Тупоугольние трикутник. Тупоугольние трикутник Нехай тупим є кут з тоді сторона

1. Визначте вид трикутника (гострокутний, тупокутний або прямокутний) зі сторонами 8, 6 і 11 см (рис. 126). (1)

Рішення. Позначимо більший кут трикутника через ?. Очевидно, що він лежить навпроти сторони в 11 см, так як в трикутнику більший кут лежить проти більшої сторони. По теоремі косинусів 112 \u003d 82 + 62- 2? 8? 6? Cos?;

Можна було міркувати і по-іншому. Якби кут? дорівнював 90 °, то велика сторона по теоремі Піфагора дорівнювала б

Подовження боку на 1 см автоматично збільшує і лежить навпроти кут - він стає тупим.

Відповідь: тупоугольние.

2. Підстава трикутника дорівнює 6 см, один з кутів при підставі дорівнює 105 °, інший - 45 °. Знайдіть довжину сторони, що лежить проти кута в 45 ° (рис. 127). (1)

Рішення. Нехай в трикутнику ABC будуть АС \u003d 6 см,? А \u003d 45 °, С \u003d 105 °. Позначимо довжину сторони ВС через х. Її нам і потрібно знайти. Скористаємося теоремою синусів по якій:

З огляду на, що сума кутів в трикутнику дорівнює 180 °, отримаємо:? В \u003d 180 ° -? A -? C \u003d 180 ° - 45 ° - 105 ° \u003d 30 °.

3. Знайдіть площу трикутника зі сторонами 2, № 5 і 3 (рис. 128). (1)

Рішення. Можна скористатися формулою Герона:

У нашому випадку:

напівпериметр:

Простіше вирішити задачу можна було б так. По теоремі косинусів:

Так як площа трикутника дорівнює половині добутку двох сторін на синус кута між ними, то:

4. У трикутнику ABC, де? ACB \u003d 120 °, проведена медіана РМ. Знайдіть її довжину, якщо АС \u003d 6, ВС \u003d 4 (рис. 129). (2)

Рішення. Скористаємося формулою довжини медіани

У нас а \u003d ВС \u003d 4, b \u003d АС \u003d 6. Залишилося знайти з \u003d АВ. Застосуємо до трикутника АСВ теорему косинусів: с2 \u003d АВ2 \u003d АС2 + ВС2- 2AC? BC? cos (? АСВ) \u003d 62+ 42- 2? 6? 4? cos 120 ° \u003d 36 + 16-48? (- 1/2) \u003d 76.

5. Знайдіть довжини сторін АВ і АС остроугольного трикутника ABC, якщо ВС \u003d 8, а довжини висот, опущених на боку АС і ВС, рівні 6, 4 і 4 відповідно (рис. 130). (2)

Рішення. Єдиний кут трикутника, який залишився «недоторканим», кут С.

З прямокутного трикутника ВМС слід:

А тепер по теоремі косинусів, застосованої до трикутника ABC, отримуємо:

Відповідь: AB \u003d? 41; AC \u003d 5.

6. У трикутнику, один з кутів якого дорівнює різниці двох інших, довжина меншої сторони дорівнює 1, а сума площ квадратів, побудованих на двох інших сторонах, в два рази більше площі описаного навколо трикутника кола. Знайти довжину більшої сторони трикутника (рис. 131). (2)

Рішення: Позначимо через? найменший кут в трикутнику і через? найбільший кут. Тоді третій кут дорівнює? -? -?. За умовою завдання? -? \u003d? -? -? (Більший кут не може дорівнювати різниці двох інших кутів). Звідси випливає, що 2? \u003d?; ? \u003d? / 2. Значить, трикутник прямокутний. Катет ВС, що лежить проти меншого кута ?, дорівнює за умовою 1, значить, другий катет АВ дорівнює ctg ?, а гіпотенуза АС дорівнює 1 / sin?. Тому сума площ квадратів, побудованих на гіпотенузі і більшому катеті, дорівнює:

Центр кола, описаного навколо прямокутного трикутника, лежить на середині гіпотенузи, і її радіус дорівнює:

а площа дорівнює:

Користуючись умовою завдання, маємо рівняння:

Довжина більшої сторони трикутника дорівнює

7. Довжини сторін а, b, з трикутника рівні 2, 3 і 4. Знайти відстань між центрами описаної і вписаною кіл. (2)

Рішення. Для вирішення завдання навіть креслення не потрібен. Послідовно знаходимо: напівпериметр

Відстань між центрами кіл:

8. У трикутнику ABC величина кута ВАС дорівнює? / 3, довжина висоти, опущеної з вершини С на сторону АВ, дорівнює? 3 см, а радіус кола, описаного навколо трикутника ABC, дорівнює 5 см. Знайти довжини сторін трикутника ABC (рис. 132). (3)

Рішення: Нехай CD - висота трикутника ABC, опущена з вершини С. Можливі три випадки. Підстава D висоти CD потрапляє:

1) на відрізок АВ;

2) на продовження відрізка АВ за точку В;

3) в точку В.

За умовою радіус R кола, описаного навколо трикутника ABC, дорівнює 5 см. Отже, у всіх трьох випадках:

Тепер ясно, що точка D не збігається з точкою В, так як ВС? CD. Застосовуючи теорему Піфагора до трикутниках ACD і BCD, знаходимо, що

Звідси випливає, що точка D лежить між точками А і В, але тоді АВ \u003d AD + BD (1 + 6? 2) см.

Відповідь: АВ \u003d (6? 2 + 1) см, ВС \u003d 5? 3 см, АС \u003d 2 см.

9. У трикутниках ABC і A1B1C1 довжина сторони АВ дорівнює довжині сторони А1В1, довжина сторони АС дорівнює довжині сторони А1С1, величина кута ВАС дорівнює 60 ° і величина кута В1А1С1 дорівнює 120 °. Відомо, що відношення довжини В1С1 до довжини ВС одно? N (де n - ціле число). Знайти відношення довжини АВ до довжини АС. При яких значеннях n задача має хоча б одне рішення (рис. 133)? (3)

Рішення: Нехай ABC і A1B1C1 - дані в умові задачі трикутники. Застосовуючи теорему косинусів до трикутниках ABC і А1У1С1, маємо:

Т. к. За умовою завдання В1С1: ВС \u003d? N, то

Оскільки А1В1 \u003d АВ і А1С1 \u003d АС, то, розділивши чисельник і знаменник дробу в лівій частині рівності (1) на АС2і позначивши АВ: АС через х, отримаємо рівність:

звідки ясно, що шукане відношення довжини АВ до довжини АС є корінь рівняння

х2 (n - 1) - х (n + 1) + n - 1 \u003d 0. (2)

Т. к. В1С1\u003e ВС, то n\u003e 1. Отже, рівняння (2) є квадратним. Його дискримінант дорівнює (n + 1) 2 4 (n - 1) 2 \u003d - 3n2 + 10n - 3.

Рівняння (2) матиме рішення, якщо - 3n2 + 10n - 3? 0, т. Е. При -1/3? n? 3. Т. к. N - натуральне число, більше 1, то рівняння (2) має рішення при n \u003d 2 і n \u003d 3. При n \u003d 3 рівняння (2) має корінь х \u003d 1; при n \u003d 2 рівняння має коріння

Відповідь: відношення довжини АВ до довжини АС одно

при n \u003d 2; дорівнює 1 при n \u003d 3; при інших n рішень немає.

Взагалі, трикутник є найбільш найпростішу фігуру з усіх існуючих багатокутників. Утворюється він за допомогою трьох точок, які лежать в 1-ій площині, але, при цьому вони не лежать на 1-ій прямий, і попарно з'єднуються між собою відрізками. Трикутники бувають різних типів, а значить, характеризуються різними властивостями. Залежно від типу кутів трикутник може відноситься до одного з 3-х видів - бути гострокутним, прямокутним або ж тупоугольние. Тупоугольние трикутником є \u200b\u200bтрикутник, який має один тупий кут. При цьому, тупим називають такий кут, який має величину понад дев'яносто градусів, але менш ста вісімдесяти градусів.

Іншими словами, тупоугольние трикутник є простим багатокутник, який в собі містить тупий кут - якийсь із його кутів знаходиться в межах 90-180 градусів.

Завдання: Є чи ні трикутник тупоугольние тоді, коли:

• кут ABC в ньому дорівнює 65 градусам;
• його кут BCA становить 95 градусів;
• кут CAB - 20 градусів.

Рішення: Кути CAB і ABC менше 90 градусів, але, при цьому, кут BCA більше 90 градусів. Значить, такий трикутник є тупоугольние.

Як знайти боку тупоугольного рівнобедреного трикутника

Що являє собою тупоугольние трикутник, ми розібралися вище. Тепер слід розібратися з тим, який трикутник вважається рівнобедреним.

Рівнобедреним називають такий трикутник, який має 2 абсолютно рівні сторони. Сторони ці називають бічними, третю ж сторону трикутника називають підставою.

Вершини трикутника позначають зазвичай великими латинськими літерами - тобто, A, B і C. Величини його кутіввідповідно вершин позначаються грецькими буквами, тобто α, β, γ. Довжини протилежних сторін трикутника - прописними латинськими літерами, тобто, a, b, c.

Просте завдання: Периметр тупоугольного рівнобедреного трикутника - 25см, різниця 2-ух його сторін - 4 см, а 1-ин з зовнішніх кутів трикутника - гострий. Як знайти боку такого трикутника?

Рішення: Кут, суміжним з яким виступає гострий кут трикутника, є тупим. У трикутнику такого плану тупим кутом може бути виключно та кут, який знаходиться проти його заснування. Відповідно, підставу є найбільшою стороною такого трикутника. Якщо прийняти підставу даного трикутника за х, то для вирішення цього завдання потрібно використовувати наступну формулу:

Відповідь: підстава рівнобедреного тупоугольного трикутника становить 11 см, а його обидві сторони по 7 см.

ФОРМУЛИ, за якими можна знайти боку тупоугольного рівнобедреного трикутника

Використовувані позначення:

• b - це сторона підстави трикутника
• а - його рівні сторони
• α - кути при основі трикутника
• β - кут, який утворений його рівними сторонами
• √ - корінь квадратний

1. Формули довжини підстави (b):

• b \u003d 2а sin (β / 2) \u003d а√2-2cosβ
• b \u003d 2а cos α

2. Формули довжини рівних сторін трикутника (а):

2sin (β / 2) √2-2cos β

Як знайти косинус кута в тупоугольного трикутнику якщо відома висота

Для початку не завадить розберемося в с основних термінах, які використані в цьому питанні: що називається висотою трикутника і що ж таке косинус кута.

Висотою трикутника вважається перпендикуляр, який проведено з вершини його до прямої, яка містить протилежну сторону даного трикутника. Косинус - відома тригонометрическая функція, яка є однією з головних функцій тригонометрії.

Для того, щоб знайти косинус кута в тупоугольного трикутнику з вершинами А, В і С, за умови, що висота відома, потрібно опустити висоту з В на сторону АС. Точку, в якій висота перетинається зі стороною АС необхідно позначити D і розглянути трикутник АВD, який є прямокутним. В даному трикутнику АВ, яка є стороною вихідного трикутника, - це гіпотенуза. Катетами ж є висота ВD вихідного трикутника, а також відрізок АD, який належить стороні АС. При цьому, косинус кута, відповідного вершині А, дорівнює відношенню АD до АВ, так як катет АD - прилегла до кута при вершині А в трикутнику АВD. У тому випадку, коли відомо то, в якому саме співвідношенні сторона АС ділиться висотою ВD і яка ця висота, то косинус кута, відповідний вершині А, знайдений.

Питання 1.Які кути називаються суміжними?
Відповідь.Два кута називаються суміжними, якщо у них одна сторона спільна, а інші сторони цих кутів є додатковими променями.
На малюнку 31 кути (a 1 b) і (a 2 b) суміжні. У них сторона b загальна, а сторони a 1 і a 2 є додатковими променями.

Питання 2.Доведіть, що сума суміжних кутів дорівнює 180 °.
Відповідь. Теорема 2.1.Сума суміжних кутів дорівнює 180 °.
Доведення. Нехай кут (a 1 b) і кут (a 2 b) - дані суміжні кути (див. Рис.31). Луч b проходить між сторонами a 1 і a 2 розгорнутого кута. Тому сума кутів (a 1 b) і (a 2 b) дорівнює розгорнутому куті, т. Е. 180 °. Що і потрібно було довести.

Питання 3.Доведіть, що якщо два кути рівні, то суміжні з ними кути також рівні.
Відповідь.

з теореми 2.1 випливає, що якщо два кути рівні, то суміжні з ними кути рівні.
Припустимо, кути (a 1 b) і (c 1 d) рівні. Нам потрібно довести, що кути (a 2 b) і (c 2 d) теж рівні.
Сума суміжних кутів дорівнює 180 °. З цього випливає, що a 1 b + a 2 b \u003d 180 ° і c 1 d + c 2 d \u003d 180 °. Звідси, a 2 b \u003d 180 ° - a 1 b і c 2 d \u003d 180 ° - c 1 d. Так як кути (a 1 b) і (c 1 d) рівні, то ми отримуємо, що a 2 b \u003d 180 ° - a 1 b \u003d c 2 d. По властивості транзитивності знака рівності слід, що a 2 b \u003d c 2 d. Що і потрібно було довести.

Питання 4.Який кут називається прямим (гострим, тупим)?
Відповідь. Кут, що дорівнює 90 °, називається прямим кутом.
Кут, менший 90 °, називається гострим кутом.
Кут, більший 90 ° і менший 180 °, називається тупим.

Питання 5. Доведіть, що кут, суміжний з прямим, є прямий кут.
Відповідь.З теореми про суму суміжних кутів слід, що кут, суміжний з прямим кутом, є прямий кут: x + 90 ° \u003d 180 °, x \u003d 180 ° - 90 °, x \u003d 90 °.

Питання 6.Які кути називаються вертикальними?
Відповідь.Два кута називаються вертикальними, якщо сторони одного кута є додатковими променями сторін іншого.

Питання 7.Доведіть, що вертикальні кути рівні.
Відповідь. Теорема 2.2. Вертикальні кути рівні.
Доведення.Нехай (a 1 b 1) і (a 2 b 2) - дані вертикальні кути (рис. 34). Кут (a 1 b 2) є суміжним з кутом (a 1 b 1) і з кутом (a 2 b 2). Звідси по теоремі про суму суміжних кутів робимо висновок, що кожен з кутів (a 1 b 1) і (a 2 b 2) доповнює кут (a 1 b 2) до 180 °, тобто кути (a 1 b 1) і (a 2 b 2) рівні. Що і потрібно було довести.

Питання 8.Доведіть, що якщо при перетині двох прямих один з кутів прямий, то інші три кути теж прямі.
Відповідь.Припустимо, що прямі AB і CD перетинають один одного в точці O. Припустимо, що кут AOD дорівнює 90 °. Так як сума суміжних кутів дорівнює 180 °, то отримуємо, що AOC \u003d 180 ° -AOD \u003d 180 ° - 90 ° \u003d 90 °. Кут COB вертикальний кутку AOD, тому вони рівні. Тобто кут COB \u003d 90 °. Кут COA вертикальний кутку BOD, тому вони рівні. Тобто кут BOD \u003d 90 °. Таким чином, всі кути рівні 90 °, тобто вони всі - прямі. Що і потрібно було довести.

Питання 9.Які прямі називаються перпендикулярними? Який знак використовується для позначення перпендикулярності прямих?
Відповідь.Дві прямі називаються перпендикулярними, якщо вони перетинаються під прямим кутом.
Перпендикулярність прямих позначається знаком \\ (\\ perp \\). Запис \\ (a \\ perp b \\) читається: «Пряма a перпендикулярна прямий b».

Питання 10.Доведіть, що через будь-яку точку прямої можна провести перпендикулярну їй пряму, і тільки одну.
Відповідь. Теорема 2.3.Через кожну пряму можна провести перпендикулярну їй пряму, і тільки одну.
Доведення.Нехай a - дана пряма і A - дана точка на ній. Позначимо через a 1 одну з променів прямий a з початковою точкою A (рис. 38). Відкладемо від променя a 1 кут (a 1 b 1), рівний 90 °. Тоді пряма, яка містить промінь b 1, буде перпендикулярна прямий a.

Припустимо, що існує інша пряма, теж проходить через точку A і перпендикулярна прямий a. Позначимо через c 1 полупрямую цієї прямої, що лежить в одній півплощині з променем b 1.
Кути (a 1 b 1) і (a 1 c 1), рівні кожен 90 °, відкладені в одну напівплощина від променя a 1. Але від променя a 1 в дану полуплоскость можна відкласти тільки один кут, рівний 90 °. Тому не бути інший прямий, що проходить через точку A і перпендикулярної прямої a. Теорема доведена.

Питання 11.Що таке перпендикуляр до прямої?
Відповідь. Перпендикуляром до даної прямої називається відрізок прямої, перпендикулярної даній, який має одним зі своїх кінців їх точку перетину. Цей кінець відрізка називається підставою перпендикуляра.

Питання 12.Поясніть, в чому полягає доказ від протилежного.
Відповідь. Спосіб докази, який ми застосували в теоремі 2.3, називається доказом від противного. Цей спосіб докази полягає в тому, що ми cначала робимо припущення, протилежне тому, що затверджується теоремою. Потім шляхом міркувань, спираючись на аксіоми і доведені теореми, приходимо до висновку, що суперечить або умові теореми, або однією з аксіом, або доведеною раніше теоремі. На цій підставі робимо висновок, що наше припущення було невірним, а значить, вірне твердження теореми.

Питання 13.Що називається бісектрисою кута?
Відповідь.Биссектрисой кута називається промінь, який виходить з вершини кута, проходить між його сторонами і ділить кут навпіл.