квадратних рівнянь, які дозволяють дуже швидко і раціонально вирішувати багато рівняння. Є десять способів вирішення квадратних рівнянь. Детально в своїй роботі я розібрала кожен з них.

1. СПОСІБ : Розкладання лівій частині рівняння на множники.

вирішимо рівняння

х 2 + 10х - 24 \u003d 0.

Розкладемо ліву частину на множники:

х 2 + 10х - 24 \u003d х 2 + 12х - 2х - 24 \u003d х (х + 12) - 2 (х + 12) \u003d (х + 12) (х - 2).

Отже, рівняння можна переписати так:

(Х + 12) (х - 2) \u003d 0

Так як добуток дорівнює нулю, то, по крайней мере, один з його множників дорівнює нулю. Тому ліва частина рівняння звертається нуль при х \u003d 2, А також при х \u003d - 12. Це означає, що число 2 і - 12 є корінням рівняння х 2 + 10х - 24 \u003d 0.

2. СПОСІБ : Метод виділення повного квадрата.

вирішимо рівняння х 2 + 6х - 7 \u003d 0.

Виділимо в лівій частині повний квадрат.

Для цього запишемо вираз х 2 + 6х в наступному вигляді:

х 2 + 6х \u003d х 2 + 2 х 3.

В отриманому виразі перший доданок - квадрат числа х, а друге - подвоєне твір х на 3. За цим щоб отримати повний квадрат, потрібно додати 3 2, тому що

х 2 + 2 х 3 + 3 2 \u003d (х + 3) 2.

Перетворимо тепер ліву частину рівняння

х 2 + 6х - 7 \u003d 0,

додаючи до неї і віднімаючи 3 2. маємо:

х 2 + 6х - 7 \u003dх 2 + 2 х 3 + 3 2 - 3 2 - 7 \u003d (х + 3) 2 - 9 - 7 \u003d (х + 3) 2 - 16.

Таким чином, дане рівняння можна записати так:

(Х + 3) 2 - 16 \u003d 0, (х + 3) 2 \u003d 16.

отже, х + 3 - 4 \u003d 0, х 1 \u003d 1, або х + 3 \u003d -4, х 2 \u003d -7.

3. СПОСІБ : Рішення квадратних рівнянь за формулою.

Помножимо обидві частини рівняння

ах 2 +bх + с \u003d 0, а ≠ 0

на 4а і послідовно маємо:

4а 2 х 2 + 4аbх + 4ас \u003d 0,

((2ах) 2 + 2ахb + b 2 ) - b 2 + 4 ac = 0,

(2ax + b) 2 \u003d b 2 - 4ac,

2ax + b \u003d ± √ b 2 - 4ac,

2ax \u003d - b ± √ b 2 - 4ac,

приклади.

а) Вирішимо рівняння: 4х 2 + 7х + 3 \u003d 0.

а \u003d 4,b \u003d 7, с \u003d 3,D = b 2 - 4 ac = 7 2 - 4 4 3 = 49 - 48 = 1,

D > 0, два різних кореня;

Таким чином, в разі позитивного дискримінанту, тобто при

b 2 - 4 ac >0 , рівняння ах 2 +bх + с \u003d 0 має два різних кореня.

б) Вирішимо рівняння: 4х 2 - 4х + 1 \u003d 0,

а \u003d 4,b \u003d - 4, с \u003d 1,D = b 2 - 4 ac = (-4) 2 - 4 4 1= 16 - 16 = 0,

D = 0, один корінь;

Отже, якщо дискримінант дорівнює нулю, тобто b 2 - 4 ac = 0 , То рівняння

ах 2 +bх + с \u003d 0 має єдиний корінь,

в) Вирішимо рівняння: 2х 2 + 3х + 4 \u003d 0,

а \u003d 2,b \u003d 3, с \u003d 4,D = b 2 - 4 ac = 3 2 - 4 2 4 = 9 - 32 = - 13 , D < 0.

Дане рівняння коренів не має.

Отже, якщо дискримінант від'ємний, тобто b 2 - 4 ac < 0 ,

рівняння ах 2 +bх + с \u003d 0 не має коренів.

Формула (1) коренів квадратного рівняння ах 2 +bх + с \u003d 0 дозволяє знайти коріння будь-якого квадратного рівняння (якщо вони є), в тому числі наведеного та неповного. Словесно формула (1) виражається так: коріння квадратного рівняння рівні дробу, чисельник якої дорівнює другому коефіцієнту, взятому з протилежним знаком, плюс мінус корінь квадратний з квадрата цього коефіцієнта без почетвереній твори першого коефіцієнта на вільний член, а знаменник є подвоєний перший коефіцієнт.

4. СПОСІБ: Рішення рівнянь з використанням теореми Вієта.

Як відомо, наведене квадратне рівняння має вигляд

х 2 +px + c = 0. (1)

Його коріння задовольняють теоремі Вієта, яка при а \u003d 1 має вид

x 1 x 2 = q,

x 1 + x 2 = - p

Звідси можна зробити наступні висновки (за коефіцієнтами p і q можна передбачити знаки коренів).

а) Якщо зведений член q наведеного рівняння (1) позитивний ( q > 0 ), То рівняння має два однакових за знаком кореня і це заздрості від другого коефіцієнта p. якщо р< 0 , То обидва кореня негативні, якщо р< 0 , То обидва кореня позитивні.

наприклад,

x 2 – 3 x + 2 = 0; x 1 = 2 і x 2 = 1, так як q = 2 > 0 і p = - 3 < 0;

x 2 + 8 x + 7 = 0; x 1 = - 7 і x 2 = - 1, так як q = 7 > 0 і p= 8 > 0.

б) Якщо вільний член q наведеного рівняння (1) негативний ( q < 0 ), То рівняння має два різних за знаком кореня, причому більший за модулем корінь буде позитивний, якщо p < 0 , Або негативний, якщо p > 0 .

наприклад,

x 2 + 4 x – 5 = 0; x 1 = - 5 і x 2 = 1, так як q= - 5 < 0 і p = 4 > 0;

x 2 – 8 x – 9 = 0; x 1 = 9 і x 2 = - 1, так як q = - 9 < 0 і p = - 8 < 0.

5. СПОСІБ: Рішення рівнянь способом «перекидання».

Розглянемо квадратне рівняння

ах 2 +bх + с \u003d 0,де а ≠ 0.

Помноживши обидві його частини на а, отримуємо рівняння

а 2 х 2 + аbх + ас \u003d 0.

нехай ах \u003d у, звідки х \u003d у / а; тоді приходимо до рівняння

у 2 +by + Ас \u003d 0,

рівносильно даному. його коріння у 1і у 2 знайдемо за допомогою теореми Вієта.

остаточно отримуємо

х 1 \u003d у 1 / аі х 1 \u003d у 2 / а.

При цьому способі коефіцієнт а множиться на вільний член, як би «перекидається» до нього, тому його називають способом «перекидання». Цей спосіб застосовують, коли можна легко знайти корені рівняння, використовуючи теорему Вієта і, що найважливіше, коли дискримінант є точний квадрат.

Приклад.

вирішимо рівняння 2х 2 - 11х + 15 \u003d 0.

Рішення. «Перекинути» коефіцієнт 2 до вільного члену, в результаті отримаємо рівняння

у 2 - 11у + 30 \u003d 0.

Згідно з теоремою Вієта

у 1 \u003d 5 х 1 \u003d 5/2x 1 = 2,5

у 2 \u003d 6x 2 = 6/2 x 2 = 3.

Відповідь: 2,5; 3.

6. СПОСІБ: Властивості коефіцієнтів квадратного рівняння.

А. Нехай дано квадратне рівняння

ах 2 +bх + с \u003d 0,де а ≠ 0.

1) Якщо, а +b + З \u003d 0 (тобто сума коефіцієнтів дорівнює нулю), то х 1 \u003d 1,

х 2 \u003d с / а.

Доведення. Розділимо обидві частини рівняння на а ≠ 0, отримаємо наведене квадратне рівняння

x 2 + b/ a x + c/ a = 0.

Згідно з теоремою Вієта

x 1 + x 2 = - b/ a,

x 1 x 2 = 1 c/ a.

За умовою а -b + З \u003d 0,звідки b \u003d А + с.Таким чином,

x 1 + x 2 \u003d -а + B / a \u003d -1 - c / a,

x 1 x 2 \u003d - 1 (- c / a),

тобто х 1 \u003d -1 і х 2 \u003dc/ a, Що м треба було довести.

Приклади.

1) Вирішимо рівняння 345х 2 - 137х - 208 \u003d 0.

Рішення.Так як а +b + З \u003d 0 (345 - 137 - 208 \u003d 0),то

х 1 \u003d 1, х 2 \u003dc/ a = -208/345.

Відповідь: 1; -208/345.

2) Вирішимо рівняння 132х 2 - 247х + 115 \u003d 0.

Рішення.Так як а +b + З \u003d 0 (132 - 247 + 115 \u003d 0), то

х 1 \u003d 1, х 2 \u003dc/ a = 115/132.

Відповідь: 1; 115/132.

Б. Якщо другий коефіцієнт b = 2 k- парне число, то формулу коренів

Приклад.

вирішимо рівняння 3х2 - 14х + 16 \u003d 0.

Рішення. маємо: а \u003d 3,b \u003d - 14, з \u003d 16,k = - 7 ;

D = k 2 – ac = (- 7) 2 – 3 16 = 49 – 48 = 1, D > 0, два різних кореня;

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ РФ

Брянська область Жуковський район

МОУ Ржаніцкая середня загальноосвітня школа

ДОСЛІДНИЦЬКА РОБОТА

СПОСОБОВ РІШЕННЯ

Павликів Дмитро, 9 кл.

Керівник: Приходько Юрій
Володимирович,

учитель математики.

БРЯНСК, 2009 рік

I. Історія розвитку квадратних рівнянь ……………………….2

1. Квадратні рівняння в Стародавньому Вавілоні ........................... ..2

2. Як становив і вирішував Діофант квадратні рівняння ............ ... 2

3. Квадратні рівняння в Індії .......................................... ... 3

4. Квадратні рівняння у ал Хорезми .................................... 4

5. Квадратні рівняння в Європі XIII - XVII ст .................. .......... 5

6. Про теорему Вієта ............................................................... 6

II. Способи вирішення квадратних рівнянь ……………………….7

Спосіб ........................................................................... 7

Спосіб ........................................................................ .... 9

Спосіб ........................................................................ ... 10

Спосіб ........................................................................ ... 12

Спосіб ........................................................................ ... 13

Спосіб ........................................................................ ... 15

Спосіб ........................................................................ ... 16

III. висновок…………………………………………………..............18

література……………………………………………………………….19

Історія розвитку квадратних рівнянь.

1. Квадратні рівняння в Стародавньому Вавілоні.

Застосовуючи сучасну алгебраїчну запис, можна сказати, що в їх клинописних текстах зустрічаються, крім неповних, і такі, наприклад, повні квадратні рівняння:

X 2 + X = ¾; X 2 - X = 14,5

Правило рішення цих рівнянь, викладене в вавилонських текстах, збігається по суті з сучасним, проте невідомо, яким чином дійшли вавілоняни до цього правила. Майже всі знайдені досі клинописні тексти призводять тільки завдання з рішеннями, викладеними у вигляді рецептів, без вказівок щодо того, яким чином вони були знайдені.

Незважаючи на високий рівень розвитку алгебри у Вавилоні, в клинописних текстах відсутні поняття негативного числа і загальні методи вирішення квадратних рівнянь.

2. Як становив і вирішував Діофант квадратні рівняння.

У «Арифметиці» Діофанта немає систематичного викладу алгебри, однак у ній міститься систематизований ряд завдань, супроводжуваних поясненнями і розв'язуваних за допомогою складання рівнянь різних ступенів.

При складанні рівнянь Діофант для спрощення рішення вміло вибирає невідомі.

Ось, наприклад, одна з його завдань.

Завдання 11. «Знайти два числа, знаючи, що їх сума дорівнює 20, а твір - 96»

Діофант міркує таким чином: з умови задачі випливає, що шукані числа не рівні, так як якщо б вони були рівні, то їх твір дорівнювало б не 96, а 100. Таким чином, одне з них буде більше половини їх суми, тобто . 10 + х, Інше ж менше, тобто 10 - х. Різниця між ними 2х.

Звідси рівняння:

(10 + х) (10 - х) \u003d 96

100 - х 2 = 96

х 2 - 4 = 0 (1)

Звідси х \u003d 2. Одне з шуканих чисел одно 12 , інше 8 . Рішення х \u003d -2 для Діофанта не існує, так як грецька математика знала лише позитивні числа.

Якщо ми вирішимо це завдання, вибираючи в якості невідомого одне з шуканих чисел, то ми прийдемо до рішення рівняння

у (20 - у) \u003d 96,

у 2 - 20у + 96 \u003d 0. (2)

Ясно, що, вибираючи в якості невідомого полуразность шуканих чисел, Діофант спрощує рішення; йому вдається звести задачу до вирішення неповного квадратного рівняння (1).

3. Квадратні рівняння в Індії.

Завдання на квадратні рівняння зустрічаються вже в астрономічному тракті «Аріабхаттіам», складеному в 499 р індійським математиком і астрономом Аріабхаттой. Інший індійський учений, Брахмагупта (VII ст.), Виклав загальне правило рішення квадратних рівнянь, приведених до єдиної канонічної формі:

ах 2 + bх \u003d с, а 0. (1)

У рівнянні (1) коефіцента, крім а, Можуть бути і негативними. Правило Брахмагупти по суті збігається з нашим.

У Стародавній Індії були поширені публічні змагання у вирішенні складних завдань. В одній із старовинних індійських книг говориться з приводу таких змагань наступне: «Як сонце блиском своїм затьмарює зірки, так вчений чоловік затьмарить славу іншого на ринках, пропонуючи і вирішуючи алгебраїчні завдання». Завдання часто вдягалися в віршовану форму.

Ось одне із завдань знаменитого індійського математика XII в. Бхаскару.

Завдання 13.

«Мавпочок жвавих зграя А дванадцять по ліанах ...

Влада поївши, розважалася. Стали стрибати, повисаючи ...

Їх в квадраті частина восьма Скільки ж було мавпочок,

На галявині бавилася. Ти скажи мені, в цій зграї? »

Рішення Бхаскару свідчить про те, що він знав про двозначності коренів квадратних рівнянь (рис. 3).

Відповідне завдання 13 рівняння:

(x/8) 2 + 12 = x

Бхаськара пише під виглядом:

х 2 - 64х \u003d -768

і, щоб доповнити ліву частину цього рівняння до квадрата, додає до обох частин 32 2 , Отримуючи потім:

х 2 - 64х + 32 2 = -768 + 1024,

(Х - 32) 2 = 256,

х - 32 \u003d ± 16,

х 1 \u003d 16, х 2 = 48.

4. Квадратні рівняння у ал - Хорезмі.

В алгебраїчному трактаті ал - Хорезмі дається класифікація лінійних і квадратних рівнянь. Автор налічує 6 видів рівнянь, висловлюючи їх наступним чином:

1) «Квадрати рівні корінням», тобто ах 2 + З \u003dbх.

2) «Квадрати рівні числу», тобто ах 2 \u003d С.

3) «Коріння рівні числу», тобто ах \u003d с.

4) «Квадрати і числа рівні коріння», тобто ах 2 + З \u003dbх.

5) «Квадрати і коріння рівні числу», тобто ах 2 + bx \u003d С.

6) «Коріння і числа рівні квадратах», тобтоbx + З \u003d ах 2 .

Для ал - Хорезмі, який уникав вживання негативних чисел, члени кожного з цих рівнянь складові, а не віднімаються. При цьому свідомо не беруться до уваги рівняння, у яких немає позитивних рішень. Автор викладає способи вирішення зазначених рівнянь, користуючись прийомами ал - джабр і ал - мукабала. Його рішення, звичайно, не збігається повністю з нашим. Вже не кажучи про те, що воно чисто риторичне, слід зазначити, наприклад, що при вирішенні неповного квадратного рівняння першого виду ал - Хорезмі, як і всі математики до XVII в., Е враховує нульового рішення, ймовірно, тому, що в конкретних практичних завданнях воно не має значення. При вирішенні повних квадратних рівнянь ал - Хорезмі на приватних числових прикладах викладає правила рішення, а потім і геометричні докази.

Наведемо приклад:

Завдання 14. «Квадрат і число 21 рівні 10 коріння. Знайти корінь »

(Мається на увазі корінь рівняння х 2 + 21 \u003d 10х).

Рішення автора говорить приблизно так: роздягли навпіл число коренів, отримаєш 5, примножиш 5 саме на себе, від твору відбери 21, залишиться 4. Витягни корінь з 4, отримаєш 2. Забери 2 від 5, отримаєш 3, це і буде шуканий корінь. Або ж додай 2 до 5, що дасть 7, це теж є корінь.

Трактат ал - Хорезмі є першою, яка дійшла до нас книгою, в якій систематично викладена класифікація квадратних рівнянь і дано формули їх вирішення.

5. Квадратні рівняння в ЄвропіXIII - XVII ст.

Формули рішення квадратних рівнянь за зразком ал - Хорезмі в Європі були вперше викладені в «Книзі абака», написаної 1202 р італійським математиком Леонардо Фібоначчі. Цей об'ємний працю, в якому відображено вплив математики, як країн ісламу, так і Стародавньої Греції, відрізняється і повнотою, і ясністю викладу. Автор розробив самостійно деякі нові алгебраїчні приклади розв'язання задач і перший в Європі підійшов до введення негативних чисел. Його книга сприяла поширенню алгебраїчних знань не тільки в Італії, але і в Німеччині, Франції та інших країнах Європи. Багато задач з «Книги абака» переходили майже в усі європейські підручники XVI - XVII ст. і частково XVIII.

Загальне правило розв'язання квадратних рівнянь, приведених до єдиного канонічного вигляду:

х 2 + bx \u003d С,

при всіляких комбінаціях знаків коефіцієнтів b, збуло сформульовано в Європі лише в 1544 р М. Штіфель.

Висновок формули вирішення квадратного рівняння в загальному вигляді є у Вієта, проте Вієт визнавав тільки позитивні коріння. Італійські математики Тарталья, Кардано, Бомбеллі серед перших в XVI в. Враховують, крім позитивних, і негативні коріння. Лише в XVII ст. Завдяки праці Жирара, Декарта, Ньютона та інших вчених спосіб вирішення квадратних рівнянь приймає сучасний вигляд.

6. Про теорему Вієта.

Теорема, що виражає зв'язок між коефіцієнтами квадратного рівняння і його корінням, що носить ім'я Вієта, була їм сформульована вперше 1591 р наступним чином: «Якщо B + D, Помножене на A - A 2 , так само BD, то A одно В і так само D».

Щоб зрозуміти Вієта, слід згадати, що А, Як і будь-яка голосна буква, означало у нього невідоме (наше х), Голосні ж В,D - коефіцієнти при невідомому. Мовою сучасної алгебри вищенаведена формулювання Вієта означає: якщо має місце

(А +b) Х - х 2 = ab,

х 2 - (а +b) Х + аb = 0,

х 1 \u003d А, х 2 = b.

Висловлюючи залежність між країнами і коефіцієнтами рівнянь загальними формулами, записаними за допомогою символів, Виет встановив однаковість в прийомах рішення рівнянь. Однак символіка Вієта ще далека від сучасного вигляду. Він не визнавав негативних чисел і з цього при вирішенні рівнянь розглядав лише випадки, коли все коріння позитивні.

Отже: Квадратні рівняння - це фундамент, на якому покоїться велична будівля алгебри. Квадратні рівняння знаходять широке застосування при вирішенні тригонометричних, показових, логарифмічних, ірраціональних і трансцендентних рівнянь і нерівностей. Всі ми вміємо вирішувати квадратні рівняння зі шкільної лави (8 клас), до закінчення вузу.

1. СПОСІБ : Розкладання лівій частині рівняння на множники.

вирішимо рівняння х 2 + 10х - 24 \u003d 0. Розкладемо ліву частину на множники:

х 2 + 10х - 24 \u003d х 2 + 12х - 2х - 24 \u003d х (х + 12) - 2 (х + 12) \u003d (х + 12) (х - 2).

Отже, рівняння можна переписати так:

(Х + 12) (х - 2) \u003d 0

2. СПОСІБ : Метод виділення повного квадрата.

вирішимо рівняння х 2 + 6х - 7 \u003d 0. Виділимо в лівій частині повний квадрат.

Для цього запишемо вираз х 2 + 6х в наступному вигляді:

х 2 + 6х \u003d х 2 + 2 х 3.

х 2 + 2 х 3 + 3 2 \u003d (Х + 3) 2 .

Перетворимо тепер ліву частину рівняння

х 2 + 6х - 7 \u003d 0,

додаючи до неї і віднімаючи 3 2. маємо:

х 2 + 6х - 7 \u003dх 2 + 2 х 3 + 3 2 - 3 2 - 7 \u003d (х + 3) 2 - 9 - 7 \u003d (х + 3) 2 - 16.

Таким чином, дане рівняння можна записати так:

(Х + 3) 2 - 16 \u003d 0, (х + 3) 2 = 16.

отже, х + 3 - 4 \u003d 0, х 1 \u003d 1, або х + 3 \u003d -4, х 2 = -7.

3. СПОСІБ : Рішення квадратних рівнянь за формулою.

Помножимо обидві частини рівняння

ах 2 + bх + с \u003d 0, а ≠ 0

на 4а і послідовно маємо:

4а 2 х 2 + 4аbх + 4ас \u003d 0,

((2ах) 2 + 2ах b + b 2 ) - b 2 + 4 ac = 0,

(2ax + b) 2 \u003d b 2 - 4ac,

2ax + b \u003d ± √ b 2 - 4ac,

2ax \u003d - b ± √ b 2 - 4ac,

приклади.

а) Вирішимо рівняння: 4х 2 + 7х + 3 \u003d 0.

а \u003d 4,b \u003d 7, с \u003d 3,D = b 2 - 4 ac = 7 2 - 4 4 3 = 49 - 48 = 1,

D 0, два різних кореня;

Таким чином, в разі позитивного дискримінанту, тобто при

b 2 - 4 ac 0 , рівняння ах 2 + bх + с \u003d 0 має два різних кореня.

б) Вирішимо рівняння: 4х 2 - 4х + 1 \u003d 0,

а \u003d 4,b \u003d - 4, с \u003d 1,D = b 2 - 4 ac = (-4) 2 - 4 4 1= 16 - 16 = 0,

D = 0, один корінь;

Отже, якщо дискримінант дорівнює нулю, тобто b 2 - 4 ac = 0 , То рівняння

ах 2 + bх + с \u003d 0 має єдиний корінь,

в) Вирішимо рівняння: 2х 2 +3 х + 4 \u003d 0,

а \u003d 2,b \u003d 3, с \u003d 4,D = b 2 - 4 ac = 3 2 - 4 2 4 = 9 - 32 = - 13 , D

Дане рівняння коренів не має.

Отже, якщо дискримінант від'ємний, тобто b 2 - 4 ac , рівняння

ах 2 + bх + с \u003d 0 не має коренів.

Формула (1) коренів квадратного рівняння ах 2 + bх + с \u003d 0 дозволяє знайти коріння будь-якого квадратного рівняння (якщо вони є), в тому числі наведеного та неповного. Словесно формула (1) виражається так: коріння квадратного рівняння рівні дробу, чисельник якої дорівнює другому коефіцієнту, взятому з протилежним знаком, плюс мінус корінь квадратний з квадрата цього коефіцієнта без почетвереній твори першого коефіцієнта на вільний член, а знаменник є подвоєний перший коефіцієнт.

4. СПОСІБ: Рішення рівнянь з використанням теореми Вієта.

Як відомо, наведене квадратне рівняння має вигляд

х 2 + px + c = 0. (1)

Його коріння задовольняють теоремі Вієта, яка при а \u003d 1 має вид

x 1 x 2 = q,

x 1 + x 2 = - p

Звідси можна зробити наступні висновки (за коефіцієнтами p і q можна передбачити знаки коренів).

а) Якщо зведений член q наведеного рівняння (1) позитивний ( q 0 ), То рівняння має два однакових за знаком кореня і це заздрості від другого коефіцієнта p. якщо р, то обидва кореня негативні, якщо р, то обидва кореня позитивні.

наприклад,

x 2 – 3 x + 2 = 0; x 1 = 2 і x 2 = 1, так як q = 2 0 і p = - 3

x 2 + 8 x + 7 = 0; x 1 = - 7 і x 2 = - 1, так як q = 7 0 і p= 8 0.

б) Якщо вільний член q наведеного рівняння (1) негативний ( q), То рівняння має два різних за знаком кореня, причому більший за модулем корінь буде позитивний, якщо p , Або негативний, якщо p 0 .

наприклад,

x 2 + 4 x – 5 = 0; x 1 = - 5 і x 2 = 1, так як q\u003d - 5 і p = 4 0;

x 2 – 8 x – 9 = 0; x 1 = 9 і x 2 = - 1, так як q \u003d - 9 і p = - 8

5. СПОСІБ: Рішення рівнянь способом «перекидання».

Розглянемо квадратне рівняння

ах 2 + bх + с \u003d 0,де а ≠ 0.

Помноживши обидві його частини на а, отримуємо рівняння

а 2 х 2 + аbх + ас \u003d 0.

нехай ах \u003d у, звідки х \u003d у / а; тоді приходимо до рівняння

у 2 + by + Ас \u003d 0,

рівносильно даному. його коріння у 1 і у 2 знайдемо за допомогою теореми Вієта.

остаточно отримуємо х 1 \u003d у 1 / аі х 1 \u003d у 2 / а. При цьому способі коефіцієнт а множиться на вільний член, як би «перекидається» до нього, тому його називають способом «перекидання». Цей спосіб застосовують, коли можна легко знайти корені рівняння, використовуючи теорему Вієта і, що найважливіше, коли дискримінант є точний квадрат.

Приклад.

вирішимо рівняння 2х 2 - 11х + 15 \u003d 0.

Рішення. «Перекинути» коефіцієнт 2 до вільного члену, в результаті отримаємо рівняння

у 2 - 11у + 30 \u003d 0.

Згідно з теоремою Вієта

у1 \u003d 5 х 1 = 5/2 x 1 = 2,5

у 2 = 6 x 2 = 6/2 x 2 = 3.

Відповідь: 2,5; 3.

6. СПОСІБ: Властивості коефіцієнтів квадратного рівняння.

А. Нехай дано квадратне рівняння ах 2 + bх + с \u003d 0,де а ≠ 0.

1) Якщо, а +b + З \u003d 0 (тобто сума коефіцієнтів дорівнює нулю), то х 1 = 1,

х 2 \u003d С / а.

Доведення. Розділимо обидві частини рівняння на а ≠ 0, отримаємо наведене квадратне рівняння

x 2 + b/ a x + c/ a = 0.

Згідно з теоремою Вієта

x 1 + x 2 = - b/ a,

x 1 x 2 = 1 c/ a.

За умовою а -b + З \u003d 0,звідки b \u003d А + с.Таким чином,

x 1 + x 2 \u003d - а +b/ a= -1 – c/ a,

x 1 x 2 = - 1 (- c/ a),

тобто х 1 = -1 і х 2 = c/ a, Що м треба було довести.

Приклади.

вирішимо рівняння 345х 2 - 137х - 208 \u003d 0.

Рішення.Так як а +b + З \u003d 0 (345 - 137 - 208 \u003d 0),то

х 1 \u003d 1, х 2 = c/ a = -208/345.

Відповідь: 1; -208/345.

2) Вирішимо рівняння 132х 2 - 247х + 115 \u003d 0.

Рішення.Так як а +b + З \u003d 0 (132 - 247 + 115 \u003d 0), то

х 1 \u003d 1, х 2 = c/ a = 115/132.

Відповідь: 1; 115/132.

Б. Якщо другий коефіцієнт b = 2 k - парне число, то формулу коренів

Приклад.

вирішимо рівняння 3х2 - 14х + 16 \u003d 0.

Рішення. маємо: а \u003d 3,b \u003d - 14, з \u003d 16,k = - 7 ;

D = k 2 – ac = (- 7) 2 – 3 16 = 49 – 48 = 1, D 0, два різних кореня;

Відповідь: 2; 8/3

В. наведене рівняння

х 2 + Рх +q= 0

збігається з рівнянням загального вигляду, в якому а \u003d 1, b \u003d р і з \u003dq. Тому для наведеного квадратного рівняння формула коренів

набуває вигляду:

Формулу (3) особливо зручно використовувати, коли р- парне число.

Приклад. вирішимо рівняння х 2 - 14х - 15 \u003d 0.

Рішення.маємо: х 1,2 \u003d 7 ±

Відповідь: х 1 \u003d 15; х 2 = -1.

7. СПОСІБ: Графічне рішення квадратного рівняння.

Е кщо в рівнянні

х 2 + px + q = 0

перенести другий і третій члени в праву частину, то отримаємо

х 2 = - px - q.

Побудуємо графіки залежності у \u003d х 2 і у \u003d - px - q.

Графік першої залежності - парабола, що проходить через початок координат. Графік другий залежності -

пряма (рис.1). Можливі такі випадки:

Пряма і парабола можуть перетинатися в двох точках,

абсциси точок перетину є корінням квад- ратного рівняння;

Пряма і парабола можуть стосуватися (тільки одна загальна точка), тобто рівняння має одне рішення;

Пряма і парабола не мають спільних точок, тобто квадратне рівняння не має коренів.

Приклади.

1) Вирішимо графічно рівняння х 2 - 3х - 4 \u003d 0 (Рис. 2).

Рішення. Запишемо рівняння у вигляді х 2 \u003d 3х + 4.

побудуємо параболу у \u003d х 2 і пряму у \u003d 3х + 4. пряму

у \u003d 3х + 4 можна побудувати за двома точками М (0; 4) і

N (3; 13) . Пряма і парабола перетинаються в двох точках

А і В з абсциссами х 1 = - 1 і х 2 = 4 . відповідь : х 1 = - 1;

х 2 = 4.

2) Вирішимо графічно рівняння (рис. 3) х 2 - 2х + 1 \u003d 0.

Рішення. Запишемо рівняння у вигляді х 2 \u003d 2х - 1.

побудуємо параболу у \u003d х 2 і пряму у \u003d 2х - 1.

пряму у \u003d 2х - 1 побудуємо по двох точках М (0; - 1)

і N(1/2; 0) . Пряма і парабола перетинаються в точці А з

абсциссой х \u003d 1. відповідь: х \u003d 1.

3) Вирішимо графічно рівняння х 2 - 2х + 5 \u003d 0(Рис. 4).

Рішення. Запишемо рівняння у вигляді х 2 \u003d 5х - 5. побудуємо параболу у \u003d х 2 і пряму у \u003d 2х - 5. пряму у \u003d 2х - 5 побудуємо по двох точках М (0; - 5) і N (2,5; 0). Пряма і парабола не мають точок перетину, тобто дане рівняння коренів не має.

Відповідь. рівняння х 2 - 2х + 5 \u003d 0 коренів не має.

8. СПОСІБ: Рішення квадратних рівнянь за допомогою циркуля і

лінійки.

Графічний спосіб розв'язання квадратних рівнянь за допомогою параболи незручний. Якщо будувати параболу по точках, то потрібно багато часу, і при цьому ступінь точності одержуваних результатів невелика.

Пропоную наступний спосіб знаходження коренів квадратного рівняння ах 2 + bх + с \u003d 0 за допомогою циркуля і лінійки (рис. 5).

Припустимо, що шукана окружність перетинає вісь

абсцис в точках В (х 1 ; 0) і D (х 2 ; 0), де х 1 і х 2 - коріння рівняння ах 2 + bх + с \u003d 0, І проходить через точки

А (0; 1)і С (0;c/ a) на осі ординат. Тоді по теоремі про січних маємо OB OD = OA OC, звідки OC = OB OD/ OA\u003d х 1 х 2 / 1 = c/ a.

Центр кола знаходиться в точці перетину перпендикулярів SF і SK, Відновлених в серединах хорд AC і BD, тому

1) побудуємо точки (центр кола) і A(0; 1) ;

2) проведемо окружність з радіусом SA;

3) абсциси точок перетину цього кола з віссю Ох є коріннями вихідного квадратного рівняння.

При цьому можливі три випадки.

1) Радіус кола більше ординати центра (AS SK, абоR a + c/2 a) , Окружність перетинає вісь Ох у двох точках (рис. 6, а) В (х 1 ; 0) і D(х 2 ; 0) , де х 1 і х 2 - коріння квадратного рівняння ах 2 + bх + с \u003d 0.

2) Радіус кола дорівнює ординате центру (AS = SB, абоR = a + c/2 a) , Окружність стосується осі Ох (рис. 6, б) в точці В (х 1 ; 0) , Де х 1 - корінь квадратного рівняння.

3) Радіус кола менше ординати центра

коло не має спільних точок з віссю абсцис (рис.6, в), в цьому випадку рівняння не має рішення.

Приклад.

вирішимо рівняння х 2 - 2х - 3 \u003d 0 (Рис. 7).

Рішення.Визначимо координати точки центра кола за формулами:

Проведемо коло радіуса SA, де А (0; 1).

відповідь: х 1 \u003d - 1; х 2 = 3.

9. СПОСІБ: Рішення квадратних рівнянь за допомогою

номограми.

Це старий і незаслужено забуті спосіб вирішення квадратних рівнянь,

поміщений на с.83 (див. Брадис В.М. Чотиризначні математичні таблиці. - М., Просвітництво, 1990).

Таблиця XXII. Номограма для вирішення рівняння z 2 + pz + q = 0 . Ця номограма дозволяє, не вирішуючи квадратного рівняння, за його коефіцієнтом

там визначити корені рівняння.

Криволінійна шкала номограми побудована

за формулами (рис.11):

вважаючи ОС \u003d р,ED = q, ОЕ \u003d а (Все в см.), З

подібності трикутників САН і CDF отримаємо

пропорцію

звідки після підстановок і спрощень випливає рівняння

z 2 + pz + q = 0,

причому буква z означає мітку будь-якої точки криволінійної шкали.

Приклади.

1) для рівняння z 2 - 9 z + 8 = 0 номограмма дає коріння z 1 = 8,0 і z 2 = 1,0 (Рис.12).

2) Вирішимо за допомогою номограми рівняння

2 z 2 - 9 z + 2 = 0.

Розділимо коефіцієнти цього рівняння на 2,

отримаємо рівняння

z 2 - 4,5 z + 1 = 0.

Номограма дає коріння z 1 = 4 і z 2 = 0,5.

3) для рівняння

z 2 - 25 z + 66 = 0

коефіцієнти p і q виходять за межі шкали, виконаємо підстановку z = 5 t,

отримаємо рівняння

t 2 - 5 t + 2,64 = 0,

яке вирішуємо за допомогою номограми і отримаємо t 1 = 0,6 і t 2 = 4,4, звідки z 1 = 5 t 1 = 3,0 і z 2 = 5 t 2 = 22,0.

10. СПОСІБ: Геометричний спосіб вирішення квадратних

рівнянь.

У давнину, коли геометрія була більш розвинена, ніж алгебра, квадратні рівняння вирішується не алгебраїчно, а геометрично. Наведу знаменитий приклад з «Алгебри» ал - Хорезмі.

Приклади.

1) Вирішимо рівняння х 2 + 10х \u003d 39.

В оригіналі це завдання формулюється в такий спосіб: «Квадрат і десять коренів рівні 39» (рис.15).

Рішення. Розглянемо квадрат зі стороною х, на його сторонах будуються прямокутники так, що інша сторона кожного з них дорівнює 2,5, отже, площа кожного дорівнює 2,5 х. Отриману фігуру доповнюють потім до нового квадрата ABCD, добудовуючи в кутах чотири рівних квадрата, сторона кожного з них 2,5, а площа 6,25.

Площа S квадрата ABCD можна уявити як суму площ: початкового квадрата х 2 , Чотирьох прямокутників (4 2,5х \u003d 10х) і чотирьох прибудованих квадратів (6,25 4 = 25) , Тобто S = х 2 + 10х + 25.замінюючи

х 2 + 10х числом 39 , Отримаємо, що S = 39 + 25 = 64 , Звідки випливає, що сторона квадрата ABCD, Тобто відрізок АВ \u003d 8. Для шуканої сторони х початкового квадрата одержимо

2) А ось, наприклад, як стародавні греки вирішували рівняння у 2 + 6У - 16 \u003d 0.

Рішенняпредставлено на рис. 16, де

у 2 + 6У \u003d 16, або у 2 + 6У + 9 \u003d 16 + 9.

Рішення. вирази у 2 + 6У + 9 і 16 + 9 геометрично представляють собою

один і той же квадрат, а вихідне рівняння у 2 + 6У - 16 + 9 - 9 \u003d 0 - одне і те ж рівняння. Звідки і отримуємо, що у + 3 \u003d ± 5, або у 1 \u003d 2, у 2 = - 8 (Рис.16).

3) Вирішити геометрично рівняння у 2 - 6У - 16 \u003d 0.

Перетворюючи рівняння, отримуємо

у 2 - 6У \u003d 16.

На рис. 17 знаходимо «зображення» вираження у 2 - 6У, тобто з площі квадрата зі стороною у два рази віднімається площа квадрата зі стороною, що дорівнює 3 . Значить, якщо до вираження у 2 - 6У додати 9 , То отримаємо площу квадрата зі стороною у - 3. замінюючи вираз у 2 - 6У рівним йому числом 16,

отримуємо: (У - 3) 2 = 16 + 9, тобто у - 3 \u003d ± √25, Або у - 3 \u003d ± 5, де у 1 = 8 і у 2 = - 2.

висновок

Квадратні рівняння знаходять широке застосування при вирішенні тригонометричних, показових, логарифмічних, ірраціональних і трансцендентних рівнянь і нерівностей.

Однак, значення квадратних рівнянь полягає не тільки у витонченості і стислості вирішення завдань, хоча і це має велике значення. Не менш важливо і те, що в результаті застосування квадратних рівнянь при вирішенні завдань не рідко виявляються нові деталі, вдається зробити цікаві узагальнення та внести уточнення, які підказуються аналізом отриманих формул і співвідношень.

Хочеться відзначити і те, що викладається тема в цій роботі ще мало вивчена взагалі, просто нею не займаються, тому вона таїть в собі багато прихованого і невідомого, що дає прекрасну можливість для подальшої роботи над нею.

Тут ми зупинилася на питанні вирішення квадратних рівнянь, а що, якщо існують і інші способи їх вирішення ?! Знову знаходити красиві закономірності, якісь факти, уточнення, робити узагальнення, відкривати все нове і нове. Але це питання вже наступних робіт.

Підводячи підсумки, можна зробити висновок: квадратні рівняння відіграють величезну роль у розвитку математики. Всі ми вміємо вирішувати квадратні рівняння зі шкільної лави (8 клас), до закінчення вузу. Ці знання можуть стати в нагоді нам протягом усього життя.

Так як ці методи вирішення квадратних рівнянь прості в застосуванні, то вони, безумовно, повинно зацікавити захоплюються математикою учнів. Наша робота дає можливість по-іншому подивитися на ті завдання, які ставить перед нами математика.

література:

1. Алімов Ш.А., Ільїн В.А. та ін. Алгебра, 6-8. Пробний підручник для 6-8 класової середньої школи. - М., Просвітництво, 1981.

2. Брадис В.М. Чотиризначні математичні таблиці для середньої школи.

Вид. 57-е. - М., Просвітництво, 1990. С. 83.

3. Кружепов А.К., Рубанов А.Т. Задачник з алгебри і елементарних функцій. Навчальний посібник для середніх спеціальних навчальних закладів. - М., вища школа, 1969.

4. Окунєв А.К. Квадратичні функції, рівняння і нерівності. Посібник для вчителя. - М., Просвітництво, 1972.

5. Пресман А.А. Рішення квадратного рівняння за допомогою циркуля і лінійки. - М., Квант, № 4/72. С. 34.

6. Соломнік В.С., Мілов П.І. Збірник питань і завдань з математики. Вид. - 4-е, доповн. - М., Вища школа, 1973.

7. Худобін А.І. Збірник завдань з алгебри і елементарних функцій. Посібник для вчителя. Вид. 2-е. - М., Просвітництво, 1970.

Заявка на керівництво

дослідницькою роботою

керівник: Приходько Юрій Володимирович (вчитель математики)

Передбачувана тема: «10 способів вирішення квадратних рівнянь»

консультанти:

Приходько Юрій Володимирович (вчитель математики);

Ерошенков Дмитро Олександрович (вчитель інформатики)

Освітня галузь знання, навчальний предмет, в рамках якого проводиться робота по проекту математика

Навчальні дисципліни, близькі до теми проекту: математика

Клас навчання: 9 клас

Склад дослідницької групи: Курсина Дмитро, Павликів Дмитро

Вид проекту по домінуючою діяльності учня: дослідження раціональних способів вирішення квадратних рівнянь

Вид проекту за тривалістю: довгостроковий

Вид освіти: елективний курс

Необхідне обладнання: науково-популярна література, пов'язана з розглядом різних способів вирішення квадратних рівнянь

Передбачуваний продукт проекту: створення навчально-методичного матеріалу щодо застосування раціональних способів вирішення квадратних рівнянь

https://pandia.ru/text/78/082/images/image002_237.gif "height \u003d" 952 "\u003e МОУ« Сергіївська середня загальноосвітня школа »

Виконав: Сизиков Станіслав

учитель:

с. Сергіївка, 2007 рік

1. Введення. Квадратні рівняння в Стародавньому Вавілоні .................. .3

2. Квадратні рівняння у Діафанта ............ .. .............................. .4

3. Квадратні рівняння в Індії ................................................ 5

4. Квадратні рівняння у ал - Хорезмі ....................................... ..6

5. Квадратні рівняння в Європі XIII - XYII .............................. ... 7

6. Про теорему Вієта .................................................................. ..9

7. Десять способів вирішення квадратних рівнянь ........................ ..10

8. Висновок ........................................................................ 20

9. Список літератури ............................................................ ... 21

Вступ

Квадратні рівняння

Квадратні рівняння - це фундамент, на якому покоїться велична будівля алгебри. Квадратні рівняння знаходять широке застосування при вирішенні тригонометричних, показових, логарифмічних, ірраціональних рівнянь. Ми всі вміємо вирішувати квадратні рівняння, починаючи з 8 класу. А як же зароджувалася і розвивалася історія рішення квадратних рівнянь?

Квадратні рівняння в Стародавньому Вавілоні

Необхідність вирішувати рівняння не тільки першої, але і другого ступеня ще в давнину була викликана потребою вирішувати завдання, пов'язані з перебуванням площ земельних ділянок; земляними роботами військового характеру, а також з розвитком астрономії і самої математики. Квадратні рівняння вміли вирішувати близько 2000 років до н. е. вавилоняни. Застосовуючи сучасну алгебраїчну запис, можна сказати, що в їх клинописних текстах зустрічаються, крім неповних, і такі, наприклад, повні квадратні рівняння: х2 + х \u003d,: х2 - х \u003d 14https: //pandia.ru/text/78/082 /images/image005_150.gif "width \u003d" 16 "height \u003d" 41 src \u003d "\u003e) 2 + 12 \u003d х; Бхаськара пише під виглядом

х2- 64х = - 768

і, щоб доповнити ліву частину цього рівняння до квадрата, додає до обох частин 322, отримуючи потім: х2- 64х + 322 \u003d - 768 + 1024;

(х- 32)2 = 256; х -32 \u003d ± 16, xt = 16, хГ= 48.

Квадратні рівняння у ал - Хорезмі

В алгебраїчному трактаті ал-Хорезмі дається класифікація лінійних і квадратних рівнянь. Автор налічує 6 видів Рівняння, висловлюючи їх наступним чином:

1) «Квадрати рівні коріння», т. Е. ах2 \u003d вх.

2) «Квадрати рівні числу», т. Е. ах2= с.

3) «Коріння рівні числу», т. Е. ах \u003d с.

4) «Квадрати і числа рівні коріння», т. Е. ах2+ з \u003d вх.

5) «Квадрати і коріння рівні числу», т. Е. ах2+ вх \u003d с.

6) «Коріння і числа рівні квадратах», т. Е. вх+ з \u003d ах2. Для ал-Хорезмі, який уникав вживання негативних чисел, члени кожного з цих рівнянь складові, а не віднімаються. При цьому свідомо не беруться до уваги рівняння, у яких немає позитивних рішень. Автор викладає способи вирішення зазначених рівнянь. Його рішення, звичайно, не збігається повністю з нашим. Вже не кажучи про те, що воно чисто риторичне, слід зазначити, наприклад, що при вирішенні неповного квадратного рівняння першого виду ал-Хорезмі, як і всі математики до XVII в., Не враховує нульового рішення, ймовірно, тому, що в конкретних практичних завданнях воно не має значення. При вирішенні повних квадратних рівнянь ал-Хорезмі на приватних числових прикладах викладає правила рішення, а потім їх геометричні докази.

Наведемо приклад.

Завдання 14. «Квадрат і число 21 рівні 10 коріння. Знайти корінь »(мається на увазі корінь рівняння х2 + 21 = 10х).

Рішення автора говорить приблизно так: роздягли навпіл число коренів, отримаєш 5, Додай 5 саме на себе, від твору відбери 21, залишиться 4. Витягни корінь з 4, отримаєш 2. Забери 2 від 5, отримаєш 3, це і буде шуканий корінь. Або ж додай 2 до 5, що дасть 7, це теж є корінь.

Трактат ал-Хорезмі є першою дійшла до нас книгою, в якій систематично викладена класифікація квадратних рівнянь і дано формули їх вирішення.

Квадратні рівняння в ЄвропіXIII- XVII ст.

Формули рішення квадратних рівнянь за зразком ал-Хорезмі в Європі були вперше викладені в «Книзі абака» (видана в Римі в середині минулого століття «Книга абака» Фібоначчі містить 459 сторінок), написаної 1202 р італійським математиком Леонардо Фібоначчі. Цей об'ємний працю, в якому відображено вплив математики як країн ісламу, так і Стародавньої Греції, відрізняється і повнотою, і ясністю викладу. Автор розробив самостійно деякі нові алгебраїчні приклади розв'язання задач і перший вЄвропі підійшов до введення негативних чисел. Його книга сприяла поширенню алгебраїчних знань не тільки в Італії, але і в Німеччині, Франції та інших країнах Європи. Багато задач з «Книги абака» переходили майже в усі європейські підручники XVI-XVII ст. і частково XVIII.

Загальне правило розв'язання квадратних рівнянь, приведених до єдиного канонічного вигляду х2+ вх \u003d с, при всіляких комбінаціях знаків коефіцієнтів в, збуло сформульовано в Європі лише в 1544г. М. Штіфель.

Висновок формули вирішення квадратного рівняння в загальному вигляді є у Вієта, проте Вієт визнавав тільки позитивні коріння. Італійські математики Тарталья, Кардаков, Бомбелли серед перших в XVI в. враховують, крім позитивних, і негативні коріння. Лише в XVII ст. завдяки працям Жирара, Декарта, Ньютона та інших вчених спосіб вирішення квадратних рівнянь приймає сучасний вигляд.

Про теорему Вієта

Теорема, що виражає зв'язок між коефіцієнтами квадратного рівняння і його корінням, що носить ім'я Вієта, була їм сформульована вперше 1591 р наступним чином: «Якщо В+ D, помножене на Амінус А2,одно BD, то Аодно Ві так само D».

Щоб зрозуміти Вієта, слід згадати, що А,як і будь-яка
голосна буква, означала у нього невідоме (наше х),голосні ж
В,D - коефіцієнти при невідомому. Мовою сучасної алгебри вищенаведена формулювання Вієта означає: якщо має місце

(а+ в) х - х2 = ab, х2 - (А + b) x + ab = 0, х1 \u003d а, х 2 \u003d в.

Висловлюючи залежність між країнами і коефіцієнтами рівнянь загальними формулами, записаними за допомогою символів, Виет встановив однаковість в прийомах рішення рівнянь. Однак символіка Вієта ще далека від сучасного вигляду. Він не визнавав негативних чисел і тому при вирішенні рівнянь розглядав лише випадки, коли все коріння позитивні

Десять способів вирішення квадратних рівнянь

1. Розпад лівій частині рівняння на множники

вирішимо рівняння х2+ 10х - 24 \u003d 0. Розкладемо ліву частину рівняння на множники:

х2 + 10х - 24 \u003d х2 + 12х - 2х - 24 \u003d

Х (х + х + 12) \u003d (х + 12) (х - 2).

Отже, рівняння можна переписати так:

(х + 12) (х - 2) \u003d 0.

Так як добуток дорівнює нулю, то принаймні один з його множників дорівнює нулю. Тому ліва частина рівняння звертається в нуль при х \u003d2, а також при х\u003d - 12. Це означає, що числа 2 і - 12 є корінням рівняння х2 + 10х - 24 \u003d 0.

2. Метод виділення повного квадрата

Пояснимо цей метод на прикладі.

Вирішимо рівняння х2 + 6х - 7 \u003d 0. Виділимо в лівій частині повний квадрат. Для цього запишемо вираз х2 + 6х в наступному вигляді:

х2 + 6х \u003d х2 + 2 * х * 3.

В отриманому виразі перший доданок - квадрат числа х, а друге - подвоєне твір х на 3. Тому щоб отримати повний квадрат, потрібно додати 32, так як

х2 + 2 х 3 + 32 \u003d (х + 3) 2.

Перетворимо тепер ліву частину рівняння

х2 + 6х - 7 \u003d 0,

додаючи до неї і віднімаючи 32. Маємо:

х2 + 6х - 7 \u003d х2 + 2 х 3 +– 7 = (х- \u003d (х - З) 2 - 16 .

Таких чином, дане ypaвненіе можна записати так:

(Х + \u003d 0, т. Е. (Х + 3) 2 \u003d 16.

отже, х+ 3 \u003d 4 х1 \u003d 1, або х + 3 \u003d - 4, х2 \u003d - 7.

3. Рішення квадратних рівнянь за формулою

Помножимо обидві частини рівняння

ах2+ вх+ з \u003d0, а ≠0, на 4аі послідовно маємо:

4а2 х2 + 4abx + 4ас \u003d0,

((2ах) 2 + 2 axb + b2 ) - b2 + 4ас= 0,

(2ах +b) 2 \u003d в2- 4ас,

2ах+ b \u003d ± https://pandia.ru/text/78/082/images/image006_128.gif "width \u003d" 71 "height \u003d" 27 "\u003e, х1,2 \u003d

У разі позитивного дискримінанту, т. Е. При в2 - 4ас\u003e0, рівняння ах2+ вх + с\u003d 0 має два різних кореня.

Якщо дискримінант дорівнює нулю, т. Е. в2 - 4ас \u003d0, то рівняння ах2+ вх+ з\u003d 0 має єдиний корінь, х \u003d - https://pandia.ru/text/78/082/images/image009_95.gif "width \u003d" 14 "height \u003d" 62 "\u003e Його коріння задовольняють теоремі Вієта, яка при а\u003d 1 має вигляд

х1 х2 \u003d q,

х1 + х2 \u003d - р.

Звідси можна зробити наступні висновки (за коефіцієнтами рі q можна передбачити знаки коренів).

а) Якщо вільний член q наведеного рівняння (1)
позитивний (q \u003e 0), то рівняння має два однакових
за знаком кореня і це залежить від другого коефіцієнта р
якщо р\u003e 0, то обидва кореня негативні, якщо р< 0, то обидва
кореня позитивні.

наприклад,

х2- 3х + 2 = 0; х1\u003d 2 і х2 \u003d 1, так як q = 2 > 0 u p = - 3 < 0;

х2 + 8х + 7 \u003d 0; х 1 \u003d - 7 і х2 \u003d - 1, так як q \u003d 7\u003e 0 і р = 8 > 0.

б) Якщо вільний член q наведеного рівняння (1)
негативний (q < 0), то рівняння має два різних за знаком кореня, причому більший за модулем корінь буде позитивний, якщо р< 0, або негативний, якщо р\u003e0.

наприклад,

х2 + 4х - 5 \u003d 0; х1 \u003d - 5 і х2 \u003d 1, так як q = - 5 < 0 и р= 4 > 0;

х2 - 8х - 9 \u003d 0; х1 \u003d9 і х2\u003d - 1, так як q = - 9 < и р= - 8 < 0.

5. Рішення рівнянь способом «перекидання»

Розглянемо квадратне рівняння ах2 + вх+ з \u003d0, де а ≠0. Помноживши обидві його частини на а,отримуємо рівняння а2х2 +abx + ас= 0.

нехай ах \u003d у,звідки х\u003d; тоді приходимо до рівняння

у2+ by + Ас \u003d0,

равносильного даному. його коріння в1і у2знайдемо за допомогою теореми Вієта. остаточно отримуємо х1\u003d Https://pandia.ru/text/78/082/images/image012_77.gif "width \u003d" 24 "height \u003d" 43 "\u003e.

При цьому способі коефіцієнт амножиться на вільний член, як би «перекидається» до нього, тому його і називають способом «перекидання».Цей спосіб застосовують, коли можна легко знайти корені рівняння, використовуючи теорему Вієта і, що найважливіше, коли дискримінант є точний квадрат.

1. Вирішимо рівняння 2х2 - 11х + 15 \u003d 0.

Рішення.«Перекинути» коефіцієнт 2 до вільного члену, в результаті отримаємо рівняння

у2 - 11 у+ 30 = 0.

Згідно з теоремою Вієта в1 \u003d 5, у2 \u003d 6, звідси х1 \u003d https://pandia.ru/text/78/082/images/image014_69.gif "width \u003d" 16 height \u003d 41 "height \u003d" 41 "\u003e, т . е.

х1 \u003d 2,5 х 2 \u003d 3.

відповідь:2,5; 3.

6. Властивості коефіцієнтів квадратногорівняння

А. Нехай дано квадратне рівняння

ах2 + вх + с\u003d 0, де а ≠ 0.

1. Якщо а + в + с= 0 (Т. Е. Сума коефіцієнтів рівняння дорівнює нулю), то х1 \u003d1, х2 \u003d.

2. Якщо а - в + с= 0, абоb = а + с, то х1 \u003d -1, х2 \u003d - https://pandia.ru/text/78/082/images/image016_58.gif "width \u003d" 44 height \u003d 41 "height \u003d" 41 "\u003e.

відповідь:1; 184">

Можливі такі випадки:

Пряма і парабола можуть перетинатися в двох точках, абсциси точок перетину є корінням квадратного рівняння;

Пряма і парабола можуть стосуватися (тільки одна загальна точка), т. Е. Рівняння має одне рішення;

Пряма і парабола не мають спільних точок, т. Е. Квадратне рівняння не має коренів.

Приклади.

1. Вирішимо графічно рівняння х2 - 3х - 4 \u003d 0 (рис. 2).

Рішення.Запишемо рівняння у вигляді х2 \u003d 3х + 4.

побудуємо параболу у \u003d х2і пряму у \u003d3х + 4. Пряму у\u003d 3х + 4 можна побудувати за двома точками М (0; 4) і N (3; 13). Пряма і парабола перетинаються в двох точках А до Вз абсциссами х1\u003d - 1 і х2 \u003d 4.

Відповідь: х1\u003d - 1, х, \u003d 4.

8. Рішення квадратних рівнянь за допомогою циркуля і лінійки

Пропонуємо наступний спосіб знаходження коренів квадратного рівняння

ах2+ вх+ з= 0

за допомогою циркуля і лінійки (рис.).

Припустимо, що шукана окружність перетинає вісь абсцис в точках B(Х1;0) і D(x2 ; 0), де х1і х2- коріння рівняння ах2 + вх+з=0,
і проходить через точки А (0; 1) і С (0;) на осі ордінат..gif "width \u003d" 197 "height \u003d" 123 "\u003e

Отже: 1) побудуємо точки https://pandia.ru/text/78/082/images/image023_40.gif "width \u003d" 171 "height \u003d" 45 "\u003e окружність перетинає вісь ОХ в точці В (х1; 0), і D (x1 ; 0), де х1 і х2 - коріння квадратного рівняння ах2 + bx + c = 0.

2) Радіус кола дорівнює ординате центру , Окружність стосується осі Ох в точці В (х1; 0), де хх- корінь квадратного рівняння.

3) Радіус кола менше ординати центру left "\u003e

https://pandia.ru/text/78/082/images/image029_34.gif "width \u003d" 612 "height \u003d" 372 "\u003e 40" height \u003d "14"\u003e

https://pandia.ru/text/78/082/images/image031_28.gif "width \u003d" 612 "height \u003d" 432 src \u003d "\u003e

Звідки після підстановок і

спрощень випливає рівняння z2 + pz + q \u003d 0, причому буква z означає мітку будь-якої точки криволінійної шкали.

10. Геометричний спосіб вирішення квадратних рівнянь

У давнину, коли геометрія була більш розвинена, ніж алгебра, квадратні рівняння вирішується не алгебраїчно, а геометрично. Наведемо знаменитий приклад з «Алгебри» ал-Хорезмі.

І чотирьох прибудованих квадратів т. Е. S \u003d x2 + 10x + 25. Замінюючи x2 + 10x числом 39, отримаємо, що S \u003d 39 + 25 \u003d 64, звідки випливає, що сторона квадрата ABCD, т. е. відрізок АВ\u003d 8. Для шуканої сторони хпочаткового квадрата одержимо

висновок

Ми всі вміємо вирішувати квадратні рівняння, починаючи зі шкільної лави, до закінчення вузу. Але в шкільному курсі математики вивчаються формули коренів квадратного рівняння, за допомогою яких можна вирішувати будь-які квадратні рівняння. Однак, вивчивши по глибше це питання, я переконався в тому, що є й інші способи вирішення квадратних рівнянь, які дозволяють дуже швидко і раціонально вирішувати багато рівняння.

Може бути математика десь там в інших вимірах, оком не видних, - записана вся та ми лише дістаємо все нові факти з діри з світами? ... Бог знає; але виходить, що якщо фізикам, хімікам, економістам або археологам знадобиться нова модель світобудови, цю модель завжди можна взяти з полиці, куди її триста років тому поклали математики, або зібрати з деталей, що лежать на тій же полиці. Можливо, ці деталі доведеться покрутити, підганяючи один до одного, відшліфувати, виточити швиденько парочку нових втулок-теорем; але теорія результат не тільки опише реально виниклої ситуацію, але і передбачить наслідки! ...

Дивно якось виходить - ця гра розуму, яка завжди права ...

література

1.Алімов ША., Ільїн ВА. та ін. Алгебра, 6-8. Пробний підручник для 6-8 класів середньої школи. - М., Просвітництво, 1981.

2.Брадіс математичні таблиці для середньої школи. Вид. 57-е. - М., Просвітництво, 1990. С. 83.

3.Злоцкій -завдання при навчанні математики. Книга для учителя. - М., Просвітництво, 1992.

4.М., Математика (додаток до газети «Перше вересня), №№ 21/96, 10/97, 24/97, 18/98, 21/98.

5.Окунев функції, рівняння і нерівності. Посібник для вчителя. - М., Просвітництво, 1972.

6.Соломнік B. C., Миле питань і завдань з математики. Вид. 4-е, доповн. - М., Вища школа, 1973.

7.М., Математика (додаток до газети «Перше вересня), № 40, 2000 р.

рецензія

на роботу учня 11 класу МОУ «Сергіївська середня

загальноосвітня школа"

Копьевская сільська середня загальноосвітня школа

10 способів вирішення квадратних рівнянь

Керівник: Патрікеева Галина Анатоліївна,

учитель математики

с.Копьево, 2007

1. Історія розвитку квадратних рівнянь

1.1 Квадратні рівняння в Стародавньому Вавілоні

1.2 Як становив і вирішував Діофант квадратні рівняння

1.3 Квадратні рівняння в Індії

1.4 Квадратні рівняння у ал Хорезми

1.5 Квадратні рівняння в Європі XIII - XVII ст

1.6 Про теорему Вієта

2. Способи вирішення квадратних рівнянь

висновок

література

1. Історія розвитку квадратних рівнянь

1 .1 Квадратні рівняннання в Стародавньому Вавилоні

X 2 + X = ѕ; X 2 - X = 14,5

1.2 Як становив і вирішував Діофант квадратні рівняння.

При складанні рівнянь Діофант для спрощення рішення вміло вибирає невідомі.

Ось, наприклад, одна з його завдань.

Завдання 11. «Знайти два числа, знаючи, що їх сума дорівнює 20, а твір - 96»

Звідси рівняння:

(10 + х) (10 - х) \u003d 96

100 - х 2 = 96

х 2 - 4 = 0 (1)

у (20 - у) \u003d 96,

у 2 - 20у + 96 \u003d 0. (2)

1.3 Квадратні рівняння в Індії

ах 2 + bх \u003d с, а\u003e 0. (1)

У рівнянні (1) коефіцента, крім а, Можуть бути і негативними. Правило Брахмагупти по суті збігається з нашим.

Ось одне із завдань знаменитого індійського математика XII в. Бхаскару.

Завдання 13.

«Мавпочок жвавих зграя А дванадцять по ліанах ...

Влада поївши, розважалася. Стали стрибати, повисаючи ...

Їх в квадраті частина восьма Скільки ж було мавпочок,

На галявині бавилася. Ти скажи мені, в цій зграї? »

Рішення Бхаскару свідчить про те, що він знав про двозначності коренів квадратних рівнянь (рис. 3).

Відповідне завдання 13 рівняння:

(x/8) 2 + 12 = x

Бхаськара пише під виглядом:

х 2 - 64х \u003d -768

і, щоб доповнити ліву частину цього рівняння до квадрата, додає до обох частин 32 2 , Отримуючи потім:

х 2 - 64х + 32 2 = -768 + 1024,

(Х - 32) 2 = 256,

х - 32 \u003d ± 16,

х 1 = 16, х 2 = 48.

1.4 Квадратні рівняннання у ал - Хорезмі

1) «Квадрати рівні корінням», тобто ах 2 + З \u003dbх.

2) «Квадрати рівні числу», тобто ах 2 \u003d С.

3) «Коріння рівні числу», тобто ах \u003d с.

4) «Квадрати і числа рівні коріння», тобто ах 2 + З \u003dbх.

5) «Квадрати і коріння рівні числу», тобто ах 2 + bx \u003d С.

6) «Коріння і числа рівні квадратах», тобто bx + З \u003d ах 2 .

ал - Хорезмі, як і всі математики до XVII в., е враховує нульового рішення, ймовірно, тому, що в конкретних практичних завданнях воно не має значення. При вирішенні повних квадратних рівнянь ал - Хорезмі на приватних числових прикладах викладає правила рішення, а потім і геометричні докази.

Завдання 14. «Квадрат і число 21 рівні 10 коріння. Знайти корінь » (Мається на увазі корінь рівняння х 2 + 21 \u003d 10х).

1.5 Квадратні рівняння в ЄвропіXIII - XVII ст

Загальне правило розв'язання квадратних рівнянь, приведених до єдиного канонічного вигляду:

х 2 + bx \u003d С,

при всіляких комбінаціях знаків коефіцієнтів b, збуло сформульовано в Європі лише в 1544 р М. Штіфель.

1.6 Про теорему Вієта

(А +b) Х - х 2 = ab,

х 2 - (а +b) Х + аb = 0,

х 1 \u003d А, х 2 = b.

Висловлюючи залежність між країнами і коефіцієнтами рівнянь загальними формулами, записаними за допомогою символів, Виет встановив однаковість в прийомах рішення рівнянь. При цьому символіка Вієта ще далека від сучасного вигляду. Він не визнавав негативних чисел і з цього при вирішенні рівнянь розглядав лише випадки, коли все коріння позитивні.

2. Способи вирішення квадратних рівнянь

Квадратні рівняння - це фундамент, на якому покоїться велична будівля алгебри. Квадратні рівняння знаходять широке застосування при вирішенні тригонометричних, показових, логарифмічних, ірраціональних і трансцендентних рівнянь і нерівностей. Всі ми вміємо вирішувати квадратні рівняння зі шкільної лави (8 клас), до закінчення вузу.

У шкільному курсі математики вивчаються формули коренів квадратного рівняння, за допомогою яких можна вирішувати будь-які квадратні рівняння. При цьому є й інші способи вирішення квадратних рівнянь, які дозволяють дуже швидко і раціонально вирішувати багато рівняння. Є десять способів вирішення квадратних рівнянь. Детально в своїй роботі я розібрала кожен з них.

1. СПОСІБ : Розкладання лівій частині рівняння на множники.

вирішимо рівняння

х 2 + 10х - 24 \u003d 0.

Розкладемо ліву частину на множники:

х 2 + 10х - 24 \u003d х 2 + 12х - 2х - 24 \u003d х (х + 12) - 2 (х + 12) \u003d (х + 12) (х - 2).

Отже, рівняння можна переписати так:

(Х + 12) (х - 2) \u003d 0

2. СПОСІБ : Метод виділення повного квадрата.

вирішимо рівняння х 2 + 6х - 7 \u003d 0.

Виділимо в лівій частині повний квадрат.

Для цього запишемо вираз х 2 + 6х в наступному вигляді:

х 2 + 6х \u003d х 2 + 2 * х * 3.

х 2 + 2 * х * 3 + 3 2 \u003d (Х + 3) 2 .

Перетворимо тепер ліву частину рівняння

х 2 + 6х - 7 \u003d 0,

додаючи до неї і віднімаючи 3 2. маємо:

х 2 + 6х - 7 \u003dх 2 + 2 * х * 3 + 3 2 - 3 2 - 7 \u003d (х + 3) 2 - 9 - 7 \u003d (х + 3) 2 - 16.

Таким чином, дане рівняння можна записати так:

(Х + 3) 2 - 16 =0, (Х + 3) 2 = 16.

отже, х + 3 - 4 \u003d 0, х 1 \u003d 1, або х + 3 \u003d -4, х 2 = -7.

3. СПОСІБ : Рішення квадратних рівнянь за формулою.

Помножимо обидві частини рівняння

ах 2 + bх + с \u003d 0, а? 0

на 4а і послідовно маємо:

4а 2 х 2 + 4аbх + 4ас \u003d 0,

((2ах) 2 + 2ах *b + b 2 ) - b 2 + 4 ac = 0,

(2ax + b) 2 \u003d b 2 - 4ac,

2ax + b \u003d ± v b 2 - 4ac,

2ax \u003d - b ± v b 2 - 4ac,

приклади.

а) Вирішимо рівняння: 4х 2 + 7х + 3 \u003d 0.

а \u003d 4,b \u003d 7, с \u003d 3,D = b 2 - 4 ac = 7 2 - 4 * 4 * 3 = 49 - 48 = 1,

D > 0, два різних кореня;

Таким чином, в разі позитивного дискримінанту, тобто при

b 2 - 4 ac >0 , рівняння ах 2 + bх + с \u003d 0 має два різних кореня.

б) Вирішимо рівняння: 4х 2 - 4х + 1 \u003d 0,

а \u003d 4,b \u003d - 4, с \u003d 1,D = b 2 - 4 ac = (-4) 2 - 4 * 4 * 1= 16 - 16 = 0,

D = 0, один корінь;

Отже, якщо дискримінант дорівнює нулю, тобто b 2 - 4 ac = 0 , То рівняння

ах 2 + bх + с \u003d 0 має єдиний корінь,

в) Вирішимо рівняння: 2х 2 +3 х + 4 \u003d 0,

а \u003d 2,b \u003d 3, с \u003d 4,D = b 2 - 4 ac = 3 2 - 4 * 2 * 4 = 9 - 32 = - 13 , D < 0.

Дане рівняння коренів не має.

Отже, якщо дискримінант від'ємний, тобто b 2 - 4 ac < 0 ,

рівняння ах 2 + bх + с \u003d 0 не має коренів.

Формула (1) коренів квадратного рівняння ах 2 + bх + с \u003d 0 дозволяє знайти коріння будь-якого квадратного рівняння (якщо вони є), в тому числі наведеного та неповного. Словесно формула (1) виражається так: коріння квадратного рівняння рівні дробу, чисельник якої дорівнює другому коефіцієнту, взятому з протилежним знаком, плюс мінус корінь квадратний з квадрата цього коефіцієнта без почетвереній твори першого коефіцієнта на вільний член, а знаменник є подвоєний перший коефіцієнт.

4. СПОСІБ: Рішення рівнянь з використанням теореми Вієта.

Як відомо, наведене квадратне рівняння має вигляд

х 2 + px + c = 0. (1)

Його коріння задовольняють теоремі Вієта, яка при а \u003d 1 має вид

x 1 x 2 = q,

x 1 + x 2 = - p

Звідси можна зробити наступні висновки (за коефіцієнтами p і q можна передбачити знаки коренів).

наприклад,

x 2 - 3 x + 2 = 0; x 1 = 2 і x 2 = 1, так як q = 2 > 0 і p = - 3 < 0;

x 2 + 8 x + 7 = 0; x 1 = - 7 і x 2 = - 1, так як q = 7 > 0 і p= 8 > 0.

наприклад,

x 2 + 4 x - 5 = 0; x 1 = - 5 і x 2 = 1, так як q= - 5 < 0 і p = 4 > 0;

x 2 - 8 x - 9 = 0; x 1 = 9 і x 2 = - 1, так як q = - 9 < 0 і p = - 8 < 0.

5. СПОСІБ: Рішення рівнянь способом «перекидання».

Розглянемо квадратне рівняння

ах 2 + bх + с \u003d 0,де а? 0.

Помноживши обидві його частини на а, отримуємо рівняння

а 2 х 2 + аbх + ас \u003d 0.

нехай ах \u003d у, звідки х \u003d у / а; тоді приходимо до рівняння

у 2 + by + Ас \u003d 0,

рівносильно даному. його коріння у 1 і у 2 знайдемо за допомогою теореми Вієта.

остаточно отримуємо

х 1 \u003d у 1 / а і х 1 \u003d у 2 / а.

Приклад.

вирішимо рівняння 2х 2 - 11х + 15 \u003d 0.

Рішення. «Перекинути» коефіцієнт 2 до вільного члену, в результаті отримаємо рівняння

у 2 - 11у + 30 \u003d 0.

Згідно з теоремою Вієта

у 1 = 5 х 1 = 5/2 x 1 = 2,5

у 2 = 6 x 2 = 6/2 x 2 = 3.

Відповідь: 2,5; 3.

6. СПОСІБ: Властивості коефіцієнтів квадратного рівняння.

А. Нехай дано квадратне рівняння

ах 2 + bх + с \u003d 0,де а? 0.

1) Якщо, а +b + З \u003d 0 (тобто сума коефіцієнтів дорівнює нулю), то х 1 = 1,

х 2 \u003d С / а.

Доведення. Розділимо обидві частини рівняння на а? 0, отримаємо наведене квадратне рівняння

x 2 + b/ a * x + c/ a = 0.

Згідно з теоремою Вієта

x 1 + x 2 = - b/ a,

x 1 x 2 = 1* c/ a.

За умовою а -b + з \u003d 0,звідки b \u003d А + с.Таким чином,

x 1 + x 2 = - а + B / a \u003d -1 - c / a,

x 1 x 2 \u003d - 1 * (- c / a),

тобто х 1 = -1 і х 2 = c/ a, Що м треба було довести.

Приклади.

1) Вирішимо рівняння 345х 2 - 137х - 208 \u003d 0.

Рішення.Так як а +b + З \u003d 0 (345 - 137 - 208 \u003d 0),то

х 1 = 1, х 2 = c/ a = -208/345.

Відповідь: 1; -208/345.

2) Вирішимо рівняння 132х 2 - 247х + 115 \u003d 0.

Рішення.Так як а +b + З \u003d 0 (132 - 247 + 115 \u003d 0), то

х 1 = 1, х 2 = c/ a = 115/132.

Відповідь: 1; 115/132.

Б. Якщо другий коефіцієнт b = 2 k - парне число, то формулу коренів

Приклад.

вирішимо рівняння 3х2 - 14х + 16 \u003d 0.

Рішення. маємо: а \u003d 3,b \u003d - 14, з \u003d 16,k = -- 7 ;

D = k 2 - ac = (- 7) 2 - 3 * 16 = 49 - 48 = 1, D > 0, два різних кореня;

Відповідь: 2; 8/3

В. наведене рівняння

х 2 + Рх +q= 0

набуває вигляду:

Формулу (3) особливо зручно використовувати, коли р-- парне число.

Приклад. вирішимо рівняння х 2 - 14х - 15 \u003d 0.

Рішення.маємо: х 1,2 \u003d 7 ±

Відповідь: х 1 \u003d 15; х 2 = -1.

7. СПОСІБ: Графічне рішення квадратного рівняння.

Якщо в рівнянні

х 2 + px + q = 0

перенести другий і третій члени в праву частину, то отримаємо

х 2 = - px - q.

Побудуємо графіки залежності у \u003d х 2 і у \u003d - px - q.

Графік першої залежності - парабола, що проходить через початок координат. Графік другий залежності -

пряма (рис.1). Можливі такі випадки:

Пряма і парабола можуть перетинатися в двох точках, абсциси точок перетину є корінням квад- ратного рівняння;

Пряма і парабола можуть стосуватися (тільки одна загальна точка), тобто рівняння має одне рішення;

Пряма і парабола не мають спільних точок, тобто квадратне рівняння не має коренів.

Приклади.

1) Вирішимо графічно рівняння х 2 - 3х - 4 \u003d 0 (Рис. 2).

Рішення. Запишемо рівняння у вигляді х 2 \u003d 3х + 4.

побудуємо параболу у \u003d х 2 і пряму у \u003d 3х + 4. пряму

у \u003d 3х + 4 можна побудувати за двома точками М (0; 4) і

N (3; 13) . Пряма і парабола перетинаються в двох точках

А і В з абсциссами х 1 = - 1 і х 2 = 4 . відповідь: х 1 = - 1;

х 2 = 4.

2) Вирішимо графічно рівняння (рис. 3) х 2 - 2х + 1 \u003d 0.

Рішення. Запишемо рівняння у вигляді х 2 \u003d 2х - 1.

побудуємо параболу у \u003d х 2 і пряму у \u003d 2х - 1.

пряму у \u003d 2х - 1 побудуємо по двох точках М (0; - 1)

і N(1/2; 0) . Пряма і парабола перетинаються в точці А з

абсциссой х \u003d 1. відповідь: х \u003d 1.

3) Вирішимо графічно рівняння х 2 - 2х + 5 \u003d 0(Рис. 4).

Відповідь. рівняння х 2 - 2х + 5 \u003d 0 коренів не має.

8. СПОСІБ: Рішення квадратних рівнянь за допомогою циркуля і лінійки.

Графічний спосіб розв'язання квадратних рівнянь за допомогою параболи незручний. Якщо будувати параболу по точках, то потрібно багато часу, і при всьому цьому ступінь точності одержуваних результатів невелика.

Припустимо, що шукана окружність перетинає вісь

абсцис в точках В (х 1 ; 0) і D (х 2 ; 0), де х 1 і х 2 - коріння рівняння ах 2 + bх + с \u003d 0, І проходить через точки

А (0; 1)і С (0;c/ a) на осі ординат. Тоді по теоремі про січних маємо OB * OD = OA * OC, звідки OC = OB * OD/ OA\u003d х 1 х 2 / 1 = c/ a.

Центр кола знаходиться в точці перетину перпендикулярів SF і SK, Відновлених в серединах хорд AC і BD, тому

1) побудуємо точки (центр кола) і A(0; 1) ;

2) проведемо окружність з радіусом SA;

3) абсциси точок перетину цього кола з віссю Ох є коріннями вихідного квадратного рівняння.

При цьому можливі три випадки.

1) Радіус кола більше ординати центра (AS > SK, або R > a + c/2 a) , Окружність перетинає вісь Ох у двох точках (рис. 6, а) В (х 1 ; 0) і D(х 2 ; 0) , де х 1 і х 2 - коріння квадратного рівняння ах 2 + bх + с \u003d 0.

3) Радіус кола менше ординати центра коло не має спільних точок з віссю абсцис (рис.6, в), в цьому випадку рівняння не має рішення.

Приклад.

вирішимо рівняння х 2 - 2х - 3 \u003d 0 (Рис. 7).

Рішення.Визначимо координати точки центра кола за формулами:

Проведемо коло радіуса SA, де А (0; 1).

відповідь: х 1 \u003d - 1; х 2 = 3.

9. СПОСІБ: Рішення квадратних рівнянь за допомогою номограми.

Це старий і незаслужено забуті спосіб вирішення квадратних рівнянь, поміщений на с.83 (див. Брадис В.М. Чотиризначні математичні таблиці. - М., Просвітництво, 1990).

Таблиця XXII. Номограма для вирішення рівняння z 2 + pz + q = 0 . Ця номограма дозволяє, не вирішуючи квадратного рівняння, за його коефіцієнтом там визначити корені рівняння.

Криволінійна шкала номограми побудована за формулами (рис.11):

вважаючи ОС \u003d р,ED = q, ОЕ \u003d а (Все в см.), З подібності трикутників САН і CDF отримаємо пропорцію

звідки після підстановок і спрощень випливає рівняння

z 2 + pz + q = 0,

причому буква z означає мітку будь-якої точки криволінійної шкали.

Приклади.

1) для рівняння z 2 - 9 z + 8 = 0 номограмма дає коріння

z 1 = 8,0 і z 2 = 1,0 (Рис.12).

2) Вирішимо за допомогою номограммиуравненіе

2 z 2 - 9 z + 2 = 0.

Розділимо коефіцієнти цього рівняння на 2, отримаємо рівняння

z 2 - 4,5 z + 1 = 0.

Номограма дає коріння z 1 = 4 і z 2 = 0,5.

3) для рівняння

z 2 - 25 z + 66 = 0

коефіцієнти p і q виходять за межі шкали, виконаємо підстановку z = 5 t, Отримаємо рівняння

t 2 - 5 t + 2,64 = 0,

яке вирішуємо за допомогою номограми і отримаємо t 1 = 0,6 і t 2 = 4,4, звідки z 1 = 5 t 1 = 3,0 і z 2 = 5 t 2 = 22,0.

10. СПОСІБ: Геометричний спосіб вирішення квадратних рівнянь.

Приклади.

1) Вирішимо рівняння х 2 + 10х \u003d 39.

В оригіналі це завдання формулюється в такий спосіб: «Квадрат і десять коренів рівні 39» (рис.15).

Площа S квадрата ABCD можна уявити як суму площ: початкового квадрата х 2 , Чотирьох прямокутників (4 * 2,5 х \u003d 10х) і чотирьох прибудованих квадратів (6,25* 4 = 25) , Тобто S = х 2 + 10х + 25.замінюючи

х 2 + 10х числом 39 , Отримаємо, що S = 39 + 25 = 64 , Звідки випливає, що сторона квадрата ABCD, Тобто відрізок АВ \u003d 8. Для шуканої сторони х початкового квадрата одержимо

2) А ось, наприклад, як стародавні греки вирішували рівняння у 2 + 6У - 16 \u003d 0.

Рішенняпредставлено на рис. 16, де

у 2 + 6У \u003d 16, або у 2 + 6У + 9 \u003d 16 + 9.

Рішення. вирази у 2 + 6У + 9 і 16 + 9 геометрично представляють собою один і той же квадрат, а вихідне рівняння у 2 + 6У - 16 + 9 - 9 \u003d 0 - одне і те ж рівняння. Звідки і отримуємо, що у + 3 \u003d ± 5, або у 1 \u003d 2, у 2 = - 8 (Рис.16).

3) Вирішити геометрично рівняння у 2 - 6У - 16 \u003d 0.

Перетворюючи рівняння, отримуємо

у 2 - 6У \u003d 16.

На рис. 17 знаходимо «зображення» вираження у 2 - 6У, тобто з площі квадрата зі стороною у два рази віднімається площа квадрата зі стороною, що дорівнює 3 . Значить, якщо до вираження у 2 - 6У додати 9 , То отримаємо площу квадрата зі стороною у - 3 . замінюючи вираз у 2 - 6У рівним йому числом 16,

отримуємо: (У - 3) 2 = 16 + 9, тобто у - 3 \u003d ± v25, Або у - 3 \u003d ± 5, де у 1 = 8 і у 2 = - 2.

висновок

При цьому, значення квадратних рівнянь полягає не тільки у витонченості і стислості вирішення завдань, хоча і це має велике значення. Не менш важливо і те, що в результаті застосування квадратних рівнянь при вирішенні завдань не рідко виявляються нові деталі, вдається зробити цікаві узагальнення та внести уточнення, які підказуються аналізом отриманих формул і співвідношень.

Тут я зупинилася на питанні вирішення квадратних рівнянь, а що,

якщо існують і інші способи їх вирішення ?! Знову знаходити красиві закономірності, якісь факти, уточнення, робити узагальнення, відкривати все нове і нове. Але це питання вже наступних робіт.

Так як ці методи вирішення квадратних рівнянь прості в застосуванні, то вони, безумовно, повинно зацікавити захоплюються математикою учнів. Моя робота дає можливість по-іншому подивитися на ті завдання, які ставить перед нами математика.

література:

1. Алімов Ш.А., Ільїн В.А. та ін. Алгебра, 6-8. Пробний підручник для 6-8 класової середньої школи. - М., Просвітництво, 1981.

2. Брадис В.М. Чотиризначні математичні таблиці для середньої школи.Ізд. 57-е. - М., Просвітництво, 1990. С. 83.

3. Кружепов А.К., Рубанов А.Т. Задачник з алгебри і елементарних функцій. Навчальний посібник для середніх спеціальних навчальних закладів. - М., вища школа, 1969.

4. Окунєв А.К. Квадратичні функції, рівняння і нерівності. Посібник для вчителя. - М., Просвітництво, 1972.

5. Пресман А.А. Рішення квадратного рівняння за допомогою циркуля і лінійки. - М., Квант, № 4/72. С. 34.

6. Соломнік В.С., Мілов П.І. Збірник питань і завдань з математики. Вид. - 4-е, доповн. - М., Вища школа, 1973.

7. Худобін А.І. Збірник завдань з алгебри і елементарних функцій. Посібник для вчителя. Вид. 2-е. - М., Просвітництво, 1970.

Копьевская сільська середня загальноосвітня школа

10 способів вирішення квадратних рівнянь

Керівник: Патрікеева Галина Анатоліївна,

учитель математики

с.Копьево, 2007

1. Історія розвитку квадратних рівнянь

1.1 Квадратні рівняння в Стародавньому Вавілоні

1.2 Як становив і вирішував Діофант квадратні рівняння

1.3 Квадратні рівняння в Індії

1.4 Квадратні рівняння у ал Хорезми

1.5 Квадратні рівняння в Європі XIII - XVII ст

1.6 Про теорему Вієта

2. Способи вирішення квадратних рівнянь

висновок

література

1. Історія розвитку квадратних рівнянь

1.1 Квадратні рівняння в Стародавньому Вавілоні

X2 + X= ¾; X2 - X= 14,5

1.2 Як становив і вирішував Діофант квадратні рівняння.

При складанні рівнянь Діофант для спрощення рішення вміло вибирає невідомі.

Ось, наприклад, одна з його завдань.

Завдання 11. «Знайти два числа, знаючи, що їх сума дорівнює 20, а твір - 96»

Звідси рівняння:

(10 + х) (10 - х) \u003d 96

100 - х 2 = 96

х 2 - 4 = 0 (1)

у (20 - у) \u003d 96,

у2 - 20у + 96 \u003d 0. (2)

1.3 Квадратні рівняння в Індії

ах2 + bх \u003d с, а\u003e 0. (1)

У рівнянні (1) коефіцента, крім а, Можуть бути і негативними. Правило Брахмагупти по суті збігається з нашим.

Ось одне із завдань знаменитого індійського математика XII в. Бхаскару.

Завдання 13.

«Мавпочок жвавих зграя А дванадцять по ліанах ...

Влада поївши, розважалася. Стали стрибати, повисаючи ...

Їх в квадраті частина восьма Скільки ж було мавпочок,

На галявині бавилася. Ти скажи мені, в цій зграї? »

Рішення Бхаскару свідчить про те, що він знав про двозначності коренів квадратних рівнянь (рис. 3).

Відповідне завдання 13 рівняння:

(x/8) 2 + 12 = x

Бхаськара пише під виглядом:

х2 - 64х \u003d -768

і, щоб доповнити ліву частину цього рівняння до квадрата, додає до обох частин 32 2 , Отримуючи потім:

х2 - 64х + 322 = -768 + 1024,

(Х - 32)2 = 256,

х - 32 \u003d ± 16,

х1 \u003d 16, х2 = 48.

1.4 Квадратні рівняння у ал - Хорезмі

1) «Квадрати рівні корінням», тобто ах2 + З \u003dbх.

2) «Квадрати рівні числу», тобто ах2 \u003d С.

3) «Коріння рівні числу», тобто ах \u003d с.

4) «Квадрати і числа рівні коріння», тобто ах2 + З \u003dbх.

5) «Квадрати і коріння рівні числу», тобто ах2 + bx\u003d С.

6) «Коріння і числа рівні квадратах», тобтоbx+ З \u003d ах2 .

ал - Хорезмі, як і всі математики до XVII ст., е враховує нульового рішення, ймовірно, тому, що в конкретних практичних завданнях воно не має значення. При вирішенні повних квадратних рівнянь ал - Хорезмі на приватних числових прикладах викладає правила рішення, а потім і геометричні докази.

1.5 Квадратні рівняння в ЄвропіXIII- XVIIст

PAGE_BREAK--

Загальне правило розв'язання квадратних рівнянь, приведених до єдиного канонічного вигляду:

х2 + bx\u003d С,

при всіляких комбінаціях знаків коефіцієнтів b, збуло сформульовано в Європі лише в 1544 р М. Штіфель.

1.6 Про теорему Вієта

Теорема, що виражає зв'язок між коефіцієнтами квадратного рівняння і його корінням, що носить ім'я Вієта, була їм сформульована вперше 1591 р наступним чином: «Якщо B+ D, Помножене на A- A2 , так само BD, то A одно В і так само D».

(А +b) Х - х2 = ab,

х2 - (а +b) Х + аb= 0,

х1 \u003d А, х2 = b.

2. Способи вирішення квадратних рівнянь

Квадратні рівняння - це фундамент, на якому покоїться велична будівля алгебри. Квадратні рівняння знаходять широке застосування при вирішенні тригонометричних, показових, логарифмічних, ірраціональних і трансцендентних рівнянь і нерівностей. Всі ми вміємо вирішувати квадратні рівняння зі шкільної лави (8 клас), до закінчення вузу.

1. СПОСІБ : Розкладання лівій частині рівняння на множники.

вирішимо рівняння

х2 + 10х - 24 \u003d 0.

Розкладемо ліву частину на множники:

х2 + 10х - 24 \u003d х2 + 12х - 2х - 24 \u003d х (х + 12) - 2 (х + 12) \u003d (х + 12) (х - 2).

Отже, рівняння можна переписати так:

(Х + 12) (х - 2) \u003d 0

2. СПОСІБ : Метод виділення повного квадрата.

вирішимо рівняння х2 + 6х - 7 \u003d 0.

Виділимо в лівій частині повний квадрат.

Для цього запишемо вираз х2 + 6х в наступному вигляді:

х2 + 6х \u003d х2 + 2 х 3.

В отриманому виразі перший доданок - квадрат числа х, а друге - подвоєне твір х на 3. За цим щоб отримати повний квадрат, потрібно додати 32, так як

х2 + 2 х 3 + 32 \u003d (Х + 3)2 .

Перетворимо тепер ліву частину рівняння

х2 + 6х - 7 \u003d 0,

додаючи до неї і віднімаючи 32. Маємо:

х2 + 6х - 7 \u003dх2 + 2 х 3 + 32 - 3 2 - 7 \u003d (х + 3)2 - 9 - 7 \u003d (х + 3)2 - 16.

Таким чином, дане рівняння можна записати так:

(Х + 3)2 - 16 \u003d 0, (х + 3)2 = 16.

отже, х + 3 - 4 \u003d 0, х1 \u003d 1, або х + 3 \u003d -4, х2 = -7.

3. СПОСІБ :Рішення квадратних рівнянь за формулою.

Помножимо обидві частини рівняння

ах2 + bх + с \u003d 0, а ≠ 0

на 4а і послідовно маємо:

4а2 х2 + 4аbх + 4ас \u003d 0,

((2ах)2 + 2ахb+ b2 ) - b2 + 4 ac= 0,

(2ax + b)2 \u003d b2 - 4ac,

2ax + b \u003d ± √ b2 - 4ac,

2ax \u003d - b ± √ b2 - 4ac,

приклади.

а)Вирішимо рівняння: 4х2 + 7х + 3 \u003d 0.

а \u003d 4,b\u003d 7, с \u003d 3,D= b2 - 4 ac= 7 2 - 4 4 3 = 49 - 48 = 1,

D> 0, два різних кореня;

Таким чином, в разі позитивного дискримінанту, тобто при

b2 - 4 ac>0 , рівняння ах2 + bх + с \u003d 0має два різних кореня.

б)Вирішимо рівняння: 4х2 - 4х + 1 \u003d 0,

а \u003d 4,b\u003d - 4, с \u003d 1,D= b2 - 4 ac= (-4) 2 - 4 4 1= 16 - 16 = 0,

D= 0, один корінь;

Отже, якщо дискримінант дорівнює нулю, тобто b2 - 4 ac= 0 , То рівняння

ах2 + bх + с \u003d 0має єдиний корінь,

в)Вирішимо рівняння: 2х2 +3 х + 4 \u003d 0,

а \u003d 2,b\u003d 3, с \u003d 4,D= b2 - 4 ac= 3 2 - 4 2 4 = 9 - 32 = - 13, D< 0.

продовження
--PAGE_BREAK--

Дане рівняння коренів не має.

Отже, якщо дискримінант від'ємний, тобто b2 - 4 ac< 0 ,

рівняння ах2 + bх + с \u003d 0 не має коренів.

Формула (1) коренів квадратного рівняння ах2 + bх + с \u003d 0 дозволяє знайти коріння будь-якого квадратного рівняння (якщо вони є), в тому числі наведеного та неповного. Словесно формула (1) виражається так: коріння квадратного рівняння рівні дробу, чисельник якої дорівнює другому коефіцієнту, взятому з протилежним знаком, плюс мінус корінь квадратний з квадрата цього коефіцієнта без почетвереній твори першого коефіцієнта на вільний член, а знаменник є подвоєний перший коефіцієнт.

4. СПОСІБ: Рішення рівнянь з використанням теореми Вієта.

Як відомо, наведене квадратне рівняння має вигляд

х2 + px+ c= 0. (1)

Його коріння задовольняють теоремі Вієта, яка при а \u003d 1 має вид

/>x1 x2 = q,

x1 + x2 = - p

Звідси можна зробити наступні висновки (за коефіцієнтами p і q можна передбачити знаки коренів).

а) Якщо зведений член q наведеного рівняння (1) позитивний ( q> 0 ), То рівняння має два однакових за знаком кореня і це заздрості від другого коефіцієнта p. якщо р< 0 , То обидва кореня негативні, якщо р< 0 , То обидва кореня позитивні.

наприклад,

x2 – 3 x+ 2 = 0; x1 = 2 і x2 = 1, так як q= 2 > 0 і p= - 3 < 0;

x2 + 8 x+ 7 = 0; x1 = - 7 і x2 = - 1, так як q= 7 > 0 і p= 8 > 0.

б) Якщо вільний член q наведеного рівняння (1) негативний ( q< 0 ), То рівняння має два різних за знаком кореня, причому більший за модулем корінь буде позитивний, якщо p< 0 , Або негативний, якщо p> 0 .

наприклад,

x2 + 4 x– 5 = 0; x1 = - 5 і x2 = 1, так як q= - 5 < 0 і p= 4 > 0;

x2 – 8 x– 9 = 0; x1 = 9 і x2 = - 1, так як q= - 9 < 0 і p= - 8 < 0.

5. СПОСІБ: Рішення рівнянь способом «перекидання».

Розглянемо квадратне рівняння

ах2 + bх + с \u003d 0,де а ≠ 0.

Помноживши обидві його частини на а, отримуємо рівняння

а2 х2 + аbх + ас \u003d 0.

нехай ах \u003d у, звідки х \u003d у / а; тоді приходимо до рівняння

у2 + by+ Ас \u003d 0,

рівносильно даному. його коріння у1 і у2 знайдемо за допомогою теореми Вієта.

остаточно отримуємо

х1 \u003d у1 / аі х1 \u003d у2 / а.

Приклад.

вирішимо рівняння 2х2 - 11х + 15 \u003d 0.

Рішення. «Перекинути» коефіцієнт 2 до вільного члену, в результаті отримаємо рівняння

у2 - 11у + 30 \u003d 0.

Згідно з теоремою Вієта

/>/>/>/>/>у1 \u003d 5 х1 = 5/2 x1 = 2,5

у2 = 6 x2 = 6/2 x2 = 3.

Відповідь: 2,5; 3.

6. СПОСІБ: Властивості коефіцієнтів квадратного рівняння.

А. Нехай дано квадратне рівняння

ах2 + bх + с \u003d 0,де а ≠ 0.

1) Якщо, а +b+ З \u003d 0 (тобто сума коефіцієнтів дорівнює нулю), то х1 = 1,

х2 \u003d С / а.

Доведення. Розділимо обидві частини рівняння на а ≠ 0, отримаємо наведене квадратне рівняння

x2 + b/ a x+ c/ a= 0.

/\u003e Згідно з теоремою Вієта

x1 + x2 = - b/ a,

x1 x2 = 1 c/ a.

За умовою а -b+ З \u003d 0,звідки b\u003d А + с.Таким чином,

/>x1 + x2 = - а+ B / a \u003d -1 - c / a,

x1 x2 \u003d - 1 (- c / a),

тобто х1 = -1 і х2 = c/ a, Що м треба було довести.

Приклади.

вирішимо рівняння 345х2 - 137х - 208 \u003d 0.

Рішення.Так як а +b+ З \u003d 0 (345 - 137 - 208 \u003d 0),то

х1 \u003d 1, х2 = c/ a= -208/345.

Відповідь: 1; -208/345.

2) Вирішимо рівняння 132х2 - 247х + 115 \u003d 0.

Рішення.Так як а +b+ З \u003d 0 (132 - 247 + 115 \u003d 0),то

х1 \u003d 1, х2 = c/ a= 115/132.

Відповідь: 1; 115/132.

Б. Якщо другий коефіцієнт b= 2 k- парне число, то формулу коренів

продовження
--PAGE_BREAK--

Приклад.

вирішимо рівняння 3х2 - 14х + 16 \u003d 0.

Рішення. маємо: а \u003d 3,b\u003d - 14, з \u003d 16,k= - 7 ;

D= k2 – ac= (- 7) 2 – 3 16 = 49 – 48 = 1, D> 0, два різних кореня;

Відповідь: 2; 8/3

В. наведене рівняння

х2 + Рх +q= 0

збігається з рівнянням загального вигляду, в якому а \u003d 1, b\u003d рі з \u003dq. Тому для наведеного квадратного рівняння формула коренів

набуває вигляду:

Формулу (3) особливо зручно використовувати, коли р- парне число.

Приклад.вирішимо рівняння х2 - 14х - 15 \u003d 0.

Рішення.маємо: х1,2 \u003d 7 ±

Відповідь: х1 \u003d 15; х2 = -1.

7. СПОСІБ: Графічне рішення квадратного рівняння.

Якщо в рівнянні

х2 + px+ q= 0

перенести другий і третій члени в праву частину, то отримаємо

х2 = - px- q.

Побудуємо графіки залежності у \u003d х2і у \u003d - px- q.

Графік першої залежності - парабола, що проходить через початок координат. Графік другий залежності -

пряма (рис.1). Можливі такі випадки:

Пряма і парабола можуть перетинатися в двох точках, абсциси точок перетину є корінням квад- ратного рівняння;

Пряма і парабола можуть стосуватися (тільки одна загальна точка), тобто рівняння має одне рішення;

Пряма і парабола не мають спільних точок, тобто квадратне рівняння не має коренів.

Приклади.

1) Вирішимо графічно рівняння х2 - 3х - 4 \u003d 0(Рис. 2).

Рішення.Запишемо рівняння у вигляді х2 \u003d 3х + 4.

побудуємо параболу у \u003d х2 і пряму у \u003d 3х + 4. пряму

у \u003d 3х + 4можна побудувати за двома точками М (0; 4)і

N(3; 13) . Пряма і парабола перетинаються в двох точках

Аі Вз абсциссами х1 = - 1 і х2 = 4 . відповідь : х1 = - 1;

х2 = 4.

2) Вирішимо графічно рівняння (рис. 3) х2 - 2х + 1 \u003d 0.

Рішення.Запишемо рівняння у вигляді х2 \u003d 2х - 1.

побудуємо параболу у \u003d х2 і пряму у \u003d 2х - 1.

пряму у \u003d 2х - 1побудуємо по двох точках М (0; - 1)

і N(1/2; 0) . Пряма і парабола перетинаються в точці Аз

абсциссой х \u003d 1. відповідь: х \u003d 1.

3) Вирішимо графічно рівняння х2 - 2х + 5 \u003d 0(Рис. 4).

Рішення.Запишемо рівняння у вигляді х2 \u003d 5х - 5. побудуємо параболу у \u003d х2 і пряму у \u003d 2х - 5. пряму у \u003d 2х - 5побудуємо по двох точках М (0; - 5) і N (2,5; 0). Пряма і парабола не мають точок перетину, тобто дане рівняння коренів не має.

Відповідь. рівняння х2 - 2х + 5 \u003d 0 коренів не має.

8. СПОСІБ: Рішення квадратних рівнянь за допомогою циркуля і лінійки.

Пропоную наступний спосіб знаходження коренів квадратного рівняння ах2 + bх + с \u003d 0за допомогою циркуля і лінійки (рис. 5).

Припустимо, що шукана окружність перетинає вісь

абсцис в точках В (х1 ; 0) і D(х2 ; 0), де х1 і х2 - коріння рівняння ах2 + bх + с \u003d 0, І проходить через точки

А (0; 1)і С (0;c/ a) на осі ординат. Тоді по теоремі про січних маємо OB OD= OA OC, звідки OC= OB OD/ OA\u003d х1 х2 / 1 = c/ a.

Центр кола знаходиться в точці перетину перпендикулярів SFі SK, Відновлених в серединах хорд ACі BD, тому

1) побудуємо точки (центр кола) і A(0; 1) ;

2) проведемо окружність з радіусом SA;

3) абсциси точок перетину цього кола з віссю Ох є коріннями вихідного квадратного рівняння.

При цьому можливі три випадки.

1) Радіус кола більше ординати центра (AS> SK, абоR> a+ c/2 a) , Окружність перетинає вісь Ох у двох точках (рис. 6, а) В (х1 ; 0) і D(х2 ; 0) , де х1 і х2 - коріння квадратного рівняння ах2 + bх + с \u003d 0.

2) Радіус кола дорівнює ординате центру (AS= SB, абоR= a+ c/2 a) , Окружність стосується осі Ох (рис. 6, б) в точці В (х1 ; 0) , Де х1- корінь квадратного рівняння.

продовження
--PAGE_BREAK--

Приклад.

вирішимо рівняння х2 - 2х - 3 \u003d 0(Рис. 7).

Рішення.Визначимо координати точки центра кола за формулами:

Проведемо коло радіуса SA, де А (0; 1).

відповідь:х1 \u003d - 1; х2 = 3.

9. СПОСІБ: Рішення квадратних рівнянь за допомогою номограми.

Таблиця XXII. Номограма для вирішення рівняння z2 + pz+ q= 0 . Ця номограма дозволяє, не вирішуючи квадратного рівняння, за його коефіцієнтом там визначити корені рівняння.

Криволінійна шкала номограми побудована за формулами (рис.11):

вважаючи ОС \u003d р,ED= q, ОЕ \u003d а (Все в см.), З подібності трикутників САН і CDF отримаємо пропорцію

звідки після підстановок і спрощень випливає рівняння

z2 + pz+ q= 0,

причому буква zозначає мітку будь-якої точки криволінійної шкали.

Приклади.

1) для рівняння z2 - 9 z+ 8 = 0 номограмма дає коріння

z1 = 8,0 і z2 = 1,0 (Рис.12).

2) Вирішимо за допомогою номограммиуравненіе

2 z2 - 9 z+ 2 = 0.

Розділимо коефіцієнти цього рівняння на 2, отримаємо рівняння

z2 - 4,5 z+ 1 = 0.

Номограма дає коріння z1 = 4 і z2 = 0,5.

3) для рівняння

z2 - 25 z+ 66 = 0

коефіцієнти p і q виходять за межі шкали, виконаємо підстановку z= 5 t, Отримаємо рівняння

t2 - 5 t+ 2,64 = 0,

яке вирішуємо за допомогою номограми і отримаємо t1 = 0,6 і t2 = 4,4, звідки z1 = 5 t1 = 3,0 і z2 = 5 t2 = 22,0.

10. СПОСІБ: Геометричний спосіб вирішення квадратних рівнянь.

Приклади.

1) Вирішимо рівняння х2 + 10х \u003d 39.

В оригіналі це завдання формулюється в такий спосіб: «Квадрат і десять коренів рівні 39» (рис.15).

Рішення.Розглянемо квадрат зі стороною х, на його сторонах будуються прямокутники так, що інша сторона кожного з них дорівнює 2,5, отже, площа кожного дорівнює 2,5 х. Отриману фігуру доповнюють потім до нового квадрата ABCD, добудовуючи в кутах чотири рівних квадрата, сторона кожного з них 2,5, а площа 6,25.

Площа Sквадрата ABCDможна уявити як суму площ: початкового квадрата х2 , Чотирьох прямокутників (4 2,5х \u003d 10х)і чотирьох прибудованих квадратів (6,25 4 = 25) , Тобто S= х2 + 10х + 25.замінюючи

х2 + 10хчислом 39 , Отримаємо, що S= 39 + 25 = 64 , Звідки випливає, що сторона квадрата ABCD, Тобто відрізок АВ \u003d 8. Для шуканої сторони хпочаткового квадрата одержимо

2) А ось, наприклад, як стародавні греки вирішували рівняння у2 + 6У - 16 \u003d 0.

Рішенняпредставлено на рис. 16, де

у2 + 6У \u003d 16, або у2 + 6У + 9 \u003d 16 + 9.

Рішення. вирази у2 + 6У + 9 і 16 + 9 геометрично представляють собою один і той же квадрат, а вихідне рівняння у2 + 6У - 16 + 9 - 9 \u003d 0 - одне і те ж рівняння. Звідки і отримуємо, що у + 3 \u003d ± 5, або у1 \u003d 2, у2 = - 8 (Рис.16).

3) Вирішити геометрично рівняння у2 - 6У - 16 \u003d 0.

Перетворюючи рівняння, отримуємо

у2 - 6У \u003d 16.

На рис. 17 знаходимо «зображення» вираження у2 - 6У,тобто з площі квадрата зі стороною у два рази віднімається площа квадрата зі стороною, що дорівнює 3 . Значить, якщо до вираження у2 - 6Удодати 9 , То отримаємо площу квадрата зі стороною у - 3. замінюючи вираз у2 - 6Урівним йому числом 16,

отримуємо: (У - 3)2 = 16 + 9, тобто у - 3 \u003d ± √25, Або у - 3 \u003d ± 5, де у1 = 8 і у2 = - 2.

висновок

Тут я зупинилася на питанні вирішення квадратних рівнянь, а що,

література:

2. Брадис В.М. Чотиризначні математичні таблиці для середньої школи.Ізд. 57-е. - М., Просвітництво, 1990. С. 83.

4. Окунєв А.К. Квадратичні функції, рівняння і нерівності. Посібник для вчителя. - М., Просвітництво, 1972.

5. Пресман А.А. Рішення квадратного рівняння за допомогою циркуля і лінійки. - М., Квант, № 4/72. С. 34.

6. Соломнік В.С., Мілов П.І. Збірник питань і завдань з математики. Вид. - 4-е, доповн. - М., Вища школа, 1973.