Решебник Кузнєцова.
III Графіки

Завдання 7. Провести повне дослідження функції та побудувати її графік.

& Nbsp & nbsp & nbsp & nbsp Перш, ніж Ви почнете завантажувати свої варіанти, спробуйте вирішити задачу за зразком, наведеним нижче для варіанту 3. Частина варіантів заархівовані в формате.rar

& Nbsp & nbsp & nbsp & nbsp 7.3 Провести повне дослідження функції та побудувати її графік

Рішення.

& Nbsp & nbsp & nbsp & nbsp 1) Область визначення: & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp або & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp, тобто & nbsp & nbsp & Nbsp & nbsp.
.
Таким чином: & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp.

& Nbsp & nbsp & nbsp & nbsp 2) Точок перетину з віссю Ox немає. Дійсно, рівняння & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp не має рішень.
Точок перетину з віссю Oy немає, так як & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp.

& Nbsp & nbsp & nbsp & nbsp 3) Функція ні парна, ні непарна. Симетрії щодо осі ординат немає. Симетрії щодо початку координат теж немає. Так як
.
Бачимо, що & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp і & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp.

& Nbsp & nbsp & nbsp & nbsp 4) Функція неперервна в області визначення
.

; .

; .
Отже, точка & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp є точкою розриву другого роду (нескінченний розрив).

5) Вертикальні асимптоти: & Nbsp & nbsp & nbsp & nbsp

Знайдемо похилу асимптоту & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp. тут

;
.
Отже, маємо горизонтальну асимптоти: y \u003d 0. Похилих асимптот немає.

& Nbsp & nbsp & nbsp & nbsp 6) Знайдемо першу похідну. Перша похідна:
.
І ось чому
.
Знайдемо стаціонарні точки, де похідна дорівнює нулю, тобто
.

& Nbsp & nbsp & nbsp & nbsp 7) Знайдемо другу похідну. Друга похідна:
.
І в цьому легко переконається, так як

Як досліджувати функцію і побудувати її графік?

Схоже, я починаю розуміти натхненно-проникливий лик вождя світового пролетаріату, автора зібрання творів в 55 томах .... Нешвидкий шлях почався елементарними відомостями про функціях і графіках, І ось зараз робота над трудомісткою темою закінчується закономірним результатом - статтею про повне дослідженні функції. Довгоочікуване завдання формулюється в такий спосіб:

Дослідити функцію методами диференціального числення і на підставі результатів дослідження побудувати її графік

Або коротше: дослідити функцію і побудувати графік.

Навіщо досліджувати? У простих випадках нас не утруднить розібратися з елементарними функціями, накреслити графік, отриманий за допомогою елементарних геометричних перетворень і т.п. Однак властивості і графічні зображення більш складних функцій далеко не очевидні, саме тому і необхідно ціле дослідження.

Основні етапи рішення зведені в довідковому матеріалі Схема дослідження функції, Це ваш путівник по розділу. Чайникам потрібно покрокове пояснення теми, деякі читачі не знають з чого почати і як організувати дослідження, а просунутим студентам, можливо, будуть цікаві лише деякі моменти. Але ким би ви не були, шановний відвідувач, запропонований конспект з покажчиками на різні уроки в найкоротший термін зорієнтує і направить Вас в сюжеті напрямку. Роботи розплакалися \u003d) Керівництво зверстані у вигляді pdf-файлу і зайняло заслужене місце на сторінці Математичні формули і таблиці.

Дослідження функції я звик розбивати на 5-6 пунктів:

6) Додаткові точки і графік за результатами дослідження.

На рахунок заключного дії, думаю, всім все зрозуміло - буде дуже прикро, якщо в лічені секунди його перекреслений і повернуть завдання на доопрацювання. ПРАВИЛЬНИЙ І АКУРАТНИЙ креслення - це основний результат рішення! Він з великою ймовірністю «прикриє» аналітичні помилки, в той час як некоректний і / або недбалий графік доставить проблеми навіть при ідеально проведеному дослідженні.

Слід зазначити, що в інших джерелах кількість пунктів дослідження, порядок їх виконання і стиль оформлення можуть істотно відрізнятися від запропонованої мною схеми, але в більшості випадків її цілком достатньо. Найпростіша версія завдання складається всього з 2-3 етапів і формулюється приблизно так: «досліджувати функцію за допомогою похідної та побудувати графік» або «досліджувати функцію за допомогою 1-й і 2-й похідної, побудувати графік».

Природно - якщо у вашій методичке детально розібраний другий алгоритм або ваш викладач строго вимагає дотримуватися його лекцій, то доведеться внести деякі корективи в рішення. Чи не складніше, ніж замінити вилку бензопилою ложкою.

Перевіримо функцію на парність / непарність:

Після чого слід шаблонна відписка:
, Значить, ця функція не є парною або непарною.

Так як функція неперервна на, то вертикальні асимптоти відсутні.

Немає і похилих асимптот.

Примітка : Нагадую, що більш високого порядку зростання, Ніж, тому підсумковий межа дорівнює саме « плюс нескінченності ».

З'ясуємо, як поводиться функція на нескінченності:

Іншими словами, якщо йдемо вправо, то графік йде нескінченно далеко вгору, якщо вліво - нескінченно далеко вниз. Так, тут теж два межі під єдиною записом. Якщо у вас виникли труднощі з розшифровкою знаків, будь ласка, відвідайте урок про нескінченно малих функціях.

Таким чином, функція не обмежена зверху і не обмежена знизу. З огляду на, що у нас немає точок розриву, стає зрозуміла і область значень: - теж будь-яке дійсне число.

КОРИСНИЙ ТЕХНІЧНИЙ ПРИЙОМ

Кожен етап завдання приносить нову інформацію про графік функції, Тому в ході рішення зручно використовувати своєрідний МАКЕТ. Зобразимо на чернетці декартову систему координат. Що вже точно відомо? По-перше, у графіку немає асимптот, отже, прямі креслити не потрібно. По-друге, ми знаємо, як функція поводиться на нескінченності. Згідно з проведеним аналізом, намалюємо перше наближення:

Зауважте, що в силу безперервності функції на і того факту, що, графік повинен, щонайменше, один раз перетнути вісь. А може бути точок перетину кілька?

3) Нулі функції і інтервали знакопостоянства.

Спочатку знайдемо точку перетину графіка з віссю ординат. Це просто. Необхідно обчислити значення функції при:

Півтора над рівнем моря.

Щоб знайти точки перетину з віссю (нулі функції) потрібно вирішити рівняння, і тут нас чекає неприємний сюрприз:

В кінці причаївся вільний член, який істотно ускладнює завдання.

Таке рівняння має, як мінімум, один дійсний корінь, і частіше за все цей корінь ірраціональний. У найгіршій же казці нас чекають три поросяти. Рівняння вирішується за допомогою так званих формул Кардано, Але псування паперу порівнянна мало не з усім дослідженням. У зв'язку з цим розумніше усно або на чернетці спробувати підібрати хоча б один цілий корінь. Перевіримо, чи не є ними ж числа:
- не підходить;
- є!

Тут пощастило. У разі невдачі можна протестувати ще й, а якщо і ці числа не підійшли, то шансів на вигідне рішення рівняння, боюся, дуже мало. Тоді пункт дослідження краще повністю пропустити - авось стане що-небудь зрозуміліше на завершальному етапі, коли будуть пробиватися додаткові точки. І якщо таки корінь (коріння) явно «нехороші», то про інтервали знакопостоянства краще взагалі скромно промовчати та акуратніше виконати креслення.

Однак у нас є гарний корінь, тому ділимо многочлен на всі сто:

Алгоритм ділення многочлена на многочлен детально розібраний в першому прикладі уроку складні межі.

В результаті ліва частина вихідного рівняння розкладається в добуток:

А тепер трохи про здоровий спосіб життя. Я, звичайно ж, розумію, що квадратні рівняння потрібно вирішувати кожен день, але сьогодні зробимо виняток: рівняння має два дійсних кореня.

На числовій прямій відкладемо знайдені значення і методом інтервалів визначимо знаки функції:


ог Таким чином, на інтервалах графік розташований
нижче осі абсцис, а на інтервалах - вище даної осі.

Отримані висновки дозволяють деталізувати наш макет, і друге наближення графіка виглядає наступним чином:

Зверніть увагу, що на інтервалі функція обов'язково повинна мати хоча б один максимум, а на інтервалі - хоча б один мінімум. Але скільки разів, де і коли буде «петляти» графік, ми поки не знаємо. До слова, функція може мати і нескінченно багато екстремумів.

4) Зростання, спадання і екстремуми функції.

Знайдемо критичні точки:

Дане рівняння має два дійсних кореня. Відкладемо їх на числовій прямій і визначимо знаки похідної:


Отже, функція зростає на і убуває на.
У точці функція досягає максимуму: .
У точці функція досягає мінімуму: .

Встановлені факти заганяють наш шаблон в досить жорсткі рамки:

Що й казати, диференціальне числення - штука потужна. Давайте остаточно розберемося з формою графіка:

5) Опуклість, увігнутість і точки перегину.

Знайдемо критичні точки другої похідної:

Визначимо знаки:


Графік функції є опуклим на і увігнутим на. Обчислимо ординату точки перегину:.

Практично все прояснилося.

6) Залишилося знайти додаткові точки, які допоможуть точніше побудувати графік і виконати самоперевірку. В даному випадку їх мало, але зневажати не будемо:

Виконаємо креслення:

Зеленим кольором позначена точка перегину, хрестиками - додаткові точки. Графік кубічної функції симетричний щодо своєї точки перегину, яка завжди розташована строго посередині між максимумом і мінімумом.

По ходу виконання завдання я привів три гіпотетичних проміжних креслення. На практиці ж досить намалювати систему координат, відзначати знайдені точки і після кожного пункту дослідження мислення прикидати, як може виглядати графік функції. Студентам з хорошим рівнем підготовки не важко провести такий аналіз виключно в розумі без залучення чернетки.

Для самостійного рішення:

приклад 2

Дослідити функцію і побудувати графік.

Тут все швидше і веселіше, приблизний зразок чистового оформлення в кінці уроку.

Чимало секретів розкриває дослідження дрібно-раціональних функцій:

приклад 3

Методами диференціального обчислення досліджувати функцію і на підставі результатів дослідження побудувати її графік.

Рішення: Перший етап дослідження не відрізняється чимось примітним, за винятком дірки в області визначення:

1) Функція визначена і неперервна на всій числовій прямій крім точки, область визначення: .

, Значить, ця функція не є парною або непарною.

Очевидно, що функція неперіодичних.

Графік функції є дві безперервні гілки, розташовані в лівій і правій півплощині - це, мабуть, найважливіший висновок 1-го пункту.

2) Асимптоти, поведінка функції на нескінченності.

а) За допомогою односторонніх меж досліджуємо поведінку функції поблизу підозрілої точки, де явно повинна бути вертикальна асимптота:

Дійсно, функції терпить нескінченний розрив в точці,
а пряма (вісь) є вертикальної асимптотой графіка.

б) Перевіримо, чи існують похилі асимптоти:

Так, пряма є похилій асимптотой графіка, якщо.

Межі аналізувати сенсу не має, оскільки і так зрозуміло, що функція в обнімку зі своєю похилою асимптотой не обмежена зверху і не обмежена знизу.

Другий пункт дослідження приніс багато важливої \u200b\u200bінформації про функції. Виконаємо чорновий начерк:

Висновок №1 стосується інтервалів знакопостоянства. На «мінус нескінченності» графік функції однозначно розташований нижче осі абсцис, а на «плюс нескінченності» - вище даної осі. Крім того, односторонні межі повідомили нам, що і зліва і праворуч від точки функція теж більше нуля. Зверніть увагу, що в лівій півплощині графік, щонайменше, один раз зобов'язаний перетнути вісь абсцис. У правій півплощині нулів функції може і не бути.

Висновок №2 полягає в тому, що функція зростає на і зліва від точки (йде «знизу вгору»). Справа ж від даної точки - функція спадає (йде «зверху вниз»). У правій гілці графіка неодмінно повинен бути хоча б один мінімум. Зліва екстремуми не гарантовані.

Висновок №3 дає достовірну інформацію про угнутості графіка в околиці точки. Про опуклості / угнутості на бесконечностях ми поки нічого сказати не можемо, оскільки лінія може притискатися до своєї асимптоти як зверху, так і знизу. Взагалі кажучи, є аналітичний спосіб з'ясувати це прямо зараз, але форма графіка «даром» проясниться на більш пізніх етапах.

Навіщо стільки слів? Щоб контролювати наступні пункти дослідження і не допустити помилок! Подальші викладки не повинні суперечити зробленим висновків.

3) Точки перетину графіка з координатними осями, інтервали знакопостоянства функції.

Графік функції не перетинає вісь.

Методом інтервалів визначимо знаки:

, Якщо;
, якщо .

Результати пункти повністю відповідають Висновку №1. Після кожного етапу дивіться на чернетку, подумки звіряйтеся з дослідженням і домальовуйте графік функції.

У розглянутому прикладі чисельник почленно ділиться на знаменник, що дуже вигідно для диференціювання:

Власне, це вже робилося при знаходженні асимптот.

- критична точка.

Визначимо знаки:

зростає на і убуває на

У точці функція досягає мінімуму: .

Різночитань з Висновком №2 також не виявилося, і, найімовірніше, ми на правильному шляху.

Значить, графік функції є увігнутим на всій області визначення.

Відмінно - і креслити нічого не треба.

Точки перегину відсутні.

Увігнутість узгоджується з Висновком №3, більш того, вказує, що на нескінченності (і там і там) графік функції розташований вище своєї похилій асимптоти.

6) Сумлінно приколоти завдання додатковими точками. Ось тут доведеться неабияк потрудитися, оскільки з дослідження нам відомі тільки дві точки.

І картинка, яку, напевно, багато хто давно представили:

В ході виконання завдання потрібно ретельно стежити за тим, щоб не виникало протиріч між етапами дослідження, але іноді ситуація буває екстреної або навіть відчайдушно-тупиковою. Ось «не сходиться» аналітика - і все тут. У цьому випадку рекомендую аварійний прийом: знаходимо якомога більше точок, що належать графіку (скільки вистачить терпіння), і відзначаємо їх на координатної площині. Графічний аналіз знайдених значень в більшості випадків підкаже, де правда, а де брехня. Крім того, графік можна попередньо побудувати за допомогою якої-небудь програми, наприклад, в тому ж Ексель (зрозуміло, для цього потрібні навички).

приклад 4

Методами диференціального обчислення досліджувати функцію і побудувати її графік.

Це приклад для самостійного рішення. У ньому самоконтроль посилюється парністю функції - графік симетричний відносно осі, і якщо в вашому дослідженні щось суперечить даним фактом, шукайте помилку.

Парну або непарну функцію можна досліджувати тільки при, а потім користуватися симетрією графіка. Таке рішення оптимально, проте виглядає, на мою думку, досить незвично. Особисто я розглядаю всю числову вісь, але додаткові точки знаходжу все ж лише справа:

приклад 5

Провести повне дослідження функції та побудувати її графік.

Рішення: Понеслась нелегка:

1) Функція визначена і неперервна на всій числовій прямій:.

Значить, ця функція є непарною, її графік симетричний відносно початку координат.

Очевидно, що функція неперіодичних.

2) Асимптоти, поведінка функції на нескінченності.

Так як функція неперервна на, то вертикальні асимптоти відсутні

Для функції, що містить експоненту, типово роздільне дослідження «плюс» і «мінус нескінченності», однак наше життя полегшує якраз симетрія графіка - або і зліва і справа є асимптота, або її немає. Тому обидва нескінченних межі можна оформити під єдиною записом. В ході вирішення використовуємо правило Лопіталя:

Пряма (вісь) є горизонтальною асимптотой графіка при.

Зверніть увагу, як я хитро уникнув повного алгоритму знаходження похилій асимптоти: межа цілком легальний і прояснює поведінку функції на нескінченності, а горизонтальна асимптота виявилася «як би заодно».

З безперервності на і існування горизонтальної асимптоти слід той факт, що функція обмежена зверху і обмежена знизу.

3) Точки перетину графіка з координатними осями, інтервали знакопостоянства.

Тут теж скорочуємо рішення:
Графік проходить через початок координат.

Інших точок перетину з координатними осями немає. Більш того, інтервали знакопостоянства очевидні, і вісь годі й креслити:, а значить, знак функції залежить тільки від «ікси»:
, Якщо;
, Якщо.

4) Зростання, спадання, екстремуми функції.


- критичні точки.

Точки симетричні відносно нуля, як воно і повинно бути.

Визначимо знаки похідної:


Функція зростає на інтервалі і убуває на інтервалах

У точці функція досягає максимуму: .

В силу властивості (Непарності функції) мінімум годі й обчислювати:

Оскільки функція спадає на інтервалі, то, очевидно, на «мінус нескінченності» графік розташований під своєї асимптотой. На інтервалі функція теж зменшується, але тут все навпаки - після переходу через точку максимуму лінія наближається до осі вже зверху.

З вищесказаного також випливає, що графік функції є опуклим на «мінус нескінченності» і увігнутим на «плюс нескінченності».

Після цього пункту дослідження прорисовалась і область значень функції:

Якщо у вас виникло непорозуміння будь-яких моментів, ще раз закликаю накреслити в зошити координатні осі і з олівцем в руках заново проаналізувати кожен висновок завдання.

5) Опуклість, увігнутість, перегини графіка.

- критичні точки.

Симетрія точок зберігається, і, швидше за все, ми не помиляємося.

Визначимо знаки:


Графік функції є опуклим на і увігнутим на .

Опуклість / увігнутість на крайніх інтервалах підтвердилася.

У всіх критичних точках існують перегини графіка. Знайдемо ординати точок перегину, при цьому знову скоротимо кількість обчислень, використовуючи непарність функції:

Якщо в задачі необхідно провести повне дослідження функції f (x) \u003d x 2 4 x 2 - 1 з побудовою його графіка, тоді розглянемо це принцип детально.

Для вирішення завдання даного типу слід використовувати властивості і графіки основних елементарних функцій. Алгоритм дослідження включає в себе кроки:

Знаходження області визначення

Так як дослідження проводяться на області визначення функції, необхідно починати з цього кроку.

приклад 1

Заданий приклад припускає знаходження нулів знаменника для того, щоб виключити їх з ОДЗ.

4 x 2 - 1 \u003d 0 x \u003d ± 1 2 ⇒ x ∈ - ∞; - 1 | 2 ∪ - 1 | 2; 1 2 ∪ 1 2, + ∞

В результаті можна отримати коріння, логарифми, і так далі. Тоді ОДЗ можна шукати для кореня парного степеня типу g (x) 4 за нерівністю g (x) ≥ 0, для логарифма log a g (x) за нерівністю g (x)\u003e 0.

Дослідження меж ОДЗ і знаходження вертикальних асимптот

На кордонах функції є вертикальні асимптоти, коли односторонні межі в таких точках нескінченні.

приклад 2

Для прикладу розглянемо прикордонні точки, рівні x \u003d ± 1 2.

Тоді необхідно проводити дослідження функції для знаходження одностороннього межі. Тоді отримуємо, що: lim x → - 1 2 - 0 f (x) \u003d lim x → - 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 \u003d \u003d lim x → - 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1 ) (2 x + 1) \u003d 1 4 (- 2) · - 0 \u003d + ∞ lim x → - 1 2 + 0 f (x) \u003d lim x → - 1 2 + 0 x 2 4 x - 1 \u003d \u003d lim x → - 1 2 + 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) \u003d 1 4 (- 2) · (+ 0) \u003d - ∞ lim x → 1 2 - 0 f (x) \u003d lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 \u003d \u003d lim x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) \u003d 1 4 (- 0) · 2 \u003d - ∞ lim x → 1 2 - 0 f (x) \u003d lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 \u003d \u003d lim x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) \u003d 1 4 ( + 0) · 2 \u003d + ∞

Звідси видно, що односторонні межі є нескінченними, отже прямі x \u003d ± 1 2 - вертикальні асимптоти графіка.

Дослідження функції і на парність або непарність

Коли виконується умова y (- x) \u003d y (x), функція вважається парної. Це говорить про те, що графік розташовується симетрично щодо Про у. Коли виконується умова y (- x) \u003d - y (x), функція вважається непарній. Значить, що симетрія йде щодо початку координат. При невиконанні хоча б однієї нерівності, отримуємо функцію загального вигляду.

Виконання рівності y (- x) \u003d y (x) говорить про те, що функція парна. При побудові необхідно врахувати, що буде симетричність щодо Про у.

Для решеніянеравенства застосовуються проміжки зростання та спадання з умовами f "(x) ≥ 0 і f" (x) ≤ 0 відповідно.

визначення 1

стаціонарні точки- це такі точки, які звертають похідну в нуль.

критичні точки - це внутрішні точки з області визначення, де похідна функції дорівнює нулю або не існує.

При вирішенні необхідно враховувати наступні зауваження:

• при наявних проміжках зростання і зменшення нерівності виду f "(x)\u003e 0 критичні точки в рішення не включаються;
• точки, в яких функція визначена без кінцевої похідною, необхідно включати в проміжки зростання та спадання (наприклад, y \u003d x 3, де точка х \u003d 0 виконує функцію певної, похідна має значення нескінченності в цій точці, y "\u003d 1 3 · x 2, 3, y "(0) \u003d 1 0 \u003d ∞, х \u003d 0 включається в проміжок зростання);
• щоб уникнути розбіжностей рекомендовано користуватися математичної літературою, яка рекомендована міністерством освіти.

Включення критичних точок в проміжки зростання та спадання в тому випадку, якщо вони задовольняють області визначення функції.

визначення 2

для визначення проміжків зростання і спадання функції необхідно знайти:

• похідну;
• критичні точки;
• розбити область визначення за допомогою критичних точок на інтервали;
• визначити знак похідної на кожному з проміжків, де + є зростанням, а - є спадання.

приклад 3

Знайти похідну на області визначення f "(x) \u003d x 2" (4 x 2 - 1) - x 2 4 x 2 - 1 "(4 x 2 - 1) 2 \u003d - 2 x (4 x 2 - 1) 2 .

Рішення

Для вирішення потрібно:

• знайти стаціонарні точки, даний приклад має х \u003d 0;
• знайти нулі знаменника, приклад приймає значення нуль при x \u003d ± 1 2.

Виставляємо точки на числовій осі для визначення похідної на кожному проміжку. Для цього достатньо взяти будь-яку точку з проміжку і зробити обчислення. При позитивному результаті на графіку зображуємо +, що означає зростання функції, а - означає її спадання.

Наприклад, f "(- 1) \u003d - 2 · (- 1) 4 - 1 2 - 1 2 \u003d 2 9\u003e Параметри 0, значить, перший інтервал зліва має знак +. Розглянемо на числовій прямій.

відповідь:

• відбувається зростання функції на проміжку - ∞; - 1 | 2 і (- 1 | 2; 0];
• відбувається спадання на проміжку [0; 1 2) і 1 2, + ∞.

На схемі за допомогою + і - зображується позитивність і негативність функції, а стрілочки - спадання і зростання.

Точки екстремуму функції - точки, де функція визначена і через які похідна змінює знак.

приклад 4

Якщо розглянути приклад, де х \u003d 0, тоді значення функції в ній дорівнює f (0) \u003d 0 2 4 · 0 2 - 1 \u003d 0. При зміні знака похідної з + на - і проходженні через точку х \u003d 0, тоді точка з координатами (0; 0) вважається точкою максимуму. При зміні знака з - на + отримуємо точку мінімуму.

Опуклість і увігнутість визначається при вирішенні нерівностей виду f "" (x) ≥ 0 і f "" (x) ≤ 0. Рідше використовують назву опуклість вниз замість угнутості, а опуклість вгору замість опуклості.

визначення 3

для визначення проміжків угнутості і опуклості необхідно:

• знайти другу похідну;
• знайти нулі функції другої похідної;
• розбити область визначення з'явилися точками на інтервали;
• визначити знак проміжку.

приклад 5

Знайти другу похідну з області визначення.

Рішення

f "" (x) \u003d - 2 x (4 x 2 - 1) 2 "\u003d \u003d (- 2 x)" (4 x 2 - 1) 2 - - 2 x 4 x 2 - 1 2 "(4 x 2 - 1) 4 \u003d 24 x 2 + 2 (4 x 2 - 1) 3

Знаходимо нулі чисельника і знаменника, де на прикладі нашого прикладу маємо, що нулі знаменника x \u003d ± 1 2

Тепер необхідно нанести точки на числову вісь і визначити знак другої похідної з кожного проміжку. Отримаємо, що

відповідь:

• функція є опуклою з проміжку - 1 | 2; 1 2,
• функція є увігнутою з проміжків - ∞; - 1 | 2 і 1 2, + ∞.

визначення 4

точка перегину - це точка виду x 0; f (x 0). Коли в ній є дотична до графіка функції, то при її проходженні через x 0 функція змінює знак на протилежний.

Інакше кажучи, це така точка, через яку проходить друга похідна і змінює знак, а в самих точках дорівнює нулю або не існує. Всі точки вважаються областю визначення функції.

У прикладі було видно, що точки перегину відсутні, так як друга похідна змінює знак під час проходження через точки x \u003d ± 1 2. Вони, в свою чергу, в область визначення не входять.

Знаходження горизонтальних і похилих асимптот

При визначенні функції на нескінченності потрібно шукати горизонтальні і похилі асимптоти.

визначення 5

похилі асимптотизображуються за допомогою прямих, заданих рівнянням y \u003d k x + b, де k \u003d lim x → ∞ f (x) x і b \u003d lim x → ∞ f (x) - k x.

При k \u003d 0 і b, не рівній нескінченності, отримуємо, що похила асимптота стає горизонтальної.

Інакше кажучи, асимптотами вважають лінії, до яких наближається графік функції на нескінченності. Це сприяє швидкому побудови графіка функції.

Якщо асимптоти відсутні, але функція визначається на обох бесконечностях, необхідно порахувати межа функції на цих бесконечностях, щоб зрозуміти, як себе буде вести графік функції.

приклад 6

На прикладі розглянемо, що

k \u003d lim x → ∞ f (x) x \u003d lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 x \u003d 0 b \u003d lim x → ∞ (f (x) - kx) \u003d lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 \u003d 1 4 ⇒ y \u003d 1 4

є горизонтальною асимптотой. Після дослідження функції можна приступати до її побудови.

Обчислення значення функції в проміжних точках

Щоб побудова графіка було найбільш точним, рекомендовано знаходити кілька значень функції в проміжних точках.

приклад 7

З розглянутого нами прикладу необхідно знайти значення функції в точках х \u003d - 2, х \u003d - 1, х \u003d - 3, 4, х \u003d - 1 4. Так як функція парна, отримаємо, що значення зійдуться зі значеннями в цих точках, тобто отримаємо х \u003d 2, х \u003d 1, х \u003d 3, 4, х \u003d 1 4.

Запишемо і вирішимо:

F (- 2) \u003d f (2) \u003d 2 2 4 · 2 2 - 1 \u003d 4 15 ≈ 0, 27 f (- 1) - f (1) \u003d 1 2 4 · 1 2 - 1 \u003d 1 3 ≈ 0 , 33 f - 3 4 \u003d f 3 4 \u003d 3 4 2 4 3 4 2 - 1 \u003d 9 20 \u003d 0, 45 f - 1 4 \u003d f 1 4 \u003d 1 4 2 4 · 1 4 2 - 1 \u003d - 1 12 ≈ - 0, 08

Для визначення максимумів і мінімумів функції, точок перегину, проміжних точок необхідно будувати асимптоти. Для зручного позначення фіксуються проміжки зростання, спадання, опуклість, увігнутість. Розглянемо на малюнку, зображеному нижче.

Необхідно через відмічені точки проводити лінії графіка, що дозволить наблизити до асимптотам, слідуючи стрелочкам.

На цьому закінчується повне дослідження функції. Зустрічаються випадки побудови деяких елементарних функцій, для яких застосовують геометричні перетворення.

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl + Enter