Доказ рівнобедреної і прямокутної трапеції. трапеція

У цій статті ми постараємося наскільки можливо повно відобразити властивості трапеції. Зокрема, мова піде про загальні ознаки і властивості трапеції, а також про властивості вписаного трапеції і про коло, вписану в трапецію. Торкнемося ми і властивості рівнобедреної і прямокутної трапеції.

Приклад рішення задачі з використанням розглянутих властивостей допоможе вам розкласти по місцях в голові і краще запам'ятати матеріал.

Трапеція і все-все-все

Для початку коротко згадаємо, що таке трапеція і які ще поняття з нею пов'язані.

Отже, трапеція - фігура-чотирикутник, дві з боків якої паралельні один одному (це підстави). І дві не паралельні - це бічні сторони.

У трапеції може бути опущена висота - перпендикуляр до підстав. Проведено середня лінія і діагоналі. А також з будь-якого кута трапеції можливо провести бісектрису.

Про різні властивості, пов'язані з усіма ці елементами і їх комбінаціями, ми зараз і поговоримо.

Властивості діагоналей трапеції

Щоб було зрозуміліше, поки читаєте, накидайте собі на листку трапецію АКМЕ і проведіть в ній діагоналі.

1. Якщо ви знайдете середини кожної з діагоналей (позначимо ці точки Х і Т) і з'єднайте їх, вийде відрізок. Одне з властивостей діагоналей трапеції полягає в тому, що відрізок ХТ лежить на середній лінії. А його довжину можна отримавши, розділивши різницю підстав на два: ХТ \u003d (a - b) / 2.
2. Перед нами все та ж трапеція АКМЕ. Діагоналі перетинаються в точці О. Давайте розглянемо трикутники АОЄ і МОК, утворені відрізками діагоналей разом з підставами трапеції. Ці трикутники - подібні. Коефіцієнт подібності k трикутників виражається через відношення підстав трапеції: k \u003d АЕ / КМ.
   Відношення площ трикутників АОЄ і МОК описується коефіцієнтом k 2.
3. Все та ж трапеція, ті ж діагоналі, що перетинаються в точці О. Тільки в цей раз ми будемо розглядати трикутники, які відрізки діагоналей утворили спільно з бічними сторонами трапеції. Площі трикутників АКО і ЕМО є рівновеликими - їх площі однакові.
4. Ще одна властивість трапеції включає в себе побудову діагоналей. Так, якщо продовжити бічні сторони АК і МО в напрямку меншого підстави, то рано чи пізно вони перетнуться до деякої точці. Далі, через середини підстав трапеції проведемо пряму. Вона перетинає підстави в точках Х і Т.
   Якщо ми тепер продовжимо пряму ХТ, то вона з'єднає разом точку перетину діагоналей трапеції О, точку, в якій перетинаються продовження бічних сторін і середини підстав Х і Т.
5. Через точку перетину діагоналей проведемо відрізок, який з'єднає підстави трапеції (Т лежить на меншому підставі КМ, Х - на більшій АЕ). Точка перетину діагоналей ділить цей відрізок в наступному співвідношенні: ТО / ОХ \u003d КМ / АЕ.
6. А тепер через точку перетину діагоналей проведемо паралельний підстав трапеції (a і b) відрізок. Точка перетину розділить його на дві рівні частини. Знайти довжину відрізка можна за формулою 2ab / (a \u200b\u200b+ b).

Властивості середньої лінії трапеції

Середню лінію проведіть в трапеції паралельно її підстав.

1. Довжину середньої лінії трапеції можна обчислити, якщо скласти довжини підстав і розділити їх навпіл: m \u003d (a + b) / 2.
2. Якщо провести через обидва підстави трапецію будь-який відрізок (висоту, наприклад), середня лінія розділить його на дві рівні частини.

Властивість бісектриси трапеції

Виберіть будь-який кут трапеції і проведіть бісектрису. Візьмемо, наприклад, кут кає нашої трапеції АКМЕ. Виконавши побудова самостійно, ви легко переконаєтеся - биссектрисой відсікається від заснування (або його продовження на прямий за межами самої фігури) відрізок такої ж довжини, що і бічна сторона.

Властивості кутів трапеції

1. Яку б з двох пар прилеглих до бічної сторони кутів ви не вибрали, сума кутів в парі завжди становить 180 0: α + β \u003d 180 0 і γ + δ \u003d 180 0.
2. З'єднаємо середини підстав трапеції відрізком ТХ. Тепер подивимося на кути при підставах трапеції. Якщо сума кутів при будь-якому з них становить 90 0, довжину відрізка ТХ легко обчислити виходячи з різниці довжин підстав, розділеної навпіл: ТХ \u003d (АЕ - КМ) / 2.
3. Якщо через сторони кута трапеції провести паралельні прямі, ті розділять сторони кута на пропорційні відрізки.

Властивості рівнобедреної (равнобокой) трапеції

1. У рівнобедреної трапеції дорівнюють кути при будь-якому з підстав.
2. Тепер знову побудуйте трапецію, щоб простіше було уявити, про що мова. Подивіться уважно на підставу АЕ - вершина протилежного підстави М проектується в якусь точку на прямій, яка містить АЕ. Відстань від вершини А до точки проекції вершини М і середня лінія рівнобедреної трапеції - рівні.
3. Пару слів про властивості діагоналей рівнобедреної трапеції - їх довжини рівні. А також однакові кути нахилу цих діагоналей до основи трапеції.
4. Тільки близько рівнобедреної трапеції можна описати коло, оскільки сума протилежних кутів чотирикутника 180 0 - обов'язкова умова для цього.
5. З попереднього пункту випливає властивість рівнобедреної трапеції - якщо біля трапеції можна описати коло, вона є рівнобедреної.
6. З особливостей рівнобедреної трапеції випливає властивість висоти трапеції: якщо її діагоналі перетинаються під прямим кутом, то довжина висоти дорівнює половині суми підстав: h \u003d (a + b) / 2.
7. Знову проведіть відрізок ТХ через середини підстав трапеції - в рівнобедреної трапеції він є перпендикуляром до підстав. І одночасно ТХ - вісь симетрії рівнобедреної трапеції.
8. На цей раз опустіть на більше підставу (позначимо його a) висоту з протилежною вершини трапеції. Вийде два відрізки. Довжину одного можна знайти, якщо довжини підстав скласти і розділити навпіл: (A + b) / 2. Другий отримаємо, коли з більшого підстави віднімемо менше і отриману різницю розділимо на два: (A - b) / 2.

Властивості трапеції, вписаною в коло

Раз вже мова зайшла про вписаною в коло трапеції, зупинимося на цьому питанні детальніше. Зокрема на те, де знаходиться центр кола по відношенню до трапеції. Тут теж рекомендується не полінуватися взяти олівець в руки і накреслити те, про що піде мова нижче. Так і зрозумієте швидше, і запам'ятайте краще.

1. Розташування центру кола визначається кутом нахилу діагоналі трапеції до її бічній стороні. Наприклад, діагональ може виходити з вершини трапеції під прямим кутом до бічної сторони. В такому випадку більше підставу перетинає центр описаного кола точно посередині (R \u003d ½АЕ).
2. Діагональ і бічна сторона можуть зустрічатися і під гострим кутом - тоді центр окружності виявляється всередині трапеції.
3. Центр описаного кола може виявитися поза межами трапеції, за великим її підставою, якщо між діагоналлю трапеції і бічною стороною - тупий кут.
4. Кут, утворений діагоналлю і більшими підставами трапеції АКМЕ (вписаний кут) становить половину того центрального кута, який йому відповідає: ТРАВНІ \u003d ½МОЕ.
5. Коротко про два способи знайти радіус описаного кола. Спосіб перший: подивіться уважно на своє креслення - що ви бачите? Ви без праці помітите, що діагональ розбиває трапецію на два трикутника. Радіус можна знайти через відношення сторони трикутника до синуса протилежного кута, помноженому на два. наприклад, R \u003d АЕ / 2 * sinАМЕ. Аналогічним чином формулу можна розписати для будь-якої зі сторін обох трикутників.
6. Спосіб другий: знаходимо радіус описаного кола через площу трикутника, утвореного діагоналлю, бічною стороною і підставою трапеції: R \u003d АМ * МО * АЕ / 4 * S АМЕ.

Властивості трапеції, описаної близько окружності

Вписати коло в трапецію можна, якщо дотримується одна умова. Детальніше про нього нижче. І разом ця комбінація фігур має ряд цікавих властивостей.

1. Якщо в трапецію вписане коло, довжину її середньої лінії можна без зусиль знайти, склавши довжини бічних сторін і розділивши отриману суму навпіл: m \u003d (c + d) / 2.
2. У трапеції АКМЕ, описаного навколо кола, сума довжин підстав дорівнює сумі довжин бічних сторін: АК + МЕ \u003d КМ + АЕ.
3. З цієї властивості підстав трапеції випливає зворотне твердження: окружність можна вписати в ту трапецію, сума підстав якої дорівнює сумі бічних сторін.
4. Точка дотику кола з радіусом r, вписаною в трапецію, розбиває бічну сторону на два відрізки, назвемо їх a і b. Радіус кола можна обчислити за формулою: r \u003d √ab.
5. І ще одна властивість. Щоб не заплутатися, цей приклад теж накресліть самі. У нас є стара-добра трапеція АКМЕ, описане навколо кола. У ній проведено діагоналі, що перетинаються в точці О. Освічені відрізками діагоналей і бічними сторонами трикутники АОК і ЕОМ - прямокутні.
   Висоти цих трикутників, опущені на гіпотенузи (тобто бічні сторони трапеції), збігаються з радіусами вписаного кола. А висота трапеції - збігається з діаметром вписаного кола.

Властивості прямокутної трапеції

Прямокутної називають трапецію, один з кутів якої є прямим. І її властивості є наслідком цієї обставини.

1. У прямокутної трапеції одна з бічних сторін перпендикулярна підставах.
2. Висота і бічна сторона трапеції, прилеглих до прямого кута, рівні. Це дозволяє обчислювати площу прямокутної трапеції (загальна формула S \u003d (a + b) * h / 2) Не тільки через висоту, але і через бічну сторону, прилеглу до прямого кута.
3. Для прямокутної трапеції актуальні вже описані вище загальні властивості діагоналей трапеції.

Докази деяких властивостей трапеції

Рівність кутів при підставі рівнобедреної трапеції:

• Ви вже напевно і самі здогадалися, що тут нам знову потрібно трапеція АКМЕ - накресліть рівнобедрений трапецію. Проведіть з вершини М пряму МТ, паралельну бічній стороні АК (МТ || АК).

Отриманий чотирикутник АКМТ - паралелограм (АК || МТ, КМ || АТ). Оскільки МО \u003d КА \u003d МТ, Δ МТЄ - рівнобедрений і МЕТ \u003d МТЄ.

АК || МТ, отже МТЄ \u003d Кая МЕТ \u003d МТЄ \u003d Кая.

Звідки АКМ \u003d 180 0 - МЕТ \u003d 180 0 - кає \u003d КМЕ.

Що і потрібно було довести.

Тепер на підставі властивості рівнобедреної трапеції (рівності діагоналей) доведемо, що трапеція АКМЕ є рівнобедреної:

• Для початку проведемо пряму МХ - МХ || КЕ. Отримаємо паралелограм КМХЕ (підстава - МХ || КЕ і КМ || ЕХ).

ΔАМХ - рівнобедрений, оскільки АМ \u003d КЕ \u003d МХ, а МАХ \u003d МЕА.

МХ || КЕ, КЕА \u003d моху, тому ТРАВНІ \u003d моху.

У нас вийшло, що трикутники Аке і ЕМА рівні між собою, тому що АМ \u003d КЕ і АЕ - загальна сторона двох трикутників. А також ТРАВНІ \u003d моху. Можемо зробити висновок, що АК \u003d МО, а це означає і що трапеція АКМЕ - рівнобедрена.

Завдання для повторення

Підстави трапеції АКМЕ рівні 9 см і 21 см, бічна сторона КА, рівна 8 см, утворює кут 150 0 з такою ж підставою. Потрібно знайти площу трапеції.

Рішення: З вершини К опустимо висоту до більшого основи трапеції. І почнемо розглядати кути трапеції.

Кути АЕМ і КАН є односторонніми. А це значить, в сумі вони дають 180 0. Тому КАН \u003d 30 0 (на підставі властивості кутів трапеції).

Розглянемо тепер прямокутний ΔАНК (гадаю, цей момент очевидний читачам без додаткових доказів). З нього знайдемо висоту трапеції КН - в трикутнику вона є катетом, який лежить навпроти кута в 30 0. Тому КН \u003d ½АВ \u003d 4 см.

Площа трапеції знаходимо за формулою: S АКМЕ \u003d (КМ + АЕ) * КН / 2 \u003d (9 + 21) * 4/2 \u003d 60 см 2.

Післямова

Якщо ви уважно і вдумливо вивчили цю статтю, не полінувалися з олівцем в руках накреслити трапеції для всіх наведених властивостей і розібрати їх на практиці, матеріал повинен був непогано вами засвоїтися.

Звичайно, інформації тут багато, різноманітної і місцями навіть заплутаною: не так вже й складно переплутати властивості описаної трапеції з властивостями вписаною. Але ви самі переконалися, що різниця величезна.

Тепер у вас є детальний конспект всіх загальних властивостей трапеції. А також специфічних властивостей і ознак трапецій рівнобедреної і прямокутної. Їм дуже зручно користуватися, щоб готуватися до контрольних та іспитів. Спробуйте самі і поділіться посиланням з друзями!

сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.

Розділ містить завдання з геометрії (розділ планиметрия) про трапеції. Якщо Ви не знайшли рішення задачі - пишіть про це на форумі. Курс напевно буде доповнений.

Трапеція. Визначення, формули і властивості

Трапеція (від грец. Τραπέζιον - «столик»; τράπεζα - «стіл, їжа») - чотирикутник, у якого рівно одна пара протилежних сторін паралельна.

Трапеція - чотирикутник, у якого пара протилежних сторін паралельна.

Примітка. В цьому випадку паралелограм є окремим випадком трапеції.

Паралельні протилежні сторони називаються підставами трапеції, а дві інші - бічними сторонами.

Трапеції бувають:

- різнобічні ;

- равнобокой;

- прямокутні

.
Червоним і коричневим кольорами позначені бічні сторони, зеленим і синім - підстави трапеції.

A - равнобокая (рівнобедрена, равнобочная) трапеція
B - прямокутна трапеція
C - різнобічна трапеція

У різнобічної трапеції всі сторони різної довжини, а підстави паралельні.

У бічні сторони рівні, а підстави паралельні.

У підстави паралельні, одна бічна сторона перпендикулярна підставах, а друга бічна сторона - похила до підстав.

властивості трапеції

• Середня лінія трапеції паралельна основам і дорівнює їх напівсумі
• Відрізок, що з'єднує середини діагоналей, Дорівнює половині різниці підстав і лежить на середній лінії. його довжина
• Паралельні прямі, що перетинають сторони будь-якого кута трапеції, відсікають від сторін кута пропорційні відрізки (див. Теорему Фалеса)
• Точка перетину діагоналей трапеції, Точка перетину продовжень її бічних сторін і середини підстав лежать на одній прямій (див. Також властивості чотирикутника)
• Трикутники, що лежать на підставах трапеції, вершини яких є точкою перетину її діагоналей є подібними. Співвідношення площ таких трикутників дорівнює квадрату співвідношення підстав трапеції
• Трикутники, що лежать на бічних сторонах трапеції, вершини яких є точкою перетину її діагоналей є рівновеликими (рівними за площею)
• У трапецію можна вписати коло, Якщо сума довжин підстав трапеції дорівнює сумі довжин її бічних сторін. Середня лінія в цьому випадку дорівнює сумі бічних сторін, поділеній на 2 (тому що середня лінія трапеції дорівнює напівсумі підстав)
• Відрізок, паралельний підставах і проходить через точку перетину діагоналей, ділиться останньої навпіл і дорівнює подвоєному добутку підстав, поділеній на їх суму 2ab / (a \u200b\u200b+ b) (Формула Буракова)

кути трапеції

кути трапеції бувають гострі, прямі і тупі.
Прямими бувають тільки два кути.

У прямокутної трапеції два кута прямі, А два інших - гострий і тупий. У інших видів трапецій бувають: два гострих кута і два тупих.

Тупі кути трапеції належать меншому по довжині основи, а гострі - більшого основи.

Будь-яку трапецію можна розглядати як усічений трикутник, У якого лінія перетину паралельна основі трикутника.
важливо. Зверніть увагу, що таким способом (додатковим побудовою трапеції до трикутника) можуть вирішуватися деякі завдання про трапецію і доводяться деякі теореми.

Як знайти боку і діагоналі трапеції

Знаходження сторін і діагоналей трапеції роблять за допомогою формул, які наведені нижче:

У зазначених формулах застосовуються позначення, як на малюнку.

a - менше з підстав трапеції
b - більше з підстав трапеції
c, d - бічні сторони
h 1 h 2 - діагоналі

Сума квадратів діагоналей трапеції дорівнює подвоєному добутку підстав трапеції плюс сума квадратів бічних сторін (Формула 2)

Багатокутник - частина площини, обмежена замкнутою ламаною лінією. Кути у багатокутника позначаються точками вершин ламаної. Вершини кутів багатокутника і вершини багатокутника - це збігаються точки.

Визначення. Паралелограм - це чотирикутник, у якого протилежні сторони паралельні.

властивості паралелограма

1. Протилежні сторони рівні.
На рис. 11 AB = CD; BC = AD.

2. Протилежні кути рівні (два гострих і два тупих кута).
На рис. 11 ∠ A = ∠C; ∠B = ∠D.

3 Діагоналі (відрізки прямої, що з'єднують дві протилежні вершини) перетинаються і точкою перетину діляться навпіл.

На рис. 11 відрізки AO = OC; BO = OD.

Визначення. Трапеція - це чотирикутник, у якого дві протилежні сторони паралельні, а дві інші - ні.

паралельні сторони називаються її підставами, А дві інші - бічними сторонами.

види трапецій

1. трапеція, У якій бічні сторони не рівні,
називається різнобічної (Рис. 12).

2. Трапеція, у якої бічні сторони рівні, називається равнобокой (Рис. 13).

3. Трапеція, у якої одна бічна сторона становить прямий кут з підставами, називається прямокутної (Рис. 14).

Відрізок, що з'єднує середини бічних сторін трапеції (рис. 15), називається середньою лінією трапеції ( MN). Середня лінія трапеції паралельна основам і дорівнює їх напівсумі.

Трапецію можна назвати усіченим трикутником (рис. 17), тому і назви трапецій схожі з назвами трикутників (трикутники бувають різнобічні, рівнобедрені, прямокутні).

Площа паралелограма і трапеції

Правило. Площа паралелограма дорівнює добутку його сторони на висоту, проведену до цієї сторони.

трапеція - це чотирикутник, що має дві паралельні сторони, які є підставами і зо два не паралельні сторони, які є боковими сторонами.

Також зустрічаються такі назви, як равнобокая або равнобочная.

- це трапеція, у якої кути при бічній стороні прямі.

елементи трапеції

a, b - підстави трапеції (A паралельно b),

m, n - бічні сторони трапеції,

d 1, d 2 - діагоналі трапеції,

h - висота трапеції (відрізок, що з'єднує підстави і при цьому перпендикулярний їм),

MN - середня лінія (Відрізок, що з'єднує середини бічних сторін).

Площа трапеції

1. Через полусумму підстав a, b і висоту h: S \u003d \\ frac (a + b) (2) \\ cdot h
2. Через середню лінію MN і висоту h: S \u003d MN \\ cdot h
3. Через діагоналі d 1, d 2 і кут (\\ sin \\ varphi) між ними: S \u003d \\ frac (d_ (1) d_ (2) \\ sin \\ varphi) (2)

властивості трапеції

Середня лінія трапеції

Середня лінія паралельна основам, дорівнює їх напівсумі і розділяє кожен відрізок з кінцями, що знаходяться на прямих, які містять підстави, (наприклад, висоту фігури) навпіл:

MN || a, MN || b, MN \u003d \\ frac (a + b) (2)

Сума кутів трапеції

Сума кутів трапеції, Прилеглих до кожної бічної сторони, дорівнює 180 ^ (\\ circ):

\\ Alpha + \\ beta \u003d 180 ^ (\\ circ)

\\ Gamma + \\ delta \u003d 180 ^ (\\ circ)

Рівновеликі трикутники трапеції

рівновеликими, Тобто мають рівні площі, є відрізки діагоналей і трикутники AOB і DOC, утворені бічними сторонами.

Подоба утворених трикутників трапеції

подібними трикутниками є AOD і COB, які утворені своїми підставами і відрізками діагоналей.

\\ Triangle AOD \\ sim \\ triangle COB

коефіцієнт подібності k знаходиться за формулою:

k \u003d \\ frac (AD) (BC)

Причому співвідношення площ цих трикутників дорівнює k ^ (2).

Відношення довжин відрізків і підстав

Кожен відрізок, що з'єднує підстави і проходить через точку перетину діагоналей трапеції, поділений цією точкою щодо:

\\ Frac (OX) (OY) \u003d \\ frac (BC) (AD)

Це буде справедливим і для висоти з самими діагоналями.

1. Відрізок, що з'єднує середини діагоналей трапеції дорівнює половині різниці підстав
2. Трикутники, утворені підставами трапеції і відрізками діагоналей до точки їх перетину - подібні
3. Трикутники, утворені відрізками діагоналей трапеції, сторони яких лежать на бічних сторонах трапеції - рівновеликі (мають однакову площу)
4. Якщо продовжити бічні сторони трапеції в сторону меншого підстави, то вони перетнуться в одній точці з прямою, що з'єднує середини підстав
5. Відрізок, що з'єднує підстави трапеції, і проходить через точку перетину діагоналей трапеції, ділиться цією точкою в пропорції, рівної співвідношенню довжин підстав трапеції
6. Відрізок, паралельний підстав трапеції, і проведений через точку перетину діагоналей, ділиться цією точкою навпіл, а його довжина дорівнює 2ab / (a \u200b\u200b+ b), де a і b - підстави трапеції

Властивості відрізка, що з'єднує середини діагоналей трапеції

З'єднаємо середини діагоналей трапеції ABCD, в результаті чого у нас з'явиться відрізок LM.
Відрізок, що з'єднує середини діагоналей трапеції, лежить на середній лінії трапеції.

даний відрізок паралельний підстав трапеції.

Довжина відрізка, що з'єднує середини діагоналей трапеції, дорівнює полуразность її підстав.

LM \u003d (AD - BC) / 2
або
LM \u003d (a-b) / 2

Властивості трикутників, утворених діагоналями трапеції

Трикутники, які утворені підставами трапеції і точкою перетину діагоналей трапеції - є подібними.
Трикутники BOC і AOD є подібними. Оскільки кути BOC і AOD є вертикальними - вони рівні.
Кути OCB і OAD є внутрішніми навхрест лежать при паралельних прямих AD і BC (підстави трапеції паралельні між собою) і січною прямий AC, отже, вони рівні.
Кути OBC і ODA рівні по тій же самій причині (внутрішні навхрест лежачі).

Так як всі три кути одного трикутника дорівнюють відповідним кутам іншого трикутника, то дані трикутники подібні.

Що з цього випливає?

Для вирішення завдань з геометрії подобу трикутників використовується наступним чином. Якщо нам відомі значення довжин двох відповідних елементів подібних трикутників, то ми знаходимо коефіцієнт подібності (ділимо одне на інше). Звідки довжини всіх інших елементів співвідносяться між собою точно таким же значенням.

Властивості трикутників, що лежать на бічній стороні і діагоналях трапеції

Розглянемо два трикутника, що лежать на бічних сторонах трапеції AB і CD. Це - трикутники AOB і COD. Незважаючи на те, що розміри окремих сторін у даних трикутників можуть бути абсолютно різні, але площі трикутників, утворених бічними сторонами і точкою перетину діагоналей трапеції рівні, Тобто трикутники є рівновеликими.

Якщо продовжити боку трапеції в сторону меншого підстави, то точка перетину сторін буде збігатися з прямою лінією, яка проходить через середини підстав.

Таким чином, будь-яка трапеція може бути добудована до трикутника. При цьому:

• Трикутники, утворені підставами трапеції із загальною вершиною в точці перетину продовжених бічних сторін є подібними
• Пряма, що з'єднує середини підстав трапеції, є, одночасно, медианой побудованого трикутника

Властивості відрізка, що з'єднує підстави трапеції

Якщо провести відрізок, кінці якого лежать на підставах трапеції, який лежить на точці перетину діагоналей трапеції (KN), то співвідношення становило його відрізків від сторони підстави до точки перетину діагоналей (KO / ON) дорівнюватиме співвідношенню підстав трапеції (BC / AD).

KO / ON \u003d BC / AD

Дана властивість випливає з подібності відповідних трикутників (див. Вище).

Властивості відрізка, паралельного підстав трапеції

Якщо провести відрізок, паралельний підстав трапеції і проходить через точку перетину діагоналей трапеції, то він буде мати наступні властивості:

• Заданий відрізок (KM) ділиться точкою перетину діагоналей трапеції навпіл
• довжина відрізка, Що проходить через точку перетину діагоналей трапеції і паралельного підставах, дорівнює KM \u003d 2ab / (a \u200b\u200b+ b)

Формули для знаходження діагоналей трапеції

a, b - підстави трапеції

c, d - бічні сторони трапеції

d1 d2 - діагоналі трапеції

α β - кути при більшому підставі трапеції

Формули знаходження діагоналей трапеції через підстави, бічні сторони і кути при підставі

Перша група формул (1-3) відображає одне з основних властивостей діагоналей трапеції:

1. Сума квадратів діагоналей трапеції дорівнює сумі квадратів бічних сторін плюс подвоєний добуток її підстав. Дана властивість діагоналей трапеції може бути доведено як окрема теорема

2 . Дана формула отримана шляхом перетворення попередньої формули. Квадрат другий діагоналі перекинутий через знак рівності, після чого з лівої і правої частини виразу витягнутий квадратний корінь.

3 . Ця формула знаходження довжини діагоналі трапеції аналогічна попередній, з тією різницею, що в лівій частині виразу залишена інша діагональ

Наступна група формул (4-5) є аналогічною за змістом і висловлює аналогічне співвідношення.

Група формул (6-7) дозволяє знайти діагональ трапеції, якщо відомі більше підставу трапеції, одна бічна сторона і кут при підставі.

Формули знаходження діагоналей трапеції через висоту

Примітка. В даному уроці приведено рішення задач з геометрії про трапеції. Якщо Ви не знайшли рішення задачі з геометрії, що цікавить Вас типу - задайте питання на форумі.

завдання.
Діагоналі трапеції ABCD (AD | | ВС) перетинаються в точці О. Знайдіть довжину підстави ВС трапеції, якщо підстава АD \u003d 24 см, довжина АТ \u003d 9см, довжина ОС \u003d 6 см.

Рішення.
Рішення даного завдання по ідеології абсолютно ідентично попереднім завданням.

Трикутники AOD і BOC є подібними за трьома кутами - AOD і BOC є вертикальними, а інші кути попарно рівні, оскільки утворені перетином одній прямій і двох паралельних прямих.

Оскільки трикутники подібні, то все їх геометричні розміри відносяться між собою, як геометрично розміри відомих нам по умові завдання відрізків AO і OC. Тобто

AO / OC \u003d AD / BC
9/6 \u003d 24 / BC
BC \u003d 24 * 6/9 \u003d 16

відповідь: 16 см

Завдання.
У трапеції ABCD відомо, що AD \u003d 24, ВС \u003d 8, АС \u003d 13, BD \u003d 5√17. Знайдіть площу трапеції.

Рішення .
Для знаходження висоти трапеції з вершин меншого підстави B і C опустимо на більше підставу дві висоти. Оскільки трапеція нерівнобічні - то позначимо довжину AM \u003d a, довжину KD \u003d b ( не плутати з позначеннями в формулі знаходження площі трапеції). Оскільки підстави трапеції паралельні, а ми опускали дві висоти, перпендикулярних більшого основи, то MBCK - прямокутник.

значить
AD \u003d AM + BC + KD
a + 8 + b \u003d 24
a \u003d 16 - b

Трикутники DBM і ACK - прямокутні, так їх прямі кути утворені висотами трапеції. Позначимо висоту трапеції через h. Тоді по теоремі Піфагора

H 2 + (24 - a) 2 \u003d (5√17) 2
і
h 2 + (24 - b) 2 \u003d 13 2

Врахуємо, що a \u003d 16 - b, тоді в першому рівнянні
h 2 + (24 - 16 + b) 2 \u003d 425
h 2 \u003d 425 - (8 + b) 2

Підставами значення квадрата висоти в друге рівняння, отримане по Теоремі Піфагора. отримаємо:
425 - (8 + b) 2 + (24 - b) 2 \u003d 169
- (64 + 16b + b) 2 + (24 - b) 2 \u003d -256
-64 - 16b - b 2 + 576 - 48b + b 2 \u003d -256
-64b \u003d -768
b \u003d 12

Таким чином, KD \u003d 12
Звідки
h 2 \u003d 425 - (8 + b) 2 \u003d 425 - (8 + 12) 2 \u003d 25
h \u003d 5

Знайдемо площу трапеції через її висоту і полусумму підстав
, Де a b - основи трапеції, h - висота трапеції
S \u003d (24 + 8) * 5/2 \u003d 80 см 2

відповідь: Площа трапеції дорівнює 80 см 2.